Integralrechnung/Vorüberlegungen - Versionsgeschichte

Maria Eirich am 23. April 2022 um 16:40 Uhr

2022-04-23T16:40:13Z

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	[[Kategorie:Integralrechnung]]		[[Kategorie:Integralrechnung]]
	~~[[Kategorie:Mathematik]]~~

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2022-04-23T16:28:58Z

Maria Eirich verschob die Seite Integral/Vorüberlegungen nach Integralrechnung/Vorüberlegungen, ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen

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Version vom 23. April 2022, 16:28 Uhr

Karl Kirst: - ZUM2Edutags

2021-12-17T11:20:31Z

- ZUM2Edutags

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	{{Fortsetzung\|weiter=Ober- und Untersumme\|weiterlink=Integral/Ober- und Untersumme}}		{{Fortsetzung\|weiter=Ober- und Untersumme\|weiterlink=Integral/Ober- und Untersumme}}

	[[Kategorie:Integralrechnung]]		[[Kategorie:Integralrechnung]]
	~~[[Kategorie:ZUM2Edutags]]~~
	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]

Maria Eirich am 20. November 2018 um 19:36 Uhr

2018-11-20T19:36:13Z

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	<br>		<br>
	[[Bild:flaeche_summen.png\|zentriert\|350px]]		[[Bild:flaeche_summen.png\|zentriert\|350px]]

	}}		}}



	{{Fortsetzung\|weiter=Ober- und Untersumme\|weiterlink=Integral/Ober- und Untersumme}}		{{Fortsetzung\|weiter=Ober- und Untersumme\|weiterlink=Integral/Ober- und Untersumme}}
			[[Kategorie:Integralrechnung]]
			[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
			[[Kategorie:Mathematik]]

Maria Eirich am 20. November 2018 um 18:15 Uhr

2018-11-20T18:15:36Z

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	Um einer Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen vor, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!		Um einer Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen vor, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!
	<br>		<br>
	{{Box\|1=~~Aufgabe2~~\|2=		{{Box\|1=Aufgabe 2\|2=
	Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen. <br>		Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen. <br>
	Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!		Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!

Maria Eirich am 20. November 2018 um 17:44 Uhr

2018-11-20T17:44:02Z

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	Also: <math>A = A_{\mathrm{Rechteck}} + A_{\mathrm{Dreieck}} = 8 + 4 = 12.</math>		Also: <math>A = A_{\mathrm{Rechteck}} + A_{\mathrm{Dreieck}} = 8 + 4 = 12.</math>
	<br>		<br>

	'''Merke'''		'''Merke'''

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	'''Merke'''		'''Merke'''

	Mathematisch sehr viel einfacher zu handhaben sind jedoch Rechteckflächen. Man unterscheidet ''Obersumme'' und ''Untersumme''. Die gesuchte Fläche liegt dann zwischen Ober- und Untersumme.		Mathematisch sehr viel einfacher zu handhaben sind jedoch Rechteckflächen. Man unterscheidet ''Obersumme'' und ''Untersumme''. Die gesuchte Fläche liegt dann zwischen Ober- und Untersumme.
	<br>		<br>

Maria Eirich am 20. November 2018 um 17:42 Uhr

2018-11-20T17:42:48Z

Maria Eirich am 20. November 2018 um 17:41 Uhr

2018-11-20T17:41:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. November 2018, 17:41 Uhr
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	Das Ganze sähe dann mit <math>n = 6</math> gleich breiten Trapezstreifen folgendermaßen aus: <br>		Das Ganze sähe dann mit <math>n = 6</math> gleich breiten Trapezstreifen folgendermaßen aus: <br>
	[[Bild:flaeche_allgemein_summen.png\|zentriert\|350px]]		[[Bild:flaeche_allgemein_summen.png\|zentriert\|350px]]
	{{Merke~~-M\|~~
			'''Merke'''
	Mathematisch sehr viel einfacher zu handhaben sind jedoch Rechteckflächen. Man unterscheidet ''Obersumme'' und ''Untersumme''. Die gesuchte Fläche liegt dann zwischen Ober- und Untersumme.		Mathematisch sehr viel einfacher zu handhaben sind jedoch Rechteckflächen. Man unterscheidet ''Obersumme'' und ''Untersumme''. Die gesuchte Fläche liegt dann zwischen Ober- und Untersumme.
	<br>		<br>
	[[Bild:flaeche_summen.png\|zentriert\|350px]]		[[Bild:flaeche_summen.png\|zentriert\|350px]]
	}}
	}}}}		}}}}



	{{Fortsetzung\|weiter=Ober- und Untersumme\|weiterlink=/Ober- und Untersumme}}		{{Fortsetzung\|weiter=Ober- und Untersumme\|weiterlink=Integral/Ober- und Untersumme}}

Maria Eirich am 20. November 2018 um 17:37 Uhr

2018-11-20T17:37:41Z

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Zeile 11:		Zeile 11:
	Um einer Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen vor, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!		Um einer Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von Funktionen vor, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in Händen halten!
	<br>		<br>
	{{~~Aufgaben-M~~\|2\|		{{Box\|1=Aufgabe2\|2=
	Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen. <br>		Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen. <br>
	Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!		Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!
	}}		\|3=Arbeitsmethode}}

	<br>		<br>
	a) Konstante Funktion:   <math>f(x)=5</math>   in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>		a) Konstante Funktion:   <math>f(x)=5</math>   in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>
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	Also: <math>A = A_{\mathrm{Rechteck}} + A_{\mathrm{Dreieck}} = 8 + 4 = 12.</math>		Also: <math>A = A_{\mathrm{Rechteck}} + A_{\mathrm{Dreieck}} = 8 + 4 = 12.</math>
	<br>		<br>
	{{Merke~~-M\|~~		'''Merke'''

	Allgemein berechnet sich eine solche aus Rechteck- und Dreieckfläche zusammengesetzte Fläche natürlich nach der Formel <math>A = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot h \cdot b</math>, wenn <math>a</math> die Höhe des Rechtecks, <math>h</math> die Höhe des Dreiecks und <math>b</math> die Breite des Dreiecks bzw. Rechtecks sind. <br>		Allgemein berechnet sich eine solche aus Rechteck- und Dreieckfläche zusammengesetzte Fläche natürlich nach der Formel <math>A = a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot h \cdot b</math>, wenn <math>a</math> die Höhe des Rechtecks, <math>h</math> die Höhe des Dreiecks und <math>b</math> die Breite des Dreiecks bzw. Rechtecks sind. <br>
	Diese Summe aus den beiden Einzelflächen kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der unteren Rechteckfläche (Rechteck ABCD) und der oberen Rechteckfläche (Rechteck BCEF)! <br>		Diese Summe aus den beiden Einzelflächen kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der unteren Rechteckfläche (Rechteck ABCD) und der oberen Rechteckfläche (Rechteck BCEF)! <br>
	Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH.		Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH.
	[[Bild:Flaeche_mittelwert.png\|zentriert\|350px]]		[[Bild:Flaeche_mittelwert.png\|zentriert\|350px]]
	}}
	}}}}		}}}}
	<br>		<br>
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	}}		}}
	}}}}		}}}}
	~~<br><br><br>~~
	~~<div align="center">~~
	~~[[../~~\|~~<<Zurück<<]]     [[../~~Ober- und Untersumme\|~~>>Weiter>>]]~~
	</~~div>~~		{{Fortsetzung\|weiter=Ober- und Untersumme\|weiterlink=/Ober- und Untersumme}}
	~~<br>~~

Maria Eirich am 20. November 2018 um 16:51 Uhr

2018-11-20T16:51:07Z

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			{{Navigation verstecken\|{{Lernpfad Integral}}}}
	==Vorüberlegungen: Vom Speziellen zum Allgemeinen==		==Vorüberlegungen: Vom Speziellen zum Allgemeinen==
	{{blau\|Auf der ersten Seite hast Du gelernt, dass der zurückgelegte Weg in einem Diagramm, in dem die Geschwindigkeit gegen die Zeit aufgetragen ist, gleich dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ist.}}		{{blau\|Auf der ersten Seite hast Du gelernt, dass der zurückgelegte Weg in einem Diagramm, in dem die Geschwindigkeit gegen die Zeit aufgetragen ist, gleich dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ist.}}
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	</div>		</div>
	<br>		<br>
	~~{{Navigation Lernpfad Integral}}~~

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	{{Navigation verstecken\|{{Lernpfad Integral}}}}		{{Navigation verstecken\|{{Lernpfad Integral}}}}
	==Vorüberlegungen: Vom Speziellen zum Allgemeinen==		==Vorüberlegungen: Vom Speziellen zum Allgemeinen==
	~~{{blau\|~~Auf der ersten Seite hast Du gelernt, dass der zurückgelegte Weg in einem Diagramm, in dem die Geschwindigkeit gegen die Zeit aufgetragen ist, gleich dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ist.}}		Auf der ersten Seite hast Du gelernt, dass der zurückgelegte Weg in einem Diagramm, in dem die Geschwindigkeit gegen die Zeit aufgetragen ist, gleich dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ist.
	<br><br>		<br><br>
	{{Frage\|Aber wie kann man diesen Flächeninhalt denn nun genau bestimmen bzw. berechnen?}}		{{Frage\|Aber wie kann man diesen Flächeninhalt denn nun genau bestimmen bzw. berechnen?}}
Zeile 21:		Zeile 21:
	[[Bild:const_fkt.png\|zentriert\|500px]]		[[Bild:const_fkt.png\|zentriert\|500px]]
	<br>		<br>
	{{Lösung versteckt\|~~{{Lösung\|~~Flächeninhalt: <math>A = 20.</math> <br>		{{Lösung versteckt\|1=Flächeninhalt: <math>A = 20.</math> <br>
	Die Fläche ist rechteckig, also berechnet sich der Flächeninhalt nach der Formel <math>A = </math> Breite <math>\cdot</math> Höhe. <br>		Die Fläche ist rechteckig, also berechnet sich der Flächeninhalt nach der Formel <math>A = </math> Breite <math>\cdot</math> Höhe. <br>
	Die Breite ist dabei durch die Grenzen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> festgelegt, misst also		Die Breite ist dabei durch die Grenzen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> festgelegt, misst also
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	Die Höhe ist durch den (konstanten) Funktionswert <math>f(x)=5</math> festgelegt. <br>		Die Höhe ist durch den (konstanten) Funktionswert <math>f(x)=5</math> festgelegt. <br>
	Also: <math>A=4 \cdot 5 = 20.</math>		Also: <math>A=4 \cdot 5 = 20.</math>
	}}}}		}}
	<br>		<br>
	b) Lineare, nicht-konstante Funktion:   <math>f(x)= 0,5 x + 1</math>   in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>		b) Lineare, nicht-konstante Funktion:   <math>f(x)= 0,5 x + 1</math>   in den Grenzen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=6</math>
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	[[Bild:lin_fkt.png\|zentriert\|500px]]		[[Bild:lin_fkt.png\|zentriert\|500px]]
	<br>		<br>
	{{Lösung versteckt\|~~{{Lösung\|~~Flächeninhalt: <math>A = 12.</math> <br>		{{Lösung versteckt\|1=Flächeninhalt: <math>A = 12.</math> <br>
	Die Fläche lässt sich aufteilen in einen rechteckigen Teil ( Höhe <math> = y_1 = 2,</math> Breite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=8</math> <br>		Die Fläche lässt sich aufteilen in einen rechteckigen Teil ( Höhe <math> = y_1 = 2,</math> Breite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=8</math> <br>
	und einen dreieckigen Teil ( Höhe <math> = y_2-y_1 = 2,</math> Grundseite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=4</math>. <br>		und einen dreieckigen Teil ( Höhe <math> = y_2-y_1 = 2,</math> Grundseite <math> = x_2-x_1 = 4</math> ) mit <math>A=4</math>. <br>
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	[[Bild:Flaeche_mittelwert.png\|zentriert\|350px]]		[[Bild:Flaeche_mittelwert.png\|zentriert\|350px]]

	}}}}		}}
	<br>		<br>
	c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine Möglichkeit beschreiben, wie man die markierte Fläche zumindest näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine		c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine Möglichkeit beschreiben, wie man die markierte Fläche zumindest näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine
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	[[Bild:flaeche_allgemein.png\|zentriert\|500px]]		[[Bild:flaeche_allgemein.png\|zentriert\|500px]]
	<br>		<br>
	{{Lösung versteckt\|~~{{Lösung\|~~Man könnte die Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> in viele schmale Trapeze aufteilen, deren Fläche berechnen und die gesuchte Fläche durch die Summe der Trapezflächen (''Trapezsumme'') annähern.		{{Lösung versteckt\|1=Man könnte die Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> in viele schmale Trapeze aufteilen, deren Fläche berechnen und die gesuchte Fläche durch die Summe der Trapezflächen (''Trapezsumme'') annähern.
	<br>		<br>
	Das Ganze sähe dann mit <math>n = 6</math> gleich breiten Trapezstreifen folgendermaßen aus: <br>		Das Ganze sähe dann mit <math>n = 6</math> gleich breiten Trapezstreifen folgendermaßen aus: <br>
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	[[Bild:flaeche_summen.png\|zentriert\|350px]]		[[Bild:flaeche_summen.png\|zentriert\|350px]]

	}}}}		}}



	{{Fortsetzung\|weiter=Ober- und Untersumme\|weiterlink=Integral/Ober- und Untersumme}}		{{Fortsetzung\|weiter=Ober- und Untersumme\|weiterlink=Integral/Ober- und Untersumme}}