ZUM-Unterrichten - Benutzerbeiträge [de]

Thema:Z1wpbe28x7swdhl6

2025-11-01T09:12:28Z

Wendrock (Diskussion | Beiträge) kommentierte auf „https://unterrichten.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Differentialrechnung/Von_der_Sekanten-_zur_Tangentensteigung“ (Auf der Seite ist unter "Testen" kaum etwas zu entziffern, da <spa... steht. Dort sollten doch bestimmt Formeln stehen?).

Thema:Z1wp67lzff8ld3yi

2025-11-01T09:09:53Z

Wendrock (Diskussion | Beiträge) kommentierte auf „https://unterrichten.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Differentialrechnung/Von_der_mittleren_zur_momentanen_%C3%84nderungsrate“ (Auf der Seite gibt es Hausaufgaben aus Lehrbüchern. Sollten diese nicht entfernt werden?).

Thema:Z1wp4ko1je5b7vii

2025-11-01T09:09:04Z

Wendrock (Diskussion | Beiträge) kommentierte auf „https://unterrichten.zum.de/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Differentialrechnung/Von_der_mittleren_zur_momentanen_%C3%84nderungsrate“ (Warum sind die Aufgaben nicht sortiert? Ich würde ja 1a, 1b, 1c erwarten, sehe aber 1c, 1b vor 1a.).

Thema:Z1woy9betcm3sm6i

2025-11-01T09:05:55Z

Wendrock (Diskussion | Beiträge) kommentierte auf „https://unterrichten.zum.de/wiki/Einführung_in_die_Differentialrechnung/Einstieg“ (Der Test auf dieser Seite ist nicht durchführbar, da die Aufgabenstellungen fehlen. Außerdem ist er falsch sortiert. Sollte er nicht mit a)…).

Lineare Funktionen/Station 3/Übung

2025-01-06T16:38:37Z

Wendrock: Nummerierung geändert

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Lineare Funktionen}}}}

<div class="grid">
<div class="width-1-4">[[Datei:Skateboard-1013948 1920.jpg|200px|Handstand]]</div>
<div class="width-3-4">

'''Übung macht den Meister!''' Du hast in Station 3 erarbeitet, was lineare Funktionen sind und wie sie beschrieben und dargestellt werden. Hier kannst du überprüfen, ob du alles sicher verstanden hast und deine Fähigkeiten vertiefen. Have fun!.</div>
</div>

{{Box|10. Zuordnungen|<center>{{LearningApp|app=pdj2zy17a01|width=100%|height=500px}}</center>|Üben
}}

{{Box|11. Funktionsgleichung herausfinden|Wie lautet die passende Funktionsgleichung?
<center>{{LearningApp|app=pm2k021oa01|width=100%|height=700px}}</center>|Üben
}}

{{Box|12.Zuordnungen|<center>{{LearningApp|app=926998|width=100%|height=500px}}</center>|Üben
}}

{{Box
| 1 = 13. Wer wird Millionär
| 2 = Hol dir die Million! Schreibe ab der 50000€-Frage die richtigen Lösungen als ganzen Satz in dein Schulheft!
<center>{{LearningApp|app=pyys4ytm201|width=100%|height=500px}}</center>
| 3 = Üben
}}

== Entspannung für Schnelle ==
Du liegst gut in der Zeit? Dann such dir doch eines der beiden "Spiele" aus... :)

'''Hangman'''
<center>{{LearningApp|app=pdszymszt01|width=100%|height=400px}}</center>

'''Wortgitter'''
<center>{{LearningApp|app=pxmwczto301|width=100%|height=400px}}</center>

'''Alle Aufgaben erledigt? Dann kann's weitergehen!'''

{{Fortsetzung|weiter=Station 4|weiterlink=../../Station_4}}

[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Lineare Funktion]]
[[Kategorie:LearningApps]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]

Lineare Funktionen/Station 3

2025-01-06T16:37:25Z

Wendrock: Nummerierung geändert

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Lineare Funktionen}}}}

__NOTOC__

== Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden ==

[[Datei:Direction-1019747 1920.jpg|200px|rechts|Gerade]]
In Station 2 hast du gelernt, wie man die Steigung von Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann. <br />

Allerdings haben wir bislang immer nur solche Geraden betrachtet, die Graph einer proportionalen Funktion waren, also Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.

'''In dieser Station lernst du, wie man beliebige Geraden durch eine Funktionsgleichung beschreiben kann, also auch solche, die keine Ursprungsgeraden sind.'''

== Sind solche Geraden überhaupt relevant? ==
Starte die App und '''überlege genau''', bevor du die Fragen beantwortest.

<center>{{LearningApp|app=pdz69nvsn01|width=900px|height=700px}}</center>

==Ursprungsgeraden reichen nicht!==
'''Ziehe die Begriffe unten in die richtige Lücke.'''

<div class="lueckentext-quiz">
Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen '''proportionaler''' Zusammenhänge der Form <math>f(x)=m\cdot x</math> betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den '''Ursprung''' verlaufen.

Wie du eben gesehen hast, gibt jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden '''nicht mehr beschrieben''' werden können.

Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert '''nicht gleich 0''' ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m<sup>3</sup>, sondern zum Beispiel 400m<sup>3</sup> war.

Trotzdem stellt der Graph noch eine '''Gerade''' dar, da die Wassermenge immer noch '''gleichmäßig''' zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur '''Ursprungsgeraden''' nach oben oder unten verschoben.

Wie aber sieht eine Funktionsgleichung aus, die eine "allgemeine" Gerade richtig beschreiben kann?
</div>

== Lineare Funktion - Funktionsterm ==
[[Datei:Search-1013910 1920.jpg|160px|Untersuchen|right]]
Wir wissen bereits, wie der Funktionsterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist:

<math>f(x) =m\cdot x.</math>

Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?

Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!

<ggb_applet id="BwMMnRCQ" width="100%" height="450" border="888888" />

[[File:Feuerwerks-gif.gif|230px|right|Feuerwerks-gif]]
'''Ergebnis:'''

Jede beliebige Gerade im Koordinatensystem kann durch die Funktionsgleichung <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben werden.

Alle diese Funktionen, deren Graph eine Gerade ist und deren Funktionsgleichung die Form <math>f(x)=m\cdot x+t</math> hat, heißen '''lineare Funktionen'''.

{{Box
| 1 = Merke
| 2 = Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt '''lineare Funktion'''.
Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine '''Gerade'''. <br/>

<center>[[Datei:Merksatz lin Funktion.png|600px|Geradengleichung]]</center>

*Man nennt t den '''y-Achsenabschnitt''' der Geraden.
*m bezeichnet die '''Steigung der Geraden.'''<br>
*Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>/y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>/y<sub>Q</sub>), so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}</math>.

'''Beispiel'''
Bei obiger Gerade gilt:
* y-Achsenabschnitt: <math>t = 3</math>
* Steigung: <math>m = \frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5</math>
Damit lautet die Funktionsgleichung: '''<math>f(x)=0,5x+3</math>'''
| 3 = Merksatz
}}

== Übungen zum Verständnis ==

{{Box|8. Ordne zu|Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören!|Üben
}}

<center>{{LearningApp|app=pbuumpt6101|width=800px|height=500px}}</center>

{{Box|Aufgabe 6|Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. '''Begründe''' deine Entscheidung.
*"Jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion."
*"Jeder proportionale Funktion ist eine lineare Funktion."|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|
Aussage 1 ist falsch.

<u>Grund: </u>Der Graph einer linearen Funktion kann '''irgendeine''' Gerade sein, die nicht durch den Ursprung verlaufen muss. Wenn der Graph aber nicht durch den Ursprung verläuft, kann er nicht zu einer proportionalen Funktion gehören.

Aussage 2 ist richtig.

<u>Grund: </u>Der Graph jeder proportionalen Funktion ist eine Ursprungsgerade. Da eine Ursprungsgerade natürlich auch eine Gerade ist, ist die Funktion, zu der der Graph gehört auch eine lineare Funktion.<br>
<br>
Text zum Verstecken}}

{{Box|9. Finde die Funktionsgleichung!|Starte die App und entscheide, welcher Funktionsterm den dargestellten Graphen richtig beschreibt.|Üben
}}

<center>{{LearningApp|app=pt90oidw501|width=700px|height=600px}}</center>

==''--- aktuelle Meldung: Entwarnung im Bergwerk ---''==

Das Bergwerk hat ein Gesamtvolumen von 1800m<sup>3</sup> und steht bereits völlig unter Wasser, als es endlich gelingt, neue Pumpen in Betrieb zu nehmen. Die neuen Pumpen haben eine max. Pumpleistung von 150m³ Wasser pro Stunde. <br>Wie lange wird es dauern, bis das Bergwerk wieder frei von Grundwasser ist?<br><br>

Entscheide für dich selbst, in welchem Schwierigkeitsniveau du die Aufgabe bearbeiten möchtest!<br/>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
1. Version der Aufgabe - '''mittlerer Schwierigkeitsgrad'''

[[Datei:Sport-1013938 1920.jpg|150px|Balance mit Stab]]
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Aufgabe|2=
a) Welcher der Graphen stellt die beschriebene Situation richtig dar? Begründe deine Entscheidung!

{{Lösung versteckt|Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

b) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk vollständig leergepumpt? Begründe deine Antwort.
{{Lösung versteckt|Das Bergwerk ist leer, wenn kein Wasser mehr drin ist... ;)|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

c) Gib die Funktionsgleichung zu der roten Geraden an.
{{Lösung versteckt|Du benötigst die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Welches Vorzeichen hat die Steigung? ;)
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

d) Wie groß ist der Funktionswert (y-Wert) zur Zeit <math>t=12h</math>?

[[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
{{Lösung versteckt|1=
Der rote Graph stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
*Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
*Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.

Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math>

''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''
}}
|3=Üben}}
}}
</div>
<div class="width-1-2">
2. Version der Aufgabe - '''hoher Schwierigkeitsgrad'''

[[Datei:Sport-1013936 1920.jpg|150px|Balance]]

{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Aufgabe|2=
a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Situation korrekt beschreibt.
{{Lösung versteckt|Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

b) Zeichne den Funktionsgraphen zu deiner Funktionsgleichung!
{{Lösung versteckt|Die Wassermenge wird weniger! ;)|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

c) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk leergepumpt? Findest zu zwei verschiedene Lösungswege?
{{Lösung versteckt|1. Lösung mit Hilfe des Graphen

2. Lösung nur mit Hilfe der Funktionsgleichung|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
Der rote Graph im oberen Schaubild stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
*Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
*Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.

Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math><br>
''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''<br><br>

Nach 12 Stunden ist das Bergwerk vom Wasser befreit.
<math>f(t)=-150t+1800</math> und wenn das Wasser weg ist gilt: <math>f(t)=0</math>, also <math>-150t+1800=0</math>.

Auflösung der Gleichung liefert: <math>t=12</math>
}}
|3=Üben}}
}}
</div>
</div>

'''Alle Aufgaben erledigt? Dann kann's weitergehen!'''

{{Fortsetzung|weiter=Zur Übung|weiterlink=/Übung}}

[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Lineare Funktion]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Thema:Yi22prf2trapeari

2024-12-15T13:55:41Z

Wendrock (Diskussion | Beiträge) kommentierte auf „Fehler bei "Prüfe dich"“ (Bei "Prüfe Dich" erscheint "Je größer Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle…).

Lineare Funktionen/Station 2

2024-12-15T13:54:03Z

Wendrock: Im Bild war eine Zahl falsch (0.5 statt 1 für delta y)

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Lineare Funktionen}}}}

__NOTOC__
== Steigung einer Geraden ==
[[Datei:Steigung 01.png|left|180px|Steigung einer Gerade]]
In Station 1 hast du dir noch einmal bewusst gemacht, dass Geraden im Koordinatensystem unterschiedlich steil verlaufen können.

Wie steil eine Gerade verläuft, gibt die sogenannte '''Steigung der Geraden''' an.

Wie du ebenfalls in Station 1 gesehen hast, enthält die Steigung einer Geraden wichtige Informationen darüber, wie schnell bzw. wie stark sich Größen in einer betrachteten Situation ändern.

'''In dieser Station lernst du, wie man die Steigung einer Geraden bestimmen und Geraden mit einer gewünschten Steigung zeichnen kann.'''

=== 2.1 Fürs Gefühl ===
Folgende App soll dir helfen, zunächst ein Gefühl dafür zu entwickeln, wie der Wert der Steigung mit der Lage der Geraden zusammenhängt.

{{Box|Wie geht das?|
Bewege den Schieberegler um die Steigung der Geraden zu verändern. Beobachte genau, wie zu einem Wert der Steigung die Gerade im Koordinatensystem verläuft! Wenn du fertig bist, scrolle nach unten, dann geht es weiter im Lernpfad.
|Hervorhebung1}}

<ggb_applet id="G24kK3Eg" width="100%" height="450" border="888888" />

Überprüfe, ob du die richtigen Erkenntnisse gezogen hast!

<center>{{LearningApp|app=pi5g2shxc01|width=70%|height=370px}}</center>

== 2.2 Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden? ==
Nachdem du nun erfahren hast, wie der Wert der Steigung und die Lage einer Geraden im Koordinatensystem zusammenhängen, stellt sich jetzt die Frage, wie man denn den Wert der Steigung bestimmen kann!

{{Box-spezial
|Titel= Frage
|Inhalt= [[Datei:Verkehrsschild Steigung.png|150px|right|Steigung von 100%]]
Dein Cousin zeigt dir auf seinem Smartphone das unten dargestellte Foto.
Er behauptet: "Diesen Berg bin ich gestern mit meinem Mountainbike hochgefahren!"
Was sagst du dazu? Wie stehst du zur Aussage deines Cousins?
|Farbe= #cccccc
|Icon= {{Icon question}}
}}

<div class="multiplechoice-quiz">
Mein Cousin ... (!...ist ein großer Lügner!) (...fährt oft Mountainbike, schon möglich, dass er so einen Berg raufgekommen ist.) (!... wäre höchstens da raufgekommen, wenn er geklettert wäre!)
</div>

Um das Verkehrsschild zu verstehen, ist es wichtig zu wissen, '''wie denn eine Steigung überhaupt festgelegt''' ist.

{{Box|Aufgabe 4|Betrachte die "versteckte" Grafik.
'''Erkläre in einem Satz''', was eine Steigung von 100% ausdrückt und notiere diesen Satz in dein '''Schulheft'''.
|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Steigung_Straße.png|600px|center|Steigung]]|Grafik anzeigen|Grafik verstecken}}

Die Steigung von Geraden bestimmt man allgemein genauso wie die Steigung von Straßen, nämlich mithilfe von '''Steigungsdreiecken.'''

Um das genauer zu erforschen, bearbeite bitte folgende App:

{{Box|Wie geht das?|
#Bewege die Punkte P und Q auf der Geraden. Beobachte, wie sich der Quotient zur Berechnung der Steigung dabei verändert.
#Verändere mit dem Schieberegler die Steigung der Geraden und versuche das Steigungsdreieck so einzustellen, dass die Koordinaten der Punkte P und Q gut abzulesen sind.|Hervorhebung1}}

<ggb_applet id="HdnyzJVd" width="100%" height="450" border="888888" />

[[Datei:Search-1013910 1920.jpg|150px|Untersuchen]]

'''Prüfe dich!'''
<div class="multiplechoice-quiz">
Welche Antworten sind richtig? (!Die Steigung hängt davon ab, wo die Punkte P und Q auf der Geraden liegen.) (Je größer <math>\Delta y</math> bei gleichem <math>\Delta x</math> ist, desto größer ist die Steigung.) (Zur Berechnung der Steigung ist es vollkommen egal, wo auf der Gerade das Steigungsdreieck liegt.) (Das Steigungsdreieck ist immer rechtwinklig!)
</div>

{{Box|1=Merke|2=
Die Steigung einer Geraden bestimmt man mithilfe eines '''Steigungsdreiecks'''.
*Wähle zwei ''beliebige'' Punkte P und Q auf der Geraden aus, am besten so, dass man die Koordinaten gut ablesen kann.
*Lege das Steigungsdreieck in diesen Punkten an die Gerade an.
*Berechne die Steigung m:
<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>

'''Unterscheide drei Fälle''':
{{3Spalten|
<math>m>0 </math> Gerade steigt nach rechts an
[[Datei:Steigung positiv.png|200px|Steigung positiv]]
|
<math>m=0 </math> Gerade parallel zur x-Achse
[[Datei:Steigung Null.png|200px|Steigung Null]]
|
<math>m<0</math> Gerade fällt nach rechts ab
[[Datei:Steigung negativ.png|200px|Steigung negativ]]
}}
|3=Merksatz}}

{{Box|Aufgabe|Übernimm bitte auch folgende Beispiele in dein Schulheft!|Arbeitsmethode}}
<div style=" border: 2px solid darkred; background-color:#ffffff; align:center; padding:7px;">
<br>
{|
|'''Beispiel 1'''
|
|'''Beispiel 2'''
|-
|[[Datei:Steigungsdreieck 1.png|links|350x350px|Steigung]]
| style="text-align:center; width:100px" |
|[[Datei:Steigungsdreieck negativ.png|310px|left|Steigung]]
|-
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{3 - 1}{6 - 2}=\frac{2 }{4}=0,5</math>
|
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}=\frac{-6 - (-2)}{3 - 1}=\frac{-4}{2}=-2</math>
|-
| style="height:80px" | oder
|
|
|-
|<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{Q_1} - y_{P_1}}{x_{Q_1} - x_{P_1}}=\frac{5 - 4}{10 - 8}=\frac{1 }{2}=0,5</math>
|
|
|}
</div>

{{Box|Aufgabe|Schätze doch mal ab, wie groß die Steigung war, die dieser Audi Quattro vor 30 Jahren bereits erkommen hat!
|Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|3YJ1Nchw_v4|800|center}}

{{Lösung versteckt|Die Steigung betrug 80% oder 0,8!|tatsächlicher Wert|verstecken}}

{{Box|Übung 4|Wie groß ist die Steigung?|Üben}}

Führe die Übung in der App durch. '''Notiere deine Überlegungen und Berechnungen ins Übungsheft!!'''

In der App musst du Dezimalzahlen nicht mit Komma, sondern''' mit Punkt eintragen'''! Wenn es dir hilft, kannst du die Darstellungen auch in dein Heft übernehmen, um dort das Steigungsdreieck einzuzeichnen.

<ggb_applet id="vQBEzxd7" width="100%" height="450" border="888888" />

<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[Datei:Question-mark-1019922 1920.jpg|200px|Fragen über Fragen]]</div>
<div class="width-5-6">Hast du '''Probleme''' zu verstehen, wie man die Steigung bestimmt'''?''' Dann kannst du hier <br>[http://ggbtu.be/m2061805 <u>hier</u>] die Steigungsbestimmung nochmal Schritt für Schritt nachzuvollziehen! <br>
'''Keine Probleme?''' Dann kannst du einfach weitermachen! :)] </div>
</div>

== 2.3 Zeichnen einer Geraden unter Ausnutzung der Steigung ==
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der umgehehrten Fragestellung:

{{Box-spezial
|Titel= Frage
|Inhalt= Überlege: Wie kannst du deine Kenntnisse nutzen, um eine Ursprungsgerade mit vorgegebener Steigung zu zeichnen, ohne dass du erste eine Wertetabelle anlegen musst?

'''Beispiel:''' Zeichne eine Ursprungsgerade mit der Steigung <math>m=\frac{3}{5}</math>!
{{Lösung versteckt|
Gehe ganz grob umgekehrt vor wie oben:
# Du musst zunächst einen Punkt kennen, der auf der Geraden liegt (Tipp: Ursprungsgerade!)
# Da die Steigung gegeben ist, kennst du <math>\Delta x</math> und <math>\Delta y</math>.
# Damit kannst du vom gegebenen Punkt aus das Steigungsdreieck zeichnen und erhältst so einen zweiten Punkt.
# Da eine Gerade durch zwei Punkte festgelegt ist, musst du jetzt nur noch die beiden Punkte verbinden.
|Idee Anzeigen|Idee Verbergen}}
Du hast die Idee nicht verstanden? Kein Problem, in diesem Fall kannst du es dir [http://ggbtu.be/m2062563 hier] nochmal ausführlich erklären lassen!
|Farbe= #cccccc
|Icon= {{Icon question}}
}}

{{Box|Aufgabe 5|*Zeichne in deinem Schulheft eine Ursprungsgerade mit der Steigung <math>m=\frac{3}{5}</math> in ein Koordinatensystem ein.
*Schreibe in deinen eigenen Worten stichpunktartig auf, wie du '''allgemein''' vorgehen musst. Wenn du dir nicht sicher bist, kannst du dir die "Idee" oben anzeigen lassen.|Arbeitsmethode}}

Wenn du nicht sicher bist ob deine Lösung stimmt vergleiche mit folgendem Beispiel:
<ggb_applet id="RAYbEfNH" width="100%" height="450" border="888888" />

{{Fortsetzung|weiter=Aufgaben zur Station 2|weiterlink=/Übung}}

[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Lineare Funktion]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Datei:Steigungsdreieck 1.png

2024-12-15T13:53:20Z

Wendrock: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Steigungsdreieck einer linearen Funktion
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Wendrock|Wendrock]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Lineare Funktionen/Station 3

2024-12-15T13:44:29Z

Wendrock: Tippfehler in der Formel für m beseitigt.

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Lineare Funktionen}}}}

__NOTOC__

== Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden ==

[[Datei:Direction-1019747 1920.jpg|200px|rechts|Gerade]]
In Station 2 hast du gelernt, wie man die Steigung von Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann. <br />

Allerdings haben wir bislang immer nur solche Geraden betrachtet, die Graph einer proportionalen Funktion waren, also Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.

'''In dieser Station lernst du, wie man beliebige Geraden durch eine Funktionsgleichung beschreiben kann, also auch solche, die keine Ursprungsgeraden sind.'''

== Sind solche Geraden überhaupt relevant? ==
Starte die App und '''überlege genau''', bevor du die Fragen beantwortest.

<center>{{LearningApp|app=pdz69nvsn01|width=900px|height=700px}}</center>

==Ursprungsgeraden reichen nicht!==
'''Ziehe die Begriffe unten in die richtige Lücke.'''

<div class="lueckentext-quiz">
Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen '''proportionaler''' Zusammenhänge der Form <math>f(x)=m\cdot x</math> betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den '''Ursprung''' verlaufen.

Wie du eben gesehen hast, gibt jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden '''nicht mehr beschrieben''' werden können.

Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert '''nicht gleich 0''' ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m<sup>3</sup>, sondern zum Beispiel 400m<sup>3</sup> war.

Trotzdem stellt der Graph noch eine '''Gerade''' dar, da die Wassermenge immer noch '''gleichmäßig''' zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur '''Ursprungsgeraden''' nach oben oder unten verschoben.

Wie aber sieht eine Funktionsgleichung aus, die eine "allgemeine" Gerade richtig beschreiben kann?
</div>

== Lineare Funktion - Funktionsterm ==
[[Datei:Search-1013910 1920.jpg|160px|Untersuchen|right]]
Wir wissen bereits, wie der Funktionsterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist:

<math>f(x) =m\cdot x.</math>

Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?

Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!

<ggb_applet id="BwMMnRCQ" width="100%" height="450" border="888888" />

[[File:Feuerwerks-gif.gif|230px|right|Feuerwerks-gif]]
'''Ergebnis:'''

Jede beliebige Gerade im Koordinatensystem kann durch die Funktionsgleichung <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben werden.

Alle diese Funktionen, deren Graph eine Gerade ist und deren Funktionsgleichung die Form <math>f(x)=m\cdot x+t</math> hat, heißen '''lineare Funktionen'''.

{{Box
| 1 = Merke
| 2 = Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt '''lineare Funktion'''.
Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine '''Gerade'''. <br/>

<center>[[Datei:Merksatz lin Funktion.png|600px|Geradengleichung]]</center>

*Man nennt t den '''y-Achsenabschnitt''' der Geraden.
*m bezeichnet die '''Steigung der Geraden.'''<br>
*Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>/y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>/y<sub>Q</sub>), so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}</math>.

'''Beispiel'''
Bei obiger Gerade gilt:
* y-Achsenabschnitt: <math>t = 3</math>
* Steigung: <math>m = \frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5</math>
Damit lautet die Funktionsgleichung: '''<math>f(x)=0,5x+3</math>'''
| 3 = Merksatz
}}

== Übungen zum Verständnis ==

{{Box|10. Ordne zu|
Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören!
|Üben}}

<center>{{LearningApp|app=pbuumpt6101|width=800px|height=500px}}</center>

{{Box|Aufgabe 6|Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. '''Begründe''' deine Entscheidung.
*"Jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion."
*"Jeder proportionale Funktion ist eine lineare Funktion."|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|
Aussage 1 ist falsch.

<u>Grund: </u>Der Graph einer linearen Funktion kann '''irgendeine''' Gerade sein, die nicht durch den Ursprung verlaufen muss. Wenn der Graph aber nicht durch den Ursprung verläuft, kann er nicht zu einer proportionalen Funktion gehören.

Aussage 2 ist richtig.

<u>Grund: </u>Der Graph jeder proportionalen Funktion ist eine Ursprungsgerade. Da eine Ursprungsgerade natürlich auch eine Gerade ist, ist die Funktion, zu der der Graph gehört auch eine lineare Funktion.<br>
<br>
Text zum Verstecken}}

{{Box|11. Finde die Funktionsgleichung!|
Starte die App und entscheide, welcher Funktionsterm den dargestellten Graphen richtig beschreibt.
|Üben}}

<center>{{LearningApp|app=pt90oidw501|width=700px|height=600px}}</center>

==''--- aktuelle Meldung: Entwarnung im Bergwerk ---''==

Das Bergwerk hat ein Gesamtvolumen von 1800m<sup>3</sup> und steht bereits völlig unter Wasser, als es endlich gelingt, neue Pumpen in Betrieb zu nehmen. Die neuen Pumpen haben eine max. Pumpleistung von 150m³ Wasser pro Stunde. <br>Wie lange wird es dauern, bis das Bergwerk wieder frei von Grundwasser ist?<br><br>

Entscheide für dich selbst, in welchem Schwierigkeitsniveau du die Aufgabe bearbeiten möchtest!<br/>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
1. Version der Aufgabe - '''mittlerer Schwierigkeitsgrad'''

[[Datei:Sport-1013938 1920.jpg|150px|Balance mit Stab]]
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Aufgabe|2=
a) Welcher der Graphen stellt die beschriebene Situation richtig dar? Begründe deine Entscheidung!

{{Lösung versteckt|Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

b) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk vollständig leergepumpt? Begründe deine Antwort.
{{Lösung versteckt|Das Bergwerk ist leer, wenn kein Wasser mehr drin ist... ;)|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

c) Gib die Funktionsgleichung zu der roten Geraden an.
{{Lösung versteckt|Du benötigst die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Welches Vorzeichen hat die Steigung? ;)
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

d) Wie groß ist der Funktionswert (y-Wert) zur Zeit <math>t=12h</math>?

[[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
{{Lösung versteckt|1=
Der rote Graph stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
*Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
*Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.

Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math>

''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''
}}
|3=Üben}}
}}
</div>
<div class="width-1-2">
2. Version der Aufgabe - '''hoher Schwierigkeitsgrad'''

[[Datei:Sport-1013936 1920.jpg|150px|Balance]]

{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Aufgabe|2=
a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Situation korrekt beschreibt.
{{Lösung versteckt|Identifiziere, welche Angabe aus der Aufgabenstellung dem y-Achsenabschnitt entspricht und welche Angabe der Steigung entspricht! Bei welchem Graph passt beides?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

b) Zeichne den Funktionsgraphen zu deiner Funktionsgleichung!
{{Lösung versteckt|Die Wassermenge wird weniger! ;)|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

c) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk leergepumpt? Findest zu zwei verschiedene Lösungswege?
{{Lösung versteckt|1. Lösung mit Hilfe des Graphen

2. Lösung nur mit Hilfe der Funktionsgleichung|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Pumpe1.png|420px|Pumpe_Bergwerk]]
Der rote Graph im oberen Schaubild stellt die Situation richtig dar, denn: <br>
*Zu Beginn (t=0) befinden sich 1800m<sup>3</sup> Wasser im Bergwerk, also f(0) = 1800
*Innerhalb einer Stunde nimmt die Wassermenge um 150m<sup>3</sup> ab. D.h. die Steigung des Graphen ist m = -150.

Daraus folgt die Funktionsgleichung der roten Geraden: <math>f(t) = -150\cdot t +1800</math><br>
''Achtung mitdenken: Hier steht t für die Variable (Zeit) nicht für den y-Achsenabschnitt, der ist 1800!''<br><br>

Nach 12 Stunden ist das Bergwerk vom Wasser befreit.
<math>f(t)=-150t+1800</math> und wenn das Wasser weg ist gilt: <math>f(t)=0</math>, also <math>-150t+1800=0</math>.

Auflösung der Gleichung liefert: <math>t=12</math>
}}
|3=Üben}}
}}
</div>
</div>

'''Alle Aufgaben erledigt? Dann kann's weitergehen!'''

{{Fortsetzung|weiter=Zur Übung|weiterlink=/Übung}}

[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Lineare Funktion]]
[[Kategorie:R-Quiz]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]