Lernpfad Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden - Versionsgeschichte

Ukalina am 31. März 2026 um 15:46 Uhr

2026-03-31T15:46:57Z

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	{{~~LernpfadNeu~~/~~Lerneinheit~~/~~Vorspann~~\|~~Titel~~ = Lernschritt Parabeln und Geraden		{{Fortsetzung
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			{{Box\|Lernschritt Parabeln und Geraden
	\|		\|
	* In diesem Lernschritt geht es um die Schnittpunkte von Parabeln und Geraden. Es stellt sich heraus, dass die Schnittpunktberechnung direkt auf die schon bekannte Nullstellenberechnung zurückgeführt werden kann.		* In diesem Lernschritt geht es um die Schnittpunkte von Parabeln und Geraden. Es stellt sich heraus, dass die Schnittpunktberechnung direkt auf die schon bekannte Nullstellenberechnung zurückgeführt werden kann.
	* Das gilt auch für die Schnittpunkte zweier Parabeln.		* Das gilt auch für die Schnittpunkte zweier Parabeln.
	* Außerdem wird noch der Sonderfall beleuchtet, dass eine Gerade eine Parabel nur in einem einzigen Punkt als Tangente berührt. Dieser Fall hängt eng zusammen mit der Frage, wie man die ''Steigung einer Parabel in einem Punkt'' definieren und berechnen kann.		* Außerdem wird noch der Sonderfall beleuchtet, dass eine Gerade eine Parabel nur in einem einzigen Punkt als Tangente berührt. Dieser Fall hängt eng zusammen mit der Frage, wie man die ''Steigung einer Parabel in einem Punkt'' definieren und berechnen kann.
	}}		\|Lernpfad}}

	{{Box		{{Box
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	<!-- Ende 10. Aufgabe -->		<!-- Ende 10. Aufgabe -->

	{{~~LernpfadNeu~~/~~Lerneinheit~~}}
			{{Fortsetzung
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	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Christian am 22. März 2026 um 10:07 Uhr

2026-03-22T10:07:59Z

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	{{~~Fortsetzung~~		{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann\|Titel = Lernschritt Parabeln und Geraden
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	\|~~übersicht~~=~~Kapitelübersicht~~
	~~\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}~~


	~~{{Box\|~~Lernschritt Parabeln und Geraden
	\|		\|
	* In diesem Lernschritt geht es um die Schnittpunkte von Parabeln und Geraden. Es stellt sich heraus, dass die Schnittpunktberechnung direkt auf die schon bekannte Nullstellenberechnung zurückgeführt werden kann.		* In diesem Lernschritt geht es um die Schnittpunkte von Parabeln und Geraden. Es stellt sich heraus, dass die Schnittpunktberechnung direkt auf die schon bekannte Nullstellenberechnung zurückgeführt werden kann.
	* Das gilt auch für die Schnittpunkte zweier Parabeln.		* Das gilt auch für die Schnittpunkte zweier Parabeln.
	* Außerdem wird noch der Sonderfall beleuchtet, dass eine Gerade eine Parabel nur in einem einzigen Punkt als Tangente berührt. Dieser Fall hängt eng zusammen mit der Frage, wie man die ''Steigung einer Parabel in einem Punkt'' definieren und berechnen kann.		* Außerdem wird noch der Sonderfall beleuchtet, dass eine Gerade eine Parabel nur in einem einzigen Punkt als Tangente berührt. Dieser Fall hängt eng zusammen mit der Frage, wie man die ''Steigung einer Parabel in einem Punkt'' definieren und berechnen kann.
	~~\|Lernpfad~~}}		}}

	{{Box		{{Box
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	}}		}}
	<!-- Ende 10. Aufgabe -->		<!-- Ende 10. Aufgabe -->


	~~{{Fortsetzung~~
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	{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}		{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}
	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Christian am 21. März 2026 um 16:32 Uhr

2026-03-21T16:32:48Z

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			{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}
	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Ukalina am 21. März 2026 um 16:06 Uhr

2026-03-21T16:06:34Z

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	~~[[Kategorie: Mathematik]]~~
	~~[[Kategorie: Quadratische Funktionen]]~~
	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Ukalina am 16. März 2026 um 14:26 Uhr

2026-03-16T14:26:28Z

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	\|weiter=weiter		\|weiter=weiter
	\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/~~QF Anhang~~		\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen
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	\|übersicht=Kapitelübersicht		\|übersicht=Kapitelübersicht
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Ukalina am 3. Februar 2026 um 09:22 Uhr

2026-02-03T09:22:55Z

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	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|1= ~~Setze in~~ die Steigungsformel <math> m = 2 a x_t + b </math> die gegebenen Größen <math> m=2 </math> und <math> b=0 </math> ~~ein~~:		\|1= In die Steigungsformel <math> m = 2 a x_t + b </math> die gegebenen Größen <math> m=2 </math>, <math> a=\frac{1}{4} </math> und <math> b=0 </math> einsetzen und nach <math> x_t </math> auflösen:

	<math> 2 = 2 \cdot \frac{1}{4} x_t + 0 </math> <br />		<math> 2 = 2 \cdot \frac{1}{4} x_t + 0 </math> <br />
	<math> \~~Rightarrow~~ x_t = 4 </math> <br />		<math> \Leftrightarrow x_t = 4 </math> <br />
	<math> \~~Rightarrow~~ y_t = \frac{1}{4} 4^2 -1 = 3 </math> <br />		<math> \Leftrightarrow y_t = \frac{1}{4} 4^2 -1 = 3 </math> <br />
	<math> \Rightarrow T(4\|3) </math>		<math> \Rightarrow T(4\|3) </math>
	\|2=Lösung anzeigen		\|2=Lösung anzeigen
Zeile 317:		Zeile 317:

	{{Box		{{Box
	\|1=10. Aufgabe (~~Erkunden~~) - Parabelgleichung ermitteln		\|1=10. Aufgabe (Üben) - Parabelgleichung ermitteln
	\|2=Die Parabel <math>f(x) =a x^2 +1</math> besitzt in ihrer negativen Nullstelle die Steigung 1.		\|2=Die Parabel <math>f(x) =a x^2 +1</math> besitzt in ihrer negativen Nullstelle die Steigung 1.
	Berechne den Streckfaktor <math>a</math> und die Nullstellen.		Berechne den Streckfaktor <math>a</math> und die Nullstellen.
Zeile 325:		Zeile 325:
	Nullstellen in Abhängigkeit von a: <br />		Nullstellen in Abhängigkeit von a: <br />
	<math>a x^2 + 1 = 0</math> <br />		<math>a x^2 + 1 = 0</math> <br />
	<math>\~~Rightarrow~~ x^2 = -\frac{1}{a}</math> <br />		<math>\Leftrightarrow x^2 = -\frac{1}{a}</math> <br />
	<math>\Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{1}{a}}</math>		<math>\Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{1}{a}}</math>

Zeile 340:		Zeile 340:
	Nullstellen berechnen: <br />		Nullstellen berechnen: <br />
	<math> - \frac{1}{4} x^2 + 1 = 0 </math> <br />		<math> - \frac{1}{4} x^2 + 1 = 0 </math> <br />
	<math> \frac{1}{4} x^2 = 1 </math> <br />		<math> \Leftrightarrow \frac{1}{4} x^2 = 1 </math> <br />
	<math> x^2 = 4 </math> <br />		<math> \Leftrightarrow x^2 = 4 </math> <br />
	<math>x_{1,2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2 </math>		<math> \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2 </math>

	\|2=Lösung anzeigen		\|2=Lösung anzeigen
	\|3=Lösung verbergen}}		\|3=Lösung verbergen}}
	\|3=		\|3=Üben
	~~\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x~~		}}
	}} <!-- Ende 10. Aufgabe -->		<!-- Ende 10. Aufgabe -->

Ukalina am 2. Februar 2026 um 17:18 Uhr

2026-02-02T17:18:48Z

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Zeile 282:		Zeile 282:

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" 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			{{Box
			\|1=8. Aufgabe (Üben) - Parabelsteigung berechnen
			\|2=
			Berechne die Steigung der Parabel <math>f(x) = -0,5 x^2 -1,5 x +2 </math> an der Stelle <math> x_t = -1 </math>.

			{{Lösung versteckt
			\|1= Setze in die Steigungsformel <math> m = 2 a x_t + b </math> die gegebenen Größen <math> a=-0,5 </math>, <math> b=-1,5 </math> und <math> x_t = -1 </math> ein:

			<math> m = 2 \cdot (-0,5) \cdot (-1) + (-1,5) </math> <math> = -0,5 </math>
			\|2=Lösung anzeigen
			\|3=Lösung verbergen}}

			\|3=Üben}} <!-- Ende 8. Aufgabe -->


	{{Box		{{Box
	\|1=8. Aufgabe (Üben) - Berührpunkt ermitteln		\|1=9. Aufgabe (Üben) - Berührpunkt ermitteln
	\|2=		\|2=
	In welchem Parabelpunkt besitzt die Parabel <math>f(x) = \frac{1}{4} x^2 -1</math> die Steigung <math>m=2</math> ?		In welchem Parabelpunkt besitzt die Parabel <math>f(x) = \frac{1}{4} x^2 -1</math> die Steigung <math>m=2</math> ?
Zeile 299:		Zeile 313:
	\|3=Lösung verbergen}}		\|3=Lösung verbergen}}

	\|3=Üben}}		\|3=Üben}} <!-- Ende 9. Aufgabe -->


	{{Box		{{Box
	\|1=9. Aufgabe (Erkunden) - Parabelgleichung ermitteln		\|1=10. Aufgabe (Erkunden) - Parabelgleichung ermitteln
	\|2=Die Parabel <math>f(x) =a x^2 +1</math> besitzt in ihrer negativen Nullstelle die Steigung 1.		\|2=Die Parabel <math>f(x) =a x^2 +1</math> besitzt in ihrer negativen Nullstelle die Steigung 1.
	Berechne den Streckfaktor <math>a</math> und die Nullstellen.		Berechne den Streckfaktor <math>a</math> und die Nullstellen.
Zeile 334:		Zeile 348:
	\|3=		\|3=
	\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x		\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x
	}} <!-- Ende 9. Aufgabe -->		}} <!-- Ende 10. Aufgabe -->

Ukalina am 2. Februar 2026 um 17:03 Uhr

2026-02-02T17:03:06Z

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	In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Form und Lage der Parabel <math> f(x) =a x^2 +bx +c </math> mit den Schiebereglern für die Parameter verändern. Außerdem kann man mit der Maus den Berührpunkt der Tangente auf der Parabel verschieben oder seine Position mit dem Schieberegler <math>x_t</math> verändern.		In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Form und Lage der Parabel <math> f(x) =a x^2 +bx +c </math> mit den Schiebereglern für die Parameter verändern. Außerdem kann man mit der Maus den Berührpunkt der Tangente auf der Parabel verschieben oder seine Position mit dem Schieberegler <math>x_t</math> verändern.

	<ggb_applet width="659" height="621" version="4.2" ggbBase64="~~UEsDBBQACAgIAMCJQlwAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT~~/~~LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICADAiUJcAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbO1d63LbxhX~~+~~nT7FDn905Eak9n5J5XTSdDLN1Ek8tduRmmk9ILmiEJEAQ4AS6CYP0Pfom~~/RN+~~iQ9uwveSYggJYty47EFYrG3853bt4ulfP67YtBHt3aUxWnyskFauIFs0km7cdJ72RjnV03d~~+~~N3nvzrv2bRn26MIXaWjQZS~~/~~bPAWbczbwV2LaNc47r5saIutVJFsttuGNLmKVFNHkWli3O52lOVaW9JAqMjiz5L022hgs2HUsW8613YQvUo7Ue77vM7z4WdnZ3d3d63p6K101Dvr9dqtIus2EMw8yV42yg~~+~~fQXdLje6Yr04xJmcX37wK3TfjJMujpGMbyEk1jj~~//~~1Sfnd3HSTe~~/~~QXdzNr182pBINdG3j3jWIqZhuoDNXaQiyDm0nj29tBk0Xbr3M~~+~~WDY8NWixD3~~/~~JHxC~~/~~Zk4DdSNb~~+~~OuHTmUOSdcz~~//~~KBkpHsU3ysi4pxzyb9nZ+G9u70K375EfkDZSnab8dQY8Y~~/~~fQTophidOouJFwoXKQMj3AowyxcaLjwcBGhDg~~/~~NeajKQx0e6nAG6o6zuN23LxtXUT8DBOPkagTam91n~~+~~aRv~~/~~XzKgrn05BRkyuL3UBnGa6AAOUz8FJ9y7P8FmRcEpAeNyE7ZdERG6fKIdMuIZGHEfDSuHDA8XxhvOpoUZjf59IICiVPQT4g4zfgLQ04nxOvGXXh5K8Ot8heCw4WUD7X7YdyNPExbU1mIWNCVwKf~~+r/+~~3jt2HH5LVspBVhe0zolxyuorRw2APOzjHRj2IwEwt+YORp4RJsXFMhTdGmXAl5bVKDQ8GxPnZNAaelxNC2bWrWzpqbgeZmyIzSDEkvRshAV4lFQQwgYiBi6JICaScE1FEBOICColG0l0VYs6tOGJII1ebMOSjn9Dwg3uXk0hAj65QBd9DjCPBEPExkyOAA~~/~~m4C~~+~~BQBjWEQAIauTkQNycmEZdwwzTiBsEEXVcEIQJtpXYVoAODBMyCIkYQc51QmL5CVCKJkaBIulABwRoCdQjS8Ewj5mQAJxymWTzD9tr2hzOleBjjZDjOS~~+~~jK8s6gO4UxT4fTj752N~~+3c/~~H4GdVnfRlm~~+~~2CnkqXk2DHlrKVl~~+~~ct6P2rYPlOKNswOEbqO~~+~~C5h~~+~~hKs0ydEsNYSy3igaXsed7I3Nc2iVoR~~+i2+~~hVlNviK6idTcf2Q~~/~~scfm7HnX7cjaPkr2AkrgvXIZqldBeSpyldmHLkTpqOum8mGVgOKv5mRylMgLKWUoZTTgT4hMYQ1SfhEaOyxQTTGuoIzbgElpB1or7PLy3KtSFGCMokluAPk5VH2iishDAmDG1vZ6JFhZ0JhHoj53QLN19nv0~~/~~786JhGif5l9EwH488QYPpjZxUXyS9vvXg~~+~~rQJVKdz006LNwFVGfp6OxlaF7X8DNq9L9N~~+~~OkLgklSAKL3y2g5XX8dNbVYL~~+~~zrY15ipKe5WPQeNh0mVQpKpgFM9R0Wc~~+~~TADzZYszNuL40zjJM5fTW~~/~~yuHNTCklCg2~~/~~HgzaYWmmyy32Sh~~+~~vTzRroW5ZflBTZfb5c+Pz22uYRiNECAxBGK6dqTY3WwUZXrPM86ns6O7XVaFzE~~/~~TgaTRYjmm~~+~~4VPH8xo4S2w~~+~~mm4D1jNNxFnxp5g~~+~~fnI8z+zrKr79Iun+2PQgDryMXiHOQKFSdS9W1nXgADUM5LeFzlvQXQCiUdm1vZKfIhskEjfqneNGR1op9V1~~+~~N0sHXye1bMNOVqZ6fTeU5zzqjeOjcAbUhM9zYucEDuBHkle5iOxA~~+~~Ayk6LsiB~~/~~nKnOyclaBRdnRQv0EsUod~~+~~gkwI1UffFPyj6FDqKxvl1Cmb6pwisMoKOIZqA0OgrEGkMAQ7SmPQE~~/~~i4d3WTX1uZvbZGjqJ3eQj1YPMQWrMKCRCMUnaIuWFEXWTQAoF7FyU120wdDQu9je22TUzQewMwtmmGP3o~~/~~dYuk~~/~~/05gAZCAj9i~~+~~U7QXx~~/~~btAKg/yr17JuOBHcWdmbleftG5zuw3UeEnBwiOS5BNqwxjzmZQ2v4Bwu2qrS~~+~~YBVTY4qoo6g~~+~~vvfGS0m2jCcx4UZO+u2~~/~~Sbjl0WS~~/ru+~~UMQACppgnOM4gKeAYUJWpnaX~~+~~cw4oObCeZr~~+~~hCXiljMjBV5z3QhPkPEygKn67iYsECQGvxezD3Zdudh5YcEsUNrJIyH~~/~~nyMsb5D3~~+~~Mu12bzOYbJWDu3mgg5A~~+~~DwAjSlA3BYtZ0CAD46LpgqqWS7lXXxTZ1yR3UNRfvEbT1IaQvjTVOVqVviul0H0x8vKP4eJOx4tJaxY7GSufGqktjFfr4bbWTDgYRxKnEU~~/E/~~xLeNOQOMsPNBiJNzk0URcWWlDsb5tNq0xujG1fJjlD3v7A~~+~~h6ZpP4NrmPs~~+~~VS9msttSX90p9ub~~/~~Ul1VSm8eR2hbDEViWM5n1WYBHIqjg0fh+Uf4YkhXBf0eforDntLtgG538cSTbwcLegJeszodMp~~/~~Pxh9z~~/W/~~FL7Q~~/~~j/L29XEUAt~~+~~jTJp0PjcDFOgLiaW1gKe2KKUd0ezr7kkTxDDjicgZ6nfYnvTRZyUIns7wLwXdJiacIvwhZaV7ndKnKpXtOl583VypsTuLhceh9seSNjXP3Usb1ulYOmEVsQzmrzorDUu5NltrYV0FLhlxuJu6x2CF1Xdkb3OoKunbyymzP3W2EpFTBk8arzfKUK~~/zM+~~WHTBVXnh00XW9B7ByWT+zuc~~/~~TEJTbKwCRMPhrCSjvOZ~~/~~fadn32duA0M65f861seN9YO3ebWd8nbUZRk7hXlgymE3qeQmmvsh9cIbnGvEB8XQR9N2hL041UIO3qFzFzko~~/~~CQLYRzG994aMZ1hJzzsppzPjHjegwG86Z0yhUGg0~~/~~ny8gpY5mXRcU6CQmPqmnDagQo2zxg8q~~/~~t9HWS~~/~~1IkIHwlOM~~+~~H3hQJ5JFFgp147KLGgcpervJUZxWXy~~/~~x2wUICj21ur7DZhBZ57OUWHrtWXvLYtfKaPPbyFx672UereewH9NedWJMoHZMG1kRaRuLFPx8Ph9rgCEevHTxdZHCvHtZSdEk7z5dQ3audDQz3uLTT~~/~~LicZ5Xr~~/~~Di27oDoepqbvJvSHPi0mGNme~~+~~wuvTjs~~+~~dLG7OYU5hpl39pedfLpx9mqqcwaVpvJo~~+~~4U1GNE~~+~~5iBP~~+~~riDrCEzsRi6fyoAXtIZeJFfjB9e1NDma/TbD9luoa~~/~~KHNfZRbvkvmWabGizIt1ZV5sV~~+~~bFvsq8~~+~~EWZ9ylzpxfFG94qyo~~/~~jPdZOK+oZCpvfAeBt2~~/~~r1VtQXz3dFPTsqRFssUI~~/~~nvKKuPpHhCcW9JzKgVqXyK05kVDnbYx7JqBfIL7ZSrN0CeT2KdfELxaqXlb~~+~~+akA9ELtYUad7D4H++69~~/~~o8L~~/~~pG7N4BX7jxO6HseuqnV0NU68~~+~~83D09O+BtgIt6qCu7Y7TIu~~/~~P4lP0Q8v4N98X8z7wtKtSw9zlvr3AHW81YPq0aI~~/~~Qfx9PU5u8j9HkAJHNdxpteXxKU3U8hH6IGQn2vDeZNNrgwOCTTn9hWP~~+~~m2vODvtvAfG7q6vM5n7Vb8KWjNgI8abzHrw878Fn5zlEeZpDtiSjBhsjDZOEqdC1bFFJMDFEc4WZcV/v2vucB8F1D3rgh2B1WzzZ86/vT5YcETURqD249smSP6JPp09KP~~/~~5h62ZDvbWq88ZXcRLb5J4DjWs+PG11dJyxOu~~/~~RQxIfPkzZ8Uq4Dvp2yo5XInfQ94tHCNpBbZO9lD15UmU~~/~~nV7d9z5WdPrrH8dp~~/~~tsiXLZwTd~~+~~sEufc1VjmmbOxjsqnsjwa5a8daigEa4jRWGOpiFQYUzbdmjdSKYjjjDNBlFa6POywL76TLfhe7oPv5fPBF7c0MZJoQSHzacJxyIamBblQYk6ZMZhAjQPhDV~~+~~N2oKxa~~/~~WV42luiRsl723cs~~+~~9IDby3dHDs2MN61whCpeDa/UoGFt5r6JYxSijjSpmh2myDvprmtddp3qatrCNgebud29312zJgtSXP47OvyxBNDjq3W5fPPfyxn87aZsnmE/YftTpVqU7KnoE6174Rc/Xun9HPIWz5b8PM7uffGvW7E0DI2u4zXDubvhazvhsx6/j4Frh77kpsyCNzKXdKH~~/+~~kPx~~+aQFwXx55CIMJhxRmlUklJCVVl9sYMK8IVYRrKtDgwe5OKxF3UTdTF8SdmIEWQlBmnWFGBpTB6xjop5GYigJIKhTk/lBbRKmBpXWCf9mTNLsCSljZcGEMJ5s5iCd8C7KEW26w0WUhFta3Wtzl2fIEVcIIphVwpMRFY6Nl6SQOd1EwK6n6HjtSHrpeq8J3UBXfyDJAFBCHMaoO1VJQL7/v+~~FJJSTFOuYDnKiDaaPGJImNQNCZPjDwkOWIwJw5xoigWjOMQECBWYGm2UNgIbyHHsMUPCZI~~+~~QMHkeIcHhyzGjkM0MI0YFu4VIAamNGSEd5hIrdSi8lbkMoKqdznybo4eXtpjABGvDBMeCML4t4h4KMKsy33tOka~~/~~b7tOe89z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Ukalina am 2. Februar 2026 um 16:41 Uhr

2026-02-02T16:41:05Z

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	# Gegeben ist die Gerade <math>t(x) = mx + n</math>, die die Parabel <math>f(x) =ax^2 +bx +c</math> mit <math>a \not= 0</math> im Punkt <math>T(x_t\|y_t) </math> als Tangente berührt. Zeige, dass die Tangente die Steigung <math>m = 2ax_t + b</math> besitzt.		# Gegeben ist die Gerade <math>t(x) = mx + n</math>, die die Parabel <math>f(x) =ax^2 +bx +c</math> mit <math>a \not= 0</math> im Punkt <math>T(x_t\|y_t) </math> als Tangente berührt. Zeige, dass die Tangente die Steigung <math>m = 2ax_t + b</math> besitzt.
	# Bestimme die Gleichung derjenigen Tangente <math>t_1</math>, die die Normalparabel im Punkt <math>T_1(1\|1)</math> als Tangente berührt. <br />Zeige, dass man dieses Ergebnis auch erhält, wenn man die Parabel <math>g(x) = x^2 -4x</math> aus der 2. Aufgabe zu der Normalparabel <math>f(x) = x^2</math> verschiebt und diese Verschiebung auch auf die Tangente <math>t(x) =2x -9</math> und den Berührpunkt aus der 2. Aufgabe anwendet.		# Bestimme die Gleichung derjenigen Tangente <math>t_1</math>, die die Normalparabel im Punkt <math>T_1(1\|1)</math> als Tangente berührt. <br />Zeige, dass man dieses Ergebnis auch erhält, wenn man die Parabel <math>g(x) = x^2 -4x</math> aus der 2. Aufgabe zu der Normalparabel <math>f(x) = x^2</math> verschiebt und diese Verschiebung auch auf die Tangente <math>t(x) =2x -9</math> und den Berührpunkt aus der 2. Aufgabe anwendet.
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	\|3=Lösung verbergen}}		\|3=Lösung verbergen}}
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	In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Ergebnisse der 5. und 6. Aufgabe überprüfen. Man kann mit der Maus den Berührpunkt der Tangente auf der Parabel verschieben oder seine Position mit dem Schieberegler <math>x_t</math> verändern.

	<ggb_applet width="659" height="621" version="4.2" 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	~~}} <!-- Ende 2Spalten -->~~
	\|3=		\|3=
	\|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x		\|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x
	\|Farbe={{Farbe\|grün\|dunkel}}		\|Farbe={{Farbe\|grün\|dunkel}}
	}} <!-- Ende 7. Aufgabe -->		}} <!-- Ende 7. Aufgabe -->


			In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Form und Lage der Parabel <math> f(x) =a x^2 +bx +c </math> mit den Schiebereglern für die Parameter verändern. Außerdem kann man mit der Maus den Berührpunkt der Tangente auf der Parabel verschieben oder seine Position mit dem Schieberegler <math>x_t</math> verändern.

			<ggb_applet width="659" height="621" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />


			{{Box
			\|1=8. Aufgabe (Üben) - Berührpunkt ermitteln
			\|2=
			In welchem Parabelpunkt besitzt die Parabel <math>f(x) = \frac{1}{4} x^2 -1</math> die Steigung <math>m=2</math> ?

			{{Lösung versteckt
			\|1= Setze in die Steigungsformel <math> m = 2 a x_t + b </math> die gegebenen Größen <math> m=2 </math> und <math> b=0 </math> ein:

			<math> 2 = 2 \cdot \frac{1}{4} x_t + 0 </math> <br />
			<math> \Rightarrow x_t = 4 </math> <br />
			<math> \Rightarrow y_t = \frac{1}{4} 4^2 -1 = 3 </math> <br />
			<math> \Rightarrow T(4\|3) </math>
			\|2=Lösung anzeigen
			\|3=Lösung verbergen}}

			\|3=Üben}}


	{{Box		{{Box
	\|1=8. Aufgabe (Erkunden) - Parabelgleichung ermitteln		\|1=9. Aufgabe (Erkunden) - Parabelgleichung ermitteln
	\|2=Die Parabel <math>f(x) =a x^2 +1</math> besitzt in ihrer negativen Nullstelle die Steigung 1.		\|2=Die Parabel <math>f(x) =a x^2 +1</math> besitzt in ihrer negativen Nullstelle die Steigung 1.
	Berechne den Streckfaktor <math>a</math> und die Nullstellen.		Berechne den Streckfaktor <math>a</math> und die Nullstellen.

	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|1=Nullstellen in Abhängigkeit von a: <br />		\|1=
			Nullstellen in Abhängigkeit von a: <br />
	<math>a x^2 + 1 = 0</math> <br />		<math>a x^2 + 1 = 0</math> <br />
	<math>\Rightarrow x^2 = -\frac{1}{a}</math> <br />		<math>\Rightarrow x^2 = -\frac{1}{a}</math> <br />
Zeile 316:		Zeile 334:
	\|3=		\|3=
	\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x		\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x
	}} <!-- Ende 8. Aufgabe -->		}} <!-- Ende 9. Aufgabe -->

Ukalina am 2. Februar 2026 um 16:16 Uhr

2026-02-02T16:16:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Februar 2026, 16:16 Uhr
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	In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Ergebnisse der 5. und 6. Aufgabe überprüfen. Man kann mit der Maus den Berührpunkt der Tangente auf der Parabel verschieben oder seine Position mit dem Schieberegler <math>x_t</math> verändern.		In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Ergebnisse der 5. und 6. Aufgabe überprüfen. Man kann mit der Maus den Berührpunkt der Tangente auf der Parabel verschieben oder seine Position mit dem Schieberegler <math>x_t</math> verändern.

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