Lernpfad Lineare Funktionen/LF01 Grundwissen

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LF01 Abbildung 1 - Steigungsdreieck

Definitionen

Lineare Funktion

Eine Funktion $f$, deren Funktionsgleichung die Form $\mathit{f}\mathit{(}\mathit{x}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{m}\mathit{x}\mathit{+}\mathit{b}$ hat, heißt lineare Funktion. (Man kann ihren Graph mit einem Lineal zeichnen.)

Steigungsfaktor

Der Faktor $m$ heißt Steigungsfaktor. Man kann daran ablesen, wie steil die Gerade (von links nach rechts betrachtet) ansteigt oder fällt:
$m>0\Rightarrow$   Gerade steigt
$m<0\Rightarrow$   Gerade fällt
$m=0\Rightarrow$   Gerade verläuft waagerecht, also parallel zur x-Achse

y-Achsenabschnitt

Der Summand $b$ heißt y-Achsenabschnitt. Man kann daran ablesen, wo die Gerade die y-Achse schneidet, nämlich im Punkt $(0|b)$.

Formeln

Steigungsfaktor aus zwei Punkten

Wenn die Gerade mit der Gleichung $f(x)=mx+b$ durch die Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ geht, dann kann man ihren Steigungsfaktor $m$ mit der Formel berechnen:
$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$.

Geradengleichung aus zwei Punkten

Nachdem man den Steigungsfaktor $m$ mit der obigen Zwei-Punkte-Formel berechnet hat, setzt man diesen zusammen mit den Koordinaten eines der beiden Punkte in die Gleichung $f(x)=mx+b$ ein und löst anschließend die entstehende Gleichung nach $b$ auf.

Senkrecht zueinander verlaufende Geraden

Zwei Geraden $f$ und $g$ mit den Steigungsfaktoren $m_f$ und $m_g$ verlaufen genau dann senkrecht zu einander, wenn gilt: $m_f\cdot m_g=-1$.

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