Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel - Versionsgeschichte

Ukalina am 31. März 2026 um 15:42 Uhr

2026-03-31T15:42:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. März 2026, 15:42 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{~~LernpfadNeu~~/~~Lerneinheit/Vorspann~~		__NOTOC__
	\|~~Titel~~ = Lernschritt Eigenschaften der Normalparabel		{{Fortsetzung
			\|vorher=zurück
			\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen
			\|weiter=weiter
			\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben
			\|übersicht=Kapitelübersicht
			\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}


			{{Box\|Lernschritt Eigenschaften der Normalparabel
	\|In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen ''jeder beliebigen'' quadratischen Funktion, also ''alle'' Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.		\|In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen ''jeder beliebigen'' quadratischen Funktion, also ''alle'' Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.
	* In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.		* In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.
	* Du lernst einige ''graphische'' Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie ''rechnerisch'' begründen kann. Dieses Wissen kann später auch auf andere Parabeln und Funktionen übertragen werden.		* Du lernst einige ''graphische'' Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie ''rechnerisch'' begründen kann. Dieses Wissen kann später auch auf andere Parabeln und Funktionen übertragen werden.
	* Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der ''Quadratwurzel'' einer Zahl versteht (und was nicht).		* Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der ''Quadratwurzel'' einer Zahl versteht (und was nicht).
	}}		\|Lernpfad}}
	~~__NOTOC__~~


	Die Normalparabel ist der Graph der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. (Was eine ''Funktion'' im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite [[Benutzer:ukalina/Funktionen\|Funktionen]] ausführlich erklärt.)		Die Normalparabel ist der Graph der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. (Was eine ''Funktion'' im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite [[Benutzer:ukalina/Funktionen\|Funktionen]] ausführlich erklärt.)
Zeile 276:		Zeile 283:


	~~{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}~~{{Fortsetzung		{{Fortsetzung
	\|vorher=zurück		\|vorher=zurück
	\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen		\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen

Christian am 22. März 2026 um 15:17 Uhr

2026-03-22T15:17:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. März 2026, 15:17 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann		{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann
	\|Titel = Eigenschaften der Normalparabel		\|Titel = Lernschritt Eigenschaften der Normalparabel
	\|In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen ''jeder beliebigen'' quadratischen Funktion, also ''alle'' Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.		\|In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen ''jeder beliebigen'' quadratischen Funktion, also ''alle'' Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.
	* In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.		* In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.

Christian am 22. März 2026 um 10:00 Uhr

2026-03-22T10:00:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. März 2026, 10:00 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	~~__NOTOC__~~
	{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann		{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann
	\|Titel = Eigenschaften der Normalparabel		\|Titel = Eigenschaften der Normalparabel
Zeile 7:		Zeile 6:
	* Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der ''Quadratwurzel'' einer Zahl versteht (und was nicht).		* Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der ''Quadratwurzel'' einer Zahl versteht (und was nicht).
	}}		}}
			__NOTOC__


	Die Normalparabel ist der Graph der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. (Was eine ''Funktion'' im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite [[Benutzer:ukalina/Funktionen\|Funktionen]] ausführlich erklärt.)		Die Normalparabel ist der Graph der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. (Was eine ''Funktion'' im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite [[Benutzer:ukalina/Funktionen\|Funktionen]] ausführlich erklärt.)

Christian am 22. März 2026 um 09:54 Uhr

2026-03-22T09:54:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. März 2026, 09:54 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	__NOTOC__		__NOTOC__
	{{~~Fortsetzung~~		{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann
	~~\|vorher=zurück~~		\|Titel = Eigenschaften der Normalparabel
	~~\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen~~
	~~\|weiter=weiter~~
	~~\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen~~/~~QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben~~
	~~\|übersicht=Kapitelübersicht~~
	\|~~übersichtlink~~=~~Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}~~


	~~{{Box\|Lernschritt~~ Eigenschaften der Normalparabel
	\|In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen ''jeder beliebigen'' quadratischen Funktion, also ''alle'' Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.		\|In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen ''jeder beliebigen'' quadratischen Funktion, also ''alle'' Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.
	* In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.		* In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.
	* Du lernst einige ''graphische'' Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie ''rechnerisch'' begründen kann. Dieses Wissen kann später auch auf andere Parabeln und Funktionen übertragen werden.		* Du lernst einige ''graphische'' Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie ''rechnerisch'' begründen kann. Dieses Wissen kann später auch auf andere Parabeln und Funktionen übertragen werden.
	* Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der ''Quadratwurzel'' einer Zahl versteht (und was nicht).		* Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der ''Quadratwurzel'' einer Zahl versteht (und was nicht).
	~~\|Lernpfad~~}}		}}

	Die Normalparabel ist der Graph der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. (Was eine ''Funktion'' im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite [[Benutzer:ukalina/Funktionen\|Funktionen]] ausführlich erklärt.)		Die Normalparabel ist der Graph der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. (Was eine ''Funktion'' im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite [[Benutzer:ukalina/Funktionen\|Funktionen]] ausführlich erklärt.)

Christian am 21. März 2026 um 16:26 Uhr

2026-03-21T16:26:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. März 2026, 16:26 Uhr
Zeile 283:		Zeile 283:


	{{Fortsetzung		{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}{{Fortsetzung
	\|vorher=zurück		\|vorher=zurück
	\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen		\|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen

Ukalina am 21. März 2026 um 15:54 Uhr

2026-03-21T15:54:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. März 2026, 15:54 Uhr
Zeile 291:		Zeile 291:
	\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}		\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}


	~~[[Kategorie: Mathematik]]~~
	~~[[Kategorie: Quadratische Funktionen]]~~
	[[Kategorie: Barrierefrei]]		[[Kategorie: Barrierefrei]]

Ukalina am 26. Januar 2026 um 10:00 Uhr

2026-01-26T10:00:10Z

Änderungen zeigen

Ukalina: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Fortsetzung |vorher=zurück |vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen |weiter=weiter |weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben |übersicht=Kapitelübersicht |übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}} {{Box|Lernschritt Eigenschaften der Normalparabel |In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion $f(x) = x^2$ ,…“

2026-01-23T19:00:27Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Fortsetzung |vorher=zurück |vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen |weiter=weiter |weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben |übersicht=Kapitelübersicht |übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}} {{Box|Lernschritt Eigenschaften der Normalparabel |In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>,…“

Neue Seite

{{Fortsetzung
|vorher=zurück
|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen
|weiter=weiter
|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben
|übersicht=Kapitelübersicht
|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}

{{Box|Lernschritt Eigenschaften der Normalparabel
|In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen ''jeder beliebigen'' quadratischen Funktion, also ''alle'' Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.
* In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.
* Du lernst einige ''graphische'' Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie ''rechnerisch'' begründen kann. Dieses Wissen kann später auch auf andere Parabeln und Funktionen übertragen werden.
* Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der ''Quadratwurzel'' einer Zahl versteht (und was nicht).
|Lernpfad}}

Die Normalparabel ist der Graph der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. (Was eine ''Funktion'' im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite [[Benutzer:ukalina/Funktionen|Funktionen]] ausführlich erklärt.) Jetzt soll untersucht werden, wie die Normalparabel aussieht und wie sie entsteht. Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, erstellt man üblicherweise eine ''Wertetabelle'', in der man einer Reihe von x-Werten die jeweils dazugehörigen y-Werte gegenüberstellt, die mithilfe der Funktionsvorschrift, in diesem Fall <math> f(x) = x^2 </math>, berechnet werden können. Anschließend zeichnet man die Wertepaare <math> (x | y) </math> aus der Tabelle als Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Im Fall der Funktion <math>f(x) = x^2</math> könnte eine solche Wertetabelle z.B. so aussehen:
====Wertetabelle====
{| cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"
|+'''Tabelle 1: <math>f(x)=x^2</math>'''
| align="center" |'''x'''
| -3
| -2
| -1
|0
|1
|2
|3
|-
| align="center" |'''f(x)'''
|9
|4
|1
|0
|1
|4
|9
|}In der '''Tabelle 1''' wurden als x-Werte ganze Zahlen verwendet. Im Prinzip können aber auch beliebige andere Zahlen als x-Werte gewählt werden.

Aus dieser Tabelle 1 kann man ablesen, dass die Punkte <math> A(-3|9) </math>, <math> B(-2|4) </math>, <math> C(-1|1) </math>, <math> D(0|0) </math>, <math> E(1|1) </math>, <math> F(2|4) </math> und <math> G(3|9) </math> zum Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> gehören. Aber wie sieht der Graph ''zwischen'' diesen Punkten aus?

Von den linearen Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form <math>y = m \cdot x +b</math> besitzen, weißt du, dass alle Punkte, die zu einer bestimmten linearen Funktion gehören, auf der gleichen Geraden liegen. Das ist bei der Funktion <math> f(x) =x^2 </math> offensichtlich nicht so. Aber wie ist es dann? Kann man die Punkte <math> A </math> bis <math> G </math> aus der Tabelle 1 etwa von Punkt zu Punkt gradlinig durch Strecken verbinden? Oder verläuft der Graph zwischen den Punkten gekrümmt? Um dies herauszufinden, erweitern wir die Tabelle 1 um weitere Wertepaare.{{Box
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Erweiterung der Wertetabelle
|2=Übertrage die Tabelle 2 für die Funktion <math>f(x)=x^2</math> in dein Arbeitsheft und vervollständige sie für positive x-Werte. Runde auf zwei Stellen hinter dem Komma.
{{(!}} cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"
{{!+}} '''Tabelle 2: <math>f(x)=x^2</math>'''
{{!}}align="center" {{!}}'''x'''
{{!}} 0,25
{{!}}
{{!}} 0,75
{{!}} 1,25
{{!}}
{{!}} 1,75
{{!}} 2,25
{{!}}
{{!-}}
{{!}}align="center" {{!}}'''f(x)'''
{{!}}
{{!}}0,25
{{!}}
{{!}}
{{!}}2,25
{{!}}
{{!}}
{{!}}6,25
{{!)}}

{{ Lösung versteckt
|1={{(!}} cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"
{{!+}} '''Tabelle 2: <math>f(x)=x^2</math>'''
{{!}}align="center" {{!}}'''x'''
{{!}} 0,25
{{!}} '''0,5'''
{{!}} 0,75
{{!}} 1,25
{{!}} '''1,5'''
{{!}} 1,75
{{!}} 2,25
{{!}} '''2,5'''
{{!-}}
{{!}}align="center" {{!}}'''f(x)'''
{{!}}'''0,06'''
{{!}}0,25
{{!}}'''0,56'''
{{!}}'''1,56'''
{{!}}2,25
{{!}}'''3,06'''
{{!}}'''5,06'''
{{!}}6,25
{{!)}}
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}

|3=
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x
}}
====Funktionsgraph====
{{Box
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Aussehen und Eigenschaften der Normalparabel
|2=
* Zeichne die Werte aus Tabelle 1 und Tabelle 2 in deinem Arbeitsheft als Punkte in ein Koordinatensystem.
* Füge einige beliebige weitere Punkte hinzu - z.B. die entsprechenden Punkte links von der y-Achse.
* Stelle eine Vermutung auf: Wie sieht wohl der Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math> aus - also die ''Menge aller Punkte'' <math>P(x | x^2)</math> im Koordinatensystem?
* Beschreibe grundsätzliche Unterschiede zu den Graphen der linearen Funktionen und weitere Eigenschaften, die dir auffallen.
|3=
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x
}}{{Box
|1= Auswertung der Ergebnisse
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf|mini|left|400px|alternativtext=In einem Koordinatensystem sind Punkte aus den Wertetabellen 1 und 2 dargestellt. Die Punkte liegen so dicht beieinander, dass die Gestalt einer Kurve erkennbar wird.|QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf Punkte <math>(x | x^2)</math> aus den Wertetabellen 1 und 2]]
 Die Abbildung legt verschiedene Aussagen nahe, z.B.
* Je mehr Punkte <math>(x|x^2)</math> man berechnet und im Koordinatensystem einzeichnet, desto mehr verdichten sich die Einzelpunkte zu einer durchgehenden, gekrümmten Linie.
* Der Graph geht durch den Koordinatenursprung und verläuft ansonsten ausschließlich im 1. und 2. Quadranten.
* Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.
* Im Ursprung hat die Normalparabel ihren tiefsten Punkt. (Dies ist ihr so genannter "Scheitelpunkt".)
* Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er.
* Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.
|3=Lösung}}
====Achsensymmetrie zur y-Achse====
Man kann bestimmte ''geometrische'' Eigenschaften von Funktionsgraphen - wie z.B. die Eigenschaft der Achsensymmetrie - mithilfe ''rechnerischer'' Eigenschaften des Funktionsterms überprüfen. Die Achsensymmetrie zur y-Achse kann man rechnerisch mit der Gleichung <math>f(x) =f(-x)</math> nachweisen.{{Box
|1= Achsensymmetrie eines Funktionsgraphen
|2=Der Graph einer Funktion <math> f </math> verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion die Gleichung gilt:
: <math>f(x) =f(-x)</math>.
|3=Merksatz
}}{{Box
|1=3. Aufgabe (Begründen) - Achsensymmetrie der Normalparabel
|2=
* Zeige, dass die Funktion <math>f(x) = x^2 </math> die Bedingung <math>f(x) =f(-x)</math> für alle <math> x \in \mathbb {R} </math> erfüllt.
* Wie kann man die Symmetrie der Normalparabel zur y-Achse mit dieser Gleichung begründen?

{{ Lösung versteckt
|1= Erinnerung Achsenspiegelung: Ein Punkt P wird an einer Geraden gespiegelt, indem man von <math>P</math> aus auf dem kürzesten Weg, d.h. im rechten Winkel auf die Gerade zuläuft. Der Punkt, in welchem man auf die Gerade trifft, werde mit <math>Q</math> bezeichnet. Verlängert man nun die Strecke <math>\overline{PQ}</math> um die Länge dieser Strecke noch einmal in gleicher Richtung über die Gerade hinaus, so landet man im "Spiegelpunkt" <math>P'</math>.
|2=Tipp anzeigen
|3=Tipp verbergen}}

{{ Lösung versteckt
|1=
* Für alle <math> x \in \mathbb {R} </math> gilt: <math>f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)</math>.
* Um die Achsensymmetrie zur y-Achse nachzuweisen, kann man einen beliebigen Punkt <math>P(x|x^2)</math> auf dem rechten Parabelast wählen und geht von dort aus auf dem kürzesten Weg, also parallel zur x-Achse, auf die y-Achse zu. Der Punkt, in dem man auf die y-Achse trifft, besitzt die Koordinaten <math>Q(0|x^2)</math>. Die Länge der Strecke <math>\overline{PQ}</math> ist <math>x</math>. Verlängert man nun <math>\overline{PQ}</math> um die gleiche Länge noch einmal in gleicher Richtung, so landet man im "Spiegelpunkt" <math>P'(-x|x^2)</math>. Dieser liegt aber ebenfalls auf der Normalparabel, denn er erfüllt die Bedingung aller Parabelpunkte: <math>f(-x) = (-x)^2 = x^2</math>.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}
====Die Parabel-Treppe====
Manchmal ist es nützlich, wenn man vom Scheitelpunkt einer Parabel ausgehend schnell und ohne größere Rechnung die Koordinaten weiterer Parabelpunkte angebenen kann. Mit der Parabel-Treppe ist das einfach möglich. Außerdem macht sie noch einmal anschaulich klar, dass die "Steilheit" der Normalparabel zunimmt, je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt.

Den Anfang der Parabel-Treppe kann man so beschreiben: Man geht im Koordinatensystem vom Scheitelpunkt der Normalparabel <math>P_0(0|0)</math> aus erst um eine Einheit nach rechts zum Zwischenpunkt <math>Z_1(1|0)</math> und dann von hier aus senkrecht nach oben, bis man im Parabelpunkt <math>P_1(1|1)</math> wieder auf die Parabel trifft. Die Länge der senkrechten Strecke <math> \overline{Z_1P_1} </math> beträgt 1 Einheit und entspricht der Höhe der 1. Stufe.{{Box
|1=4. Aufgabe (Erkunden) - weitere Stufen der Parabel-Treppe
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf|mini|400px|left|alternativtext=Normalparabel und Parabeltreppe mit Stufenhöhen 1, 2 und 3|QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf]]
# Gehe im Koordinatensystem vom Parabelpunkt <math>P_1(1|1)</math> aus um eine Einheit nach rechts und anschließend wieder senkrecht nach oben bis zur Parabel. Die Länge dieser senkrechte Strecke entspricht der Höhe der 2. Treppenstufe. Wie hoch ist diese? Wie lauten die Koordinaten des Punktes <math>P_2</math>, in dem du jetzt auf der Parabel gelandet bist?
# Gehe auch von <math>P_2</math> aus wieder um eine Einheit nach rechts und dann senkrecht bis zur Normalparabel. Um wie viele Einheiten musst du dabei senkrecht gehen, d.h. wie hoch ist die 3. Stufe?
# Wenn du die Stufenschritte noch weiter wiederholst: Um wie viele Einheiten musst du bei den nächsten Schritten jeweils senkrecht nach oben gehen? Welche Regelmäßigkeit steckt dahinter? Was vermutest du?
# Formuliere deine Vermutung in Form einer Gleichung, mit der die Höhe <math>h</math> der x-ten Stufe aus der Nummer <math>x</math> dieser Stufe berechnet werden kann. Berechne mit dieser Formel die Höhe der 100. Stufe.

{{ Lösung versteckt
|1=
# Wenn man von <math>P_1(1|1)</math> aus eine Einheit nach rechts geht, muss man '''3''' Einheiten nach oben gehen, um im Punkt <math>P_2(2|4)</math> wieder auf der Parabel zu landen. Die 2. Stufe ist also 3 Einheiten hoch.
#Von <math>P_2</math> aus geht man eine Einheit nach rechts und dann '''5''' Einheiten nach oben, um im Punkt <math>P_3(3|9)</math> wieder auf die Parabel zu treffen. Die 3. Stufe ist also 5 Einheiten hoch.
# Die Stufenhöhen sind bei den ersten drei Stufen 1, 3 und 5, also aufeinander folgende ungerade Zahlen. Vermutung: Auch die weiteren Stufenhöhen sind die nächsten ungeraden Zahlen, also '''7''' und '''9'''.
# Entwicklung einer Formel für die Berechnung der x-ten Stufenhöhe: Stufe Nr. '''1''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{1} -1 = 1 </math> Stufe Nr. '''2''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{2} -1 = 3</math> Stufe Nr. '''3''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{3} -1 = 5</math> Stufe Nr. '''x''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{x} -1 </math> In der 100. Stufe beträgt die Höhe demnach <math> h = 2 \cdot 100 -1 = 199 </math>.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}

|3=
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x
}}{{Box
|1=5. Aufgabe (Begründen) - allgemeine Regel für die Parabel-Treppe
|2=Beweise die Formel für die Höhe der x-ten Stufe <math> h = 2 \cdot x -1 </math> mit <math> x \in \mathbb {N} </math> (Vermutung aus der vorangegangenen Aufgabe) rechnerisch mithilfe des Funktionsterms der Normalparabel.

{{ Lösung versteckt
|1=Die Höhe einer Stufe entspricht der Höhendifferenz zweier benachbarter Parabelpunkte, deren Abstand in x-Richtung 1 beträgt.
|2=Tipp 1
|3=Tipp 1 verbergen}}

{{ Lösung versteckt
|1=Beispiel: Die Höhe der 2. Stufe entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte <math>P_2(2|4)</math> und <math>P_1(1|1)</math>, also der Differenz der Funktionswerte <math>f(2)</math> und <math>f(1)</math>. Es gilt <math>h = f(2) - f(1) = 2^2 - 1^2 = 4 -1 = 3</math>.
|2=Tipp 2
|3=Tipp 2 verbergen}}

{{ Lösung versteckt
|1=
Allgemeine Begründung: Die Höhe der x-ten Stufe ( <math> x \in \mathbb {N} </math> ) entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte <math> P_x(x|f(x)) </math> und <math> P_{x-1}(x-1|f(x-1)) </math>, also der Differenz der Funktionswerte <math> f(x) </math> und <math> f(x-1) </math>. Es gilt daher: <math> h = f(x)- f(x-1)=x^2 -(x-1)^2 </math> <math>= x^2 -(x^2 -2x +1) </math> <math>= x^2 -x^2 +2x -1 </math> <math>= 2x -1</math>
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}

|3=
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}{{Box
|1=Zusammenfassung Normalparabel
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Arial24.pdf|mini|350px|left|alternativtext=Normalparabel über dem Intervall [-3; 3] |QF01 Normalparabel Arial24.pdf Normalparabel, Graph der Funktion <math>f(x) =x^2 </math>]]
; Definition Normalparabel
* Der Graph der quadratischen Funktion <math>f(x)=x^2</math> wird als '''Normalparabel''' bezeichnet.
* Die Normalparabel ist die Menge aller Punkte <math>P(x | x^2)</math> ( <math> x \in \mathbb {R}</math> ) im Koordinatensystem, deren y-Koordinate das Quadrat der x-Koordinate ist, kurz: <math> y = x^2</math>.
* Der '''Definitionsbereich''' der Funktion <math>f(x)=x^2</math> ist <math>\mathbb {D} = \mathbb {R}</math>, da jede Zahl <math> x \in \mathbb {R}</math> quadriert werden kann. Ihr '''Wertebereich''' ist <math> \mathbb {W} = \mathbb {R}_0^+</math>, da durch das Quadrieren keine negativen Werte entstehen können.
* Der tiefste Punkt der Normalparabel <math>(0|0)</math> wird als ihr '''Scheitelpunkt''' bezeichnet.
; Eigenschaften der Normalparabel
* Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.
* Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er.
* Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.
|3=Merksatz}}{{Box
|1=6. Aufgabe (Üben) - Graphisches Quadrieren
|2=
{{2Spalten
|
Lies für folgende x-Werte den Wert <math>y=x^2</math> "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt).
# <math>x=2,7</math>    <math>x^2=?</math>
# <math>x=-2,5</math>    <math>x^2=?</math>
# <math>x=1,8</math>    <math>x^2=?</math>
Du kannst für dieses Aufgabe entweder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden (, die es im Anhang auch mit Braille-Beschriftung als taktile Schwellpapier-Kopiervorlage gibt), oder das GeoGebra-Applet "Normalparabel <math> f(x) = x^2</math>. In diesem kannst du den Punkt auf der x-Achse oder den Punkt auf der Parabel mit der Maus verschieben.
|
<ggb_applet width="361" height="527" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
}} 
|3=Üben}}
====Quadratwurzel====
{{Box
|1=Definition Quadratwurzel
|2=Die Quadratwurzel aus einer ''positiven'' Zahl <math>a</math> ist diejenige ''positive'' Zahl, deren Quadrat <math>a</math> ist. Man bezeichnet diese Zahl mit dem Symbol <math>\sqrt{a}</math>. Außerdem definiert man für die Quadratwurzel aus 0: <math>\sqrt{0} = 0</math>.

'''Anmerkungen''' zur Quadratwurzel-Definition:
# Die Gleichung <math>x^2 = 9</math> besitzt zwar zwei Lösungen, nämlich <math>x_1 = -3</math> und <math>x_2 = 3</math>. Aber nur die ''positive'' dieser beiden Lösungen wird als "Quadratwurzel aus 9" <math>\sqrt{9}</math> (oder kurz "Wurzel aus 9") definiert. (Diese Festlegung sorgt dafür, dass die Wurzel-Definition eindeutig ist).
# Für ''negative'' Zahlen <math>a</math> ist die Quadratwurzel nicht definiert ( - jedenfalls im Moment noch nicht). Es gibt beispielsweise keine reelle Zahl <math> x \in \mathbb {R} </math>, für die <math> x^2 = -1 </math> ist. Dementsprechend ist auch der Ausdruck <math> \sqrt{-1} </math> keine reelle Zahl und somit in <math> \mathbb {R} </math> nicht definiert.
|3=Merksatz}}{{Box
|1=7. Aufgabe (Üben) - Graphisches Wurzelziehen
|2=
Lies für folgende y-Werte ihre Quadratwurzel "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Du kannst hierfür wieder entweder das GeoGebra Applet "Normalparabel <math> f(x) = x^2</math>" oder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt).
# <math>y=1,44</math>    <math>\sqrt{y}=?</math>
# <math>y=6,25</math>    <math>\sqrt{y}=?</math>
# <math>y=2</math>    <math>\sqrt{y}=?</math>
|3=Üben}}{{Box
|1=8. Aufgabe (Üben) - Punktprobe
|2=Untersuche für jeden der folgenden drei Punkte, ob der Punkt jeweils oberhalb, unterhalb oder genau auf der Normalparabel liegt.
# <math> P(0,7|0,5)</math>
# <math> Q(9|80) </math>
# <math> R(-0,1|0,01) </math>

{{ Lösung versteckt
|1=Rechnerische Überprüfung durch Einsetzen der Punkt-Koordinaten in die Funktionsgleichung der Normalparabel <math>f(x)=x^2 </math>:
# <math> P(0,7|0,5)</math>: <math>f(0,7)=0,7^2 = 0,49 < 0,5 </math>. Um vom Punkt <math>(0,7|0)</math> auf der x-Achse bis zum Punkt <math>(0,7|0,49)</math> auf der Normalparabel zu gelangen, muss man 0,49 Einheiten nach oben gehen. Der Punkt <math>P(0,7|0,5)</math> liegt 0,01 Einheiten darüber, also ''oberhalb'' der Normalparabel.
# <math> Q(9|80) </math>: <math>f(9)=9^2 = 81 > 80 </math>. Der Punkt <math>Q(9|80)</math> liegt ''unterhalb'' der Normalparabel.
# <math> R(-0,1|0,01) </math>: <math>f(-0,1)=(-0,1)^2 = 0,01 </math>. Der Punkt <math>R(-0,1|0,01)</math> liegt ''exakt auf'' der Normalparabel.
|2=Lösung anzeigen
|3=Lösung verbergen}}
|3=Üben}}

{{Fortsetzung
|vorher=zurück
|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen
|weiter=weiter
|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben
|übersicht=Kapitelübersicht
|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}