Lernpfad Lineare Funktionen/LF02 Aufgaben - Versionsgeschichte

Ukalina am 20. April 2026 um 15:34 Uhr

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Ukalina am 20. April 2026 um 13:07 Uhr

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	====GeoGebra-Applet für lineare Funktion <math> f(x) =m\;x + b </math> durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>====		====GeoGebra-Applet für lineare Funktion <math> f(x) =m\;x + b </math> durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>====
	<ggb_applet width="564" height="671" version="4.2" 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			[[Kategorie:Mathematik]]

Ukalina: Die Seite wurde neu angelegt: „NOTOC {{Fortsetzung |vorher=zurück|vorherlink=Lernpfad Lineare Funktionen |weiter=weiter|weiterlink=Lernpfad Lineare Funktionen/LF03 Aufgaben |übersicht=Kapitelübersicht|übersichtlink=Lernpfad Lineare Funktionen#Kapitelübersicht }} {{Box |1=1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P |2= Gegeben sind die Gerade $f(x) =1,5x -4$ und der Punkt $P(4|2)$ . # Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt,…“

2026-04-17T09:26:40Z

Die Seite wurde neu angelegt: „__NOTOC__ {{Fortsetzung |vorher=zurück|vorherlink=Lernpfad Lineare Funktionen |weiter=weiter|weiterlink=Lernpfad Lineare Funktionen/LF03 Aufgaben |übersicht=Kapitelübersicht|übersichtlink=Lernpfad Lineare Funktionen#Kapitelübersicht }} {{Box |1=1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P |2= Gegeben sind die Gerade <math>f(x) =1,5x -4</math> und der Punkt <math>P(4|2)</math>. # Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt,…“

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__NOTOC__

{{Fortsetzung
|vorher=zurück|vorherlink=Lernpfad Lineare Funktionen
|weiter=weiter|weiterlink=Lernpfad Lineare Funktionen/LF03 Aufgaben
|übersicht=Kapitelübersicht|übersichtlink=Lernpfad Lineare Funktionen#Kapitelübersicht
}}

{{Box
|1=1. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P
|2=
Gegeben sind die Gerade <math>f(x) =1,5x -4</math> und der Punkt <math>P(4|2)</math>.

# Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
# Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
# Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden g an, die zur Geraden f parallel verläuft.
# Gib die Gleichung derjenigen Ursprungsgeraden h an, die senkrecht zur Geraden f verläuft.

{{Lösung versteckt|
# <math>f(4) =1,5\cdot 4 -4</math> <math>2 =6 -4</math>    Die Funktion f liefert für den x-Wert <math>x = 4</math> den gleichen y-Wert, den der Punkt P als y-Koordinate besitzt. Daher liegt P auf f.
# Schnittpunkt mit der y-Achse: <math>(0|-4) </math> Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): <math>1,5x -4 = 0</math> <math>\Leftrightarrow 1,5x = 4</math> <math>\Leftrightarrow x = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} </math> <math>= 2,6666... </math> <math>= 2,\overline{6} </math> Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: <math>(2,\overline{6} | 0) </math>
# Ursprungsgerade g mit gleichem Steigungsfaktor <math>m=1,5</math> wie bei f, aber mit y-Achsenabschnitt <math>b=0</math>:    <math> g(x) =1,5 x </math>
# Formel für den Steigungsfaktor <math>m_h</math> einer Geraden h, die zur Geraden f (mit dem Steigungsfaktor <math> m_f </math>) senkrecht verläuft:     <math> m_h = -\frac{1}{m_f} </math>. Um <math> m_h </math> zu erhalten, nimmt man den Kehrwert von <math> m_f </math> und dreht zusätzlich noch das Vorzeichen um. <math>m_f = 1,5 = \frac{3}{2} </math> <math>\Rightarrow m_h = - \frac{2}{3} </math> Ergebnis: <math> h(x)= - \frac{2}{3}x </math>
| Lösung anzeigen
| Lösung verbergen
}}
|3=Üben}}

{{Box
|1=2. Aufgabe (Üben) - Gerade f und Punkt P
|2=
Gegeben sind die Gerade <math>f(x) = x +1</math> und der Punkt <math>P(-2|-0,5)</math>.
# Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P genau auf der Geraden f liegt, oder oberhalb oder unterhalb davon.
# Berechne die Schnittpunkte der Geraden f mit den Koordinatenachsen.
# Bestimme die Gleichung der Geraden g, die zur Geraden f parallel verläuft und durch den Punkt <math>P(-2|-0,5)</math> geht.
# Bestimme die Gleichung der Geraden h, die zur Geraden f senkrecht verläuft und durch den Punkt <math>P(-2|-0,5)</math> geht.

{{Lösung versteckt
|
# <math>f(-2) = -2 +1 = -1 </math> Der Punkt <math>P(-2|-0,5)</math> liegt 0,5 Einheiten oberhalb der Geraden f.
# Schnittpunkt mit y-Achse: <math>(0|1) </math> Schnittpunkt mit x-Achse (Nullstelle): <math>x +1 = 0</math> <math>\Leftrightarrow x = -1 </math>     Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet <math>(-1| 0) </math>
# Parallele g zu f durch P mit gleichem Steigungsfaktor <math>m=1</math>, aber (noch) unbekanntem y-Achsenabschnitt b: <math>g(x) = x + b </math> <math> g(-2) = -2 + b = -0,5 \Rightarrow b= 1,5 </math> Die Gerade g hat die Gleichung <math> g(x) =x +1,5 </math>
# Steigung der Geraden h: <math> m_h = -\frac{1}{1} = -1 </math> Zwischenlösung: <math>h(x)= -x +b </math> <math> P(-2|-0,5) </math> einsetzen: <math> -0,5 = -1 \cdot (-2) + b </math> <math>\Rightarrow b = -2,5 </math> Ergebnis: <math> h(x) = -x -2,5 </math>
| Lösung anzeigen
| Lösung verbergen
}}

|3=Üben}}

{{Box
|1=3. Aufgabe (Üben) - Gerade und Punkt
|2=
Die Punkte <math>P(-4| y_P)</math> und <math>Q(x_Q | 0,5)</math> liegen beide auf der Geraden <math>f(x) = -0,75x +2</math>.
# Bestimme die fehlenden Koordinaten <math>y_P</math> und <math>x_Q</math> der Punkte.
# Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt P geht.
{{Lösung versteckt
|
zu 1.

Berechnung von <math>y_P</math>: 
<math>f(x) = -0,75x +2</math> <math>f(-4) = -0,75 \cdot (-4) + 2 = 5 </math> 
Ergebnis: <math>y_P = 5 </math>

Berechnung von <math>x_Q</math>: 
<math>f(x) = -0,75x +2</math> 
   <math>0,5 = -0,75x +2</math>     {{!}} <math> -2 </math> 
<math>\Rightarrow-1,5 = -0,75x </math>     {{!}} geteilt durch (-0,75) 
<math>\Rightarrow x = 2 </math> 
Ergebnis: <math>x_Q = 2 </math>

zu 2.

<math> m_f = -0,75 = -\frac{3}{4} </math> 
Formel für Steigungsfaktor der zu f senkrechten Geraden: <math>m_h = -\frac{1}{m_f} </math>    (Kehrwert von <math> m_f </math> bilden und Vorzeichen umdrehen) 
<math>m_h = \frac{4}{3} </math> 
Zwischenergebnis: <math>h(x) = \frac{4}{3} + b</math>    {{!}} Koordinaten von <math>P(-4|5)</math> einsetzen: 
   <math>5 = \frac{4}{3}\cdot (-4) + b</math> 
<math>\Rightarrow \frac{15}{3} = -\frac{16}{3} + b</math>     {{!}} <math> + \frac{16}{3} </math> 
<math>\Rightarrow b = \frac{31}{3} = 10,\overline{3} </math> 
Ergebnis: <math>h(x) = \frac{4}{3}x + \frac{31}{3}</math>

| Lösung anzeigen
| Lösung verbergen
}}
|3=Üben}}

{{Box
|1=4. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q
|2=
# Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(2|3)</math> und <math>Q(3|5)</math> geht.
# Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
# Bestimme die Gleichung der Geraden h, die senkrecht zu f verläuft und durch den Punkt <math>P(2|3)</math> geht.

{{Lösung versteckt
|
zu 1.

Formel für Steigungsfaktor m einer Geraden, die durch die Punkte <math> P(x_P|y_P) </math> und <math> Q(x_Q|y_Q) </math> geht: <math> m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q -x_P} </math>

<math>y_P=3 </math> und <math>y_Q=5 </math>   <math>\; \Rightarrow \Delta y = y_Q - y_P = 5 -3 = 2</math>

<math>x_P=2 </math> und <math>x_Q=3 </math>   <math>\; \Rightarrow \Delta x = x_Q - x_P = 3 - 2 = 1</math>

<math> m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{1} = 2 </math>

Zwischenergebnis: <math>f(x) =2 x + b </math>

Um b zu berechnen, setzt man die Koordinaten eines der beiden Punkte ein, z.B. die von <math>P(2|3)</math>:

    <math> f(2) = 2 \cdot 2 + b </math> <math> \Leftrightarrow 3 = 4 + b </math> <math> \Leftrightarrow b= -1 </math>

Ergebnis: <math> f(x) = 2x -1 </math>

zu 2.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet: <math>(0|-1) </math>

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
<math> f(x) = 2x -1 </math> 
   <math> 0 = 2x -1 </math>     {{!}} <math> + 1 </math> 
<math>\Leftrightarrow 1 = 2x </math>     {{!}} <math> / 2 </math> 
<math>\Leftrightarrow x = 0,5 </math>     (Nullstelle) 
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet <math> (0,5|0) </math>

zu 3.

Ansatz: <math> h(x) = -\frac{1}{2} x + b </math>

Koordinaten von <math>P(2|3)</math> einsetzen:

<math> 3 = -\frac{1}{2} \cdot 2 + b </math> 
<math> 3 = -1 + b </math>     {{!}} <math> + 1 </math> 
<math> b = 4 </math> 
Ergebnis: <math> h(x) = -0,5 x + 4 </math>

| Lösung anzeigen
| Lösung verbergen
}}

|3=Üben}}

{{Box
|1=5. Aufgabe (Üben) - Gerade f durch Punkte P und Q
|2=
#Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden f, die durch die Punkte <math>P(-3|3)</math> und <math>Q(1|-5)</math> geht.
# Berechne ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
# Gib die Gleichung der Geraden g an, die parallel zur Geraden f verläuft und durch den Koordinatenursprung geht.

{{Lösung versteckt
|
zu 1.

<math> m = \frac{-5 -3}{1 -(-3)} = \frac{-8}{4} = -2 </math>

Zwischenlösung:
<math> f(x) =-2x + b </math>

Beispielsweise <math>P(-3|3)</math> einsetzen:

    <math> f(-3) = -2 \cdot (-3) + b </math> 
<math> \Rightarrow 3 = 6 + b </math> 
<math> \Rightarrow b = -3 </math>

Ergebnis: <math> f(x) = -2x -3 </math>

zu 2.

Schnittpunkt mit der y-Achse: <math> (0 | -3) </math> 
Schnittpunkt mit der x-Achse: 
<math> f(x) = -2x -3 </math> 
<math> 0 = -2x -3 </math> 
<math> \Rightarrow 3 = -2x </math> 
<math> \Rightarrow x = -1,5 </math> 
Ergebnis: Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet: <math> (-1,5 | 0) </math>.

zu 3.

<math> g(x) = -2x </math>

| Lösung anzeigen
| Lösung verbergen
}}

|3=Üben}}

Die Lösungen können auch mit den beiden folgenden GeoGebra-Applets überprüft werden:

====GeoGebra-Applet für lineare Funktion <math> f(x) =m\;x + b </math>====

<ggb_applet width="527" height="671" version="4.2" 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====GeoGebra-Applet für lineare Funktion <math> f(x) =m\;x + b </math> durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>====
<ggb_applet width="564" height="671" version="4.2" 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