Benutzer:Ukalina/Arithmico 2.24 Anleitung/Ableitung und Integral - Versionsgeschichte

Ukalina am 15. September 2025 um 06:33 Uhr

2025-09-15T06:33:23Z

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	==== 8.4 Ableitung der Sinus-Funktion ====		==== 8.4 Ableitung der Sinus-Funktion ====
	=====Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion <math>f(x) = sin(x)</math> an der Stelle <math>\frac{\pi}{4}</math>, also <math>f '(\pi /4)</math>.=====		=====Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion <math>f(x) = sin(x)</math> an der Stelle <math>\frac{\pi}{4}</math>, also <math>f '(\frac{\pi}{4})</math>.=====

	:Eingabe: <code>nderive((x)->sin(x); pi /4)</code>		:Eingabe: <code>nderive((x)->sin(x); pi /4)</code>
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	=== 9 Bestimmtes Integral ===		=== 9 Bestimmtes Integral ===
	:<code>nintegrate(f; u; v)</code>		:<code>nintegrate(f; a; b)</code>
	::berechnet für die Funktion f das bestimmte Integral <math>\~~int_u~~^v f(x)\; dx </math> mit der Untergrenze u und der Obergrenze v.		::berechnet für die Funktion f das bestimmte Integral <math>\int_a^b f(x)\; dx </math> mit der Untergrenze a und der Obergrenze b.

	==== 9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion ====		==== 9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion ====

Ukalina: /* 9 Bestimmtes Integral */

2025-09-14T16:39:08Z

9 Bestimmtes Integral

Änderungen zeigen

Ukalina am 14. September 2025 um 12:52 Uhr

2025-09-14T12:52:36Z

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	=== 9 Bestimmtes Integral ===		=== 9 Bestimmtes Integral ===
	:<code>nintegrate(f; u; v)</code>		:<code>nintegrate(f; u; v)</code>
	::berechnet das bestimmte Integral der Funktion f mit der Untergrenze u und der Obergrenze v.		::berechnet das bestimmte Integral <math>\int_u^v f(x)\; dx </math>der Funktion f mit der Untergrenze u und der Obergrenze v.

	==== 9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion ====		==== 9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion ====

Ukalina am 14. September 2025 um 12:40 Uhr

2025-09-14T12:40:05Z

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	==== 8.3 Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ====		==== 8.3 Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ====
	=====Beispiel 8.3.1 Steigung der natürlichen Logarithmusfunktion an der Stelle 4=====		=====Beispiel 8.3.1 Steigung der natürlichen Logarithmusfunktion an der Stelle 4=====
	Berechne die 1. Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(x)</math> an der Stelle 4, also <math>f '(4)</math>.		Berechne die 1. Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion <math>f(x) = ln(x)</math> an der Stelle 4, also <math>f '(4)</math>.

	:Eingabe: <code>nderive((x)->ln(x); 4)</code>		:Eingabe: <code>nderive((x)->ln(x); 4)</code>
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	==== 8.4 Ableitung der Sinus-Funktion ====		==== 8.4 Ableitung der Sinus-Funktion ====
	Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion <math>f(x) = sin(x)</math> an der Stelle <math>\frac{\pi}{4}</math>, also <math>f '(\pi /4)</math>.		=====Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion <math>f(x) = sin(x)</math> an der Stelle <math>\frac{\pi}{4}</math>, also <math>f '(\pi /4)</math>.=====

	:Eingabe: <code>nderive((x)->sin(x); pi /4)</code>		:Eingabe: <code>nderive((x)->sin(x); pi /4)</code>
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	=== 9 Bestimmtes Integral ===		=== 9 Bestimmtes Integral ===
	~~'''~~nintegrate(f~~(x)~~; u; v)~~''' Berechne~~ das bestimmte Integral der Funktion f mit Untergrenze u und Obergrenze v.		:<code>nintegrate(f; u; v)</code>
			::berechnet das bestimmte Integral der Funktion f mit der Untergrenze u und der Obergrenze v.

	==== 9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion ====		==== 9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion ====
	Beispiel 9.1.1 Berechne das bestimmte Integral		=====Beispiel 9.1.1 Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=x^3</math> Berechne das bestimmte Integral <math>\int_0^1 x^3 dx </math>.=====

	~~\int_0^1 x^3 dx .~~		:Eingabe: <code>nintegrate(x -> x^3; 0; 1)</code>
			:Ausgabe: <code>0,25</code>
	Eingabe: nintegrate(x -> x^3; 0; 1)

	Ausgabe: 0,25

	oder		oder

	Eingabe: f(x):=x^3		:Eingabe: <code>f(x):=x^3</code>

	Eingabe: nintegrate(f; 0; 1)		:Eingabe: <code>nintegrate(f; 0; 1)</code>

	Ausgabe: 0,25		:Ausgabe: <code>0,25</code>

	==== 9.2 Bestimmtes Integral über einer trigonometrischen Funktion ====		==== 9.2 Bestimmtes Integral über einer trigonometrischen Funktion ====

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2025-09-14T12:32:38Z

Die Seite wurde neu angelegt: „__NOTOC__ {{Fortsetzung |vorher=zurück|vorherlink=Benutzer:Ukalina/Arithmico_2.24_Anleitung/Wertetabellen und das Lösen von Gleichungen |weiter=weiter|weiterlink=Benutzer:Ukalina/Arithmico_2.24_Anleitung/Vektoren und Matrizen |übersicht=Inhaltsverzeichnis |übersichtlink=Benutzer:Ukalina/Arithmico_2.24_Anleitung#Inhaltsverzeichnis }} === 8 Ableitung einer Funktion an einer festen Stelle === :<code>nderive(f(x); x; g?)</code> ::berechnet die Ableitung…“

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{{Fortsetzung
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|übersichtlink=Benutzer:Ukalina/Arithmico_2.24_Anleitung#Inhaltsverzeichnis
}}

=== 8 Ableitung einer Funktion an einer festen Stelle ===
:<code>nderive(f(x); x; g?)</code>
::berechnet die Ableitung der Funktion f an der Stelle x. Wenn der Grad g nicht angegeben wird, dann wird die erste Ableitung berechnet.

==== 8.1 Ableitung einer Polynomfunktion ====
=====Beispiel 8.1.1 Steigung der Normalparabel an der Stelle 3 =====
Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = x^2</math>. Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 3, also <math>f '(3)</math>.

:Eingabe: <code>f(x) := x^2</code>
:Ausgabe: <code>(x: any) → x^2</code>

:Eingabe: <code>nderive(f ; 3)</code>
:Ausgabe: <code>6</code>

oder kürzer:

:Eingabe: <code>nderive((x)->(x^2); 3)</code>
:Ausgabe: <code>6</code>

==== 8.2 Ableitung der e-Funktion ====
=====Beispiel 8.2.1 Steigung der e-Funktion an der Stelle 1=====
Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = e^x</math>. Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 1, also <math>f '(1)</math>.

:Eingabe: <code>nderive((x)->e^x; 1)</code>
:Ausgabe: <code>2,71828</code>

==== 8.3 Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ====
=====Beispiel 8.3.1 Steigung der natürlichen Logarithmusfunktion an der Stelle 4=====
Berechne die 1. Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(x)</math> an der Stelle 4, also <math>f '(4)</math>.

:Eingabe: <code>nderive((x)->ln(x); 4)</code>
:Ausgabe: <code>0,25</code>

==== 8.4 Ableitung der Sinus-Funktion ====
Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion <math>f(x) = sin(x)</math> an der Stelle <math>\frac{\pi}{4}</math>, also <math>f '(\pi /4)</math>.

:Eingabe: <code>nderive((x)->sin(x); pi /4)</code>
:Ausgabe: <code>0,70711</code>

=== 9 Bestimmtes Integral ===
'''nintegrate(f(x); u; v)''' Berechne das bestimmte Integral der Funktion f mit Untergrenze u und Obergrenze v.

==== 9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion ====
Beispiel 9.1.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^1 x^3 dx .

Eingabe: nintegrate(x -> x^3; 0; 1)

Ausgabe: 0,25

oder

Eingabe: f(x):=x^3

Eingabe: nintegrate(f; 0; 1)

Ausgabe: 0,25

==== 9.2 Bestimmtes Integral über einer trigonometrischen Funktion ====
Beispiel 9.2.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^\pi sin(x) dx .

Eingabe: nintegrate(x -> sin(x); 0; pi)

Ausgabe: 2

==== 9.3 Bestimmtes Integral über einer Exponentialfunktion ====
Beispiel 9.3.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^1 e^x dx .

Eingabe: nintegrate(x -> e^x; 0; 1)

Ausgabe: 1,71828

Beispiel 9.3.2 \int_0^\infty e^(-x) dx soll näherungsweise berechnet werden. Dazu wird die obere Integralgrenze mit b = 20 so gewählt, dass

der Funktionswert e^(-b) = e^(-20)

= 2,06115 * 10^(-9) dicht bei 0 liegt.

Eingabe: nintegrate((x) -> e^(-x);0;20)

Ausgabe: 1 Ableitung einer Funktion an einer festen Stelle

nderive(f(x); x; g?) Ableitung der Funktion f an der Stelle x. Wird der Grad g nicht angegeben, wird die erste Ableitung berechnet.

8.1 Ableitung einer Polynomfunktion

Beispiel 8.1.1 Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2. Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 3, also f '(3).

Eingabe: f(x) := x^2

Ausgabe: (x: any) → x^2

Eingabe: nderive(f ; 3)

Ausgabe: 6

oder kürzer:

Eingabe: nderive((x)->(x^2); 3)

Ausgabe: 6

8.2 Ableitung der e-Funktion

Beispiel 8.2.1 Gegeben ist die Funktion f(x) = e^x. Berechne die 1. Ableitung an der Stelle 1, also f '(1)

Eingabe: nderive((x)->e^x; 1)

Ausgabe: 2,71828

8.3 Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

Beispiel 8.3.1 Berechne die 1. Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) an der Stelle 4, also f '(4)

Eingabe: nderive((x)->ln(x); 4)

Ausgabe: 0,25

8.4 Ableitung der Sinus-Funktion

Beispiel 8.4.1 Berechne die 1. Ableitung der Sinusfunktion

f(x) = sin(x) an der Stelle \pi /4 , also f '(\pi /4)

Eingabe: nderive((x)->sin(x); pi /4)

Ausgabe: 0,70711

9 Bestimmtes Integral

nintegrate(f(x); u; v) Berechne das bestimmte Integral der Funktion f mit Untergrenze u und Obergrenze v.

9.1 Bestimmtes Intral über einer Polynomfunktion

Beispiel 9.1.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^1 x^3 dx .

Eingabe: nintegrate(x -> x^3; 0; 1)

Ausgabe: 0,25

oder

Eingabe: f(x):=x^3

Eingabe: nintegrate(f; 0; 1)

Ausgabe: 0,25

9.2 Bestimmtes Integral über einer trigonometrischen Funktion

Beispiel 9.2.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^\pi sin(x) dx .

Eingabe: nintegrate(x -> sin(x); 0; pi)

Ausgabe: 2

9.3 Bestimmtes Integral über einer Exponentialfunktion

Beispiel 9.3.1 Berechne das bestimmte Integral

\int_0^1 e^x dx .

Eingabe: nintegrate(x -> e^x; 0; 1)

Ausgabe: 1,71828

Beispiel 9.3.2 \int_0^\infty e^(-x) dx soll näherungsweise berechnet werden. Dazu wird die obere Integralgrenze mit b = 20 so gewählt, dass

der Funktionswert e^(-b) = e^(-20)

= 2,06115 * 10^(-9) dicht bei 0 liegt.

Eingabe: nintegrate((x) -> e^(-x);0;20)

Ausgabe: 1