Lernpfad Lineare Funktionen/LF03 Aufgaben

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LF03 Abbildung 1

1. Aufgabe - Funktionsgleichung aus Graph ablesen

In der Abbildung LF03 Abbildung 1 sind drei Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt: die Gerade f als durchgezogene Linie, die Gerade g gestrichelt und die Gerade h gepunktet.
Bestimme für jede Gerade die Funktionsgleichung.

Gerade $f$ (durchgezogene Linie)

In der Geradengleichung $f(x)=mx+b$ müssen der Steigungsfaktor $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ bestimmt werden.
y-Achsenabschnitt $b$: Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|1)$ $\Rightarrow b=1$
Steigungsfaktor $m$: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt $S_y(0|1)$ aus 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten gehen, um wieder auf die Gerade $f$ zu stoßen. $m=-\frac{1}{2}$
Ergebnis: $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$

Gerade $g$ (gestrichelte Linie)

schneidet die y-Achse im Punkt $(0|3,5)$ und verläuft parallel zu $f$, besitzt also den gleichen Steigungsfaktor
Ergebnis: $g(x)=-\frac{1}{2}x+3,5$

Gerade $h$ (gepunktete Linie)

Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt $S_x(-3|0)$ aus 3 Einheiten auf der x-Achse nach rechts und 6 Einheit auf der y-Achse nach oben gehen, um wieder auf die Gerade $h$ zu stoßen. $m=\frac{6}{3}=2$
Ergebnis: $h(x)=2x+6$

Versuche, die folgenden Aufgaben erst einmal rein rechnerisch und ohne die Abbildung LF03 Abbildung 1 zu lösen. Diese kannst du aber im Anschluss zur Kontrolle nutzen.

2. Aufgabe - Punktprobe

Gegeben sind die Gerade $f(x)=-0,5x+1$ und die Punkte $P(-1|4)$ und $Q(-4,5|-3)$. Stelle rechnerisch für jeden der beiden Punkte fest, ob er auf der gegebenen Geraden liegt. Wenn das nicht der Fall ist, überprüfe, ob er oberhalb oder unterhalb der Geraden liegt.

Punktprobe für Punkt $P(-1|4)$:

$f(-1)=-0,5\cdot (-1)+1=1,5$ Der Punkt $P(-1|4)$ liegt 2,5 Einheiten oberhalb der Geraden $f$.

Punktprobe für Punkt $Q(-4,5|-3)$:

$f(-4,5)=-0,5\cdot (-4,5)+1=3,25$ Der Punkt $Q(-4,5|-3)$ liegt 6,25 Einheiten unterhalb der Geraden $f$.

3. Aufgabe - fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Geraden

Die Punkte $R(6|?)$ und $T(?|3)$liegen auf der Geraden $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$.

Bestimme rechnerisch die y-Koordinate von $R$ und die x-Koordinate von $T$.

Um die y-Koordinate des Punktes $R$ zu bestimmen, setzt man seine x-Koordinate in $f$ ein:
$y_R=-\frac{1}{2}\cdot 6+1$ $=-3+1=-2$
Ergebnis: Die y-Koordinate von $R$ hat den Wert   $-2$, also $R(6|-2)$

Um die x-Koordinate des Punktes $T$ zu bestimmen, setzt man seine y-Koordinate in $f$ ein:
$3=-\frac{1}{2}x+1$
$2=-\frac{1}{2}x$
$-4=x$
Ergebnis: Die x-Koordinate von $T$ hat den Wert -4, also $T(-4|3)$

4. Aufgabe - Gleichung einer Parallelen durch gegebenen Punkt

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden $g$, die zu der Geraden $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$ parallel verläuft und durch den Punkt $P(-1|4)$ geht.

In der Gleichung $g(x)=mx+b$ sind der Steigungsfaktor $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen.
Wegen der Parallelität zu $f$ besitzt $g$ den gleichen Steigungsfaktor, also $m=-\frac{1}{2}$
Zwischenergebnis: $g(x)=-\frac{1}{2}x+b$
Um den y-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen, kann man die Koordinaten des Punktes $P(-1|4)$ in diese Gleichung einsetzen:
    $g(-1)=-\frac{1}{2}\cdot (-1)+b$
$\Rightarrow 4=0,5+b$
$\Rightarrow 3,5=b$
Ergebnis: $g(x)=-\frac{1}{2}x+3,5$

5. Aufgabe - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen / Nullstellen

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Geraden $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$, $g(x)=-\frac{1}{2}x+3,5$ und $h(x)=2x+6$ mit den Koordinatenachsen.

Schnittpunkte mit der y-Achse

Alle Punkte auf der y-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre x-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der y-Achse: In der Funktionsgleichung $x=0$ setzen.

$f(x)=-\frac{1}{2}x+1$
$f(0)=-\frac{1}{2}\cdot 0+1$
$f(0)=1$
Ergebnis: Die Gerade $f$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0|1)$.

$g(x)=-\frac{1}{2}x+3,5$
$g(0)=-\frac{1}{2}\cdot 0+3,5$
$g(0)=3,5$
Ergebnis: Die Gerade $g$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0|3,5)$.

$h(x)=2x+6$
$h(0)=2\cdot 0+6$
$h(0)=6$
Ergebnis: Die Gerade $h$ scheidet die y-Achse im Punkt $(0|6)$.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Alle Punkte auf der x-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre y-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der x-Achse (und damit zugleich zur Berechnung der Nullstellen): In der Funktionsgleichung $f(x)=0$ setzen.

$f(x)=-\frac{1}{2}x+1$
$0=-\frac{1}{2}\cdot x+1$
$-1=-\frac{1}{2}\cdot x$
$2=x$
Ergebnis: Die Gerade $f$ scheidet die x-Achse im Punkt $(2|0)$.

$g(x)=-\frac{1}{2}x+3,5$
$0=-\frac{1}{2}\cdot x+3,5$
$-3,5=-\frac{1}{2}\cdot x$
$7=x$
Ergebnis: Die Gerade $g$ scheidet die x-Achse im Punkt $(7|0)$.

$h(x)=2x+6$
$0=2x+6$
$-6=2x$
$-3=x$
Ergebnis: Die Gerade $h$ scheidet die x-Achse im Punkt $(-3|0)$.

6. Aufgabe - Gerade durch Punkte P und Q

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden h, die durch die Punkte $P(-1|4)$ und $Q(-4,5|-3)$ geht.

Die Formel für den Steigungsfaktor $m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}$ gilt unabhängig davon, ob der Punkt $Q$ im Koordinatensystem links oder rechts von $P$ liegt.

$m=\frac{-3-4}{-4,5-(-1)}=\frac{-7}{-3,5}=2$

Zwischenlösung: $h(x)=2x+b$

Beispielsweise $Q(-4,5|-3)$ einsetzen ($P$ ginge ebenso):

$h(-4,5)=2\cdot (-4,5)+b$
$\Rightarrow -3=-9+b$
$\Rightarrow b=6$

Ergebnis: $h(x)=2x+6$

7. Aufgabe - Gleichung einer Senkrechten zu gegebener Gerade

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden $h$, die durch den Punkt $P(-1|4)$ geht und senkrecht zu der Geraden $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$ verläuft.

Für die Steigung $m_h$ einer zur Geraden $f$ senkrecht verlaufenden Geraden mit der Steiung $m_f$ gilt die Formel: $m_h=-\frac{1}{m_f}$.

$m_h=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

Zwischenlösung: $h(x)=2x+b$

Koordinaten des gegebenen Punktes $P(-1|4)$ einsetzen:

$h(-1)=2\cdot (-1)+b$
$\Rightarrow 4=-2+b$
$\Rightarrow b=6$

Ergebnis: $h(x)=2x+6$

8. Aufgabe - Schnittpunkt zweier Geraden

Bestimme rechnerisch den Schnittpunkt der beiden Geraden $f(x)=-\frac{1}{2}x+1$ und $h(x)=2x+6$.

Ansatz: Funktionsterme von $f$ und $h$ gleichsetzen: $f(x)=h(x)$.

$f(x)=h(x)$

$-\frac{1}{2}x+1=2x+6$

$\iff -2,5x=5$

$\iff x=-2$ (x-Koordinate des Schnittpunkts)

$h(-2)=2\cdot (-2)+6=2$ (y-Koordinate des Schnittpunkts)

Ergebnis: Die Geraden $f$ und $h$ schneiden sich im Punkt $S(-2|2)$.

9. Aufgabe - Überprüfen, ob drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen

Überprüfe rechnerisch, ob die drei Punkte $P(-1|4)$, $Q(-4,5|-3)$ und $S(-2|2)$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen..

Ansatz: Aus zwei der drei gegebenen Punkte eine Geradengleichung aufstellen, dann Punktprobe mit dem dritten Punkt.

Bei den hier gegebenen Punkten kann man z.B. zuerst die Gleichung derjenigen Geraden aufstellen, die durch die Punkte $P$ und $Q$ geht. Dies entspricht der 6. Aufgabe. Ergebnis: $h(x)=2x+6$
Anschließend macht man für diese Gerade die Punktprobe mit dem dritten Punkt $S(-2|2)$, indem man seine Koordinaten in $h$ einsetzt:

$h(x)=2x+6$

$2=2\cdot (-2)+6$

$2=-4+6$

$2=2$
Dies ist eine wahre Aussage. Daher liegt auch der dritte Punkt $S$ auf derjenigen Geraden $h$, die durch die Punkte $P$ und $Q$ geht.

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