Vmoalnkealn am 28. Januar 2026 um 16:36 Uhr

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	Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!		Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

	<div style="background-color:#~~e50000~~; padding:15px; border-left:5px solid #~~f59999~~; margin-bottom:10px;">		<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
	'''Basis-Übung A: Zeichnen'''		'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
	Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:		Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:

Vmoalnkealn am 28. Januar 2026 um 16:34 Uhr

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	'''Basis-Übung A: Zeichnen'''		'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
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Vmoalnkealn am 28. Januar 2026 um 16:32 Uhr

2026-01-28T16:32:54Z

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	<div style="background-color:#~~0000ff~~; padding:15px; border-left:5px solid #~~ff9900~~; margin-bottom:10px;">		<div style="background-color:#e50000; padding:15px; border-left:5px solid #ff0000; margin-bottom:10px;">
	'''Basis-Übung A: Zeichnen'''		'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
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Vmoalnkealn am 28. Januar 2026 um 16:31 Uhr

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	<div style="background-color:#~~ffebcc~~; padding:15px; border-left:5px solid #ff9900; margin-bottom:10px;">		<div style="background-color:#0000ff; padding:15px; border-left:5px solid #ff9900; margin-bottom:10px;">
	'''Basis-Übung A: Zeichnen'''		'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
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Vmoalnkealn: /* Station 7: Basis-Camp (Grundlagen-Check) */

2026-01-28T16:27:47Z

Station 7: Basis-Camp (Grundlagen-Check)

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	</div>		</div>

	==Station 7: ~~Basis-Camp~~ (Grundlagen-Check)==		==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
	<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">		<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
	''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''		''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''

Vmoalnkealn: Die Seite wurde neu angelegt: „

Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung

Hallo und herzlich willkommen!

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter. In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge be…“

2026-01-28T12:31:15Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2> <div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;"> <h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3> Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter. In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge be…“

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<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x - 2</math>).
</div>
</div>

==Station 7: Basis-Camp (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#ffebcc; padding:15px; border-left:5px solid #ff9900; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen zum Basis-Camp'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

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