Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben - Versionsgeschichte

F.Bischof am 24. April 2022 um 10:00 Uhr

2022-04-24T10:00:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. April 2022, 10:00 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	Diesen Sachverhalt kannst du dir nochmal in folgender Skizze näher anschauen:		Diesen Sachverhalt kannst du dir nochmal in folgender Skizze näher anschauen:

	<ggb_applet width="805" height="469" version="4.2" id="wfwmyqtg" ~~showResetIcon~~ = "false" ~~enableRightClick~~ = "false" ~~errorDialogsActive~~ = "true" ~~enableLabelDrags~~ = "false" ~~showMenuBar~~ = "false" ~~showToolBar~~ = "false" ~~showToolBarHelp~~ = "false" ~~showAlgebraInput~~ = "false" ~~useBrowserForJS~~ = "true" ~~allowRescaling~~ = "true" />		<ggb_applet width="805" height="469" version="4.2" id="wfwmyqtg" showreseticon="false" enablerightclick="false" errordialogsactive="true" enablelabeldrags="false" showmenubar="false" showtoolbar="false" showtoolbarhelp="false" showalgebrainput="false" usebrowserforjs="true" allowrescaling="true" />


Zeile 43:		Zeile 43:


	* Welchen Einfluss haben die Parameter a, b, c und d auf die Funktion? Wo liegen die Unterschiede?		*Welchen Einfluss haben die Parameter a, b, c und d auf die Funktion? Wo liegen die Unterschiede?
	* Wo befinden sich die Maxima und Minima der Funktion		*Wo befinden sich die Maxima und Minima der Funktion
	* Blende die Ableitungsfunktion ein. Welchen Zusammenhang siehst du? Wie ändert sich die Ableitung mit der Veränderung von a, b, c und d? Was erkennst du bei der Änderung von d?		*Blende die Ableitungsfunktion ein. Welchen Zusammenhang siehst du? Wie ändert sich die Ableitung mit der Veränderung von a, b, c und d? Was erkennst du bei der Änderung von d?
	* Um den Zusammenhang deutlicher zu sehen, klicke auf das Kontrollkästchen Extremwerte		*Um den Zusammenhang deutlicher zu sehen, klicke auf das Kontrollkästchen Extremwerte

	==Wozu überhaupt Extremwerte? ==		==Wozu überhaupt Extremwerte?==
	Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. Im folgenden soll dies an drei Beispielen verdeutlicht werden. Als erstes wollen wir untersuchen, auf welchem Weg ein Ziel am schnellsten erreicht werden kann (dies ist nicht immer der direkteste Weg). Danach schauen wir uns an, wie man eine größtmögliche Schachtel aus vorgegebenen Karton basteln kann. Als letztes soll untersucht werden, in welchem Winkel man einen Ball werfen muss, um damit eine maximale Wurfweite zu erzielen.		Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. Im folgenden soll dies an drei Beispielen verdeutlicht werden. Als erstes wollen wir untersuchen, auf welchem Weg ein Ziel am schnellsten erreicht werden kann (dies ist nicht immer der direkteste Weg). Danach schauen wir uns an, wie man eine größtmögliche Schachtel aus vorgegebenen Karton basteln kann. Als letztes soll untersucht werden, in welchem Winkel man einen Ball werfen muss, um damit eine maximale Wurfweite zu erzielen.

Zeile 306:		Zeile 306:
	}}		}}

	=== Der schräge Wurf ===		===Der schräge Wurf===

	{{Box\|1=Aufgabe 3\|2=		{{Box\|1=Aufgabe 3\|2=
Zeile 474:		Zeile 474:
	[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]		[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
	[[Kategorie:Lernpfad]]		[[Kategorie:Lernpfad]]
	~~[[Kategorie:Extremwertaufgaben]]~~
	[[Kategorie:Interaktive Übung]]		[[Kategorie:Interaktive Übung]]
	[[Kategorie:~~GeoGebra~~]]		[[Kategorie:Geometrie]]
			[[Kategorie:Analysis]]

Karl Kirst: - ZUM2Edutags

2021-12-17T10:05:40Z

- ZUM2Edutags

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2021, 10:05 Uhr
Zeile 471:		Zeile 471:

	[[Kategorie:Mathematik-digital]]		[[Kategorie:Mathematik-digital]]
	~~[[Kategorie:ZUM2Edutags]]~~
	[[Kategorie:Mathematik]]		[[Kategorie:Mathematik]]
	[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]		[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]

Kilian Schoeller am 13. Dezember 2018 um 20:49 Uhr

2018-12-13T20:49:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Dezember 2018, 20:49 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	Diesen Sachverhalt kannst du dir nochmal in folgender Skizze näher anschauen:		Diesen Sachverhalt kannst du dir nochmal in folgender Skizze näher anschauen:

	<ggb_applet width="805" height="469" version="4.2" ~~ggbBase64~~="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />		<ggb_applet width="805" height="469" version="4.2" id="wfwmyqtg" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Kilian Schoeller am 23. November 2018 um 15:10 Uhr

2018-11-23T15:10:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2018, 15:10 Uhr
Zeile 469:		Zeile 469:

	Herzlichen Glückwunsch! Du hast das Extremwertproblem des schrägen Wurfes gelöst!		Herzlichen Glückwunsch! Du hast das Extremwertproblem des schrägen Wurfes gelöst!

			[[Kategorie:Mathematik-digital]]
			[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
			[[Kategorie:Mathematik]]
			[[Kategorie:Sekundarstufe 2]]
			[[Kategorie:Lernpfad]]
			[[Kategorie:Extremwertaufgaben]]
			[[Kategorie:Interaktive Übung]]
			[[Kategorie:GeoGebra]]

Maria Eirich am 16. November 2018 um 00:22 Uhr

2018-11-16T00:22:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2018, 00:22 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{{Box\|1=Lernpfad\|2=		{{Box\|1=Lernpfad\|2=
	Üben, Anwenden und Veranschaulichung von Extremwertaufgaben an anwendungsbezogenen Beispielen.		Üben, Anwenden und Veranschaulichung von Extremwertaufgaben an anwendungsbezogenen Beispielen.
	*'''Voraussetzung:'''Kenntnisse über die Ableitungsfunktion und die Bestimmung von Extremwerten		*'''Voraussetzung: '''Kenntnisse über die Ableitungsfunktion und die Bestimmung von Extremwerten
	*'''Zeitbedarf:''' eine Unterrichtsstunde/mehrere Unterrichtsstunden		*'''Zeitbedarf:''' eine Unterrichtsstunde/mehrere Unterrichtsstunden
	*'''Material:''' Stift und Papier, Konzentration		*'''Material:''' Stift und Papier, Konzentration

Kilian Schoeller am 8. November 2018 um 10:28 Uhr

2018-11-08T10:28:25Z

Änderungen zeigen

Kilian Schoeller am 7. November 2018 um 09:32 Uhr

2018-11-07T09:32:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. November 2018, 09:32 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Lernpfad\|		__NOTOC__
	~~{{Kurzinfo\|M-digital}}~~		{{Box\|1=Lernpfad\|2=
	Üben, Anwenden und Veranschaulichung von Extremwertaufgaben an anwendungsbezogenen Beispielen.		Üben, Anwenden und Veranschaulichung von Extremwertaufgaben an anwendungsbezogenen Beispielen.
	*'''Voraussetzung:'''Kenntnisse über die Ableitungsfunktion und die Bestimmung von Extremwerten		*'''Voraussetzung:'''Kenntnisse über die Ableitungsfunktion und die Bestimmung von Extremwerten
	*'''Zeitbedarf:''' eine Unterrichtsstunde/mehrere Unterrichtsstunden		*'''Zeitbedarf:''' eine Unterrichtsstunde/mehrere Unterrichtsstunden
	*'''Material:''' Stift und Papier, Konzentration		*'''Material:''' Stift und Papier, Konzentration
	}}		[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png\|200px\|right\|verweis=Mathematik-digital\|Mathematik-digital]]
			\|3=Lernpfad}}


	~~<!--= Extremwertaufgaben in der Anwendung =~~
	~~-->~~
	==Einführung==		==Einführung==

Zeile 16:		Zeile 16:
	'''Kurz zur Wiederholung:'''		'''Kurz zur Wiederholung:'''

	Ein Extremwert ist der größte bzw. kleinste Wert einer Funktion (in einem gewissen Bereich). Hier ~~findest~~ du ~~noch~~ die formale ~~mathematische~~ Definition: [[~~Definition Extremwerte~~]]. Um diesen Wert zu finden, ist es sinnvoll die Ableitung der Funktion näher zu betrachten. Diese beschreibt nämlich anschaulich die Steigung einer angelegten Tangente an der ursprünglichen Funktion. Bei einem Extremwert, ist diese Tangente waagrecht, d.h. die Ableitungsfunktion an dieser Stelle ist Null.		Ein Extremwert ist der größte bzw. kleinste Wert einer Funktion (in einem gewissen Bereich). Hier kannst du dir nochmal die formale Definition eines Extremwerts einblenden.
			{{Lösung versteckt\|
			[[Bild:Einführungsgrafik4.png‎\|right\|200px]]

			Es sei <math> U \subseteq\mathbb R </math> eine Teilmenge der Reellen Zahlen (z.B. ein Intervall) und <math> f\colon U\to\mathbb R </math> eine Funktion.

			f hat an der Stelle <math> x_0\in U </math>

			* ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall <math> I = (a,b) </math> gibt, das <math> x_0 </math> enthält, so dass <math> f(x_0)\leq f(x) </math> für alle <math> x\in I\cap U </math> gilt;

			* ein globales Minimum, wenn <math> f(x_0)\leq f(x) </math> für alle <math> x\in U </math> gilt;

			* ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall <math> I = (a,b) </math> gibt, das <math> x_0 </math> enthält, so dass <math> f(x_0)\geq f(x) </math> für alle <math> x\in I\cap U </math> gilt;

			* ein globales Maximum, wenn <math> f(x_0)\geq f(x) </math> für alle <math> x\in U </math> gilt.}}

			Um diesen Wert zu finden, ist es sinnvoll die Ableitung der Funktion näher zu betrachten. Diese beschreibt nämlich anschaulich die Steigung einer angelegten Tangente an der ursprünglichen Funktion. Bei einem Extremwert, ist diese Tangente waagrecht, d.h. die Ableitungsfunktion an dieser Stelle ist Null.


Zeile 49:		Zeile 65:
	===Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Der schnellste Weg===		===Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Der schnellste Weg===

	{{Aufgabe\|		{{Box\|1=Aufgabe 1\|2=
			[[Bild:AckerStraße2.jpg\|left\|133px]]
	[[Bild:AckerStraße2.jpg\|left\|133px]]Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage		Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage

	(a.) 1000m		(a.) 1000m
Zeile 57:		Zeile 73:
	(b.) 100m.		(b.) 100m.

	Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?}}		Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?
			\|3=Arbeitsmethode}}

	{{Achtung\|Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen!}}		{{Achtung\|Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen!}}


			'''Hilfestellung:'''
	~~Ansonsten löse die Aufgabe in folgenden Schritten~~:


Zeile 70:		Zeile 86:
	Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen.		Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen.

	{{~~Siehe~~\|/~~Lösung 1/~~}}		{{Lösung versteckt\|Hier kannst die die Aufgabensituation in einer Skizze betrachten (links der y-Achse im Koordinatensystem) und nebenstehend den Graphen der zu minimierenden Funktion f in der Variablen d (rechts der y-Achse im Koordinatensystem). Diese Funktion f musst du nachher noch bestimmen.

			Indem du den Punkt D verschiebst, ändert sich d und somit auch der Funktionswert f(d), was zu dem rechten Graphen führt (grüne Spur).

			<ggb_applet width="900" height="500" id="admpmehu" showResetIcon="true" />

			Bevor wir zur Extremwertberechnung kommen, hier einige Vorüberlegungen:

			* Verschiebe den Punkt D und betrachte den nebenstehenden Graphen (grün)!

			* Bei welchem Wert d wird der Funktionswert von f minimal? Lese den Wert näherungsweise an der x-Achse bzw. an der Anzeige der Streckenlänge d ab.

			* Wie groß sind jeweils die Streckenlängen auf dem Acker a (braune Linie)und der Straße (rote Linie)? Wie kann man diese berechnen?

			Notiere deine Gedanken und überprüfe später diese Werte durch die genaue Berechnung des Extremwertes und somit der Streckenlängen, die auf dem Acker und der Straße zurückgelegt werden müssen.}}


	'''2. Zielfunktion für Teilaufgabe a)''' :		'''2. Zielfunktion für Teilaufgabe a)''' :
Zeile 393:		Zeile 424:

	Herzlichen Glückwunsch! Du hast das Extremwertproblem des schrägen Wurfes gelöst!		Herzlichen Glückwunsch! Du hast das Extremwertproblem des schrägen Wurfes gelöst!




	~~{{mitgewirkt\|~~
	* [[Benutzer:Joerg Stadlinger\|Jörg Stadlinger]]
	* [[Benutzer:MatThe\|Matthias Then]]
	* [[Benutzer:Hofmeier\|Mareike Hofmeier]]}}


	~~[[Kategorie:Lernpfad Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben\|!]]~~
	~~[[Kategorie:GeoGebra-Übungen]]~~
	~~[[Kategorie:ZUM2Edutags]]~~
	~~[[Kategorie:Koffer gepackt]]~~
	~~<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben,Mathematik,Extremwertaufgaben,11. Klasse,Oberstufe,Lernpfad,GeoGebra</metakeywords>~~

Kilian Schoeller: Kilian Schoeller verschob die Seite Mathematik-digital/Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben nach Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben

2018-09-02T11:26:06Z

Kilian Schoeller verschob die Seite Mathematik-digital/Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben nach Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben

← Nächstältere Version	Version vom 2. September 2018, 11:26 Uhr
(kein Unterschied)

Kilian Schoeller: 206 Versionen importiert

2018-09-02T11:25:04Z

206 Versionen importiert

← Nächstältere Version	Version vom 2. September 2018, 11:25 Uhr
(kein Unterschied)

Main>Karl Kirst: Lernpfad-M -> Lernpfad

2018-05-18T20:44:42Z

Lernpfad-M -> Lernpfad

← Nächstältere Version		Version vom 18. Mai 2018, 20:44 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Lernpfad-M\|		{{Lernpfad\|
	{{Kurzinfo\|M-digital}}		{{Kurzinfo\|M-digital}}
	Üben, Anwenden und Veranschaulichung von Extremwertaufgaben an anwendungsbezogenen Beispielen.		Üben, Anwenden und Veranschaulichung von Extremwertaufgaben an anwendungsbezogenen Beispielen.