FrauKrause: Die Seite wurde neu angelegt: „Für $a,b>0$ und $r,s \in \Q$ gilt # $a^ra^s=a^{r+s}$ bzw. $\tfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$ # $a^rb^r=(ab…“$

2022-07-30T13:13:53Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt #<math>a^ra^s=a^{r+s}</math> bzw. <math>\tfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}</math> #<math>a^rb^r=(ab…“

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Für <math>a,b>0</math> und <math>r,s \in \Q</math> gilt

#<math>a^ra^s=a^{r+s}</math> bzw. <math>\tfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}</math>
#<math>a^rb^r=(ab)^{r}</math> bzw. <math>\tfrac{a^r}{b^r}=\left( \tfrac ab\right)^r</math>
#<math>(a^r)^s=a^{rs}</math>

======'''<big>Beweis</big>'''======
Um die Regeln zu beweisen, verwenden wir sowohl die Rechenregeln für ganzzahlige Potenzen, als auch die für Wurzeln. Seien <math>r=\tfrac pq</math> und <math>s=\tfrac{p}{q'}</math>, dann gelten:

'''Regel 1b:'''
<math>\begin{align}
\frac{a^r}{a^s} & = a^{\tfrac pq} a^{-\tfrac{p'}{q'}} \\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& = \sqrt[q]{a^p} \frac{1}{\sqrt[q']{a^{p'}}} \\
& \left\downarrow \ \text{Wurzeln angleichen} \right.\\
& = \sqrt[qq']{a^{pq'}} \frac{1}{\sqrt[qq']{a^{p'q}}} \\
& = \frac{\sqrt[qq']{a^{pq'}}}{\sqrt[qq']{a^{p'q}}} \\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\
& = \sqrt[qq']{\frac{a^{pq'}}{a^{p'q}}}\\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\
& = \sqrt[qq']{a^{pq'-p'q}}\\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& = a^{\tfrac{pq'-p'q}{qq'}}\\
& = a^{\tfrac{pq'}{qq'}-\tfrac{p'q}{qq'}}\\
& = a^{\tfrac{p}{q}-\tfrac{p'}{q'}} \\
& = a^{r-s}
\end{align}</math>


'''Regel 2b:'''
 <math>\begin{align}
\frac{a^r}{b^r} & = \frac{a^{\tfrac pq}}{b^{\tfrac{p}{q}}} \\
& \left\downarrow \ \text{Definition} \right.\\
& = \frac{\sqrt[q]{a^p}}{\sqrt[q]{b^{p}}}\\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Wurzeln} \right.\\
& = \sqrt[q]{\frac{a^p}{b^p}} \\
& \left\downarrow \ \text{Rechenregel für Potenzen} \right.\\
& = \sqrt[q]{(\frac{a}{b})^{p}} \\
& = (\frac ab)^{\tfrac{p}{q}}\\
& = (\frac ab)^r
\end{align}</math>

Beweis Potenzgesetze - Versionsgeschichte

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FrauKrause: Die Seite wurde neu angelegt: „Für $a,b>0$ und $r,s \in \Q$ gilt # $a^ra^s=a^{r+s}$ bzw. $\tfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$ # $a^rb^r=(ab…“$