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Integralrechnung/Bestimmtes Integral: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben-M|5| | |||
Im Applet unten kannst Du folgende Aufgaben bearbeiten: | |||
# Verschiebe den Graphen der Funktion mit der Maus so, dass das bestimmte Integral (also die Fläche <math>A</math>) negativ wird. Wann passiert das? Was bedeutet das graphisch? | |||
# Verschiebe nun den Graphen und die Intervallgrenzen so, dass der Wert des Integrals 0 wird. Welche Bedingung ist dann erfüllt? Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten? Was bedeutet dieser zu 0 gewordene Flächeninhalt? | |||
# Bis jetzt haben wir immer vom Integral als Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse gesprochen. Dies ist offensichtlich nicht ganz richtig. Worin liegt der Unterschied zwischen beiden? Wann sind beide gleich? | |||
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Version vom 19. Oktober 2009, 07:57 Uhr
Das bestimmte Integral
Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche $ A $ unter dem Graphen einer Funktion $ f(x) $ im Intervall $ [a;b] $ immer durch die Obersumme $ O_{n} $ und die Untersumme $ U_{n} $ (jeweils bestehend aus $ n $ Rechtecksflächen) eingeschachtelt werden kann:
$ U_{n}\ \leq \ A\ \leq \ O_{n} $
Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für $ n\to \infty $ wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung:
$ \lim _{n\to \infty }O_{n}=\lim _{n\to \infty }U_{n}=A $
Nun ist es Zeit für eine wichtige Definition:
Vorlage:Kastendesign1
Vorlage:Aufgaben-M
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