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Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-04-29T20:12:54Z

Vmoalnkealn: /* Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden */

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training: Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<div style="width: 1000px; overflow: hidden; border-radius: 4px;">
<iframe
src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nqprmd7a/width/1300/height/600/border/e4e4e4/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false"
width="1300"
height="600"
allowfullscreen="yes"
style="border: none;"
frameborder="0">
</iframe>
</div>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x + 6 </math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-04-29T20:06:00Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<div style="width: 1000px; overflow: hidden; border-radius: 4px;">
<iframe
src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nqprmd7a/width/1300/height/600/border/e4e4e4/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false"
width="1300"
height="600"
allowfullscreen="yes"
style="border: none;"
frameborder="0">
</iframe>
</div>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x + 6 </math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-04-29T20:03:30Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/graphing/nqprmd7a?embed" width="1200" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="1"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x + 6 </math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-04-29T20:02:37Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/graphing/nqprmd7a?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="1"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x + 6 </math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-04-29T20:01:48Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
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| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/graphing/nqprmd7a?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen style="border: 0px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x + 6 </math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-04-29T19:49:54Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/vzrepebq?embed&menubar=false&toolbar=false&algebraInput=false" width="1000" height="600" allowfullscreen="yes" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x + 6 </math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
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</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-04-29T19:40:35Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
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__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
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{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/vzrepebq?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x + 6 </math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-04-29T19:35:29Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x + 6 </math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-02-04T15:16:59Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x - 2</math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn

2026-02-04T12:43:38Z

Vmoalnkealn:

Hier zur Unterrichtseinheit "[[Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen|Lineare Funktionen]]"

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-02-04T12:42:26Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
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|... <math>x</math> (beliebig)
|-
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| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x - 2</math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen zum Basis-Camp'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn

2026-02-04T12:39:52Z

Vmoalnkealn:

Hier zur Unterrichtseinheit "[[Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe2|Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen]]"

Benutzer:Vmoalnkealn

2026-02-04T12:38:53Z

Vmoalnkealn:

Hier zur Unterrichtseinheit "[[Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe2]]"

[[Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe2|Lineare Algebra]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe2

2026-01-28T16:36:07Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x - 2</math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#f59999; padding:15px; border-left:5px solid #e50000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen zum Basis-Camp'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe2

2026-01-28T16:34:33Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x - 2</math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#e50000; padding:15px; border-left:5px solid #f59999; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen zum Basis-Camp'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe2

2026-01-28T16:32:54Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x - 2</math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#e50000; padding:15px; border-left:5px solid #ff0000; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen zum Basis-Camp'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe2

2026-01-28T16:31:27Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x - 2</math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#0000ff; padding:15px; border-left:5px solid #ff9900; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen zum Basis-Camp'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe2

2026-01-28T16:27:47Z

Vmoalnkealn: /* Station 7: Basis-Camp (Grundlagen-Check) */

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x - 2</math>).
</div>
</div>

==Station 7: Lernüberprüfung (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#ffebcc; padding:15px; border-left:5px solid #ff9900; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen zum Basis-Camp'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe2

2026-01-28T12:31:15Z

Vmoalnkealn: Die Seite wurde neu angelegt: „<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2> <div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;"> <h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3> Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter. In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge be…“

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h3>Hallo und herzlich willkommen!</h3>

Bisher kennst du schon den Dreisatz, Wertetabellen und die Proportionalität. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

In diesem Lernpfad wirst du nicht nur rechnen, sondern lineare Funktionen als Werkzeuge benutzen, um die echte Welt zu beschreiben. Das nennt man <b>Modellieren</b>.

'''Das wirst du hier lernen (Deine Kompetenzen):'''
*'''Modellieren:''' Du kannst echte Situationen (Handyvertrag, Flugzeug) in Mathe-Sprache übersetzen.
*'''Darstellen:''' Du kannst zwischen Text, Tabelle, Graph und Formel wechseln.
*'''Interpretieren:''' Du kannst erklären, was die Zahlen (Steigung und Startwert) in der Realität bedeuten.
*'''Operieren:''' Du kannst Schnittpunkte berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen.

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck.

Viel Erfolg auf deiner Entdeckungsreise! 🚀
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zur Tabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Tabelle und Formel übersetzen (Modellieren & Darstellen).''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Der Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot:
<br>''"Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."''

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:'''
Wir wollen wissen, wie die Kosten (<math>y</math>) von den telefonierten Minuten (<math>x</math>) abhängen.

#Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte.
#Versuche eine Formel für <math>x</math> Minuten aufzustellen.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center; margin-top:10px;"
|-
!style="background-color:#eee;"|Minuten (<math>x</math>)
|0
|10
|20
|... <math>x</math> (beliebig)
|-
!style="background-color:#eee;"|Kosten in € (<math>y</math>)
| ?
| ?
| ?
| <math>f(x) = ...</math>
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), ist es nicht kostenlos. Du musst trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert auf der y-Achse (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*'''Tabelle:'''
**0 Min = 10,00 €
**10 Min = 11,50 € (Rechnung: <math>10 + 10 \cdot 0,15</math>)
**20 Min = 13,00 €
*'''Gleichung:''' <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Jetzt, wo du die Formel hast, schauen wir uns genauer an, was die beiden Zahlen in der Formel eigentlich mit dem Graphen machen.''

==Station 2: Die Bausteine m und b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Zahlen auf das Aussehen des Graphen zu verstehen (Interpretieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math>.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke dir die Bedeutung:'''
*'''<math>b</math> (Startwert / y-Achsenabschnitt):''' Wo beginnt der Graph auf der y-Achse? Er verschiebt die Gerade nach oben oder unten.
*'''<math>m</math> (Steigung / Änderungsrate):''' Wie verändert sich der Wert?
**Positives <math>m</math>: Die Gerade steigt (Wachstum).
**Negatives <math>m</math>: Die Gerade fällt (Abnahme).
**Je größer die Zahl, desto steiler verläuft die Gerade.
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Das Kerzen-Rätsel'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.
*<math>y</math> = Höhe der Kerze in cm.
*<math>x</math> = Zeit in Stunden.

'''Die Modelle:'''
*Kerze A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*Kerze B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*Kerze C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch mit <math>m</math> und <math>b</math>:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren beim Anzünden gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#'''Kerze B''' war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#'''Kerze B''' brennt am schnellsten ab. Man sieht das an der Steigung <math>m = -4</math>. Sie verliert 4 cm pro Stunde (steiles Gefälle). Kerze C verliert nur 1 cm pro Stunde.
#'''Kerze A und C''' waren gleich hoch, da beide den Startwert <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Oft hast du im echten Leben aber keine Formel gegeben, sondern nur Daten. Wie kommt man dann zur Formel? Das lernst du jetzt.''

==Station 3: Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten die Funktionsgleichung berechnen (Operieren).''
</div>

Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Messung 1: Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe. -> Punkt <math>P_1(2|4000)</math>
*Messung 2: Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe. -> Punkt <math>P_2(5|2500)</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
<br>Setze die Werte der Punkte ein und berechne <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Da du jetzt <math>m</math> kennst, lautet deine Formel vorläufig: <math>y = m \cdot x + b</math>.
Nimm dir '''einen''' der beiden Punkte (egal welchen) und setze den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung ein. Stelle dann nach <math>b</math> um.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Steigung berechnen:'''
:<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math>
:(Bedeutung: Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).

'''2. Startwert b berechnen:'''
:Wir setzen <math>m=-500</math> und <math>P_1(2|4000)</math> ein:
:<math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
:<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
:<math>5000 = b</math>

'''Ergebnis:''' <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

<div style="margin: 20px 0; border-top: 1px dashed #ccc;"></div>
''Mathematik hilft uns, Entscheidungen zu treffen. Welches Angebot ist besser? Das finden wir durch Vergleichen heraus.''

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren & Interpretieren).''
</div>

Wir kehren zum Handy-Beispiel aus Station 1 zurück:
*'''Tarif A (TalkEasy):''' 10 € Grundgebühr, 0,15 € pro Minute. <br>Formel: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*'''Tarif B (NoLimit):''' Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <br>Formel: <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide genau gleich teuer sind. Das nennt man den **Schnittpunkt**.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.
Mathematisch bedeutet "gleich sein": **Gleichsetzen**.

<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort:** Bei genau 100 Minuten kosten beide Tarife gleich viel (nämlich 25 €).
*Wer **weniger** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif B nehmen.
*Wer **mehr** als 100 Min telefoniert, sollte Tarif A wählen (da hier die Steigung/Minutenpreis geringer ist).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Eigener Kontext (Kreativität)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zu einer abstrakten Formel eine passende Geschichte finden (Modellieren "Rückwärts").''
</div>

Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine **Alltagssituation**, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte. (Was könnte die 8 sein? Was wächst um 3?)
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math>. Schreibe einen Antwortsatz, der zu deiner erfundenen Geschichte passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Schreibe auch hier einen passenden Antwortsatz.
</div>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Geometrische Eigenschaften mit der Funktionsgleichung verknüpfen (Operieren).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine bestehende Zugstrecke verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = 1x + 3</math> beschrieben.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen.

Nutze die GeoGebra-Simulation unten:

#Verändere zuerst den Schieberegler für '''<math>b</math>'''. Was passiert mit der Geraden?
#Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion <math>g(x)</math> so an, dass Straße und Schiene parallel sind.
#**Schlussfolgerung:** Welchen Wert muss die Steigung <math>m</math> haben, damit Geraden parallel sind?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px; margin-top:10px;">
'''Hier klicken für die GeoGebra-Simulation'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea; margin-top:10px;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Das <math>b</math> verschiebt die Straße nur hoch und runter. Sie schneidet die Schiene aber trotzdem noch.
#Damit sie parallel sind, muss die Straße genau die gleiche "Schräge" haben wie die Schiene.
#**Erkenntnis:** Parallele Geraden haben immer die **gleiche Steigung <math>m</math>**.
Da die Schiene <math>m=1</math> hat, muss auch deine Straße <math>g(x)</math> die Steigung <math>m=1</math> haben (z.B. <math>g(x) = 1x - 2</math>).
</div>
</div>

==Station 7: Basis-Camp (Grundlagen-Check)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zeichnen und Ablesen (Darstellen). Das ist wichtig, falls du dich bei den Graphen noch unsicher fühlst.''
</div>

Falls dir die Aufgaben oben schwergefallen sind, kannst du hier die Basics üben. Schnapp dir dein Heft!

<div style="background-color:#ffebcc; padding:15px; border-left:5px solid #ff9900; margin-bottom:10px;">
'''Basis-Übung A: Zeichnen'''
Zeichne die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem:
# <math>y = 2x + 1</math>
# <math>y = -0,5x + 3</math>
# <math>y = 4</math> (Spezialfall!)
</div>

<div style="background-color:#d4edda; padding:15px; border-left:5px solid #28a745;">
'''Basis-Übung B: Ablesen'''
Bestimme die Gleichung <math>y = mx + b</math> ohne Rechnung, nur durch Hinsehen:
# Eine Gerade beginnt bei y=2 und geht "1 nach rechts, 3 nach oben".
# Eine Gerade beginnt im Ursprung (0|0) und geht "1 nach rechts, 1 nach unten".
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-top:10px; border:1px solid #333; padding:5px;">
'''Lösungen zum Basis-Camp'''
<div class="mw-collapsible-content">
**Zu A (Zeichnen):**
# Start bei 1 auf y-Achse. Von da: 1 Schritt rechts, 2 hoch.
# Start bei 3 auf y-Achse. Von da: 2 Schritte rechts, 1 runter (wegen Minus und 0,5 = 1/2).
# Eine waagerechte Linie auf der Höhe y=4.

**Zu B (Ablesen):**
# <math>y = 3x + 2</math>
# <math>y = -1x</math> (oder einfach <math>y = -x</math>)
</div>
</div>

Benutzer:Vmoalnkealn

2026-01-28T12:30:54Z

Vmoalnkealn:

Hier zur Unterrichtseinheit "[[ZUM-Unterrichten:Mathematik/LineareFunktionen|Lineare Funktionen]]"

[[Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe|Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen]]Probe

[[Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe2|Ben]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe

2026-01-28T12:28:43Z

Vmoalnkealn: Die Seite wurde neu angelegt: „<br> <h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2> <div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;"> Hallo und herzlich willkommen im Lernpfad <b>„Lineare Funktionen erkunden!“</b><br><br> <b>Das kennst du schon:</b> Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.<br> <b>Darauf bauen wir auf:</b> Du lernst lineare Funktionen als <i>Modell…“

<br>
<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
Hallo und herzlich willkommen im Lernpfad <b>„Lineare Funktionen erkunden!“</b><br><br>

<b>Das kennst du schon:</b> Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.<br>
<b>Darauf bauen wir auf:</b> Du lernst lineare Funktionen als <i>Modelle</i> kennen – also als Werkzeuge, mit denen man Situationen aus dem Alltag mathematisch beschreibt.<br><br>

<b>Worum geht’s im Lernpfad?</b><br>
Du bestimmst lineare Funktionen aus Texten, Tabellen und Graphen und nutzt sie, um Entscheidungen zu begründen (z. B. welches Angebot günstiger ist).<br><br>

<b>Deine Ziele (Kompetenzen):</b>
<ul style="margin-top:6px;">
<li><b>Modellieren:</b> Du übersetzt einen Sachtext in eine Funktionsgleichung und deutest Ergebnisse im Kontext.</li>
<li><b>Darstellen:</b> Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.</li>
<li><b>Argumentieren:</b> Du begründest deine Entscheidungen mit <i>m</i> (Steigung), <i>b</i> (Startwert) und/oder dem Schnittpunkt.</li>
<li><b>Operieren:</b> Du vergleichst lineare Funktionen, bestimmst Schnittpunkte und nutzt Gleichungen zum Rechnen.</li>
</ul>

<b>Benötigtes Material:</b> Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).<br><br>

Viel Erfolg und viel Spaß! 🙂
</div>

__TOC__

==Station 1: Wertetabelle & Funktionsgleichung aus einem Text==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Modellieren (Text → Tabelle/Gleichung) und Darstellen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter „TalkEasy“ macht folgendes Angebot:<br>
„Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren 0,15 €.“

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle in dein Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:60%; text-align:center;"
|-
!Minuten (<math>x</math>)!!0!!10!!20!!<math>x</math>
|-
!Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Startwert (b)'''
<div class="mw-collapsible-content">
Bei <math>x=0</math> Minuten zahlst du trotzdem 10 €. Das ist der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt <math>b</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Steigung (m)'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist die Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<b>Tabelle:</b> <math>y(0)=10</math>, <math>y(10)=11{,}50</math>, <math>y(20)=13{,}00</math><br>
<b>Gleichung:</b> <math>f(x) = 0{,}15\cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Station 2: Steigung m und Startwert b verstehen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Operieren & Argumentieren (Parameter deuten und vergleichen).''
</div>

In Station 1 hast du bereits ein Modell aufgebaut. Jetzt schauen wir genauer hin:<br>
Wie verändern <math>m</math> und <math>b</math> den Graphen der linearen Funktion <math>f(x)=m\cdot x + b</math>?

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
<ul style="margin-top:6px;">
<li><math><b>b</b></math> (y-Achsenabschnitt / Startwert): Verschiebt die Gerade nach oben oder unten.</li>
<li><math><b>m</b></math> (Steigung): Bestimmt, wie stark die Gerade steigt oder fällt (wie schnell sich <math>y</math> verändert).</li>
</ul>
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''<br><br>
Du siehst drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen.<br>
<math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> ist die Zeit in Stunden.
<ul style="margin-top:6px;">
<li>A: <math>f(x) = -2x + 15</math></li>
<li>B: <math>f(x) = -4x + 20</math></li>
<li>C: <math>f(x) = -1x + 15</math></li>
</ul>

Beantworte und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <b>Kerze B</b> war zu Beginn am höchsten, weil <math>b=20</math> der größte Startwert ist.
# <b>Kerze B</b> brennt am schnellsten ab, weil <math>|m|=4</math> am größten ist (4 cm pro Stunde).
# <b>Kerze A und C</b> waren zu Beginn gleich hoch, weil beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Station 3: Aus zwei Datenpunkten eine lineare Funktion bestimmen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Modellieren (Daten → Gleichung) und Operieren (m und b berechnen).''
</div>

Im Alltag bekommst du oft keine fertige Gleichung, sondern Messwerte (Punkte). Daraus kannst du die lineare Funktion rekonstruieren.<br><br>

<b>Beispiel: Sinkflug eines Flugzeugs</b>
<ul style="margin-top:6px;">
<li>Nach 2 Minuten: 4000 m Höhe</li>
<li>Nach 5 Minuten: 2500 m Höhe</li>
</ul>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t)=m\cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>:<br>
<math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze <math>m</math> und einen Punkt in <math>y=m\cdot x + b</math> ein und löse nach <math>b</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>m=\frac{2500-4000}{5-2}=\frac{-1500}{3}=-500</math><br>
Einsetzen (z. B. Punkt <math>(2|4000)</math>): <math>4000=-500\cdot 2 + b</math><br>
<math>4000=-1000+b \Rightarrow b=5000</math><br>
<b>Ergebnis:</b> <math>h(t)=-500t+5000</math>
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Station 4: Funktionen vergleichen – Schnittpunkt (Break-even)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Argumentieren & Operieren (Gleichsetzen, Schnittpunkt deuten).''
</div>

Jetzt nutzt du lineare Funktionen, um eine Entscheidung zu treffen: Welches Angebot ist günstiger – und ab wann?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
<ul style="margin-top:6px;">
<li>Tarif A: <math>f(x)=0{,}15x+10</math></li>
<li>Tarif B: keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute: <math>g(x)=0{,}25x</math></li>
</ul>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''<br><br>
Ab wie vielen Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A mehr als Tarif B?<br>
Bestimme dazu den Zeitpunkt, an dem beide Tarife gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: So startest du'''
<div class="mw-collapsible-content">
Beim Schnittpunkt sind die Kosten gleich.<br>
Ansatz: <center><math>f(x)=g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>0{,}15x+10=0{,}25x</math><br>
<math>10=0{,}10x</math><br>
<math>x=100</math><br><br>
<b>Deutung:</b> Bei <b>100 Minuten</b> sind beide Tarife gleich teuer (25 €).<br>
Für <b>mehr als 100 Minuten</b> ist Tarif A günstiger (kleinere Steigung → Kosten steigen langsamer).
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Station 5: Eigener Sachkontext – eine Gleichung „zum Leben erwecken“==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Modellieren & Kommunizieren (Kontext erfinden, Werte deuten, Antwortsätze formulieren).''
</div>

Manchmal ist die Gleichung schon gegeben – und du musst sie sinnvoll interpretieren.<br><br>
Gegeben ist die Funktionsgleichung: <math>y=3x+8</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''
# Überlege dir eine realistische Alltagssituation, die durch <math>y=3x+8</math> beschrieben werden kann (Was bedeuten <math>x</math> und <math>y</math>? Welche Einheit passt?).
# Berechne <math>y</math> für <math>x=4</math> und <math>x=10</math>. Formuliere jeweils einen passenden Antwortsatz zu deinem Kontext.
# Bestimme den <math>x</math>-Wert, für den <math>y=32</math> gilt. Formuliere auch hier einen Antwortsatz.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Gute Kontexte'''
<div class="mw-collapsible-content">
Typisch für <math>y=3x+8</math>: ein <b>Startwert</b> 8 und eine <b>Zunahme</b> um 3 pro Schritt.<br>
Beispiele: Grundgebühr + Preis pro Einheit, Startkapital + Sparrate, Startpunkt + Geschwindigkeit.
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Station 6: Experten-Training – Parallele Geraden planen (GeoGebra)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Operieren & Argumentieren (Eigenschaften paralleler Geraden).''
</div>

Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke ist bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Nun soll eine neue Umgehungsstraße gebaut werden, die <b>parallel</b> zur Zugstrecke verläuft.<br><br>

Die Zugstrecke wird beschrieben durch: <math>f(x)=x+3</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''<br><br>
Damit es keine Kreuzung mit der Zugstrecke gibt, soll die Straße (Funktion <math>g(x)</math>) <b>parallel</b> zu <math>f(x)</math> verlaufen.
<ol style="margin-top:8px;">
<li>Verändere den Schieberegler für <b><math>b</math></b>. Was passiert mit dem Graphen? Beschreibe kurz.</li>
<li>Stelle anschließend die Steigung <b><math>m</math></b> so ein, dass <math>g(x)</math> parallel zu <math>f(x)</math> ist.</li>
<li>Welchen Wert muss <math>m</math> haben, damit sich die Geraden niemals schneiden? Vergleiche die Steigungen von <math>f</math> und <math>g</math>.</li>
</ol>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen (GeoGebra)'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung (Merksatz)'''
<div class="mw-collapsible-content">
<b>1)</b> Wenn sich <math>b</math> ändert, wird die Gerade nur <b>nach oben/unten verschoben</b>. Die Steigung bleibt gleich.<br>
<b>2)</b> Für parallele Geraden gilt: <b>gleiche Steigung</b>.<br>
Da <math>f(x)=x+3</math> die Steigung <math>m=1</math> hat, muss auch bei <math>g(x)</math> gelten: <math>m=1</math>.<br>
<b>3)</b> Wenn die Steigungen gleich sind, schneiden sich die Geraden nicht (außer sie sind identisch). Dann entscheidet nur <math>b</math> über den Abstand.
</div>
</div>
</div>

<hr>

==Abschluss: Mini-Check (Selbstreflexion)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Metakognition (einschätzen, was du schon kannst).''
</div>

Nimm dir 3–5 Minuten Zeit:
* Kannst du aus einem Sachtext <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?
* Kannst du erklären, was <math>m</math> im Kontext bedeutet (z. B. „pro Minute …“)?
* Kannst du den Schnittpunkt zweier Angebote berechnen und im Alltag deuten?



<hr>

==Übungen: Grundlagen festigen (ohne PDF)==
Falls du bei den Basics noch unsicher bist, kannst du hier direkt im Lernpfad üben (ohne Download).<br>
<b>Geplante Übungsbereiche:</b>
* Graphen zeichnen aus Gleichung
* Gleichung bestimmen aus Tabelle/Graph
* Wertetabellen sicher ausfüllen
* Sachaufgaben: m und b deuten

<span style="color: red;">(Hinweis für die Kursseite: Die Inhalte der bisherigen PDF sollen hier als einzelne Übungsstationen umgesetzt werden.)</span>

Benutzer:Vmoalnkealn

2026-01-28T12:28:08Z

Vmoalnkealn:

Hier zur Unterrichtseinheit "[[ZUM-Unterrichten:Mathematik/LineareFunktionen|Lineare Funktionen]]"

[[Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionenProbe|Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-01-14T16:26:21Z

Vmoalnkealn: /* Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b */

<br>
<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
*Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
*Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
*<s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

==Station 1: Wertetabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
#Ergänze die Wertetabelle im Heft.
#Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
!Minuten (<math>x</math>)!!0!!10!!20!!<math>x</math>
|-
!Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
*Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 2: Die Parameter m und b==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
*<math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
*<math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
*A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
#Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

==Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
*Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
#Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
#<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
#<math>5000 = b</math>
#Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
*Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Finde einen realistischen Sachkontext zu der folgenden Funktionsgleichung und berechne passende Werte.

Die Funktionsgleichung lautet: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine Alltagssituation, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte.
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math> und <math>x = 10</math>. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.</div>

==Station 6: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
#<s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
#<s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>

==<s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s>==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
*<s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
*<s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
[[Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf|mini]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-01-14T16:18:58Z

Vmoalnkealn: /* Station 1: Was ist eine Lineare Funktion */

<br>
<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
*Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
*Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
*<s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

==Station 1: Wertetabelle==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
#Ergänze die Wertetabelle im Heft.
#Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
!Minuten (<math>x</math>)!!0!!10!!20!!<math>x</math>
|-
!Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
*Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
*<math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
*<math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
*A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
#Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

==Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
*Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
#Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
#<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
#<math>5000 = b</math>
#Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
*Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Finde einen realistischen Sachkontext zu der folgenden Funktionsgleichung und berechne passende Werte.

Die Funktionsgleichung lautet: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine Alltagssituation, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte.
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math> und <math>x = 10</math>. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.</div>

==Station 6: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
#<s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
#<s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>

==<s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s>==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
*<s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
*<s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
[[Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf|mini]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-01-14T16:14:36Z

Vmoalnkealn: /* Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) */

<br>
<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
*Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
*Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
*<s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

==Station 1: Was ist eine Lineare Funktion==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
#Ergänze die Wertetabelle im Heft.
#Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
!Minuten (<math>x</math>)!!0!!10!!20!!<math>x</math>
|-
!Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
*Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
*<math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
*<math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
*A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
#Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

==Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
*Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
#Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
#<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
#<math>5000 = b</math>
#Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
*Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Finde einen realistischen Sachkontext zu der folgenden Funktionsgleichung und berechne passende Werte.

Die Funktionsgleichung lautet: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine Alltagssituation, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte.
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math> und <math>x = 10</math>. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.</div>

==Station 6: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
#<s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
#<s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>

==<s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s>==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
*<s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
*<s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
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Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-01-14T15:56:50Z

Vmoalnkealn:

<br>
<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
*Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
*Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
*<s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
#Ergänze die Wertetabelle im Heft.
#Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
!Minuten (<math>x</math>)!!0!!10!!20!!<math>x</math>
|-
!Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
*Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
*<math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
*<math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
*A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
#Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

==Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
*Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
#Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
#<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
#<math>5000 = b</math>
#Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
*Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Finde einen realistischen Sachkontext zu der folgenden Funktionsgleichung und berechne passende Werte.

Die Funktionsgleichung lautet: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine Alltagssituation, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte.
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math> und <math>x = 10</math>. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.</div>

==Station 6: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
#<s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
#<s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>

==<s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s>==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
*<s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
*<s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
[[Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf|mini]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-01-14T15:56:28Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
*Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
*Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
*<s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
#Ergänze die Wertetabelle im Heft.
#Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
!Minuten (<math>x</math>)!!0!!10!!20!!<math>x</math>
|-
!Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
*Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
*<math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
*<math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
*A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
#Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

==Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
*Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
#Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
#<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
#<math>5000 = b</math>
#Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
*Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Finde einen realistischen Sachkontext zu der folgenden Funktionsgleichung und berechne passende Werte.

Die Funktionsgleichung lautet: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine Alltagssituation, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte.
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math> und <math>x = 10</math>. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.</div>

==Station 6: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
#<s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
#<s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>

==<s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s>==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
*<s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
*<s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
[[Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf|mini]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2026-01-14T15:55:42Z

Vmoalnkealn:

<h2 style="margin-top:0;">Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2><div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
*Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
*Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
*<s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

==Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
#Ergänze die Wertetabelle im Heft.
#Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
!Minuten (<math>x</math>)!!0!!10!!20!!<math>x</math>
|-
!Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
*Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
*Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
*<math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
*<math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
*A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
*B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
*C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
#Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
#Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
#Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
#Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
#Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

==Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
*Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
*Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#<math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
#Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
#<math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
#<math>5000 = b</math>
#Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

==Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte)==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
*Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
*Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

==Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Finde einen realistischen Sachkontext zu der folgenden Funktionsgleichung und berechne passende Werte.

Die Funktionsgleichung lautet: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

#Überlege dir eine Alltagssituation, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte.
#Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math> und <math>x = 10</math>. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.
#Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.</div>

==Station 6: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
#<s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
#<s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>

==<s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s>==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
*<s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
*<s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
[[Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf|mini]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T10:18:29Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Finde einen realistischen Sachkontext zu der folgenden Funktionsgleichung und berechne passende Werte.

Die Funktionsgleichung lautet: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

# Überlege dir eine Alltagssituation, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte.
# Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math> und <math>x = 10</math>. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.
# Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.</div>

== Station 6: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
#Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>

==<s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s>==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
*<s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
*<s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
[[Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf|mini]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T10:12:04Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Finde einen realistischen Sachkontext zu der folgenden Funktionsgleichung und berechne passende Werte.

Die Funktionsgleichung lautet: <math>y = 3x + 8</math>.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

# Überlege dir eine Alltagssituation, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte.
# Berechne <math>y</math> für <math>x = 4</math> und <math>x = 10</math>. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.
# Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y = 32</math> ist. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.</div>

== Station 6: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
[[Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf|mini]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T10:10:16Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Finde einen realistischen Sachkontext zu der folgenden Funktionsgleichung und berechne passende Werte.

Die Funktionsgleichung lautet: <math>y = 3x + 8.</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

# Überlege dir eine Alltagssituation, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte.
# Berechne <math>y<math> für <math>x</math> = 4 und <math>x</math> = 10. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.
# Berechne, bei welchem <math>x</math>-Wert <math>y</math>= 32 ist. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.</div>

== Station 6: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
[[Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf|mini]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T10:08:04Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Finde einen realistischen Sachkontext zu der folgenden Funktionsgleichung und berechne passende Werte.

Die Funktionsgleichung lautet: y = 3x + 8.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 5:'''

# Überlege dir eine Alltagssituation, die durch diese Gleichung beschrieben werden könnte.
# Berechne y für x = 4 und x = 10. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.
# Berechne, bei welchem x-Wert y = 32 ist. Gebe zudem einen Antwortsatz an, der zu deiner Alltagssituation passt.</div>

== Station 6: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 6:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
[[Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf|mini]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T10:04:27Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Anwendungen im Alltag: Eigener Kontext ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: ...''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
[[Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf|mini]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T09:50:17Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
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==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>
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Datei:Übung Einfacher Skills LF.pdf

2025-12-17T09:50:05Z

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{{Information
|description = Übung Einfacher Skills LF
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Vmoalnkealn|Vmoalnkealn]]
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T09:36:43Z

Vmoalnkealn:

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<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
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Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben. <span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zur Verfügung zu stellen. </span>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T09:35:45Z

Vmoalnkealn: /* Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen */

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben.<span style="color: red;">Hier wollen wir die PDF-Datei ins Lernpfad umschreiben, statt es als PDF-Datei zu stellen. </span>

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T09:33:18Z

Vmoalnkealn: /* Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen */

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben.

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T09:27:11Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben.
*Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?
*Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-17T09:24:59Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">

==Übung für einfache Skills bzgl. der linearen Funktionen==
Falls du allgemein Schwierigkeiten hast bzgl. Graphen zeichnen, Funktionsgleichungen bestimmen und Tabelle vervollständigen, kannst du dir die jeweiligen AB herunterladen und üben.
*Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?
*Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">

ZUM-Unterrichten:Mathematik/LineareFunktionen

2025-12-16T21:51:01Z

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Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-16T21:51:01Z

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<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-16T21:49:36Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">

Benutzer:Vmoalnkealn

2025-12-16T20:14:38Z

Vmoalnkealn:

Hier zur Unterrichtseinheit "[[ZUM-Unterrichten:Mathematik/LineareFunktionen|Lineare Funktionen]]"

Benutzer:Vmoalnkealn/testphase

2025-12-16T20:13:45Z

Vmoalnkealn: Vmoalnkealn verschob die Seite Benutzer:Vmoalnkealn/testphase nach ZUM-Unterrichten:Mathematik/LineareFunktionen

#WEITERLEITUNG [[ZUM-Unterrichten:Mathematik/LineareFunktionen]]

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-16T20:13:45Z

Vmoalnkealn: Vmoalnkealn verschob die Seite Benutzer:Vmoalnkealn/testphase nach ZUM-Unterrichten:Mathematik/LineareFunktionen

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-16T20:10:43Z

Vmoalnkealn:

<br><br>
<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">

Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktionen

2025-12-16T20:09:50Z

Vmoalnkealn:

<div style="background-color:#e6f7ff; padding:20px; border-left:5px solid #007bff; margin-bottom:20px; box-shadow: 2px 2px 5px #ccc;">
<h2 style="margin-top:0;">Willkommen zum Lernpfad: Lineare Funktionen & Modellierung</h2>
Hallo und herzlich Willkommen im Lernpfad ''Lineare Funktionen erkunden!''

Bisher kennst du schon Dreisatz, Wertetabellen und Proportionalität.

Du hast hier die Möglichkeit, die Eigenschaften der Lineare Funktionen kennenzulernen, anhand von Abbildungen und Graphen die Lineare Funktion zu bestimmen.

Unser Hauptaugenmerk (oder so) wird sein, dass du lineare Funktionen nicht nur berechnen wirst, sondern als Werkzeuge nutzen wirst, um die Realität zu beschreiben (also es geht ums Modellieren).

'''Deine Ziele (Kompetenzen):'''
* Modellieren: Du kannst Alltagsprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen.
* Darstellen: Du wechselst sicher zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung.
* <s>Operieren: Du verstehst die Funktion als "Objekt", das man verändern, verschieben und mit anderen Funktionen vergleichen kann.</s>

'''Benötigtes Material:''' Heft, Stift, Geodreieck, (optional: GeoGebra/Taschenrechner).

Viel Spaß :)
</div>

__TOC__

== Station 1: Vom Text zum Modell (Modellierungskreislauf) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Eine Realsituation in eine mathematische Formel übersetzen.''
</div>

Stell dir vor, du möchtest einen Handyvertrag abschließen. Anbieter "TalkEasy" macht folgendes Angebot: "Du zahlst eine einmalige Anschlussgebühr von 10 €. Danach kostet jede Minute Telefonieren nur 0,15 €."

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 1:''' Erstelle ein mathematisches Modell für die Kosten <math>y</math> in Abhängigkeit von den Minuten <math>x</math>.
# Ergänze die Wertetabelle im Heft.
# Stelle die Funktionsgleichung auf.
</div>

{| class="wikitable" style="width:50%; text-align:center;"
|-
! Minuten (<math>x</math>)!! 0!! 10!! 20!! <math>x</math>
|-
! Kosten (<math>y</math>)!! ?!! ?!! ?!! ?
|}

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 2: Die Änderung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Pro Minute kommen 0,15 € dazu. Das ist deine Steigung <math>m</math>.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
* Tabelle: 10 € | 11,50 € | 13,00 €
* Gleichung: <math>f(x) = 0,15 \cdot x + 10</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 2: Das Objekt verstehen – Die Parameter m und b ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Den Einfluss der Parameter auf das Objekt "Gerade" zu verstehen (Operieren).''
</div>

Wir betrachten die allgemeine Form <math>f(x) = m \cdot x + b</math> nun als ein Objekt, das wir verändern können.

<div style="background-color:#fff3cd; padding:15px; border:1px solid #ffeeba; margin-bottom:15px;">
'''Merke:'''
* <math>b</math> (y-Achsenabschnitt): Verschiebt das Objekt (die Gerade) nach oben oder unten. Der "Startwert".
* <math>m</math> (Steigung): Dreht das Objekt. Es bestimmt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt (<math>+</math>) oder fällt (<math>-</math>).
</div>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 2: Zuordnung im Sachkontext'''

Du siehst hier drei Funktionsgleichungen für drei verschiedene brennende Kerzen. <math>y</math> ist die Höhe in cm, <math>x</math> die Zeit in Stunden.
* A: <math>f(x) = -2x + 15</math>
* B: <math>f(x) = -4x + 20</math>
* C: <math>f(x) = -1x + 15</math>

Ordne zu und begründe mathematisch:
# Welche Kerze war zu Beginn am höchsten?
# Welche Kerze brennt am schnellsten ab?
# Welche zwei Kerzen waren zu Beginn gleich hoch?
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung & Begründung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Kerze B war am höchsten (20 cm), denn der y-Achsenabschnitt <math>b=20</math> ist der größte Startwert.
# Kerze B brennt am schnellsten ab, denn der Betrag der Steigung <math>|-4|</math> ist am größten. Sie verliert 4 cm pro Stunde.
# Kerze A und C waren gleich hoch, da beide <math>b=15</math> haben.
</div>
</div>
</div>

== Station 3: Modellierung – Aus Daten eine Funktion bauen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Aus zwei Messwerten das Funktionsobjekt rekonstruieren.''
</div>

Oft hast du im Alltag keine Gleichung, sondern nur Datenpunkte.
Beispiel: Ein Flugzeug befindet sich im Sinkflug.
* Nach 2 Minuten ist es auf 4000 m Höhe.
* Nach 5 Minuten ist es auf 2500 m Höhe.

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 3:''' Bestimme die Funktionsgleichung <math>h(t) = m \cdot t + b</math>, die den Sinkflug beschreibt.
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 1: Steigung m berechnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Nutze die Formel für die Steigung durch zwei Punkte <math>P_1(2|4000)</math> und <math>P_2(5|2500)</math>: <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math><br>Berechne <math>m</math> zuerst.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''Schritt 2: b bestimmen'''
<div class="mw-collapsible-content">
Setze dein berechnetes <math>m</math> und einen der Punkte (x und y) in die Gleichung <math>y = m \cdot x + b</math> ein. Löse dann nach <math>b</math> auf.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# <math>m = \frac{2500 - 4000}{5 - 2} = \frac{-1500}{3} = -500</math> (Das Flugzeug sinkt 500m pro Minute).
# Einsetzen: <math>4000 = -500 \cdot 2 + b</math>
# <math>4000 = -1000 + b \quad | +1000</math>
# <math>5000 = b</math>
# Ergebnis: <math>h(t) = -500t + 5000</math>
</div>
</div>
</div>

== Station 4: Funktionen vergleichen (Schnittpunkte) ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Zwei Modelle vergleichen, um eine Entscheidung zu treffen (Operieren auf symbolischer Ebene).''
</div>

Das Herzstück der Funktionstheorie ist der Vergleich. Wann ist Modell A besser als Modell B?

Wir kehren zum Handy-Beispiel zurück:
* Tarif A: <math>f(x) = 0,15x + 10</math>
* Tarif B: Keine Grundgebühr, aber 0,25 € pro Minute. <math>g(x) = 0,25x</math>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
'''Aufgabe 4: Die Entscheidung'''

Ab wie viel Minuten Telefonzeit lohnt sich Tarif A (mit Grundgebühr) mehr als Tarif B?

Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide gleich teuer sind (Schnittpunkt).
</div>

<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp: Der Ansatz'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wir suchen das <math>x</math>, für das die Kosten gleich sind.

Ansatz: '''Gleichsetzen'''
<center><math>f(x) = g(x)</math></center>
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
Gleichsetzen:
:<math>0,15x + 10 = 0,25x \quad | -0,15x</math>
:<math>10 = 0,10x \quad \quad \quad | :0,10</math>
:<math>100 = x</math>

**Antwort: Bei genau 100 Minuten kosten beide gleich viel (nämlich 25 €). Wer mehr als 100 Minuten telefoniert, sollte Tarif A wählen (da die Gerade flacher verläuft).
</div>
</div>
</div>

== Station 5: Experten-Training – Objekteigenschaften verknüpfen ==
<div style="font-size:90%; color:gray; margin-bottom:10px;">
''Hier trainierst du: Abstraktes Denken über die Eigenschaften von parallelen Graphen.''
</div>Du arbeitest im Stadtplanungsbüro. Eine neue Zugstrecke wurde bereits geplant und verläuft linear durch das Stadtgebiet. Deine Aufgabe ist es nun, eine neue Umgehungsstraße zu planen.

Die Zugstrecke wird durch die Funktion <math>f(x) = x + 3</math> beschrieben.
<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333; margin-top:10px;">
'''Aufgabe 5:'''

Damit es nicht zu gefährlichen Unfällen kommt, soll die neue Straße ('''Funktion <math>g(x)</math>''') absolut '''parallel''' zur Zugschiene verlaufen. Ein Bahnübergang oder eine Kreuzung sind an dieser Stelle nicht vorgesehen.

Verändere den Schieberegler für '''<math>b</math>'''.

1) Was passiert mit dem Graphen?

Passe nun die Steigung '''<math>m</math>''' deiner Funktion '''<math>g(x)</math>''' so an, dass die Straße und die Schiene parallel verlaufen.

2) Welchen Wert muss die Steigung '''<math>m</math>''' von '''<math>g(x)</math>''' haben, damit die Geraden sich niemals schneiden. Vergleiche die Steigung von '''<math>f(x)</math>''' mit der Steigung von '''<math>g(x)</math>'''. Was fällt dir auf?
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">
'''Bitte öffnen'''
<div class="mw-collapsible-content">
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/n4qzhyjd?embed" width="1000" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
</div>
</div>

<s>Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = 2x - 3</math>.</s>

<div style="background-color:#f9f9f9; padding:15px; border:2px solid #333;">
<s>'''Aufgabe 5:''' Gib eine Funktionsgleichung <math>g(x)</math> an, deren Graph...</s>
# <s>... parallel zu <math>f(x)</math> verläuft, aber durch den Punkt <math>P(0|5)</math> geht.</s>
# <s>... den gleichen y-Achsenabschnitt hat wie <math>f(x)</math>, aber fällt statt steigt.</s>
</div>

<div style="margin-top:10px;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #28a745; padding:5px; background-color:#eaffea;">
'''✅ Lösung'''
<div class="mw-collapsible-content">
# Wenn man '''<math>b</math>''' verändert, dann verschiebt sich der Graph nach oben bzw. nach unten. Parallel bedeutet: Die Steigung <math>m</math> muss gleich sein. Jedoch ändert sich der Startwert bzw. der y-Achsenabschnitt.
#:<s><math>g(x) = x + 6</math></s>
#Die Funktion <s><math>g(x)</math></s> muss die gleiche Steigung <s><math>m</math></s> haben, wie die Funktion <s><math>f(x)</math></s> die hat. Somit ist die Steigung <s><math>m = 1</math></s>
</div>
</div>
</div>

== <s>Abschluss: Kannst du das Modellieren?</s> ==
<s>Nimm dir 5 Minuten Zeit und reflektiere:</s>
* <s>Kannst du aus einem Text <math>m</math> und <math>b</math> herauslesen?</s>
* <s>Weißt du, wie man den "Break-Even-Point" (Schnittpunkt) zweier Angebote berechnet?</s>
((Vllt hier einen Link zu einem digitalen Selbsttest / Kahoot / H5P))<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="border:1px solid #aaa; padding:5px;">

Benutzer:Vmoalnkealn

2025-12-16T17:00:32Z

Vmoalnkealn:

Hier zur Unterrichtseinheit "[[Benutzer:Vmoalnkealn/testphase|Lineare Funktionen]]"

Benutzer:Vmoalnkealn

2025-12-16T16:57:56Z

Vmoalnkealn:

Hier zur Unterrichtseinheit "[[Benutzer:Vmoalnkealn/testphase|Lineare Funktionen]]"

[[Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktion]]

[[Benutzer:Vmoalnkealn/LineareFunktion1]]

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[[Benutzer:Vmoalnkealn/test2]]

[[Benutzer:Vmoalnkealn/Testphase]]