Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben

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Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben

• In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrer Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ hinter dem $x^2$ eine konstante Zahl addiert oder subtrahiert. Beispielhaft werden dafür die Funktionen $g(x)=x^2+1$ und $h(x)=x^2-4$ genauer unter die Lupe genommen.
• Dabei erfährst du auch, was eine Funktionenschar ist und
• was man unter der Nullstelle einer Funktion versteht.
• Schließlich lernst du noch eine Gleichung kennen, die ganz allgemein die Verschiebung von Funktionsgraphen in y-Richtung beschreibt. Es handelt sich dabei um eine von mehreren Transformationen, die in diesem Lernpfad eine Rolle spielen.

1. Aufgabe (Erkunden) - Wertetabelle erstellen

Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=x^2+1$ und $h(x)=x^2-4$ in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$
$g(x)=x^2+1$
$h(x)=x^2-4$

Tabelle 1

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$f(x)=x^2$	9	4	1	0	1	4	9
$g(x)=x^2+1$	10	5	2	1	2	5	10
$h(x)=x^2-4$	5	0	-3	-4	-3	0	5

2. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgraph zuordnen

QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf
In y-Richtung verschobene Normalparabeln

1. In der Abbildung "QF02 Abbildung 1" sind drei Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet und einer mit durchgezogener Linie. Ordne diese drei Graphen den Funktionen $f(x)=x^2$, $g(x)=x^2+1$ und $h(x)=x^2-4$ zu. Begründe deine Zuordnung mithilfe von Beispielpunkten aus der Tabelle 1.
2. Zeige mithilfe der Wertetabellen, dass man auch an die Graphen von $g$ und $h$ Parabel-Treppen wie bei der Normalparabel anlegen kann (siehe QF01 Normalparabel).
3. Begründe, dass der Graph von $g(x)=x^2+1$ eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel und der Graph von $h(x)=x^2-4$ eine um 4 Einheiten nach unten verschobene Normalparabel ist.

1. Die durchgezogene Linie ist die Normalparabel, also der Graph der Funktion $f$ (siehe QF01 Normalparabel).
   Die gepunktete Linie ist der Graph der Funktion $g(x)=x^2+1$. In der Abbildung "QF02 Abbildung 1" erkennt man, dass dieser Graph die y-Achse im Punkt $(0|1)$ schneidet. Dieses Koordinatenpaar findet man auch in Wertetabelle von $g$, denn $g(0)=0^2+1=1$.
   Die gestrichelte Linie ist der Graph der Funktion $h$. In der Abbildung erkennt man, dass dieser Graph die y-Achse im Punkt $(0|-4)$ schneidet. Dieses Koordinatenpaar findet man auch in Wertetabelle von $h$, denn $h(0)=0^2-4=-4$.
2. Wenn man in der Wertetabelle von $g$ vom Koordinatenpaar $(0|1)$ ausgehend die x-Koordinate schrittweise um 1 erhöht, dann erhöhen sich die entsprechenden y-Werte schrittweise um 1, 3 und 5, also um aufeinander folgende ungerade Zahlen - wie bei der Parabel-Treppe der Normalparabel (siehe QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe). Das gleiche gilt auch für die Funktion $h$, wenn man bei ihr von $(0|-4)$ ausgeht.
3. Man kann den Graphen einer Funktion $f$ als eine Linie betrachten, die aus unendlich vielen, sehr dicht aneinander liegenden Punkten mit den Koordinaten $(x|f(x))$ besteht. Es genügt daher, die Beziehung zwischen einem x-beliebigen Punkt $P(x|x^2)$ auf der Normalparabel und demjenigen Punkt $Q(x|x^2+1)$ auf dem Graphen von $g$ zu betrachten, der die gleiche x-Koordinate wie $P$ besitzt. Die y-Koordinate von $Q$ ist (bei gleichem $x$) um 1 größer als die y-Koordiante von $P$. Im Koordinatensystem liegt der Punkt $Q$ also eine Einheit senkrecht oberhalb von $P$ und man gelangt von $P$ zu $Q$, indem man $P$ um eine Einheit nach oben verschiebt. Da dies für jeden beliebigen Punkt $P$ der Normalparabel gilt, ist der gesamte Graph von $g$ eine um 1 nach oben verschobene Normalparabel.
   Diese Argumentation lässt sich auch auf Funktion $h(x)=x^2-4$ übertragen, indem man die Verschiebungszahl 1 durch die Zahl -4 ersetzt.

3. Aufgabe (Begründen) - Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung

Bisher wurden zwei spezielle Verschiebungen der Normalparabel in y-Richtung untersucht. Jetzt geht es allgemein um beliebige Verschiebungen der Normalparabel in y-Richtung.

1. Erkläre für eine beliebige Zahl $e\in \mathbb{ℝ}$, wie der Graph der Funktion $f(x)=x^2+e$ durch eine Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung entsteht und welche Rolle genau die Zahl $e$ dabei spielt.
2. Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel $f(x)=x^2+e$ an. Begründe deine Angabe.

1. In der vorangegangen Aufgabe wurde erklärt, warum der Graph der Funktion $g(x)=x^2+1$ eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel ist. Diese Begründung lässt sich verallgemeinern, indem man in ihr einfach die Zahl 1 durch die Variable $e$ ersetzt.
   Wenn die addierte Zahl $e$ positiv ist, dann werden durch die Addition alle y-Koordinaten der Normalparabel um den Betrag von $e$ vergrößert und es handelt sich daher um eine Verschiebung nach oben.
   Die Subtraktion einer positiven Zahl (z.B. 4), durch die die y-Koordinaten kleiner werden, kann man auch als Addition ihrer negativen Gegenzahl (im Beispiel -4) auffassen. Die Addition einer negativen Zahl $e$ bedeutet daher eine Verschiebung der Normalparabel nach unten, also in negativer y-Richtung.
2. Der Scheitelpunkt der Parabel $f(x)=x^2+e$ liegt auf der y-Achse. Seine x-Koordinate ist daher gleich Null. Seine y-Koordinate erhält man durch $f(0)=0^2+e=e$. Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten $(0|e)$.

Zusammenfassung - Verschiebung   $f(x)=x^2+e$

• Der Graph der Funktion $f(x)=x^2+e$ ist für jede Zahl $e\in \mathbb{ℝ}$ eine um den Betrag von $e$ in y-Richtung verschobene Normalparabel.
• Wenn $e$ positiv ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach oben (in positiver y-Richtung), bei negativem $e$ um eine Verschiebung nach unten.
• Der Scheitelpunkt der Parabel $f(x)=x^2+e$ besitzt die Koordinaten $(0|e)$.

In dem GeoGebra-Applet kann man die Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2+e$ in y-Richtung verschieben, indem man die Position des Schiebereglers $e$ verändert oder den Scheitelpunkt auf der y-Achse mit der Maus verschiebt. Nach Anklicken des Schiebereglers kann man ihn auch mit den Pfeiltasten in kleinen Schritten auf einen exakten Wert einstellen.

4. Aufgabe (Üben) - Punktprobe

Untersuche für jede der drei der Parabeln $f(x)=x^2$, $g(x)=x^2+1$ und $h(x)=x^2-4$, ob der Punkte $P(2,5|7)$ oberhalb, unterhalb oder genau auf der Parabel liegt.

$f(2,5)=2,5^2=6,25<7$. Um vom Punkt $(2,5|0)$ auf der x-Achse bis zum Punkt $(2,5|6,25)$ auf der Normalparabel zu gelangen, muss man 6,25 Einheiten nach oben gehen. Der Punkt $P(2,5|7)$ liegt 0,75 Einheiten darüber, also oberhalb der Normalparabel.
$g(2,5)=2,5^2+1=7,25>7$. Der Punkt $P(2,5|7)$ liegt unterhalb der Parabel $g(x)=x^2+1$.
Die Parabel $h(x)=x^2-4$ verläuft vollständig unterhalb der Normalparabel. Der Punkt $P(2,5|7)$ liegt oberhalb der Normalparabel, also erst recht oberhalb der Parabel $h(x)=x^2-4$.

Definition Nullstellen

Die x-Koordinate eines Punktes, in dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet oder berührt, bezeichnet man als Nullstelle der Funktion.

5. Aufgabe (Üben) - Nullstellen berechnen

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2-4$. Kontrolliere dein Ergebnis anhand der Abbildung QF02 Abbildung 1 oder mit dem GeoGebra-Applet zur Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung.

Ansatz zur Berechnung von Nullstellen: Setze den Funktionsterm von f gleich Null, kurz:$f(x)=0$. Dadurch entsteht eine Gleichung, die man nach $x$ auflösen kann.

Begründung für den Ansatz: Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben eines gemeinsam: ihre y-Koordinate ist gleich Null. Für die y-Koordinate eines Punktes, der sowohl auf der x-Achse als auch auf dem Graphen $f$ liegt, gilt also $f(x)=0$.

Ansatz: Setze $f(x)=x^2-4=0$.
Für die Berechnung derjenigen x-Werte, die diese Gleichung erfüllen, gibt es zwei mögliche Lösungswege:

1. Weg: Wurzelziehen
   $x^2-4=0$ $\iff x^2=4$
   Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen, nämlich:
   $x_1=+\sqrt{4}$ und $x_2=-\sqrt{4}$
   Ergebnis: $x_1=+2$ und $x_2=-2$
2. Weg: Nullprodukt-Methode
   In der Gleichung $x^2-4=0$ kann die linke Seite mithilfe der 3. binomischen Formel in ein Produkt umgeformt werden, so dass man die Gleichung
   $(x-2)\cdot (x+2)=0$ erhält.
   Die Nullprodukt-Regel besagt: Wenn ein Produkt gleich Null ist, dann muss mindestens einer der Faktoren gleich Null sein. In diesem Fall ist also entweder der Inhalt der ersten Klammer oder der Inhalt der zweiten Klammer gleich Null:
   $x-2=0$ oder $x+2=0$
   Ergebnis: $x_1=2$ und $x_2=-2$

$f_e(x)=x^2+e$   als Funktionenschar

Wenn man für $e\in \mathbb{ℝ}$ verschiedene Zahlen wählt, erhält man durch die Funktionsvorschrift $f(x)=x^2+e$ entsprechend viele verschiedene Funktionen mit unterschiedlichen Funktionsgraphen. Alle diese Funktionen bilden zusammen eine so genannte Funktionenschar. Man verwendet dafür auch die Schreibweise $f_e(x)=x^2+e$ und bezeichnet $e$ als Scharparameter.

6. Aufgabe (Üben) - Scharparameter bestimmen

Gesucht ist derjenige Scharparameter $e\in \mathbb{ℝ}$, für den der Punkt $P(-1,5|3)$ auf dem Graphen der Funktion $f_e(x)=x^2+e$ liegt. Berechne dieses $e$.

Da der Punkt $P(-1,5|3)$ auf dem Graphen der Funktion $f_e(x)=x^2+e$ liegen soll, kann man seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f_e(-1,5)=3$
$\iff (-1,5{)}^2+e=3$
$\iff 2,25+e=3$
$\iff e=0,75$

Transformationsgleichung   $g(x)=f(x)+e$

• Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion $g$ aus der Funktionsgleichung einer anderen Funktion $f$dadurch entsteht, dass man im Funktionsterm von $f$ eine Zahl $e\in \mathbb{ℝ}$ als Summand hinzufügt (kurz: $g(x)=f(x)+e$), dann bedeutet das für die Graphen der beiden Funktionen: Der Graph von $g$ entsteht, indem man den Graphen von $f$ um den Betrag von $e\in \mathbb{ℝ}$ in y-Richtung verschiebt.
• Wenn $e$ positiv ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach oben, wenn $e$ negativ ist, um eine Verschiebung nach unten.

7. Aufgabe (Begründen) - Transformationsgleichung   $g(x)=f(x)+e$

Begründe die Transformationsgleichung $g(x)=f(x)+e$ für die Verschiebung beliebiger Funktionsgraphen in y-Richtung.

Für jeden beliebigen x-Wert liegt der Punkt $P(x|f(x))$ auf dem Graphen von $f$ und für den gleichen x-Wert liegt der Punkt $Q(x|g(x))=Q(x|f(x)+e)$ im Koordinatensystem $e$ Einheiten senkrecht oberhalb von $P$, wenn $e$ positiv ist, bzw. $e$ Einheiten senkrecht darunter, falls $e$ negativ ist. Da dies für jeden beliebigen Punkt $P(x|f(x))$ des Graphen von $f$ gilt, erhält man den gesamten Graphen von $g$, indem man den Graphen von $f$ um $e$ in y-Richtung verschiebt.

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