Potenzfunktionen - 4. Stufe - Versionsgeschichte

F.Bischof am 24. April 2022 um 10:36 Uhr

2022-04-24T10:36:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2022, 10:36 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	__NOTOC__		__NOTOC__

	== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN<sup>*</sup> ==		==Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>∈</small> IN<sup>*</sup>==

	=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===		===Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3===
	<ggb_applet height="450" width="900" ~~showMenuBar~~="false" ~~showResetIcon~~="true" id="xhhysjna" />		<ggb_applet height="450" width="900" showmenubar="false" showreseticon="true" id="xhhysjna" />

	{{Box\|1=Aufgabe 1\|2=		{{Box\|1=Aufgabe 1\|2=
Zeile 21:		Zeile 21:
	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}

	== Exponenten, Brüche und Potenzgesetze ==		==Exponenten, Brüche und Potenzgesetze==

	Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:		Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:

	:''Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n<math>\neq</math>0 wird definiert:''		:''Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n<math>\neq</math>0 wird definiert:''
	:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math>		:<math>a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}</math> für <math>a \neq 0.</math>
Zeile 29:		Zeile 30:

	Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:		Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

	:<font style="vertical-align:0%;"><math>x^{-\frac 1 n}</math></font><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.</math>		:<font style="vertical-align:0%;"><math>x^{-\frac 1 n}</math></font><math>= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.</math>

Zeile 42:		Zeile 44:


	== Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen ==		==Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen==

	<big>'''Beispiel I:'''</big>		<big>'''Beispiel I:'''</big>
Zeile 53:		Zeile 55:
	Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)<math>=</math>x<sup>3</sup>.		Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)<math>=</math>x<sup>3</sup>.

	<ggb_applet height="450" width="900" ~~showMenuBar~~="false" ~~showResetIcon~~="true" id="uxgafbxh" />		<ggb_applet height="450" width="900" showmenubar="false" showreseticon="true" id="uxgafbxh" />

	<big>'''Beispiel II:'''</big>		<big>'''Beispiel II:'''</big>
Zeile 64:		Zeile 66:


	<ggb_applet height="450" width="900" ~~showMenuBar~~="false" ~~showResetIcon~~="true" id="sukyfev6" />		<ggb_applet height="450" width="900" showmenubar="false" showreseticon="true" id="sukyfev6" />


	''Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f<sup>-1</sup> und f(x)<math>=</math>x<sup>-1</sup>!''		''Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f<sup>-1</sup> und f(x)<math>=</math>x<sup>-1</sup>!''

	=== Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1 ===		===Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1===

	Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_-_1._Stufe \|Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]].		Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_-_1._Stufe \|Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]].
Zeile 81:		Zeile 83:
	<br />		<br />

	=== Zusammenfassung ===		===Zusammenfassung===

	Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form <font style="vertical-align:15%;"><math>f(x) = x^{\frac 1 n},</math> mit n ∈ IN<sup>*</sup> und <math>n\geq2</math></font> sind Potenzfunktionen der Form <math>f(x)\!\, = x^n.</math> Sie sind definiert auf dem Definitionsbereich D = IR<sup>+</sup><sub>0</sub>.<br />		Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form <font style="vertical-align:15%;"><math>f(x) = x^{\frac 1 n},</math> mit n ∈ IN<sup>*</sup> und <math>n\geq2</math></font> sind Potenzfunktionen der Form <math>f(x)\!\, = x^n.</math> Sie sind definiert auf dem Definitionsbereich D = IR<sup>+</sup><sub>0</sub>.<br />
Zeile 88:		Zeile 90:


	== *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip ==		==*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip==
	<small>(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)</small>		<small>(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)</small>


	<ggb_applet height="450" width="900" ~~showMenuBar~~="false" ~~showResetIcon~~="true" id="ju6exjps" />		<ggb_applet height="450" width="900" showmenubar="false" showreseticon="true" id="ju6exjps" />

	{{Box\|1=Aufgabe 4\|2=		{{Box\|1=Aufgabe 4\|2=
Zeile 107:		Zeile 109:
	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}

	== *Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen ==		==*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen==
	<small>(freiwillig)</small>		<small>(freiwillig)</small>

Zeile 143:		Zeile 145:
	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:~~GeoGebra~~]]		[[Kategorie:Analysis]]
			[[Kategorie:Potenzfunktionen]]

Karl Kirst: - ZUM2Edutags

2021-12-17T11:17:25Z

- ZUM2Edutags

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2021, 11:17 Uhr
Zeile 142:		Zeile 142:

	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	~~[[Kategorie:ZUM2Edutags]]~~
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:GeoGebra]]		[[Kategorie:GeoGebra]]

Kilian Schoeller am 15. Dezember 2018 um 17:31 Uhr

2018-12-15T17:31:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Dezember 2018, 17:31 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:
	<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist:<br />		<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist:<br />

	<math>\begin{array}{lcr} x^{\frac{1}{3}} & = & y \\ x^{\frac{3}{3}} & = & y^3 \\ x & = & y^3 \end{array}</math>		<math>\begin{array}{lcr} x^{\frac{1}{3}} & = & g(x) = y \\ x^{\frac{3}{3}} & = & y^3 \\ x & = & y^3 \end{array}</math>
	~~<math>\begin{array}{lcr} y & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z \end{array}</math>~~

	~~<math>~~
	~~\begin{array}~~
	~~y = x^{\frac{1}{3}} \quad \vert \quad ^3 \\~~
	~~y^3 = x^{\frac{3}{3}} \\~~
	~~= x~~
	~~\end{array}~~
	~~</math>~~


	Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)<math>=</math>x<sup>3</sup>.		Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)<math>=</math>x<sup>3</sup>.
Zeile 69:		Zeile 59:

	Auflösen nach x ergibt:<br />		Auflösen nach x ergibt:<br />
	<math>
	\begin{~~align~~}		<math>\begin{array}{lcr} y & = & x^{-\frac{1}{3}} \\ y^3 & = & x^{- \frac{3}{3}} \\ & = & x^{-1} \\ y^3 & = & \frac{1}{x} \\ x \cdot y^3 & = & 1 \\
	y = x^{- \frac 1 3} ~~\quad \vert \quad ^3~~ \\		x & = & \frac{1}{y^3}\\ & = & y^{-3} \end{array}</math>
	y^3 = x^{- \frac 3 3} \\
	= x^{-1} \\
	= \frac 1 x ~~\quad \vert \quad \cdot x~~ \\
	x \cdot y^3 = 1 ~~\quad \vert \quad :y^3~~ \\
	x = \frac{1}{y^3} \\
	= y^{-3}
	\end{~~align~~}
	</math>

Kilian Schoeller am 8. Dezember 2018 um 11:03 Uhr

2018-12-08T11:03:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Dezember 2018, 11:03 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:

	<math>\begin{array}{lcr} x^{\frac{1}{3}} & = & y \\ x^{\frac{3}{3}} & = & y^3 \\ x & = & y^3 \end{array}</math>		<math>\begin{array}{lcr} x^{\frac{1}{3}} & = & y \\ x^{\frac{3}{3}} & = & y^3 \\ x & = & y^3 \end{array}</math>
	<math>\begin{array}{lcr} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z \end{array}</math>		<math>\begin{array}{lcr} y & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z \end{array}</math>

	<math>		<math>

Kilian Schoeller am 7. Dezember 2018 um 15:08 Uhr

2018-12-07T15:08:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Dezember 2018, 15:08 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:

	<math>\begin{array}{lcr} x^{\frac{1}{3}} & = & y \\ x^{\frac{3}{3}} & = & y^3 \\ x & = & y^3 \end{array}</math>		<math>\begin{array}{lcr} x^{\frac{1}{3}} & = & y \\ x^{\frac{3}{3}} & = & y^3 \\ x & = & y^3 \end{array}</math>
			<math>\begin{array}{lcr} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z \end{array}</math>

	<math>		<math>
	\begin{~~align~~}		\begin{array}
	y = x^{\frac{1}{3}} \quad \vert \quad ^3 \\		y = x^{\frac{1}{3}} \quad \vert \quad ^3 \\
	y^3 = x^{\frac{3}{3}} \\		y^3 = x^{\frac{3}{3}} \\
	= x		= x
	\end{~~align~~}		\end{array}
	</math>		</math>

Kilian Schoeller am 7. Dezember 2018 um 09:17 Uhr

2018-12-07T09:17:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Dezember 2018, 09:17 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:
	<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist:<br />		<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist:<br />

			<math>\begin{array}{lcr} x^{\frac{1}{3}} & = & y \\ x^{\frac{3}{3}} & = & y^3 \\ x & = & y^3 \end{array}</math>
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}

Kilian Schoeller am 23. November 2018 um 14:36 Uhr

2018-11-23T14:36:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2018, 14:36 Uhr
Zeile 155:		Zeile 155:

	{{Fortsetzung\|weiter=Weiter\|weiterlink=Potenzfunktionen_-_Test}}		{{Fortsetzung\|weiter=Weiter\|weiterlink=Potenzfunktionen_-_Test}}

			[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
			[[Kategorie:Interaktive Übung]]
			[[Kategorie:GeoGebra]]

Maria Eirich am 8. November 2018 um 18:24 Uhr

2018-11-08T18:24:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. November 2018, 18:24 Uhr
Zeile 110:		Zeile 110:

	{{Box\|1=Aufgabe 4\|2=		{{Box\|1=Aufgabe 4\|2=
	Schau Dir dieses [~~http~~://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an. Dort lernst Du die Merkregel des "5 S"-Prinzips kennen; die "5 S" lauten:		Schau Dir dieses [https://www.oberprima.com/index.php/parameter-in-potenzfunktionen/nachhilfe Video (Link hier)] auf www.oberprima.com an. Dort lernst Du die Merkregel des "5 S"-Prinzips kennen; die "5 S" lauten:
	* '''S'''piegeln		* '''S'''piegeln
	* '''S'''trecken		* '''S'''trecken

Kilian Schoeller am 7. November 2018 um 08:24 Uhr

2018-11-07T08:24:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. November 2018, 08:24 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:
	<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist:<br />		<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist:<br />

			<math>
	<math>y = x^{\frac{1}{3}} \quad \vert \quad ^3~~</math>~~		\begin{align}
	~~<math>~~y^3 = x^{\frac{3}{3}}~~</math>~~		y = x^{\frac{1}{3}} \quad \vert \quad ^3 \\
	~~<math>~~= x</math>		y^3 = x^{\frac{3}{3}} \\
			= x
			\end{align}
			</math>


Zeile 64:		Zeile 66:

	Auflösen nach x ergibt:<br />		Auflösen nach x ergibt:<br />
	<math>\begin{~~matrix~~}y &=& x^{- \frac 1 3}~~. &\|& (~~\,)^3\\		<math>
	y^3 &=& x^{- \frac 3 3}~~, &&~~ \\		\begin{align}
	&=& x^{-1}~~, &&~~ \\		y = x^{- \frac 1 3} \quad \vert \quad ^3 \\
	&=~~& \textstyle~~ \frac 1 x~~. &\|&~~ \cdot\, x \\		y^3 = x^{- \frac 3 3} \\
	x\cdot y^3 &=& 1~~. &\|&~~ :y^3 \\		= x^{-1} \\
	x &=~~& \textstyle~~ \frac{1}{y^3} && \\		= \frac 1 x \quad \vert \quad \cdot x \\
	&=& y^{-3}~~.&&~~ \end{~~matrix~~}</math>		x \cdot y^3 = 1 \quad \vert \quad :y^3 \\
			x = \frac{1}{y^3} \\
			= y^{-3}
			\end{align}
			</math>


	<ggb_applet height="450" width="900" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="sukyfev6" />		<ggb_applet height="450" width="900" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="sukyfev6" />

Kilian Schoeller am 6. November 2018 um 10:59 Uhr

2018-11-06T10:59:26Z

Änderungen zeigen