Zylinder Pyramide Kegel/Rund um den Kegel - Versionsgeschichte

Maria Eirich am 23. April 2022 um 15:40 Uhr

2022-04-23T15:40:28Z

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	{{Fortsetzung\|weiter=Zusatzaufgaben\|weiterlink=../Zusatzaufgaben}}		{{Fortsetzung\|weiter=Zusatzaufgaben\|weiterlink=../Zusatzaufgaben}}

	~~[[Kategorie:Mathematik]]~~
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:GeoGebra]]		[[Kategorie:GeoGebra]]
	[[Kategorie:R-Quiz]]		[[Kategorie:R-Quiz]]

Maria Eirich: Maria Eirich verschob die Seite Oberfläche und Volumen geometrischer Körper/Rund um den Kegel nach Zylinder Pyramide Kegel/Rund um den Kegel, ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen

2022-04-23T15:17:54Z

Maria Eirich verschob die Seite Oberfläche und Volumen geometrischer Körper/Rund um den Kegel nach Zylinder Pyramide Kegel/Rund um den Kegel, ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen

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(kein Unterschied)

Maria Eirich: Maria Eirich verschob die Seite Inhalt und Drumherum/Rund um den Kegel nach Oberfläche und Volumen geometrischer Körper/Rund um den Kegel

2022-04-23T15:09:18Z

Maria Eirich verschob die Seite Inhalt und Drumherum/Rund um den Kegel nach Oberfläche und Volumen geometrischer Körper/Rund um den Kegel

← Nächstältere Version	Version vom 23. April 2022, 15:09 Uhr
(kein Unterschied)

Karl Kirst: - ZUM2Edutags

2021-12-17T10:58:48Z

- ZUM2Edutags

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2021, 10:58 Uhr
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	{{Fortsetzung\|weiter=Zusatzaufgaben\|weiterlink=../Zusatzaufgaben}}		{{Fortsetzung\|weiter=Zusatzaufgaben\|weiterlink=../Zusatzaufgaben}}

	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	~~[[Kategorie:ZUM2Edutags]]~~
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:GeoGebra]]		[[Kategorie:GeoGebra]]
	[[Kategorie:R-Quiz]]		[[Kategorie:R-Quiz]]

Buss-Haskert: GeoGebra Applet berichtigt: Jetzt ist dort ein Kegel zu sehen, vorher war es das Applet der Pyramide

2020-11-07T17:01:22Z

GeoGebra Applet berichtigt: Jetzt ist dort ein Kegel zu sehen, vorher war es das Applet der Pyramide

← Nächstältere Version		Version vom 7. November 2020, 17:01 Uhr
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	'''Ziehe an der Kegelspitze S und beobachte, was passiert.'''		'''Ziehe an der Kegelspitze S und beobachte, was passiert.'''

	<center><ggb_applet id="~~jhAvTrGx~~" width="~~100%~~" height="~~450~~" border="888888" /></center>		<center><ggb_applet id="FFpfAu6U" width="416" height="347" border="888888" /></center>


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	<math>M_{K}=\pi s^{2}\cdot \frac {\alpha } {360^{o}}=\pi s^{2}\cdot \frac {r} {s} =\pi \cdot r\cdot s</math><br>		<math>M_{K}=\pi s^{2}\cdot \frac {\alpha } {360^{o}}=\pi s^{2}\cdot \frac {r} {s} =\pi \cdot r\cdot s</math><br>
	Die oben aufgestellte Verhältnisgleichung wird einfach in die bereits bekannte Flächeninhaltsformel des Kreissektors eingesetzt!		Die oben aufgestellte Verhältnisgleichung wird einfach in die bereits bekannte Flächeninhaltsformel des Kreissektors eingesetzt!

Kilian Schoeller am 23. November 2018 um 14:07 Uhr

2018-11-23T14:07:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2018, 14:07 Uhr
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	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	[[Kategorie:ZUM2Edutags]]		[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
	~~[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]~~
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:GeoGebra]]		[[Kategorie:GeoGebra]]
			[[Kategorie:R-Quiz]]

Maria Eirich am 18. November 2018 um 14:10 Uhr

2018-11-18T14:10:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. November 2018, 14:10 Uhr
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	{{Fortsetzung\|weiter=Zusatzaufgaben\|weiterlink=../Zusatzaufgaben}}		{{Fortsetzung\|weiter=Zusatzaufgaben\|weiterlink=../Zusatzaufgaben}}
			[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
			[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
			[[Kategorie:Interaktive Übung]]
			[[Kategorie:GeoGebra]]

Maria Eirich am 4. November 2018 um 19:43 Uhr

2018-11-04T19:43:00Z

Maria Eirich am 4. November 2018 um 19:39 Uhr

2018-11-04T19:39:00Z

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	Der Mantelflächeninhalt des Kegels entspricht dem Flächeninhalt des Kreisausschnittes mit Radius s und Bogenlänge b. <br>		Der Mantelflächeninhalt des Kegels entspricht dem Flächeninhalt des Kreisausschnittes mit Radius s und Bogenlänge b. <br>
	*<span style="color:red">b ist die Bogenlänge des Kreisaussektors mit Radius s und gleichzeitig der Umfang des Kegels mit Radius r!</span>		*<span style="color:red">b ist die Bogenlänge des Kreisaussektors mit Radius s und gleichzeitig der Umfang des Kegels mit Radius r!</span>
	\|2=Hinweis anzeigen\|3=Hinweis ausblenden}}~~<br>~~		\|2=Hinweis anzeigen\|3=Hinweis ausblenden}}
	~~'''''~~Hier findest du verschiedene Tipps, wie du vorgehen kannst (wenn du nicht weiter kommst).~~..'''''~~		Hier findest du verschiedene Tipps, wie du vorgehen kannst (wenn du nicht weiter kommst).
	{{Lösung versteckt\|1=		{{Lösung versteckt\|1=
	* Stelle zunächst eine Formel für die Bogenlänge b (bzw. den "Umfang" des Kreisausschnittes) und für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes (also den Mantelflächeninhalt des Kegels) auf.<br>		* Stelle zunächst eine Formel für die Bogenlänge b (bzw. den "Umfang" des Kreisausschnittes) und für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes (also den Mantelflächeninhalt des Kegels) auf.<br>
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	'''Der Mittelpunktswinkel <math>\alpha </math> des Kreissektors (bzw. der Mantelfläche)''' <br>		'''Der Mittelpunktswinkel <math>\alpha </math> des Kreissektors (bzw. der Mantelfläche)''' <br>

	Stelle eine Gleichung zur Berechnung des Mittelpunktwinkels <math>\alpha </math> auf!~~<br><br>~~		Stelle eine Gleichung zur Berechnung des Mittelpunktwinkels <math>\alpha </math> auf!
	{{Lösung versteckt\|1= Dazu muss man eine Verhältnisgleichung aufstellen!		{{Lösung versteckt\|1= Dazu muss man eine Verhältnisgleichung aufstellen!
	\|2=Tipp anzeigen\|3=Tipp ausblenden}}		\|2=Tipp anzeigen\|3=Tipp ausblenden}}
	~~<br><br>~~
	{{Lösung versteckt\|1= Der Winkel <math>\alpha </math> des Kreisausschnitts verhält sich zum Winkel des vollen Kreises wie ...		{{Lösung versteckt\|1= Der Winkel <math>\alpha </math> des Kreisausschnitts verhält sich zum Winkel des vollen Kreises wie ...
	\|2=Tipp anzeigen\|3=Tipp ausblenden}}		\|2=Tipp anzeigen\|3=Tipp ausblenden}}
	~~<br><br>~~
	{{Lösung versteckt\|1= ... die Bogenlänge des Kreisausschnittes (=Umfang des Kegels mit Radius r) zum Umfang des vollen Kreises mit Radius s!		{{Lösung versteckt\|1= ... die Bogenlänge des Kreisausschnittes (=Umfang des Kegels mit Radius r) zum Umfang des vollen Kreises mit Radius s!
	\|2=Tipp anzeigen\|3=Tipp ausblenden}}		\|2=Tipp anzeigen\|3=Tipp ausblenden}}

	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}

	~~<br><br>~~		'''Anmerkung:'''<br><br>
	~~<span style="color:darkgreen"><u>~~'''Anmerkung:'''~~</u></span>~~ <br><br>
	Über den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel <math>\alpha </math>, dem Vollkreiswinkel und den beiden zu betrachtenden Radien r und s kann man ebenfalls die Formel für den Mantelflächeninhalt aufstellen:<br>		Über den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel <math>\alpha </math>, dem Vollkreiswinkel und den beiden zu betrachtenden Radien r und s kann man ebenfalls die Formel für den Mantelflächeninhalt aufstellen:<br>

	<math>M_{K}=\pi s^{2}\cdot \frac {\alpha } {360^{o}}=\pi s^{2}\cdot \frac {r} {s} =\pi \cdot r\cdot s</math><br>		<math>M_{K}=\pi s^{2}\cdot \frac {\alpha } {360^{o}}=\pi s^{2}\cdot \frac {r} {s} =\pi \cdot r\cdot s</math><br>
			Die oben aufgestellte Verhältnisgleichung wird einfach in die bereits bekannte Flächeninhaltsformel des Kreissektors eingesetzt!

	~~Die oben aufgestellte Verhältnisgleichung wird einfach in die bereits bekannte Flächeninhaltsformel des Kreissektors eingesetzt!~~

	~~<br><br><br><br>~~

	==Oberfläche und Oberflächeninhalt==		==Oberfläche und Oberflächeninhalt==
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	}}		}}
	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}
	~~<br><br><br><br>~~

	==Volumen des Kegels==		==Volumen des Kegels==
	<br>		<br>
	{{Box\|1=Aufgabe 6\|2=		{{Box\|1=Aufgabe 6\|2=
	'''Experimentelle Bestimmung des Kegelvolumens''' ~~<br><br>~~		'''Experimentelle Bestimmung des Kegelvolumens''' mit Hilfe der beiden abgebildeten Füllkörper:<br>
	~~...~~ mit Hilfe der beiden abgebildeten Füllkörper:<br>		<center>[[Datei:Füllkörper_Kegel_Zylinder.jpg\|300px]]</center>
	~~'''~~[[Datei:Füllkörper_Kegel_Zylinder.jpg\|300px]]<~~br><br~~>
	Das Experiment wird vor der gesamten Klasse durchgeführt!		Das Experiment wird vor der gesamten Klasse durchgeführt!
	<br><br>		<br><br>
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	Beweise, dass ein Kegel und eine Pyramide mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe auch gleiches Volumen besitzen! <br>		Beweise, dass ein Kegel und eine Pyramide mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe auch gleiches Volumen besitzen! <br>
	Nutze dazu auch das folgende Geogebra-Applet, bei dem du dich im ersten Schritt '''anschaulich''' von der Richtigkeit der Aussage überzeugen kannst. Schreibe anschließend einen allgemeingültigen Beweis auf.		Nutze dazu auch das folgende Geogebra-Applet, bei dem du dich im ersten Schritt '''anschaulich''' von der Richtigkeit der Aussage überzeugen kannst. Schreibe anschließend einen allgemeingültigen Beweis auf.
			<ggb_applet id="bPeH6yeB" width="100%" height="450" border="888888" />
	{{Lösung versteckt\|1=		{{Lösung versteckt\|1=
	Der Beweis kann analog zu dem Beweis aus Aufgabe 5 der Lerneinheit "Rund um die Pyramide" geführt werden (Volumenvergleich zweier Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe)!<br>		Der Beweis kann analog zu dem Beweis aus Aufgabe 5 der Lerneinheit "Rund um die Pyramide" geführt werden (Volumenvergleich zweier Pyramiden mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe)!<br>
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	[https://ggbm.at/bPeH6yeB GeoGebra Applet "Volumenvergleich Pyramide und Kegel"]		[https://ggbm.at/bPeH6yeB GeoGebra Applet "Volumenvergleich Pyramide und Kegel"]

	~~<br><br><br><br>~~

	Hier geht es zur [[/Zusammenfassung/]]!		Hier geht es zur [[/Zusammenfassung/]]!

	~~<br><br><br><br>~~

	==Übungsaufgaben: Berechnungen rund um den Kegel==		==Übungsaufgaben: Berechnungen rund um den Kegel==

Maria Eirich am 4. November 2018 um 19:28 Uhr

2018-11-04T19:28:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2018, 19:28 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:
	Gehe dazu schrittweise vor und zeige zuerst, dass <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s</math> ist. Nutze auch die beschriftete Zeichnung der Mantelfläche als Hilfestellung!		Gehe dazu schrittweise vor und zeige zuerst, dass <math>M_{K}=\frac {1} {2} b\cdot s</math> ist. Nutze auch die beschriftete Zeichnung der Mantelfläche als Hilfestellung!
	{{Lösung versteckt\|1=		{{Lösung versteckt\|1=
	*<span style="color:red">Der Mantelflächeninhalt des Kegels entspricht dem Flächeninhalt des Kreisausschnittes mit Radius s und Bogenlänge b. ~~</span>~~<br>		Der Mantelflächeninhalt des Kegels entspricht dem Flächeninhalt des Kreisausschnittes mit Radius s und Bogenlänge b. <br>
	*<span style="color:red">b ist die Bogenlänge des Kreisaussektors mit Radius s und gleichzeitig der Umfang des Kegels mit Radius r!</span>		*<span style="color:red">b ist die Bogenlänge des Kreisaussektors mit Radius s und gleichzeitig der Umfang des Kegels mit Radius r!</span>
	\|2=Hinweis anzeigen\|3=Hinweis ausblenden}}<br>		\|2=Hinweis anzeigen\|3=Hinweis ausblenden}}<br>

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	}}		}}
	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}
	~~<br><br>~~

	~~[https://ggbm.at/bPeH6yeB GeoGebra Applet "Volumenvergleich Pyramide und Kegel"]~~


	Hier geht es zur [[/Zusammenfassung/]]!		Hier geht es zur [[/Zusammenfassung/]]!



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	Aus einem Kreisausschnitt wird ein Trichter geformt (s. Abbildung). Welches Volumen fasst der Trichter? <br>		Aus einem Kreisausschnitt wird ein Trichter geformt (s. Abbildung). Welches Volumen fasst der Trichter? <br>
	[[Datei:Übung_Kegel_Trichter.jpg\|560px]]		[[Datei:Übung_Kegel_Trichter.jpg\|560px]]

	~~<br>~~
	{{Lösung versteckt\|1=		{{Lösung versteckt\|1=
	Der Trichter ist ein Kegel. Zur Berechnung des Volumens benötigen wir den Radius r und die Höhe h des Kegels. <br>		Der Trichter ist ein Kegel. Zur Berechnung des Volumens benötigen wir den Radius r und die Höhe h des Kegels. <br>
	Die Bogenlänge b des Kreisausschnitts mit Radius s berechnet sich durch:~~<br>~~		Die Bogenlänge b des Kreisausschnitts mit Radius s berechnet sich durch:

	<math>b=2\pi s\cdot \frac {\alpha } {360^{o} }=\pi s\cdot \frac {\alpha } {180^{o} }=\pi \cdot 20cm \cdot \frac {120^{o} } {180^{o} }=\frac {40\pi } {3} cm \approx 41,89cm</math~~> <br><br~~>		<math>b=2\pi s\cdot \frac {\alpha } {360^{o} }=\pi s\cdot \frac {\alpha } {180^{o} }=\pi \cdot 20cm \cdot \frac {120^{o} } {180^{o} }=\frac {40\pi } {3} cm \approx 41,89cm</math>

	Die Bogenlänge b entspricht dem Umfang des Grundkreises des Kegels mit Radius r, also <math>b=2\pi r</math>! <br><br>		Die Bogenlänge b entspricht dem Umfang des Grundkreises des Kegels mit Radius r, also <math>b=2\pi r</math>! <br><br>
	<math>\Rightarrow r= \frac {b} {2\pi }=\frac {40\pi } {3} \cdot \frac {1} {2\pi } cm= \frac {20} {3}cm \approx 6,67 cm</math~~> <br><br~~>		<math>\Rightarrow r= \frac {b} {2\pi }=\frac {40\pi } {3} \cdot \frac {1} {2\pi } cm= \frac {20} {3}cm \approx 6,67 cm</math>

	Die Höhe h wird über den Satz von Pythagoras berechnet (oben in der Abbildung kannst du das benötigte rechtwinklige Dreieck erkennen!): ~~<br>~~<br>		Die Höhe h wird über den Satz von Pythagoras berechnet (oben in der Abbildung kannst du das benötigte rechtwinklige Dreieck erkennen!): <br>
	<math>h=\sqrt {s^{2}-r^{2} }= \sqrt {\left(20cm\right)^{2}-\left(\frac {20} {3}cm\right)^{2} } = \sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2} } \approx 18,86 cm</math~~> <br~~><br>		<math>h=\sqrt {s^{2}-r^{2} }= \sqrt {\left(20cm\right)^{2}-\left(\frac {20} {3}cm\right)^{2} } = \sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2} } \approx 18,86 cm</math> <br>
	<span style="color:green">''(Hier könnte man jetzt noch teilweise die Wurzel ziehen! Also <math>\sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2} }=\frac {20} {3}\cdot \sqrt {8}cm</math>)''</span~~> <br~~><br>		<span style="color:green">''(Hier könnte man jetzt noch teilweise die Wurzel ziehen! Also <math>\sqrt {\frac {3200} {9}cm^{2} }=\frac {20} {3}\cdot \sqrt {8}cm</math>)''</span> <br>
	Nun kann das Kegelvolumen berechnet werden: ~~<br>~~<br>		Nun kann das Kegelvolumen berechnet werden: <br>
	<math>V=\frac {1} {3}\pi r^{2}\cdot h= \frac {1} {3} \pi \cdot \left(\frac {20} {3}\right)^{2} \cdot \sqrt {\frac {3200} {9} }cm \approx 877,61 cm^{3}</math~~> <br><br~~>		<math>V=\frac {1} {3}\pi r^{2}\cdot h= \frac {1} {3} \pi \cdot \left(\frac {20} {3}\right)^{2} \cdot \sqrt {\frac {3200} {9} }cm \approx 877,61 cm^{3}</math>

	Der Trichter hat ein Volumen von ungefähr 877,61 cm³, also weniger als ein Liter!		Der Trichter hat ein Volumen von ungefähr 877,61 cm³, also weniger als ein Liter!