Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt

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Inkreis

Im vorherigen Kapitel hast du dich mit den Eigenschaften der Winkelhalbierenden auseinandergesetzt und den Standort für den Springbrunnen ermittelt.
Das ist super!

Wir können nun Schlussfolgern, dass sich die Winkelhalbierenden der drei Wegstrecken in einem Punkt schneiden.

Dieser Punkt, an dem der Springbrunnen platziert wird, nennt man Inkreismittelpunkt.
Wie der Name schon verrät, ist dies der Mittelpunkt des Inkreises.
Der folgende Merksatz erklärt dir, was genau der Inkreis ist.

Definition

Merke

Der Inkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der alle Seiten des Dreiecks berührt.
Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem Schnittpunkt W der drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks.

Jetzt weißt du, was ein Inkreis ist.
Kehre nun zur gestalteten Rasenfläche in der Parkanlage zurück.
Du möchtest um den Springbrunnen ein kreisförmiges Blumenbeet anlegen, das genau in die dreieckige Rasenfläche passt.

Wo setzt du den Zirkel an?
Wie groß muss der Radius des Blumenbeetes sein, damit er in die dreieckige Rasenfläche passt?

💭+📒 Bevor du Aufgabe 11 bearbeitest, überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

Aufgabe 11

1. Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels das kreisförmige Blumenbeet.

2. Überprüfe anschließend deine Vermutung und markiere sie mit ✔ oder ✘.

📒 Da du den Standort des Springbrunnens bereits bestimmt hast, nutze für die Bearbeitung der Aufgabe die Zeichnung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.

Lage des Inkreismitelpunktes im Dreieck

Du hast den Inkreis in die dreieckige Parkfläche eingezeichnet.
Dabei hast du sicherlich festgestellt, dass der Inkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt.
Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen?

💭+📒 Was vermutest du? Schreibe deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 8.

Gehe diesen Fragen nach und erkunde in der nächsten Aufgabe die Lage des Inkreismittelpunktes in verschiedenen Dreiecken.

Aufgabe 12

Hier geht es nun um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.

1) Zeichne zunächst den Inkreis des Dreiecks ein.

Konstruiere zunächst ein Lot vom Mittelpunkt S auf eine Dreiecksseite. Werkzeug: "Senkrechte Gerade"

Zeichne den Inkreis. Werkzeug: "Kreis mit MP durch Punkt".
Der Mittelpunkt ist S und der Punkt ist der Schnittpunkt der senkrechten Gerade mit einer Dreiecksseite

2) Verändere nun in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die Form des Dreiecks.

• Dabei kannst du den Eckpunkt C langsam nach rechts und nach links verschieben.
  
• Du kannst den Punkt auch nach oben oder nach unten bewegen.
  

Beobachte dabei genau: Was passiert mit dem Inkreis und dem Mittelpunkt?

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.

1. Bleibt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
2. Verändert sich der Radius des Inkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
3. Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksformen (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?
   

5) 📒 Welcher deiner Vermutungen auf Seite 8 im persönlichen Hefter haben sich bestätigt, welche nicht? Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.

Frage 1: Ja, der Inkreismittelpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks. Frage 2: Ja, der Radius verändert sich, wenn sich die Form oder Größe des Dreiecks verändert. Frage 3: Bei unterschiedlichen Dreiecksarten fällt nichts besonderes auf, da der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegt.

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