Funktionen - Versionsgeschichte

Ukalina am 24. Februar 2026 um 09:02 Uhr

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Ukalina am 26. Januar 2026 um 09:46 Uhr

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	{{Box\|Mathematische Funktionen		{{Box\|Mathematische Funktionen
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	* In der Mathematik spielt der Begriff der '''Funktion''' eine zentrale Rolle. Eine Funktion beschreibt, in welcher Weise eine Größe <math> y </math> von einer anderen Größe <math> x </math> abhängt, z.B. die Entfernung <math> y </math> eines zu Boden fallenden Gegenstandes in Abhängigkeit vom Zeitpunkt <math> x </math> der Messung ~~oder~~ die Höhe der Einnahmen <math> y </math> bei einer Veranstaltung in Abhängigkeit von der Anzahl <math> x </math> der verkauften Eintrittskarten.		* In der Mathematik spielt der Begriff der '''Funktion''' eine zentrale Rolle. Eine Funktion beschreibt, in welcher Weise eine Größe <math> y </math> von einer anderen Größe <math> x </math> abhängt.

			<!--
			* Obwohl die Sachzusammenhänge, in denen man die Abhängigkeit von Größen durch Funktionen darstellt, ganz unterschiedlich sein können (z.B. Naturwissenschaften, Technik, Medizin, Wirtschaft, ...) sind doch die mathematischen Werkzeuge in ganz unterschiedlichen n stammen: Naturwissenschaften, Technik, Medizin, Wirtschaft, ...So kann man z.B. die Entfernung <math> y </math> eines zu Boden fallenden Gegenstandes in Abhängigkeit vom Zeitpunkt <math> x </math> der Messung durch eine Funktion beschreiben, aber auch die Höhe der Einnahmen <math> y </math> bei einer Veranstaltung in Abhängigkeit von der Anzahl <math> x </math> der verkauften Eintrittskarten.

			* Je nachdem, in welchem Sachzusammenhang () die Beziehungen zwischen Größen dargestellt werden, gibt es unterschiedliche Klassen von Funktionen, um die jeweiligen Zusammenhänge mathematisch zu beschreiben - man sagt auch, zu "''modellieren''".
			-->

	\|Lernpfad}}		\|Lernpfad}}

	====Lernpfade zum Thema Funktionen====		====Lernpfade zum Thema Funktionen====
	*[[Lernpfad Lineare Funktionen\|Lineare Funktionen]]		* [[Lernpfad Lineare Funktionen\|Lernpfad Lineare Funktionen]]
			* [[Lernpfad Quadratische Funktionen\|Lernpfad Quadratische Funktionen]]
	*[[Lernpfad Quadratische Funktionen\|Quadratische Funktionen]]		* [[Lernpfad Polynomfunktionen\|Lernpfad Polynomfunktionen]]
			* [[Lernpfad Exponentialfunktionen\|Lernpfad Exponentialfunktionen]]
	*[[Lernpfad Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]		* [[Lernpfad Gebrochenrationale Funktionen\|Lernpfad Gebrochenrationale Funktionen]]
			* [[Lernpfad Trigonometrische Funktionen\|Lernpfad Trigonometrische Funktionen]]


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	====Beispiele für Funktionenklassen====		====Beispiele für Funktionenklassen====
	#Die Funktion <math>g</math> mit der Funktionsgleichung <math>g(x) =2 \cdot x + 1</math> ist ein Beispiel für eine ''lineare Funktion''. Bei ihr wird jeder x-Wert erst verdoppelt und anschließend das Ergebnis dann noch um 1 erhöht. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also zu dem y-Wert <math>f(5) = 2 \cdot 5 +1 = 11</math> und den x-Wert <math>x=-2,5</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) = 2 \cdot (-2,5) +1 = -4</math>.		; Lineare Funktionen
	#Die Funktion<math>f</math> mit der Funktionsgleichung <math>f(x) =x^2 -4\cdot x +3</math> ist ein Beispiel für eine ''quadratische Funktion''. Bei ihr wird jeder x-Wert erst quadriert, dann das Vierfache von x subtrahiert und anschließend 3 addiert. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert <math>f(5) = 5^2 -4\cdot 5 +3 =25 -20 +3 = 8</math> und den x-Wert <math>x=-2,5</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) =(-2,5)^2 -4 \cdot (-2,5) +3 =6,25 +10 +3 = 19,25</math>.		: Die Funktion <math>g</math> mit der Funktionsgleichung <math>g(x) =2 \cdot x + 1</math> ist ein Beispiel für eine ''lineare Funktion''. Bei ihr wird jeder x-Wert erst verdoppelt und anschließend das Ergebnis dann noch um 1 erhöht. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also zu dem y-Wert <math>f(5) = 2 \cdot 5 +1 = 11</math> und den x-Wert <math>x=-2,5</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) = 2 \cdot (-2,5) +1 = -4</math>.
	#Die Funktion<math>h</math> mit der Funktionsgleichung <math>h(x) =\frac{1}{x}</math> ist ein Beispiel für eine ''~~gebrochen rationale~~ Funktion''. Sie macht aus jedem x-Wert (außer dem Wert 0) den entsprechenden Funktionswert y, indem sie den Kehrwert von x bildet. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert <math>h(5) = \frac{1}{5} = 0,2</math> und den x-Wert <math>x=-2,5 =-\frac{5}{2}</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) = -\frac{2}{5} = -0,4</math>. Den x-Wert 0 kann diese Funktion allerdings nicht verarbeiten, denn durch die Zahl 0 darf man bekanntlich nicht dividieren.		; Quadratische Funktionen
			: Die Funktion<math>f</math> mit der Funktionsgleichung <math>f(x) =x^2 -4\cdot x +3</math> ist ein Beispiel für eine ''quadratische Funktion''. Bei ihr wird jeder x-Wert erst quadriert, dann das Vierfache von x subtrahiert und anschließend 3 addiert. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert <math>f(5) = 5^2 -4\cdot 5 +3 =25 -20 +3 = 8</math> und den x-Wert <math>x=-2,5</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) =(-2,5)^2 -4 \cdot (-2,5) +3 =6,25 +10 +3 = 19,25</math>.
			; Gebrochenrationale Funktionen
			: Die Funktion<math>h</math> mit der Funktionsgleichung <math>h(x) =\frac{1}{x}</math> ist ein Beispiel für eine ''gebrochenrationale Funktion''. Sie macht aus jedem x-Wert (außer dem Wert 0) den entsprechenden Funktionswert y, indem sie den Kehrwert von x bildet. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert <math>h(5) = \frac{1}{5} = 0,2</math> und den x-Wert <math>x=-2,5 =-\frac{5}{2}</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) = -\frac{2}{5} = -0,4</math>. Den x-Wert 0 kann diese Funktion allerdings nicht verarbeiten, denn durch die Zahl 0 darf man bekanntlich nicht dividieren.

	====Funktion als "eindeutige Zuordnung"====		====Funktion als "eindeutige Zuordnung"====
	Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man einen bestimmten x-Wert in eine Funktion hineinsteckt, z.B. den Wert <math>x=3</math> in die Funktion <math>f(x) =x^2</math>, dann kann man sicher sein, dass auch immer der gleiche y-Wert wieder heraus kommt - in diesem Beispiel der Wert <math>y=9</math>. Jedem x-Wert wird also eindeutig genau ein y-Wert zugeordnet.<br />		Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man einen bestimmten x-Wert in eine Funktion hineinsteckt, z.B. den Wert <math>x=3</math> in die Funktion <math>f(x) =x^2</math>, dann kann man sicher sein, dass auch immer der gleiche y-Wert wieder heraus kommt - in diesem Beispiel der Wert <math>y=9</math>. Jedem x-Wert wird also eindeutig genau ein y-Wert zugeordnet.<br />
	Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert kann durchaus der Funktionswert von verschiedenen x-Werten sein, d.h. es kann mehrere x-Werte geben, denen der gleiche y-Wert zugeordnet wird. So wird z.B. bei der Funktion <math>f(x) =x^2</math> der y-Wert <math>y=9</math> als Funktionswert sowohl dem x-Wert <math>x=-3</math> als auch dem x-Wert <math>x=3</math> zugeordnet, denn <math>f(-3)=(-3)^2 = 9</math> ("Minus mal minus ergibt plus.") und <math>f(3) = 3^2 = 9</math>.		Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert kann durchaus der Funktionswert von verschiedenen x-Werten sein, d.h. es kann mehrere x-Werte geben, denen der gleiche y-Wert zugeordnet wird. So wird z.B. bei der Funktion <math>f(x) =x^2</math> der y-Wert <math>y=9</math> als Funktionswert sowohl dem x-Wert <math>x=-3</math> als auch dem x-Wert <math>x=3</math> zugeordnet, denn <math>f(-3)=(-3)^2 = 9</math> ("Minus mal minus ergibt plus.") und <math>f(3) = 3^2 = 9</math>.


			====Funktionen als mathematisches "Modellierungswerkzeug"====

	{{Box		{{Box

Ukalina am 26. Januar 2026 um 09:19 Uhr

2026-01-26T09:19:59Z

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	~~====Unterkapitel zum Thema Funktionen====~~
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	{{Box\|Mathematische Funktionen		{{Box\|Mathematische Funktionen
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	* In der Mathematik ~~sind Funktionen ein zentrales Thema~~.		* In der Mathematik spielt der Begriff der '''Funktion''' eine zentrale Rolle. Eine Funktion beschreibt, in welcher Weise eine Größe <math> y </math> von einer anderen Größe <math> x </math> abhängt, z.B. die Entfernung <math> y </math> eines zu Boden fallenden Gegenstandes in Abhängigkeit vom Zeitpunkt <math> x </math> der Messung oder die Höhe der Einnahmen <math> y </math> bei einer Veranstaltung in Abhängigkeit von der Anzahl <math> x </math> der verkauften Eintrittskarten.
	\|Lernpfad}}		\|Lernpfad}}

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	\|1=Begriffe, die im Zusammenhang mit Funktionen häufig vorkommen		\|1=Begriffe, die im Zusammenhang mit Funktionen häufig vorkommen
	\|2=		\|2=
	; Argument <math>x</math>		; Argument oder Stelle <math>x</math>
	: x-Wert, input der Funktion		: x-Wert, input der Funktionsmaschine
			; Definitionsmenge oder Definitionsbereich <math> D_f </math>
			: Menge aller x-Werte, die für die Funktion <math> f </math> zugelassen sind
	; Funktionswert an der Stelle x <math>f(x)</math>		; Funktionswert an der Stelle x <math>f(x)</math>
	: derjenige y-Wert, der dem x-Wert <math>x</math> von der Funktion <math>f</math> zugeordnet wird		: y-Wert, derjenige y-Wert, der dem x-Wert <math>x</math> von der Funktion <math>f</math> zugeordnet wird, output der Funktionsmaschine
			; Zielmenge oder Wertebereich <math> W_f </math>
			: Menge aller y-Werte, die als Funktionswerte der Funktion <math>f</math> vorkommen
	; Funktionsterm, z.B. <math>x^2</math>		; Funktionsterm, z.B. <math>x^2</math>
	: Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte		: Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte zu y-Werten
	; Funktionsgleichung, z.B. <math>f(x)=x^2</math>		; Funktionsgleichung, z.B. <math>f(x)=x^2</math>
	: Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet		: Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet
	\|3=Merksatz}}		\|3=Merksatz}}



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	~~{{Box\|Testbox 1\|Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-graduation-cap fa-2x~~\|\|~~Icon~~=~~fa fa-graduation-cap fa-2x}}~~		\|vorher=zurück
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	~~{{Box~~\|~~Testbox 2~~ \|~~Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-universal-access fa-2x~~\|~~\|Icon~~=~~fa fa-universal-access fa-2x}}~~		\|weiter=weiter
			\|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen
	~~{{Box\|Testbox 3 \|Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-binoculars fa-2x\|~~\|~~Icon~~=~~fa fa fa-binoculars fa-2x~~}}		\|übersicht=Kapitelübersicht
			\|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}
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	~~-->~~[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]		[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]

FrauSchütze: + Kategorie

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	-->		-->[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]

Ukalina am 23. Januar 2026 um 18:53 Uhr

2026-01-23T18:53:16Z

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	\|übersicht=Kapitelübersicht		\|übersicht=Kapitelübersicht
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	{{Box\|Mathematische Funktionen		{{Box\|Mathematische Funktionen
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	* Funktionen ~~sind~~ ein zentrales Thema ~~in der Schulmathematik~~.		* In der Mathematik sind Funktionen ein zentrales Thema.
	\|Lernpfad}}		\|Lernpfad}}

	====Lernpfade zum Thema Funktionen====		====Lernpfade zum Thema Funktionen====
	*[[~~Funktionen/~~Lineare Funktionen\|Lineare Funktionen]]		*[[Lernpfad Lineare Funktionen\|Lineare Funktionen]]

	*[[~~Funktionen/~~Quadratische Funktionen\|Quadratische Funktionen]]		*[[Lernpfad Quadratische Funktionen\|Quadratische Funktionen]]

	*[[~~Funktionen/~~Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]		*[[Lernpfad Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]

Ukalina: Die Seite wurde neu angelegt: „NOTOC ====Unterkapitel zum Thema Funktionen==== {{Fortsetzung |weiter=weiter |weiterlink=Funktionen/Quadratische Funktionen |übersicht=Kapitelübersicht |übersichtlink=Funktionen/Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}} {{Box|Mathematische Funktionen | * Funktionen sind ein zentrales Thema in der Schulmathematik. |Lernpfad}} ====Lernpfade zum Thema Funktionen==== *Funktionen/Li…“

2026-01-23T17:48:55Z

Die Seite wurde neu angelegt: „__NOTOC__ ====Unterkapitel zum Thema Funktionen==== {{Fortsetzung  |weiter=weiter |weiterlink=Funktionen/Quadratische Funktionen |übersicht=Kapitelübersicht |übersichtlink=Funktionen/Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}} {{Box|Mathematische Funktionen | * Funktionen sind ein zentrales Thema in der Schulmathematik. |Lernpfad}} ====Lernpfade zum Thema Funktionen==== *Funktionen/Li…“

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====Unterkapitel zum Thema Funktionen====
{{Fortsetzung

|weiter=weiter
|weiterlink=Funktionen/Quadratische Funktionen
|übersicht=Kapitelübersicht
|übersichtlink=Funktionen/Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}

{{Box|Mathematische Funktionen
|
* Funktionen sind ein zentrales Thema in der Schulmathematik.
|Lernpfad}}

====Lernpfade zum Thema Funktionen====
*[[Funktionen/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]

*[[Funktionen/Quadratische Funktionen|Quadratische Funktionen]]

*[[Funktionen/Polynomfunktionen|Polynomfunktionen]]

====Funktionenmaschine====
[[Datei:Funktionenmaschine Arial.png|mini|200px|right|Funktionenmaschine <math>f(x)=x^2 </math>]]Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: <math>5^2 = 5\cdot 5 = 25</math>.
====Funktionsgleichung====
Man kann die Arbeitsweise der Funktionenmaschine mithilfe einer '''Funktionsgleichung''' beschreiben, die angibt welche Rechenschritte man mit einem x-Wert durchführen muss, um den entsprechenden y-Wert zu erhalten. Bei der Quadrierfunktion lautet diese Gleichung z.B. einfach <math>y = x^2 </math>. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: <math>f(x) = x^2</math>. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "<math>f</math>") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: <math>f(5) = 5^2</math>.
Innerhalb der Funktionsgleichung nennt man den Ausdruck ''vor'' dem Gleichheitszeichen - z.B. <math>f(x)</math> - auch '''Funktionswert''', den Ausdruck ''hinter'' dem Gleichheitszeichen - im Beispiel <math>x^2</math> - '''Funktionsterm'''. Die x-Werte werden manchmal auch als "'''Argumente'''" der Funktion bezeichnet.

====Beispiele für Funktionenklassen====
#Die Funktion <math>g</math> mit der Funktionsgleichung <math>g(x) =2 \cdot x + 1</math> ist ein Beispiel für eine ''lineare Funktion''. Bei ihr wird jeder x-Wert erst verdoppelt und anschließend das Ergebnis dann noch um 1 erhöht. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also zu dem y-Wert <math>f(5) = 2 \cdot 5 +1 = 11</math> und den x-Wert <math>x=-2,5</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) = 2 \cdot (-2,5) +1 = -4</math>.
#Die Funktion<math>f</math> mit der Funktionsgleichung <math>f(x) =x^2 -4\cdot x +3</math> ist ein Beispiel für eine ''quadratische Funktion''. Bei ihr wird jeder x-Wert erst quadriert, dann das Vierfache von x subtrahiert und anschließend 3 addiert. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert <math>f(5) = 5^2 -4\cdot 5 +3 =25 -20 +3 = 8</math> und den x-Wert <math>x=-2,5</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) =(-2,5)^2 -4 \cdot (-2,5) +3 =6,25 +10 +3 = 19,25</math>.
#Die Funktion<math>h</math> mit der Funktionsgleichung <math>h(x) =\frac{1}{x}</math> ist ein Beispiel für eine ''gebrochen rationale Funktion''. Sie macht aus jedem x-Wert (außer dem Wert 0) den entsprechenden Funktionswert y, indem sie den Kehrwert von x bildet. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert <math>h(5) = \frac{1}{5} = 0,2</math> und den x-Wert <math>x=-2,5 =-\frac{5}{2}</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) = -\frac{2}{5} = -0,4</math>. Den x-Wert 0 kann diese Funktion allerdings nicht verarbeiten, denn durch die Zahl 0 darf man bekanntlich nicht dividieren.

====Funktion als "eindeutige Zuordnung"====
Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man einen bestimmten x-Wert in eine Funktion hineinsteckt, z.B. den Wert <math>x=3</math> in die Funktion <math>f(x) =x^2</math>, dann kann man sicher sein, dass auch immer der gleiche y-Wert wieder heraus kommt - in diesem Beispiel der Wert <math>y=9</math>. Jedem x-Wert wird also eindeutig genau ein y-Wert zugeordnet. 
Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert kann durchaus der Funktionswert von verschiedenen x-Werten sein, d.h. es kann mehrere x-Werte geben, denen der gleiche y-Wert zugeordnet wird. So wird z.B. bei der Funktion <math>f(x) =x^2</math> der y-Wert <math>y=9</math> als Funktionswert sowohl dem x-Wert <math>x=-3</math> als auch dem x-Wert <math>x=3</math> zugeordnet, denn <math>f(-3)=(-3)^2 = 9</math> ("Minus mal minus ergibt plus.") und <math>f(3) = 3^2 = 9</math>.

{{Box
|1=Begriffe, die im Zusammenhang mit Funktionen häufig vorkommen
|2=
; Argument <math>x</math>
: x-Wert, input der Funktion
; Funktionswert an der Stelle x <math>f(x)</math>
: derjenige y-Wert, der dem x-Wert <math>x</math> von der Funktion <math>f</math> zugeordnet wird
; Funktionsterm, z.B. <math>x^2</math>
: Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte
; Funktionsgleichung, z.B. <math>f(x)=x^2</math>
: Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet
|3=Merksatz}}