Potenzfunktionen - 1. Stufe - Versionsgeschichte

F.Bischof am 24. April 2022 um 10:34 Uhr

2022-04-24T10:34:46Z

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	__NOTOC__		__NOTOC__

	== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>∈</small> IN ==		==Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>∈</small> IN==
	=== Gerade Potenzen ===		===Gerade Potenzen===

	'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''		'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
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	=== Ungerade Potenzen ===		===Ungerade Potenzen===

	'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''		'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
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	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}

	=== Teste dein Wissen ===		===Teste dein Wissen===

	{{Box\|1=Aufgabe 3\|2=		{{Box\|1=Aufgabe 3\|2=
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	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}

	== Die Graphen von f(x) = a x<sup>n</sup>, mit a <small>∈</small> IR ==		==Die Graphen von f(x) = a x<sup>n</sup>, mit a <small>∈</small> IR==

	'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .'''		'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .'''
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	}}		}}
	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}



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	=== Teste Dein Wissen ===		===Teste Dein Wissen===

			*[http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]

	* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
	<br />		<br />
	----		----
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	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:~~GeoGebra~~]]		[[Kategorie:Analysis]]
			[[Kategorie:Potenzfunktionen]]

Karl Kirst: - ZUM2Edutags

2021-12-17T11:18:54Z

- ZUM2Edutags

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2021, 11:18 Uhr
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	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	~~[[Kategorie:ZUM2Edutags]]~~
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:GeoGebra]]		[[Kategorie:GeoGebra]]

Kilian Schoeller am 23. November 2018 um 14:34 Uhr

2018-11-23T14:34:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2018, 14:34 Uhr
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	{{Fortsetzung\|weiter=Weiter\|weiterlink=Potenzfunktionen_-_2._Stufe}}		{{Fortsetzung\|weiter=Weiter\|weiterlink=Potenzfunktionen_-_2._Stufe}}

			[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
			[[Kategorie:Interaktive Übung]]
			[[Kategorie:GeoGebra]]

Christian: Textersetzung - „\{\{Weiter\|([^|]+?)\|([^|]+?)\}\}“ durch „{{Fortsetzung|weiter=$2|weiterlink=$1}}“

2018-11-02T21:08:16Z

Textersetzung - „\{\{Weiter\|([^|]+?)\|([^|]+?)\}\}“ durch „{{Fortsetzung|weiter=$2|weiterlink=$1}}“

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Zeile 127:		Zeile 127:
	'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.'''<br />		'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.'''<br />

	{{Weiter\|Potenzfunktionen_-_2._Stufe~~\|Weiter~~}}		{{Fortsetzung\|weiter=Weiter\|weiterlink=Potenzfunktionen_-_2._Stufe}}

Kilian Schoeller am 25. Oktober 2018 um 10:24 Uhr

2018-10-25T10:24:05Z

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Kilian Schoeller: 159 Versionen importiert

2018-09-02T11:29:24Z

159 Versionen importiert

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(kein Unterschied)

Main>Peter Hofbauer am 17. Januar 2011 um 09:50 Uhr

2011-01-17T09:50:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Januar 2011, 09:50 Uhr
Zeile 108:		Zeile 108:
	\|\|		\|\|
	{{Arbeiten\|NUMMER=5\|ARBEIT=		{{Arbeiten\|NUMMER=5\|ARBEIT=
	Wir betrachten wieder die Funktionen ~~mit~~ <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl		Wir betrachten wieder die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
	# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.		# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
	# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.		# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
	<br />		<br />
	{{ Lösung versteckt \|		{{ Lösung versteckt \|
	:zu 1.) Lösung: <math>a=-0,5~~</math>~~ und <math>n=3.</math> <br />		:zu 1.) Lösung: a<math>=</math>-0,5 und n<math>=</math>3. <br />
	: '''Begründung:''' An der Stelle <math>x=1</math> ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> <br />		: '''Begründung:''' An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> <br />
	:: und an der Stelle <math>x=-2</math> ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> <br />		:: und an der Stelle x<math>=</math>-2 ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> <br />
	:zu 2.) Es gibt keine Lösung! <br />		:zu 2.) Es gibt keine Lösung! <br />
	: '''Begründung:''' <br />		: '''Begründung:''' <br />
	::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem ~~<math>~~n~~</math>~~ (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. <br />		::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. <br />
	::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter <math>a=1</math> sein (vgl. Aufgabe 4). <br />		::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a<math>=</math>1 sein (vgl. Aufgabe 4). <br />
	::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. <br />		::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. <br />
	:: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math>		:: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math>

Main>Peter Hofbauer am 17. Januar 2011 um 09:46 Uhr

2011-01-17T09:46:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Januar 2011, 09:46 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	=== Ungerade Potenzen ===		=== Ungerade Potenzen ===

	'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit ~~<math>~~f(x) = x^n</~~math~~>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''		'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''

	{\| <!--class="prettytable sortable" -->		{\| <!--class="prettytable sortable" -->
Zeile 59:		Zeile 59:
	::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.		::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
	::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv'').		::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv'').
	: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von ~~<math>~~n~~</math>~~ in allen Graphen.<br />		: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.<br />
	:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle <math>x=-1</math> ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da ~~<math>~~n~~</math>~~ nach Voraussetzung ungerade ist, ist ~~<math>~~n-1~~</math>~~ eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math>		:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math>
	:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt <math>~~0^r~~ = 0</math> und <math>~~1^r~~=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.		:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0<sup>r</sup><math>=</math>0 und 1<sup>r</sup><math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
	}}		}}
	}}		}}
Zeile 68:		Zeile 68:
	=== Teste dein Wissen ===		=== Teste dein Wissen ===
	{{Arbeiten\|NUMMER=3\|ARBEIT=		{{Arbeiten\|NUMMER=3\|ARBEIT=
	Wir betrachten die Funktionen ~~mit~~ f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl		Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
	# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?		# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
	# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?		# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
	:{{Lösung versteckt\|		:{{Lösung versteckt\|
	:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>		:Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
	:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>.		:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>.
	}}		}}
	}}		}}
Zeile 85:		Zeile 85:
	\| {{Arbeiten\|NUMMER=4\|ARBEIT=		\| {{Arbeiten\|NUMMER=4\|ARBEIT=
	# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!		# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
	# Beschreibe die Veränderung der Graphen ~~mit~~ <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.		# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
	{{ Lösung versteckt \|		{{ Lösung versteckt \|
	: zu 1.)		: zu 1.)
	:* Für ~~<math>~~1 < a~~</math>~~ wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für ~~<math>~~0<a<1~~</math>~~ gestaucht.		:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
	:* Für <math>a=1</math> bleibt er unverändert		:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
	:* Für <math>a=0</math> wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' ~~mit <math>~~f(x)=0</math> für alle ~~<math>~~x~~</math>~~.		:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
	:* Der Wert <math>a=-1</math> bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.		:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
	: zu 2.)		: zu 2.)
	:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.		:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.

Main>Peter Hofbauer am 17. Januar 2011 um 09:34 Uhr

2011-01-17T09:34:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Januar 2011, 09:34 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	:* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.		:* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
	:* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.		:* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
	:* Für ~~<math>~~n>1~~</math>~~ sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br />		:* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br />
	:<br />		:<br />
	:zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.		:zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
	:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall <math>n=0</math> gilt ~~<math>~~(-1)^0=1</math> nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>		:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)<sup>0</sup> <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
	:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist <math>~~1^r~~ = r</math> und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.		:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1<sup>r</sup><math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
	:<br />		:<br />
	:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.		:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
	:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für ~~<math>~~x< -1~~</math>~~ bzw. ~~<math>~~x > 1~~</math>~~ werden die Funktionswerte größer.		:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
	:<br />		:<br />
	:zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>		:zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>

Main>Karl Kirst: Leerzeile

2011-01-04T12:00:17Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Potenzfunktionen}}		{{Potenzfunktionen}}


	== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>∈</small> IN ==		== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>∈</small> IN ==