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Integralrechnung/Bestimmtes Integral: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n</math> <br><br> | <math>U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n</math> <br><br> | ||
Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für <math>n \to \infty</math> wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung: <br><br> | Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für <math>n \to \infty</math> wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung: <br><br> | ||
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<math>\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A</math> | <math>\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A</math> | ||
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Version vom 19. Oktober 2009, 06:32 Uhr
Das bestimmte Integral
Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche $ A $ unter dem Graphen einer Funktion $ f(x) $ im Intervall $ [a;b] $ immer durch die Obersumme $ O_{n} $ und die Untersumme $ U_{n} $ (jeweils bestehend aus $ n $ Rechtecksflächen) eingeschachtelt werden kann:
$ U_{n}\ \leq \ A\ \leq \ O_{n} $
Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für $ n\to \infty $ wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung:
$ \lim _{n\to \infty }O_{n}=\lim _{n\to \infty }U_{n}=A $
Nun ist es Zeit für eine wichtige Definition:
