Lernpfad Lineare Funktionen/LF04 Aufgaben - Versionsgeschichte

Ukalina am 21. April 2026 um 14:30 Uhr

2026-04-21T14:30:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2026, 14:30 Uhr
Zeile 202:		Zeile 202:
	Man kann z.B. zuerst die Gleichung derjenigen Geraden <math>i</math> aufstellen, die durch die Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3) </math> und <math>N(6 \;\|\; 0)</math> geht.		Man kann z.B. zuerst die Gleichung derjenigen Geraden <math>i</math> aufstellen, die durch die Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3) </math> und <math>N(6 \;\|\; 0)</math> geht.

	<math>m = \frac{0 - 3}{6 - (-3}= \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} </math>		<math>m = \frac{0 - 3}{6 - (-3)}= \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} </math>

	Zwischenergebnis: <math> i(x) = -\frac{1}{3}x + b</math>		Zwischenergebnis: <math> i(x) = -\frac{1}{3}x + b</math>
Zeile 224:		Zeile 224:
	<math> 1 = 1 </math>		<math> 1 = 1 </math>

	Dies ist eine wahre Aussage. Daher liegt auch der dritte Punkt <math>S</math> auf derjenigen Geraden <math>i</math>, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> geht.		Dies ist eine wahre Aussage. Daher liegt auch der dritte Punkt <math>S</math> auf derjenigen Geraden <math>i</math>, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>N</math> geht.

	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen

Ukalina am 21. April 2026 um 14:27 Uhr

2026-04-21T14:27:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2026, 14:27 Uhr
Zeile 189:		Zeile 189:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Überprüfe ''rechnerisch'', ob die drei Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3) </math>, <math>R(6 \;\|\; 0)</math> und <math> S(3 \;\|\; 1) </math> auf einer gemeinsamen Geraden liegen..		Überprüfe ''rechnerisch'', ob die drei Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3) </math>, <math>N(6 \;\|\; 0)</math> und <math> S(3 \;\|\; 1) </math> auf einer gemeinsamen Geraden liegen..

	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
Zeile 200:		Zeile 200:
	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|		\|
	Man kann z.B. zuerst die Gleichung derjenigen Geraden <math>i</math> aufstellen, die durch die Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3) </math> und <math>R(6 \;\|\; 0)</math> geht.		Man kann z.B. zuerst die Gleichung derjenigen Geraden <math>i</math> aufstellen, die durch die Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3) </math> und <math>N(6 \;\|\; 0)</math> geht.

	<math>m = \frac{0 - 3}{6 - (-3}= \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} </math>		<math>m = \frac{0 - 3}{6 - (-3}= \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} </math>
Zeile 206:		Zeile 206:
	Zwischenergebnis: <math> i(x) = -\frac{1}{3}x + b</math>		Zwischenergebnis: <math> i(x) = -\frac{1}{3}x + b</math>

	Koordinaten z.B. von <math>R(6 \;\|\; 0)</math> einsetzen:		Koordinaten z.B. von <math>N(6 \;\|\; 0)</math> einsetzen:

	<math> 0 = -\frac{1}{3} \cdot 6 + b</math>		<math> 0 = -\frac{1}{3} \cdot 6 + b</math>

Ukalina am 21. April 2026 um 09:02 Uhr

2026-04-21T09:02:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2026, 09:02 Uhr
Zeile 153:		Zeile 153:
	}}		}}
	}} <!-- Box 7. Aufgabe -->		}} <!-- Box 7. Aufgabe -->

			{{Box
			\|Titel = 8. Aufgabe - Schnittpunkt zweier Geraden
			\|Klasse = Üben
			\|Inhalt =
			Bestimme ''rechnerisch'' den Schnittpunkt der beiden Geraden <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math> und <math>g(x) = -\frac{1}{3}x +2 </math>.

			{{Lösung versteckt
			\|
			Ansatz: Funktionsterme von <math>f</math> und <math>g</math> gleichsetzen: <math>f(x) = g(x)</math>.
			\| Tipp anzeigen
			\| Tipp verbergen
			}}

			{{Lösung versteckt
			\|
			: <math>f(x) = g(x)</math>
			: <math> \frac{2}{3}x -1 = -\frac{1}{3}x +2 </math>

			<math>\Leftrightarrow \frac{2}{3}x +\frac{1}{3}x = 2 + 1 </math>

			<math>\Leftrightarrow x = 3 </math> (x-Koordinate des Schnittpunkts)

			<math> f(3) = \frac{2}{3} \cdot 3 -1 = 1 </math> (y-Koordinate des Schnittpunkts)

			Ergebnis: Die Geraden <math>f</math> und <math>g</math> schneiden sich im Punkt <math> S(3 \;\|\; 1) </math>.

			\| Lösung anzeigen
			\| Lösung verbergen
			}}
			}} <!-- Box 8. Aufgabe -->

			{{Box
			\|Titel = 9. Aufgabe - Überprüfen, ob drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen
			\|Klasse = Üben
			\|Inhalt =
			Überprüfe ''rechnerisch'', ob die drei Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3) </math>, <math>R(6 \;\|\; 0)</math> und <math> S(3 \;\|\; 1) </math> auf einer gemeinsamen Geraden liegen..

			{{Lösung versteckt
			\|
			Ansatz: Aus zwei der drei gegebenen Punkte eine Geradengleichung aufstellen, dann Punktprobe mit dem dritten Punkt.
			\| Tipp anzeigen
			\| Tipp verbergen
			}}

			{{Lösung versteckt
			\|
			Man kann z.B. zuerst die Gleichung derjenigen Geraden <math>i</math> aufstellen, die durch die Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3) </math> und <math>R(6 \;\|\; 0)</math> geht.

			<math>m = \frac{0 - 3}{6 - (-3}= \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} </math>

			Zwischenergebnis: <math> i(x) = -\frac{1}{3}x + b</math>

			Koordinaten z.B. von <math>R(6 \;\|\; 0)</math> einsetzen:

			<math> 0 = -\frac{1}{3} \cdot 6 + b</math>

			<math> 0 = -2 + b</math>

			Ergebnis: <math>i(x) = -\frac{1}{3}x +2 </math> Die Gerade <math>i</math> entspricht der Geraden <math>g</math> in den vorangegangenen Aufgaben.

			Anschließend macht man für diese Gerade die Punktprobe mit dem dritten Punkt <math> S(3 \;\|\; 1) </math>, indem man seine Koordinaten in <math>i</math> einsetzt:

			<math>i(x) = -\frac{1}{3}x +2 </math>

			<math> 1 = -\frac{1}{3} \cdot 3 +2 </math>

			<math> 1 = -1 +2 </math>

			<math> 1 = 1 </math>

			Dies ist eine wahre Aussage. Daher liegt auch der dritte Punkt <math>S</math> auf derjenigen Geraden <math>i</math>, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> geht.

			\| Lösung anzeigen
			\| Lösung verbergen
			}}
			}} <!-- Box 9. Aufgabe -->

Ukalina am 21. April 2026 um 07:45 Uhr

2026-04-21T07:45:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2026, 07:45 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:

	{{Box		{{Box
	\|Titel = 1. Aufgabe ~~(Üben)~~ - Funktionsgleichung aus Graph ablesen		\|Titel = 1. Aufgabe - Funktionsgleichung aus Graph ablesen
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
Zeile 24:		Zeile 24:
	: schneidet die y-Achse im Punkt <math>(0 \;\|\; 2) </math> <math> \Rightarrow b = 2 </math><br /> Steigungsfaktor <math> m </math>: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt <math> S_y(0 \;\|\; 2) </math> aus 3 Einheiten nach ''rechts'' und 1 Einheit nach ''unten'' gehen, um wieder auf die Gerade <math>g </math> zu stoßen. Daher ist <math> m = -\frac{1}{3} </math> <br />Ergebnis: <math>g(x) = -\frac{1}{3}x +2 </math>		: schneidet die y-Achse im Punkt <math>(0 \;\|\; 2) </math> <math> \Rightarrow b = 2 </math><br /> Steigungsfaktor <math> m </math>: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt <math> S_y(0 \;\|\; 2) </math> aus 3 Einheiten nach ''rechts'' und 1 Einheit nach ''unten'' gehen, um wieder auf die Gerade <math>g </math> zu stoßen. Daher ist <math> m = -\frac{1}{3} </math> <br />Ergebnis: <math>g(x) = -\frac{1}{3}x +2 </math>
	; Gerade <math>h </math> (gepunktete Linie)		; Gerade <math>h </math> (gepunktete Linie)
	: schneidet die y-Achse im Punkt <math> S_y(0 \;\|\; 3) </math> und verläuft parallel zur x-Achse, besitzt also den Steigungsfaktor 0.<br/>~~Ergebnis:~~ <math>h(x) = 0 \cdot x +3</math>. <br /> Ergebnis: <math>h(x) = 3</math>		: schneidet die y-Achse im Punkt <math> S_y(0 \;\|\; 3) </math> und verläuft parallel zur x-Achse, besitzt also den Steigungsfaktor 0. Einsetzen in die Funktionsgleichung von <math>h</math> ergibt <math>h(x) = 0 \cdot x +3</math>. <br /> Ergebnis: <math>h(x) = 3</math>
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen

Ukalina am 20. April 2026 um 13:03 Uhr

2026-04-20T13:03:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 13:03 Uhr
Zeile 135:		Zeile 135:

	{{Box		{{Box
	\|Titel = 7. Aufgabe - ~~Gleichung einer Senkrechten zu gegebener Gerade~~		\|Titel = 7. Aufgabe - Zueinander senkrecht verlaufende Geraden
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	~~Bestimme~~ ''rechnerisch'' die ~~Gleichung der~~ Geraden <math>~~h</math>, die durch den Punkt <math>P~~(-1~~\;\|\;4)~~</math> ~~geht~~ und ~~senkrecht zu der Geraden~~ <math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1 </math> ~~verläuft~~.		Überprüfe ''rechnerisch'', ob die beiden Geraden <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math> und <math>g(x) = - \frac{1}{3}x +2 </math> senkrecht zu einander verlaufen.

	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|		\|
	~~Für die Steigung~~ <math> ~~m_h~~ </math> ~~einer zur Geraden~~ <math> f </math> senkrecht ~~verlaufenden Geraden mit der Steiung~~ <math> m_f </math> ~~gilt~~ die Formel: <math> ~~m_h~~ = - \frac{1}{m_f} </math>.		Zwei Geraden <math> g </math> und <math> f </math> verlaufen genau dann senkrecht zu einander, wenn für ihre Steigungen <math> m_g </math> und <math> m_f </math> die Formel gilt: <math> m_g = - \frac{1}{m_f} </math>.

	<math> ~~m_h~~ = - ~~\frac{1}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{~~1~~}{2}} = 2~~ </math>		Durch Multiplikation mit <math> m_f </math> auf beiden Seiten der Gleichung erhält man: <math> m_g \cdot m_f = -1 </math>. In Worten: Zwei Geraden verlaufen genau dann senkrecht zu einander, wenn das Produkt ihrer Steigungsfaktoren gleich -1 ist.

	~~Zwischenlösung:~~ <math> ~~h(x)~~ =~~2x + b~~ </math>		<math> m_g \cdot m_f = -\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} </math> <math>= -\frac{2}{9} \not= -1</math>

	~~Koordinaten des gegebenen Punktes <math>P(-1\|4)</math> einsetzen~~:		Ergebnis: Die Geraden <math> f </math> und <math> g </math> verlaufen ''nicht'' senkrecht zueinander.

	~~<math> h(-1) = 2 \cdot (-1) + b </math> <br />~~
	<math> ~~\Rightarrow 4 = -2 + b~~ </math> ~~<br />~~
	~~<math> \Rightarrow b = 6 </math>~~

	~~Ergebnis:~~ <math> ~~h(x) = 2x +6~~ </math>
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen

Ukalina am 20. April 2026 um 11:17 Uhr

2026-04-20T11:17:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 11:17 Uhr
Zeile 113:		Zeile 113:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Bestimme ''rechnerisch'' die Gleichung der Geraden h, die durch die Punkte <math>P(-1\;\|\;4)</math> und <math>Q(~~-4,5~~ \;\|\; -3)</math> geht.		Bestimme ''rechnerisch'' die Gleichung der Geraden h, die durch die Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3) </math> und <math>Q(6 \;\|\; 3)</math> geht.


Zeile 120:		Zeile 120:
	Die Formel für den Steigungsfaktor <math> m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q -x_P} </math> gilt unabhängig davon, ob der Punkt <math>Q</math> im Koordinatensystem links oder rechts von <math>P</math> liegt.		Die Formel für den Steigungsfaktor <math> m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q -x_P} </math> gilt unabhängig davon, ob der Punkt <math>Q</math> im Koordinatensystem links oder rechts von <math>P</math> liegt.

	<math> m = \frac{-3 -4}{~~-4,5~~ -(-1)} = \frac{-7}{~~-3,5~~} = 2 </math>		<math> m = \frac{3 -3}{6 -(-3)} = \frac{0}{9} = 0 </math>

	Zwischenlösung: <math> h(x) =2x + b </math>		Zwischenlösung: <math> h(x) =0 \cdot x + b </math>, also <math> h(x) = b </math>

	Beispielsweise <math>Q(~~-4,5~~ \;\|\; -3)</math> einsetzen (<math> P </math> ginge ebenso):		Beispielsweise <math>Q(6 \;\|\; 3)</math> einsetzen (<math> P </math> ginge ebenso):

	<math> h(~~-4,5~~) = ~~2 \cdot (-4,5) +~~ b </math> ~~<br />~~		<math> h(6) = b </math> <math> \Rightarrow 3 = b </math>
	<math> \Rightarrow -3 = ~~-9 +~~ b </~~math> <br />~~
	<math> ~~\Rightarrow b = 6 </math>~~

	Ergebnis: <math> h(x) = ~~2x +6~~ </math>		Ergebnis: <math> h(x) = 3 </math>
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen

Ukalina am 20. April 2026 um 11:04 Uhr

2026-04-20T11:04:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 11:04 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:

	{{Box		{{Box
	\|Titel = 3. Aufgabe - Koordinate eines Punktes auf einer Geraden		\|Titel = 3. Aufgabe - fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Geraden
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	~~Der Punkt~~ <math>R(-3 \;\|\; ?)</math> ~~liegt~~ auf der Geraden <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math>.		Die Punkte <math>R(-3 \;\|\; ?)</math> und <math>T(? \;\|2 ?)</math> liegen auf der Geraden <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math>.
	Bestimme die y-Koordinate von R.		Bestimme ''rechnerisch'' die y-Koordinate von <math>R</math> und die x-Koordinate von <math>T</math>.
	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|		\|
	x-Koordinate ~~von~~ <math>R</math> in <math>f</math> ~~einsetzen~~: <math>~~f(-3)~~ = \frac{2}{3} \cdot (-3) -1 </math> <math> = -2 -1 = -3 </math> <br/> Ergebnis: y-Koordinate von <math> R </math> hat den Wert   <math> -3 </math>.		Um die y-Koordinate des Punktes <math>R</math> zu bestimmen, setzt man seine x-Koordinate in <math>f</math> ein: <br /><math>y_R = \frac{2}{3} \cdot (-3) -1 </math> <math> = -2 -1 = -3 </math> <br/> Ergebnis: Die y-Koordinate von <math> R </math> hat den Wert   <math> -3 </math>, also <math>R(-3 \;\|\; -3)</math>

			Um die x-Koordinate des Punktes <math>T</math> zu bestimmen, setzt man seine y-Koordinate in <math>f</math> ein: <br /> <math> 2 = \frac{2}{3}x -1 </math> <br /> <math> 3 = \frac{2}{3} x </math> <br /> <math> 4,5 = x </math><br/> Ergebnis: Die x-Koordinate von <math>T</math> hat den Wert 4,5 , also <math>T(4,5 \;\|\; 2)</math>
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen

Ukalina am 20. April 2026 um 08:47 Uhr

2026-04-20T08:47:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 08:47 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Bestimme ''rechnerisch'' die Schnittpunkte der beiden Geraden <math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1 </math>, <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +~~3,5~~ </math> und <math> h(x) = ~~2x +6~~ </math> mit den Koordinatenachsen.		Bestimme ''rechnerisch'' die Schnittpunkte der beiden Geraden <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math>, <math>g(x) = -\frac{1}{3}x +2</math> und <math> h(x) = 3 </math> mit den Koordinatenachsen.

	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
Zeile 88:		Zeile 88:
	: Alle Punkte auf der ''y''-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre ''x''-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der ''y''-Achse: In der Funktionsgleichung <math> x = 0 </math> setzen.		: Alle Punkte auf der ''y''-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre ''x''-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der ''y''-Achse: In der Funktionsgleichung <math> x = 0 </math> setzen.

	<math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1 </math> <br /> <math>f(0) = - \frac{1}{2}\cdot 0 +1 </math> <br /> <math>f(0) = 1 </math> <br />Ergebnis: Die Gerade <math>f</math> scheidet die y-Achse im Punkt <math>(0\;\|\;1)</math>.		<math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math> <br /> <math>f(0) = \frac{2}{3}\cdot 0 -1 </math> <br /> <math>f(0) = -1 </math> <br />Ergebnis: Die Gerade <math>f</math> scheidet die y-Achse im Punkt <math>(0\;\|\;-1)</math>.

	<math>g(x) = - \frac{1}{2}x +~~3,5~~ </math> <br /> <math>g(0) = - \frac{1}{2}\cdot 0 +~~3,5~~ </math> <br /> <math>g(0) = ~~3,5~~ </math> <br />Ergebnis: Die Gerade <math>g</math> scheidet die y-Achse im Punkt <math>(0\;\|\;~~3,5~~)</math>.		<math>g(x) = -\frac{1}{3}x +2 </math> <br /> <math>g(0) = - \frac{1}{3}\cdot 0 +2 </math> <br /> <math>g(0) = 2 </math> <br />Ergebnis: Die Gerade <math>g</math> scheidet die y-Achse im Punkt <math>(0\;\|\;2)</math>.

	<math> h(x) = ~~2x +6~~ </math> ~~<br />~~ <math>~~h(0) = 2~~ \~~cdot 0 +6 </math> <br /> <math>~~h(0) = 6 </math> <br />Ergebnis: Die Gerade <math>h</math> scheidet die y-Achse im Punkt <math>(0\;\|\;6)</math>.		<math> h(x) = 3 </math>   <math> \Rightarrow h(0) = 3 </math> <br /> Ergebnis: Die Gerade <math>h</math> scheidet die y-Achse im Punkt <math>(0\;\|\;3)</math>.

	; Schnittpunkte mit der x-Achse		; Schnittpunkte mit der x-Achse
	: Alle Punkte auf der ''x''-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre ''y''-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der ''x''-Achse (und damit zugleich zur Berechnung der Nullstellen): In der Funktionsgleichung <math> f(x) = 0 </math> setzen.		: Alle Punkte auf der ''x''-Achse haben die Eigenschaft, dass ihre ''y''-Koordinate gleich 0 ist. Daher lautet der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit der ''x''-Achse (und damit zugleich zur Berechnung der Nullstellen): In der Funktionsgleichung <math> f(x) = 0 </math> setzen.

	<math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1 </math> <br /> <math>0 = - \frac{1}{2}~~\cdot~~ x +1 </math> <br /> <math>-1 = - \frac{1}{2}\cdot x </math> <br /> <math>2 = x </math><br /> Ergebnis: Die Gerade <math>f</math> scheidet die x-Achse im Punkt <math>(2\;\|\;0)</math>.		<math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math> <br /> <math>0 = \frac{2}{3}x -1 </math> <br /> <math>1 = \frac{2}{3}\cdot x </math> <br /> <math>1,5 = x </math><br /> Ergebnis: Die Gerade <math>f</math> scheidet die x-Achse im Punkt <math>(1,5\;\|\;0)</math>.

	<math>g(x) = - \frac{1}{2}x +~~3,5~~ </math> <br /> <math>0 = - \frac{1}{2}~~\cdot~~ x +~~3,5~~ </math> <br /> <math>-~~3,5~~ = - \frac{1}{2}\cdot x </math> <br /> <math>7 = x </math><br /> Ergebnis: Die Gerade <math>g</math> scheidet die x-Achse im Punkt <math>(7\;\|\;0)</math>.		<math>g(x) = -\frac{1}{3}x +2 </math> <br /> <math>0 = -\frac{1}{3}x +2 </math> <br /> <math>-2 = - \frac{1}{3}\cdot x </math> <br /> <math>6 = x </math><br /> Ergebnis: Die Gerade <math>g</math> scheidet die x-Achse im Punkt <math>(6\;\|\;0)</math>.

	<math> h(x) = ~~2x +6~~ </math> <br /> <math>0 = ~~2x +6~~ </math> ~~<br />~~ <math>~~-6 = 2x~~ </math> ~~<br />~~ <math>-3 = x </math>~~<br /> Ergebnis: Die Gerade~~ <math>h</math> ~~scheidet die~~ x-Achse ~~im Punkt <math>(-3\;\|\;0)</math>~~.		Es ist <math> h(x) = 3 </math> für ''alle'' x-Werte. Anschaulich ist klar, dass eine Parallele zur x-Achse, die oberhalb dieser Achse verläuft, keinen Schnittpunkt mit ihr haben kann. Rechnerisch drückt sich das so aus: Wenn man den y-Wert 0 für <math>h(x) </math> in diese Gleichung einsetzt, dann erhält man mit <math>0 = 3 </math> eine ''falsche Aussage''. Das bedeutet: Es gibt kein <math>x</math>, für das <math> h(x) = 0 </math> ist und damit auch keinen Schnittpunkt der Geraden <math>h</math> mit der x-Achse.
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen

Ukalina am 20. April 2026 um 08:05 Uhr

2026-04-20T08:05:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 08:05 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Gegeben sind die Gerade <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math> und die Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3)</math> und <math>Q(6 \;\|\; 3)</math>. Stelle ''rechnerisch'' für jeden der beiden Punkte fest, ob er ''auf'' der gegebenen Geraden liegt. ~~Falls er~~ ''nicht'' ~~auf~~ der ~~Geraden f liegt~~, überprüfe, ob er ''oberhalb'' oder ''unterhalb'' ~~davon~~ liegt.		Gegeben sind die Gerade <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math> und die Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3)</math> und <math>Q(6 \;\|\; 3)</math>. Stelle ''rechnerisch'' für jeden der beiden Punkte fest, ob er ''auf'' der gegebenen Geraden liegt. Wenn das ''nicht'' der Fall ist, überprüfe, ob er ''oberhalb'' oder ''unterhalb'' der Geraden liegt.

	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|		\|
	Punktprobe für Punkt <math>P(-1 \;\|\; 4)</math>:		Punktprobe für Punkt <math>P(-3 \;\|\; 3)</math>:
	: <math>f(-1) = ~~-0,5~~ \cdot (-1) +1 = ~~1,5~~ </math> Der Punkt <math>P(-1 \;\|\; 4)</math> liegt ~~2,5~~ Einheiten ''oberhalb'' der Geraden <math>f</math>.		: <math>f(-3) = \frac{2}{3} \cdot (-3) -1 = -3 </math> Der Punkt <math>P(-3 \;\|\; 3)</math> liegt 6 Einheiten ''oberhalb'' der Geraden <math>f</math>.
	Punktprobe für Punkt <math>Q(~~-4,5~~ \;\|\; -3)</math>:		Punktprobe für Punkt <math>Q(6 \;\|\; 3)</math>:
	: <math>f(~~-4,5~~) = ~~-0,5~~ \cdot (-~~4,5) +~~1 = 3~~,25~~ </math> Der Punkt <math>Q(~~-4,5~~ \;\|\; -3)</math> liegt ~~6,25 Einheiten~~ ''~~unterhalb~~'' der Geraden <math>f</math>.		: <math>f(6) = \frac{2}{3} \cdot 6 -1 = 3 </math> Der Punkt <math>Q(6 \;\|\; 3)</math> liegt genau ''auf'' der Geraden <math>f</math>.
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen
Zeile 53:		Zeile 53:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Der Punkt <math>R(6 \;\|\; ?)</math> liegt auf der Geraden <math>f(x) =- \frac{1}{2} x +1</math>.		Der Punkt <math>R(-3 \;\|\; ?)</math> liegt auf der Geraden <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math>.
	Bestimme die y-Koordinate von R.		Bestimme die y-Koordinate von R.
	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|		\|
	x-Koordinate von R in f einsetzen: <math>- \frac{1}{2} \cdot ~~6 +~~1 </math> <math> = -~~3 +~~ 1 = -2 </math> <br/> Ergebnis: y-Koordinate von <math> R </math> hat den Wert   <math> -2 </math>.		x-Koordinate von <math>R</math> in <math>f</math> einsetzen: <math>f(-3) = \frac{2}{3} \cdot (-3) -1 </math> <math> = -2 -1 = -3 </math> <br/> Ergebnis: y-Koordinate von <math> R </math> hat den Wert   <math> -3 </math>.
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen
Zeile 67:		Zeile 67:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Bestimme ''rechnerisch'' die Gleichung der Geraden <math>g </math>, die zu der Geraden <math>f(x) =- \frac{1}{2} x +1</math> parallel verläuft und durch den Punkt <math>P(-1 \;\|\; 4) </math> geht.		Bestimme ''rechnerisch'' die Gleichung der Geraden <math>g </math>, die zu der Geraden <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math> parallel verläuft und durch den Punkt <math>P(-3 \;\|\; 3) </math> geht.

	{{ Lösung versteckt		{{ Lösung versteckt
	\|		\|
	In der Gleichung <math>g(x) = mx +b </math> sind der Steigungsfaktor <math>m</math> und der y-Achsenabschnitt <math>b</math> zu bestimmen. <br /> Wegen der Parallelität zu <math>f </math> besitzt <math>g </math> den gleichen Steigungsfaktor, also <math> m = - \frac{1}{2} </math> <br /> Zwischenergebnis: <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +b </math> <br />Um den y-Achsenabschnitt <math>b</math> zu bestimmen, kann man die Koordinaten des Punktes <math>P(-1 \;\|\; 4) </math> in diese Gleichung einsetzen: <br />     <math> g(-1) =- \frac{1}{2} \cdot (-1) +b</math> <br /><math> \Rightarrow 4 = ~~0,5~~ +b </math> <br /><math> \Rightarrow ~~3,5~~ = b</math> <br /> Ergebnis: <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +~~3,5~~ </math>		In der Gleichung <math>g(x) = mx +b </math> sind der Steigungsfaktor <math>m</math> und der y-Achsenabschnitt <math>b</math> zu bestimmen. <br /> Wegen der Parallelität zu <math>f </math> besitzt <math>g </math> den gleichen Steigungsfaktor, also <math> m = \frac{2}{3} </math> <br /> Zwischenergebnis: <math>g(x) = \frac{2}{3}x +b </math> <br />Um den y-Achsenabschnitt <math>b</math> zu bestimmen, kann man die Koordinaten des Punktes <math>P(-3 \;\|\; 3) </math> in diese Gleichung einsetzen: <br />     <math> g(-3) =\frac{2}{3} \cdot (-3) +b</math> <br /><math> \Rightarrow 3 = -3 +b </math> <br /><math> \Rightarrow 6 = b</math> <br /> Ergebnis: <math>g(x) = - \frac{2}{3}x +6 </math>
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen

Ukalina am 20. April 2026 um 07:45 Uhr

2026-04-20T07:45:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 07:45 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	In der Abbildung [[:Datei:~~LF03~~ Abbildung 1.png\|~~LF03~~ Abbildung 1]] sind drei Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt: die Gerade f als durchgezogene Linie, die Gerade g gestrichelt und die Gerade h gepunktet. <br />		In der Abbildung [[:Datei:LF04 Abbildung 1.png\|LF04 Abbildung 1]] sind drei Geraden in einem Koordinatensystem dargestellt: die Gerade f als durchgezogene Linie, die Gerade g gestrichelt und die Gerade h gepunktet. <br />
	Bestimme für jede Gerade die Funktionsgleichung.		Bestimme für jede Gerade die Funktionsgleichung.

Zeile 20:		Zeile 20:
	\|		\|
	; Gerade <math>f</math> (durchgezogene Linie)		; Gerade <math>f</math> (durchgezogene Linie)
	: In der Geradengleichung <math>f(x) = mx +b </math> müssen der Steigungsfaktor <math>m</math> und der y-Achsenabschnitt <math> b </math> bestimmt werden.<br/>y-Achsenabschnitt <math> b </math>: Schnittpunkt mit der y-Achse <math> S_y(0 \;\|\; 1) </math> <math> \Rightarrow b = 1 </math><br /> Steigungsfaktor <math> m </math>: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt <math> S_y(0 \;\|\; 1) </math> aus 2 Einheiten nach ''rechts'' und ~~1 Einheit~~ nach ''~~unten~~'' gehen, um wieder auf die Gerade <math>f </math> zu stoßen. <math> m = -\frac{1}{2} </math> <br />Ergebnis: <math>f(x) = -\frac{1}{2}x +1 </math>		: In der Geradengleichung <math>f(x) = mx +b </math> müssen der Steigungsfaktor <math>m</math> und der y-Achsenabschnitt <math> b </math> bestimmt werden.<br/>y-Achsenabschnitt <math> b </math>: Schnittpunkt mit der y-Achse <math> S_y(0 \;\|\; -1) </math> <math> \Rightarrow b = -1 </math><br /> Steigungsfaktor <math> m </math>: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt <math> S_y(0 \;\|\; -1) </math> aus 3 Einheiten nach ''rechts'' und 2 Einheiten nach ''oben'' gehen, um wieder auf die Gerade <math>f </math> zu stoßen. <math> m = \frac{2}{3} </math> <br />Ergebnis: <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math>
	; Gerade <math>g </math> (gestrichelte Linie)		; Gerade <math>g </math> (gestrichelte Linie)
	: schneidet die y-Achse im Punkt <math>(0 \;\|\; 3,5) </math> ~~und verläuft parallel~~ zu <math>f</math>~~, besitzt also den gleichen Steigungsfaktor~~<br/>Ergebnis: <math>g(x) = -\frac{1}{2}x +~~3,5~~</math>		: schneidet die y-Achse im Punkt <math>(0 \;\|\; 2) </math> <math> \Rightarrow b = 2 </math><br /> Steigungsfaktor <math> m </math>: Man kann in einem Steigungsdreieck vom Punkt <math> S_y(0 \;\|\; 2) </math> aus 3 Einheiten nach ''rechts'' und 1 Einheit nach ''unten'' gehen, um wieder auf die Gerade <math>g </math> zu stoßen. Daher ist <math> m = -\frac{1}{3} </math> <br />Ergebnis: <math>g(x) = -\frac{1}{3}x +2 </math>
	; Gerade <math>h </math> (gepunktete Linie)		; Gerade <math>h </math> (gepunktete Linie)
	: ~~Man kann in einem Steigungsdreieck vom~~ Punkt <math> ~~S_x~~(-3 \;\|\; 0) </math> ~~aus 3 Einheiten auf der~~ x-Achse ~~nach ''rechts'' und 6 Einheit auf der y-Achse nach ''oben'' gehen~~, ~~um wieder auf die Gerade <math>h~~ </~~math~~> ~~zu stoßen.~~ <math> m = \~~frac{6}{~~3~~} = 2~~</math> <br /> Ergebnis: <math>h(x) = ~~2x +6~~</math>		: schneidet die y-Achse im Punkt <math> S_y(0 \;\|\; 3) </math> und verläuft parallel zur x-Achse, besitzt also den Steigungsfaktor 0.<br/>Ergebnis: <math>h(x) = 0 \cdot x +3</math>. <br /> Ergebnis: <math>h(x) = 3</math>
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen
Zeile 30:		Zeile 30:
	}} <!-- Box -->		}} <!-- Box -->

	Versuche, die folgenden Aufgaben erst einmal rein ''rechnerisch'' und ohne die Abbildung [[:Datei:~~LF03~~ Abbildung 1.png\|~~LF03~~ Abbildung 1]] zu lösen. Diese kannst du aber im Anschluss zur Kontrolle nutzen.		Versuche, die folgenden Aufgaben erst einmal rein ''rechnerisch'' und ohne die Abbildung [[:Datei:LF04 Abbildung 1.png\|LF04 Abbildung 1]] zu lösen. Diese kannst du aber im Anschluss zur Kontrolle nutzen.

	{{Box		{{Box
Zeile 36:		Zeile 36:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Gegeben sind die Gerade <math>f(x) =-~~0,5 x +~~1</math> und die Punkte <math>P(-1 \;\|\; 4)</math> und <math>Q(~~-4,5~~ \;\|\; -3)</math>. Stelle ''rechnerisch'' für jeden der beiden Punkte fest, ob er ''auf'' der gegebenen Geraden liegt. Falls er ''nicht'' auf der Geraden f liegt, ~~stellen Sie fest~~, ob er ''oberhalb'' oder ''unterhalb'' davon liegt.		Gegeben sind die Gerade <math>f(x) = \frac{2}{3}x -1 </math> und die Punkte <math>P(-3 \;\|\; 3)</math> und <math>Q(6 \;\|\; 3)</math>. Stelle ''rechnerisch'' für jeden der beiden Punkte fest, ob er ''auf'' der gegebenen Geraden liegt. Falls er ''nicht'' auf der Geraden f liegt, überprüfe, ob er ''oberhalb'' oder ''unterhalb'' davon liegt.

	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt