Benutzer:JannisMika/ Satz des Pythagoras

Lernziele

Das solltest du mitbringen:

• Wie quadriert man eine Zahl?

• Was bedeutet es eine Zahl zu quadrieren? (Mit Bezug zu Quadraten)

• Wie zieht man die Wurzel aus einer Zahl?

• Was bedeutet es eine Wurzel aus einer Zahl zu ziehen? (Mit Bezug zu Quadraten)

• Was ist ein rechter Winkel?

Das solltest du am Ende des Lernpfads wissen:

• Wie lautet der Satz des Pythagoras und was ist die Voraussetzung für seine Gültigkeit?

• Wie stellt man den Satz des Pythagoras für ein gegebenes Dreieck auf?

• Wie kann man mit dem Satz des Pythagoras fehlende Seitenlängen berechnen?

Wiederholung

Im Matheunterricht in den letzten habt ihr schon gelernt, wie man Zahlen quadriert.

So heißt zum Beispiel x² = x*x und somit ist 4² = 4*4 = 16.

Aufgabe

Kannst du das auch noch? Berechne in deinem Heft: 2², 10², 8², 1².

Außerdem habt ihr gelernt, was es heißt von einer Zahl die Wurzel zu ziehen.

Denn ist 4² = 16, so ist die Wurzel aus 16 gleich 4.

Aufgabe

Berechne in deinem Heft die Wurzeln von: 36, 81, 49.

Anschaulich kann man sich das gut an einem Quadrat vorstellen. Hat das Quadrat die Seitenlänge b ist sein Flächeninhalt b². Gleichbedeutend ist die Wurzel aus dem Flächeninhalt die Seitenlänge des Quadrats.

Das darfst du nun an folgender Aufgabe üben:

Herleitung

Hier findest du eine Animation. In deren Mitte siehst du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C. An jeder Seite ist ein Quadrat, das jeweils genau die Seitenlänge von der Seite des Dreiecks hat. Die Eckpunkte des Dreiecks kannst du in der Animation verschieben und so die Seitenlängen des Dreiecks bzw. so auch die Seitenlängen der drei Quadrate verändern. Probiere es aus!

Vielleicht ist dir beim Verschieben der Punkte A, B und C schon ein Zusammenhang von mehreren Werten in der Animation aufgefallen aufgefallen. Wenn nicht, verschiebe nochmal die Punkte und achte darauf, ob dir nun ein Zusammenhang auffällt.

Betrachte vor allem die Flächinhalte der Quadrate. Hier springt die bestimmt eine Auffälligkeit ins Auge.

Beschreibe den Zusammenhang, den du gefunden hast, mit deinen eigenen Worten in deinem Heft.

Versuche eine Formel für den Zusammenhang zu finden. Beachte dabei, wie wir die Seiten in einem Dreieck benennen und notiere dir auch deine vermutete Formel.

Die Seite, die gegenüber von der Ecke A liegt, nennen wir a. Dementsprechend heißt die Seite, die gegenüber von B liegt...

Du erhältst hier eine sehr bekannte Formel aus der Mathematik, die du vielleicht sogar schon mal gehört hast.

Wenn du die Seiten benannt hast, erinnere dich, wie du in Abhängigkeit von einer Seite, den Flächeninhalt eines Quadrates angeben kannst. (Das kennst du schon aus der Wiederholungsaufgabe.)

Du erhältst hier eine sehr bekannte Formel aus der Mathematik, die du vielleicht sogar schon mal gehört hast.

Lösung verbergen

Rechtwinklige Dreiecke

Übernehme folgende Informationen und das Bild in dein Merkheft.

Merke

Die Hypotenuse ist die größte Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt immer gegenüber des rechten Winkels.

Die Katheten sind die zwei kleinsten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegen immer an dem rechten Winkel.

Aufgabe

Zeichne weitere verschiedene rechtwinklige Dreiecke in dein Heft und beschrifte am Ende die Seiten passend mit Kathete und Hypotenuse.

Was hat das mit Pythagoras zu tun?

Die hast soeben die Begriffe Kathete und Hypotenuse kennengelernt.

Was haben diese Begriffe mit dem Satz des Pythagoras zu tun?

Beim Satz des Pythagoras nimmst du die Flächeninhalte beider Kathetenquadrate uns addierst sie. Diese Summe ist genauso groß wie die der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.

Merke

Als Formel: Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²

Beispiel: 9 + 16 = 25

Du hast nun kennengelernt, was die Hypotenuse und die Katheten mit mit dem Satz des Pythagoras zu tun haben.

Merksatz

Du hast nun den Satz des Pythagoras kennengelernt. Suche dir nun einen der drei folgenden Merksätze auf und vervollständige ihn. Dabei darfst du selbst entscheiden, ob du den Merksatz auf Bundesliga-Niveau, auf Championsleague-Nivau oder auf Weltmeister-Niveau wählst.

Aufgabe

Übertrage den jeweiligen Merksatz nach dem Ausfüllen in dein Heft.

Bundesliga-Niveau

Championsleague-Niveau

Weltmeister-Niveau

Schon fit, so weit verstanden? Zum Vertiefen und Wiederholen kannst du dir das folgende Video anschauen. Darin siehst du auch schon ein Beispiel für eine Rechnung, in der wir den Satz des Pythagoras später verwenden können.

Für Schnelle: Ein Beweis vom Satz des Pythagoras

Wenn du bisher gut mit dem Satz des Pythagoras zurecht gekommen bist, kannst du dich hier an einem Beweis probieren.

Auf der rechten Seite siehst du eine Grafik, die dir einen Ansatz zu einem Beweis vom Satz des Pythagoras liefert. Du hast schon direkt eine Idee? Dann probiere es ruhig selbst!

Ansonsten findest du hier eine Reihe von Tipps, die dich zum Beweis führt. Betrachte den nächsten Tipp immer erst dann, wenn du nicht mehr weiterkommst und schreibe deine Schritte in dein Heft unter der Überschrift "Ein Beweis vom Satz des Pythagoras"

Tipp 1

Drücke die gesamte Fläche des großen Quadrats auf zwei verschiedene Arten aus und setze dies gleich (=).

Tipp 2

Beschreibe das große Quadrat einmal einfach mit seiner Seitenlänge (a+b) und einmal durch die Summe aus dem kleineren, violetten Quadrat in der Mitte (c²) sowie aus den vier kleineren, orangenen Dreiecke. Zur Erinnerung: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist Grundseite * Höhe * 1/2)

Tipp 3

Du siehst nun eine Gleichung vor dir. Auf der linken Seite steht der eine Weg, um das große Quadrat zu beschreiben, auf der rechten Seite der andere. Vereinfache diese Gleichung.

Tipp 4

Wende auf der einen Seite die binomische Formel an und verrechne auf der anderen Seite die Zahlen zur Beschreibung der Dreiecke miteinander.

Tipp 5

Was fällt dir auf? Was kannst du "rausstreichen"?

Tipp 6

Auf beiden Seiten steht der gleiche Summand, nämlich 2ab. Diesen können wir also streichen. Zurück bleibt unserer gesuchte Formel.

Alles klar? Zur Festigung oder zum Verstehen darfst du dir nun folgendes Video anschauen, das dir dabei helfen kann, den Beweis (noch besser) zu verstehen und dir den Satz des Pythagoras zu behalten.

Übungsaufgaben

Beachte

Damit du den Satz des Pythagoras anwenden kannst, müssen die Seiten nicht a, b und c heißen. Überlege dir immer, was die Hypotenuse ist.

Übung 1.1

Bearbeite das Quiz. Übernehme anschließend die Dreiecke in dein Heft und schreibe den passenden Satz des Pythagoras dazu.

Zu gegebenen Dreiecken Pythagoras aufstellen

Übung 1.2

Wiederhole das Aufstellen vom Satz des Pythagoras sowie die Begriffe Hypotenuse und Katheten in folgendem Quiz.

Fehlende Seitenlänge berechnen

Jetzt musst du rechnen. Du darfst entscheiden, ob du es schriftlich oder per Quiz machst.

Übung 2

a) Gegeben ist sind Katheten a=3cm und b=4cm. Wie groß ist die Hypotenuse c?

b) Gegeben sind die Kathete d=6cm und die Hypotenuse e=10cm. Wie groß ist die andere Kathete f?

c) Gegeben sind die Katheten g=3,5cm und h=7,2cm. Wie groß ist die Hypotenuse i?

d) Gegeben sind die Kathete j=9cm und die Hypotenuse k=15cm. Wie groß ist die andere Kathete l?

e) Gegeben sind die Kathete m=4cm und die Hypotenuse n=9,5cm. Wie groß ist die andere Kathete o?

Quiz

Ist das Dreieck rechtwinklig?

Übung 3

Hier ist deine Aufgabe, zu überprüfen, ob ein Dreieck mit drei bekannten Seitenlängen rechtwinklig ist.

Dafür musst du die Seitenlängen sinnvoll (Was ist die Hypotenuse?) in den Satz des Pythagoras einsetzen.

Die zu überprüfenden Dreiecke haben folgende Seitenlängen:

A) 3cm, 5cm, 4cm

B) 14cm, 11cm, 21cm

C) 1m, 80cm, 60cm

D) 5dm, 17dm, 18dm

Anwendungsaufgaben

Die Aufgaben musst du schriftlich rechnen. Du darfst eine Skizze und einen Taschenrechner verwenden. Manche Ergebnisse musst du auf zwei Nachkommastellen runden.

Übung 4.1

Um auf das Dach einer Garage zu klettern, lehnst du eine Leiter an. Die Leiter ist 10m lang. Da der Boden davor leicht abschüssig ist, hat sie am Fußende einen Abstand von 4,5m zur Wand. Wie hoch reicht die Leiter?

Übung 4.2

Du möchtest eine Leinwand kaufen. Sie darf 200cm breit und 90cm hoch sein. Welche Bildschirmgröße hat die Leinwand (die Diagonale)?

Übung 4.3

In der Schule sollst du ein rechtwinkliges Dreieck aus Holz bauen. Die größte Seite ist 23cm und die andere ist 45cm groß. Wie groß ist die andere Seite?