Quelltext der Seite Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Grundwissen - Zusammenfassung

Auf dieser Seite werden alle Voraussetzung wiederholt, die du zur Bearbeitung des Lernpfades benötigst. 

=Wiederholung=

==Lineare Funktionen==
Lineare Funktion sind besondere Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form <math>f(x)= m*x+b</math>oder <math>y=m*x+b</math>haben. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl <math>m</math>gibt den Wert der Steigung an und die Zahl <math>b</math>gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

<br />

====Der Differenzenquotient====
Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion oder die Steigung einer Geraden durch die Punkte A und B kann mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet werden.

Ist eine Funktion f auf einem Intervall <math>[a;b]</math> definiert, so gibt der Differenzenquotient 

<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> die Steigung <math>m</math> der Geraden durch die Punkte <math>A=(a|f(a))</math> und <math>B=(b|f(b))</math> an. 

Die Differenzen können auch als <math>\Delta{y} </math>und <math>\Delta{x}</math>geschrieben werden. Der griechische Großbuchstabe Delta steht hier als Symbol für die Differenz der x- und y-Werte.  

=====Beispiele:=====  

[[Datei:Beispiel_DQ.png|rand|380x380px]]                 [[Datei:Beispiel2_DQ.png|rand|430x430px]]

Beispiel 1: <math>m=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{1}{2}=0,5</math>           Beispiel 2:                                                            <math>m=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{-2}{1,5}=-1\frac{1}{3}</math>

=====Die h - Schreibweise=====
Anstatt die Differenz <math>x_1-x_0=\Delta{x}</math>in Relation zur Änderung der y-Werte <math>f(x_1)-f(x_0)</math> zu setzen, kann man den Differenzenquotienten auch wie folgt schreiben: 

<math>\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>





<br />

====Die mittlere Änderungsrate====
<br />Mit Änderungsrate ist eine relative Änderung eines Bestandes zu dessen abhängiger Größe zu verstehen. Beispiele für für solche Bestandsgrößen und Änderungen sind in folgender Tabelle illustriert.
{| class="wikitable"
|+
!Bestandsgröße
!Zuflüsse
!Abflüse
|-
|Anzahl der Schüler
|Einschulungen
|Schulabgänger
|-
|Treibstoffmenge im Tank
|Tanken an der Tankstelle
|Treibstoffverbrauch
|-
|Kontostand
|Zubuchung
|Abbuchung
|-
|Anzahl der Hotelgäste
|ankommende Gäste
|abreisende Gäste
|-
|Staatsverschuldung
|Staatseinnahmen
|Staatsausgaben
|}

=====Beispiel=====
[[Datei:Differenzenquotient_Temp.png|alternativtext=|rand|rechts|400x400px]]
Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer Flüssigkeit in 10 Minuten Abständen gemessen.  Die mittlere Änderungsrate der Temperatur lässt sich nun mit Hilfe des Differenzenquotient berechnen: 

<math>\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\frac{T(b)-T(a)}{b-a}=\frac{9 C}{20 min}=0,45\frac{C}{min}</math>