Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt

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Umkreis

Du hast im vorherigen Kapitel zum Thema "Den Eigenschaften von Mittelsenkrechten auf der Spur" den Standort des Depots ermittelt.
Das Depot hat nun von der Forschungsstation A, B und C die gleiche Entfernung.
Wir können daraus Schlussfolgern, dass sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man Umkreismittelpunkt.

Definition

Merke

Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt M.
Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

Wir kehren zurück zur Aufgabe der Forschungsstationen.
Die Lage in der Antarktis hat sich zugespitzt. Nach einem Stromausfall müssen die drei Stationen nun über ein mobiles Funksystem verbunden werden.
Das Funksignal breitet sich kreisförmig aus.

Der Sendemast soll so stehen, dass alle Stationen am Rand des gleichen Funkkreises liegen. Überlege dir zunächst, welchen Punkt du für den Mittelpunkt des mobilen Funksystem brauchst.

💭+📒 Notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3.

Aufgabe 6

Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels den Funkkreis.

📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter und deine bereits angefertigte Konstruktion für die Standortbestimmung des Depots auf Seite 6.

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Lage des Umkreismittelpunktes im Dreieck

Für den Stromausfall in der Antarktis hast du die drei Forschungsstationen über ein mobiles Funksystem miteinander verbunden. Dafür hast du einen Umkreis konstruiert und den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Sendemast festgelegt.

Überprüfe zunächst deine Vermutung aus Aufgabe 6: War sie richtig?
Markiere sie mit ✔ oder ✘.

Doch jetzt stellt sich eine wichtige Frage: Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen?
Was passiert, wenn sich die Form des Dreiecks verändert?

Gehe diesen Fragen nach und schreibe zunächst deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 3.

Aufgabe 7

Untersuche nun die Lage des Sendemastes genauer.
In dieser Aufgabe geht es um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.

1) Zeichne zunächst den Umkreis des Dreiecks ein.

Nutze das Werkzeug "Kreis mit MP durch Punkt"

2) Verändere in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die Form des Dreiecks.

Gehe dabei wie folgt vor: Klicke auf den Punkt C und bewege ihn langsam.

• nach rechts
• nach links
• nach oben
• nach unten

Beobachte genau, was mit dem Umkreis und dem Mittelpunkt passiert.

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 6.

1. Bleibt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
2. Verändert sich der Radius des Umkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
3. Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksarten (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?
   

5) 📒 Welcher deiner Vermutungen haben sich bestätigt, welche nicht? Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.

Frage 1: Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks. Frage 2: Der Radius des Umkreises kann sich verändern. Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. Frage 3: Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt Spitzwinkliges Dreieck => Innen Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb

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