Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben - Versionsgeschichte

Ukalina am 9. April 2026 um 11:49 Uhr

2026-04-09T11:49:32Z

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	{{ Lösung versteckt		{{ Lösung versteckt
	\|1=~~Bei der Begründung dieser Aussage kann man sich an der Lösung von Aufgabe 3 orientieren: <br />~~Für jeden beliebigen x-Wert liegt der Punkt <math>P(x \| f(x))</math> auf dem Graphen von <math>f</math> und für den gleichen x-Wert liegt der Punkt <math>Q(x \| g(x))~~</math> auf dem Graphen von <math>g</math>. Da vorausgesetzt wird, dass für die Funktionsgleichungen die Beziehung <math>g~~(x~~) =~~ f(x) +e ~~</math> gilt, liegt der Punkt <math>Q~~</math> im Koordinatensystem <math>e</math> Einheiten senkrecht ''oberhalb'' von <math>P</math>, wenn <math>e</math> ''positiv'' ist, bzw. <math>e</math> Einheiten senkrecht ''darunter'', falls <math>e</math> ''negativ'' ist~~. Man gelangt also von <math>P</math> zu <math>Q</math>, indem man <math>P</math> um den Betrag von <math>e</math> nach oben bzw. nach unten verschiebt~~. Da dies für ''jeden beliebigen'' Punkt <math>P(x \| f(x))</math> des Graphen von <math>f</math> gilt, erhält man den ''gesamten Graphen'' von <math>g</math>, indem man den Graphen von <math>f</math> um <math>e</math> in y-Richtung verschiebt.		\|1=Für jeden beliebigen x-Wert liegt der Punkt <math>P(x \;\|\; f(x))</math> auf dem Graphen von <math>f</math> und ''für den gleichen x-Wert'' liegt der Punkt <math>Q\left(x \;\|\; g(x)\right) = Q\left(x \;\|\; f(x) +e \right)</math> im Koordinatensystem <math>e</math> Einheiten senkrecht ''oberhalb'' von <math>P</math>, wenn <math>e</math> ''positiv'' ist, bzw. <math>e</math> Einheiten senkrecht ''darunter'', falls <math>e</math> ''negativ'' ist. Da dies für ''jeden beliebigen'' Punkt <math>P(x \| f(x))</math> des Graphen von <math>f</math> gilt, erhält man den ''gesamten Graphen'' von <math>g</math>, indem man den Graphen von <math>f</math> um <math>e</math> in y-Richtung verschiebt.
	\|2=Lösung anzeigen		\|2=Lösung anzeigen
	\|3=Lösung verbergen}}		\|3=Lösung verbergen}}

Ukalina am 31. März 2026 um 15:43 Uhr

2026-03-31T15:43:17Z

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	__NOTOC__		__NOTOC__
	{{~~LernpfadNeu~~/~~Lerneinheit~~/~~Vorspann~~		{{Fortsetzung
	\|~~Titel~~=Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben		\|vorher=zurück
	\|* In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrer Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math> hinter dem <math>x^2</math> eine konstante Zahl addiert oder subtrahiert. Beispielhaft werden dafür die Funktionen <math>g(x)=x^2 +1</math> und <math>h(x) =x^2 -4</math> genauer unter die Lupe genommen.		\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel
			\|weiter=weiter
			\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben
			\|übersicht=Kapitelübersicht
			\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}

			{{Box\|Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben
			\|
			* In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrer Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math> hinter dem <math>x^2</math> eine konstante Zahl addiert oder subtrahiert. Beispielhaft werden dafür die Funktionen <math>g(x)=x^2 +1</math> und <math>h(x) =x^2 -4</math> genauer unter die Lupe genommen.
	* Dabei erfährst du auch, was eine ''Funktionenschar'' ist und		* Dabei erfährst du auch, was eine ''Funktionenschar'' ist und
	* was man unter der ''Nullstelle'' einer Funktion versteht.		* was man unter der ''Nullstelle'' einer Funktion versteht.
	* Schließlich lernst du noch eine Gleichung kennen, die ganz allgemein die Verschiebung von Funktionsgraphen in y-Richtung beschreibt. Es handelt sich dabei um eine von mehreren ''Transformationen'', die in diesem Lernpfad eine Rolle spielen.		* Schließlich lernst du noch eine Gleichung kennen, die ganz allgemein die Verschiebung von Funktionsgraphen in y-Richtung beschreibt. Es handelt sich dabei um eine von mehreren ''Transformationen'', die in diesem Lernpfad eine Rolle spielen.
	}}		\|Lernpfad}}

	{{Box		{{Box
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	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Christian am 22. März 2026 um 10:04 Uhr

2026-03-22T10:04:26Z

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	~~{{Fortsetzung~~
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	{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}		{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}
	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Christian am 22. März 2026 um 10:03 Uhr

2026-03-22T10:03:59Z

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	{{~~Fortsetzung~~		{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann
	~~\|vorher=zurück~~		\|Titel=Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben
	~~\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen~~/~~QF01 Normalparabel~~		\|* In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrer Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math> hinter dem <math>x^2</math> eine konstante Zahl addiert oder subtrahiert. Beispielhaft werden dafür die Funktionen <math>g(x)=x^2 +1</math> und <math>h(x) =x^2 -4</math> genauer unter die Lupe genommen.
	~~\|weiter=weiter~~
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	\|~~übersichtlink~~=~~Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}~~

	~~{{Box\|~~Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben
	\|
	* In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrer Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math> hinter dem <math>x^2</math> eine konstante Zahl addiert oder subtrahiert. Beispielhaft werden dafür die Funktionen <math>g(x)=x^2 +1</math> und <math>h(x) =x^2 -4</math> genauer unter die Lupe genommen.
	* Dabei erfährst du auch, was eine ''Funktionenschar'' ist und		* Dabei erfährst du auch, was eine ''Funktionenschar'' ist und
	* was man unter der ''Nullstelle'' einer Funktion versteht.		* was man unter der ''Nullstelle'' einer Funktion versteht.
	* Schließlich lernst du noch eine Gleichung kennen, die ganz allgemein die Verschiebung von Funktionsgraphen in y-Richtung beschreibt. Es handelt sich dabei um eine von mehreren ''Transformationen'', die in diesem Lernpfad eine Rolle spielen.		* Schließlich lernst du noch eine Gleichung kennen, die ganz allgemein die Verschiebung von Funktionsgraphen in y-Richtung beschreibt. Es handelt sich dabei um eine von mehreren ''Transformationen'', die in diesem Lernpfad eine Rolle spielen.
	~~\|Lernpfad~~}}		}}

	{{Box		{{Box

Christian am 21. März 2026 um 16:28 Uhr

2026-03-21T16:28:20Z

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	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Ukalina am 21. März 2026 um 16:03 Uhr

2026-03-21T16:03:04Z

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	~~[[Kategorie: Mathematik]]~~
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	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Ukalina: Die Seite wurde neu angelegt: „NOTOC {{Fortsetzung |vorher=zurück |vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel |weiter=weiter |weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben |übersicht=Kapitelübersicht |übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}} {{Box|Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben | * In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel i…“

2026-01-23T19:04:12Z

Die Seite wurde neu angelegt: „__NOTOC__ {{Fortsetzung |vorher=zurück |vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel |weiter=weiter |weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben |übersicht=Kapitelübersicht |übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}} {{Box|Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben | * In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel i…“

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__NOTOC__
{{Fortsetzung
|vorher=zurück
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|weiter=weiter
|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben
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|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}

{{Box|Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben
|
* In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrer Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math> hinter dem <math>x^2</math> eine konstante Zahl addiert oder subtrahiert. Beispielhaft werden dafür die Funktionen <math>g(x)=x^2 +1</math> und <math>h(x) =x^2 -4</math> genauer unter die Lupe genommen.
* Dabei erfährst du auch, was eine ''Funktionenschar'' ist und
* was man unter der ''Nullstelle'' einer Funktion versteht.
* Schließlich lernst du noch eine Gleichung kennen, die ganz allgemein die Verschiebung von Funktionsgraphen in y-Richtung beschreibt. Es handelt sich dabei um eine von mehreren ''Transformationen'', die in diesem Lernpfad eine Rolle spielen.
|Lernpfad}}

{{Box
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Wertetabelle erstellen
|2=Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=x^2+1</math> und <math>h(x)=x^2-4</math> in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.
{{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"
{{!+}} '''Tabelle 1'''
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math>
{{!}} -3
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{{!}} -1
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{{!}} 1
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{{!-}}
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{{!}}
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{{!}}
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{{!)}}

{{ Lösung versteckt
|1={{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"
{{!+}} '''Tabelle 1'''
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math>
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{{!}} 3
{{!-}}
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{{!}} '''1'''
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{{!}} '''1'''
{{!}} '''4'''
{{!}} '''9'''
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{{!}} '''2'''
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{{!}} '''10'''
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{{!}} '''-3'''
{{!}} '''0'''
{{!}} '''5'''
{{!)}}
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}}

{{Box
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgraph zuordnen
|2=[[Datei:QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|400px|right|alternativtext=In einem Koordinatensystem sind außer der Normalparabel zwei in y-Richtung verschobene Normalparabeln dargestellt.|QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf In y-Richtung verschobene Normalparabeln]]
# In der Abbildung "QF02 Abbildung 1" sind drei Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet und einer mit durchgezogener Linie. Ordne diese drei Graphen den Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=x^2+1</math> und <math>h(x)=x^2-4</math> zu. Begründe deine Zuordnung mithilfe von Beispielpunkten aus der Tabelle 1.
# Zeige mithilfe der Wertetabellen, dass man auch an die Graphen von <math>g</math> und <math>h</math> Parabel-Treppen wie bei der Normalparabel anlegen kann (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel|QF01 Normalparabel]]).
# Begründe, dass der Graph von <math>g(x)=x^2+1</math> eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel und der Graph von <math>h(x)=x^2-4</math> eine um 4 Einheiten nach unten verschobene Normalparabel ist.
{{ Lösung versteckt
|1=# Die ''durchgezogene'' Linie ist die Normalparabel, also der Graph der Funktion <math>f</math> (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel|QF01 Normalparabel]]). Die ''gepunktete'' Linie ist der Graph der Funktion <math>g(x)=x^2 +1</math>. In der Abbildung "QF02 Abbildung 1" erkennt man, dass dieser Graph die y-Achse im Punkt <math>(0|1)</math> schneidet. Dieses Koordinatenpaar findet man auch in Wertetabelle von <math>g</math>, denn <math>g(0) = 0^2 +1 = 1</math>. Die ''gestrichelte'' Linie ist der Graph der Funktion <math>h</math>. In der Abbildung erkennt man, dass dieser Graph die y-Achse im Punkt <math>(0|-4)</math> schneidet. Dieses Koordinatenpaar findet man auch in Wertetabelle von <math>h</math>, denn <math>h(0) = 0^2 -4 = -4</math>.
# Wenn man in der Wertetabelle von <math>g</math> vom Koordinatenpaar <math>(0|1)</math> ausgehend die x-Koordinate schrittweise um 1 erhöht, dann erhöhen sich die entsprechenden y-Werte schrittweise um 1, 3 und 5, also um aufeinander folgende ungerade Zahlen - wie bei der Parabel-Treppe der Normalparabel (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel#Die Parabel-Treppe|QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe]]). Das gleiche gilt auch für die Funktion <math>h</math>, wenn man bei ihr von <math>(0|-4)</math> ausgeht.
# Man kann den Graphen einer Funktion <math>f</math> als eine Linie betrachten, die aus unendlich vielen, sehr dicht aneinander liegenden Punkten mit den Koordinaten <math>(x|f(x))</math> besteht. Es genügt daher, die Beziehung zwischen einem x-beliebigen Punkt <math>P(x | x^2)</math> auf der Normalparabel und demjenigen Punkt <math>Q(x | x^2 +1)</math> auf dem Graphen von <math>g</math> zu betrachten, der die gleiche x-Koordinate wie <math>P</math> besitzt. Die y-Koordinate von <math>Q</math> ist (bei gleichem <math>x</math>) um 1 größer als die y-Koordiante von <math>P</math>. Im Koordinatensystem liegt der Punkt <math>Q</math> also eine Einheit senkrecht oberhalb von <math>P</math> und man gelangt von <math>P</math> zu <math>Q</math>, indem man <math>P</math> um eine Einheit nach oben verschiebt. Da dies für ''jeden beliebigen'' Punkt <math>P</math> der Normalparabel gilt, ist der ''gesamte Graph'' von <math>g</math> eine um 1 nach oben verschobene Normalparabel. Diese Argumentation lässt sich auch auf Funktion <math>h(x)=x^2-4</math> übertragen, indem man die Verschiebungszahl 1 durch die Zahl -4 ersetzt.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}} 

{{Box
|1=3. Aufgabe (Begründen) - Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung
|2=
Bisher wurden zwei ''spezielle'' Verschiebungen der Normalparabel in y-Richtung untersucht. Jetzt geht es allgemein um ''beliebige'' Verschiebungen der Normalparabel in y-Richtung.
# Erkläre für eine beliebige Zahl <math> e \in \mathbb{R} </math>, wie der Graph der Funktion <math>f(x) =x^2 +e</math> durch eine Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung entsteht und welche Rolle genau die Zahl <math>e</math> dabei spielt.
# Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel <math>f(x) =x^2 +e</math> an. Begründe deine Angabe.

{{ Lösung versteckt
|1=# In der vorangegangen Aufgabe wurde erklärt, warum der Graph der Funktion <math>g(x)=x^2 +1</math> eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel ist. Diese Begründung lässt sich verallgemeinern, indem man in ihr einfach die Zahl 1 durch die Variable <math>e</math> ersetzt. Wenn die addierte Zahl <math>e</math> positiv ist, dann werden durch die Addition alle y-Koordinaten der Normalparabel um den Betrag von <math>e</math> vergrößert und es handelt sich daher um eine Verschiebung nach ''oben''. Die Subtraktion einer positiven Zahl (z.B. 4), durch die die y-Koordinaten kleiner werden, kann man auch als Addition ihrer negativen Gegenzahl (im Beispiel -4) auffassen. Die ''Addition einer negativen Zahl'' <math>e</math> bedeutet daher eine ''Verschiebung'' der Normalparabel ''nach unten'', also in ''negativer y-Richtung''.
# Der Scheitelpunkt der Parabel <math>f(x) =x^2 +e</math> liegt auf der y-Achse. Seine x-Koordinate ist daher gleich Null. Seine y-Koordinate erhält man durch <math>f(0) =0^2 +e = e</math>. Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten <math>(0|e)</math>.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}} 

{{Box
|1=Zusammenfassung - Verschiebung   <math>f(x) =x^2 +e</math>
|2={{2Spalten
|
* Der Graph der Funktion <math>f(x) =x^2 +e</math> ist für jede Zahl <math>e \in \mathbb{R}</math> eine um den Betrag von <math>e</math> in y-Richtung verschobene Normalparabel.
* Wenn <math>e</math> ''positiv'' ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach ''oben'' (in ''positiver'' y-Richtung), bei ''negativem'' <math>e</math> um eine Verschiebung nach ''unten''.
*Der ''Scheitelpunkt'' der Parabel <math>f(x) =x^2 +e</math> besitzt die Koordinaten <math>(0|e)</math>.

In dem GeoGebra-Applet kann man die Parabel mit der Funktionsgleichung <math>f(x) =x^2 +e</math> in y-Richtung verschieben, indem man die Position des Schiebereglers <math>e</math> verändert oder den Scheitelpunkt auf der y-Achse mit der Maus verschiebt. Nach Anklicken des Schiebereglers kann man ihn auch mit den Pfeiltasten in kleinen Schritten auf einen exakten Wert einstellen.
|
<ggb_applet width="389" height="539" version="4.2" 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}} 
|3=Merksatz}}

{{Box
|1=4. Aufgabe (Üben) - Punktprobe
|2=Untersuche für jede der drei der Parabeln <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=x^2+1</math> und <math>h(x)=x^2-4</math>, ob der Punkte <math>P(2,5|7)</math> oberhalb, unterhalb oder genau auf der Parabel liegt.

{{ Lösung versteckt
|1=<math>f(2,5)=2,5^2 = 6,25 < 7 </math>. Um vom Punkt <math>(2,5|0)</math> auf der x-Achse bis zum Punkt <math>(2,5|6,25)</math> auf der Normalparabel zu gelangen, muss man 6,25 Einheiten nach oben gehen. Der Punkt <math>P(2,5|7)</math> liegt 0,75 Einheiten darüber, also oberhalb der Normalparabel. <math>g(2,5)=2,5^2+1 = 7,25 > 7 </math>. Der Punkt <math>P(2,5|7)</math> liegt unterhalb der Parabel <math>g(x)=x^2+1</math>. Die Parabel <math>h(x)=x^2-4</math> verläuft vollständig unterhalb der Normalparabel. Der Punkt <math>P(2,5|7)</math> liegt oberhalb der Normalparabel, also erst recht oberhalb der Parabel <math>h(x)=x^2-4</math>.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=Üben}}

{{Box
|1=Definition Nullstellen
|2=Die x-Koordinate eines Punktes, in dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet oder berührt, bezeichnet man als '''Nullstelle''' der Funktion.
|3=Merksatz}}

{{Box
|1=5. Aufgabe (Üben) - Nullstellen berechnen
|2=Berechne die Nullstellen der Funktion <math>f(x) =x^2-4</math>. Kontrolliere dein Ergebnis anhand der Abbildung QF02 Abbildung 1 oder mit dem GeoGebra-Applet zur Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung.
{{ Lösung versteckt
|1=Ansatz zur Berechnung von Nullstellen: Setze den Funktionsterm von f gleich Null, kurz:<math>f(x)=0</math>. Dadurch entsteht eine Gleichung, die man nach <math>x</math> auflösen kann.

Begründung für den Ansatz: Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben eines gemeinsam: ihre y-Koordinate ist gleich Null. Für die y-Koordinate eines Punktes, der sowohl auf der x-Achse als auch auf dem Graphen <math>f</math> liegt, gilt also <math>f(x)=0</math>.
|2=Tipp anzeigen
|3=Tipp verbergen}}
{{ Lösung versteckt
|1=Ansatz: Setze <math>f(x) =x^2-4 = 0</math>. Für die Berechnung derjenigen x-Werte, die diese Gleichung erfüllen, gibt es zwei mögliche Lösungswege:
# Weg: Wurzelziehen <math>x^2 -4 = 0</math> <math>\Leftrightarrow x^2 = 4 </math> Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen, nämlich: <math> x_1 = +\sqrt{4}</math> und <math>x_2 = -\sqrt{4}</math> Ergebnis: <math> x_1 = +2 </math> und <math> x_2 = -2 </math>
# Weg: Nullprodukt-Methode In der Gleichung <math>x^2 -4 = 0</math> kann die linke Seite mithilfe der 3. binomischen Formel in ein Produkt umgeformt werden, so dass man die Gleichung <math>(x -2) \cdot (x+2) = 0 </math> erhält. Die '''Nullprodukt-Regel''' besagt: Wenn ein Produkt gleich Null ist, dann muss mindestens einer der Faktoren gleich Null sein. In diesem Fall ist also entweder der Inhalt der ersten Klammer oder der Inhalt der zweiten Klammer gleich Null: <math> x -2 = 0</math> oder <math> x +2 = 0 </math> Ergebnis: <math> x_1 = 2 </math> und <math> x_2 = -2</math>
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=Üben}}

{{Box
|1=<math>f_e(x)=x^2 +e </math>   als Funktionenschar
|2=Wenn man für <math>e \in \mathbb{R}</math> verschiedene Zahlen wählt, erhält man durch die Funktionsvorschrift <math>f(x) =x^2 +e</math> entsprechend viele verschiedene Funktionen mit unterschiedlichen Funktionsgraphen. ''Alle'' diese Funktionen bilden zusammen eine so genannte '''Funktionenschar'''. Man verwendet dafür auch die Schreibweise <math>f_e(x) =x^2 +e</math> und bezeichnet <math>e</math> als '''Scharparameter'''.
|3=Merksatz}}

{{Box
|1=6. Aufgabe (Üben) - Scharparameter bestimmen
|2=Gesucht ist derjenige Scharparameter <math>e \in \mathbb{R}</math>, für den der Punkt <math>P(-1,5|3)</math> auf dem Graphen der Funktion <math>f_e(x) =x^2 +e</math> liegt. Berechne dieses <math>e</math>.

{{ Lösung versteckt
|1=Da der Punkt <math>P(-1,5|3)</math> auf dem Graphen der Funktion <math>f_e(x) =x^2 +e</math> liegen soll, kann man seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen: 
<math>f_e(-1,5) = 3</math> <math>\Leftrightarrow(-1,5)^2+e = 3</math> <math>\Leftrightarrow 2,25 + e = 3</math> <math>\Leftrightarrow e = 0,75</math>
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=Üben}}

{{Box
|1=Transformationsgleichung   <math>g(x) = f(x) + e </math>
|2=
* Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion <math>g</math> aus der Funktionsgleichung einer anderen Funktion <math>f</math>dadurch entsteht, dass man im Funktionsterm von <math> f </math> eine Zahl <math>e \in \mathbb{R}</math> als Summand hinzufügt (kurz: <math>g(x) = f(x) +e </math>), dann bedeutet das für die Graphen der beiden Funktionen: Der Graph von <math>g</math> entsteht, indem man den Graphen von <math>f</math> um den Betrag von <math>e \in \mathbb{R}</math> in y-Richtung verschiebt.
* Wenn <math>e</math> positiv ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach oben, wenn <math>e</math> negativ ist, um eine Verschiebung nach unten.
|3=Merksatz}}

{{Box
|1=7. Aufgabe (Begründen) - Transformationsgleichung   <math>g(x) = f(x) +e </math>
|2=Begründe die Transformationsgleichung <math>g(x) = f(x) +e </math> für die Verschiebung beliebiger Funktionsgraphen in y-Richtung.

{{ Lösung versteckt
|1=Bei der Begründung dieser Aussage kann man sich an der Lösung von Aufgabe 3 orientieren: Für jeden beliebigen x-Wert liegt der Punkt <math>P(x | f(x))</math> auf dem Graphen von <math>f</math> und für den gleichen x-Wert liegt der Punkt <math>Q(x | g(x))</math> auf dem Graphen von <math>g</math>. Da vorausgesetzt wird, dass für die Funktionsgleichungen die Beziehung <math>g(x) = f(x) +e </math> gilt, liegt der Punkt <math>Q</math> im Koordinatensystem <math>e</math> Einheiten senkrecht ''oberhalb'' von <math>P</math>, wenn <math>e</math> ''positiv'' ist, bzw. <math>e</math> Einheiten senkrecht ''darunter'', falls <math>e</math> ''negativ'' ist. Man gelangt also von <math>P</math> zu <math>Q</math>, indem man <math>P</math> um den Betrag von <math>e</math> nach oben bzw. nach unten verschiebt. Da dies für ''jeden beliebigen'' Punkt <math>P(x | f(x))</math> des Graphen von <math>f</math> gilt, erhält man den ''gesamten Graphen'' von <math>g</math>, indem man den Graphen von <math>f</math> um <math>e</math> in y-Richtung verschiebt.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Fortsetzung
|vorher=zurück
|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel
|weiter=weiter
|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben
|übersicht=Kapitelübersicht
|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}

[[Kategorie: Mathematik]]
[[Kategorie: Quadratische Funktionen]]
[[Kategorie: Barrierefrei]]