Main>Leonie Porzelt |
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| __NOTOC__ | | __NOTOC__ |
| {{Lernpfad-M| | | {{Box|1=Eigenschaften der zentrischen Streckung|2= |
| ===Eigenschaften der zentrischen Streckung===
| | [[Bild:Porzelt_Eigenschaften.jpg|right|300px]] |
| }}
| | In diesem Lernpfad durchläufst du 7 Stationen. Unten siehst du eine Übersicht aller Stationen. |
| <br>
| | |3=Lernpfad}} |
| [[Bild:Porzelt_Eigenschaften.jpg|center]] | |
| <br>
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| ==1. Station: Fixelemente==
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| :Für k<math>\not=</math>1 gilt:
| |
| :Das Streckungszentrum Z ist '''Fixpunkt''', da es immer auf sich selbst abgebildet wird.
| |
| </div>
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| <br>
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| :'''Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.'''
| |
| <br>
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| [[Bild:Porzelt_Fixgerade.jpg]]
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| <br>
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| :Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
| |
| :{{Lösung versteckt|1=
| |
| :f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.}}
| |
| :Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:
| |
| :{{Versteckt|1=
| |
| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| :Alle Geraden die durch den Punkt Z verlaufen sind '''Fixgeraden'''. Sie werden bei einer zentrischen
| |
| :Streckung auf sich selbst abgebildet.
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| </div>
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| }}
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| <br>
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| [[Benutzer:Leonie Porzelt/Eigenschaften der zentrischen Streckung/Station 2|Weiter zur zweiten Station]]
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| ==2. Station: Geradentreue und Parallelentreue==
| | {{Eigenschaften der zentrischen Streckung}} |
| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| *'''Geradentreue''' bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
| |
| *'''Parallelentreue''' liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.
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| </div>
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| <br>
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| :Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
| |
| :auf den Punkt P' abgebildet.
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| :'''Arbeitsauftrag'''
| | ==1. Station: Fixelemente== |
| :'''Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt.'''
| |
| :'''Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.'''
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| <br>
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| <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
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| {|
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| |<ggb_applet height="400" width="450" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Geradentreue.ggb" />||
| |
| <quiz display="simple">
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| {'''Was zeigen die roten Spuren, die du gezeichnet hast?'''} | | {{Box|1=Fixpunkt|2= |
| +Geraden
| | Für <math>k \not= 1</math> gilt: |
| -Dreiecke
| | [[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|right]] |
| -Ich sehe keine Spuren.
| | Das Streckungszentrum Z ist '''Fixpunkt''', da es immer auf sich selbst abgebildet wird. |
| | |3=Merksatz}} |
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| |
|
| {'''Ist die zentrische Streckung geradentreu?'''}
| |
| +Ja
| |
| -Nein
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| </quiz>
| | {{Box|1=Zentrische Streckung um den Faktor k|2= |
| |} | |
| </div>
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| <br>
| |
| :Um herauszufinden bei einer zentrische Streckung, ob eine Urstrecke auf eine parallele Bildstrecke mit
| |
| :|k|-facher Länge abgebildet wird, musst du dir das nächste Applet anschauen.
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|
| :'''Arbeitsauftrag:'''
| | Strecke die Gerade g, die Punkte A, B und C zentrisch um den Faktor k und ordne im nachstehenden Text den richtigen Ausdruck in die passende Lücke:'''''<br> |
| :'''Klicke Schritt 1 an. Es wird eine Hilfsstrecke [ZP] mit [ZP] || [AB] und <span style="text-decoration: overline;">AB</span> = <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> eingezeichnet.'''
| |
| :'''Klicke Schritt 2 an. [ZH] wird zentrisch gestreckt, so dass gilt: <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = |k| ∙ <span style="text-decoration: overline;">ZP</span> '''
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| <br>
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| <div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| {|
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| |<ggb_applet height="260" width="550" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Parallelentreue.ggb" />||'''Setze in die Lücken richtig ein:'''
| |
| <div class="lueckentext-quiz">
| |
| Das Viereck ZA'B'P' ist ein '''Parallelogramm'''. <br>
| |
| Mit <span style="text-decoration: overline;">ZP'</span> = '''<span style="text-decoration: overline;">A'B'</span>''' und '''<span style="text-decoration: overline;">ZP</span>''' = <span style="text-decoration: overline;">AB</span>. Daraus folgt durch einsetzen in die Gleichung zur in Schritt 2: <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> = '''|k|''' ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>'''
| |
| |}
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| </div>
| |
| <br>
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| <div class="multiplechoice-quiz">
| |
| '''Ist die zentrische Streckung parallelentreu?'''
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| (Ja) (!Nein)
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| </div>
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| <br> | |
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| ==3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue== | | <ggb_applet height="300" width="600" showResetIcon="true" id="xahnptv7" /> |
| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| *'''Winkeltreue''' bedeutet, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
| |
| *Ebenso gilt für die '''Längentreue''', dass alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
| |
| *'''Flächeninhaltstreue''' liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.
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| </div>
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| <br>
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| :In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß,
| |
| :die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen.
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|
| :'''Arbeitsauftrag:'''
| |
| :'''Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaften zutreffen.'''
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| <br>
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| <ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Winkel_Flächen_Längentreu.ggb" />
| |
| <br>
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| <div class="multiplechoice-quiz">
| |
| '''Welche Eigenschaften treffen auf die zentrische Streckung zu?'''
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| (Winkeltreue) (!Längentreue) (!Flächeninhaltstreue)
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| </div>
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| <br>
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| :Nur wie kann man jetzt den Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks berechnen?
| |
| :Finde es durch Umformung heraus! Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:
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| {|
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| |[[Bild:Porzelt_Dreiecke.jpg ]]||
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
| |
| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">A'B'</span> ∙ h' <br>
| |
| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = 0,5 ∙ |k| ∙ '''<span style="text-decoration: overline;">AB</span>''' ∙ '''|k|''' ∙ '''h''' <br>
| |
| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ 0,5 ∙ <span style="text-decoration: overline;">AB</span> ∙ h <br>
| |
| A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = '''|k|²''' ∙ '''A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>'''
| |
| </div>
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| |}
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| <br>
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| ==4. Station: Längenverhältnistreue==
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| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| |
| :'''Längenverhältnistreue''' liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.
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| </div>
| |
| <br>
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| {|
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| |[[Bild:Porzelt_Verhältnistreu.jpg]]|| '''Arbeitsauftrag:'''
| |
| #Berechne den Streckungsfaktor k.
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| #Berechne <math>\overline{A'P'}</math> und <math>\overline{P'B'}</math>.
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| #Berechne <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> und <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>. Runde auf 2 Nachkommastellen.
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| |}
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| <br>
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| :Um herauszufinden ob deine Lösungen richtig sind, klicke hier die Lösung an:
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| <quiz display="simple">
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| {'''Der Streckungsfaktor k beträgt:'''}
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| +2.0
| |
| -1.5
| |
| -3.0
| |
|
| |
| {'''<span style="text-decoration: overline;">A'P'</span> beträgt:'''}
| |
| +1.4 cm
| |
| -1.5 cm
| |
| -1.3 cm
| |
|
| |
| {'''<span style="text-decoration: overline;">P'B'</span> beträgt:'''}
| |
| +3.0 cm
| |
| -2.0 cm
| |
| -2.5 cm
| |
|
| |
| {'''<math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math> beträgt:'''}
| |
| +0.47
| |
| -0.50
| |
| -1.00
| |
|
| |
| {'''<math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> beträgt:'''}
| |
| +0.47
| |
| -0.52
| |
| -0.45
| |
|
| |
| </quiz>
| |
| <br>
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|
| |
| :Warum ist <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> = <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>?
| |
| <div class="lueckentext-quiz"> | | <div class="lueckentext-quiz"> |
| Für <math>\overline{AP}</math> kann man auch '''|k| ∙ <math>\overline{A'P'}</math>''' und für <math>\overline{PB}</math> kann man '''|k| ∙ <math>\overline{P'B'}</math>''' einsetzen. <br>
| | Der Punkt A wird auf den Punkt '''A'''' abgebildet, so wie der Punkt B auf Punkt '''B'''' und Punkt C auf Punkt '''C''''. Alle Punkte verlaufen auf einer '''Geraden'''. Die Gerade g wird auf die Gerade '''g'''' abgebildet.<br> Geometrisch bedeutet dies: g '''=''' g'. |
| Daraus folgt: <math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math> = '''<math>{{|k|}\over{|k|}}</math>''' ∙ '''<math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math>'''.
| |
| |k| kann man rauskürzen, so dass '''<math>{\overline{AP}\over\overline{PB}}</math>''' = <math>{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}</math> gilt.
| |
| </div> | | </div> |
| <br>
| | |3=Arbeitsmethode}} |
|
| |
|
| <div class="multiplechoice-quiz">
| |
| '''Ist die zentrische Streckung längenverhältnistreu?'''
| |
| (Ja) (!Nein)
| |
| </div>
| |
| <br>
| |
|
| |
|
| ==5. Station: Kreistreue==
| | {{Box|1=Info von Panto|2= |
| <div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| | Panto will auch etwas dazu sagen. |
| :'''Kreistreue''' bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.
| |
| </div>
| |
| <br>
| |
| :Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch um den Faktor m = 3 strecken. Finde heraus,
| |
| :ob die zentrische Streckung kreistreu ist.
| |
| <ggb_applet height="350" width="650" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Kreistreue.ggb" />
| |
| <br>
| |
| <div class="lueckentext-quiz">
| |
| Es gilt: <math>\overline{PM}</math> = r <br>
| |
| Deshalb kann man schreiben: <math>\overline{P'M'}</math> = '''|m|''' ∙ '''<math>\overline{PM}</math>''' = r' <br>
| |
| Der Bildpunkt P' liegt auf dem '''Kreis k'''' um M' mit Radius r' = |m| ∙ '''r'''.
| |
| </div>
| |
| <br>
| |
|
| |
|
| <div class="multiplechoice-quiz">
| | [[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|right]] |
| '''Ist die zentrische Streckung kreistreu?'''
| |
| (Ja) (!Nein)
| |
| </div>
| |
| <br>
| |
|
| |
|
| ==6. Station: Zusammenfassung==
| | Alle Geraden, die durch den Punkt Z verlaufen, sind '''Fixgeraden'''. Sie werden bei einer zentrischen |
| :Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.
| | Streckung auf sich selbst abgebildet. |
| <div style="border: 2px solid #FF0000; background-color:#ffffff; padding:7px;">
| | |3=Kurzinfo}} |
| '''Eigenschaften der zentrischen Streckung'''<br>
| |
| Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine '''Fixgerade'''. <br>
| |
| Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist '''parallelentreu'''.<br>
| |
| Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also '''nicht''' längentreu. <br>
| |
| Jedoch ist sie '''längenverhältnistreu'''. <br>
| |
| Die zentrische Streckung ist '''geradentreu''', '''winkeltreu''' und '''kreistreu'''. <br>
| |
| Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das '''|k|²-fache''' des Flächeninhalts der Urfigur. ('''A<sub><math>\Delta</math>A'B'C'</sub> = |k|² ∙ A<sub><math>\Delta</math>ABC</sub>''') <br>
| |
| Die zentrische Streckung ist deshalb '''nicht''' flächeninhaltstreu.
| |
| </div>
| |
| <br>
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| ==7. Station: Übung== | | {{Fortsetzung|weiter=Geradentreue und Parallelentreue|weiterlink=/2.Station}} |
| {|
| | [[Kategorie:Mathematik-digital]] |
| |[[Bild:Porzelt_Konstruktion_Dreieck.jpg]]||Mit Hilfe der Eigenschaften Geradentreue und Parallelentreue kann man Figuren wie folgt konstruieren:<br>
| | [[Kategorie:Lernpfad]] |
| Zeichne ein Koordinatensystem <math>(0 \le x \le 14 ; -3 \le y \le 6)</math> mit dem Dreieck PQR und dem Zentrum Z in dein Heft. <br>
| | [[Kategorie:Zentrische Streckung]] |
| (Die Koordinaten für die Punkte kannst du im Bild ablesen.)<br>
| |
| #Bilde den Punkt R wie gewohnt auf R' ab.<br>
| |
| #Zeichne die Parallele zu RP durch R' ein. Sie schneidet [ZP im Punkt P'.<br>
| |
| #Jetzt kennst du 2 Möglichkeiten um Bildpunkte zu konstruieren. Entscheide selbst, wie du den Punkt Q' konstruierst.
| |
| |}
| |
|
| |
|
| :Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:
| | {{TODO| MathML einsetzen}} |
| :{{Lösung versteckt|
| |
| [[Bild:Porzelt_Konstruktion.jpg]]}}
| |
