Lernpfad Lineare Funktionen/LF04 Aufgaben

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LF04 Abbildung 1

1. Aufgabe - Funktionsgleichung aus Graph ablesen

In der Abbildung LF04 Abbildung 1 sind drei Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt: die Gerade f als durchgezogene Linie, die Gerade g gestrichelt und die Gerade h gepunktet.
Bestimme für jede Gerade die Funktionsgleichung.

Gerade $f$ (durchgezogene Linie)

In der Geradengleichung $f(x)=mx+b$ müssen der Steigungsfaktor $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ bestimmt werden.
y-Achsenabschnitt $b$: Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|-1)$ $\Rightarrow b=-1$
Steigungsfaktor $m$: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt $S_y(0|-1)$ aus 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben gehen, um wieder auf die Gerade $f$ zu stoßen. $m=\frac{2}{3}$
Ergebnis: $f(x)=\frac{2}{3}x-1$

Gerade $g$ (gestrichelte Linie)

schneidet die y-Achse im Punkt $(0|2)$ $\Rightarrow b=2$
Steigungsfaktor $m$: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt $S_y(0|2)$ aus 3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten gehen, um wieder auf die Gerade $g$ zu stoßen. Daher ist $m=-\frac{1}{3}$
Ergebnis: $g(x)=-\frac{1}{3}x+2$

Gerade $h$ (gepunktete Linie)

schneidet die y-Achse im Punkt $S_y(0|3)$ und verläuft parallel zur x-Achse, besitzt also den Steigungsfaktor 0. Einsetzen in die Funktionsgleichung von $h$ ergibt $h(x)=0\cdot x+3$.
Ergebnis: $h(x)=3$

Versuche, die folgenden Aufgaben erst einmal rein rechnerisch und ohne die Abbildung LF04 Abbildung 1 zu lösen. Diese kannst du aber im Anschluss zur Kontrolle nutzen.

2. Aufgabe - Punktprobe

Gegeben sind die Gerade $f(x)=\frac{2}{3}x-1$ und die Punkte $P(-3|3)$ und $Q(6|3)$. Stelle rechnerisch für jeden der beiden Punkte fest, ob er auf der gegebenen Geraden liegt. Wenn das nicht der Fall ist, überprüfe, ob er oberhalb oder unterhalb der Geraden liegt.

Punktprobe für Punkt $P(-3|3)$:

$f(-3)=\frac{2}{3}\cdot (-3)-1=-3$ Der Punkt $P(-3|3)$ liegt 6 Einheiten oberhalb der Geraden $f$.

Punktprobe für Punkt $Q(6|3)$:

$f(6)=\frac{2}{3}\cdot 6-1=3$ Der Punkt $Q(6|3)$ liegt genau auf der Geraden $f$.

3. Aufgabe - fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Geraden

Die Punkte $R(-3|?)$ und $T(?|2?)$ liegen auf der Geraden $f(x)=\frac{2}{3}x-1$. Bestimme rechnerisch die y-Koordinate von $R$ und die x-Koordinate von $T$.

Um die y-Koordinate des Punktes $R$ zu bestimmen, setzt man seine x-Koordinate in $f$ ein:
$y_R=\frac{2}{3}\cdot (-3)-1$ $=-2-1=-3$
Ergebnis: Die y-Koordinate von $R$ hat den Wert   $-3$, also $R(-3|-3)$

Um die x-Koordinate des Punktes $T$ zu bestimmen, setzt man seine y-Koordinate in $f$ ein:
$2=\frac{2}{3}x-1$
$3=\frac{2}{3}x$
$4,5=x$
Ergebnis: Die x-Koordinate von $T$ hat den Wert 4,5 , also $T(4,5|2)$

4. Aufgabe - Gleichung einer Parallelen durch gegebenen Punkt

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden $g$, die zu der Geraden $f(x)=\frac{2}{3}x-1$ parallel verläuft und durch den Punkt $P(-3|3)$ geht.

In der Gleichung $g(x)=mx+b$ sind der Steigungsfaktor $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen.
Wegen der Parallelität zu $f$ besitzt $g$ den gleichen Steigungsfaktor, also $m=\frac{2}{3}$
Zwischenergebnis: $g(x)=\frac{2}{3}x+b$
Um den y-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen, kann man die Koordinaten des Punktes $P(-3|3)$ in diese Gleichung einsetzen:
    $g(-3)=\frac{2}{3}\cdot (-3)+b$
$\Rightarrow 3=-3+b$
$\Rightarrow 6=b$
Ergebnis: $g(x)=-\frac{2}{3}x+6$

5. Aufgabe - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen / Nullstellen

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der beiden Geraden $f(x)=\frac{2}{3}x-1$, $g(x)=-\frac{1}{3}x+2$ und $h(x)=3$ mit den Koordinatenachsen.

Schnittpunkte mit der y-Achse

Alle Punkte auf der y-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre x-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der y-Achse: In der Funktionsgleichung $x=0$ setzen.

$f(x)=\frac{2}{3}x-1$
$f(0)=\frac{2}{3}\cdot 0-1$
$f(0)=-1$
Ergebnis: Die Gerade $f$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0|-1)$.

$g(x)=-\frac{1}{3}x+2$
$g(0)=-\frac{1}{3}\cdot 0+2$
$g(0)=2$
Ergebnis: Die Gerade $g$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0|2)$.

$h(x)=3$   $\Rightarrow h(0)=3$
Ergebnis: Die Gerade $h$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0|3)$.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Alle Punkte auf der x-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre y-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der x-Achse (und damit zugleich zur Berechnung der Nullstellen): In der Funktionsgleichung $f(x)=0$ setzen.

$f(x)=\frac{2}{3}x-1$
$0=\frac{2}{3}x-1$
$1=\frac{2}{3}\cdot x$
$1,5=x$
Ergebnis: Die Gerade $f$ scheidet die x-Achse im Punkt $(1,5|0)$.

$g(x)=-\frac{1}{3}x+2$
$0=-\frac{1}{3}x+2$
$-2=-\frac{1}{3}\cdot x$
$6=x$
Ergebnis: Die Gerade $g$ scheidet die x-Achse im Punkt $(6|0)$.

Es ist $h(x)=3$ für alle x-Werte. Anschaulich ist klar, dass eine Parallele zur x-Achse, die oberhalb dieser Achse verläuft, keinen Schnittpunkt mit ihr haben kann. Rechnerisch drückt sich das so aus: Wenn man den y-Wert 0 für $h(x)$ in diese Gleichung einsetzt, dann erhält man mit $0=3$ eine falsche Aussage. Das bedeutet: Es gibt kein $x$, für das $h(x)=0$ ist und damit auch keinen Schnittpunkt der Geraden $h$ mit der x-Achse.

6. Aufgabe - Gerade durch Punkte P und Q

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden h, die durch die Punkte $P(-3|3)$ und $Q(6|3)$ geht.

Die Formel für den Steigungsfaktor $m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$ gilt unabhängig davon, ob der Punkt $Q$ im Koordinatensystem links oder rechts von $P$ liegt.

$m=\frac{3-3}{6-(-3)}=\frac{0}{9}=0$

Zwischenlösung: $h(x)=0\cdot x+b$, also $h(x)=b$

Beispielsweise $Q(6|3)$ einsetzen ($P$ ginge ebenso):

$h(6)=b$ $\Rightarrow 3=b$

Ergebnis: $h(x)=3$

7. Aufgabe - Zueinander senkrecht verlaufende Geraden

Überprüfe rechnerisch, ob die beiden Geraden $f(x)=\frac{2}{3}x-1$ und $g(x)=-\frac{1}{3}x+2$ senkrecht zu einander verlaufen.

Zwei Geraden $g$ und $f$ verlaufen genau dann senkrecht zu einander, wenn für ihre Steigungen $m_g$ und $m_f$ die Formel gilt: $m_g=-\frac{1}{m_f}$.

Durch Multiplikation mit $m_f$ auf beiden Seiten der Gleichung erhält man: $m_g\cdot m_f=-1$. In Worten: Zwei Geraden verlaufen genau dann senkrecht zu einander, wenn das Produkt ihrer Steigungsfaktoren gleich -1 ist.

$m_g\cdot m_f=-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}$ $=-\frac{2}{9}=-1$

Ergebnis: Die Geraden $f$ und $g$ verlaufen nicht senkrecht zueinander.

8. Aufgabe - Schnittpunkt zweier Geraden

Bestimme rechnerisch den Schnittpunkt der beiden Geraden $f(x)=\frac{2}{3}x-1$ und $g(x)=-\frac{1}{3}x+2$.

Ansatz: Funktionsterme von $f$ und $g$ gleichsetzen: $f(x)=g(x)$.

$f(x)=g(x)$

$\frac{2}{3}x-1=-\frac{1}{3}x+2$

$\iff \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}x=2+1$

$\iff x=3$ (x-Koordinate des Schnittpunkts)

$f(3)=\frac{2}{3}\cdot 3-1=1$ (y-Koordinate des Schnittpunkts)

Ergebnis: Die Geraden $f$ und $g$ schneiden sich im Punkt $S(3|1)$.

9. Aufgabe - Überprüfen, ob drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen

Überprüfe rechnerisch, ob die drei Punkte $P(-3|3)$, $N(6|0)$ und $S(3|1)$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen..

Ansatz: Aus zwei der drei gegebenen Punkte eine Geradengleichung aufstellen, dann Punktprobe mit dem dritten Punkt.

Man kann z.B. zuerst die Gleichung derjenigen Geraden $i$ aufstellen, die durch die Punkte $P(-3|3)$ und $N(6|0)$ geht.

$m=\frac{0-3}{6-(-3)}=\frac{-3}{9}=-\frac{1}{3}$

Zwischenergebnis: $i(x)=-\frac{1}{3}x+b$

Koordinaten z.B. von $N(6|0)$ einsetzen:

$0=-\frac{1}{3}\cdot 6+b$

$0=-2+b$

Ergebnis: $i(x)=-\frac{1}{3}x+2$ Die Gerade $i$ entspricht der Geraden $g$ in den vorangegangenen Aufgaben.

Anschließend macht man für diese Gerade die Punktprobe mit dem dritten Punkt $S(3|1)$, indem man seine Koordinaten in $i$ einsetzt:

$i(x)=-\frac{1}{3}x+2$

$1=-\frac{1}{3}\cdot 3+2$

$1=-1+2$

$1=1$

Dies ist eine wahre Aussage. Daher liegt auch der dritte Punkt $S$ auf derjenigen Geraden $i$, die durch die Punkte $P$ und $N$ geht.

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