Lernpfad Lineare Funktionen/LF03 Aufgaben: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 18. April 2026, 09:05 Uhr

1. Aufgabe (Üben) - Funktionsgleichung aus Graph ablesen

In der Abbildung LF03 Abbildung 1 sind drei Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt: die Gerade f als durchgezogene Linie, die Gerade g gestrichelt und die Gerade h gepunktet.
Bestimme für jede Gerade die Funktionsgleichung.

Gerade $f$ (durchgezogene Linie): In der Geradengleichung $f (x) = m x + b$ müssen der Steigungsfaktor $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ bestimmt werden.
y-Achsenabschnitt $b$ : Schnittpunkt mit der y-Achse $S_{y} (0 | 1)$ $\Rightarrow b = 1$
Steigungsfaktor $m$ : Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt $S_{y} (0 | 1)$ aus 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten gehen, um wieder auf die Gerade $f$ zu stoßen. $m = - \frac{1}{2}$
Ergebnis: $f (x) = - \frac{1}{2} x + 1$
Gerade $g$ (gestrichelte Linie): schneidet die y-Achse im Punkt $(0 | 3, 5)$ und verläuft parallel zu $f$ , besitzt also den gleichen Steigungsfaktor
Ergebnis: $g (x) = - \frac{1}{2} x + 3, 5$
Gerade $h$ (gepunktete Linie): Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt $S_{x} (- 3 | 0)$ aus 3 Einheiten auf der x-Achse nach rechts und 6 Einheit auf der y-Achse nach oben gehen, um wieder auf die Gerade $h$ zu stoßen. $m = \frac{6}{3} = 2$
Ergebnis: $h (x) = 2 x + 6$

Versuche, die folgenden Aufgaben erst einmal rein rechnerisch und ohne die Abbildung LF03 Abbildung 1 zu lösen. Diese kannst du aber im Anschluss zur Kontrolle nutzen.

2. Aufgabe - Punktprobe

Gegeben sind die Gerade $f (x) = - 0, 5 x + 1$ und die Punkte $P (- 1 | 4)$ und $Q (- 4, 5 | - 3)$ . Stelle rechnerisch für jeden der beiden Punkte fest, ob er auf der gegebenen Geraden liegt. Falls er nicht auf der Geraden f liegt, stellen Sie fest, ob er oberhalb oder unterhalb davon liegt.

Punktprobe für Punkt $P (- 1 | 4)$ :

f (- 1) = - 0, 5 \cdot (- 1) + 1 = 1, 5

Der Punkt

P (- 1 | 4)

liegt 2,5 Einheiten oberhalb der Geraden

f

.

Punktprobe für Punkt $Q (- 4, 5 | - 3)$ :

f (- 4, 5) = - 0, 5 \cdot (- 4, 5) + 1 = 3, 25

Der Punkt

Q (- 4, 5 | - 3)

liegt 6,25 Einheiten unterhalb der Geraden

f

.

3. Aufgabe - Koordinate eines Punktes auf einer Geraden

Der Punkt $R (6 | ?)$ liegt auf der Geraden $f (x) = - \frac{1}{2} x + 1$ . Bestimme die y-Koordinate von R.

x-Koordinate von R in f einsetzen: $- \frac{1}{2} \cdot 6 + 1$ $= - 3 + 1 = - 2$
Ergebnis: y-Koordinate von $R$ hat den Wert $- 2$ .

4. Aufgabe - Gleichung einer Parallelen durch gegebenen Punkt

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden $g$ , die zu der Geraden $f (x) = - \frac{1}{2} x + 1$ parallel verläuft und durch den Punkt $P (- 1 | 4)$ geht.

In der Gleichung $g (x) = m x + b$ sind der Steigungsfaktor $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen.
Wegen der Parallelität zu $f$ besitzt $g$ den gleichen Steigungsfaktor, also $m = - \frac{1}{2}$
Zwischenergebnis: $g (x) = - \frac{1}{2} x + b$
Um den y-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen, kann man die Koordinaten des Punktes $P (- 1 | 4)$ in diese Gleichung einsetzen:
$g (- 1) = - \frac{1}{2} \cdot (- 1) + b$
$\Rightarrow 4 = 0, 5 + b$
$\Rightarrow 3, 5 = b$
Ergebnis: $g (x) = - \frac{1}{2} x + 3, 5$

5. Aufgabe - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen / Nullstellen

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der beiden Geraden $f (x) = - \frac{1}{2} x + 1$ und $g (x) = - \frac{1}{2} x + 3, 5$ mit den Koordinatenachsen.

Schnittpunkte mit der y-Achse: Alle Punkte auf der y-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre x-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der y-Achse: In der Funktionsgleichung $x = 0$ setzen.

$f (x) = - \frac{1}{2} x + 1$
$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 1$
$f (0) = 1$
Ergebnis: Die Gerade $f$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0 | 1)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x + 3, 5$
$g (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 3, 5$
$g (0) = 3, 5$
Ergebnis: Die Gerade $g$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0 | 3, 5)$ .

Schnittpunkte mit der x-Achse: Alle Punkte auf der x-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre y-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der x-Achse (und damit zugleich zur Berechnung der Nullstellen): In der Funktionsgleichung $f (x) = 0$ setzen.

$f (x) = - \frac{1}{2} x + 1$
$0 = - \frac{1}{2} \cdot x + 1$
$- 1 = - \frac{1}{2} \cdot x$
$2 = x$
Ergebnis: Die Gerade $f$ scheidet die x-Achse im Punkt $(2 | 0)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x + 3, 5$
$0 = - \frac{1}{2} \cdot x + 3, 5$
$- 3, 5 = - \frac{1}{2} \cdot x$
$7 = x$
Ergebnis: Die Gerade $g$ scheidet die x-Achse im Punkt $(7 | 0)$ .

@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 {{Lösung versteckt
 |
-<math>f(x) = -\frac{1}{2}x +1 </math> &nbsp;&nbsp; <math>g(x) = -\frac{1}{2}x +2,5</math> &nbsp;&nbsp; <math>h(x) = 2x +6</math>
+; Gerade <math>f</math> (durchgezogene Linie)
+: In der Geradengleichung <math>f(x) = mx +b </math> müssen der Steigungsfaktor <math>m</math> und der y-Achsenabschnitt <math> b </math> bestimmt werden.<br/>y-Achsenabschnitt <math> b </math>: Schnittpunkt mit der y-Achse <math> S_y(0 \;|\; 1) </math> <math> \Rightarrow b = 1 </math><br /> Steigungsfaktor <math> m </math>: Man kann in einem Steigungsdreieck vom  Punkt <math> S_y(0 \;|\; 1) </math> aus 2 Einheiten nach ''rechts'' und 1 Einheit nach ''unten'' gehen, um wieder auf die Gerade <math>f </math> zu stoßen. <math> m =  -\frac{1}{2} </math> <br />Ergebnis: <math>f(x) = -\frac{1}{2}x +1 </math>
+; Gerade <math>g </math> (gestrichelte Linie)
+: schneidet die y-Achse im Punkt <math>(0 \;|\; 3,5) </math> und verläuft parallel zu <math>f</math>, besitzt also den gleichen Steigungsfaktor<br/>Ergebnis: <math>g(x) = -\frac{1}{2}x +3,5</math>
+; Gerade <math>h </math> (gepunktete Linie)
+: Man kann in einem Steigungsdreieck vom  Punkt <math> S_x(-3 \;|\; 0) </math> aus 3 Einheiten auf der x-Achse nach ''rechts'' und 6 Einheit auf der y-Achse nach ''oben'' gehen, um wieder auf die Gerade <math>h </math> zu stoßen. <math> m =  \frac{6}{3} = 2</math> <br /> Ergebnis: <math>h(x) = 2x +6</math>
 | Lösung anzeigen
 | Lösung verbergen
 }}
 }} <!-- Box -->
+Versuche, die folgenden Aufgaben erst einmal rein ''rechnerisch'' und ohne die Abbildung  [[:Datei:LF03 Abbildung 1.png|LF03 Abbildung 1]] zu lösen. Diese kannst du aber im Anschluss zur Kontrolle nutzen.
 {{Box
@@ Zeile 46: / Zeile 53: @@
 |Klasse = Üben
 |Inhalt =
-Die Punkte <math>P(-4| y_P)</math> und <math>Q(x_Q | 0,5)</math> liegen beide auf der Geraden <math>f(x) = -0,75x +2</math>.
+Der Punkt <math>R(6 \;|\; ?)</math> liegt auf der Geraden <math>f(x) =- \frac{1}{2} x +1</math>.
-# Bestimme die fehlenden Koordinaten <math>y_P</math> und <math>x_Q</math> der Punkte.
+Bestimme die y-Koordinate von R.
-# Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt P geht.
 {{Lösung versteckt
 |
-zu 1.
+x-Koordinate von R in f einsetzen: <math>- \frac{1}{2} \cdot 6 +1 </math> <math> = -3 + 1 = -2 </math> <br/> Ergebnis:  y-Koordinate von <math> R </math>  hat den Wert &nbsp; <math>  -2 </math>.
+| Lösung anzeigen
+| Lösung verbergen
+}}
+}} <!-- Box -->
-Berechnung von <math>y_P</math>: <br />
+{{Box
-<math>f(x) = -0,75x +2</math> <br /><math>f(-4) = -0,75 \cdot (-4) + 2 = 5 </math> <br />
+|Titel = 4. Aufgabe - Gleichung einer Parallelen durch gegebenen Punkt
-Ergebnis: <math>y_P = 5 </math>
+|Klasse = Üben
+|Inhalt =
-Berechnung von <math>x_Q</math>: <br />
+Bestimme ''rechnerisch'' die Gleichung der Geraden <math>g </math>, die zu der Geraden <math>f(x) =- \frac{1}{2} x +1</math> parallel verläuft und durch den Punkt <math>P(-1 \;|\; 4) </math> geht.
-<math>f(x) = -0,75x +2</math> <br />
-&nbsp; &nbsp;<math>0,5 = -0,75x +2</math> &nbsp; &nbsp; {{!}} <math> -2 </math> <br />
-<math>\Rightarrow-1,5 = -0,75x  </math> &nbsp; &nbsp; {{!}} geteilt durch (-0,75) <br />
-<math>\Rightarrow x = 2 </math>  <br />
-Ergebnis: <math>x_Q = 2 </math>
-zu 2.
-<math> m_f = -0,75 = -\frac{3}{4} </math> <br />
-Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: <math>m_h = -\frac{1}{m_f} </math> &nbsp;&nbsp; (Kehrwert von <math> m_f </math> bilden und Vorzeichen umdrehen) <br />
-<math>m_h = \frac{4}{3} </math> <br />
-Zwischenergebnis: <math>h(x) = \frac{4}{3} + b</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} Koordinaten von <math>P(-4|5)</math> einsetzen: <br />
-&nbsp; &nbsp;<math>5 = \frac{4}{3}\cdot (-4) + b</math> <br />
-<math>\Rightarrow \frac{15}{3} = -\frac{16}{3} + b</math> &nbsp; &nbsp; {{!}} <math> + \frac{16}{3} </math> <br />
-<math>\Rightarrow b = \frac{31}{3} = 10,\overline{3} </math> <br />
-Ergebnis: <math>h(x) = \frac{4}{3}x + \frac{31}{3}</math>
+{{ Lösung versteckt
+|
+In der Gleichung <math>g(x) = mx +b  </math> sind der Steigungsfaktor <math>m</math> und der y-Achsenabschnitt <math>b</math> zu bestimmen. <br /> Wegen der Parallelität zu <math>f </math> besitzt <math>g </math> den gleichen Steigungsfaktor, also <math> m = - \frac{1}{2} </math> <br /> Zwischenergebnis: <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +b </math> <br />Um den y-Achsenabschnitt <math>b</math> zu bestimmen, kann man die Koordinaten des Punktes <math>P(-1 \;|\; 4) </math> in diese Gleichung einsetzen: <br /> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> g(-1) =- \frac{1}{2} \cdot (-1) +b</math> <br /><math> \Rightarrow 4 = 0,5 +b </math> <br /><math> \Rightarrow 3,5 = b</math> <br /> Ergebnis: <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +3,5  </math>
 | Lösung anzeigen
 | Lösung verbergen
 }}
-}}
+}} <!-- Box 4. Aufgabe -->
 {{Box
-|1=4. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q
+|Titel = 5. Aufgabe - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen / Nullstellen
-|2=
+|Klasse = Üben
-# Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(2|3)</math> und <math>Q(3|5)</math> geht.
+|Inhalt =
-# Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
+Bestimme ''rechnerisch''  die Schnittpunkte der beiden Geraden <math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1  </math> und <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +3,5  </math> mit den Koordinatenachsen.
-# Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt <math>P(2|3)</math> geht.
 {{Lösung versteckt
 |
-zu 1.
+; Schnittpunkte mit der y-Achse
+: Alle Punkte auf der ''y''-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre ''x''-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der ''y''-Achse: In der Funktionsgleichung <math> x = 0 </math> setzen.
-Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte <math> P(x_P|y_P) </math> und <math> Q(x_Q|y_Q) </math> geht: <br /> <math> m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q -x_P} </math>
-<math>y_P=3 </math> und  <math>y_Q=5 </math> &nbsp; <math>\; \Rightarrow \Delta y = y_Q - y_P = 5 -3 = 2</math>
+<math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1  </math> <br /> <math>f(0) = - \frac{1}{2}\cdot 0  +1  </math> <br /> <math>f(0) = 1 </math> <br />Ergebnis: Die Gerade <math>f</math> scheidet die y-Achse im Punkt <math>(0\;|\;1)</math>.
-<math>x_P=2 </math> und <math>x_Q=3 </math> &nbsp; <math>\; \Rightarrow \Delta x = x_Q - x_P = 3 - 2 = 1</math>
+<math>g(x) = - \frac{1}{2}x +3,5  </math> <br /> <math>g(0) = - \frac{1}{2}\cdot 0  +3,5  </math> <br /> <math>g(0) = 3,5 </math> <br />Ergebnis: Die Gerade <math>g</math> scheidet die y-Achse im Punkt <math>(0\;|\;3,5)</math>.
-<math> m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{1} = 2 </math>
-Zwischenergebnis: <math>f(x) =2 x + b </math>
+; Schnittpunkte mit der x-Achse
+: Alle Punkte auf der ''x''-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre ''y''-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der ''x''-Achse (und damit zugleich zur Berechnung der Nullstellen): In der Funktionsgleichung <math> f(x) = 0 </math> setzen.
-Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von <math>P(2|3)</math>:
+<math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1  </math> <br /> <math>0 = - \frac{1}{2}\cdot x  +1  </math> <br />  <math>-1 = - \frac{1}{2}\cdot x </math> <br />  <math>2 = x </math><br /> Ergebnis: Die Gerade <math>f</math> scheidet die x-Achse im Punkt <math>(2\;|\;0)</math>.
-&nbsp; &nbsp; <math> f(2) = 2 \cdot 2 + b </math> <br /><math> \Leftrightarrow 3 = 4 + b </math> <br /><math> \Leftrightarrow b= -1 </math>
-Ergebnis: <math> f(x) = 2x  -1 </math>
-zu 2.
-Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet: <math>(0|-1) </math>
-Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
-<math> f(x) = 2x  -1 </math>  <br />
-&nbsp; &nbsp;<math> 0 = 2x  -1 </math> &nbsp; &nbsp; {{!}} <math> + 1 </math> <br />
-<math>\Leftrightarrow  1 = 2x  </math> &nbsp; &nbsp; {{!}} <math> / 2 </math> <br />
-<math>\Leftrightarrow  x = 0,5  </math> &nbsp; &nbsp;  (Nullstelle) <br />
-Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet  <math> (0,5|0) </math>
-zu 3.
-Ansatz: <math> h(x) = -\frac{1}{2} x + b </math>
-Koordinaten von <math>P(2|3)</math> einsetzen:
-<math> 3 = -\frac{1}{2} \cdot 2 + b </math>  <br />
-<math> 3 = -1 + b </math> &nbsp; &nbsp; {{!}} <math> + 1 </math> <br />
-<math> b = 4 </math>  <br />
-Ergebnis: <math> h(x) = -0,5 x + 4 </math>
+<math>g(x) = - \frac{1}{2}x +3,5  </math> <br /> <math>0 = - \frac{1}{2}\cdot x  +3,5  </math> <br />  <math>-3,5 = - \frac{1}{2}\cdot x </math> <br />  <math>7 = x </math><br /> Ergebnis: Die Gerade <math>g</math> scheidet die x-Achse im Punkt <math>(7\;|\;0)</math>.
 | Lösung anzeigen
 | Lösung verbergen
 }}
+}} <!-- Box 5. Aufgabe --<
-|3=Üben}}
 {{Box
-|1=5. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q
+|1=6. Aufgabe - Gerade f durch Punkte P und Q
 |2=
 #Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(-3|3)</math> und <math>Q(1|-5)</math> geht.

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