Integralrechnung/Ober- und Untersumme - Versionsgeschichte

Maria Eirich am 23. April 2022 um 16:40 Uhr

2022-04-23T16:40:33Z

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	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
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2022-04-23T16:28:57Z

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Version vom 23. April 2022, 16:28 Uhr

Karl Kirst: - ZUM2Edutags

2021-12-17T11:21:32Z

- ZUM2Edutags

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	[[Kategorie:Integralrechnung]]		[[Kategorie:Integralrechnung]]
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	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:GeoGebra]]		[[Kategorie:GeoGebra]]

Maria Eirich am 20. November 2018 um 19:37 Uhr

2018-11-20T19:37:23Z

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	<br><br>		<br><br>
	<center><ggb_applet id="GVbYwQWY" width="640" height="400" border="888888" /></center>		<center><ggb_applet id="GVbYwQWY" width="640" height="400" border="888888" /></center>
	~~<br>~~

	~~<br>~~
	{{Lösung versteckt\|1=		{{Lösung versteckt\|1=
	# Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl <math>n</math> der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz.		# Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl <math>n</math> der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz.
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	# Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste <math>n</math> unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang <math>n \to \infty</math>.		# Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste <math>n</math> unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang <math>n \to \infty</math>.
	}}		}}
	~~<br><br><br>~~

	{{Fortsetzung\|weiter=Flächen bestimmen\|weiterlink=Integral/Flächen bestimmen}}		{{Fortsetzung\|weiter=Flächen bestimmen\|weiterlink=Integral/Flächen bestimmen}}

Maria Eirich am 20. November 2018 um 19:36 Uhr

2018-11-20T19:36:48Z

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	{{Fortsetzung\|weiter=Flächen bestimmen\|weiterlink=Integral/Flächen bestimmen}}		{{Fortsetzung\|weiter=Flächen bestimmen\|weiterlink=Integral/Flächen bestimmen}}

			[[Kategorie:Integralrechnung]]
			[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
			[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:Interaktive Übung]]
			[[Kategorie:GeoGebra]]

Maria Eirich am 20. November 2018 um 18:25 Uhr

2018-11-20T18:25:05Z

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	\|3=Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}
	<br><br>		<br><br>
	~~<center><ggb_applet height="400" width="640" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Integral1_neu.ggb" /></center>~~
	<center><ggb_applet id="GVbYwQWY" width="640" height="400" border="888888" /></center>		<center><ggb_applet id="GVbYwQWY" width="640" height="400" border="888888" /></center>
	<br>		<br>

Maria Eirich am 20. November 2018 um 18:24 Uhr

2018-11-20T18:24:35Z

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	<br><br>		<br><br>
	<center><ggb_applet height="400" width="640" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Integral1_neu.ggb" /></center>		<center><ggb_applet height="400" width="640" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Integral1_neu.ggb" /></center>
			<center><ggb_applet id="GVbYwQWY" width="640" height="400" border="888888" /></center>
	<br>		<br>
	~~'''Applet auf geogebra.org:''' [https://www.geogebra.org/m/GVbYwQWY Link]~~
	~~<br>~~
	<br>		<br>
	{{Lösung versteckt\|1=		{{Lösung versteckt\|1=

Maria Eirich am 20. November 2018 um 18:19 Uhr

2018-11-20T18:19:42Z

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	# Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke.		# Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke.
	# Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre?		# Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre?
	\|Arbeitsmethode}}		\|3=Arbeitsmethode}}
	<br><br>		<br><br>
	<center><ggb_applet height="400" width="640" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Integral1_neu.ggb" /></center>		<center><ggb_applet height="400" width="640" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Integral1_neu.ggb" /></center>

Maria Eirich am 20. November 2018 um 18:19 Uhr

2018-11-20T18:19:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. November 2018, 18:19 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.		Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.

	~~{{blau\|~~
	Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden!		Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden!

	Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.		Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.
	}}
	<br>		<br>
	{{~~Aufgaben~~\|3\|		{{Box\|1=Aufgabe 3\|2=
	Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. <br>		Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. <br>
	Gezeigt ist der Graph der Funktion <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].		Gezeigt ist der Graph der Funktion <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].
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	# Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke.		# Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke.
	# Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre?		# Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre?
	}}		\|Arbeitsmethode}}
	<br><br>		<br><br>
	<center><ggb_applet height="400" width="640" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Integral1_neu.ggb" /></center>		<center><ggb_applet height="400" width="640" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Integral1_neu.ggb" /></center>
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	<br>		<br>
	<br>		<br>
	{{Lösung versteckt\|~~{{Lösung\|~~		{{Lösung versteckt\|1=
	# Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl <math>n</math> der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz.		# Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl <math>n</math> der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz.
	# Je größer die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke wird, desto mehr nähern sich O und U einander an und desto kleiner wird somit deren Differenz. Durch die Vergrößerung von <math>n</math> wird die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser beschreiben, durch seine Verringerung schlechter. Das kommt daher, dass durch immer schmaler werdende Rechtecke der Fehler durch die "übrigbleibenden" Flächen an den oberen Rechteckrändern immer kleiner wird.		# Je größer die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke wird, desto mehr nähern sich O und U einander an und desto kleiner wird somit deren Differenz. Durch die Vergrößerung von <math>n</math> wird die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser beschreiben, durch seine Verringerung schlechter. Das kommt daher, dass durch immer schmaler werdende Rechtecke der Fehler durch die "übrigbleibenden" Flächen an den oberen Rechteckrändern immer kleiner wird.
	# Die Ergebnisse von 1. und 2. gelten für beliebige Intervalle!		# Die Ergebnisse von 1. und 2. gelten für beliebige Intervalle!
	# Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste <math>n</math> unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang <math>n \to \infty</math>.		# Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste <math>n</math> unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang <math>n \to \infty</math>.
	}}}}		}}
	<br><br><br>		<br><br><br>
	~~<div align="center">~~
	~~[[../Vorüberlegungen~~\|~~<<Zurück<<]]     [[../~~Flächen bestimmen\|~~>>Weiter>>]]~~		{{Fortsetzung\|weiter=Flächen bestimmen\|weiterlink=Integral/Flächen bestimmen}}
	</~~div>~~

Maria Eirich am 20. November 2018 um 16:54 Uhr

2018-11-20T16:54:01Z

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			{{Navigation verstecken\|{{Lernpfad Integral}}}}
	<!--==Ober- und Untersumme==-->		<!--==Ober- und Untersumme==-->
	Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.		Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.
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	[[../Vorüberlegungen\|<<Zurück<<]]     [[../Flächen bestimmen\|>>Weiter>>]]		[[../Vorüberlegungen\|<<Zurück<<]]     [[../Flächen bestimmen\|>>Weiter>>]]
	</div>		</div>
	~~<br>~~
	~~{{Navigation Lernpfad Integral}}~~