Experimentierkasten zur Binomial- und Normalverteilung - Versionsgeschichte

Matthias Scharwies: - {{Aufgaben-M

2022-05-14T03:30:45Z

- {{Aufgaben-M

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	== Die Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten binomial verteilter Größen ==		==Die Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten binomial verteilter Größen==

	Für die Binomialverteilung gelten bekanntlich folgende wichtige Formeln:		Für die Binomialverteilung gelten bekanntlich folgende wichtige Formeln:
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	</small>		</small>

	{{~~Aufgaben-M~~\|1\|		{{Box\| Aufgabe 1\|



	Du solltest Dir zuvor das Arbeitsblatt [[Datei:Binomialverteilung1.pdf]] ausdrucken!<br>		Du solltest Dir zuvor das Arbeitsblatt [[Datei:Binomialverteilung1.pdf]] ausdrucken!<br>
	<table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">		<table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">
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	<br><br><center>[[bild: heim25.gif]]</center><br><br>		<br><br><center>[[bild: heim25.gif]]</center><br><br>

	}}		\|Üben}}

	'''Wahrscheinlichkeiten bestimmen'''		'''Wahrscheinlichkeiten bestimmen'''
	~~<br>~~
	~~<small>~~		Die B(n,p,r)-Werte liest man im Geometrie-Fenster ab. Um die F(n,p,r), also die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten bis r zu erhalten, aktiviert man den Knopf c und variiert den Schieberegler r. Eine ähnliche Funktion hat der Knopf d mit dem Schieberegler s, die Wahrscheinlichkeiten ab s bis n aufsummiert. Die Werte liest man im Algebrafenster ab. Einstellungen für die Genauigkeit, maximalem n, r, s nach Bedarf ändern.
	Die B(n,p,r)-Werte liest man im Geometrie-Fenster ab. Um die F(n,p,r), also die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten bis r zu erhalten, aktiviert man den Knopf c und variiert den Schieberegler r. Eine ähnliche Funktion hat der Knopf d mit dem Schieberegler s, die Wahrscheinlichkeiten ab s bis n aufsummiert. Die Werte liest man im Algebrafenster ab. Einstellungen für die Genauigkeit, maximalem n, r, s nach Bedarf ändern.~~</small>~~

	4. Bestimme mittels des der Geo-Gebra-Datei		4. Bestimme mittels des der Geo-Gebra-Datei
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	Die Aufgabe mit dem "Experimentierkasten" für festeingestelltes p = 0,4 und s = 50 liefert n = 136.		Die Aufgabe mit dem "Experimentierkasten" für festeingestelltes p = 0,4 und s = 50 liefert n = 136.

	{{~~Aufgaben-M~~\|2\|		==Testverfahren für binomial verteilte Größen==
			{{Box\|Aufgabe 4\|
			# Sieh das Video genau an. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Entdeckst Du ihn?
			# Überprüfe die Entscheidungsregel mittels der Tabelle bzw. dem Experimentierkasten.

	}}

	~~== Testverfahren für binomial verteilte Größen ==~~
	~~{{Aufgaben-M\|4\|~~

	}}

	~~<table style="text-align: left; width: 100%;" cellspacing="2" cellpadding="2" border="0">~~
	~~<tr>~~
	~~<td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>~~
	~~</td>~~

	~~<td style="vertical-align: top;">~~
	~~'''Arbeitsaufgaben:'''<br>~~
	~~<center>~~
	{{#ev:youtube\|k0HoBVEJ6qc\|500}}<br>Einseitiger Hypothesentest		{{#ev:youtube\|k0HoBVEJ6qc\|500}}<br>Einseitiger Hypothesentest
	~~</center><br><br>~~
	~~1. Sieh das Video genau an. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Entdeckst Du ihn?<br>~~
	~~2. Überprüfe die Entscheidungsregel mittels der Tabelle bzw. dem Experimentierkasten.~~



	~~<br>~~
	~~</td>~~
	~~</tr>~~
	~~</table>~~
	[[Exkurs zur Normalverteilung]]		[[Exkurs zur Normalverteilung]]

	== Links ==		==Links==

	*[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm Rechner für Normal- Bionomial- und Poissonverteilung]		*[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm Rechner für Normal- Bionomial- und Poissonverteilung]

	~~<br>~~
	~~<center></center>~~

Uschuetzenmeister am 25. Februar 2018 um 08:20 Uhr

2018-02-25T08:20:41Z

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	<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>		<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>

	<~~span> </span>~~		<ggb_applet height="650" width="800" filename="Binomialverteilung.ggb‎" />

	~~<span></span><div id~~="~~ggbContainerfa894e3914cad81ab8209748b4501838~~"~~></div><span><~~/~~span~~>

Uschuetzenmeister am 25. Februar 2018 um 08:08 Uhr

2018-02-25T08:08:24Z

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	<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>		<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>

	<~~ggb_applet height="650" width="800" filename="Binomialverteilung.ggb‎"~~ />		<span> </span>

			<span></span><div id="ggbContainerfa894e3914cad81ab8209748b4501838"></div><span></span>


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	}}		}}

	<table ~~cellpadding="2" cellspacing="2" border="0"~~ style="text-align: left; width: 100%;">		<table style="text-align: left; width: 100%;" cellspacing="2" cellpadding="2" border="0">
	<tr>		<tr>
	<td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>		<td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>

Uschuetzenmeister am 25. Februar 2018 um 08:07 Uhr

2018-02-25T08:07:38Z

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	<center>[[Bild:Heim22.jpg]]</center>		<center>[[Bild:Heim22.jpg]]</center>
	~~<br>~~
	<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>		<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>

	<~~span> <~~/~~span~~>		<ggb_applet height="650" width="800" filename="Binomialverteilung.ggb‎" />

	~~<span></span><div id="ggbContainerb947cc1d3eaf3cafc0583ee69047c817"></div><span></span>~~
	~~<br>~~

Bernhard.Heim am 25. Februar 2018 um 06:16 Uhr

2018-02-25T06:16:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Februar 2018, 06:16 Uhr
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	</small>		== Die Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten binomial verteilter Größen ==

			Für die Binomialverteilung gelten bekanntlich folgende wichtige Formeln:

			<center>[[bild: binformel.gif]]</center>


			Sie spielen eine wichtige Rolle bei den Tests binomial verteilter Größen. In der Regel kommt man dabei nicht ohne eine [http://www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/stochastik/binomial_tabelle.PDF Stochastische Tabelle] aus.

			Mittels Geogebra sollen nun diese Berechnungen wie mit einem Computer-Algebra-System durchgeführt. Neben den reinen Berechnungen ergibt sich auch ein besseres Verständnis mancher Zusammenhänge.

			<center>[[Bild:Heim22.jpg]]</center>
			<br>
			<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>

			<span> </span>

			<span></span><div id="ggbContainerb947cc1d3eaf3cafc0583ee69047c817"></div><span></span>
			<br>





			<small>'''Erklärungen'''<br>
			1. Geogebra läuft nur mit dem Geometriefenster innerhalb des Wikis. Um die volle Funktionalität von Geogebra zur Verfügung zu haben (hier das Algebra-Fenster) mit Doppelklick ins Geometriefenster und die entsprechende Datei öffnet sich mit der auf ihrem Rechner installierten Geogebraversion.<br>
			2. Erklärung der Regeler und Variablen im Algebra-Fenster: ./.

			</small>

			{{Aufgaben-M\|1\|



			Du solltest Dir zuvor das Arbeitsblatt [[Datei:Binomialverteilung1.pdf]] ausdrucken!<br>
			<table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">
			<tr>
			<td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>
			</td>
			<td style="vertical-align: top;">
			'''Eigenschaften der Binomialverteilung'''

			1. Verändere bei gleichem p den Wert für n und beschreibe die Beobachtungen. Lies die Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung ab. Wie ändert sich die Standardabweichung bei wachsendem n?

			<small> Den Mittelwert kann man sich durch Aktivieren des Schalters b im Algebrafenster im Geometriefenster anzeigen lassen.</small>

			2. Verändere nun bei konstantem n den Wert für p. <br><br>Für welches p ergibt sich eine symmetrische Verteilung?<br> Für welches p besitzt das Maximum der Wahrscheinlichkeitsverteilung den kleinsten Wert? <br> Für welchen Wert k wird bei vorgegebenem n das Maximum der Wahrscheinlichkeit P(Z = k) angenommen?

			3. Gehört folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu B(80; 0,5), B(80;0,6) B(100;0,4). Begründe ausführlich!

			<br><br><center>[[bild: heim25.gif]]</center><br><br>

			}}

			'''Wahrscheinlichkeiten bestimmen'''
			<br>
			<small>
			Die B(n,p,r)-Werte liest man im Geometrie-Fenster ab. Um die F(n,p,r), also die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten bis r zu erhalten, aktiviert man den Knopf c und variiert den Schieberegler r. Eine ähnliche Funktion hat der Knopf d mit dem Schieberegler s, die Wahrscheinlichkeiten ab s bis n aufsummiert. Die Werte liest man im Algebrafenster ab. Einstellungen für die Genauigkeit, maximalem n, r, s nach Bedarf ändern.</small>

			4. Bestimme mittels des der Geo-Gebra-Datei

			....a)P(Z = k) für p = 0,5 n = 1000 k = 400; p = 0,8 n = 50 k = 40 <br>
			....b)P(Z <=k) für p = 0,4 n = 500 k = 350; p = 0,6 n = 100 k = 55<br>
			....c)P(Z >=k) für p = 0,25 n = 200 k = 75; p = 0,2 n = 500 k = 70<br>
			....d)P(k1<=Z<=k2) für p= 0,4 n = 200 k1= 60; k2 = 100<br>

			Vergleiche die Werte mit Taschenrechnerwerten bzw. Werten aus der Tabelle.


			'''Beispiel für eine Fragestellung, die mit Tabelle nicht lösbar ist:'''

			In einem Biotop treten zwei Varietäten der gleichen Art auf, die sich äußerlich nicht unterscheiden: Varietät A mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 %, Varietät B mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %. Unter der Annahme die beiden Varietäten seien in dem Biotop binomial verteilt sollen nun für weitere Untersuchungen eine bestimmte Anzahl n von der Art gefangen werden:
			<br>
			a) Wie groß ist n zu wählen, damit man mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Exemplar der Varietät A fängt.<br>
			b) Wie groß ist n zu wählen, damit man mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 50 Exemplare der Varietät A fängt.
			<br>

			'''Lösung Aufgabe a)'''<br>

			Über das Gegenereignis erhält man: [[Bild: Bin1.gif]]

			Mittels der festen Einstellung p = 0,4 und s = 1 erhält man mittels Experimentieren mit dem Schieberegler n die Lösung n = 4 <br>

			'''Lösung Aufgabe b)'''

			Die Aufgabe ist mit der Binomialverteilung rechnerisch nicht lösbar. Auch die Stochastische Tabelle liefert keine Lösung, da Die F(n,p,r) über n tabelliert sind, aber nicht über r.

			Die Aufgabe mit dem "Experimentierkasten" für festeingestelltes p = 0,4 und s = 50 liefert n = 136.

			{{Aufgaben-M\|2\|

			}}

			== Testverfahren für binomial verteilte Größen ==
			{{Aufgaben-M\|4\|

			}}

			<table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">
			<tr>
			<td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>
			</td>

			<td style="vertical-align: top;">
			'''Arbeitsaufgaben:'''<br>
			<center>
			{{#ev:youtube\|k0HoBVEJ6qc\|500}}<br>Einseitiger Hypothesentest
			</center><br><br>
			1. Sieh das Video genau an. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Entdeckst Du ihn?<br>
			2. Überprüfe die Entscheidungsregel mittels der Tabelle bzw. dem Experimentierkasten.



			<br>
			</td>
			</tr>
			</table>
			[[Exkurs zur Normalverteilung]]

			== Links ==

			*[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm Rechner für Normal- Bionomial- und Poissonverteilung]

			<br>
			<center></center>

Bernhard.Heim: Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „ “

2018-02-24T15:37:39Z

Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „ </small>“

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	~~== Die Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten binomial verteilter Größen ==~~		</small>

	~~Für die Binomialverteilung gelten bekanntlich folgende wichtige Formeln:~~

	~~<center>[[bild: binformel.gif]]</center>~~


	Sie spielen eine wichtige Rolle bei den Tests binomial verteilter Größen. In der Regel kommt man dabei nicht ohne eine [http://www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/stochastik/binomial_tabelle.PDF Stochastische Tabelle] aus.

	~~Mittels Geogebra sollen nun diese Berechnungen wie mit einem Computer-Algebra-System durchgeführt. Neben den reinen Berechnungen ergibt sich auch ein besseres Verständnis mancher Zusammenhänge.~~

	~~<center>[[Bild:Heim22.jpg]]</center>~~
	~~<br>~~
	~~<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>~~



	~~<ggb_applet height="650" width="800" filename="Binomialverteilung.ggb‎" />~~
	~~<br>~~






	~~<small>'''Erklärungen'''<br>~~
	1. Geogebra läuft nur mit dem Geometriefenster innerhalb des Wikis. Um die volle Funktionalität von Geogebra zur Verfügung zu haben (hier das Algebra-Fenster) mit Doppelklick ins Geometriefenster und die entsprechende Datei öffnet sich mit der auf ihrem Rechner installierten Geogebraversion.<br>
	~~2. Erklärung der Regeler und Variablen im Algebra-Fenster: ./.~~

	</small>

	~~{{Aufgaben-M\|1\|~~



	~~Du solltest Dir zuvor das Arbeitsblatt [[Datei:Binomialverteilung1.pdf]] ausdrucken!<br>~~
	~~<table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">~~
	~~<tr>~~
	~~<td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>~~
	~~</td>~~
	~~<td style="vertical-align: top;">~~
	~~'''Eigenschaften der Binomialverteilung'''~~

	1. Verändere bei gleichem p den Wert für n und beschreibe die Beobachtungen. Lies die Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung ab. Wie ändert sich die Standardabweichung bei wachsendem n?

	~~<small> Den Mittelwert kann man sich durch Aktivieren des Schalters b im Algebrafenster im Geometriefenster anzeigen lassen.</small>~~

	2. Verändere nun bei konstantem n den Wert für p. <br><br>Für welches p ergibt sich eine symmetrische Verteilung?<br> Für welches p besitzt das Maximum der Wahrscheinlichkeitsverteilung den kleinsten Wert? <br> Für welchen Wert k wird bei vorgegebenem n das Maximum der Wahrscheinlichkeit P(Z = k) angenommen?

	~~3. Gehört folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu B(80; 0,5), B(80;0,6) B(100;0,4). Begründe ausführlich!~~

	~~<br><br><center>[[bild: heim25.gif]]</center><br><br>~~

	}}

	~~'''Wahrscheinlichkeiten bestimmen'''~~
	~~<br>~~
	~~<small>~~
	Die B(n,p,r)-Werte liest man im Geometrie-Fenster ab. Um die F(n,p,r), also die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten bis r zu erhalten, aktiviert man den Knopf c und variiert den Schieberegler r. Eine ähnliche Funktion hat der Knopf d mit dem Schieberegler s, die Wahrscheinlichkeiten ab s bis n aufsummiert. Die Werte liest man im Algebrafenster ab. Einstellungen für die Genauigkeit, maximalem n, r, s nach Bedarf ändern.</small>

	~~4. Bestimme mittels des der Geo-Gebra-Datei~~

	~~....a)P(Z = k) für p = 0,5 n = 1000 k = 400; p = 0,8 n = 50 k = 40 <br>~~
	~~....b)P(Z <=k) für p = 0,4 n = 500 k = 350; p = 0,6 n = 100 k = 55<br>~~
	~~....c)P(Z >=k) für p = 0,25 n = 200 k = 75; p = 0,2 n = 500 k = 70<br>~~
	~~....d)P(k1<=Z<=k2) für p= 0,4 n = 200 k1= 60; k2 = 100<br>~~

	~~Vergleiche die Werte mit Taschenrechnerwerten bzw. Werten aus der Tabelle.~~


	~~'''Beispiel für eine Fragestellung, die mit Tabelle nicht lösbar ist:'''~~

	In einem Biotop treten zwei Varietäten der gleichen Art auf, die sich äußerlich nicht unterscheiden: Varietät A mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 %, Varietät B mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %. Unter der Annahme die beiden Varietäten seien in dem Biotop binomial verteilt sollen nun für weitere Untersuchungen eine bestimmte Anzahl n von der Art gefangen werden:
	~~<br>~~
	~~a) Wie groß ist n zu wählen, damit man mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Exemplar der Varietät A fängt.<br>~~
	~~b) Wie groß ist n zu wählen, damit man mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 50 Exemplare der Varietät A fängt.~~
	~~<br>~~

	~~'''Lösung Aufgabe a)'''<br>~~

	~~Über das Gegenereignis erhält man: [[Bild: Bin1.gif]]~~

	~~Mittels der festen Einstellung p = 0,4 und s = 1 erhält man mittels Experimentieren mit dem Schieberegler n die Lösung n = 4 <br>~~

	~~'''Lösung Aufgabe b)'''~~

	~~Die Aufgabe ist mit der Binomialverteilung rechnerisch nicht lösbar. Auch die Stochastische Tabelle liefert keine Lösung, da Die F(n,p,r) über n tabelliert sind, aber nicht über r.~~

	~~Die Aufgabe mit dem "Experimentierkasten" für festeingestelltes p = 0,4 und s = 50 liefert n = 136.~~

	~~{{Aufgaben-M\|2\|~~

	}}

	~~== Testverfahren für binomial verteilte Größen ==~~
	~~{{Aufgaben-M\|4\|~~

	}}

	~~<table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">~~
	~~<tr>~~
	~~<td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>~~
	~~</td>~~

	~~<td style="vertical-align: top;">~~
	~~'''Arbeitsaufgaben:'''<br>~~
	~~<center>~~
	~~{{#ev:youtube\|k0HoBVEJ6qc\|500}}<br>Einseitiger Hypothesentest~~
	~~</center><br><br>~~
	~~1. Sieh das Video genau an. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Entdeckst Du ihn?<br>~~
	~~2. Überprüfe die Entscheidungsregel mittels der Tabelle bzw. dem Experimentierkasten.~~



	~~<br>~~
	~~</td>~~
	~~</tr>~~
	~~</table>~~
	~~[[Exkurs zur Normalverteilung]]~~

	~~== Links ==~~

	*[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm Rechner für Normal- Bionomial- und Poissonverteilung]

	~~<br>~~
	~~<center></center~~>

Bernhard.Heim am 24. Februar 2018 um 15:36 Uhr

2018-02-24T15:36:56Z

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	<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>		<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>

	<~~span></span><div id~~="~~ggbContainer3ddfeaa382b25c8fd72cc2a68ec56c7e~~"></~~div><span~~><~~/span~~>

			<ggb_applet height="650" width="800" filename="Binomialverteilung.ggb‎" />
			<br>






	<small>'''Erklärungen'''<br>		<small>'''Erklärungen'''<br>
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	*[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm Rechner für Normal- Bionomial- und Poissonverteilung]		*[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm Rechner für Normal- Bionomial- und Poissonverteilung]

	~~{{Mitgewirkt\|Bernhard Heim}}~~

	<br>		<br>
	<center>		<center></center>
	~~[[bild: Logo_tagdesdigitalenlernens_gross_transparent.gif‎]]~~

	~~<big><big><big>2011</big></big></big><br>~~
	~~Ein Beitrag<br>~~
	~~am RSG Rothenburg~~
	</center>

Bernhard.Heim: /* Testverfahren für binomial verteilte Größen */

2018-02-24T15:20:47Z

Testverfahren für binomial verteilte Größen

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 == Die Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten binomial verteilter Größen ==
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 Mittels Geogebra sollen nun diese Berechnungen wie mit einem Computer-Algebra-System durchgeführt. Neben den reinen Berechnungen ergibt sich auch ein besseres Verständnis mancher Zusammenhänge.
 <center>[[Bild:Heim22.jpg]]</center>
 <br>
 <small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>
 <span></span><div id="ggbContainer3ddfeaa382b25c8fd72cc2a68ec56c7e"></div><span></span>
 <small>'''Erklärungen'''<br>
 . Geogebra läuft nur mit dem Geometriefenster innerhalb des Wikis. Um die volle Funktionalität von Geogebra zur Verfügung zu haben (hier das Algebra-Fenster) mit Doppelklick ins Geometriefenster und die entsprechende Datei öffnet sich mit der auf ihrem Rechner installierten Geogebraversion.<br>
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 {{Aufgaben-M|1|
-}}
 Du solltest Dir zuvor das Arbeitsblatt [[Datei:Binomialverteilung1.pdf]] ausdrucken!<br>
@@ Zeile 61: / Zeile 44: @@
 <br><br><center>[[bild: heim25.gif]]</center><br><br>
 '''Wahrscheinlichkeiten bestimmen'''
@@ Zeile 76: / Zeile 61: @@
 Vergleiche die Werte mit Taschenrechnerwerten bzw. Werten aus der Tabelle.
 '''Beispiel für eine Fragestellung, die mit Tabelle nicht lösbar ist:'''
@@ Zeile 104: / Zeile 85: @@
 }}
 == Testverfahren für binomial verteilte Größen ==
@@ Zeile 154: / Zeile 118: @@
 {{Mitgewirkt|Bernhard Heim}}
-</td>
+<br>
 <center>
 [[bild: Logo_tagdesdigitalenlernens_gross_transparent.gif‎]]
@@ Zeile 163: / Zeile 126: @@
 am RSG Rothenburg
 </center>

Bernhard.Heim am 24. Februar 2018 um 14:46 Uhr

2018-02-24T14:46:56Z

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	[[Kategorie: Mathematik\|Stochastik]]		[[Kategorie: Mathematik]]
			[[Kategorie: Stochastik]]

	<table cellpadding="0" cellspacing="0" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">		<table cellpadding="0" cellspacing="0" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">

Bernhard.Heim am 24. Februar 2018 um 14:42 Uhr

2018-02-24T14:42:45Z

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	[[Kategorie:~~Binominalverteilung~~]]		[[Kategorie: Mathematik\|Stochastik]]
	<table cellpadding="0" cellspacing="0" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">		<table cellpadding="0" cellspacing="0" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">