Potenzfunktionen - 3. Stufe - Versionsgeschichte

F.Bischof am 24. April 2022 um 10:35 Uhr

2022-04-24T10:35:38Z

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	'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^*</math> als Exponenten haben.'''		'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^*</math> als Exponenten haben.'''

	== Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN<sup>*</sup> ==		==Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN<sup>*</sup>==

	=== Funktionsgraph kennenlernen ===		===Funktionsgraph kennenlernen===

	{{Box\|1=Aufgabe 1\|2=		{{Box\|1=Aufgabe 1\|2=
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	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}

	=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===		===Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2===

	{{Box\|1=Aufgabe 2\|2=		{{Box\|1=Aufgabe 2\|2=
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	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}

	== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==		==Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln==

	Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}^*.</math>		Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}^*.</math>
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	=== Beispiel: Quadratwurzeln ===		===Beispiel: Quadratwurzeln===

	[[Datei:Diagonale_Potenzfunktionen.jpg\|right\|165px]]		[[Datei:Diagonale_Potenzfunktionen.jpg\|right\|165px]]
	Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonalen B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:		Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonalen B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:

	:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>		:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>

	Die Lösung <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.		Die Lösung <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.

	[[Bild:diagonale3.jpg\|right\|170px]]		[[Bild:diagonale3.jpg\|right\|170px]]
	Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = C^2</math>) zu:		Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = C^2</math>) zu:

	:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>		:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>

	Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.		Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.


			===Beispiel: Kubikwurzel===

	=~~== Beispiel~~: ~~Kubikwurzel ===~~		Das Volumen V eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge s<math>=</math>5 ergibt sich über:<br />

	~~Das Volumen V eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge s<math>=</math>5 ergibt sich über:<br />~~
	:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>		:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>

	Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V<math>=</math>27 durch ziehen der 3.-Wurzel:		Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V<math>=</math>27 durch ziehen der 3.-Wurzel:

	:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>		:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>

	== Einfluss von Parametern ==		==Einfluss von Parametern==


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	== *Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==		==*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen==
	<small>(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)</small>		<small>(*Zusatzinformation, freilwillige Ergänzung)</small>

	==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub> ====		====Einschränkung auf IR<sup>+</sup><sub>0</sub>====

	Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>		Gelegentlich findet man in Büchern oder auch im Internet folgende Darstellung: <math>\sqrt[3]{-8}= -2,</math>

	Wegen		Wegen
	:(-2)<sup>3</sup> <math>=</math>-8
			:(-2)<sup>3</sup> <math>=</math>-8

	erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:		erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:
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	Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:		Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten, aber auch um Fallunterscheidungen bei <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für gerade und ungerade n zu vermeiden, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen grundsätzlich auf die nicht-negativen reellen Zahlen ein, also:

	:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>		:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>

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	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:~~GeoGebra~~]]		[[Kategorie:Analysis]]
			[[Kategorie:Potenzfunktionen]]

Karl Kirst: - ZUM2Edutags

2021-12-17T11:17:53Z

- ZUM2Edutags

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2021, 11:17 Uhr
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	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	~~[[Kategorie:ZUM2Edutags]]~~
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:GeoGebra]]		[[Kategorie:GeoGebra]]

Kilian Schoeller am 23. November 2018 um 14:35 Uhr

2018-11-23T14:35:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2018, 14:35 Uhr
Zeile 120:		Zeile 120:

	{{Fortsetzung\|weiter=Weiter\|weiterlink=Potenzfunktionen_-_4._Stufe}}		{{Fortsetzung\|weiter=Weiter\|weiterlink=Potenzfunktionen_-_4._Stufe}}

			[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
			[[Kategorie:Interaktive Übung]]
			[[Kategorie:GeoGebra]]

Christian: Textersetzung - „\{\{Weiter\|([^|]+?)\|([^|]+?)\}\}“ durch „{{Fortsetzung|weiter=$2|weiterlink=$1}}“

2018-11-02T20:49:09Z

Textersetzung - „\{\{Weiter\|([^|]+?)\|([^|]+?)\}\}“ durch „{{Fortsetzung|weiter=$2|weiterlink=$1}}“

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2018, 20:49 Uhr
Zeile 119:		Zeile 119:
	'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.'''<br />		'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die auch negative Stammbrüchen im Exponenten haben.'''<br />

	{{Weiter\|Potenzfunktionen_-_4._Stufe~~\|Weiter~~}}		{{Fortsetzung\|weiter=Weiter\|weiterlink=Potenzfunktionen_-_4._Stufe}}

Kilian Schoeller am 25. Oktober 2018 um 13:42 Uhr

2018-10-25T13:42:33Z

Änderungen zeigen

Kilian Schoeller: 227 Versionen importiert

2018-09-02T11:33:45Z

227 Versionen importiert

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Version vom 2. September 2018, 11:33 Uhr

Main>Peter Hofbauer am 17. Januar 2011 um 19:38 Uhr

2011-01-17T19:38:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Januar 2011, 19:38 Uhr
Zeile 121:		Zeile 121:
	:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>		:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math>

	~~==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====~~

	Will man eine Wurzelfunktion ''g'' dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa ''g'' derart, dass
	~~:<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>.~~
	~~Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.~~

	----		----

Main>Peter Hofbauer am 17. Januar 2011 um 17:28 Uhr

2011-01-17T17:28:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Januar 2011, 17:28 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>		# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
	:{{Lösung versteckt\|		:{{Lösung versteckt\|
	: zu 1) Der Definitionsbereich ist <~~math~~>~~{\Bbb D}={\Bbb R}^{\geq~~ 0}</~~math~~>. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.		: zu 1) Der Definitionsbereich ist IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Der kleinste Funktionswert y<math>=</math>0 wird für x<math>=</math>0 angenommen; von da aus steigen die blauen Graphen streng monoton über alle Grenzen an.
	: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt 0<sup>r</sup> <math>=</math>0 und 1<sup>r</sup> <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.		: zu 2) Man findet die Punkte (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen. '''Begründung:''' Es gilt 0<sup>r</sup> <math>=</math>0 und 1<sup>r</sup> <math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
	}}		}}

Main>Peter Hofbauer am 17. Januar 2011 um 12:16 Uhr

2011-01-17T12:16:33Z

Main>Peter Hofbauer am 17. Januar 2011 um 12:02 Uhr

2011-01-17T12:02:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Januar 2011, 12:02 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:

	Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math>		Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math>
	{{Merksatz\|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) <~~math~~>~~{\Bbb D} = {\Bbb R}^{\geq~~ 0}</~~math~~>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion ~~<math>~~f~~</math>~~ mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion ~~<math>~~g~~</math>~~ der Bauart ~~<math>~~g(x)=~~x^n~~</math> ~~und~~ <~~math~~>g</~~math~~> die Umkehrfunktion zu ~~<math>~~f~~</math>~~ (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen \| nächstes Kapitel]]).		{{Merksatz\|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)<math>=</math> x<sup>n</sup> und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen \| nächstes Kapitel]]).

	Im Falle <math>n=2</math> nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:		Im Falle n<math>=</math>2 nennt man die Wurzel "''Quadratwurzel''" und man schreibt:
	:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>		:<math>x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}</math>

	Im Falle <math>n=3</math> nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.		Im Falle n<math>=</math>3 nennt man die Wurzel "''Kubikwurzel''", i. Z.: <font style="vertical-align:27%;"><math>x^{\frac{1}{3}}</math></font> bzw. <math>\sqrt[3]{x}</math>.
	}}		}}

Zeile 70:		Zeile 70:
	\|- valign="top"		\|- valign="top"
	\|		\|
	Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonale ~~<math>~~B~~</math>~~ in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:		Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonale B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
	:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>		:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
	Die Lösung ist <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.		Die Lösung ist <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
	! width="300" \| [[Bild:diagonale.png\|right\|165px]]		! width="300" \| [[Bild:diagonale.png\|right\|165px]]
	\|- valign="top"		\|- valign="top"
	\| Auch die Länge der '''Raumdiagonale ~~<math>~~C~~</math>~~ im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = D^2</math>) zu:		\| Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = D^2</math>) zu:
	:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>		:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
	Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.		Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.
Zeile 82:		Zeile 82:
	=== Beispiel: Kubikwurzel ===		=== Beispiel: Kubikwurzel ===

	Das Volumen ~~<math>~~V~~</math>~~ eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge <math>s=5</math> ergibt sich über:<br />		Das Volumen V eines Würfels (lat.: "''cubus''") der Kantenlänge s<math>=</math>5 ergibt sich über:<br />
	:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>		:<math>V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.</math>

	Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen <math>V=27</math> durch ziehen der 3.-Wurzel:		Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen V<math>=</math>27 durch ziehen der 3.-Wurzel:
	:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>		:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math>

Zeile 94:		Zeile 94:

	{{Arbeiten\|NUMMER=3\|ARBEIT=		{{Arbeiten\|NUMMER=3\|ARBEIT=
	In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter ~~<math>~~a~~</math>~~ und ~~<math>~~c~~</math>~~ mit den Schiebereglern verändern.<br />		In nebenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern.<br />
	# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?		# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
	# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?		# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?
	:{{Lösung versteckt\|		:{{Lösung versteckt\|
	: zu 1.) Der Parameter ~~<math>~~a~~</math>~~ bewirkt für ~~<math>~~a>1~~</math>~~ eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für ~~<math>~~0<a<1~~</math>~~ eine Stauchung in y-Richtung; für <math>a=0</math> erhält man eine konstante Funktion mit ~~<math>~~f(x)=c</math>. Wird ~~<math>~~a~~</math>~~ negativ, so wird ~~<math>~~f~~</math>~~ zu einer monoton fallenden Funktion.<br />zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert ~~<math>~~y~~</math>~~ der Wert ~~<math>~~c~~</math>~~ addiert wird.		: zu 1.) Der Parameter a bewirkt für a>1 eine Streckung des Graphen in y-Richtung, für 0<a<1 eine Stauchung in y-Richtung; für a<math>=</math>0 erhält man eine konstante Funktion mit f(x)<math>=</math>c. Wird a negativ, so wird f zu einer monoton fallenden Funktion.<br />zu 2.) Der Parameter c bewirkt eine Verschiebung des kompletten Graphen in y-Richung, da zu jedem Funktionswert y der Wert c addiert wird.
	}}<br>		}}<br>
	}}		}}
Zeile 111:		Zeile 111:

	Wegen		Wegen
	:~~<math>~~(-2)^3 = -8</math>		:(-2)<sup>3</sup> <math>=</math>-8

	erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:		erscheint das richtig zu sein, allerdings kann diese Festlegung zu Widersprüchen führen, wie das folgende Beispiel zeigt:

← Nächstältere Version		Version vom 17. Januar 2011, 12:16 Uhr
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	'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.'''		'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}^*</math> als Exponenten haben.'''

	== Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN ==		== Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN<sup>*</sup> ==

	=== Funktionsgraph kennenlernen ===		=== Funktionsgraph kennenlernen ===
Zeile 51:		Zeile 51:
	== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==		== Bezeichungen: Potenzen und Wurzeln ==

	Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}.</math>		Wir betrachten hier Potenzfunktionen mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> , <math>n \in \mathbb{N}^*.</math>
	{{Merksatz\|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)<math>=</math> x<sup>n</sup> und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen \| nächstes Kapitel]]).		{{Merksatz\|MERK= Wegen <math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math> nennt man diese Funktionen auch ''Wurzelfunktionen''. Ihr Definitionsbereich ist (wie die Aufgaben 1 und 2 gezeigt haben) IR<sup>+</sup><sub>0</sub>. Beschränkt man sich auf diesen Definitonsbereich, dann ist die n-te Wurzelfunktion f mit <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion g der Bauart g(x)<math>=</math> x<sup>n</sup> und g die Umkehrfunktion zu f (Näheres zur ''Umkehrfunktion'' siehe [[Potenzfunktionen_4._Stufe#Potenzfunktionen_und_ihre_Umkehrfunktionen \| nächstes Kapitel]]).

Zeile 70:		Zeile 70:
	\|- valign="top"		\|- valign="top"
	\|		\|
	Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''~~Diagonale~~ B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:		Beispielsweise ergibt sich die Länge der '''Diagonalen B in einem Quadrat''' der Seitenlänge a<math>=</math>1 über den Satz des Pythagoras <math>\left( a^2 \!\,+ a^2 = B^2 \right)</math> zu:
	:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>		:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =B^2 \quad \Rightarrow</math> <math>\quad B = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math>
	Die Lösung ~~ist~~ <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.		Die Lösung <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ergibt hier keinen Sinn, da wir nur Längen in der realen Welt betrachten.
	! width="300" \| [[Bild:diagonale.png\|right\|165px]]		! width="300" \| [[Bild:diagonale.png\|right\|165px]]
	\|- valign="top"		\|- valign="top"
	\| Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = D^2</math>) zu:		\| Auch die Länge der '''Raumdiagonale C im Einheitswürfel''' (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge a=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>B^2 + \!\,a^2 = C^2</math>) zu:
	:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>		:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = C^2 \quad \Rightarrow</math> <math> \quad C = \pm \sqrt{3} = \pm 3^{\frac 1 2}.</math>
	Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.		Die Lösung ist also <font style="vertical-align:15%;"><math>\textstyle C = \sqrt{3}</math></font> angeben.
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	{{Arbeiten\|NUMMER=3\|ARBEIT=		{{Arbeiten\|NUMMER=3\|ARBEIT=
	In ~~nebenstehendem~~ Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern.<br />		In obenstehendem Applet kannst Du die Parameter a und c mit den Schiebereglern verändern.<br />
	# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?		# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen?
	# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?		# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen?