Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Infos für Lehrkräfte - Versionsgeschichte

PascalHänle: /* Grundvorstellungen */

2019-08-20T06:42:47Z

Grundvorstellungen

← Nächstältere Version		Version vom 20. August 2019, 06:42 Uhr
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	==Grundvorstellungen==		==Grundvorstellungen==
	[[Datei:Modellierungsprozess.png\|mini\|500x500px\|Modellierungsprozess]]		[[Datei:Modellierungsprozess.png\|mini\|500x500px\|Modellierungsprozess]]
	Grundvorstellungen sind Instrumente der Vermittlung zwischen Mathematik und Realität. Sie weisen mathematischen Begriffen eine inhaltliche Deutung und Sinnhaftigkeit zu, was eine wesentliche Voraussetzungen für einen verständnisvollen Umgang mit Begriffen darstellt. Mit diesen Eigenschaften spielen sie eine zentrale Rolle bei der mathematischen Modellierung und greifen im Modellierungskreislauf beim Prozess der Mathematisierung und der Interpretation.		Grundvorstellungen sind Instrumente der Vermittlung zwischen Mathematik und Realität. Sie weisen mathematischen Begriffen eine inhaltliche Deutung und Sinnhaftigkeit zu, was eine wesentliche Voraussetzungen für einen verständnisvollen Umgang mit Begriffen darstellt. Mit diesen Eigenschaften spielen sie eine zentrale Rolle bei der mathematischen Modellierung und greifen im Modellierungskreislauf beim Prozess der Mathematisierung und der Interpretation. Ein Repertoire an verschiedenen Grundvorstellungen hilft dabei Begriffe flexibel auf unbekannte Sachaufgaben anzuwenden.

	<br />		<br />

PascalHänle: /* Ableitung als lineare Approximation */

2019-08-16T09:09:43Z

Ableitung als lineare Approximation

← Nächstältere Version		Version vom 16. August 2019, 09:09 Uhr
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	(Ableitung)		(Ableitung)
	\|}		\|}
	Auch wenn der Übergang zum analytischen erst von Schritt 3 auf Schritt 4 vollzogen wird, sind die Schritte 1 und 2 nicht zu vernachlässigen. <br />		Auch wenn der Übergang zum analytischen erst von Schritt 3 auf Schritt 4 vollzogen wird, sind die Schritte 1 und 2 nicht zu vernachlässigen.

			Des Weiteren ist darauf zu achten, dass die lokale Änderungsrate auf graphischer Beschreibungsebene, mit der Steigung des Graphen in einem Punkt, also der Steigung der Tangente des Graphen in diesem Punkt gleichzusetzen ist. <br />

	=====Ableitung als lineare Approximation=====		=====Ableitung als lineare Approximation=====

PascalHänle: /* Grundvorstellungen */

2019-08-14T08:39:14Z

Grundvorstellungen

← Nächstältere Version		Version vom 14. August 2019, 08:39 Uhr
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	{{Box\|Info\|In diesem Lernpfad werden Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff behandelt. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass sich Schülerinnen und Schüler die		{{Box\|Info\|In diesem Lernpfad werden '''Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff''' behandelt. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass sich Schülerinnen und Schüler die

	*Ableitung als momentane Änderungsrate		*Ableitung als momentane Änderungsrate
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	selbst erarbeiten können.		selbst erarbeiten können.

	Gerade im Bereich der Differentialrechnung bietet sich eine computergestützte Lernumgebung sehr gut an, da der Grenzwertprozess mit Hilfe der dynamischen GeoGebra-Applets anschaulich vermittelt werden kann. Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des entdeckenden Lernens aufgebaut und bringt unter anderem folgende '''zwei Vorteile''' mit sich.		Gerade im Bereich der Differentialrechnung bietet sich eine computergestützte Lernumgebung sehr gut an, da der Grenzwertprozess mit Hilfe der dynamischen GeoGebra-Applets anschaulich vermittelt werden kann. Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des '''entdeckenden Lernens''' aufgebaut und bringt unter anderem folgende '''zwei Vorteile''' mit sich.

	*Das selbständige Erarbeiten von neuem Wissen erfordert ein ständiges Aufrufen und neu Anordnen von bereits bekanntem Wissen und ist somit einer intensiven und sinnvollen Art des Übens gleichzusetzen.		*Das selbständige Erarbeiten von neuem Wissen erfordert ein ständiges Aufrufen und neu Anordnen von bereits bekanntem Wissen und ist somit einer intensiven und sinnvollen Art des Übens gleichzusetzen.
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	In dieser Handreichung wird nun aufgezeigt was bei den einzelnen Grundvorstellungen und Aufgaben zu beachten ist und wie der Lernpfad in den Unterricht eingebunden werden kann und .		In dieser Handreichung wird nun aufgezeigt was bei den einzelnen Grundvorstellungen und Aufgaben zu beachten ist und wie der Lernpfad in den Unterricht eingebunden werden kann und .

	Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die benötigten Voraussetzungen, Lösungen und passenden Hilfestellungen vorhanden. \|Kurzinfo		Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die '''benötigten Voraussetzungen''', '''Lösungen''' und '''passenden Hilfestellungen''' vorhanden. \|Kurzinfo
	}}		}}




	==Grundvorstellungen==		==Grundvorstellungen==

PascalHänle: /* Handreichung für Lehrkräfte */

2019-08-14T08:36:24Z

Handreichung für Lehrkräfte

← Nächstältere Version		Version vom 14. August 2019, 08:36 Uhr
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	~~==Handreichung für Lehrkräfte==~~		{{Box\|Info\|In diesem Lernpfad werden Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff behandelt. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass sich Schülerinnen und Schüler die


	In diesem Lernpfad werden Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff behandelt. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass sich Schülerinnen und Schüler die

	*Ableitung als momentane Änderungsrate		*Ableitung als momentane Änderungsrate
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	Gerade im Bereich der Differentialrechnung bietet sich eine computergestützte Lernumgebung sehr gut an, da der Grenzwertprozess mit Hilfe der dynamischen GeoGebra-Applets anschaulich vermittelt werden kann. Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des entdeckenden Lernens aufgebaut und bringt unter anderem folgende '''zwei Vorteile''' mit sich.		Gerade im Bereich der Differentialrechnung bietet sich eine computergestützte Lernumgebung sehr gut an, da der Grenzwertprozess mit Hilfe der dynamischen GeoGebra-Applets anschaulich vermittelt werden kann. Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des entdeckenden Lernens aufgebaut und bringt unter anderem folgende '''zwei Vorteile''' mit sich.

	* Das selbständige Erarbeiten von neuem Wissen erfordert ein ständiges Aufrufen und neu Anordnen von bereits bekanntem Wissen und ist somit einer intensiven und sinnvollen Art des Übens gleichzusetzen.		*Das selbständige Erarbeiten von neuem Wissen erfordert ein ständiges Aufrufen und neu Anordnen von bereits bekanntem Wissen und ist somit einer intensiven und sinnvollen Art des Übens gleichzusetzen.

	* Aufgrund der persönlichen Bemühung der Problemlösung oder der Erschließung neuer Inhalte ist es wahrscheinlich, dass diese Inhalte langanhaltend und korrekt beibehalten werden und sie sich auch immer wieder aufs Neue selbst erschlossen werden können.		*Aufgrund der persönlichen Bemühung der Problemlösung oder der Erschließung neuer Inhalte ist es wahrscheinlich, dass diese Inhalte langanhaltend und korrekt beibehalten werden und sie sich auch immer wieder aufs Neue selbst erschlossen werden können.

	In dieser Handreichung wird nun aufgezeigt was bei den einzelnen Grundvorstellungen und Aufgaben zu beachten ist und wie der Lernpfad in den Unterricht eingebunden werden kann und .		In dieser Handreichung wird nun aufgezeigt was bei den einzelnen Grundvorstellungen und Aufgaben zu beachten ist und wie der Lernpfad in den Unterricht eingebunden werden kann und .

	Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die benötigten Voraussetzungen, Lösungen und passenden Hilfestellungen vorhanden.		Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die benötigten Voraussetzungen, Lösungen und passenden Hilfestellungen vorhanden. \|Kurzinfo
			}}




	==Grundvorstellungen==		==Grundvorstellungen==

PascalHänle: /* Grundvorstellungen */

2019-08-14T08:32:26Z

Grundvorstellungen

← Nächstältere Version		Version vom 14. August 2019, 08:32 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	selbst erarbeiten können.		selbst erarbeiten können.

	Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des entdeckenden Lernens gestaltet und bietet den Vorteil, dass der Fortschritt beim Lernen von Mathematik im Zuge von entdeckerischen Unternehmungen umso effektiver ist, je mehr es auf der eigenen Erfahrung, also dem eigenen Wissen und ~~Können beruht~~.		Gerade im Bereich der Differentialrechnung bietet sich eine computergestützte Lernumgebung sehr gut an, da der Grenzwertprozess mit Hilfe der dynamischen GeoGebra-Applets anschaulich vermittelt werden kann. Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des entdeckenden Lernens aufgebaut und bringt unter anderem folgende '''zwei Vorteile''' mit sich.

	In dieser Handreichung ~~werden~~ nun ~~Möglichkeiten~~ aufgezeigt wie der Lernpfad in den Unterricht eingebunden werden kann und ~~was bei den einzelnen Grundvorstellungen und Aufgaben zu beachten ist~~.		* Das selbständige Erarbeiten von neuem Wissen erfordert ein ständiges Aufrufen und neu Anordnen von bereits bekanntem Wissen und ist somit einer intensiven und sinnvollen Art des Übens gleichzusetzen.

			* Aufgrund der persönlichen Bemühung der Problemlösung oder der Erschließung neuer Inhalte ist es wahrscheinlich, dass diese Inhalte langanhaltend und korrekt beibehalten werden und sie sich auch immer wieder aufs Neue selbst erschlossen werden können.

			In dieser Handreichung wird nun aufgezeigt was bei den einzelnen Grundvorstellungen und Aufgaben zu beachten ist und wie der Lernpfad in den Unterricht eingebunden werden kann und .

	Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die benötigten Voraussetzungen, Lösungen und passenden Hilfestellungen vorhanden.		Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die benötigten Voraussetzungen, Lösungen und passenden Hilfestellungen vorhanden.
Zeile 25:		Zeile 29:

	===Hinweise zu den Grundvorstellungen===		===Hinweise zu den Grundvorstellungen===
	Wird der Lernpfad in den Unterricht eingebunden so ist bei Gruppenreflexionen oder Sicherungen der Aufgaben auf ~~folgenden~~ Punkte zu achten.		Wird der Lernpfad in den Unterricht eingebunden, so ist bei Gruppenreflexionen oder Sicherungen der Aufgaben auf folgende Punkte zu achten.

	=====Ableitung als Steigung der Tangente=====		=====Ableitung als Steigung der Tangente=====
Zeile 36:		Zeile 40:

	=====Ableitung als momentane Änderungsrate=====		=====Ableitung als momentane Änderungsrate=====
	Speziell bei dieser, aber auch bei den anderen Grundvorstellungen ist immer auf das Verständnis ~~aller~~ Beschreibungsebenen zu achten.		Speziell bei dieser, aber auch bei den anderen Grundvorstellungen ist immer auf das Verständnis auf allen Beschreibungsebenen zu achten.
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|'''Beschreibungsebene'''		\|'''Beschreibungsebene'''
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	==Hinweise zu den Aufgaben==		==Hinweise zu den Aufgaben==
	Das Ziel jeder Aufgabe des Lernpfads ist es, durch angeleitetes Selbsterkunden in den Applets oder ~~mithilfe~~ von Tabellen und Graphiken Erkenntnisse zu gewinnen. Trotz eingebauter Hilfestellungen und Lösungskontrollen ist es gerade bei der Vermittlung von Grundvorstellung wichtig die selbstgewonnen Erkenntnisse mit denen von Anderen zu vergleichen und somit auf ihre mathematische Korrektheit zu überprüfen. Es wird daher empfohlen an geeigneten Stellen gemeinsame Sicherungs- oder Reflexionsphasen ~~einzubauen~~.		Das Ziel jeder Aufgabe des Lernpfads ist es, durch angeleitetes Selbsterkunden in den Applets oder mit Hilfe von Tabellen und Graphiken Erkenntnisse zu gewinnen. Trotz eingebauter Hilfestellungen und Lösungskontrollen ist es gerade bei der Vermittlung von Grundvorstellung wichtig die selbstgewonnen Erkenntnisse mit denen von Anderen zu vergleichen und somit auf ihre mathematische Korrektheit zu überprüfen. Es wird daher empfohlen an geeigneten Stellen gemeinsame Sicherungs- oder Reflexionsphasen einzuplanen.

PascalHänle: /* Möglichkeiten der Einbindung */

2019-08-13T09:13:59Z

Möglichkeiten der Einbindung

← Nächstältere Version		Version vom 13. August 2019, 09:13 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	==Möglichkeiten der Einbindung==		==Möglichkeiten der Einbindung==

	*Da es sich hier um einen Wiki - Lernpfad handelt, können verschiedene Aufgaben aus dem Lernpfad herauskopiert ~~werden~~ und an die Anforderungen der eigenen Lerngruppe angepasst werden. So können auch einzelne Aufgaben des Lernpfads im Unterricht bearbeitet werden.		*Da es sich hier um einen Wiki - Lernpfad handelt, können verschiedene Aufgaben aus dem Lernpfad herauskopiert und in einem eigenen Lernpfad an die Anforderungen der eigenen Lerngruppe angepasst werden. So können auch einzelne Aufgaben des Lernpfads herauskopiert werden und im Unterricht bearbeitet werden.

	*~~Es kann~~ jede Grundvorstellung ~~allein stehend~~ von den Schülern selbst erarbeitet werden ~~und~~ kann somit als Hausaufgabe oder Wochenaufgabe aufgegeben werden.		*Da jede Grundvorstellung im Zuge des entdeckenden Lernens von den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeitet werden kann, können somit Teile des Lernpfads als Hausaufgabe oder Wochenaufgabe aufgegeben werden.

	*Die Aufgaben des Lernpfads sind auch auf folgenden Arbeitsblättern festgehalten und können den Schülern somit ausgedruckt werden. So benötigt lediglich die Bedienung der Applets ein PC oder Tablet. Dies kann bei mangelnder Ausstattung von Vorteil sein.		*Die Aufgaben des Lernpfads sind auch auf folgenden Arbeitsblättern festgehalten und können den Schülerinnen und Schülern somit ausgedruckt werden. So benötigt lediglich die Bedienung der Applets ein PC oder Tablet. Dies kann bei mangelnder Ausstattung von Vorteil sein.

	<br />		<br />

PascalHänle am 13. August 2019 um 09:06 Uhr

2019-08-13T09:06:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. August 2019, 09:06 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:

	=====Ableitung als momentane Änderungsrate=====		=====Ableitung als momentane Änderungsrate=====
	Speziell bei dieser aber auch bei den anderen Grundvorstellungen ist immer auf das Verständnis aller Beschreibungsebenen zu achten.		Speziell bei dieser, aber auch bei den anderen Grundvorstellungen ist immer auf das Verständnis aller Beschreibungsebenen zu achten.
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|'''Beschreibungsebene'''		\|'''Beschreibungsebene'''
	\|Schritt 1		\|Schritt 1
	\|Schritt 2		\|Schritt 2
	\|Schritt 3		\|Schritt 3
	\|Schritt 4		\|Schritt 4
	\|-		\|-
	\|Algebraisch		\|Algebraisch
	\|<math>f(x_0)</math>		\|<math>f(x_0)</math>
	\|<math>f(x_1)-f(x_0)</math>		\|<math>f(x_1)-f(x_0)</math>
	\|<math>\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} </math>		\|<math>\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} </math>
	\|~~<nowiki>~~<math> f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(~~x_0+h~~)-f(x_0)}{h}</math~~></nowiki~~>		\|<math>f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} </math>
	\|-		\|-
	\|Inhaltlich		\|Inhaltlich

PascalHänle: /* Ableitung als momentane Änderungsrate */

2019-08-13T09:03:35Z

Ableitung als momentane Änderungsrate

@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 =====Ableitung als momentane Änderungsrate=====
-<br />
+Speziell bei dieser aber auch bei den anderen Grundvorstellungen ist immer auf das Verständnis aller Beschreibungsebenen zu achten.
-*Das mit dem Zeug auf allen Ebenen
+(Ableitung)
 =====Ableitung als lineare Approximation=====

PascalHänle: /* Grundvorstellungen */

2019-08-13T08:43:44Z

Grundvorstellungen

← Nächstältere Version		Version vom 13. August 2019, 08:43 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	== Handreichung für Lehrkräfte ==		==Handreichung für Lehrkräfte==


Zeile 13:		Zeile 13:
	Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des entdeckenden Lernens gestaltet und bietet den Vorteil, dass der Fortschritt beim Lernen von Mathematik im Zuge von entdeckerischen Unternehmungen umso effektiver ist, je mehr es auf der eigenen Erfahrung, also dem eigenen Wissen und Können beruht.		Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des entdeckenden Lernens gestaltet und bietet den Vorteil, dass der Fortschritt beim Lernen von Mathematik im Zuge von entdeckerischen Unternehmungen umso effektiver ist, je mehr es auf der eigenen Erfahrung, also dem eigenen Wissen und Können beruht.

	In dieser Handreichung werden nun Möglichkeiten aufgezeigt wie der Lernpfad in den Unterricht ~~eingebaut~~ werden kann, was bei den einzelnen Grundvorstellungen zu beachten ist ~~und wieso es Sinn macht, dass Schülerinnen und Schüler diesen Lernpfad bearbeiten~~.		In dieser Handreichung werden nun Möglichkeiten aufgezeigt wie der Lernpfad in den Unterricht eingebunden werden kann und was bei den einzelnen Grundvorstellungen und Aufgaben zu beachten ist.

	Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die benötigten Voraussetzungen, Lösungen und passenden Hilfestellungen vorhanden.		Im Lernpfad sind zu allen gestellten Aufgaben die benötigten Voraussetzungen, Lösungen und passenden Hilfestellungen vorhanden.

PascalHänle: /* Handreichung für Lehrkräfte */

2019-08-13T08:42:27Z

Handreichung für Lehrkräfte

← Nächstältere Version		Version vom 13. August 2019, 08:42 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	=Handreichung für Lehrkräfte=		== Handreichung für Lehrkräfte ==


	In diesem Lernpfad werden Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff behandelt. Der Lernpfad ist so ~~Aufgebaut~~, dass sich Schülerinnen und Schüler die		In diesem Lernpfad werden Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff behandelt. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass sich Schülerinnen und Schüler die

	*Ableitung als momentane Änderungsrate		*Ableitung als momentane Änderungsrate
	*Ableitung als Steigung der Tangente		*Ableitung als Steigung der Tangente
	*Ableitung als lokale lineare Approximation		*Ableitung als lokale lineare Approximation
			*Ableitung als Änderungsdetektor

	~~Selbst~~ erarbeiten können. ~~Die Ableitung als Änderungsdetektor wird als ergänzende Grundvorstellung behandelt~~.		selbst erarbeiten können.

			Der Lernpfad ist nach den Prinzipien des entdeckenden Lernens gestaltet und bietet den Vorteil, dass der Fortschritt beim Lernen von Mathematik im Zuge von entdeckerischen Unternehmungen umso effektiver ist, je mehr es auf der eigenen Erfahrung, also dem eigenen Wissen und Können beruht.

	In dieser Handreichung werden nun Möglichkeiten aufgezeigt wie der Lernpfad in den Unterricht eingebaut werden kann, was bei den einzelnen Grundvorstellungen zu beachten ist und wieso es Sinn macht, dass Schülerinnen und Schüler diesen Lernpfad bearbeiten.		In dieser Handreichung werden nun Möglichkeiten aufgezeigt wie der Lernpfad in den Unterricht eingebaut werden kann, was bei den einzelnen Grundvorstellungen zu beachten ist und wieso es Sinn macht, dass Schülerinnen und Schüler diesen Lernpfad bearbeiten.
Zeile 26:		Zeile 29:
	=====Ableitung als Steigung der Tangente=====		=====Ableitung als Steigung der Tangente=====

	*Erweiterung des Tangentenbegriffs als lokale Schmiegegerade.		*Erweiterung des Tangentenbegriffs als lokale Schmiegegerade.

	*Vermeidung der Sichtweise die Tangente schneide den Graph nur in einem Punkt.		*Vermeidung der Sichtweise die Tangente schneide den Graph nur in einem Punkt.

	*Die Tangente hat die gleiche Steigung wie der Graph an dem Punkt den sie berührt.		*Die Tangente hat die gleiche Steigung wie der Graph an dem Punkt den sie berührt.
Zeile 45:		Zeile 48:
	==Möglichkeiten der Einbindung==		==Möglichkeiten der Einbindung==

	* Da es sich hier um einen Wiki - Lernpfad handelt, können verschiedene Aufgaben aus dem Lernpfad herauskopiert werden und an die Anforderungen der eigenen Lerngruppe angepasst werden. So können auch einzelne Aufgaben des Lernpfads im Unterricht bearbeitet werden.		*Da es sich hier um einen Wiki - Lernpfad handelt, können verschiedene Aufgaben aus dem Lernpfad herauskopiert werden und an die Anforderungen der eigenen Lerngruppe angepasst werden. So können auch einzelne Aufgaben des Lernpfads im Unterricht bearbeitet werden.

	* Es kann jede Grundvorstellung allein stehend von den Schülern selbst erarbeitet werden und kann somit als Hausaufgabe oder Wochenaufgabe aufgegeben werden.		*Es kann jede Grundvorstellung allein stehend von den Schülern selbst erarbeitet werden und kann somit als Hausaufgabe oder Wochenaufgabe aufgegeben werden.

	* Die Aufgaben des Lernpfads sind auch auf folgenden Arbeitsblättern festgehalten und können den Schülern somit ausgedruckt werden. So benötigt lediglich die Bedienung der Applets ein PC oder Tablet. Dies kann bei mangelnder Ausstattung von Vorteil sein.		*Die Aufgaben des Lernpfads sind auch auf folgenden Arbeitsblättern festgehalten und können den Schülern somit ausgedruckt werden. So benötigt lediglich die Bedienung der Applets ein PC oder Tablet. Dies kann bei mangelnder Ausstattung von Vorteil sein.

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