Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen - Versionsgeschichte

Ukalina am 8. April 2026 um 06:22 Uhr

2026-04-08T06:22:01Z

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Zeile 163:		Zeile 163:

	'''Lösung: '''<br />		'''Lösung: '''<br />
	Ein möglicher Lösungsansatz beruht auf der Überlegung, dass die x-Koordinate des Scheitelpunktes wegen der Achsensymmetrie der Parabel immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt.		Ein möglicher Lösungsansatz beruht auf der Überlegung, dass die x-Koordinate <math>d</math> des Scheitelpunktes wegen der Achsensymmetrie der Parabel immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> liegt. Die Mitte zwischen zwei Zahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> kann man mit der Formel für das arithmetische Mittel berechnen:
	Die Mitte zwischen zwei Zahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> kann man mit der Formel für das arithmetische Mittel berechnen:		: <math>\overline{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}</math>
	: <math>~~x_s~~ = \frac{x_1 + x_2}{2}</math>		Im vorliegenden Fall lauten die Nullstellen <math> x_1 = -5</math> und <math> x_2 = 3</math> und man erhält die x-Koordinate <math>d</math> des Scheitelpunktes als Mittelwert
	Im vorliegenden Fall lauten die Nullstellen <math> x_1 = -5</math> und <math> x_2 = 3</math> und man erhält als Mittelwert		: <math>d = \frac{(-5) + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1</math>
	: <math>~~x_s~~ = \frac{(-5) + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1</math>

	Die dazugehörende y-Koordinate des Scheitelpunktes ~~berechnet~~ man anschließend, indem man <math>~~x_s~~ = -1</math> in die gegebene Linearfaktorform der Funktion einsetzt:		Die dazugehörende y-Koordinate <math> e </math> des Scheitelpunktes kann man anschließend berechnen, indem man <math>d = -1</math> in die gegebene Linearfaktorform der Funktion einsetzt:
	: <math> ~~y_s~~ = f(~~x_s~~) = 0,4 \cdot (-1 + 5) \cdot (-1 -3) </math> <math> = 0,4 \cdot 4 \cdot (-4) </math> <math> = -6,4 </math>		: <math> e = f(-1) = 0,4 \cdot (-1 + 5) \cdot (-1 -3) </math> <math> = 0,4 \cdot 4 \cdot (-4) </math> <math> = -6,4 </math>
	Der Scheitelpunkt von <math>f</math> besitzt also die Koordinaten <math>S_f(-1\|-6,4) </math>.		Der Scheitelpunkt von <math>f</math> besitzt also die Koordinaten <math>S_f(-1\|-6,4) </math>.

Zeile 182:		Zeile 181:
	\|Titel = 4. Aufgabe (Üben) - von der allgemeinen Linearfaktorform zur Scheitelpunktform		\|Titel = 4. Aufgabe (Üben) - von der allgemeinen Linearfaktorform zur Scheitelpunktform
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt = In der 3. Aufgabe wurde für zwei Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform ermittelt. Gehe jetzt umgekehrt - wie im 3. Beispiel - von den Linearfaktorformen (siehe Lösungen zur 3. Aufgabe) ~~aus~~ und bestimme daraus jeweils die Scheitelpunktform für beide Funktionen. Deine Ergebnisse kannst du überprüfen, indem du sie mit den Ausgangsgleichungen der 3. Aufgabe vergleichst.		\|Inhalt = In der 3. Aufgabe wurde für zwei Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform ermittelt. Gehe jetzt umgekehrt - wie im 3. Beispiel - von den Linearfaktorformen dieser Funktionen aus (siehe Lösungen zur 3. Aufgabe) und bestimme daraus jeweils die Scheitelpunktform für beide Funktionen. Deine Ergebnisse kannst du überprüfen, indem du sie mit den Ausgangsgleichungen der 3. Aufgabe vergleichst.
	: <math> g(x) = - (x - 1)\;(x - 3) </math>		: <math> g(x) = - (x - 1)\;(x - 3) </math>
	: <math> h(x) = -0,6 \; (x + 4) \; (x -1) </math>		: <math> h(x) = -0,6 \; (x + 4) \; (x -1) </math>

Ukalina am 7. April 2026 um 12:34 Uhr

2026-04-07T12:34:48Z

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Zeile 179:		Zeile 179:
	}} <!-- Ende 3. Beispiel -->		}} <!-- Ende 3. Beispiel -->

			{{Box
			\|Titel = 4. Aufgabe (Üben) - von der allgemeinen Linearfaktorform zur Scheitelpunktform
			\|Klasse = Üben
			\|Inhalt = In der 3. Aufgabe wurde für zwei Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform ermittelt. Gehe jetzt umgekehrt - wie im 3. Beispiel - von den Linearfaktorformen (siehe Lösungen zur 3. Aufgabe) aus und bestimme daraus jeweils die Scheitelpunktform für beide Funktionen. Deine Ergebnisse kannst du überprüfen, indem du sie mit den Ausgangsgleichungen der 3. Aufgabe vergleichst.
			: <math> g(x) = - (x - 1)\;(x - 3) </math>
			: <math> h(x) = -0,6 \; (x + 4) \; (x -1) </math>
			}} <!-- Ende 4. Aufgabe -->

	{{Box		{{Box

Ukalina am 7. April 2026 um 12:00 Uhr

2026-04-07T12:00:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. April 2026, 12:00 Uhr
Zeile 154:		Zeile 154:
	}} <!-- Ende 3. Aufgabe -->		}} <!-- Ende 3. Aufgabe -->

	Wie kommt man von der Linearfaktorform wieder zurück zur Scheitelpunktform? ~~Das folgende~~ Beispiel ~~zeigt einen möglichen Lösungsweg~~.		Wie kommt man von der Linearfaktorform wieder zurück zur Scheitelpunktform? Ein möglicher Lösungsweg wird im folgenden Beispiel gezeigt. Dort wird von der Lösung <math> f(x) = 0,4 \;( x + 5)\;(x - 3) </math> aus der obigen 3. Aufgabe ausgegangen.

	{{Box		{{Box
Zeile 160:		Zeile 160:
	\|Klasse = Lösung		\|Klasse = Lösung
	\|Inhalt = '''Aufgabe: '''<br />		\|Inhalt = '''Aufgabe: '''<br />
	Gegeben ist die Linearfaktorform der Funktion <math> f(x) = 0,4 \; (x -3) \; (x ~~+ 5~~) </math>		Gegeben ist die Linearfaktorform der Funktion <math> f(x) = 0,4 \; (x +5) \; (x -3) </math>. Bestimme die Scheitelpunktform von <math>f</math>.

	'''Lösung: '''<br />		'''Lösung: '''<br />
Zeile 166:		Zeile 166:
	Die Mitte zwischen zwei Zahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> kann man mit der Formel für das arithmetische Mittel berechnen:		Die Mitte zwischen zwei Zahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> kann man mit der Formel für das arithmetische Mittel berechnen:
	: <math>x_s = \frac{x_1 + x_2}{2}</math>		: <math>x_s = \frac{x_1 + x_2}{2}</math>
	Im vorliegenden Fall lauten die Nullstellen <math> x_1 = 3</math> und <math> x_2 = -5</math> und man erhält		Im vorliegenden Fall lauten die Nullstellen <math> x_1 = -5</math> und <math> x_2 = 3</math> und man erhält als Mittelwert
	: <math>x_s = \frac{~~3 +~~ (-5)}{2} = -\frac{2}{2} = -1</math>		: <math>x_s = \frac{(-5) + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1</math>

	Die dazugehörende y-Koordinate des Scheitelpunktes berechnet man anschließend, indem man <math>x_s</math> in die gegebene Linearfaktorform der Funktion einsetzt:		Die dazugehörende y-Koordinate des Scheitelpunktes berechnet man anschließend, indem man <math>x_s = -1</math> in die gegebene Linearfaktorform der Funktion einsetzt:
	: <math> y_s = f(x_s) = 0,4 \cdot (-1 -3) \cdot (-1 ~~+ 5~~) </math> <math> = 0,4 \cdot (-4) ~~\cdot~~ 4 </math> <math> = -6,4 </math>		: <math> y_s = f(x_s) = 0,4 \cdot (-1 + 5) \cdot (-1 -3) </math> <math> = 0,4 \cdot 4 \cdot (-4) </math> <math> = -6,4 </math>
			Der Scheitelpunkt von <math>f</math> besitzt also die Koordinaten <math>S_f(-1\|-6,4) </math>.

	'''Ergebnis: '''<br />		'''Ergebnis: '''<br />
	Die Scheitelpunktform der Funktion lautet:		Die Scheitelpunktform der Funktion lautet:
	: <math> f(x) = 0,5 \; (x + 1)^2 - 6,4 </math>		: <math> f(x) = 0,4 \; \left(x - (-1)\right)^2 - 6,4 </math> bzw.
			: <math> f(x) = 0,4 \; (x + 1)^2 - 6,4 </math>
	}} <!-- Ende 3. Beispiel -->		}} <!-- Ende 3. Beispiel -->

Ukalina am 7. April 2026 um 06:39 Uhr

2026-04-07T06:39:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. April 2026, 06:39 Uhr
Zeile 160:		Zeile 160:
	\|Klasse = Lösung		\|Klasse = Lösung
	\|Inhalt = '''Aufgabe: '''<br />		\|Inhalt = '''Aufgabe: '''<br />
	Gegeben ist die Linearfaktorform der Funktion <math> f(x) = 0,5 \; (x -3) \; (x + 5) </math>		Gegeben ist die Linearfaktorform der Funktion <math> f(x) = 0,4 \; (x -3) \; (x + 5) </math>

	'''Lösung: '''<br />		'''Lösung: '''<br />
Zeile 170:		Zeile 170:

	Die dazugehörende y-Koordinate des Scheitelpunktes berechnet man anschließend, indem man <math>x_s</math> in die gegebene Linearfaktorform der Funktion einsetzt:		Die dazugehörende y-Koordinate des Scheitelpunktes berechnet man anschließend, indem man <math>x_s</math> in die gegebene Linearfaktorform der Funktion einsetzt:
	: <math> y_s = f(x_s) = 0,5 \cdot (-1 -3) \cdot (-1 + 5) </math> <math> = 0,5 \cdot (-4) \cdot 4 </math> <math> = -8 </math>		: <math> y_s = f(x_s) = 0,4 \cdot (-1 -3) \cdot (-1 + 5) </math> <math> = 0,4 \cdot (-4) \cdot 4 </math> <math> = -6,4 </math>

	'''Ergebnis: '''<br />		'''Ergebnis: '''<br />
	Die Scheitelpunktform der Funktion lautet:		Die Scheitelpunktform der Funktion lautet:
	: <math> f(x) = 0,5 \; (x + 1)^2 - 8 </math>		: <math> f(x) = 0,5 \; (x + 1)^2 - 6,4 </math>
	}} <!-- Ende 3. Beispiel -->		}} <!-- Ende 3. Beispiel -->

Ukalina am 7. April 2026 um 06:35 Uhr

2026-04-07T06:35:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. April 2026, 06:35 Uhr
Zeile 104:		Zeile 104:

	'''Lösung:''' <br />		'''Lösung:''' <br />
	<math>f(x)=\frac {1}{4} \; (x-4)^2 - 1</math>     {{!}} den Koeffizienten <math>\frac {1}{4}</math> aus dem gesamten Term ausklammern<br />     <math>=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 4 \right) </math>     {{!}} den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen <br />    <math>=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 2^2 \right) </math>    {{!}} 3. binomische Formel anwenden <br />     <math>=\frac {1}{4} \; (x-4 +2) \; (x-4-2) </math>     {{!}} in den Klammern zusammenfassen <br />     <math>=\frac {1}{4} \; (x-2) \; (x-6) </math>		<math>f(x)=\frac {1}{4} \; (x-4)^2 - 1</math>     {{!}} den Koeffizienten <math>\frac {1}{4}</math> aus dem gesamten Term ausklammern<br />     <math>=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 4 \right) </math>     {{!}} den hinteren Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen <br />    <math>=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 2^2 \right) </math>    {{!}} 3. binomische Formel anwenden <br />     <math>=\frac {1}{4} \; (x-4 +2) \; (x-4-2) </math>     {{!}} in den Klammern zusammenfassen <br />     <math>=\frac {1}{4} \; (x-2) \; (x-6) </math>
	}} <!-- Ende 2. Beispiel -->		}} <!-- Ende 2. Beispiel -->

Zeile 154:		Zeile 154:
	}} <!-- Ende 3. Aufgabe -->		}} <!-- Ende 3. Aufgabe -->

	Wie kommt man von der Linearfaktorform wieder zurück zur Scheitelpunktform? ~~Du kannst ja mal an einem der Beispiele oben versuchen, das selbstständig hinzubekommen. Du kannst aber auch erst das~~ folgende Beispiel ~~anschauen, in dem gezeigt wird, wie es geht~~.		Wie kommt man von der Linearfaktorform wieder zurück zur Scheitelpunktform? Das folgende Beispiel zeigt einen möglichen Lösungsweg.

	{{Box		{{Box

Ukalina am 6. April 2026 um 15:50 Uhr

2026-04-06T15:50:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. April 2026, 15:50 Uhr
Zeile 160:		Zeile 160:
	\|Klasse = Lösung		\|Klasse = Lösung
	\|Inhalt = '''Aufgabe: '''<br />		\|Inhalt = '''Aufgabe: '''<br />
	Gegeben ist die Linearfaktorform der Funktion <math> f(x) = 0,5 (x -3) \; (x + 5) </math>		Gegeben ist die Linearfaktorform der Funktion <math> f(x) = 0,5 \; (x -3) \; (x + 5) </math>

	''Lösung: '''<br />		'''Lösung: '''<br />
	Ein möglicher Lösungsansatz beruht auf der Überlegung, dass die x-Koordinate des Scheitelpunktes wegen der Achsensymmetrie der Parabel immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt.		Ein möglicher Lösungsansatz beruht auf der Überlegung, dass die x-Koordinate des Scheitelpunktes wegen der Achsensymmetrie der Parabel immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt.
	Die Mitte zwischen zwei Zahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> kann man mit der Formel für das arithmetische Mittel berechnen:		Die Mitte zwischen zwei Zahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> kann man mit der Formel für das arithmetische Mittel berechnen:
	: <math>x_s = \frac{x_1 + x_2}{2}</math>		: <math>x_s = \frac{x_1 + x_2}{2}</math>
	Im vorliegenden Fall erhält ~~man~~		Im vorliegenden Fall lauten die Nullstellen <math> x_1 = 3</math> und <math> x_2 = -5</math> und man erhält
	: <math>x_s = \frac{3 + (-5)}{2} = -\frac{2}{2} = -1</math>		: <math>x_s = \frac{3 + (-5)}{2} = -\frac{2}{2} = -1</math>

	Die dazugehörende y-Koordinate des Scheitelpunktes berechnet man anschließend ~~mit~~		Die dazugehörende y-Koordinate des Scheitelpunktes berechnet man anschließend, indem man <math>x_s</math> in die gegebene Linearfaktorform der Funktion einsetzt:
	: <math> y_s = f(x_s) = 0,5 (-1 -2) \; (-1 + 5) </math> <math> = 0,5 \cdot (-3) \cdot 4 </math> <math> = -6 </math>		: <math> y_s = f(x_s) = 0,5 \cdot (-1 -3) \cdot (-1 + 5) </math> <math> = 0,5 \cdot (-4) \cdot 4 </math> <math> = -8 </math>

	'''Ergebnis: '''<br />		'''Ergebnis: '''<br />
	Die Scheitelpunktform der Funktion lautet:		Die Scheitelpunktform der Funktion lautet:
	: <math> f(x) = 0,5 \~~cdot ( (x -(-1)^2 - 6 ) </math> <math> = 0,5~~ (x +1)^2 - 3 </math>		: <math> f(x) = 0,5 \; (x + 1)^2 - 8 </math>
	}} <!-- Ende 3. Beispiel -->		}} <!-- Ende 3. Beispiel -->

Ukalina am 6. April 2026 um 15:32 Uhr

2026-04-06T15:32:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. April 2026, 15:32 Uhr
Zeile 68:		Zeile 68:
	\|3=Lösung verstecken}}		\|3=Lösung verstecken}}
	}} <!-- Ende 1. Aufgabe -->		}} <!-- Ende 1. Aufgabe -->


	{{Box		{{Box
Zeile 83:		Zeile 82:

	{{Box		{{Box
	\|Titel = 1. Beispiel - Linearfaktorform ~~aus Scheitelpunktform erstellen~~		\|Titel = 1. Beispiel - von der einfachen Scheitelpunktform zur Linearfaktorform
	\|Klasse =Lösung		\|Klasse =Lösung
	\|Inhalt =		\|Inhalt = '''Aufgabe:''' <br />
	Gegeben ist die Scheitelpunktform <math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math> einer Funktion <math>f</math>.<br />Gesucht sind die die Nullstellen von <math>f</math> - und damit ihre Linearfaktorform.		Gegeben ist die Scheitelpunktform <math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math> einer Funktion <math>f</math>.<br />Gesucht sind die die Nullstellen von <math>f</math> - und damit ihre Linearfaktorform.

			'''Lösung:''' <br />
	Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, die 3. binomische Formel anzuwenden:		Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, die 3. binomische Formel anzuwenden:
	: <math>a^2 - b^2 = (a +b) \cdot (a - b) </math>		: <math>a^2 - b^2 = (a +b) \cdot (a - b) </math>
Zeile 95:		Zeile 95:
	}} <!-- Ende 1. Beispiel -->		}} <!-- Ende 1. Beispiel -->

	~~{{Box~~
	~~\|1=2. Beispiel - Linearfaktorform aus allgemeiner Scheitelpunktform erstellen~~
	~~\|2=~~
	Wenn die Funktionsgleichung von <math>f</math> in der allgemeinen Scheitelpunktform mit einem Streckfaktor <math>a \not= 1</math> gegeben ist, muss man diesen erst wieder ausklammern, bevor man die 3. binomische Formel anwendet. Auch im folgenden Beispiel wird mit der Funktion <math>f</math> aus der 4. Aufgabe des Kapitels [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform\|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]] auf eine bereits bekannte Funktion zurückgegriffen.		Wenn die Funktionsgleichung von <math>f</math> in der allgemeinen Scheitelpunktform mit einem Streckfaktor <math>a \not= 1</math> gegeben ist, muss man diesen erst wieder ausklammern, bevor man die 3. binomische Formel anwendet. Auch im folgenden Beispiel wird mit der Funktion <math>f</math> aus der 4. Aufgabe des Kapitels [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform\|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]] auf eine bereits bekannte Funktion zurückgegriffen.

			{{Box
			\|Titel = 2. Beispiel - von der allgemeinen Scheitelpunktform zur Linearfaktorform
			\|Klasse =Lösung
			\|Inhalt = '''Aufgabe:''' <br />
	Gegeben ist die Scheitelpunktform <math>f(x)=\frac {1}{4} \; (x-4)^2 - 1</math> einer Funktion <math>f</math>.<br />Gesucht ist die Linearfaktorform von <math>f</math>.		Gegeben ist die Scheitelpunktform <math>f(x)=\frac {1}{4} \; (x-4)^2 - 1</math> einer Funktion <math>f</math>.<br />Gesucht ist die Linearfaktorform von <math>f</math>.

			'''Lösung:''' <br />
	<math>f(x)=\frac {1}{4} \; (x-4)^2 - 1</math>     {{!}} den Koeffizienten <math>\frac {1}{4}</math> aus dem gesamten Term ausklammern<br />     <math>=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 4 \right) </math>     {{!}} den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen <br />    <math>=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 2^2 \right) </math>    {{!}} 3. binomische Formel anwenden <br />     <math>=\frac {1}{4} \; (x-4 +2) \; (x-4-2) </math>     {{!}} in den Klammern zusammenfassen <br />     <math>=\frac {1}{4} \; (x-2) \; (x-6) </math>		<math>f(x)=\frac {1}{4} \; (x-4)^2 - 1</math>     {{!}} den Koeffizienten <math>\frac {1}{4}</math> aus dem gesamten Term ausklammern<br />     <math>=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 4 \right) </math>     {{!}} den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen <br />    <math>=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 2^2 \right) </math>    {{!}} 3. binomische Formel anwenden <br />     <math>=\frac {1}{4} \; (x-4 +2) \; (x-4-2) </math>     {{!}} in den Klammern zusammenfassen <br />     <math>=\frac {1}{4} \; (x-2) \; (x-6) </math>
	~~\|3=Lösung~~}}		}} <!-- Ende 2. Beispiel -->

	{{Box		{{Box
	\|1=2. Aufgabe (Üben) - ~~Bestimmung~~ der ~~Nullstellen aus einfacher~~ Scheitelpunktform ~~üben~~		\|Titel =2. Aufgabe (Üben) - von der einfachen Scheitelpunktform zur Linearfaktorform
	\|2=Berechne die Nullstellen folgender Funktionen. Es handelt sich dabei um die bekannten Funktionen aus der 3. Aufgabe des Kapitels [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform\|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]]. Die Lösungen können entsprechend auch mit dem dazu gehörenden GeoGebra-Applet graphisch überprüft werden.		\|Klasse = Üben
			\|Inhalt = Berechne die Nullstellen folgender Funktionen und bestimme die Linearfaktorform. <br />Es handelt sich dabei um die bekannten Funktionen aus der 3. Aufgabe des Kapitels [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform\|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]]. Die Lösungen können entsprechend auch mit dem dazu gehörenden GeoGebra-Applet graphisch überprüft werden.
	# <math>f(x) = (x - 1)^2 -9 </math>		# <math>f(x) = (x - 1)^2 -9 </math>
	# <math>g(x) = (x - 2)^2 -1</math>		# <math>g(x) = (x - 2)^2 -1</math>
Zeile 119:		Zeile 122:
	\|2=Lösung anzeigen		\|2=Lösung anzeigen
	\|3=Lösung verstecken}}		\|3=Lösung verstecken}}
	~~\|3=Üben~~}}		}} <!-- Ende 2. Aufgabe -->

	Mit den folgenden GeoGebra-Applets kannst du überprüfen, ob die Scheitelpunktform und die Linearfaktorform einer quadratischen Funktion zu der gleichen Parabel gehören. Die Parameter sind hier erst mal so eingestellt, dass die bekannte Funktion aus dem 2. Beispiel <math>f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1 </math> <math>= \frac{1}{4} \cdot (x - 2)\;(x -6) </math> dargestellt wird. Über die Schieberegler können die Parameter mit der Maus verändert werden. Mit kurzen Klicks oder den Pfeiltasten können die Werte in kleinen Schritten exakt eingestellt werden. In der Scheitelpunktform kann man auch den Scheitelpunkt mit der Maus verschieben, in der Linearfaktorform die x-Achsenschnittpunkte auf der x-Achse.		Mit den folgenden GeoGebra-Applets kannst du überprüfen, ob die Scheitelpunktform und die Linearfaktorform einer quadratischen Funktion zu der gleichen Parabel gehören. Die Parameter sind hier erst mal so eingestellt, dass die bekannte Funktion aus dem 2. Beispiel <math>f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1 </math> <math>= \frac{1}{4} \cdot (x - 2)\;(x -6) </math> dargestellt wird. Über die Schieberegler können die Parameter mit der Maus verändert werden. Mit kurzen Klicks oder den Pfeiltasten können die Werte in kleinen Schritten exakt eingestellt werden. In der Scheitelpunktform kann man auch den Scheitelpunkt mit der Maus verschieben, in der Linearfaktorform die x-Achsenschnittpunkte auf der x-Achse.
Zeile 135:		Zeile 138:

	{{Box		{{Box
	\|1=3. Aufgabe (Üben) - ~~Bestimmung~~ der ~~Nullstellen aus allgemeiner~~ Scheitelpunktform		\|Titel = 3. Aufgabe (Üben) - von der allgemeinen Scheitelpunktform zur Linearfaktorform
	\|2=Berechne die Nullstellen folgender Funktionen. Die Lösungen können auch mit den obigen GeoGebra-Applets überprüft werden.		\|Klasse = Üben
			\|Inhalt = Berechne die Nullstellen folgender Funktionen und bestimme die Linearfaktorform. <br />Die Lösungen können auch mit den obigen GeoGebra-Applets überprüft werden.
	# <math>f(x)= 0,4 \; (x + 1)^2 -6,4 </math>		# <math>f(x)= 0,4 \; (x + 1)^2 -6,4 </math>
	# <math>g(x) = -\;(x - 2)^2 +1</math>		# <math>g(x) = -\;(x - 2)^2 +1</math>
Zeile 148:		Zeile 152:
	\|2=Lösung anzeigen		\|2=Lösung anzeigen
	\|3=Lösung verstecken}}		\|3=Lösung verstecken}}
	\|3=~~Üben~~}}		}} <!-- Ende 3. Aufgabe -->

			Wie kommt man von der Linearfaktorform wieder zurück zur Scheitelpunktform? Du kannst ja mal an einem der Beispiele oben versuchen, das selbstständig hinzubekommen. Du kannst aber auch erst das folgende Beispiel anschauen, in dem gezeigt wird, wie es geht.

			{{Box
			\|Titel = 3. Beispiel - von der Linearfaktorform zur Scheitelpunktform
			\|Klasse = Lösung
			\|Inhalt = '''Aufgabe: '''<br />
			Gegeben ist die Linearfaktorform der Funktion <math> f(x) = 0,5 (x -3) \; (x + 5) </math>

			''Lösung: '''<br />
			Ein möglicher Lösungsansatz beruht auf der Überlegung, dass die x-Koordinate des Scheitelpunktes wegen der Achsensymmetrie der Parabel immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt.
			Die Mitte zwischen zwei Zahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> kann man mit der Formel für das arithmetische Mittel berechnen:
			: <math>x_s = \frac{x_1 + x_2}{2}</math>
			Im vorliegenden Fall erhält man
			: <math>x_s = \frac{3 + (-5)}{2} = -\frac{2}{2} = -1</math>

			Die dazugehörende y-Koordinate des Scheitelpunktes berechnet man anschließend mit
			: <math> y_s = f(x_s) = 0,5 (-1 -2) \; (-1 + 5) </math> <math> = 0,5 \cdot (-3) \cdot 4 </math> <math> = -6 </math>

			'''Ergebnis: '''<br />
			Die Scheitelpunktform der Funktion lautet:
			: <math> f(x) = 0,5 \cdot ( (x -(-1)^2 - 6 ) </math> <math> = 0,5 (x +1)^2 - 3 </math>
			}} <!-- Ende 3. Beispiel -->


	{{Box		{{Box
	\|1=4. Aufgabe (Erkunden) - quadratische ~~Funktion~~ ohne Nullstellen		\|Titel = 5. Aufgabe (Erkunden) - quadratische Funktionen ohne Nullstellen
	\|2=Wie wir gesehen haben, kann man jede Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln und umgekehrt. Man kann auch jede Linearfaktorform in die Normalform umwandeln. Aber umgekehrt funktioniert ''das'' nicht immer!		\|Klasse =
			\|Icon = fa fa-binoculars fa-2x
			\|Inhalt = Wie wir gesehen haben, kann man jede Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln und umgekehrt. Man kann auch jede Linearfaktorform in die Normalform umwandeln. Aber umgekehrt funktioniert ''das'' nicht immer!
	Beschreibe graphisch anschaulich, in welchen Fällen eine quadratische Funktion keine Linearfaktorform besitzt und gib ein Beispiel für eine solche Funktion an.		Beschreibe graphisch anschaulich, in welchen Fällen eine quadratische Funktion keine Linearfaktorform besitzt und gib ein Beispiel für eine solche Funktion an.

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	\|2=Lösung anzeigen		\|2=Lösung anzeigen
	\|3=Lösung verstecken}}		\|3=Lösung verstecken}}
	~~\|3=~~		}} <!-- Ende 5. Aufgabe -->
	~~\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x~~
	}} <!-- Ende 7. Aufgabe -->

Ukalina am 6. April 2026 um 11:58 Uhr

2026-04-06T11:58:01Z

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	{{Box\|Lernschritt Linearfaktorform und Nullstellen		{{Box
	\|		\|Titel = Lernschritt Linearfaktorform und Nullstellen
			\|Klasse = Lernpfad
			\|Inhalt =
	* In diesem Lernschritt wird erklärt, was man unter der '''Linearfaktorform''' einer quadratischen Funktion versteht und wozu diese genutzt werden kann.		* In diesem Lernschritt wird erklärt, was man unter der '''Linearfaktorform''' einer quadratischen Funktion versteht und wozu diese genutzt werden kann.
	* In diesem Zusammenhang wird auch die '''Nullprodukt-Regel''' und der Begriff der '''Nullstelle''' einer Funktion wiederholt.		* In diesem Zusammenhang wird auch die '''Nullprodukt-Regel''' und der Begriff der '''Nullstelle''' einer Funktion wiederholt.
	* Schließlich wird gezeigt, wie man die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform mithilfe der 3. binomischen Formel gewinnen kann.		* Schließlich wird gezeigt, wie man die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform mithilfe der 3. binomischen Formel gewinnen kann.
	~~\|Lernpfad~~}}		}}

	====Linearfaktorform====		====Linearfaktorform====
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	{{Box		{{Box
	\|1=Nullprodukt-Regel		\|Titel = Nullprodukt-Regel
	\|2=Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist.		\|Klasse = Merksatz
	~~\|3=Merksatz~~}}		\|Inhalt = Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist.
			}} <!-- Merksatz Nullprodukt-Regel -->

	In der Linearfaktorform einer Funktion kann man direkt ablesen, an welchen Stellen ihr Graph die x-Achse schneidet: Es sind diejenigen x-Werte, deren Einsetzung in die Funktionsgleichung dafür sorgen, dass mindestens eine der Klammern - und damit der gesamte Funktionsterm - gleich Null wird. Diese speziellen x-Werte bezeichnet man auch als "Nullstellen" der Funktion. Sie sind die Lösungen der quadratischen Gleichung		In der Linearfaktorform einer Funktion kann man direkt ablesen, an welchen Stellen ihr Graph die x-Achse schneidet: Es sind diejenigen x-Werte, deren Einsetzung in die Funktionsgleichung dafür sorgen, dass mindestens eine der Klammern - und damit der gesamte Funktionsterm - gleich Null wird. Diese speziellen x-Werte bezeichnet man auch als "Nullstellen" der Funktion. Sie sind die Lösungen der quadratischen Gleichung
	: <math> (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 </math>.		: <math> (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 </math>.
	</div>		</div>

	{{Box		{{Box
	\|1=Definitionen Nullstelle		\|Titel = Definitionen Nullstelle
	\|2=Eine Zahl <math>x_N</math> heißt '''Nullstelle''' einer Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>f(x_N) = 0</math>. <br />Die Nullstellen einer Funktion <math>f</math> sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse.		\|Klasse = Merksatz
	~~\|3=Merksatz~~}}		\|Inhalt = Eine Zahl <math>x_N</math> heißt '''Nullstelle''' einer Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>f(x_N) = 0</math>. <br />Die Nullstellen einer Funktion <math>f</math> sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse.
			}} <!-- Definitionen Nullstelle -->


	{{Box		{{Box
	\|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Linearfaktorform aus Nullstellen erstellen		\|Titel =1. Aufgabe (Erkunden) - Linearfaktorform aus Nullstellen erstellen
	\|2=Man kann die Linearfaktorform auch nutzen, um zu zwei vorgegebenen x-Werten eine quadratische Funktion zu finden, deren Graph die x-Achse genau an diesen beiden Stellen schneidet.		\|Klasse =
			\|Icon = fa fa-binoculars fa-2x
			\|Inhalt =Man kann die Linearfaktorform auch nutzen, um zu zwei vorgegebenen x-Werten eine quadratische Funktion zu finden, deren Graph die x-Achse genau an diesen beiden Stellen schneidet.
	# Bestimme die Linearfaktorform und die Normalform einer quadratischen Funktion <math>f</math>, deren Graph die x-Achse in den Punkten <math>N_1(-2\|0) </math> und <math>N_2(4\|0) </math> schneidet.		# Bestimme die Linearfaktorform und die Normalform einer quadratischen Funktion <math>f</math>, deren Graph die x-Achse in den Punkten <math>N_1(-2\|0) </math> und <math>N_2(4\|0) </math> schneidet.
	# Begründe, dass es eine ganze Schar von Funktionen gibt, die alle genau diese beiden x-Achsenschnittpunkte besitzen. Gib die Funktionsgleichung dieser Schar an und beschreibe, worin sich die einzelnen Parabeln der Schar unterscheiden.		# Begründe, dass es eine ganze Schar von Funktionen gibt, die alle genau diese beiden x-Achsenschnittpunkte besitzen. Gib die Funktionsgleichung dieser Schar an und beschreibe, worin sich die einzelnen Parabeln der Schar unterscheiden.
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	\|2=Lösung anzeigen		\|2=Lösung anzeigen
	\|3=Lösung verstecken}}		\|3=Lösung verstecken}}
	~~\|3=~~
	~~\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x~~
	}} <!-- Ende 1. Aufgabe -->		}} <!-- Ende 1. Aufgabe -->


	{{Box		{{Box
	\|1=Allgemeine Linearfaktorform		\|Titel = Allgemeine Linearfaktorform
	\|2=Wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion <math>f</math> die Form		\|Klasse = Merksatz
			\|Inhalt = Wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion <math>f</math> die Form
	: <math>\boldsymbol{ f(x) =a\;(x-x_1)\; (x - x_2) } </math>   mit   <math>a \not= 0</math>		: <math>\boldsymbol{ f(x) =a\;(x-x_1)\; (x - x_2) } </math>   mit   <math>a \not= 0</math>
	besitzt, dann befindet sie sich in der allgemeinen '''Linearfaktorform'''. In dieser kann man die x-Koordinaten <math>x_1</math> und <math>x_2</math> der Schnittpunkte mit der x-Achse <math>N(x_1\|0)</math> und <math>N(x_2\|0)</math> direkt ablesen. Die x-Koordinaten <math>x_1</math> und <math>x_2</math> bezeichnet man als ihre '''Nullstellen'''.		besitzt, dann befindet sie sich in der allgemeinen '''Linearfaktorform'''. In dieser kann man die x-Koordinaten <math>x_1</math> und <math>x_2</math> der Schnittpunkte mit der x-Achse <math>N(x_1\|0)</math> und <math>N(x_2\|0)</math> direkt ablesen. Die x-Koordinaten <math>x_1</math> und <math>x_2</math> bezeichnet man als ihre '''Nullstellen'''.

	''Beachte'': In der allgemeinen Funktionsgleichung der Linearfaktorform stehen die Nullstellen in den Klammern ''hinter einem Minuszeichen''. ~~Ein konkreter~~ Ausdruck wie <math>(x+2)\;(x-4) </math> ~~muss also umgeformt werden zu <math>(x-(-2)\;(x-4) </math>, wenn man erreichen möchte, dass~~ die Nullstellen <math>x_1 = -2 </math> und <math>x_2 = +4</math> beide hinter einem Minuszeichen erscheinen.		''Beachte'': In der allgemeinen Funktionsgleichung der Linearfaktorform stehen die Nullstellen in den Klammern ''hinter einem Minuszeichen''. Um zu erreichen, dass bei einem konkreten Ausdruck wie <math>(x+2)\;(x-4) </math> die beiden Nullstellen <math>x_1 = -2 </math> und <math>x_2 = +4</math> ''beide hinter einem Minuszeichen'' erscheinen, kann man die erste Klammer <math> (x+2) </math> umformen zu <math>(x - (-2)) </math>.
	~~\|3=Merksatz~~}}		}} <!-- Ende Merksatz Allgemeine Linearfaktorform -->

	In der Linearfaktorform kann man die Nullstellen einer quadratischen Funktion einfach ablesen. Es stellt sich die Frage, wie man die Nullstellen berechnen kann, wenn die Funktion in der Scheitelpunktform gegeben ist. Dies wird im Folgenden am Beispiel zweier bekannter Funktionen gezeigt.		In der Linearfaktorform kann man die Nullstellen einer quadratischen Funktion einfach ablesen. Es stellt sich die Frage, wie man die Nullstellen berechnen kann, wenn die Funktion in der Scheitelpunktform gegeben ist. Dies wird im Folgenden am Beispiel zweier bekannter Funktionen gezeigt.

	{{Box		{{Box
	\|1=1. Beispiel - Linearfaktorform aus Scheitelpunktform erstellen		\|Titel = 1. Beispiel - Linearfaktorform aus Scheitelpunktform erstellen
	\|2=		\|Klasse =Lösung
			\|Inhalt =
	Gegeben ist die Scheitelpunktform <math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math> einer Funktion <math>f</math>.<br />Gesucht sind die die Nullstellen von <math>f</math> - und damit ihre Linearfaktorform.		Gegeben ist die Scheitelpunktform <math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math> einer Funktion <math>f</math>.<br />Gesucht sind die die Nullstellen von <math>f</math> - und damit ihre Linearfaktorform.

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	<math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math>    {{!}} den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen<br />    <math>= (x - 3)^2 -2^2 </math>    {{!}} 3. binomische Formel anwenden <br />    <math>= (x - 3\; + 2)\cdot (x-3\; -2) </math>    {{!}} in den Klammern zusammenfassen <br />    <math>= (x - 1)\cdot (x - 5) </math>		<math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math>    {{!}} den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen<br />    <math>= (x - 3)^2 -2^2 </math>    {{!}} 3. binomische Formel anwenden <br />    <math>= (x - 3\; + 2)\cdot (x-3\; -2) </math>    {{!}} in den Klammern zusammenfassen <br />    <math>= (x - 1)\cdot (x - 5) </math>
	~~\|3=Lösung~~}}		}} <!-- Ende 1. Beispiel -->

	{{Box		{{Box

Ukalina am 31. März 2026 um 15:44 Uhr

2026-03-31T15:44:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. März 2026, 15:44 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	__NOTOC__		__NOTOC__
	{{~~LernpfadNeu~~/~~Lerneinheit~~/~~Vorspann~~\|~~Titel~~ = Lernschritt Linearfaktorform und Nullstellen		{{Fortsetzung
			\|vorher=zurück
			\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform
			\|weiter=weiter
			\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF07 Quadratische Gleichungen
			\|übersicht=Kapitelübersicht
			\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}


			{{Box\|Lernschritt Linearfaktorform und Nullstellen
	\|		\|
	* In diesem Lernschritt wird erklärt, was man unter der '''Linearfaktorform''' einer quadratischen Funktion versteht und wozu diese genutzt werden kann.		* In diesem Lernschritt wird erklärt, was man unter der '''Linearfaktorform''' einer quadratischen Funktion versteht und wozu diese genutzt werden kann.
	* In diesem Zusammenhang wird auch die '''Nullprodukt-Regel''' und der Begriff der '''Nullstelle''' einer Funktion wiederholt.		* In diesem Zusammenhang wird auch die '''Nullprodukt-Regel''' und der Begriff der '''Nullstelle''' einer Funktion wiederholt.
	* Schließlich wird gezeigt, wie man die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform mithilfe der 3. binomischen Formel gewinnen kann.		* Schließlich wird gezeigt, wie man die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform mithilfe der 3. binomischen Formel gewinnen kann.
	}}		\|Lernpfad}}

	====Linearfaktorform====		====Linearfaktorform====
Zeile 148:		Zeile 157:
	}} <!-- Ende 7. Aufgabe -->		}} <!-- Ende 7. Aufgabe -->

	{{~~LernpfadNeu~~/~~Lerneinheit~~}}

			{{Fortsetzung
			\|vorher=zurück
			\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform
			\|weiter=weiter
			\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF07 Quadratische Gleichungen
			\|übersicht=Kapitelübersicht
			\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}


	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Christian am 22. März 2026 um 10:07 Uhr

2026-03-22T10:07:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. März 2026, 10:07 Uhr
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	__NOTOC__		__NOTOC__
	{{~~Fortsetzung~~		{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann\|Titel = Lernschritt Linearfaktorform und Nullstellen
	~~\|vorher=zurück~~
	~~\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen~~/~~QF05 Scheitelpunktform und Normalform~~
	~~\|weiter=weiter~~
	~~\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen~~/~~QF07 Quadratische Gleichungen~~
	\|~~übersicht~~=~~Kapitelübersicht~~
	~~\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}~~


	~~{{Box\|~~Lernschritt Linearfaktorform und Nullstellen
	\|		\|
	* In diesem Lernschritt wird erklärt, was man unter der '''Linearfaktorform''' einer quadratischen Funktion versteht und wozu diese genutzt werden kann.		* In diesem Lernschritt wird erklärt, was man unter der '''Linearfaktorform''' einer quadratischen Funktion versteht und wozu diese genutzt werden kann.
	* In diesem Zusammenhang wird auch die '''Nullprodukt-Regel''' und der Begriff der '''Nullstelle''' einer Funktion wiederholt.		* In diesem Zusammenhang wird auch die '''Nullprodukt-Regel''' und der Begriff der '''Nullstelle''' einer Funktion wiederholt.
	* Schließlich wird gezeigt, wie man die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform mithilfe der 3. binomischen Formel gewinnen kann.		* Schließlich wird gezeigt, wie man die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform mithilfe der 3. binomischen Formel gewinnen kann.
	~~\|Lernpfad~~}}		}}

	====Linearfaktorform====		====Linearfaktorform====
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	\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x		\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x
	}} <!-- Ende 7. Aufgabe -->		}} <!-- Ende 7. Aufgabe -->



	~~{{Fortsetzung~~
	~~\|vorher=zurück~~
	~~\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform~~
	~~\|weiter=weiter~~
	~~\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF07 Quadratische Gleichungen~~
	~~\|übersicht=Kapitelübersicht~~
	~~\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}~~

	{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}		{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}
	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]