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Lernpfad Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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# <math>f(4) =1,5\cdot 4 -4</math> <br /> <math>2 =6 -4</math> &nbsp;&nbsp; Die Funktion f liefert für den x-Wert <math>x = 4</math> den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.  
# <math>f(4) =1,5\cdot 4 -4</math> <br /> <math>2 =6 -4</math> &nbsp;&nbsp; Die Funktion f liefert für den x-Wert <math>x = 4</math> den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.  
# Schnittpunkt mit der y-Achse: <math>(0|-4) </math> <br /> Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): <br /><math>1,5x -4 = 0</math> <math>\Leftrightarrow 1,5x = 4</math> <math>\Leftrightarrow  x = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} </math> <math>= 2,6666... </math> <math>= 2,\overline{6} </math> Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: <math>(2,\overline{6} | 0) </math>
# Schnittpunkt mit der y-Achse: <math>(0|-4) </math> <br /> Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): <br /><math>1,5x -4 = 0</math> <math>\Leftrightarrow 1,5x = 4</math> <math>\Leftrightarrow  x = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} </math> <math>= 2,6666... </math> <math>= 2,\overline{6} </math> Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: <math>(2,\overline{6} | 0) </math>
# Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor <math>m=1,5</math> wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt <math>b=0</math>: <math> g(x) =1,5 x </math>
# Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor <math>m=1,5</math> wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt <math>b=0</math>:&nbsp; &nbsp; <math> g(x) =1,5 x </math>
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# <math>f(-2) = -2 +1 = -1 </math> Der Punkt P liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.  
# <math>f(-2) = -2 +1 = -1 </math> Der Punkt <math>P(-2|-0,5)</math>  liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.  
# Schnittpunkt mit y-Achse: <math>(0|1) </math> <br /> Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle): <br /><math>x +1 = 0</math> <math>\Leftrightarrow  x = -1 </math> &nbsp; &nbsp; Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet <math>(-1| 0) </math>
# Schnittpunkt mit y-Achse: <math>(0|1) </math> <br /> Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle): <br /><math>x +1 = 0</math> <math>\Leftrightarrow  x = -1 </math> &nbsp; &nbsp; Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet <math>(-1| 0) </math>
# Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor <math>m=1</math>, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b: <br /> <math>g(x) = x + b </math> <br /> <math> g(-2) = -2 + b = -0,5 \Rightarrow b= 1,5 </math> <br />Die Gerade g hat die Gleichung <math> g(x) =x  +1,5 </math>
# Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor <math>m=1</math>, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b: <br /> <math>g(x) = x + b </math> <br /> <math> g(-2) = -2 + b = -0,5 \Rightarrow b= 1,5 </math> <br />Die Gerade g hat die Gleichung <math> g(x) =x  +1,5 </math>
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Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte <math> P(x_P|y_P) </math> und <math> Q(x_Q|y_Q) </math> geht: <math> \boldsymbol{m = \frac{Delta y}{Delta x} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q -x_P}} </math>
Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte <math> P(x_P|y_P) </math> und <math> Q(x_Q|y_Q) </math> geht: <math> \boldsymbol{m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q -x_P}} </math>


<math>x_P=2 </math> <math>x_Q=3 </math> <math>\Delta x = x_Q - x_P = 3 - 2 = 1</math>
<math>x_P=2 </math> <math>x_Q=3 </math> <math>\Delta x = x_Q - x_P = 3 - 2 = 1</math>
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<math>y_P=3 </math> <math>y_Q=5 </math> <math>\Delta y = y_Q - y_P = 5 -3 = 2</math>  
<math>y_P=3 </math> <math>y_Q=5 </math> <math>\Delta y = y_Q - y_P = 5 -3 = 2</math>  


<math> m = \frac{Delta y}{Delta x} = \frac{2}{1} = 2 </math>
<math> m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{1} = 2 </math>


Zwischenergebnis: <math>f(x) =2 x + b </math>
Zwischenergebnis: <math>f(x) =2 x + b </math>
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Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von <math>P(2|3)</math>:
Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von <math>P(2|3)</math>:


<math> f(2) = 2 \cdot 2 + b </math> <math> \Leftrightarrow 3 = 4 + b </math> <math> \Leftrightarrow b= -1 </math>
&nbsp; &nbsp; <math> f(2) = 2 \cdot 2 + b </math> <br /><math> \Leftrightarrow 3 = 4 + b </math> <br /><math> \Leftrightarrow b= -1 </math>


Ergebnis: <math> f(x) = 2x  -1 </math>
Ergebnis: <math> f(x) = 2x  -1 </math>

Version vom 26. Februar 2026, 13:44 Uhr



1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade f(x)=1,5x−4 f und der Punkt P(4|2).

  1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
  2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
  3. Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden g an, die zur Geraden f parallel verläuft.
  1. f(4)=1,5⋅4−4
    2=6−4    Die Funktion f liefert für den x-Wert x=4 den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.
  2. Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|−4)
    Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
    1,5x−4=0 ⇔1,5x=4 ⇔x=4⋅23=83 =2,6666... =2,6‾ Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: (2,6‾|0)
  3. Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor m=1,5 wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt b=0:    g(x)=1,5x


2. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P

Gegeben sind die Gerade f(x)=x+1 und der Punkt P(−2|−0,5).

  1. Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
  2. Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
  3. Bestimme die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden f parallel verläuft und durch den Punkt P geht.
  1. f(−2)=−2+1=−1 Der Punkt P(−2|−0,5) liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.
  2. Schnittpunkt mit y-Achse: (0|1)
    Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle):
    x+1=0 ⇔x=−1     Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet (−1|0)
  3. Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor m=1, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b:
    g(x)=x+b
    g(−2)=−2+b=−0,5⇒b=1,5
    Die Gerade g hat die Gleichung g(x)=x+1,5


3. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte P(2|3) und Q(3|5) geht.

Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte P(xP|yP) und Q(xQ|yQ) geht: m=ΔyΔx=yQ−yPxQ−xP

xP=2 xQ=3 Δx=xQ−xP=3−2=1

yP=3 yQ=5 Δy=yQ−yP=5−3=2

m=ΔyΔx=21=2

Zwischenergebnis: f(x)=2x+b

Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von P(2|3):

    f(2)=2⋅2+b
⇔3=4+b
⇔b=−1

Ergebnis: f(x)=2x−1


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