Zentrische Streckung/Vierstreckensatz

Vorlage:Lernpfad-M

1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung

Zoll ist eine Längeneinheit die im Alltag häufig zu finden ist, z.B. bei Laptops, Computern und Fernsehern.

Um sich die Größe besser vorstellen zu können, soll die Einheit Zoll in Zentimeter umgerechnet werden.

Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:

• die algebraische Berechnung
• oder die geometrische.

Als Bepsiel nehmen wir die Umrechnung von einem 15 Zoll Laptop.

• Finde heraus wie du die Aufgabe algebraisch lösen kannst:

Gegeben: Der Laptop hat einen 15 Zoll Bildschirm. 1 Zoll entspricht 2,54 cm.

Gesucht: Umrechnung von 15 Zoll in cm.

Lösung: Berechne in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!

(Bitte mach ein Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit.)

15 Zoll entsprechen 38,1 cm (Tipp: Berechne mit Hilfe des Dreisatzes).

• Im Folgenden wird dir gezeigt, wie du die Aufgabe geometrisch lösen kannst.

Klicke die Schritte nacheinander an:
1. Schritt: Zeichne zwei Halbgeraden mit gemeinsamen Anfangspunkt Z und trage auf diesen Halbgeraden

die Längen 1 cm und 15 cm ab. Benenne die Endpunkte der Strecken mit A und B.

2. Schritt: Verbinde Punkt A mit Punkt B.
3. Schritt: Trage in Z die Strecke [ZA'] mit ZA' = 2,54 cm ab.
4. Schritt: Zeichne eine Parallele durch A' zu [AB].
5. Schritt: Benenne Schnittpunkt mit B'.
6. Schritt: Miss ZB' ab. Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Die Rechnung die dahinter steckt:

Vorrausgesetzt wird dass die Gerade A'B' zu AB parallel ist. Das Dreieck A'ZB' kann somit als das Bild des Dreiecks AZB (Urbild)

mit dem Streckungszentrum Z aufgefasst werden. Der Punkt A wurde also auf den Punkt A' und Punkt B wurde auf Punkt B' abgebildet.

Aus dem vorherigen Lernpfad wissen wir, dass das Längenverhältnis von Strecken bei einer zentrischen Streckung, wegen der
Eigenschaft der Längenverhältnistreue, gleich ist.

Was bedeutet dies? Eine kleine Wiederholung kann nicht schaden. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:

$\overline{ZA'}$ = |k| ∙ $\overline{ZA}$ $\wedge$ $\overline{ZB'}$ = |k| ∙ $\overline{ZB}$
Aufgelöst nach |k|:
|k| = ${\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}$ $\wedge$ |k| = ${\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}$
Gleichsetzen: ${\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}$ = ${\overline{ZB'}\over\overline{ZB}}$
Einsetzen der Werte ergibt:
${2,54 cm}\over{1 Zoll}$ = ${x cm}\over{15 Zoll}$ $\Rightarrow$ x = 38,1 cm

Prima! Du hast dein Wissen noch einmal aufgefrischt!

Die Formel sagt aus, dass sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden genauso verhalten, wie die Abschnitte auf der anderen

Halbgeraden. Diesen Satz nennt man den ersten Vierstreckensatz. In unserem Beispiel wurden die Schenkel betrachtet,

deshalb wird es auch die Schenkellösung genannt.

2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung

Anhand der Eigenschaft der Längenverhältnisstreue der zentrischen Streckung, kannst du auch hier wieder die geeignete Formel

zur Berechnung der unbekannten Strecke herleiten. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:

$\overline{AA'}$ = |k| ∙ $\overline{ZA}$ - $\overline{ZA}$ $\wedge$ $\overline{BB'}$ = |k| ∙ $\overline{ZB}$ - $\overline{ZB}$
Aufgelöst nach |k|:
|k| = ${\overline{AA'}\over\overline{ZA}}$ - ${\overline{ZA}\over\overline{ZA}}$ $\wedge$ |k| = ${\overline{BB'}\over\overline{ZB}}$ - ${\overline{ZB}\over\overline{ZB}}$
|k| = ${\overline{AA'}\over\overline{ZA}}$ - 1 $\wedge$ |k| = ${\overline{BB'}\over\overline{ZB}}$ - 1
Gleichsetzen:
${\overline{AA'}\over\overline{ZA}}$ - 1 = ${\overline{BB'}\over\overline{ZB}}$ - 1 |+1
${\overline{AA'}\over\overline{ZA}}$ = ${\overline{BB'}\over\overline{ZB}}$

Super! Du hast hier die Abschnittlösung des ersten Vierstreckensatzes hergeleitet. Denn auch hier verhalten sich die

Abschnitte auf der einen Halbgeraden, wie die Abschnitte auf der anderen Halbgeraden.

Berechne nun die Aufgabe in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!

x= 1 cm (Tipp: Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit nicht vergessen!).

3. Station: Zweiter Vierstreckensatz

Auf dem Bild siehst du Panto neben einer 6 m hohen Kletterwand. Auch hier musst du wieder die eine passende Formel zur

Berechnung der gesuchten Strecke x herleiten. Setze wieder die richtige Aussage in die passende Lücke ein:

$\overline{ZA'}$ = |k| ∙ $\overline{ZA}$ $\wedge$ $\overline{A'B'}$ = |k| ∙ $\overline{AB}$
Aufgelöst nach |k|:
|k| = ${\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}$ $\wedge$ |k| = ${\overline{A'B'}\over\overline{AB}}$
Gleichsetzen: ${\overline{ZA'}\over\overline{ZA}}$ = ${\overline{A'B'}\over\overline{AB}}$

Fantastisch! Du hast hier den zweiten Vierstreckensatz hergeleitet. Er sagt aus, dass sich die Streckenabschnitte auf den

Parallelen, wie die zugehörigen Streckenlängen (von Z ausgehend) auf einer Geraden verhalten.

Berechne jetzt die Aufgabe in deinem Heft und trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!

x= 0,30 cm (Tipp: Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit nicht vergessen!).

Wenn du wissen willst, ob es Panto auf die Kletterwand geschafft hat, dann lass es dir anzeigen.

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