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Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung

Hallo und herzlich willkommen im Lernpfad „Lineare Funktionen erkunden!“

Das kennst du schon: Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.
Darauf bauen wir auf: Du lernst lineare Funktionen als Modell…“
2026-01-28T12:28:43Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<br> <h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2> <div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;"> Hallo und herzlich willkommen im Lernpfad <b>„Lineare Funktionen erkunden!“</b><br><br> <b>Das kennst du schon:</b> Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.<br> <b>Darauf bauen wir auf:</b> Du lernst lineare Funktionen als <i>Modell…“

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<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
Hallo und herzlich willkommen im Lernpfad <b>„Lineare Funktionen erkunden!“</b><br><br>

<b>Das kennst du schon:</b> Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.<br>
<b>Darauf bauen wir auf:</b> Du lernst lineare Funktionen als <i>Modelle</i> kennen – also als Werkzeuge, mit denen man Situationen aus dem Alltag mathematisch beschreibt.<br><br>

<b>Worum geht’s im Lernpfad?</b><br>
Du bestimmst lineare Funktionen aus Texten, Tabellen und Graphen und nutzt sie, um Entscheidungen zu begründen (z. B. welches Angebot günstiger ist).<br><br>

<b>Deine Ziele (Kompetenzen):</b>
<ul style="margin-top:6px;">
<li><b>Modellieren:</b> Du übersetzt einen Sachtext in eine Funktionsgleichung und deutest Ergebnisse im Kontext.</li>
<li><b>Darstellen:</b> Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.</li>
<li><b>Argumentieren:</b> Du begründest deine Entscheidungen mit <i>m</i> (Steigung), <i>b</i> (Startwert) und/oder dem Schnittpunkt.</li>
<li><b>Operieren:</b> Du vergleichst lineare Funktionen, bestimmst Schnittpunkte und nutzt Gleichungen zum Rechnen.</li>
</ul>

<b>Benötigtes Material:</b> Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).<br><br>

Viel Erfolg und viel Spaß! 🙂
</div>

__TOC__

==Station 1: Wertetabelle & Funktionsgleichung aus einem Text==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Modellieren (Text → Tabelle/Gleichung) und Darstellen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter „TalkEasy“ macht folgendes Angebot:<br>
„Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren 0,15 €.“

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle in dein Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center;"
|-
!Minuten (<math>x</math>)!!0!!10!!20!!<math>x</math>
|-
!Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Startwert (b)'''
<div class="mw-collapsible-content">
Bei <math>x=0</math> Minuten zahlst du trotzdem 10 €. Das ist der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt <math>b</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Steigung (m)'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist die Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<b>Tabelle:</b> <math>y(0)=10</math>, <math>y(10)=11{,}50</math>, <math>y(20)=13{,}00</math><br>
<b>Gleichung:</b> <math>f(x) = 0{,}15\cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Station 2: Steigung m und Startwert b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Operieren & Argumentieren (Parameter deuten und vergleichen).''
</div>

In Station 1 hast du bereits ein Modell aufgebaut. Jetzt schauen wir genauer hin:<br>
Wie verändern <math>m</math> und <math>b</math> den Graphen der linearen Funktion <math>f(x)=m\cdot x + b</math>?

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
<ul style="margin-top:6px;">
<li><math><b>b</b></math> (y-Achsenabschnitt / Startwert): Verschiebt die Gerade nach oben oder unten.</li>
<li><math><b>m</b></math> (Steigung): Bestimmt, wie stark die Gerade steigt oder fällt (wie schnell sich <math>y</math> verändert).</li>
</ul>
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''<br><br>
Du siehst drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.<br>
<math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> ist die Zeit in Stunden.
<ul style="margin-top:6px;">
<li>A: <math>f(x) = -2x + 15</math></li>
<li>B: <math>f(x) = -4x + 20</math></li>
<li>C: <math>f(x) = -1x + 15</math></li>
</ul>

Beantworte und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <b>Kerze B</b> war zu Beginn am höchsten, weil <math>b=20</math> der größte Startwert ist.
# <b>Kerze B</b> brennt am schnellsten ab, weil <math>|m|=4</math> am größten ist (4 cm pro Stunde).
# <b>Kerze A und C</b> waren zu Beginn gleich hoch, weil beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Station 3: Aus zwei Datenpunkten eine lineare Funktion bestimmen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Modellieren (Daten → Gleichung) und Operieren (m und b berechnen).''
</div>

Im Alltag bekommst du oft keine fertige Gleichung, sondern Messwerte (Punkte). Daraus kannst du die lineare Funktion rekonstruieren.<br><br>

<b>Beispiel: Sinkflug eines Flugzeugs</b>
<ul style="margin-top:6px;">
<li>Nach 2 Minuten: 4000 m Höhe</li>
<li>Nach 5 Minuten: 2500 m Höhe</li>
</ul>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t)=m\cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>:<br>
<math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze <math>m</math> und einen Punkt in <math>y=m\cdot x + b</math> ein und löse nach <math>b</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>m=\frac{2500-4000}{5-2}=\frac{-1500}{3}=-500</math><br>
Einsetzen (z. B. Punkt <math>(2|4000)</math>): <math>4000=-500\cdot 2 + b</math><br>
<math>4000=-1000+b \Rightarrow b=5000</math><br>
<b>Ergebnis:</b> <math>h(t)=-500t+5000</math>
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Station 4: Funktionen vergleichen – Schnittpunkt (Break-even)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Argumentieren & Operieren (Gleichsetzen, Schnittpunkt deuten).''
</div>

Jetzt nutzt du lineare Funktionen, um eine Entscheidung zu treffen: Welches Angebot ist günstiger – und ab wann?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
<ul style="margin-top:6px;">
<li>Tarif A: <math>f(x)=0{,}15x+10</math></li>
<li>Tarif B: keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute: <math>g(x)=0{,}25x</math></li>
</ul>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''<br><br>
Ab wie vielen Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A mehr als Tarif B?<br>
Bestimme dazu den Zeitpunkt, an dem beide Tarife gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: So startest du'''
<div class="mw-collapsible-content">
Beim Schnittpunkt sind die Kosten gleich.<br>
Ansatz: <center><math>f(x)=g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>0{,}15x+10=0{,}25x</math><br>
<math>10=0{,}10x</math><br>
<math>x=100</math><br><br>
<b>Deutung:</b> Bei <b>100 Minuten</b> sind beide Tarife gleich teuer (25 €).<br>
Für <b>mehr als 100 Minuten</b> ist Tarif A günstiger (kleinere Steigung → Kosten steigen langsamer).
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Station 5: Eigener Sachkontext – eine Gleichung „zum Leben erwecken“==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Modellieren & Kommunizieren (Kontext erfinden, Werte deuten, Antwortsätze formulieren).''
</div>

Manchmal ist die Gleichung schon gegeben – und du musst sie sinnvoll interpretieren.<br><br>
Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y=3x+8</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''
# Überlege dir eine realistische Alltagssituation, die durch <math>y=3x+8</math> beschrieben werden kann (Was bedeuten <math>x</math> und <math>y</math>? Welche Einheit passt?).
# Berechne <math>y</math> für <math>x=4</math> und <math>x=10</math>. Formuliere jeweils einen passenden Antwortsatz zu deinem Kontext.
# Bestimme den <math>x</math>-Wert, für den <math>y=32</math> gilt. Formuliere auch hier einen Antwortsatz.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Gute Kontexte'''
<div class="mw-collapsible-content">
Typisch für <math>y=3x+8</math>: ein <b>Startwert</b> 8 und eine <b>Zunahme</b> um 3 pro Schritt.<br>
Beispiele: Grundgebühr + Preis pro Einheit, Startkapital + Sparrate, Startpunkt + Geschwindigkeit.
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden planen (GeoGebra)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Operieren & Argumentieren (Eigenschaften paralleler Geraden).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke ist bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Nun soll eine neue Umgehungsstraße gebaut werden, die <b>parallel</b> zur Zugstrecke verläuft.<br><br>

Die Zugstrecke wird beschrieben durch: <math>f(x)=x+3</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''<br><br>
Damit es keine Kreuzung mit der Zugstrecke gibt, soll die Straße (Funktion <math>g(x)</math>) <b>parallel</b> zu <math>f(x)</math> verlaufen.
<ol style="margin-top:8px;">
<li>Verändere den Schieberegler für <b><math>b</math></b>. Was passiert mit dem Graphen? Beschreibe kurz.</li>
<li>Stelle anschließend die Steigung <b><math>m</math></b> so ein, dass <math>g(x)</math> parallel zu <math>f(x)</math> ist.</li>
<li>Welchen Wert muss <math>m</math> haben, damit sich die Geraden niemals schneiden? Vergleiche die Steigungen von <math>f</math> und <math>g</math>.</li>
</ol>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen (GeoGebra)'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung (Merksatz)'''
<div class="mw-collapsible-content">
<b>1)</b> Wenn sich <math>b</math> ändert, wird die Gerade nur <b>nach oben/unten verschoben</b>. Die Steigung bleibt gleich.<br>
<b>2)</b> Für parallele Geraden gilt: <b>gleiche Steigung</b>.<br>
Da <math>f(x)=x+3</math> die Steigung <math>m=1</math> hat, muss auch bei <math>g(x)</math> gelten: <math>m=1</math>.<br>
<b>3)</b> Wenn die Steigungen gleich sind, schneiden sich die Geraden nicht (außer sie sind identisch). Dann entscheidet nur <math>b</math> über den Abstand.
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Abschluss: Mini-Check (Selbstreflexion)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Metakognition (einschätzen, was du schon kannst).''
</div>

Nimm dir 3–5 Minuten Zeit:
* Kannst du aus einem Sachtext <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?
* Kannst du erklären, was <math>m</math> im Kontext bedeutet (z. B. „pro Minute …“)?
* Kannst du den Schnittpunkt zweier Angebote berechnen und im Alltag deuten?



<hr>

==Übungen: Grundlagen festigen (ohne PDF)==
Falls du bei den Basics noch unsicher bist, kannst du hier direkt im Lernpfad üben (ohne Download).<br>
<b>Geplante Übungsbereiche:</b>
* Graphen zeichnen aus Gleichung
* Gleichung bestimmen aus Tabelle/Graph
* Wertetabellen sicher ausfüllen
* Sachaufgaben: m und b deuten

<span style="color: red;">(Hinweis für die Kursseite: Die Inhalte der bisherigen PDF sollen hier als einzelne Übungsstationen umgesetzt werden.)</span>

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