Benutzer:Ukalina/Funktionen - Versionsgeschichte

Ukalina am 8. Januar 2026 um 13:05 Uhr

2026-01-08T13:05:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2026, 13:05 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	: Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet		: Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet
	\|3=Merksatz}}		\|3=Merksatz}}

			<!--

	{{Box\|Testbox 1\|Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-graduation-cap fa-2x\|\|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x}}		{{Box\|Testbox 1\|Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-graduation-cap fa-2x\|\|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x}}
Zeile 56:		Zeile 58:

	<i class="fa fa-thumb-tack" aria-hidden="true"></i>		<i class="fa fa-thumb-tack" aria-hidden="true"></i>

			-->

Ukalina am 6. Januar 2026 um 16:42 Uhr

2026-01-06T16:42:04Z

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 *[[Benutzer:Ukalina/Funktionen/Polynomfunktionen|Polynomfunktionen]]
@@ Zeile 45: / Zeile 39: @@
 |3=Merksatz}}
-====Wertetabelle====
+{{Box|Testbox 1|Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-graduation-cap fa-2x||Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x}}
-Eine weitere Möglichkeit, die Arbeitsweise einer Funktion zu beschreiben, ist die Wertetabelle.
-Für eine Reihe von x-Werten wird in einer Tabelle jeweils einem x-Wert der y-Wert <math>f(x)</math> gegenübergestellt, der sich aus der  Funktionsvorschrift berechnen lässt.
+{{Box|Testbox 2 |Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-universal-access fa-2x||Icon=fa fa-universal-access fa-2x}}
-Für die Funktion <math>f(x)=x^2</math> kann man z.B. folgende Wertetabelle aufstellen:
+<i class="fa fa-quote-right" aria-hidden="true"></i>
-{| cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"
+<i class="fa fa-thumb-tack" aria-hidden="true"></i>

Ukalina am 6. Januar 2026 um 12:44 Uhr

2026-01-06T12:44:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Januar 2026, 12:44 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	*[[Benutzer:Ukalina/Funktionen/Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]		*[[Benutzer:Ukalina/Funktionen/Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]

	{{Box\|Testbox\|Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-graduation-cap fa-2x\|\|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x}}		{{Box\|Testbox 1\|Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-graduation-cap fa-2x\|\|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x}}

			{{Box\|Testbox 2 \|Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-universal-access fa-2x\|\|Icon=fa fa-universal-access fa-2x}}

			{{Box\|Testbox 3 \|Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-binoculars fa-2x\|\|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x}}


			<!--
	Icon fa fa-graduation-cap fa-2x    <i class="fa fa-graduation-cap fa-2x" aria-hidden="true"></i>		Icon fa fa-graduation-cap fa-2x    <i class="fa fa-graduation-cap fa-2x" aria-hidden="true"></i>

	Icon fa fa-binoculars fa-2x    <i class="fa fa-binoculars fa-2x" aria-hidden="true"></i>		Icon fa fa-binoculars fa-2x    <i class="fa fa-binoculars fa-2x" aria-hidden="true"></i>
			-->

	====Funktionenmaschine====		====Funktionenmaschine====
	[[Datei:Funktionenmaschine Arial.png\|mini\|200px\|right\|Funktionenmaschine <math>f(x)=x^2 </math>]]Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: <math>5^2 = 5\cdot 5 = 25</math>.		[[Datei:Funktionenmaschine Arial.png\|mini\|200px\|right\|Funktionenmaschine <math>f(x)=x^2 </math>]]Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: <math>5^2 = 5\cdot 5 = 25</math>.

Ukalina am 2. Januar 2026 um 10:07 Uhr

2026-01-02T10:07:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Januar 2026, 10:07 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	*[[Benutzer:Ukalina/Funktionen/Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]		*[[Benutzer:Ukalina/Funktionen/Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]

			{{Box\|Testbox\|Dies ist eine Testbox mit dem Icon fa fa-graduation-cap fa-2x\|\|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x}}

			Icon fa fa-graduation-cap fa-2x    <i class="fa fa-graduation-cap fa-2x" aria-hidden="true"></i>

			Icon fa fa-binoculars fa-2x    <i class="fa fa-binoculars fa-2x" aria-hidden="true"></i>

	~~<i class="fa fa-graduation-cap fa-2x" aria-hidden="true"></i>~~

	====Funktionenmaschine====		====Funktionenmaschine====

Ukalina am 1. Januar 2026 um 09:51 Uhr

2026-01-01T09:51:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Januar 2026, 09:51 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	*[[Benutzer:Ukalina/Funktionen/Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]		*[[Benutzer:Ukalina/Funktionen/Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]


			<i class="fa fa-graduation-cap fa-2x" aria-hidden="true"></i>

	====Funktionenmaschine====		====Funktionenmaschine====

Ukalina am 2. November 2025 um 09:32 Uhr

2025-11-02T09:32:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2025, 09:32 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:
	; Argument <math>x</math>		; Argument <math>x</math>
	: x-Wert, input der Funktion		: x-Wert, input der Funktion
	; Funktionswert <math>f(x)</math>		; Funktionswert an der Stelle x <math>f(x)</math>
	: y-Wert, ~~output~~ der Funktion		: derjenige y-Wert, der dem x-Wert <math>x</math> von der Funktion <math>f</math> zugeordnet wird
	; Funktionsterm <math>x^2</math>		; Funktionsterm, z.B. <math>x^2</math>
	: Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte		: Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte
	; Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math>		; Funktionsgleichung, z.B. <math>f(x)=x^2</math>
	: Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet		: Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet
	\|3=Merksatz}}		\|3=Merksatz}}

Ukalina am 31. Oktober 2025 um 19:39 Uhr

2025-10-31T19:39:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Oktober 2025, 19:39 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:

	====Funktionenmaschine====		====Funktionenmaschine====
	[[Datei:Funktionenmaschine Arial.png\|mini\|200px\|right\|Funktionenmaschine <math>f(x)=x^2 </math>]]Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: <math>5^2 = 5\cdot 5 = 25</math>. ~~<br />~~		[[Datei:Funktionenmaschine Arial.png\|mini\|200px\|right\|Funktionenmaschine <math>f(x)=x^2 </math>]]Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: <math>5^2 = 5\cdot 5 = 25</math>.
	Man kann die Arbeitsweise der Funktionenmaschine mithilfe einer '''~~Rechenvorschrift~~''' beschreiben, die angibt welche Rechenschritte man mit x durchführen muss, um y zu erhalten. Bei der Quadrierfunktion lautet ~~sie~~ z.B. einfach <math>y = x^2 </math>. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: <math>f(x) = x^2</math>. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "<math>f</math>") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: <math>f(5) = 5^2</math>.		====Funktionsgleichung====
			Man kann die Arbeitsweise der Funktionenmaschine mithilfe einer '''Funktionsgleichung''' beschreiben, die angibt welche Rechenschritte man mit einem x-Wert durchführen muss, um den entsprechenden y-Wert zu erhalten. Bei der Quadrierfunktion lautet diese Gleichung z.B. einfach <math>y = x^2 </math>. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: <math>f(x) = x^2</math>. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "<math>f</math>") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: <math>f(5) = 5^2</math>.
			Innerhalb der Funktionsgleichung nennt man den Ausdruck ''vor'' dem Gleichheitszeichen - z.B. <math>f(x)</math> - auch '''Funktionswert''', den Ausdruck ''hinter'' dem Gleichheitszeichen - im Beispiel <math>x^2</math> - '''Funktionsterm'''. Die x-Werte werden manchmal auch als "'''Argumente'''" der Funktion bezeichnet.

			====Beispiele====
			#Die Funktion <math>g</math> mit der Funktionsgleichung <math>g(x) =2 \cdot x + 1</math> ist ein Beispiel für eine ''lineare Funktion''. Bei ihr wird jeder x-Wert erst verdoppelt und anschließend das Ergebnis dann noch um 1 erhöht. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also zu dem y-Wert <math>f(5) = 2 \cdot 5 +1 = 11</math> und den x-Wert <math>x=-2,5</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) = 2 \cdot (-2,5) +1 = -4</math>.
			#Die Funktion<math>f</math> mit der Funktionsgleichung <math>f(x) =x^2 -4\cdot x +3</math> ist ein Beispiel für eine ''quadratische Funktion''. Bei ihr wird jeder x-Wert erst quadriert, dann das Vierfache von x subtrahiert und anschließend 3 addiert. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert <math>f(5) = 5^2 -4\cdot 5 +3 =25 -20 +3 = 8</math> und den x-Wert <math>x=-2,5</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) =(-2,5)^2 -4 \cdot (-2,5) +3 =6,25 +10 +3 = 19,25</math>.
			#Die Funktion<math>h</math> mit der Funktionsgleichung <math>h(x) =\frac{1}{x}</math> ist ein Beispiel für eine ''gebrochen rationale Funktion''. Sie macht aus jedem x-Wert (außer dem Wert 0) den entsprechenden Funktionswert y, indem sie den Kehrwert von x bildet. Den x-Wert <math>x=5</math> verarbeitet diese Funktion also z.B. zu dem y-Wert <math>h(5) = \frac{1}{5} = 0,2</math> und den x-Wert <math>x=-2,5 =-\frac{5}{2}</math> zu dem y-Wert <math>f(-2,5) = -\frac{2}{5} = -0,4</math>. Den x-Wert 0 kann diese Funktion allerdings nicht verarbeiten, denn durch die Zahl 0 darf man bekanntlich nicht dividieren.

	====Funktion als "eindeutige Zuordnung"====		====Funktion als "eindeutige Zuordnung"====

Ukalina am 31. Oktober 2025 um 18:52 Uhr

2025-10-31T18:52:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Oktober 2025, 18:52 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	====Funktionenmaschine====		====Funktionenmaschine====
	[[Datei:Funktionenmaschine Arial.png\|mini\|200px\|right\|Funktionenmaschine <math>f(x)=x^2 </math>]]Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: <math>5^2 = 5\cdot 5 = 25</math>. <br />		[[Datei:Funktionenmaschine Arial.png\|mini\|200px\|right\|Funktionenmaschine <math>f(x)=x^2 </math>]]Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: <math>5^2 = 5\cdot 5 = 25</math>. <br />
	Man kann die Arbeitsweise der ~~Quadriermaschine sehr einfach~~ mithilfe einer '''Rechenvorschrift''' beschreiben: <math>y = x^2 </math>.		Man kann die Arbeitsweise der Funktionenmaschine mithilfe einer '''Rechenvorschrift''' beschreiben, die angibt welche Rechenschritte man mit x durchführen muss, um y zu erhalten. Bei der Quadrierfunktion lautet sie z.B. einfach <math>y = x^2 </math>. Eine etwas andere Schreibweise sieht so: <math>f(x) = x^2</math>. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "<math>f</math>") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: <math>f(5) = 5^2</math>.
	Eine etwas andere Schreibweise sieht so: <math>f(x) = x^2</math>. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "<math>f</math>") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: <math>f(5) = 5^2</math>.

	====Funktion als "eindeutige Zuordnung"====		====Funktion als "eindeutige Zuordnung"====

Ukalina am 31. Oktober 2025 um 11:36 Uhr

2025-10-31T11:36:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Oktober 2025, 11:36 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	: Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte		: Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte
	; Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math>		; Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math>
	: Gleichung, die ~~das Verhalten der Funktion rechnerisch~~ beschreibt		: Gleichung, die beschreibt, wie man y aus x berechnet
	\|3=Merksatz}}		\|3=Merksatz}}

Ukalina am 31. Oktober 2025 um 11:28 Uhr

2025-10-31T11:28:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Oktober 2025, 11:28 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	*[[Benutzer:Ukalina/Funktionen/Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]		*[[Benutzer:Ukalina/Funktionen/Polynomfunktionen\|Polynomfunktionen]]


			====Funktionenmaschine====
			[[Datei:Funktionenmaschine Arial.png\|mini\|200px\|right\|Funktionenmaschine <math>f(x)=x^2 </math>]]Eine mathematische Funktion kann man sich wie eine Maschine vorstellen, die Zahlen verarbeitet. Auf der einen Seite steckt man x-Werte hinein und diese werden in der Maschine zu y-Werten verarbeitet, die dann auf der anderen Seite wieder herauskommen. Die Quadrierfunktion macht z.B. aus dem x-Wert 5 den y-Wert 25, indem sie einfach 5 quadriert: <math>5^2 = 5\cdot 5 = 25</math>. <br />
			Man kann die Arbeitsweise der Quadriermaschine sehr einfach mithilfe einer '''Rechenvorschrift''' beschreiben: <math>y = x^2 </math>.
			Eine etwas andere Schreibweise sieht so: <math>f(x) = x^2</math>. Dabei wird der Funktion auch gleich ein Name gegeben (hier "<math>f</math>") und man kann in die runden Klammern hinter dem Namen auch konkrete x-Werte schreiben, z.B.: <math>f(5) = 5^2</math>.

			====Funktion als "eindeutige Zuordnung"====
			Im mathematischen Sinne ist eine Funktion eine "eindeutige Zuordnung". Das bedeutet: Jedesmal, wenn man einen bestimmten x-Wert in eine Funktion hineinsteckt, z.B. den Wert <math>x=3</math> in die Funktion <math>f(x) =x^2</math>, dann kann man sicher sein, dass auch immer der gleiche y-Wert wieder heraus kommt - in diesem Beispiel der Wert <math>y=9</math>. Jedem x-Wert wird also eindeutig genau ein y-Wert zugeordnet.<br />
			Umgekehrt muss das aber nicht so sein! Der gleiche y-Wert kann durchaus der Funktionswert von verschiedenen x-Werten sein, d.h. es kann mehrere x-Werte geben, denen der gleiche y-Wert zugeordnet wird. So wird z.B. bei der Funktion <math>f(x) =x^2</math> der y-Wert <math>y=9</math> als Funktionswert sowohl dem x-Wert <math>x=-3</math> als auch dem x-Wert <math>x=3</math> zugeordnet, denn <math>f(-3)=(-3)^2 = 9</math> ("Minus mal minus ergibt plus.") und <math>f(3) = 3^2 = 9</math>.

			{{Box
			\|1=Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen
			\|2=
			; Argument <math>x</math>
			: x-Wert, input der Funktion
			; Funktionswert <math>f(x)</math>
			: y-Wert, output der Funktion
			; Funktionsterm <math>x^2</math>
			: Rechenausdruck für die Verarbeitung der x-Werte
			; Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math>
			: Gleichung, die das Verhalten der Funktion rechnerisch beschreibt
			\|3=Merksatz}}

			====Wertetabelle====
			Eine weitere Möglichkeit, die Arbeitsweise einer Funktion zu beschreiben, ist die Wertetabelle.
			Für eine Reihe von x-Werten wird in einer Tabelle jeweils einem x-Wert der y-Wert <math>f(x)</math> gegenübergestellt, der sich aus der Funktionsvorschrift berechnen lässt.

			Für die Funktion <math>f(x)=x^2</math> kann man z.B. folgende Wertetabelle aufstellen:

			{\| cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"
			\|+ '''Tabelle 1: <math>f(x)=x^2</math>'''
			\|align="center" \|'''x'''
			\| -3
			\| -2
			\| -1
			\| 0
			\| 1
			\| 2
			\| 3
			\|-
			\|align="center" \|'''f(x)'''
			\|9
			\|4
			\|1
			\|0
			\|1
			\|4
			\|9
			\|}