Lernpfad Lineare Funktionen/LF03 Aufgaben - Versionsgeschichte

Ukalina am 21. April 2026 um 08:45 Uhr

2026-04-21T08:45:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2026, 08:45 Uhr
Zeile 217:		Zeile 217:
	<math> 2 = -4 +6 </math>		<math> 2 = -4 +6 </math>

	<math> 2 = 2 </math> Dies ist eine wahre Aussage. Daher liegt auch der dritte Punkt <math>S</math> auf derjenigen Geraden <math>h</math>, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> geht.		<math> 2 = 2 </math> <br />Dies ist eine wahre Aussage. Daher liegt auch der dritte Punkt <math>S</math> auf derjenigen Geraden <math>h</math>, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> geht.

	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen

Ukalina am 21. April 2026 um 08:22 Uhr

2026-04-21T08:22:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2026, 08:22 Uhr
Zeile 162:		Zeile 162:
	}}		}}
	}} <!-- Box 7. Aufgabe -->		}} <!-- Box 7. Aufgabe -->

			{{Box
			\|Titel = 8. Aufgabe - Schnittpunkt zweier Geraden
			\|Klasse = Üben
			\|Inhalt =
			Bestimme ''rechnerisch'' den Schnittpunkt der beiden Geraden <math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1 </math> und <math> h(x) = 2x +6 </math>.

			{{Lösung versteckt
			\|
			Ansatz: Funktionsterme von <math>f</math> und <math>h</math> gleichsetzen: <math>f(x) = h(x)</math>.
			\| Tipp anzeigen
			\| Tipp verbergen
			}}

			{{Lösung versteckt
			\|
			: <math>f(x) = h(x)</math>
			: <math> - \frac{1}{2}x +1 = 2x +6 </math>

			<math>\Leftrightarrow - 2,5 x = 5 </math>

			<math>\Leftrightarrow x = -2 </math> (x-Koordinate des Schnittpunkts)

			<math> h(-2) = 2 \cdot (-2) +6 = 2 </math> (y-Koordinate des Schnittpunkts)

			Ergebnis: Die Geraden <math>f</math> und <math>h</math> schneiden sich im Punkt <math> S(-2 \;\|\; 2) </math>.

			\| Lösung anzeigen
			\| Lösung verbergen
			}}
			}} <!-- Box 8. Aufgabe -->

			{{Box
			\|Titel = 9. Aufgabe - Überprüfen, ob drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen
			\|Klasse = Üben
			\|Inhalt =
			Überprüfe ''rechnerisch'', ob die drei Punkte <math>P(-1 \;\|\; 4)</math>, <math>Q(-4,5 \;\|\; -3)</math> und <math> S(-2 \;\|\; 2) </math> auf einer gemeinsamen Geraden liegen..

			{{Lösung versteckt
			\|
			Ansatz: Aus zwei der drei gegebenen Punkte eine Geradengleichung aufstellen, dann Punktprobe mit dem dritten Punkt.
			\| Tipp anzeigen
			\| Tipp verbergen
			}}

			{{Lösung versteckt
			\|
			Bei den hier gegebenen Punkten kann man z.B. zuerst die Gleichung derjenigen Geraden aufstellen, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> geht. Dies entspricht der 6. Aufgabe. Ergebnis: <math> h(x) = 2x +6 </math><br />Anschließend macht man für diese Gerade die Punktprobe mit dem dritten Punkt <math> S(-2 \;\|\; 2) </math>, indem man seine Koordinaten in <math>h</math> einsetzt:

			<math> h(x) = 2x +6 </math>

			<math> 2 = 2 \cdot (-2) +6 </math>

			<math> 2 = -4 +6 </math>

			<math> 2 = 2 </math> Dies ist eine wahre Aussage. Daher liegt auch der dritte Punkt <math>S</math> auf derjenigen Geraden <math>h</math>, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> geht.

			\| Lösung anzeigen
			\| Lösung verbergen
			}}
			}} <!-- Box 9. Aufgabe -->

Ukalina am 21. April 2026 um 07:34 Uhr

2026-04-21T07:34:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. April 2026, 07:34 Uhr
Zeile 84:		Zeile 84:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Bestimme ''rechnerisch'' die Schnittpunkte der ~~beiden~~ Geraden <math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1 </math>, <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +3,5 </math> und <math> h(x) = 2x +6 </math> mit den Koordinatenachsen.		Bestimme ''rechnerisch'' die Schnittpunkte der Geraden <math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1 </math>, <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +3,5 </math> und <math> h(x) = 2x +6 </math> mit den Koordinatenachsen.

	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt

Ukalina am 20. April 2026 um 11:04 Uhr

2026-04-20T11:04:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 11:04 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:
	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|		\|
	Um die y-Koordinate des Punktes <math>R</math> zu bestimmen, setzt man seine x-Koordinate in <math>f</math> ein: <br /><math>y = - \frac{1}{2} \cdot 6 +1 </math> <math> = -3 + 1 = -2 </math> <br/> Ergebnis: y-Koordinate von <math> R </math> hat den Wert   <math> -2 </math>.		Um die y-Koordinate des Punktes <math>R</math> zu bestimmen, setzt man seine x-Koordinate in <math>f</math> ein: <br /><math>y_R = - \frac{1}{2} \cdot 6 +1 </math> <math> = -3 + 1 = -2 </math> <br/> Ergebnis: Die y-Koordinate von <math> R </math> hat den Wert   <math> -2 </math>, also <math>R(6 \;\|\; -2)</math>

	Um die x-Koordinate des Punktes <math>T</math> zu bestimmen, setzt man seine y-Koordinate in <math>f</math> ein: <br /> <math> 3 = - \frac{1}{2} x +1 </math> <br /> <math> 2 = - \frac{1}{2} x </math> <br /> <math> -4 = x </math><br/> Ergebnis: Die x-Koordinate von <math>T</math> hat den Wert -4.		Um die x-Koordinate des Punktes <math>T</math> zu bestimmen, setzt man seine y-Koordinate in <math>f</math> ein: <br /> <math> 3 = - \frac{1}{2} x +1 </math> <br /> <math> 2 = - \frac{1}{2} x </math> <br /> <math> -4 = x </math><br/> Ergebnis: Die x-Koordinate von <math>T</math> hat den Wert -4, also <math>T(-4 \;\|\; 3)</math>
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen

Ukalina am 20. April 2026 um 09:57 Uhr

2026-04-20T09:57:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 09:57 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:

	{{Box		{{Box
	\|Titel = 1. Aufgabe ~~(Üben)~~ - Funktionsgleichung aus Graph ablesen		\|Titel = 1. Aufgabe - Funktionsgleichung aus Graph ablesen
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
Zeile 50:		Zeile 50:

	{{Box		{{Box
	\|Titel = 3. Aufgabe - Koordinate eines Punktes auf einer Geraden		\|Titel = 3. Aufgabe - fehlende Koordinate eines Punktes auf einer Geraden
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	~~Der Punkt~~ <math>R(6 \;\|\; ?)</math> ~~liegt~~ auf der Geraden <math>f(x) =- \frac{1}{2} x +1</math>.		Die Punkte <math>R(6 \;\|\; ?)</math> und <math>T(? \;\|\; 3)</math>liegen auf der Geraden <math>f(x) =- \frac{1}{2} x +1</math>.
	Bestimme die y-Koordinate von R.
			Bestimme ''rechnerisch'' die y-Koordinate von <math>R</math> und die x-Koordinate von <math>T</math>.
	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|		\|
	x-Koordinate ~~von~~ <math>R</math> in <math>f</math> ~~einsetzen~~: <math>- \frac{1}{2} \cdot 6 +1 </math> <math> = -3 + 1 = -2 </math> <br/> Ergebnis: y-Koordinate von <math> R </math> hat den Wert   <math> -2 </math>.		Um die y-Koordinate des Punktes <math>R</math> zu bestimmen, setzt man seine x-Koordinate in <math>f</math> ein: <br /><math>y = - \frac{1}{2} \cdot 6 +1 </math> <math> = -3 + 1 = -2 </math> <br/> Ergebnis: y-Koordinate von <math> R </math> hat den Wert   <math> -2 </math>.

			Um die x-Koordinate des Punktes <math>T</math> zu bestimmen, setzt man seine y-Koordinate in <math>f</math> ein: <br /> <math> 3 = - \frac{1}{2} x +1 </math> <br /> <math> 2 = - \frac{1}{2} x </math> <br /> <math> -4 = x </math><br/> Ergebnis: Die x-Koordinate von <math>T</math> hat den Wert -4.
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen

Ukalina am 20. April 2026 um 07:57 Uhr

2026-04-20T07:57:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 07:57 Uhr
Zeile 57:		Zeile 57:
	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|		\|
	x-Koordinate von R in f einsetzen: <math>- \frac{1}{2} \cdot 6 +1 </math> <math> = -3 + 1 = -2 </math> <br/> Ergebnis: y-Koordinate von <math> R </math> hat den Wert   <math> -2 </math>.		x-Koordinate von <math>R</math> in <math>f</math> einsetzen: <math>- \frac{1}{2} \cdot 6 +1 </math> <math> = -3 + 1 = -2 </math> <br/> Ergebnis: y-Koordinate von <math> R </math> hat den Wert   <math> -2 </math>.
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen

Ukalina am 20. April 2026 um 07:53 Uhr

2026-04-20T07:53:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 07:53 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Gegeben sind die Gerade <math>f(x) =-0,5 x +1</math> und die Punkte <math>P(-1 \;\|\; 4)</math> und <math>Q(-4,5 \;\|\; -3)</math>. Stelle ''rechnerisch'' für jeden der beiden Punkte fest, ob er ''auf'' der gegebenen Geraden liegt. ~~Falls er~~ ''nicht'' ~~auf~~ der ~~Geraden f liegt~~, überprüfe, ob er ''oberhalb'' oder ''unterhalb'' ~~davon~~ liegt.		Gegeben sind die Gerade <math>f(x) =-0,5 x +1</math> und die Punkte <math>P(-1 \;\|\; 4)</math> und <math>Q(-4,5 \;\|\; -3)</math>. Stelle ''rechnerisch'' für jeden der beiden Punkte fest, ob er ''auf'' der gegebenen Geraden liegt. Wenn das ''nicht'' der Fall ist, überprüfe, ob er ''oberhalb'' oder ''unterhalb'' der Geraden liegt.

	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt

Ukalina am 20. April 2026 um 07:46 Uhr

2026-04-20T07:46:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 07:46 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Gegeben sind die Gerade <math>f(x) =-0,5 x +1</math> und die Punkte <math>P(-1 \;\|\; 4)</math> und <math>Q(-4,5 \;\|\; -3)</math>. Stelle ''rechnerisch'' für jeden der beiden Punkte fest, ob er ''auf'' der gegebenen Geraden liegt. Falls er ''nicht'' auf der Geraden f liegt, ~~stellen Sie fest~~, ob er ''oberhalb'' oder ''unterhalb'' davon liegt.		Gegeben sind die Gerade <math>f(x) =-0,5 x +1</math> und die Punkte <math>P(-1 \;\|\; 4)</math> und <math>Q(-4,5 \;\|\; -3)</math>. Stelle ''rechnerisch'' für jeden der beiden Punkte fest, ob er ''auf'' der gegebenen Geraden liegt. Falls er ''nicht'' auf der Geraden f liegt, überprüfe, ob er ''oberhalb'' oder ''unterhalb'' davon liegt.

	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt

Ukalina am 20. April 2026 um 06:48 Uhr

2026-04-20T06:48:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. April 2026, 06:48 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:
	{{ Lösung versteckt		{{ Lösung versteckt
	\|		\|
	In der Gleichung <math>g(x) = mx +b </math> sind der Steigungsfaktor <math>m</math> und der y-Achsenabschnitt <math>b</math> zu bestimmen. <br /> Wegen der Parallelität zu <math>f </math> besitzt <math>g </math> den gleichen Steigungsfaktor, also <math> m = - \frac{1}{2} </math> <br /> Zwischenergebnis: <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +b </math> <br />Um den y-Achsenabschnitt <math>b</math> zu bestimmen, kann man die Koordinaten des Punktes <math>P(-1 \;\|\; 4) </math> in diese Gleichung einsetzen: <br />     <math> g(-1) =- \frac{1}{2} \cdot (-1) +b</math> <br /><math> \Rightarrow 4 = 0,5 +b </math> <br /><math> \Rightarrow 3,5 = b</math> <br /> Ergebnis: <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +3,5 </math>		In der Gleichung <math>g(x) = mx +b </math> sind der Steigungsfaktor <math>m</math> und der y-Achsenabschnitt <math>b</math> zu bestimmen. <br /> Wegen der Parallelität zu <math>f </math> besitzt <math>g </math> den gleichen Steigungsfaktor, also <math> m = - \frac{1}{2} </math> <br /> Zwischenergebnis: <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +b </math> <br />Um den y-Achsenabschnitt <math>b</math> zu bestimmen, kann man die Koordinaten des Punktes <math>P(-1 \;\|\; 4) </math> in diese Gleichung einsetzen: <br />     <math> g(-1) =- \frac{1}{2} \cdot (-1) +b</math> <br /><math> \Rightarrow 4 = 0,5 +b </math> <br /><math> \Rightarrow 3,5 = b</math> <br /> Ergebnis: <math>g(x) = - \frac{1}{2}x +3,5 </math>
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen
Zeile 108:		Zeile 108:

	{{Box		{{Box
	\|Titel = 6. Aufgabe - Gerade f durch Punkte P und Q		\|Titel = 6. Aufgabe - Gerade durch Punkte P und Q
	\|Klasse = Üben		\|Klasse = Üben
	\|Inhalt =		\|Inhalt =
	Bestimme ''rechnerisch'' die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(-1\;\|\;4)</math> und <math>Q(-4,5 \;\|\; -3)</math> geht.		Bestimme ''rechnerisch'' die Gleichung der Geraden h, die durch die Punkte <math>P(-1\;\|\;4)</math> und <math>Q(-4,5 \;\|\; -3)</math> geht.


	~~<!--~~
	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|		\|
			Die Formel für den Steigungsfaktor <math> m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q -x_P} </math> gilt unabhängig davon, ob der Punkt <math>Q</math> im Koordinatensystem links oder rechts von <math>P</math> liegt.

	zu 1.		<math> m = \frac{-3 -4}{-4,5 -(-1)} = \frac{-7}{-3,5} = 2 </math>

	<math> ~~m = \frac{-5 -3}{1 -~~(-3)~~} = \frac{-8}{4}~~ = -2 </math>		Zwischenlösung: <math> h(x) =2x + b </math>

	~~Zwischenlösung:~~		Beispielsweise <math>Q(-4,5 \;\|\; -3)</math> einsetzen (<math> P </math> ginge ebenso):
	<math> f(x) ~~=-2x + b~~ </math>

	~~Beispielsweise~~ <math>P(-3~~\|3)~~</math> ~~einsetzen:~~		<math> h(-4,5) = 2 \cdot (-4,5) + b </math> <br />
			<math> \Rightarrow -3 = -9 + b </math> <br />
			<math> \Rightarrow b = 6 </math>

	~~   ~~ <math> f(-3) = ~~-2 \cdot (-3)~~ + b </math> <~~br /~~>		Ergebnis: <math> h(x) = 2x +6 </math>
	<math> ~~\Rightarrow 3 = 6 + b~~ </math> <br />		\| Lösung anzeigen
	<math> ~~\Rightarrow b~~ = -3 </math>		\| Lösung verbergen
			}}
			}} <!-- Box 6. Aufgabe -->

			{{Box
			\|Titel = 7. Aufgabe - Gleichung einer Senkrechten zu gegebener Gerade
			\|Klasse = Üben
			\|Inhalt =
			Bestimme ''rechnerisch'' die Gleichung der Geraden <math>h</math>, die durch den Punkt <math>P(-1\;\|\;4)</math> geht und senkrecht zu der Geraden <math>f(x) = - \frac{1}{2}x +1 </math> verläuft.

	~~Ergebnis~~: <math> ~~f(x)~~ = -~~2x -3~~ </math>		{{Lösung versteckt
			\|
			Für die Steigung <math> m_h </math> einer zur Geraden <math> f </math> senkrecht verlaufenden Geraden mit der Steiung <math> m_f </math> gilt die Formel: <math> m_h = - \frac{1}{m_f} </math>.

			<math> m_h = - \frac{1}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 </math>

			Zwischenlösung: <math> h(x) =2x + b </math>

			Koordinaten des gegebenen Punktes <math>P(-1\|4)</math> einsetzen:

			<math> h(-1) = 2 \cdot (-1) + b </math> <br />
			<math> \Rightarrow 4 = -2 + b </math> <br />
			<math> \Rightarrow b = 6 </math>

			Ergebnis: <math> h(x) = 2x +6 </math>
	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen
	}}		}}
	~~-->~~		}} <!-- Box 7. Aufgabe -->
	}} <!-- Box 6. Aufgabe -->

			{{Fortsetzung
			\|vorher=zurück\|vorherlink=Lernpfad Lineare Funktionen/LF02 Aufgaben
			\|weiter=weiter\|weiterlink=Lernpfad Lineare Funktionen/LF04 Aufgaben
			\|übersicht=Kapitelübersicht\|übersichtlink=Lernpfad Lineare Funktionen#Kapitelübersicht
			}}


			[[Kategorie:Mathematik]]

Ukalina am 18. April 2026 um 12:25 Uhr

2026-04-18T12:25:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. April 2026, 12:25 Uhr
Zeile 113:		Zeile 113:
	Bestimme ''rechnerisch'' die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(-1\;\|\;4)</math> und <math>Q(-4,5 \;\|\; -3)</math> geht.		Bestimme ''rechnerisch'' die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(-1\;\|\;4)</math> und <math>Q(-4,5 \;\|\; -3)</math> geht.


			<!--
	{{Lösung versteckt		{{Lösung versteckt
	\|		\|

	zu 1.		zu 1.

Zeile 130:		Zeile 133:
	Ergebnis: <math> f(x) = -2x -3 </math>		Ergebnis: <math> f(x) = -2x -3 </math>


	~~zu 2.~~

	~~Schnittpunkt mit der y-Achse: <math> (0 \| -3) </math> <br />~~
	~~Schnittpunkt mit der x-Achse: <br />~~
	~~<math> f(x) = -2x -3 </math> <br />~~
	~~<math> 0 = -2x -3 </math> <br />~~
	~~<math> \Rightarrow 3 = -2x </math> <br />~~
	~~<math> \Rightarrow x = -1,5 </math> <br />~~
	~~Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: <math> (-1,5 \| 0) </math>.~~

	~~zu 3.~~

	~~<math> g(x) = -2x </math>~~

	\| Lösung anzeigen		\| Lösung anzeigen
	\| Lösung verbergen		\| Lösung verbergen
	}}		}}
			-->
	}} <!-- Box 6. Aufgabe -->		}} <!-- Box 6. Aufgabe -->