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Benutzer:Yüksel/Wendestellen: Unterschied zwischen den Versionen

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Einstieg:
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https://www.youtube.com/watch?v=RFI22jKgBNY[[Datei:Straße.png|Erstellt mit ChatGPT|mini|945x945px|zentriert]]
https://www.youtube.com/watch?v=RFI22jKgBNY
[[Datei:Straße Fertig.png|zentriert|mini|569x569px]]




=Wendepunkte=
=Wendepunkte=
Definition Wendepunkte
 
==Station 1: Wie bestimmt man eine Rechts-, oder Linkskrümmung?==
==Station 1: Wie bestimmt man eine Rechts-, oder Linkskrümmung?==
Beschreibe das Krümmungsverhalten des Graphen in mathematischen Worten. Nutze hierfür die Intervallschreibweise (so wie wir es auch beim Monotonieverhalten getan haben.
{{Box|Aufgabe 1:|Beschreibe das Krümmungsverhalten des Graphen in mathematischen Worten. Nutze hierfür die Intervallschreibweise, so wie wir es auch beim Monotonieverhalten getan haben.|.
}}
 
[[Datei:Sin Funktion.png|mini|347x347px|Erstellt mit GeoGebra.org|alternativtext=Graph 1|zentriert]][[Datei:Image12.png|mini|399x399px|Erstellt mit GeoGebra.org|zentriert]]
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{{Lösung versteckt|Tipp 1 (zum Krümmungsverhalten):
Die Kurve ist "rechtsgekrümmt", wenn das Auto auf der Straße eine Rechtskurve fährt.
Die Kurve ist "linksgekrümmt", wenn das Auto auf der Straße eine Linkskurve fährt.|Tipp 1 (zum Krümmungsverhalten) Ausklappen|Tipp 1 Einklappen
}}{{Lösung versteckt|Tipp 2 (zur Intervallschreibweise):
Betrachte den Abschnitt auf der X-Achse.
Beispiel:
<nowiki>Geht der Abschnitt von x = -3 bis x = 7</nowiki>
Dann lautet das Intervall
I [ - 3 ; 7 ]|Tipp 2 (zur Inttervallschreibweise) Ausklappen |Tipp 2 Einklappen
}}{{Lösung versteckt|] -unendlich ; -2]: Rechtskrümmung
[ -2; -1 ]: Linkskrümmung
[ -1; 0 ]: Rechtskrümmung
[ 0; 1 ]: Linkskrümmung
[ 1; 2 ]: Rechtskrümmung
[ 2; 3 ]: Linkskrümmung
[ 3; unendlich]: Rechtskrümmung|Lösung zu Graph 1 ausklappen|Lösug zu Graph 1 einklappen}}{{Lösung versteckt|] -unendlich ; 0]: Rechtskrümmung
[ 0; unendlich]: Linkskrümmung|Lösung zu Graph 2 ausklappen|Lösug zu Graph 2 einklappen}}
{{Box|Aufgabe 2:|Beschreibe deinen Lösungsweg so genau, dass fehlende Mitschülerinnen und Mitschüler die Station alleine nachvollziehen können.|.
}}
==Station 2: Wie bestimmt man einen Wendepunkt?==
{{Box|Aufgabe 1:|Schaue dir die Graphen aus Station 1 erneut an. Nenne anschließend die Koordinaten der Wendepunkte.|.
}}{{Lösung versteckt|Tipp 1: Punkte im Koordinatensystem angeben
Einen Punkt im Koordinatensystem gibt man wie folgt an: P( x / y )|Tipp 1 Ausklappen|Tipp 1 Einklappen
}}{{Lösung versteckt|Wendepunkt1 (-2/1)
 
WP2 (-1/1)
 
WP3 (0/1)
 
WP4 (1/1)
 
WP5 (2/1)
 
WP6 (3/1)|Lösung ausklappen|Lösug einklappen}}{{Box|Aufgabe 2:|Beschreibe deinen Lösungsweg so genau, dass fehlende Mitschülerinnen und Mitschüler die Station alleine nachvollziehen können.|.
}}
 
== Station 3: Was benötigt man für die Berechnung von Wendepunkten und dem Krümmungsverhalten? ==
{{Box|Aufgabe 1:|a) Beschreibe die Steigung (1.Ableitung) am Wendepunkt, im Vergleich zu anderen Stellen des Graphen.
b) Nenne, wie viele Ableitungen man benötigt, um Extremstellen zu berechnen.
c) Beschreibe nun, wie viele Ableitungen man benötigt, um Wendestellen zu berechnen.|.
}}Hilfe: Betrachte die beiden Graphen. Welchen Zusammenhang kannst du zwischen der zweiten Ableitung f´´(x) und der Ausgangsfunktion f(x) feststellen?
[[Datei:Herleitung Wendestellen.png|mini|908x908px|Herleitung Wendepunkte|zentriert]]
{{Lösung versteckt|Die Steigung ist am Wendepunkt am größten.|Lösung zu a) Ausklappen|Lösung zu a) Einklappen
}}{{Lösung versteckt|Für die Extremwertbestimmung benötigt man die 1. und 2. Ableitung.|Lösung zu b) Ausklappen|Lösung zu b) Einklappen
}}{{Lösung versteckt|Da am Wendepunkt die Steigung am größten ist, benötigt man die Extremstelle der 1. Ableitung.
Da man für die Extremstellen die ersten beiden Ableitungen benötigt, benötigt man bei Wendepunkten die 2. und 3. Ableitung.|Lösung zu c) Ausklappen|Lösung zu c) Einklappen
}}{{Box|Aufgabe 2:|Beschreibe deinen Lösungsweg so genau, dass fehlende Mitschülerinnen und Mitschüler die Station alleine nachvollziehen können.|.
}}
 
== Station 4: Wie berechnet man Wendepunkte und das Krümmungsverhalten? ==
{{Box|Vorgehen bei Berechnung von Wendestellen:|1. Ausgangsfunktion 𝑓(𝑥) drei Mal ableiten: f'(x), f''(x) und f'''(x).
 
2. 𝑓´´<nowiki>(𝑥) = 0 setzen und Nullstellen bestimmen.</nowiki>
 
3. Nullstellen 𝑥1, 𝑥2,… von 𝑓''(𝑥) in f´´´(x) einsetzen. Wenn:
    f^''' (x)<0⇒ Links-Rechts-Wendepunkt
    f^''' (x)>0⇒ Rechts-Links-Wendepunkt
4. Passenden y-Wert bestimmen, indem man die Nullstellen in f(x) einsetzt.
5. Wendepunkt angeben.|.
}}{{Box|Übungsaufgaben|<nowiki>a) f(x) = x^3 – 3 x^2</nowiki>
 
<nowiki>b) f(x) = 1/2 x^3 – 3/2 x^2</nowiki>
 
<nowiki>c) f(x) = 1/30 x^4 – 4/5 x^2</nowiki>
 
<nowiki>d) f(x) = 1/3 x^3 – 3x </nowiki>|.
}}{{Lösung versteckt|Gehe auf die Seite: www.geogebra.org
und tippe dort die Funktionsgleichung ein, um dein Ergebnis zu überprüfen.|Tipp 1 Ausklappen|Tipp 1 Einklappen
}}{{Box|Aufgabe 2:|Beschreibe deinen Lösungsweg so genau, dass fehlende Mitschülerinnen und Mitschüler die Station alleine nachvollziehen können.|.
}}
 
== Station 5: Wie löst man entsprechende Anwendungsaufgaben? ==
{{Box|Aufgabe 1:|Ein Ingenieurbüro plant eine Rallye-Teststrecke. Der Verlauf der Strecke kann in einem Koordinatensystem durch die Funktion
<nowiki>f(x)=0,5 x^3 − 3 x^2 + 4,5x + 2</nowiki>
<nowiki>f(x)=0,5 x^3 − 3 x^2 + 4,5x + 2</nowiki>
 
beschrieben werden.
Aufgaben:
 
a) Bestimme die Wendepunkte der Funktion.


[[Datei:Sin Funktion.png|mini|347x347px|Erstellt mit GeoGebra|zentriert]]
b) Untersuche, in welchen Intervallen der Graph linksgekrümmt und in welchen Intervallen er rechtsgekrümmt ist.


[[Datei:Image12.png|mini|399x399px|Erstellt mit GeoGebra.org|zentriert]]{{Lösung versteckt|P1(x/y), P2(x/y), P3(x/y), P4(x/y), P5(x/y), P6(x/y)}}
c) Erkläre, welche Bedeutung die Krümmungswechsel für die Streckenplanung haben könnten.|.
==Station 2:==
}}{{Box|Aufgabe 2:|Beschreibe deinen Lösungsweg so genau, dass fehlende Mitschülerinnen und Mitschüler die Station alleine nachvollziehen können.|.
}}

Aktuelle Version vom 7. Mai 2026, 07:30 Uhr

Einstieg:

https://www.youtube.com/watch?v=RFI22jKgBNY


Wendepunkte

Station 1: Wie bestimmt man eine Rechts-, oder Linkskrümmung?

Aufgabe 1:
Beschreibe das Krümmungsverhalten des Graphen in mathematischen Worten. Nutze hierfür die Intervallschreibweise, so wie wir es auch beim Monotonieverhalten getan haben.
Graph 1
Erstellt mit GeoGebra.org
Erstellt mit GeoGebra.org

Tipp 1 (zum Krümmungsverhalten): Die Kurve ist "rechtsgekrümmt", wenn das Auto auf der Straße eine Rechtskurve fährt.

Die Kurve ist "linksgekrümmt", wenn das Auto auf der Straße eine Linkskurve fährt.

Tipp 2 (zur Intervallschreibweise): Betrachte den Abschnitt auf der X-Achse. Beispiel: Geht der Abschnitt von x = -3 bis x = 7 Dann lautet das Intervall

I [ - 3 ; 7 ]

] -unendlich ; -2]: Rechtskrümmung [ -2; -1 ]: Linkskrümmung [ -1; 0 ]: Rechtskrümmung [ 0; 1 ]: Linkskrümmung [ 1; 2 ]: Rechtskrümmung [ 2; 3 ]: Linkskrümmung

[ 3; unendlich]: Rechtskrümmung

] -unendlich ; 0]: Rechtskrümmung

[ 0; unendlich]: Linkskrümmung

Aufgabe 2:
Beschreibe deinen Lösungsweg so genau, dass fehlende Mitschülerinnen und Mitschüler die Station alleine nachvollziehen können.

Station 2: Wie bestimmt man einen Wendepunkt?

Aufgabe 1:
Schaue dir die Graphen aus Station 1 erneut an. Nenne anschließend die Koordinaten der Wendepunkte.

Tipp 1: Punkte im Koordinatensystem angeben

Einen Punkt im Koordinatensystem gibt man wie folgt an: P( x / y )

Wendepunkt1 (-2/1)

WP2 (-1/1)

WP3 (0/1)

WP4 (1/1)

WP5 (2/1)

WP6 (3/1)

Aufgabe 2:
Beschreibe deinen Lösungsweg so genau, dass fehlende Mitschülerinnen und Mitschüler die Station alleine nachvollziehen können.

Station 3: Was benötigt man für die Berechnung von Wendepunkten und dem Krümmungsverhalten?

Aufgabe 1:

a) Beschreibe die Steigung (1.Ableitung) am Wendepunkt, im Vergleich zu anderen Stellen des Graphen. b) Nenne, wie viele Ableitungen man benötigt, um Extremstellen zu berechnen.

c) Beschreibe nun, wie viele Ableitungen man benötigt, um Wendestellen zu berechnen.

Hilfe: Betrachte die beiden Graphen. Welchen Zusammenhang kannst du zwischen der zweiten Ableitung f´´(x) und der Ausgangsfunktion f(x) feststellen?

Herleitung Wendepunkte
Die Steigung ist am Wendepunkt am größten.
Für die Extremwertbestimmung benötigt man die 1. und 2. Ableitung.

Da am Wendepunkt die Steigung am größten ist, benötigt man die Extremstelle der 1. Ableitung.

Da man für die Extremstellen die ersten beiden Ableitungen benötigt, benötigt man bei Wendepunkten die 2. und 3. Ableitung.

Aufgabe 2:
Beschreibe deinen Lösungsweg so genau, dass fehlende Mitschülerinnen und Mitschüler die Station alleine nachvollziehen können.

Station 4: Wie berechnet man Wendepunkte und das Krümmungsverhalten?

Vorgehen bei Berechnung von Wendestellen:

1. Ausgangsfunktion 𝑓(𝑥) drei Mal ableiten: f'(x), f(x) und f'(x).

2. 𝑓´´(𝑥) = 0 setzen und Nullstellen bestimmen.

3. Nullstellen 𝑥1, 𝑥2,… von 𝑓(𝑥) in f´´´(x) einsetzen. Wenn: 

   f^ (x)<0⇒ Links-Rechts-Wendepunkt
   f^ (x)>0⇒ Rechts-Links-Wendepunkt

4. Passenden y-Wert bestimmen, indem man die Nullstellen in f(x) einsetzt.

5. Wendepunkt angeben.

Übungsaufgaben

a) f(x) = x^3 – 3 x^2

b) f(x) = 1/2 x^3 – 3/2 x^2

c) f(x) = 1/30 x^4 – 4/5 x^2

d) f(x) = 1/3 x^3 – 3x

Gehe auf die Seite: www.geogebra.org

und tippe dort die Funktionsgleichung ein, um dein Ergebnis zu überprüfen.

Aufgabe 2:
Beschreibe deinen Lösungsweg so genau, dass fehlende Mitschülerinnen und Mitschüler die Station alleine nachvollziehen können.

Station 5: Wie löst man entsprechende Anwendungsaufgaben?

Aufgabe 1:

Ein Ingenieurbüro plant eine Rallye-Teststrecke. Der Verlauf der Strecke kann in einem Koordinatensystem durch die Funktion f(x)=0,5 x^3 − 3 x^2 + 4,5x + 2 f(x)=0,5 x^3 − 3 x^2 + 4,5x + 2

beschrieben werden. Aufgaben:

a) Bestimme die Wendepunkte der Funktion.

b) Untersuche, in welchen Intervallen der Graph linksgekrümmt und in welchen Intervallen er rechtsgekrümmt ist.

c) Erkläre, welche Bedeutung die Krümmungswechsel für die Streckenplanung haben könnten.

Aufgabe 2:
Beschreibe deinen Lösungsweg so genau, dass fehlende Mitschülerinnen und Mitschüler die Station alleine nachvollziehen können.
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