Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform - Versionsgeschichte

Ukalina am 3. Juni 2026 um 11:20 Uhr

2026-06-03T11:20:03Z

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	\|1=		\|1=
	# Verschiebung von <math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1 </math> um 2 Einheiten nach links führt zu der Parabel <math> g(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)^2 - 1 </math> <math> = \frac{1}{4} \cdot (x^2 -4x +4)^2 - 1 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 -x + 1 - 1 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 -x </math>.		# Verschiebung von <math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1 </math> um 2 Einheiten nach links führt zu der Parabel <math> g(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)^2 - 1 </math> <math> = \frac{1}{4} \cdot (x^2 -4x +4)^2 - 1 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 -x + 1 - 1 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 -x </math>.
	# Transformationsgleichung für die Verschiebung: <math> g(x) = f(x+2) </math> <br />Um die Normalform von <math>g</math> zu erhalten, kann man auch diese Transformationsgleichung auf die Normalform von <math>f</math> anwenden, indem man darin jedes <math> x </math> durch <math> x+2 </math> ersetzt: <math> g(x) = f(x+2) = \frac{1}{4} (x+2)^2 - 2(x+2) + 3 </math> <math> = \frac{1}{4} \cdot (x^2 + 4x +4) - 2x -4 + 3 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 + x + 1 -2x - ~~4+ 3~~ </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 - x </math>		# Transformationsgleichung für die Verschiebung: <math> g(x) = f(x+2) </math> <br />Um die Normalform von <math>g</math> zu erhalten, kann man ''auch'' diese Transformationsgleichung auf die Normalform von <math>f</math> anwenden, indem man darin jedes <math> x </math> durch <math> x+2 </math> ersetzt: <br /> Normalform von f: <math> \frac{1}{4} \cdot (x^2 -8x +16) - 1 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 -2x +3 </math>. <br /> Darin <math>x</math> durch <math> x+2 </math> ersetzen: <math> g(x) = f(x+2) = \frac{1}{4} (x+2)^2 - 2 (x+2) +3</math> <math> = \frac{1}{4} \cdot (x^2 + 4x +4) - 2x -4 +3 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 + x + 1 -2x -1</math> <math> = \frac{1}{4} x^2 - x </math>
	\|2=Lösung anzeigen		\|2=Lösung anzeigen
	\|3=Lösung verbergen}}		\|3=Lösung verbergen}}

Ukalina am 6. April 2026 um 11:36 Uhr

2026-04-06T11:36:43Z

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Ukalina am 4. April 2026 um 09:48 Uhr

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	{{Box		{{Box
	\| Titel = ~~Beispielaufgabe~~ - von der Normalform zur Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung		\| Titel = Beispiel - von der Normalform zur Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung
	\| Klasse = Lösung		\| Klasse = Lösung
	\| Inhalt = '''Aufgabe:''' Erstelle mithilfe einer quadratischen Ergänzung aus der Normalform <math> f(x) = x^2 -6x +5</math> die Scheitelpunktform der Funktion <math>f</math>.		\| Inhalt = '''Aufgabe:''' Erstelle mithilfe einer quadratischen Ergänzung aus der Normalform <math> f(x) = x^2 -6x +5</math> die Scheitelpunktform der Funktion <math>f</math>.

Ukalina am 4. April 2026 um 09:45 Uhr

2026-04-04T09:45:34Z

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	In der Scheitelpunktform sind die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesbar. Wenn man nun aber die Funktionsgleichung einer Parabel nur in der Normalform gegeben ist und ihr Scheitelpunkt ermittelt werden soll, dann stellt sich die Frage, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln kann.		In der Scheitelpunktform sind die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesbar. Wenn man nun aber die Funktionsgleichung einer Parabel nur in der Normalform gegeben ist und ihr Scheitelpunkt ermittelt werden soll, dann stellt sich die Frage, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln kann.

	Während die Umformung der Scheitelpunktform in die Normalform recht einfach durch Ausmultiplizieren zu bewerkstelligen ist, wie wir in der 2. Aufgabe gesehen haben, ist die Umformung in der entgegengesetzten Richtung nicht ganz so einfach, besteht aber im Prinzip aus den gleichen Schritten in umgekehrter Reihenfolge. ~~Wir demonstrieren~~ die Vorgehensweise, die auch als '''quadratische Ergänzung''' bezeichnet wird, an der Beispielfunktion <math>f</math> aus der 2. Aufgabe. ~~Unser Ausgangspunkt ist die Normalform:~~		Während die Umformung der Scheitelpunktform in die Normalform recht einfach durch Ausmultiplizieren zu bewerkstelligen ist, wie wir in der 2. Aufgabe gesehen haben, ist die Umformung in der entgegengesetzten Richtung nicht ganz so einfach, besteht aber im Prinzip aus den gleichen Schritten in umgekehrter Reihenfolge. Die folgende Beispielaufgabe demonstriert die Vorgehensweise, die auch als '''quadratische Ergänzung''' bezeichnet wird, an der Beispielfunktion <math>f</math> aus der 2. Aufgabe.

	:<math> f(x) = x^2 -6x +5</math>		{{Box
			\| Titel = Beispielaufgabe - von der Normalform zur Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung
			\| Klasse = Lösung
			\| Inhalt = '''Aufgabe:''' Erstelle mithilfe einer quadratischen Ergänzung aus der Normalform <math> f(x) = x^2 -6x +5</math> die Scheitelpunktform der Funktion <math>f</math>.

	~~Als~~ erstes ~~wird~~ geschaut, wie man die ersten beiden Summanden des Funktionsterms, also <math> x^2 -6x </math> so durch eine Quadratzahl ergänzen kann, dass ein Ausdruck entsteht, den man mithilfe der zweiten binomischen Formel		'''Lösung:''' <br />
			Dazu wird als erstes geschaut, wie man die ersten beiden Summanden des Funktionsterms, also <math> x^2 -6x </math> so durch eine Quadratzahl ergänzen kann, dass ein Ausdruck entsteht, den man mithilfe der zweiten binomischen Formel
	:<math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </math>		:<math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </math>
	in einen "Klammerausdruck zum Quadrat" umwandeln kann.		in einen "Klammerausdruck zum Quadrat" umwandeln kann.
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	:<math> f(x) =(x-3)^2 -4 </math>		:<math> f(x) =(x-3)^2 -4 </math>

			}} <!-- Box Beispielaufgabe -->



	{{Box		{{Box

Ukalina am 3. April 2026 um 15:18 Uhr

2026-04-03T15:18:08Z

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Ukalina am 31. März 2026 um 15:44 Uhr

2026-03-31T15:44:26Z

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	__NOTOC__		__NOTOC__
	{{~~LernpfadNeu~~/~~Lerneinheit~~/~~Vorspann~~\|~~Titel~~ = Lernschritt Scheitelpunktform und Normalform		{{Fortsetzung
	\|* In diesem Lernschritt wird die Normalparabel zunächst sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben und dann gefragt, wie die Funktionsgleichung aussieht, die zu dem verschobenen Graphen gehört.		\|vorher=zurück
			\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln
			\|weiter=weiter
			\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen
			\|übersicht=Kapitelübersicht
			\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}


			{{Box\|Lernschritt Scheitelpunktform und Normalform
			\|
			* In diesem Lernschritt wird die Normalparabel zunächst sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben und dann gefragt, wie die Funktionsgleichung aussieht, die zu dem verschobenen Graphen gehört.
	* Im nächsten Schritt wird die Normalparabel dann nicht mehr nur verschoben, sondern zusätzlich auch noch in y-Richtung gestreckt.		* Im nächsten Schritt wird die Normalparabel dann nicht mehr nur verschoben, sondern zusätzlich auch noch in y-Richtung gestreckt.
	* Es wird erklärt, was die '''Scheitelpunktform''' und was die '''Normalform''' einer Parabel ist.		* Es wird erklärt, was die '''Scheitelpunktform''' und was die '''Normalform''' einer Parabel ist.
	* Schließlich wird gezeigt, wie man mithilfe einer so genannten '''quadratischen Ergänzung''' aus der Normalform einer quadratischen Funktion ihre Scheitelpunktform gewinnen kann.		* Schließlich wird gezeigt, wie man mithilfe einer so genannten '''quadratischen Ergänzung''' aus der Normalform einer quadratischen Funktion ihre Scheitelpunktform gewinnen kann.
	}}		\|Lernpfad}}

	{{Box		{{Box
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	\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}}		\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}}

	{{~~LernpfadNeu~~/~~Lerneinheit~~}}
			{{Fortsetzung
			\|vorher=zurück
			\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln
			\|weiter=weiter
			\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen
			\|übersicht=Kapitelübersicht
			\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}


	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Christian am 22. März 2026 um 10:06 Uhr

2026-03-22T10:06:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. März 2026, 10:06 Uhr
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	__NOTOC__		__NOTOC__
	{{~~Fortsetzung~~		{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann\|Titel = Lernschritt Scheitelpunktform und Normalform
	~~\|vorher=zurück~~		\|* In diesem Lernschritt wird die Normalparabel zunächst sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben und dann gefragt, wie die Funktionsgleichung aussieht, die zu dem verschobenen Graphen gehört.
	~~\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen~~/~~QF04 Normalparabel strecken und spiegeln~~
	~~\|weiter=weiter~~
	~~\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen~~/~~QF06 Linearfaktorform und Nullstellen~~
	\|~~übersicht~~=~~Kapitelübersicht~~
	~~\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}~~


	~~{{Box\|~~Lernschritt Scheitelpunktform und Normalform
	\|
	* In diesem Lernschritt wird die Normalparabel zunächst sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben und dann gefragt, wie die Funktionsgleichung aussieht, die zu dem verschobenen Graphen gehört.
	* Im nächsten Schritt wird die Normalparabel dann nicht mehr nur verschoben, sondern zusätzlich auch noch in y-Richtung gestreckt.		* Im nächsten Schritt wird die Normalparabel dann nicht mehr nur verschoben, sondern zusätzlich auch noch in y-Richtung gestreckt.
	* Es wird erklärt, was die '''Scheitelpunktform''' und was die '''Normalform''' einer Parabel ist.		* Es wird erklärt, was die '''Scheitelpunktform''' und was die '''Normalform''' einer Parabel ist.
	* Schließlich wird gezeigt, wie man mithilfe einer so genannten '''quadratischen Ergänzung''' aus der Normalform einer quadratischen Funktion ihre Scheitelpunktform gewinnen kann.		* Schließlich wird gezeigt, wie man mithilfe einer so genannten '''quadratischen Ergänzung''' aus der Normalform einer quadratischen Funktion ihre Scheitelpunktform gewinnen kann.
	~~\|Lernpfad~~}}		}}

	{{Box		{{Box
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	\|3=		\|3=
	\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}}		\|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}}


	~~{{Fortsetzung~~
	~~\|vorher=zurück~~
	~~\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln~~
	~~\|weiter=weiter~~
	~~\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen~~
	~~\|übersicht=Kapitelübersicht~~
	~~\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}~~

	{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}		{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}
	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Christian am 21. März 2026 um 16:32 Uhr

2026-03-21T16:32:08Z

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	\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}		\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}

			{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}
	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Ukalina am 21. März 2026 um 16:05 Uhr

2026-03-21T16:05:11Z

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	~~[[Kategorie: Mathematik]]~~
	~~[[Kategorie: Quadratische Funktionen]]~~
	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Ukalina: Die Seite wurde neu angelegt: „NOTOC {{Fortsetzung |vorher=zurück |vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln |weiter=weiter |weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen |übersicht=Kapitelübersicht |übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}} {{Box|Lernschritt Scheitelpunktform und Normalform | * In diesem Lernschritt wird die Normalparabel zunächs…“

2026-01-23T19:09:16Z

Die Seite wurde neu angelegt: „__NOTOC__ {{Fortsetzung |vorher=zurück |vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln |weiter=weiter |weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen |übersicht=Kapitelübersicht |übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}} {{Box|Lernschritt Scheitelpunktform und Normalform | * In diesem Lernschritt wird die Normalparabel zunächs…“

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