Integralrechnung/Hauptsatz - Versionsgeschichte

Maria Eirich am 23. April 2022 um 16:45 Uhr

2022-04-23T16:45:38Z

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	Die obere Grenze des Integrals ist die Variable <math>x</math>. Wenn nun das Differential und die Funktion ebenfalls in x variabel wären, dann könnte man die beiden Variablen nicht mehr voneinander unterscheiden! Jedoch müssen sie unterschieden werden, da sie ja i.A. verschiedene Werte annehmen, vgl. dazu auch die Definition des bestimmten Integrals. Dort ist die obere Grenze durch die feste Zahl <math>b</math> gegeben während die Integrationsvariable <math>x</math> ist. Zwar durchläuft <math>x</math> das ganze Intervall <math>[a;b]</math>, jedoch sind seine Werte doch i.A. von <math>b</math> verschieden. Erst am Ende des Intervalls sind beide gleich! <br>		Die obere Grenze des Integrals ist die Variable <math>x</math>. Wenn nun das Differential und die Funktion ebenfalls in x variabel wären, dann könnte man die beiden Variablen nicht mehr voneinander unterscheiden! Jedoch müssen sie unterschieden werden, da sie ja i.A. verschiedene Werte annehmen, vgl. dazu auch die Definition des bestimmten Integrals. Dort ist die obere Grenze durch die feste Zahl <math>b</math> gegeben während die Integrationsvariable <math>x</math> ist. Zwar durchläuft <math>x</math> das ganze Intervall <math>[a;b]</math>, jedoch sind seine Werte doch i.A. von <math>b</math> verschieden. Erst am Ende des Intervalls sind beide gleich! <br>
	Das Umbenennen der Integrationsvariable stellt lediglich eine formale Änderung dar und ist jederzeit erlaubt, wenn auch die Variable des Integranden geändert wird. So z.B. gilt für jedes bestimmte Integral einer Funktion <math>f</math>:		Das Umbenennen der Integrationsvariable stellt lediglich eine formale Änderung dar und ist jederzeit erlaubt, wenn auch die Variable des Integranden geändert wird. So z.B. gilt für jedes bestimmte Integral einer Funktion <math>f</math>:
	<div align="center>		<div align="center">
	<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \int \limits_a^b f(t) \ \mathrm{d}t = \int \limits_a^b f(s) \ \mathrm{d}s = \int \limits_a^b f(\varphi) \ \mathrm{d}\varphi = \dots</math>		<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \int \limits_a^b f(t) \ \mathrm{d}t = \int \limits_a^b f(s) \ \mathrm{d}s = \int \limits_a^b f(\varphi) \ \mathrm{d}\varphi = \dots</math>
	</div>		</div>
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	[[Kategorie:Integralrechnung]]		[[Kategorie:Integralrechnung]]
	~~[[Kategorie:Mathematik]]~~

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2022-04-23T16:28:56Z

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Karl Kirst: - ZUM2Edutags

2021-12-17T11:22:24Z

- ZUM2Edutags

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	{{Fortsetzung\|weiter=Integrationsregeln\|weiterlink=Integral/Integrationsregeln}}		{{Fortsetzung\|weiter=Integrationsregeln\|weiterlink=Integral/Integrationsregeln}}

	[[Kategorie:Integralrechnung]]		[[Kategorie:Integralrechnung]]
	~~[[Kategorie:ZUM2Edutags]]~~
	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]

Maria Eirich am 20. November 2018 um 19:41 Uhr

2018-11-20T19:41:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. November 2018, 19:41 Uhr
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	{{Fortsetzung\|weiter=Integrationsregeln\|weiterlink=Integral/Integrationsregeln}}		{{Fortsetzung\|weiter=Integrationsregeln\|weiterlink=Integral/Integrationsregeln}}
			[[Kategorie:Integralrechnung]]
			[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
			[[Kategorie:Mathematik]]

Maria Eirich am 20. November 2018 um 19:21 Uhr

2018-11-20T19:21:43Z

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	<br>		<br>
	==Beweis des Hauptsatzes==		==Beweis des Hauptsatzes==
	Der Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist keine Pflicht für den Grundkurs, jedoch gebe ich hier einen Link zu einem sehr anschaulichen [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Beweis] mit Geogebra.		Der Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist keine Pflicht für den Grundkurs, jedoch gebe ich hier einen Link zu einem sehr anschaulichen [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm '''Beweis mit Geogebra'''] .

	{{Fortsetzung\|weiter=Integrationsregeln\|weiterlink=Integral/Integrationsregeln}}		{{Fortsetzung\|weiter=Integrationsregeln\|weiterlink=Integral/Integrationsregeln}}

Maria Eirich am 20. November 2018 um 19:21 Uhr

2018-11-20T19:21:13Z

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	<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]^b_a = F(b) - F(a)</math>		<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]^b_a = F(b) - F(a)</math>
	</div>		</div>
	\|3=~~Merke~~}}		\|3=Merksatz}}
	<br>		<br>
	Im ersten Teil des Hauptsatzes (oder auch ''Fundamentalsatz der Analysis'' genannt) steht unter dem Integral das Differential d<math>t</math> und der Integrand <math>f(t)</math>. Dies hat folgenden Grund: <br>		Im ersten Teil des Hauptsatzes (oder auch ''Fundamentalsatz der Analysis'' genannt) steht unter dem Integral das Differential d<math>t</math> und der Integrand <math>f(t)</math>. Dies hat folgenden Grund: <br>

Maria Eirich am 20. November 2018 um 19:20 Uhr

2018-11-20T19:20:33Z

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	==Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung==		==Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung==
	Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen.		Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen.
	{{~~Kastendesign1~~\|		{{Box\|1=Zusammenfassung\|2=
	~~BORDER~~ = ~~cornflowerblue~~\|
	~~BACKGROUND = cornflowerblue\|~~
	~~BREITE =100%\|~~
	~~INHALT~~=
	* Das '''bestimmte Integral''' der Funktion <math>f(x)</math> ist gleich der Summe der orientierten (mit Vorzeichen versehenen) Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse in den angegebenen Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>.		* Das '''bestimmte Integral''' der Funktion <math>f(x)</math> ist gleich der Summe der orientierten (mit Vorzeichen versehenen) Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse in den angegebenen Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>.
	* Die "Flächeninhaltsfunktion" <math>F(x)</math> beschreibt den (orientierten) Flächeninhalt zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse.		* Die "Flächeninhaltsfunktion" <math>F(x)</math> beschreibt den (orientierten) Flächeninhalt zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse.
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	</div>		</div>
	* Wenn <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, dann ist <math>F(x) + c</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> ebenfalls eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>.		* Wenn <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, dann ist <math>F(x) + c</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> ebenfalls eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>.
	\|		\|3=Unterrichtsidee }}
	~~BILD~~=~~Nuvola_apps_edu_miscellaneous.png\|~~
	~~ÜBERSCHRIFT=Zusammenfassung\|~~
	}}
	<br><br>		<br><br>
	Wenn man die Punkte in der Zusammenfassung oben richtig kombiniert, dann erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:		Wenn man die Punkte in der Zusammenfassung oben richtig kombiniert, dann erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
	<br>		<br>
	{{~~Kastendesign1~~\|		{{Box\|1=Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung\|2=
	~~BORDER~~ = ~~#97BF87~~\|
	~~BACKGROUND = #AADDAA\|~~
	~~BREITE =100%\|~~
	~~INHALT~~=
	a)   Sei <math>f</math> eine stetige (mit durchgehendem Graphen) Funktion mit reellen Funktionswerten. Dann gilt mit jeder konstanten Zahl <math>x_0 \in [a;b]</math>:		a)   Sei <math>f</math> eine stetige (mit durchgehendem Graphen) Funktion mit reellen Funktionswerten. Dann gilt mit jeder konstanten Zahl <math>x_0 \in [a;b]</math>:
	<div align="center">		<div align="center">
Zeile 45:		Zeile 34:
	<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]^b_a = F(b) - F(a)</math>		<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]^b_a = F(b) - F(a)</math>
	</div>		</div>
	\|		\|3=Merke}}
	~~BILD~~=~~Nuvola_Icon_Kate.png\|~~
	~~ÜBERSCHRIFT=Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung\|~~
	}}
	<br>		<br>
	Im ersten Teil des Hauptsatzes (oder auch ''Fundamentalsatz der Analysis'' genannt) steht unter dem Integral das Differential d<math>t</math> und der Integrand <math>f(t)</math>. Dies hat folgenden Grund: <br>		Im ersten Teil des Hauptsatzes (oder auch ''Fundamentalsatz der Analysis'' genannt) steht unter dem Integral das Differential d<math>t</math> und der Integrand <math>f(t)</math>. Dies hat folgenden Grund: <br>
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	==Beweis des Hauptsatzes==		==Beweis des Hauptsatzes==
	Der Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist keine Pflicht für den Grundkurs, jedoch gebe ich hier einen Link zu einem sehr anschaulichen [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Beweis] mit Geogebra.		Der Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist keine Pflicht für den Grundkurs, jedoch gebe ich hier einen Link zu einem sehr anschaulichen [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Beweis] mit Geogebra.
	~~<br><br><br>~~
	~~<div align~~=~~"center">~~		{{Fortsetzung\|weiter=Integrationsregeln\|weiterlink=Integral/Integrationsregeln}}
	~~[[../Aufgaben~~\|~~<<Zurück<<]]     [[..~~/Integrationsregeln~~\|>>Weiter>>]]~~
	~~</div>~~
	~~<br>~~

Maria Eirich am 20. November 2018 um 17:03 Uhr

2018-11-20T17:03:34Z

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	=Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung=		{{Navigation verstecken\|{{Lernpfad Integral}}}}

			==Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung==
	Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen.		Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen.
	{{Kastendesign1\|		{{Kastendesign1\|
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	</div>		</div>
	<br>		<br>
	~~{{Navigation Lernpfad Integral}}~~

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2018-11-08T11:14:50Z

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