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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Auf direktem Weg durchs Dreieck - Dein Lernpfad zu den besonderen Linien im Dreieck/Seitenhalbierende

2026-05-17T19:23:03Z

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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Auf direktem Weg durchs Dreieck - Dein Lernpfad zu den besonderen Linien im Dreieck/Mittelsenkrechte

2026-05-17T19:21:58Z

Nathalie Bosshammer: Entfernen der Inhalte

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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Auf direktem Weg durchs Dreieck - Dein Lernpfad zu den besonderen Linien im Dreieck/Winkelhalbierende

2026-05-17T19:20:13Z

Nathalie Bosshammer: Entfernen der Inhalte

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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Auf direktem Weg durchs Dreieck - Dein Lernpfad zu den besonderen Linien im Dreieck/Höhe im Dreieck

2026-05-17T19:19:18Z

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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Auf direktem Weg durchs Dreieck - Dein Lernpfad zu den besonderen Linien im Dreieck

2026-05-17T19:17:46Z

Nathalie Bosshammer: Entfernen der Inhalte

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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender

2026-04-26T19:43:50Z

Nathalie Bosshammer:

__NOTOC__
== Besondere Linien im Dreieck==
{{Box|Herzlich Willkommen im Lernpfad: Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender|Schön, dass du da bist!

Du kennst bereits die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende.
Aber hast du dich schon einmal gefragt, warum sich diese Linien jeweils in genau einem Punkt schneiden?
Und warum dieser Punkt manchmal im Dreieck liegt, manchmal aber auch nicht?

In diesem Lernpfad untersuchst du die besonderen Eigenschaften dieser Linien genauer.
Heute geht es nicht nur ums Konstruieren - sondern ums Verstehen.|Lernpfad
}}

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: mintcream; border-radius: 5px;width:80%">
[[Datei:Dekoratives_Mathematikbild_zur_Mittelsenkrechten_und_Winkelhalbierenden.png|rechts|rahmenlos|250x250px]]
<strong>'''Inhaltsverzeichnis''' </strong>
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung|Wiederholung]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus|Die Mittelsenkrechte im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus|Die Winkelhalbierende im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht|Abschlusstest]]

</div>

== Orientierung==

Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades beginnst, erhältst du nun einige wichtige Hinweise, damit du dich leicht zurechtfindest.

Die Bearbeitung des Lernpfades dauert in etwa 90 Minuten.

Oben auf dieser Seite findest du eine Übersicht der Kapitel, die du im Laufe der Bearbeitung durchläufst. <br />
Das Kapitel, in dem du dich gerade befindet, ist jeweils '''hervorgehoben'''.
Im Moment ist das, dass Kapitel '''"Willkommen"'''. <br />
Du kannst jederzeit zwischen den einzelnen Kapiteln wechseln.<br />

'''Hinweis zur Bearbeitung:'''
Du kannst selbst entscheiden, ob du zuerst die '''Mittelsenkrechte''' oder die '''Winkelhalbierende''' bearbeitest. <br />
<span style="color:red;">'''Wichtig:'''</span> Bevor du mit dem letzten Kapitel beginnst, müssen beide Themen bearbeitet sein.

Ergänzend zur Arbeit im Lernpfad erhältst du einen '''Lernbegleitbogen''' ([[Medium:Lernjournal für den Lernpfad zur vertiefenden Untersuchung MS & WH.pdf|PDF herunterladen]]). <br />
Er erscheint mit diesem Symbol: 📒<br />
Darin findet du weiterführende Informationen, Platz für Notizen, Merksätze und Aufgabenbearbeitungen.

🖥️ Im Lernpfad sind außerdem Videos eingebunden.
Wenn du dich nicht alleine im Raum befindest, benötigst du Kopfhörer, um die Videos anzuschauen.
----'''Du triffst im Lernpfad auf folgende Bausteine:'''

{{Box|Merke|Hier sind wichtige Erkenntnisse in einem Merksatz zusammengefasst. Du findest diese auch in deinem persönlichen Hefter wieder. <br /> Dort hast du außerdem Platz Notizen oder Beispiele hinzuzufügen.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe|Bei diesen Bausteinen wirst du selbst aktiv und entdeckst neue Zusammenhänge. <br /> Neben klassischen Aufgaben, die du mit Papier und Stift in deinem Hefter bearbeitest, erwarten dich auch interaktive Elemente, wie GeoGebra-Applets, Zuordnungsaufgaben, kleine Rätsel oder digitale Übungsformate. <br /> Du findest entsprechend zu jeder Aufgabe eine kurze Erklärung, was zu tun ist.|Arbeitsmethode
}}{{Box|Übung|Dieser Baustein kennzeichnet Übungsaufgaben, sodass du bereits gelernte Inhalte wiederholen kannst.|Üben
}}
----

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
=== 💡Wenn du nicht weiter kommst ===
Bei einigen Aufgaben stehen dir Hilfestellungen zur Verfügung. <br />
Dies geschieht über einen Hilfe-Button. <br />
Versuche jedoch zunächst, die Aufgaben eigenständig zu lösen.

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
=== ✅Rückmeldung zu deinen Lösungen===
Nachdem du eine Aufgabe bearbeitet hast, erhältst du eine direkte Rückmeldung. <br />
Dies geschieht über einen Lösungs-Button. So kannst du selbst kontrollieren, ob du auf dem richtigen Weg bist.
|}

==Kompetenzen==
{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenzen|'''Argumentieren'''<br />
In diesem Lernpfad übst du, mathematische Aussagen zu begründen und verständlich zu erklären. <br />Dabei geht es darum, Zusammenhänge zu erkennen und nachvollziehbar darzustellen und zu erklären.

'''Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen'''<br /> Du übst außerdem, Figuren mithilfe dynamischer Geometriesoftware zu verändern und zu untersuchen. <br />Dabei wirst du Vermutungen äußern, diese mithilfe der Software überprüfen und gleichzeitig Zusammenhänge feststellen.|Hervorhebung1
}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Im folgenden siehst du, welches Wissen du bereits mitbringst und was du heute lernen wirst.

Das bringst du schon mit
#'''Du kannst''' eine Mittelsenkrechte und eine Winkelhalbierende mit Hilfe eines Zirkels und Geodreieck konstruieren.
#'''Du kannst''' die Begriffe Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden in eigenen Worten definieren.
#'''Du weißt''', dass sich jeweils drei dieser Linien in einem Punkt schneiden.
#'''Du kannst''' geometrische Grundkonstruktionen (Punkte, Geraden, Strecken, Kreise) mithilfe der dynamischer Geometriesoftware (GeoGebra) konstruieren.
#'''Du kannst''' die Kongruenzsätze, insbesondere die Sätze SWS und WSW, in eigenen Worten erklären.

Das vertiefst du heute
#'''Du kannst''' Eigenschaften der Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden fachsprachlich erklären und begründen.
#'''Du kannst''' den Umkreis und den Inkreis eines Dreiecks konstruieren und erklären, wo die jeweiligen Mittelpunkte bei verschiedenen Dreiecken liegen.
#'''Du kannst''' mit Hilfe von GeoGebra Zusammenhänge und Eigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden sowie die Lage der dazugehörigen Mittelpunkte dynamisch untersuchen.
#'''Du kannst''' die Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende anhand ihrer charakteristischen Eigenschaften unterscheiden.|Hervorhebung1
| Icon = brainy hdg-school
}}

'''🚀 Bist du bereit?'''

Dann starte jetzt mit einer kurzen Selbsteinschätzung, um dein Vorwissen und deine Erfahrungen zu reflektieren.

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: WhiteSmoke; border-radius: 5px;width:55%">
Du kannst entweder den Link nutzen oder einfach den QR-Code mit deinem Handy scannen.

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>Mentimeterlink:</u>'''
https://www.menti.com/ali9erxid979

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>OR-Code:</u>'''
[[Datei:Mentimeter QR-Code.png|mini|220x220px|rechts]]
|}

</div>

Klicke nun <nowiki/>in<nowiki/> de<nowiki/>r Kapitelübersicht auf das nächste Thema oder nutze den Pfeil am unteren Rand der Seite, um Schritt für Schritt durch den Lernpfad zu kommen.

Viel Erfolg beim Entdecken und Vertiefen.

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht‘s weiter zur Wiederholung (optional)|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
----{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Vertiefung der Mittelsenkrechten|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt

2026-04-26T16:04:30Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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{{TOCright}}
==Umkreis==
Du hast im vorherigen Kapitel zum Thema "Den Eigenschaften von Mittelsenkrechten auf der Spur" den Standort des Depots ermittelt.<br />
Das Depot hat nun von der Forschungsstation A, B und C die gleiche Entfernung. <br />Wir können daraus Schlussfolgern, dass sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man Umkreismittelpunkt.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|left]]Die '''drei Mittelsenkrechten''' eines Dreiecks schneiden sich in ''einem'' Punkt M. <br /> Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.|Merksatz
}}

[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]
Wir kehren zurück zur Aufgabe der Forschungsstationen. <br />
Die Lage in der Antarktis hat sich zugespitzt.
Nach einem Stromausfall müssen die drei Stationen nun über ein mobiles Funksystem verbunden werden. <br />
Das Funksignal breitet sich kreisförmig aus. <br />

Der Sendemast soll so stehen, dass alle Stationen am Rand des gleichen Funkkreises liegen.
Überlege dir zunächst, welchen Punkt du für den Mittelpunkt des mobilen Funksystem brauchst.

<big>💭+📒</big> Notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 6|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels den Funkkreis.<br />

📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter und deine bereits angefertigte Konstruktion für die Standortbestimmung des Depots auf Seite 6.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:30%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:70%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

----

===Lage des Umkreismittelpunktes im Dreieck===

Für den Stromausfall in der Antarktis hast du die drei Forschungsstationen über ein mobiles Funksystem miteinander verbunden.
Dafür hast du einen Umkreis konstruiert und den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Sendemast festgelegt.

'''Überprüfe''' zunächst deine '''Vermutung''' aus Aufgabe 6: War sie richtig? <br />Markiere sie mit ✔ oder ✘.

Doch jetzt stellt sich eine wichtige Frage: Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />
Was passiert, wenn sich die Form des Dreiecks verändert?

Gehe diesen Fragen nach und schreibe zunächst deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 7|Untersuche nun die Lage des Sendemastes genauer. <br />
In dieser Aufgabe geht es um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.

1) '''Zeichne''' zunächst den Umkreis des Dreiecks ein.<br />
{{Lösung versteckt|Nutze das Werkzeug "Kreis mit MP durch Punkt"|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
2) '''Verändere''' in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />

<u>Gehe dabei wie folgt vor:</u> Klicke auf den Punkt C und bewege ihn langsam.
* nach rechts
* nach links
* nach oben
* nach unten
'''Beobachte genau''', was mit dem Umkreis und dem Mittelpunkt passiert.

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 6.
#Bleibt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Umkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksarten (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) 📒 Welcher deiner Vermutungen haben sich bestätigt, welche nicht? Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="zpmtu6pt" width="800" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|1='''Frage 1:''' Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Der Radius des Umkreises kann sich verändern. <br /> Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. <br />
'''Frage 3:''' Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt <br />
Spitzwinkliges Dreieck => Innen <br />
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse <br />
Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb|2=✅ Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Winkelhalbierenden|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt

2026-04-26T15:14:26Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Winkelhalbierenden|
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__TOC__
==Inkreis==
{{TOCright}}Im vorherigen Kapitel hast du dich mit den Eigenschaften der Winkelhalbierenden auseinandergesetzt und den Standort für den Springbrunnen ermittelt. <br /> Das ist super! <br />
Wir können nun Schlussfolgern, dass sich die Winkelhalbierenden der drei Wegstrecken in einem Punkt schneiden. <br />

Dieser Punkt, an dem der Springbrunnen platziert wird, nennt man Inkreismittelpunkt. <br />
Wie der Name schon verrät, ist dies der Mittelpunkt des Inkreises. <br />
Der folgende Merksatz erklärt dir, was genau der Inkreis ist.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Inkreis in Dreieck ABC.png|mini|left]]
Der '''Inkreis''' eines Dreiecks ist ein Kreis, der '''alle Seiten''' des Dreiecks '''berührt'''. <br /> Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem '''Schnittpunkt W''' der '''drei Winkelhalbierenden''' eines Dreiecks.|Merksatz
}}
[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini|right]]
Jetzt weißt du, was ein Inkreis ist. <br />
Kehre nun zur gestalteten Rasenfläche in der Parkanlage zurück. <br />
Du möchtest um den Springbrunnen ein kreisförmiges Blumenbeet anlegen, das genau in die dreieckige Rasenfläche passt.

Wo setzt du den Zirkel an? <br />
Wie groß muss der Radius des Blumenbeetes sein, damit er in die dreieckige Rasenfläche passt?

<big>💭+📒</big> Bevor du Aufgabe 11 bearbeitest, überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

{{Box|Aufgabe 11|1. Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels das kreisförmige Blumenbeet.
<br />

2. Überprüfe anschließend deine Vermutung und markiere sie mit ✔ oder ✘.
<br />
📒 Da du den Standort des Springbrunnens bereits bestimmt hast, nutze für die Bearbeitung der Aufgabe die Zeichnung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:30%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Inkreis.png|mini||center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:70%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

===Lage des Inkreismitelpunktes im Dreieck===
Du hast den Inkreis in die dreieckige Parkfläche eingezeichnet. <br />
Dabei hast du sicherlich festgestellt, dass der Inkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt. <br />
Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />

<big>💭+📒</big> Was vermutest du? Schreibe deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 8.

Gehe diesen Fragen nach und erkunde in der nächsten Aufgabe die Lage des Inkreismittelpunktes in verschiedenen Dreiecken.

{{Box|Aufgabe 12|Hier geht es nun um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra. <br />

1) '''Zeichne''' zunächst den Inkreis des Dreiecks ein.
{{Lösung versteckt|Konstruiere zunächst ein Lot vom Mittelpunkt S auf eine Dreiecksseite. Werkzeug: "Senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Zeichne den Inkreis. Werkzeug: "Kreis mit MP durch Punkt". <br /> Der Mittelpunkt ist S und der Punkt ist der Schnittpunkt der senkrechten Gerade mit einer Dreiecksseite |💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

2) '''Verändere''' nun in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />
*Dabei kannst du den '''Eckpunkt C''' langsam nach rechts und nach links verschieben. <br />
*Du kannst den Punkt auch nach oben oder nach unten bewegen. <br />
'''Beobachte''' dabei '''genau''': Was passiert mit dem Inkreis und dem Mittelpunkt? <br />

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.<br />
#Bleibt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Inkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksformen (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) 📒 Welcher deiner Vermutungen auf Seite 8 im persönlichen Hefter haben sich bestätigt, welche nicht? Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="hwvq2ydh" width="600" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|'''Frage 1:''' Ja, der Inkreismittelpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Ja, der Radius verändert sich, wenn sich die Form oder Größe des Dreiecks verändert.
'''Frage 3:''' Bei unterschiedlichen Dreiecksarten fällt nichts besonderes auf, da der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegt.|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Abschlusstest|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt

2026-04-26T15:12:20Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Winkelhalbierenden|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus}}
__TOC__
==Inkreis==
{{TOCright}}Im vorherigen Kapitel hast du dich mit den Eigenschaften der Winkelhalbierenden auseinandergesetzt und den Standort für den Springbrunnen ermittelt. <br /> Das ist super! <br />
Wir können nun Schlussfolgern, dass sich die Winkelhalbierenden der drei Wegstrecken in einem Punkt schneiden. <br />

Dieser Punkt, an dem der Springbrunnen platziert wird, nennt man Inkreismittelpunkt. <br />
Wie der Name schon verrät, ist dies der Mittelpunkt des Inkreises. <br />
Der folgende Merksatz erklärt dir, was genau der Inkreis ist.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Inkreis in Dreieck ABC.png|mini|left]]
Der '''Inkreis''' eines Dreiecks ist ein Kreis, der '''alle Seiten''' des Dreiecks '''berührt'''. <br /> Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem '''Schnittpunkt W''' der '''drei Winkelhalbierenden''' eines Dreiecks.|Merksatz
}}
[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini|right]]
Jetzt weißt du, was ein Inkreis ist. <br />
Kehre nun zur gestalteten Rasenfläche in der Parkanlage zurück. <br />
Du möchtest um den Springbrunnen ein kreisförmiges Blumenbeet anlegen, das genau in die dreieckige Rasenfläche passt.

Wo setzt du den Zirkel an? <br />
Wie groß muss der Radius des Blumenbeetes sein, damit er in die dreieckige Rasenfläche passt?

<big>💭+📒</big> Bevor du Aufgabe 11 bearbeitest, überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

{{Box|Aufgabe 11|1. Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels das kreisförmige Blumenbeet.
<br />

2. Überprüfe anschließend deine Vermutung und markiere sie mit ✔ oder ✘.
<br />
📒 Da du den Standort des Springbrunnens bereits bestimmt hast, nutze für die Bearbeitung der Aufgabe die Zeichnung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:30%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Inkreis.png|mini||center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:70%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

===Lage des Inkreismitelpunktes im Dreieck===
Du hast den Inkreis in die dreieckige Parkfläche eingezeichnet. <br />
Dabei hast du sicherlich festgestellt, dass der Inkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt. <br />
Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />

<big>💭+📒</big> Was vermutest du? Schreibe deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 8.

Gehe diesen Fragen nach und erkunde in der nächsten Aufgabe die Lage des Inkreismittelpunktes in verschiedenen Dreiecken.

{{Box|Aufgabe 12|Hier geht es nun um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra. <br />

1) '''Zeichne''' zunächst den Inkreis des Dreiecks ein.
{{Lösung versteckt|Konstruiere zunächst ein Lot vom Mittelpunkt S auf eine Dreiecksseite. Werkzeug: "Senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Zeichne den Inkreis. Werkzeug: "Kreis mit MP durch Punkt". <br /> Der Mittelpunkt ist S und der Punkt ist der Schnittpunkt der senkrechten Gerade mit einer Dreiecksseite |💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

2) '''Verändere''' nun in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />
*Dabei kannst du den '''Eckpunkt C''' langsam nach rechts und nach links verschieben. <br />
*Du kannst den Punkt auch nach oben oder nach unten bewegen. <br />
'''Beobachte''' dabei '''genau''': Was passiert mit dem Inkreis und dem Mittelpunkt? <br />

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.<br />
#Bleibt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Inkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksformen (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welcher deiner Vermutungen auf Seite 8 im persönlichen Hefter haben sich bestätigt, welche nicht? Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="hwvq2ydh" width="600" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|'''Frage 1:''' Ja, der Inkreismittelpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Ja, der Radius verändert sich, wenn sich die Form oder Größe des Dreiecks verändert.
'''Frage 3:''' Bei unterschiedlichen Dreiecksarten fällt nichts besonderes auf, da der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegt.|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Abschlusstest|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-26T14:52:49Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das '''gleich weit''' von allen drei Forschungsstationen '''entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen. {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>

</div>

|}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|1. Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>

2. Überprüfe deine anfängliche Vermutung (Seite 3) für die Standortbestimmung des Depots. Markiere sie mit ✔ oder ✘.

📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Konstruiere die gegebenen '''Längen''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm'''.|Arbeitsmethode
}}
{| style="width:50%; border:none;"

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen (Starttipp)|Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}

|}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender

2026-04-26T14:45:16Z

Nathalie Bosshammer:

__NOTOC__
== Besondere Linien im Dreieck==
{{Box|Herzlich Willkommen im Lernpfad: Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender|Schön, dass du da bist!

Du kennst bereits die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende.
Aber hast du dich schon einmal gefragt, warum sich diese Linien jeweils in genau einem Punkt schneiden?
Und warum dieser Punkt manchmal im Dreieck liegt, manchmal aber auch nicht?

In diesem Lernpfad untersuchst du die besonderen Eigenschaften dieser Linien genauer.
Heute geht es nicht nur ums Konstruieren - sondern ums Verstehen.|Lernpfad
}}

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: mintcream; border-radius: 5px;width:80%">
[[Datei:Dekoratives_Mathematikbild_zur_Mittelsenkrechten_und_Winkelhalbierenden.png|rechts|rahmenlos|250x250px]]
<strong>'''Inhaltsverzeichnis''' </strong>
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung|Wiederholung]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus|Die Mittelsenkrechte im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus|Die Winkelhalbierende im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht|Abschlusstest]]

</div>

== Orientierung==

Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades beginnst, erhältst du nun einige wichtige Hinweise, damit du dich leicht zurechtfindest.

Die Bearbeitung des Lernpfades dauert in etwa 60 Minuten.

Oben auf dieser Seite findest du eine Übersicht der Kapitel, die du im Laufe der Bearbeitung durchläufst. <br />
Das Kapitel, in dem du dich gerade befindet, ist jeweils '''hervorgehoben'''.
Im Moment ist das, dass Kapitel '''"Willkommen"'''. <br />
Du kannst jederzeit zwischen den einzelnen Kapiteln wechseln.<br />

'''Hinweis zur Bearbeitung:'''
Du kannst selbst entscheiden, ob du zuerst die '''Mittelsenkrechte''' oder die '''Winkelhalbierende''' bearbeitest. <br />
<span style="color:red;">'''Wichtig:'''</span> Bevor du mit dem letzten Kapitel beginnst, müssen beide Themen bearbeitet sein.

Ergänzend zur Arbeit im Lernpfad erhältst du einen '''Lernbegleitbogen''' ([[Medium:Lernjournal für den Lernpfad zur vertiefenden Untersuchung MS & WH.pdf|PDF herunterladen]]). <br />
Er erscheint mit diesem Symbol: 📒<br />
Darin findet du weiterführende Informationen, Platz für Notizen, Merksätze und Aufgabenbearbeitungen.

🖥️ Im Lernpfad sind außerdem Videos eingebunden.
Wenn du dich nicht alleine im Raum befindest, benötigst du Kopfhörer, um die Videos anzuschauen.
----'''Du triffst im Lernpfad auf folgende Bausteine:'''

{{Box|Merke|Hier sind wichtige Erkenntnisse in einem Merksatz zusammengefasst. Du findest diese auch in deinem persönlichen Hefter wieder. <br /> Dort hast du außerdem Platz Notizen oder Beispiele hinzuzufügen.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe|Bei diesen Bausteinen wirst du selbst aktiv und entdeckst neue Zusammenhänge. <br /> Neben klassischen Aufgaben, die du mit Papier und Stift in deinem Hefter bearbeitest, erwarten dich auch interaktive Elemente, wie GeoGebra-Applets, Zuordnungsaufgaben, kleine Rätsel oder digitale Übungsformate. <br /> Du findest entsprechend zu jeder Aufgabe eine kurze Erklärung, was zu tun ist.|Arbeitsmethode
}}{{Box|Übung|Dieser Baustein kennzeichnet Übungsaufgaben, sodass du bereits gelernte Inhalte wiederholen kannst.|Üben
}}
----

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
=== 💡Wenn du nicht weiter kommst ===
Bei einigen Aufgaben stehen dir Hilfestellungen zur Verfügung. <br />
Dies geschieht über einen Hilfe-Button. <br />
Versuche jedoch zunächst, die Aufgaben eigenständig zu lösen.

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
=== ✅Rückmeldung zu deinen Lösungen===
Nachdem du eine Aufgabe bearbeitet hast, erhältst du eine direkte Rückmeldung. <br />
Dies geschieht über einen Lösungs-Button. So kannst du selbst kontrollieren, ob du auf dem richtigen Weg bist.
|}

==Kompetenzen==
{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenzen|'''Argumentieren'''<br />
In diesem Lernpfad übst du, mathematische Aussagen zu begründen und verständlich zu erklären. <br />Dabei geht es darum, Zusammenhänge zu erkennen und nachvollziehbar darzustellen und zu erklären.

'''Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen'''<br /> Du übst außerdem, Figuren mithilfe dynamischer Geometriesoftware zu verändern und zu untersuchen. <br />Dabei wirst du Vermutungen äußern, diese mithilfe der Software überprüfen und gleichzeitig Zusammenhänge feststellen.|Hervorhebung1
}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Im folgenden siehst du, welches Wissen du bereits mitbringst und was du heute lernen wirst.

Das bringst du schon mit
#'''Du kannst''' eine Mittelsenkrechte und eine Winkelhalbierende mit Hilfe eines Zirkels und Geodreieck konstruieren.
#'''Du kannst''' die Begriffe Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden in eigenen Worten definieren.
#'''Du weißt''', dass sich jeweils drei dieser Linien in einem Punkt schneiden.
#'''Du kannst''' geometrische Grundkonstruktionen (Punkte, Geraden, Strecken, Kreise) mithilfe der dynamischer Geometriesoftware (GeoGebra) konstruieren.
#'''Du kannst''' die Kongruenzsätze, insbesondere die Sätze SWS und WSW, in eigenen Worten erklären.

Das vertiefst du heute
#'''Du kannst''' Eigenschaften der Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden fachsprachlich erklären und begründen.
#'''Du kannst''' den Umkreis und den Inkreis eines Dreiecks konstruieren und erklären, wo die jeweiligen Mittelpunkte bei verschiedenen Dreiecken liegen.
#'''Du kannst''' mit Hilfe von GeoGebra Zusammenhänge und Eigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden sowie die Lage der dazugehörigen Mittelpunkte dynamisch untersuchen.
#'''Du kannst''' die Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende anhand ihrer charakteristischen Eigenschaften unterscheiden.|Hervorhebung1
| Icon = brainy hdg-school
}}

'''🚀 Bist du bereit?'''

Dann starte jetzt mit einer kurzen Selbsteinschätzung, um dein Vorwissen und deine Erfahrungen zu reflektieren.

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: WhiteSmoke; border-radius: 5px;width:55%">
Du kannst entweder den Link nutzen oder einfach den QR-Code mit deinem Handy scannen.

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>Mentimeterlink:</u>'''
https://www.menti.com/ali9erxid979

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>OR-Code:</u>'''
[[Datei:Mentimeter QR-Code.png|mini|220x220px|rechts]]
|}

</div>

Klicke nun <nowiki/>in<nowiki/> de<nowiki/>r Kapitelübersicht auf das nächste Thema oder nutze den Pfeil am unteren Rand der Seite, um Schritt für Schritt durch den Lernpfad zu kommen.

Viel Erfolg beim Entdecken und Vertiefen.

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht‘s weiter zur Wiederholung (optional)|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
----{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Vertiefung der Mittelsenkrechten|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender

2026-04-25T16:54:05Z

Nathalie Bosshammer:

__NOTOC__
== Besondere Linien im Dreieck==
{{Box|Herzlich Willkommen im Lernpfad: Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender|Schön, dass du da bist!

Du kennst bereits die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende.
Aber hast du dich schon einmal gefragt, warum sich diese Linien jeweils in genau einem Punkt schneiden?
Und warum dieser Punkt manchmal im Dreieck liegt, manchmal aber auch nicht?

In diesem Lernpfad untersuchst du die besonderen Eigenschaften dieser Linien genauer. Du vergleichst ihre Gemeinsamkeiten und Unterschiede und findest heraus, welche Rolle sie spielen.
Heute geht es nicht nur ums Konstruieren - sondern ums Verstehen.|Lernpfad
}}

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: mintcream; border-radius: 5px;width:80%">
[[Datei:Dekoratives_Mathematikbild_zur_Mittelsenkrechten_und_Winkelhalbierenden.png|rechts|rahmenlos|250x250px]]
<strong>'''Inhaltsverzeichnis''' </strong>
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung|Wiederholung]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus|Die Mittelsenkrechte im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus|Die Winkelhalbierende im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht|Abschlusstest]]

</div>

== Orientierung==

Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades beginnst, erhältst du nun einige wichtige Hinweise, damit du dich leicht zurechtfindest.

Die Bearbeitung des Lernpfades dauert in etwa 60 Minuten.

Oben auf dieser Seite findest du eine Übersicht der Kapitel, die du im Laufe der Bearbeitung durchläufst. <br />
Das Kapitel, in dem du dich gerade befindet, ist jeweils '''hervorgehoben'''.
Im Moment ist das, dass Kapitel '''"Willkommen"'''. <br />
Du kannst jederzeit zwischen den einzelnen Kapiteln wechseln.<br />

'''Hinweis zur Bearbeitung:'''
Du kannst selbst entscheiden, ob du zuerst die '''Mittelsenkrechte''' oder die '''Winkelhalbierende''' bearbeitest. <br />
<span style="color:red;">'''Wichtig:'''</span> Bevor du mit dem letzten Kapitel beginnst, müssen beide Themen bearbeitet sein.

Ergänzend zur Arbeit im Lernpfad erhältst du einen '''Lernbegleitbogen''' ([[Medium:Lernjournal für den Lernpfad zur vertiefenden Untersuchung MS & WH.pdf|PDF herunterladen]]). <br />
Er erscheint mit diesem Symbol: 📒<br />
Darin findet du weiterführende Informationen, Platz für Notizen, Merksätze und Aufgabenbearbeitungen.

🖥️ Im Lernpfad sind außerdem Videos eingebunden.
Wenn du dich nicht alleine im Raum befindest, benötigst du Kopfhörer, um die Videos anzuschauen.
----'''Du triffst im Lernpfad auf folgende Bausteine:'''

{{Box|Merke|Hier sind wichtige Erkenntnisse in einem Merksatz zusammengefasst. Du findest diese auch in deinem persönlichen Hefter wieder. <br /> Dort hast du außerdem Platz Notizen oder Beispiele hinzuzufügen.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe|Bei diesen Bausteinen wirst du selbst aktiv und entdeckst neue Zusammenhänge. <br /> Neben klassischen Aufgaben, die du mit Papier und Stift in deinem Hefter bearbeitest, erwarten dich auch interaktive Elemente, wie GeoGebra-Applets, Zuordnungsaufgaben, kleine Rätsel oder digitale Übungsformate. <br /> Du findest entsprechend zu jeder Aufgabe eine kurze Erklärung, was zu tun ist.|Arbeitsmethode
}}{{Box|Übung|Dieser Baustein kennzeichnet Übungsaufgaben, sodass du bereits gelernte Inhalte wiederholen kannst.|Üben
}}
----

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
=== 💡Wenn du nicht weiter kommst ===
Bei einigen Aufgaben stehen dir Hilfestellungen zur Verfügung. <br />
Dies geschieht über einen Hilfe-Button. <br />
Versuche jedoch zunächst, die Aufgaben eigenständig zu lösen.

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
=== ✅Rückmeldung zu deinen Lösungen===
Nachdem du eine Aufgabe bearbeitet hast, erhältst du eine direkte Rückmeldung. <br />
Dies geschieht über einen Lösungs-Button. So kannst du selbst kontrollieren, ob du auf dem richtigen Weg bist.
|}

==Kompetenzen==
{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenzen|'''Argumentieren'''<br />
In diesem Lernpfad übst du, mathematische Aussagen zu begründen und verständlich zu erklären. <br />Dabei geht es darum, Zusammenhänge zu erkennen und nachvollziehbar darzustellen und zu erklären.

'''Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen'''<br /> Du übst außerdem, Figuren mithilfe dynamischer Geometriesoftware zu verändern und zu untersuchen. <br />Dabei wirst du Vermutungen äußern, diese mithilfe der Software überprüfen und gleichzeitig Zusammenhänge feststellen.|Hervorhebung1
}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Im folgenden siehst du, welches Wissen du bereits mitbringst und was du heute lernen wirst.

Das bringst du schon mit
#'''Du kannst''' eine Mittelsenkrechte und eine Winkelhalbierende mit Hilfe eines Zirkels und Geodreieck konstruieren.
#'''Du kannst''' die Begriffe Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden in eigenen Worten definieren.
#'''Du weißt''', dass sich jeweils drei dieser Linien in einem Punkt schneiden.
#'''Du kannst''' geometrische Grundkonstruktionen (Punkte, Geraden, Strecken, Kreise) mithilfe der dynamischer Geometriesoftware (GeoGebra) konstruieren.
#'''Du kannst''' die Kongruenzsätze, insbesondere die Sätze SWS und WSW, in eigenen Worten erklären.

Das vertiefst du heute
#'''Du kannst''' Eigenschaften der Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden fachsprachlich erklären und begründen.
#'''Du kannst''' den Umkreis und den Inkreis eines Dreiecks konstruieren und erklären, wo die jeweiligen Mittelpunkte bei verschiedenen Dreiecken liegen.
#'''Du kannst''' mit Hilfe von GeoGebra Zusammenhänge und Eigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden sowie die Lage der dazugehörigen Mittelpunkte dynamisch untersuchen.
#'''Du kannst''' die Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende anhand ihrer charakteristischen Eigenschaften unterscheiden.|Hervorhebung1
| Icon = brainy hdg-school
}}

'''🚀 Bist du bereit?'''

Dann starte jetzt mit einer kurzen Selbsteinschätzung, um dein Vorwissen und deine Erfahrungen zu reflektieren.

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: WhiteSmoke; border-radius: 5px;width:55%">
Du kannst entweder den Link nutzen oder einfach den QR-Code mit deinem Handy scannen.

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>Mentimeterlink:</u>'''
https://www.menti.com/ali9erxid979

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>OR-Code:</u>'''
[[Datei:Mentimeter QR-Code.png|mini|220x220px|rechts]]
|}

</div>

Klicke nun <nowiki/>in<nowiki/> de<nowiki/>r Kapitelübersicht auf das nächste Thema oder nutze den Pfeil am unteren Rand der Seite, um Schritt für Schritt durch den Lernpfad zu kommen.

Viel Erfolg beim Entdecken und Vertiefen.

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht‘s weiter zur Wiederholung (optional)|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
----{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Vertiefung der Mittelsenkrechten|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender

2026-04-25T16:52:28Z

Nathalie Bosshammer:

__NOTOC__
== Besondere Linien im Dreieck==
{{Box|Herzlich Willkommen im Lernpfad: Eine vertiefende Auseinandersetzung mit Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender|Schön, dass du da bist!

Du kennst bereits die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende.
Aber hast du dich schon einmal gefragt, warum sich diese Linien jeweils in genau einem Punkt schneiden?
Und warum dieser Punkt manchmal im Dreieck liegt, manchmal aber auch nicht?

In diesem Lernpfad untersuchst du die besonderen Eigenschaften dieser Linien genauer. Du vergleichst ihre Gemeinsamkeiten und Unterschiede und findest heraus, welche Rolle sie spielen.
Heute geht es nicht nur ums Konstruieren - sondern ums Verstehen.|Lernpfad
}}

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: mintcream; border-radius: 5px;width:80%">
[[Datei:Dekoratives_Mathematikbild_zur_Mittelsenkrechten_und_Winkelhalbierenden.png|rechts|rahmenlos|250x250px]]
<strong>'''Inhaltsverzeichnis''' </strong>
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung|Wiederholung]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus|Die Mittelsenkrechte im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus|Die Winkelhalbierende im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht|Abschlusstest]]

</div>

== Orientierung==

Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades beginnst, erhältst du nun einige wichtige Hinweise, damit du dich leicht zurechtfindest.

Die Bearbeitung des Lernpfades dauert in etwa 60 Minuten.

Oben auf dieser Seite findest du eine Übersicht der Kapitel, die du im Laufe der Bearbeitung durchläufst. <br />
Das Kapitel, in dem du dich gerade befindet, ist jeweils '''hervorgehoben'''.
Im Moment ist das, dass Kapitel '''"Willkommen"'''. <br />
Du kannst jederzeit zwischen den einzelnen Kapiteln wechseln.<br />

'''Hinweis zur Bearbeitung:'''
Du kannst selbst entscheiden, ob du zuerst die '''Mittelsenkrechte''' oder die '''Winkelhalbierende''' bearbeitest. <br />
<span style="color:red;">'''Wichtig:'''</span> Bevor du mit dem letzten Kapitel beginnst, müssen beide Themen bearbeitet sein.

Ergänzend zur Arbeit im Lernpfad erhältst du einen '''Lernbegleitbogen''' ([[Medium:Lernjournal für den Lernpfad zur vertiefenden Untersuchung MS & WH.pdf|PDF herunterladen]]). <br />
Er erscheint mit diesem Symbol: 📒<br />
Darin findet du weiterführende Informationen, Platz für Notizen, Merksätze und Aufgabenbearbeitungen.

🖥️ Im Lernpfad sind außerdem Videos eingebunden.
Wenn du dich nicht alleine im Raum befindest, benötigst du Kopfhörer, um die Videos anzuschauen.
----'''Du triffst im Lernpfad auf folgende Bausteine:'''

{{Box|Merke|Hier sind wichtige Erkenntnisse in einem Merksatz zusammengefasst. Du findest diese auch in deinem persönlichen Hefter wieder. <br /> Dort hast du außerdem Platz Notizen oder Beispiele hinzuzufügen.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe|Bei diesen Bausteinen wirst du selbst aktiv und entdeckst neue Zusammenhänge. <br /> Neben klassischen Aufgaben, die du mit Papier und Stift in deinem Hefter bearbeitest, erwarten dich auch interaktive Elemente, wie GeoGebra-Applets, Zuordnungsaufgaben, kleine Rätsel oder digitale Übungsformate. <br /> Du findest entsprechend zu jeder Aufgabe eine kurze Erklärung, was zu tun ist.|Arbeitsmethode
}}{{Box|Übung|Dieser Baustein kennzeichnet Übungsaufgaben, sodass du bereits gelernte Inhalte wiederholen kannst.|Üben
}}
----

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
=== 💡Wenn du nicht weiter kommst ===
Bei einigen Aufgaben stehen dir Hilfestellungen zur Verfügung. <br />
Dies geschieht über einen Hilfe-Button. <br />
Versuche jedoch zunächst, die Aufgaben eigenständig zu lösen.

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
=== ✅Rückmeldung zu deinen Lösungen===
Nachdem du eine Aufgabe bearbeitet hast, erhältst du eine direkte Rückmeldung. <br />
Dies geschieht über einen Lösungs-Button. So kannst du selbst kontrollieren, ob du auf dem richtigen Weg bist.
|}

==Kompetenzen==
{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenzen|'''Argumentieren'''<br />
In diesem Lernpfad übst du, mathematische Aussagen zu begründen und verständlich zu erklären. <br />Dabei geht es darum, Zusammenhänge zu erkennen und nachvollziehbar darzustellen und zu erklären.

'''Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen'''<br /> Du übst außerdem, Figuren mithilfe dynamischer Geometriesoftware zu verändern und zu untersuchen. <br />Dabei wirst du Vermutungen äußern, diese mithilfe der Software überprüfen und gleichzeitig Zusammenhänge feststellen.|Hervorhebung1
}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Im folgenden siehst du, welches Wissen du bereits mitbringst und was du heute lernen wirst.

Das bringst du schon mit
#'''Du kannst''' eine Mittelsenkrechte und eine Winkelhalbierende mit Hilfe eines Zirkels und Geodreieck konstruieren.
#'''Du kannst''' die Begriffe Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden in eigenen Worten definieren.
#'''Du weißt''', dass sich jeweils drei dieser Linien in einem Punkt schneiden.
#'''Du kannst''' geometrische Grundkonstruktionen (Punkte, Geraden, Strecken, Kreise) mithilfe der dynamischer Geometriesoftware (GeoGebra) konstruieren.
#'''Du kannst''' die Kongruenzsätze, insbesondere die Sätze SWS und WSW, in eigenen Worten erklären.

Das vertiefst du heute
#'''Du kannst''' Eigenschaften der Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden fachsprachlich erklären und begründen.
#'''Du kannst''' den Umkreis und den Inkreis eines Dreiecks konstruieren und erklären, wo die jeweiligen Mittelpunkte bei verschiedenen Dreiecken liegen.
#'''Du kannst''' mit Hilfe von GeoGebra Zusammenhänge und Eigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden sowie die Lage der dazugehörigen Mittelpunkte dynamisch untersuchen.
#'''Du kannst''' die Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende anhand ihrer charakteristischen Eigenschaften unterscheiden.|Hervorhebung1
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}}

'''🚀 Bist du bereit?'''

Dann starte jetzt mit einer kurzen Selbsteinschätzung, um dein Vorwissen und deine Erfahrungen zu reflektieren.

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: WhiteSmoke; border-radius: 5px;width:55%">
Du kannst entweder den Link nutzen oder einfach den QR-Code mit deinem Handy scannen.

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>Mentimeterlink:</u>'''
https://www.menti.com/ali9erxid979

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'''<u>OR-Code:</u>'''
[[Datei:Mentimeter QR-Code.png|mini|220x220px|rechts]]
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Klicke nun <nowiki/>in<nowiki/> de<nowiki/>r Kapitelübersicht auf das nächste Thema oder nutze den Pfeil am unteren Rand der Seite, um Schritt für Schritt durch den Lernpfad zu kommen.

Viel Erfolg beim Entdecken und Vertiefen.

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht‘s weiter zur Wiederholung (optional)|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
----{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Vertiefung der Mittelsenkrechten|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender

2026-04-25T16:50:22Z

Nathalie Bosshammer:

__NOTOC__
== Besondere Linien im Dreieck==
{{Box|Herzlich Willkommen im Lernpfad: Eine vertiefende Auseinandersetzung mit Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender|Schön, dass du da bist!

Du kennst bereits die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende.
Aber hast du dich schon einmal gefragt, warum sich diese Linien jeweils in genau einem Punkt schneiden?
Und warum dieser Punkt manchmal im Dreieck liegt, manchmal aber auch nicht?

In diesem Lernpfad untersuchst du die besonderen Eigenschaften dieser Linien genauer. Du vergleichst ihre Gemeinsamkeiten und Unterschiede und findest heraus, welche Rolle sie spielen.
Heute geht es nicht nur ums Konstruieren - sondern ums Verstehen.|Lernpfad
}}

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: mintcream; border-radius: 5px;width:80%">
[[Datei:Dekoratives_Mathematikbild_zur_Mittelsenkrechten_und_Winkelhalbierenden.png|rechts|rahmenlos|250x250px]]
<strong>'''Inhaltsverzeichnis''' </strong>
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung|Wiederholung]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus|Die Mittelsenkrechte im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus|Die Winkelhalbierende im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht|Abschlusstest]]

</div>

== Orientierung==

Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades beginnst, erhältst du nun einige wichtige Hinweise, damit du dich leicht zurechtfindest.

Die Bearbeitung des Lernpfades dauert in etwa 60 Minuten.

Oben auf dieser Seite findest du eine Übersicht der Kapitel, die du im Laufe der Bearbeitung durchläufst. <br />
Das Kapitel, in dem du dich gerade befindet, ist jeweils '''hervorgehoben'''.
Im Moment ist das, dass Kapitel '''"Willkommen"'''. <br />
Du kannst jederzeit zwischen den einzelnen Kapiteln wechseln.<br />

'''Hinweis zur Bearbeitung:'''
Du kannst selbst entscheiden, ob du zuerst die '''Mittelsenkrechte''' oder die '''Winkelhalbierende''' bearbeitest. <br />
<span style="color:red;">'''Wichtig:'''</span> Bevor du mit dem letzten Kapitel beginnst, müssen beide Themen bearbeitet sein.

Ergänzend zur Arbeit im Lernpfad erhältst du einen '''Lernbegleitbogen''' ([[Medium:Datei:Lernjournal für den Lernpfad zur vertiefenden Untersuchung MS & WH.pdf|PDF herunterladen]]). <br />
Er erscheint mit diesem Symbol: 📒<br />
Darin findet du weiterführende Informationen, Platz für Notizen, Merksätze und Aufgabenbearbeitungen.

🖥️ Im Lernpfad sind außerdem Videos eingebunden.
Wenn du dich nicht alleine im Raum befindest, benötigst du Kopfhörer, um die Videos anzuschauen.
----'''Du triffst im Lernpfad auf folgende Bausteine:'''

{{Box|Merke|Hier sind wichtige Erkenntnisse in einem Merksatz zusammengefasst. Du findest diese auch in deinem persönlichen Hefter wieder. <br /> Dort hast du außerdem Platz Notizen oder Beispiele hinzuzufügen.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe|Bei diesen Bausteinen wirst du selbst aktiv und entdeckst neue Zusammenhänge. <br /> Neben klassischen Aufgaben, die du mit Papier und Stift in deinem Hefter bearbeitest, erwarten dich auch interaktive Elemente, wie GeoGebra-Applets, Zuordnungsaufgaben, kleine Rätsel oder digitale Übungsformate. <br /> Du findest entsprechend zu jeder Aufgabe eine kurze Erklärung, was zu tun ist.|Arbeitsmethode
}}{{Box|Übung|Dieser Baustein kennzeichnet Übungsaufgaben, sodass du bereits gelernte Inhalte wiederholen kannst.|Üben
}}
----

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
===💡Wenn du nicht weiter kommst===
Bei einigen Aufgaben stehen dir Hilfestellungen zur Verfügung. <br />
Dies geschieht über einen Hilfe-Button. <br />
Versuche jedoch zunächst, die Aufgaben eigenständig zu lösen.

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
===✅Rückmeldung zu deinen Lösungen===
Nachdem du eine Aufgabe bearbeitet hast, erhältst du eine direkte Rückmeldung. <br />
Dies geschieht über einen Lösungs-Button. So kannst du selbst kontrollieren, ob du auf dem richtigen Weg bist.
|}

==Kompetenzen==
{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenzen|'''Argumentieren'''<br />
In diesem Lernpfad übst du, mathematische Aussagen zu begründen und verständlich zu erklären. <br />Dabei geht es darum, Zusammenhänge zu erkennen und nachvollziehbar darzustellen und zu erklären.

'''Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen'''<br /> Du übst außerdem, Figuren mithilfe dynamischer Geometriesoftware zu verändern und zu untersuchen. <br />Dabei wirst du Vermutungen äußern, diese mithilfe der Software überprüfen und gleichzeitig Zusammenhänge feststellen.|Hervorhebung1
}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Im folgenden siehst du, welches Wissen du bereits mitbringst und was du heute lernen wirst.

Das bringst du schon mit
#'''Du kannst''' eine Mittelsenkrechte und eine Winkelhalbierende mit Hilfe eines Zirkels und Geodreieck konstruieren.
#'''Du kannst''' die Begriffe Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden in eigenen Worten definieren.
#'''Du weißt''', dass sich jeweils drei dieser Linien in einem Punkt schneiden.
#'''Du kannst''' geometrische Grundkonstruktionen (Punkte, Geraden, Strecken, Kreise) mithilfe der dynamischer Geometriesoftware (GeoGebra) konstruieren.
#'''Du kannst''' die Kongruenzsätze, insbesondere die Sätze SWS und WSW, in eigenen Worten erklären.

Das vertiefst du heute
#'''Du kannst''' Eigenschaften der Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden fachsprachlich erklären und begründen.
#'''Du kannst''' den Umkreis und den Inkreis eines Dreiecks konstruieren und erklären, wo die jeweiligen Mittelpunkte bei verschiedenen Dreiecken liegen.
#'''Du kannst''' mit Hilfe von GeoGebra Zusammenhänge und Eigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden sowie die Lage der dazugehörigen Mittelpunkte dynamisch untersuchen.
#'''Du kannst''' die Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende anhand ihrer charakteristischen Eigenschaften unterscheiden.|Hervorhebung1
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}}

'''🚀 Bist du bereit?'''

Dann starte jetzt mit einer kurzen Selbsteinschätzung, um dein Vorwissen und deine Erfahrungen zu reflektieren.

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: WhiteSmoke; border-radius: 5px;width:55%">
Du kannst entweder den Link nutzen oder einfach den QR-Code mit deinem Handy scannen.

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'''<u>Mentimeterlink:</u>'''
https://www.menti.com/ali9erxid979

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'''<u>OR-Code:</u>'''
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</div>

Klicke nun <nowiki/>in<nowiki/> de<nowiki/>r Kapitelübersicht auf das nächste Thema oder nutze den Pfeil am unteren Rand der Seite, um Schritt für Schritt durch den Lernpfad zu kommen.

Viel Erfolg beim Entdecken und Vertiefen.

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht‘s weiter zur Wiederholung (optional)|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
----{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Vertiefung der Mittelsenkrechten|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}

Datei:Lernjournal für den Lernpfad zur vertiefenden Untersuchung MS & WH.pdf

2026-04-25T16:45:34Z

Nathalie Bosshammer: eigenes Werk mit dem Hochlade-Assistenten hochgeladen

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Diese Datei stellt einen ergänzenden Hefter zur Bearbeitung des Lernpfades dar.}}
|date=2026-04-25
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|author=[[User:Nathalie Bosshammer|Nathalie Bosshammer]]
|permission=
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}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-4.0}}

[[Kategorie:Mathematik-digital]]

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender

2026-04-19T14:31:45Z

Nathalie Bosshammer:

__NOTOC__
== Besondere Linien im Dreieck==
{{Box|Herzlich Willkommen im Lernpfad: Eine vertiefende Auseinandersetzung mit Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender|Schön, dass du da bist!

Du kennst bereits die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende.
Aber hast du dich schon einmal gefragt, warum sich diese Linien jeweils in genau einem Punkt schneiden?
Und warum dieser Punkt manchmal im Dreieck liegt, manchmal aber auch nicht?

In diesem Lernpfad untersuchst du die besonderen Eigenschaften dieser Linien genauer. Du vergleichst ihre Gemeinsamkeiten und Unterschiede und findest heraus, welche Rolle sie spielen.
Heute geht es nicht nur ums Konstruieren - sondern ums Verstehen.|Lernpfad
}}

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: mintcream; border-radius: 5px;width:80%">
[[Datei:Dekoratives_Mathematikbild_zur_Mittelsenkrechten_und_Winkelhalbierenden.png|rechts|rahmenlos|250x250px]]
<strong>'''Inhaltsverzeichnis''' </strong>
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung|Wiederholung]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus|Die Mittelsenkrechte im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus|Die Winkelhalbierende im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht|Abschlusstest]]

</div>

== Orientierung==

Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades beginnst, erhältst du nun einige wichtige Hinweise, damit du dich leicht zurechtfindest.

Die Bearbeitung des Lernpfades dauert in etwa 60 Minuten.

Oben auf dieser Seite findest du eine Übersicht der Kapitel, die du im Laufe der Bearbeitung durchläufst. <br />
Das Kapitel, in dem du dich gerade befindet, ist jeweils '''hervorgehoben'''.
Im Moment ist das, dass Kapitel '''"Willkommen"'''. <br />
Du kannst jederzeit zwischen den einzelnen Kapiteln wechseln.<br />

'''Hinweis zur Bearbeitung:'''
Du kannst selbst entscheiden, ob du zuerst die '''Mittelsenkrechte''' oder die '''Winkelhalbierende''' bearbeitest. <br />
<span style="color:red;">'''Wichtig:'''</span> Bevor du mit dem letzten Kapitel beginnst, müssen beide Themen bearbeitet sein.

Ergänzend zur Arbeit im Lernpfad erhältst du einen '''Lernbegleitbogen'''.<br />
Er erscheint mit diesem Symbol: 📒<br />
Darin findet du weiterführende Informationen, Platz für Notizen, Merksätze und Aufgabenbearbeitungen.

🖥️ Im Lernpfad sind außerdem Videos eingebunden.
Wenn du dich nicht alleine im Raum befindest, benötigst du Kopfhörer, um die Videos anzuschauen.
----'''Du triffst im Lernpfad auf folgende Bausteine:'''

{{Box|Merke|Hier sind wichtige Erkenntnisse in einem Merksatz zusammengefasst. Du findest diese auch in deinem persönlichen Hefter wieder. <br /> Dort hast du außerdem Platz Notizen oder Beispiele hinzuzufügen.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe|Bei diesen Bausteinen wirst du selbst aktiv und entdeckst neue Zusammenhänge. <br /> Neben klassischen Aufgaben, die du mit Papier und Stift in deinem Hefter bearbeitest, erwarten dich auch interaktive Elemente, wie GeoGebra-Applets, Zuordnungsaufgaben, kleine Rätsel oder digitale Übungsformate. <br /> Du findest entsprechend zu jeder Aufgabe eine kurze Erklärung, was zu tun ist.|Arbeitsmethode
}}{{Box|Übung|Dieser Baustein kennzeichnet Übungsaufgaben, sodass du bereits gelernte Inhalte wiederholen kannst.|Üben
}}
----

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
===💡Wenn du nicht weiter kommst===
Bei einigen Aufgaben stehen dir Hilfestellungen zur Verfügung. <br />
Dies geschieht über einen Hilfe-Button. <br />
Versuche jedoch zunächst, die Aufgaben eigenständig zu lösen.

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
===✅Rückmeldung zu deinen Lösungen===
Nachdem du eine Aufgabe bearbeitet hast, erhältst du eine direkte Rückmeldung. <br />
Dies geschieht über einen Lösungs-Button. So kannst du selbst kontrollieren, ob du auf dem richtigen Weg bist.
|}

==Kompetenzen==
{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenzen|'''Argumentieren'''<br />
In diesem Lernpfad übst du, mathematische Aussagen zu begründen und verständlich zu erklären. <br />Dabei geht es darum, Zusammenhänge zu erkennen und nachvollziehbar darzustellen und zu erklären.

'''Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen'''<br /> Du übst außerdem, Figuren mithilfe dynamischer Geometriesoftware zu verändern und zu untersuchen. <br />Dabei wirst du Vermutungen äußern, diese mithilfe der Software überprüfen und gleichzeitig Zusammenhänge feststellen.|Hervorhebung1
}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Im folgenden siehst du, welches Wissen du bereits mitbringst und was du heute lernen wirst.

Das bringst du schon mit
#'''Du kannst''' eine Mittelsenkrechte und eine Winkelhalbierende mit Hilfe eines Zirkels und Geodreieck konstruieren.
#'''Du kannst''' die Begriffe Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden in eigenen Worten definieren.
#'''Du weißt''', dass sich jeweils drei dieser Linien in einem Punkt schneiden.
#'''Du kannst''' geometrische Grundkonstruktionen (Punkte, Geraden, Strecken, Kreise) mithilfe der dynamischer Geometriesoftware (GeoGebra) konstruieren.
#'''Du kannst''' die Kongruenzsätze, insbesondere die Sätze SWS und WSW, in eigenen Worten erklären.

Das vertiefst du heute
#'''Du kannst''' Eigenschaften der Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden fachsprachlich erklären und begründen.
#'''Du kannst''' den Umkreis und den Inkreis eines Dreiecks konstruieren und erklären, wo die jeweiligen Mittelpunkte bei verschiedenen Dreiecken liegen.
#'''Du kannst''' mit Hilfe von GeoGebra Zusammenhänge und Eigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden sowie die Lage der dazugehörigen Mittelpunkte dynamisch untersuchen.
#'''Du kannst''' die Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende anhand ihrer charakteristischen Eigenschaften unterscheiden.|Hervorhebung1
| Icon = brainy hdg-school
}}

'''🚀 Bist du bereit?'''

Dann starte jetzt mit einer kurzen Selbsteinschätzung, um dein Vorwissen und deine Erfahrungen zu reflektieren.

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: WhiteSmoke; border-radius: 5px;width:55%">
Du kannst entweder den Link nutzen oder einfach den QR-Code mit deinem Handy scannen.

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>Mentimeterlink:</u>'''
https://www.menti.com/ali9erxid979

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>OR-Code:</u>'''
[[Datei:Mentimeter QR-Code.png|mini|220x220px|rechts]]
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Klicke nun <nowiki/>in<nowiki/> de<nowiki/>r Kapitelübersicht auf das nächste Thema oder nutze den Pfeil am unteren Rand der Seite, um Schritt für Schritt durch den Lernpfad zu kommen.

Viel Erfolg beim Entdecken und Vertiefen.

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht‘s weiter zur Wiederholung (optional)|
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----{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Vertiefung der Mittelsenkrechten|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt

2026-04-19T14:22:10Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Winkelhalbierenden|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus}}
__TOC__
==Inkreis==
{{TOCright}}Im vorherigen Kapitel hast du dich mit den Eigenschaften der Winkelhalbierenden auseinandergesetzt und den Standort für den Springbrunnen ermittelt. <br /> Das ist super! <br />
Wir können nun Schlussfolgern, dass sich die Winkelhalbierenden der drei Wegstrecken in einem Punkt schneiden. <br />

Dieser Punkt, an dem der Springbrunnen platziert wird, nennt man Inkreismittelpunkt. <br />
Wie der Name schon verrät, ist dies der Mittelpunkt des Inkreises. <br />
Der folgende Merksatz erklärt dir, was genau der Inkreis ist.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Inkreis in Dreieck ABC.png|mini|left]]
Der '''Inkreis''' eines Dreiecks ist ein Kreis, der '''alle Seiten''' des Dreiecks '''berührt'''. <br /> Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem '''Schnittpunkt W''' der '''drei Winkelhalbierenden''' eines Dreiecks.|Merksatz
}}
[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini|right]]
Jetzt weißt du, was ein Inkreis ist. <br />
Kehre nun zur gestalteten Rasenfläche in der Parkanlage zurück. <br />
Du möchtest um den Springbrunnen ein kreisförmiges Blumenbeet anlegen, das genau in die dreieckige Rasenfläche passt.

Wo setzt du den Zirkel an? <br />
Wie groß muss der Radius des Blumenbeetes sein, damit er in die dreieckige Rasenfläche passt?

<big>💭+📒</big> Bevor du Aufgabe 11 bearbeitest, überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

{{Box|Aufgabe 11|1. Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels das kreisförmige Blumenbeet.
<br />

2. Überprüfe anschließend deine Vermutung und markiere sie mit ✔ oder ✘.
<br />
📒 Da du den Standort des Springbrunnens bereits bestimmt hast, nutze für die Bearbeitung der Aufgabe die Zeichnung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:30%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Inkreis.png|mini||center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:70%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

===Lage des Inkreismitelpunktes im Dreieck===
Du hast den Inkreis in die dreieckige Parkfläche eingezeichnet. <br />
Dabei hast du sicherlich festgestellt, dass der Inkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt. <br />
Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />

<big>💭+📒</big> Was vermutest du? Schreibe deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 8.

Gehe diesen Fragen nach und erkunde in der nächsten Aufgabe die Lage des Inkreismittelpunktes in verschiedenen Dreiecken.

{{Box|Aufgabe 12|Hier geht es nun um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra. <br />

1) '''Zeichne''' zunächst den Inkreis des Dreiecks ein.
{{Lösung versteckt|Konstruiere zunächst ein Lot vom Mittelpunkt S auf eine Dreiecksseite. Werkzeug: "Senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Zeichne den Inkreis. Werkzeug: "Kreis mit MP durch Punkt". <br /> Der Mittelpunkt ist S und der Punkt ist der Schnittpunkt der senkrechten Gerade mit einer Dreiecksseite |💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

2) '''Verändere''' nun in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />
*Dabei kannst du den '''Eckpunkt C''' langsam nach rechts und nach links verschieben. <br />
*Du kannst den Punkt auch nach oben oder nach unten bewegen. <br />
'''Beobachte''' dabei '''genau''': Was passiert mit dem Inkreis und dem Mittelpunkt? <br />

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.<br />
#Bleibt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Inkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksformen (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welcher deiner Vermutungen auf Seite 8 im persönlichen Hefter haben sich bestätigt, welche nicht? Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="hwvq2ydh" width="600" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|'''Frage 1:''' Ja, der Inkreismittelpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Ja, der Radius verändert sich, wenn sich die Form oder Größe des Dreiecks verändert.
'''Frage 3:''' Bei unterschiedlichen Dreiecksarten fällt nichts besonderes auf, da der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegt.|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Abschlusstest|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt

2026-04-19T14:20:56Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Winkelhalbierenden|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus}}
__TOC__
==Inkreis==
{{TOCright}}Im vorherigen Kapitel hast du dich mit den Eigenschaften der Winkelhalbierenden auseinandergesetzt und den Standort für den Springbrunnen ermittelt. <br /> Das ist super! <br />
Wir können nun Schlussfolgern, dass sich die Winkelhalbierenden der drei Wegstrecken in einem Punkt schneiden. <br />

Dieser Punkt, an dem der Springbrunnen platziert wird, nennt man Inkreismittelpunkt. <br />
Wie der Name schon verrät, ist dies der Mittelpunkt des Inkreises. <br />
Der folgende Merksatz erklärt dir, was genau der Inkreis ist.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Inkreis in Dreieck ABC.png|mini|left]]
Der '''Inkreis''' eines Dreiecks ist ein Kreis, der '''alle Seiten''' des Dreiecks '''berührt'''. <br /> Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem '''Schnittpunkt W''' der '''drei Winkelhalbierenden''' eines Dreiecks.|Merksatz
}}
[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini|right]]
Jetzt weißt du, was ein Inkreis ist. <br />
Kehre nun zur gestalteten Rasenfläche in der Parkanlage zurück. <br />
Du möchtest um den Springbrunnen ein kreisförmiges Blumenbeet anlegen, das genau in die dreieckige Rasenfläche passt.

Wo setzt du den Zirkel an? <br />
Wie groß muss der Radius des Blumenbeetes sein, damit er in die dreieckige Rasenfläche passt?

<big>💭+📒</big> Bevor du Aufgabe 11 bearbeitest, überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

{{Box|Aufgabe 11|1. Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels das kreisförmige Blumenbeet.
<br />

2. Überprüfe anschließend deine Vermutung und markiere sie mit ✔ oder ✘.
<br />
📒 Da du den Standort des Springbrunnens bereits bestimmt hast, nutze für die Bearbeitung der Aufgabe die Zeichnung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:30%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Inkreis.png|mini||center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:70%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

===Lage des Inkreismitelpunktes im Dreieck===
Du hast den Inkreis in die dreieckige Parkfläche eingezeichnet. <br />
Dabei hast du sicherlich festgestellt, dass der Inkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt. <br />
Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />

<big>💭+📒</big> Was vermutest du? Schreibe deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 8.

Gehe diesen Fragen nach und erkunde in der nächsten Aufgabe die Lage des Inkreismittelpunktes in verschiedenen Dreiecken.

{{Box|Aufgabe 12|Hier geht es nun um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra. <br />

1) '''Zeichne''' zunächst den Inkreis des Dreiecks ein.
{{Lösung versteckt|Konstruiere zunächst ein Lot vom Mittelpunkt S auf eine Dreiecksseite. Werkzeug: "Senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Zeichne den Inkreis. Werkzeug: "Kreis mit MP durch Punkt". <br /> Der Mittelpunkt ist S und der Punkt ist der Schnittpunkt der senkrechten Gerade mit einer Dreiecksseite |💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

2) '''Verändere''' nun in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />
*Dabei kannst du den '''Eckpunkt C''' langsam nach rechts und nach links verschieben. <br />
*Du kannst den Punkt auch nach oben oder nach unten bewegen. <br />
'''Beobachte''' dabei '''genau''': Was passiert mit dem Inkreis und dem Mittelpunkt? <br />

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.<br />
#Bleibt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Inkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksformen (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welche deiner Vermutungen auf Seite 8 im persönlichen Hefter haben sich bestätigt, welche nicht? <br /> Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="hwvq2ydh" width="600" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|'''Frage 1:''' Ja, der Inkreismittelpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Ja, der Radius verändert sich, wenn sich die Form oder Größe des Dreiecks verändert.
'''Frage 3:''' Bei unterschiedlichen Dreiecksarten fällt nichts besonderes auf, da der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegt.|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Abschlusstest|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-19T14:18:16Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen. {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>

</div>

|}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|1. Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>

2. Überprüfe deine anfängliche Vermutung (Seite 3) für die Standortbestimmung des Depots. Markiere sie mit ✔ oder ✘.

📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Konstruiere die gegebenen '''Längen''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm'''.|Arbeitsmethode
}}
{| style="width:50%; border:none;"

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen (Starttipp)|Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}

|}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus

2026-04-19T14:16:16Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Mittelsenkrechten|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}{{TOCright}}

== Die Winkelhalbierende im Fokus ==
[[Datei:Kompassrose-32-pt.svg|mini|left]]
Die Winkelhalbierenden gehören ebenfalls zu den besonderen geometrischen Linien. <br />
Sie entstehen, wenn Winkel genau in zwei gleich große Teile zerlegt werden. <br />
Sicherlich hast du schon einmal von einer Kompassrose gehört, auch Windrose genannt. <br />
Sie zeigt die Himmelsrichtungen wie Norden, Süden, Osten und Westen sowie weitere Zwischenrichtungen an und hilft im Alltag bei der Navigation und Orientierung sowie zur Bestimmung von Windrichtungen. <br />
Besonders bei Zwischenrichtungen, wie Nordost, Südost, Südwest, Nordwest spielen die Winkelhalbierenden eine wichtige Rolle, denn sie entstehen, wenn Winkel genau in zwei gleich große Teile zerlegt werden.

Aber kann die Winkelhalbierende noch mehr? <br />
Welche Eigenschaften machen sie eigentlich so besonders?
===Parkanlage===
[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini]]
Denn nicht nur bei der Orientierung im Alltag ist das Teilen von Winkeln nützlich. Auch in anderen Situationen kann es wichtig sein, Winkel gerecht zu teilen und besondere Punkte zu finden.

Stell dir zum Beispiel vor, du gestaltest eine Parkanlage mit einer dreieckigen Rasenfläche. Die Rasenfläche wird von drei Wegen begrenzt und in der Mitte soll ein Springbrunnen stehen.

Stell dir nun die Frage, wo ein geeigneter Standort für den Springbrunnen wäre?<br />
Welche Rolle könnten Winkelhalbierende dabei spielen?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

In der nächsten Aufgabe erforschst du dann, welche besonderen Eigenschaften die Winkelhalbierenden in einem Dreieck hat und warum dieser Punkt für die Gestaltung der Rasenfläche so wichtig ist.

===Eigenschaft der Winkelhalbierenden erkunden===
{{Box|Aufgabe 8|Betrachte zunächst die zwei Wegstrecken ([AB] und [BC]), die sich in einem Punkt schneiden.

#Zeichne dazu die beiden Wegstrecken '''[AB]''' und '''[BC]''', die sich in einem Punkt schneiden und einen '''Winkel von 83°''' bilden. <br /> Nutze für die Konstruktion das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere anschließend die Winkelhalbierende und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände der Punkte zu den Wegstrecken. <br /> 📒 Notiere deine Ergebnisse in deinem persönlichen Hefter auf Seite 9.

'''Tipps:'''
#Nutze für die Konstruktion der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge".
#Nutze für die Konstruktion des Winkels das Werkzeug "Winkel mit fester Größe" (im Uhrzeigersinn).|Arbeitsmethode
}}

{|
| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="urvdeuc2" width="600" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Konstruiere den Winkel ß am Wegpunkt B. '''Werkzeug:''' "Winkel mit fester Größe"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine Strecke von Punkt B zu A'. '''Werkzeug:''' "Strecke"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine Winkelhalbierende. '''Werkzeug:''' "Winkelhalbierende"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Winkelhalbierende. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu den Wegstrecken. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 5 anzeigen|Hilfe 5 verbergen}}|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}} {{Lösung versteckt|Die Punkte C, D, E auf der Winkelhalbierenden haben denselben Abstand zu den Wegstrecken [AB] und [BC].[[Datei:Lösung Aufgabe Winkelhalbierende.png|mini|]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

|}

----Wir können folgendes festhalten:[[Datei:Winkelhalbierende zwischen zwei Schenkeln, ohne Beschriftung.png|thumb|left]]

{{Box|Eigenschaft der Winkelhalbierenden|Für Winkel, die höchstens 180° groß sind, gilt:
Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden liegt, so hat er von beiden Schenkeln denselben Abstand.|Merksatz
}}

Wir haben nun auch die Eigenschaft der Winkelhalbierenden festgehalten. <br />
Doch in der Mathematik reicht es wie immer nicht aus, nur eine Beobachtung als Begründung heranzuführen. <br />

Können wir auch hier begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===

Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.

{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 9

|-
| Aufgabenniveau 1 ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 9a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Winkelhalbierende zwischen zwei Schenkeln.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: P liegt auf der Winkelhalbierenden w<sub>a</sub> <br>
<u>Behauptung</u>: Die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln sind gleich: '''|PC|''' = |PD| <br>
<u>Beweis</u>: Die Winkelhalbierende w<sub>a</sub> zerlegt das Viereck CPDS in zwei '''rechtwinklige''' '''Teildreiecke CPS''' und DBS. <br> Es gilt: <br> (1) '''|SP|''' = |SP|, da SP zu beiden Dreiecken gehört. <br> (2) '''α1''' = α2, da SP die Winkelhalbierende von '''α''' ist. <br> (3) Die Winkel bei C und '''D''' sind nach Konstruktion '''90°''' groß.<br>
Nach dem Kongruenzsatz sww bzw. wsw sind beide Dreiecke '''kongruent''' zueinander und somit gilt auch: |PC| = '''|PD|'''.

</div>

</div>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 9b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/>
Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Winkelhalbierende zwischen zwei Schenkeln.png|mini]]<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=puusx8zf526" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">

{{Box|Aufgabe 9c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden,'''
:'''<nowiki>dann sind die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln gleich. Es gilt |PC| = |PD|.</nowiki>'''
Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen. </br>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 10.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Winkelhalbierende zwischen zwei Schenkeln eingezeichnet.png|mini]]<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''

'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne einen Winkel mit dem Scheitel S, die Winkelhalbierende w<sub>α</sub>, markiere den Punkt P und zeichne die Lotstrecke von P auf beide Schenkel.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
* Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
* Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>SP = SP, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel α1 = Winkel .., weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel SCP = Winkel ..., weil ... </nowiki>|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei kongruente Dreiecke entstehen?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Was folgt aus der Kongruenz der Dreiecke?
→ Fasse deine Beweisidee zusammen.
{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Winkelhalbierendeneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>
</div>
|}

Du hast gerade einen Beweis gemeistert, der genaues Denken und Sorgfalt erfordert. <br />
Das ist gar nicht so einfach! Gut gemacht!

Um all das wichtige auf einen Blick zu behalten, fassen wir dies noch einmal in einem Merksatz zusammen.

{{Box|Merke|[[Datei:Winkelhalbierende zwischen zwei Schenkeln.png|mini|left]]'''Satz:''' Für Winkel, die höchstens 180° groß sind, gilt: <br />
Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden liegt, so hat er von beiden Schenkeln denselben Abstand.

'''Beweis:''' Die Winkelhalbierende teilt den Winkel in zwei gleich große Teilwinkel. <br />
Betrachtet man die rechtwinkligen Dreiecke CPS und DPS, so gilt: <br />

1. <nowiki>SP = SP (gemeinsame Seite) </nowiki><br />
2. <nowiki>α1 = α2 (Winkelhalbierende) </nowiki><br />
3. <nowiki>Die Winkel bei C und D = 90° </nowiki><br />

Nach dem '''Kongruenzsatz WSW''' sind die Dreiecke kongruent. <br />
<nowiki>Darauf folgt: ∣PC∣ = ∣PD∣</nowiki>
Der Punkt P hat also zu beiden Schenkeln den gleichen Abstand.|Merksatz
}}
----[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini]]Stell dir nun wieder unsere Parkanlage vor, in der mittig ein Springbrunnen stehen soll. <br /> Jetzt wendest du das Wissen aus den Merksätzen wieder praktisch an.
{{Box|Aufgabe 10|1. Ermittle nun den Standort des Springbrunnens und seine
Entfernung zu den Wegstrecken. <br />

2. Überprüfe deine anfängliche Vermutung (Seite 8) für die Standortbestimmung des Springbrunnens. Markiere sie mit ✔ oder ✘.

📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 11.

'''Wichtig:''' Konstruiere die gegebenen '''Längen''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm'''.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:50%; border:none;"

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von beiden Wegstrecken entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Konstruiere die Winkelhalbierenden der Strecken AB, BC und AC.
Der Mittelpunkt der drei Winkelhalbierenden ist der Standort des Springbrunnens.[[Datei:Winkelhalbierenden in einem Dreieck .png|mini|center]]|✅Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}

|}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Inkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus

2026-04-19T14:10:03Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Mittelsenkrechten|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}{{TOCright}}

== Die Winkelhalbierende im Fokus ==
[[Datei:Kompassrose-32-pt.svg|mini|left]]
Die Winkelhalbierenden gehören ebenfalls zu den besonderen geometrischen Linien. <br />
Sie entstehen, wenn Winkel genau in zwei gleich große Teile zerlegt werden. <br />
Sicherlich hast du schon einmal von einer Kompassrose gehört, auch Windrose genannt. <br />
Sie zeigt die Himmelsrichtungen wie Norden, Süden, Osten und Westen sowie weitere Zwischenrichtungen an und hilft im Alltag bei der Navigation und Orientierung sowie zur Bestimmung von Windrichtungen. <br />
Besonders bei Zwischenrichtungen, wie Nordost, Südost, Südwest, Nordwest spielen die Winkelhalbierenden eine wichtige Rolle, denn sie entstehen, wenn Winkel genau in zwei gleich große Teile zerlegt werden.

Aber kann die Winkelhalbierende noch mehr? <br />
Welche Eigenschaften machen sie eigentlich so besonders?
===Parkanlage===
[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini]]
Denn nicht nur bei der Orientierung im Alltag ist das Teilen von Winkeln nützlich. Auch in anderen Situationen kann es wichtig sein, Winkel gerecht zu teilen und besondere Punkte zu finden.

Stell dir zum Beispiel vor, du gestaltest eine Parkanlage mit einer dreieckigen Rasenfläche. Die Rasenfläche wird von drei Wegen begrenzt und in der Mitte soll ein Springbrunnen stehen.

Stell dir nun die Frage, wo ein geeigneter Standort für den Springbrunnen wäre?<br />
Welche Rolle könnten Winkelhalbierende dabei spielen?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

In der nächsten Aufgabe erforschst du dann, welche besonderen Eigenschaften die Winkelhalbierenden in einem Dreieck hat und warum dieser Punkt für die Gestaltung der Rasenfläche so wichtig ist.

===Eigenschaft der Winkelhalbierenden erkunden===
{{Box|Aufgabe 8|Betrachte zunächst die zwei Wegstrecken ([AB] und [BC]), die sich in einem Punkt schneiden.

#Zeichne dazu die beiden Wegstrecken '''[AB]''' und '''[BC]''', die sich in einem Punkt schneiden und einen '''Winkel von 83°''' bilden. <br /> Nutze für die Konstruktion das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere anschließend die Winkelhalbierende und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände der Punkte zu den Wegstrecken. <br /> 📒 Notiere deine Ergebnisse in deinem persönlichen Hefter auf Seite 9.

'''Tipps:'''
#Nutze für die Konstruktion der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge".
#Nutze für die Konstruktion des Winkels das Werkzeug "Winkel mit fester Größe" (im Uhrzeigersinn).|Arbeitsmethode
}}

{|
| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="urvdeuc2" width="600" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Konstruiere den Winkel ß am Wegpunkt B. '''Werkzeug:''' "Winkel mit fester Größe"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine Strecke von Punkt B zu A'. '''Werkzeug:''' "Strecke"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine Winkelhalbierende. '''Werkzeug:''' "Winkelhalbierende"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Winkelhalbierende. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu den Wegstrecken. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 5 anzeigen|Hilfe 5 verbergen}}|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}} {{Lösung versteckt|Die Punkte C, D, E auf der Winkelhalbierenden haben denselben Abstand zu den Wegstrecken [AB] und [BC].[[Datei:Lösung Aufgabe Winkelhalbierende.png|mini|]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

|}

----Wir können folgendes festhalten:[[Datei:Winkelhalbierende zwischen zwei Schenkeln, ohne Beschriftung.png|thumb|left]]

{{Box|Eigenschaft der Winkelhalbierenden|Für Winkel, die höchstens 180° groß sind, gilt:
Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden liegt, so hat er von beiden Schenkeln denselben Abstand.|Merksatz
}}

Wir haben nun auch die Eigenschaft der Winkelhalbierenden festgehalten. <br />
Doch in der Mathematik reicht es wie immer nicht aus, nur eine Beobachtung als Begründung heranzuführen. <br />

Können wir auch hier begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===

Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.

{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 9

|-
| Aufgabenniveau 1 ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 9a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Winkelhalbierende zwischen zwei Schenkeln.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: P liegt auf der Winkelhalbierenden w<sub>a</sub> <br>
<u>Behauptung</u>: Die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln sind gleich: '''|PC|''' = |PD| <br>
<u>Beweis</u>: Die Winkelhalbierende w<sub>a</sub> zerlegt das Viereck CPDS in zwei '''rechtwinklige''' '''Teildreiecke CPS''' und DBS. <br> Es gilt: <br> (1) '''|SP|''' = |SP|, da SP zu beiden Dreiecken gehört. <br> (2) '''α1''' = α2, da SP die Winkelhalbierende von '''α''' ist. <br> (3) Die Winkel bei C und '''D''' sind nach Konstruktion '''90°''' groß.<br>
Nach dem Kongruenzsatz sww bzw. wsw sind beide Dreiecke '''kongruent''' zueinander und somit gilt auch: |PC| = '''|PD|'''.

</div>

</div>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 9b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/>
Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Winkelhalbierende zwischen zwei Schenkeln.png|mini]]<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=puusx8zf526" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">

{{Box|Aufgabe 9c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden,'''
:'''<nowiki>dann sind die Abstände des Punktes P von den beiden Schenkeln gleich. Es gilt |PC| = |PD|.</nowiki>'''
Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen. </br>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 10.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Winkelhalbierende zwischen zwei Schenkeln eingezeichnet.png|mini]]<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''

'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne einen Winkel mit dem Scheitel S, die Winkelhalbierende w<sub>α</sub>, markiere den Punkt P und zeichne die Lotstrecke von P auf beide Schenkel.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
* Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
* Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>SP = SP, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel α1 = Winkel .., weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel SCP = Winkel ..., weil ... </nowiki>|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei kongruente Dreiecke entstehen?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Was folgt aus der Kongruenz der Dreiecke?
→ Fasse deine Beweisidee zusammen.
{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Winkelhalbierendeneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>
</div>
|}

Du hast gerade einen Beweis gemeistert, der genaues Denken und Sorgfalt erfordert. <br />
Das ist gar nicht so einfach! Gut gemacht!

Um all das wichtige auf einen Blick zu behalten, fassen wir dies noch einmal in einem Merksatz zusammen.

{{Box|Merke|[[Datei:Winkelhalbierende zwischen zwei Schenkeln.png|mini|left]]'''Satz:''' Für Winkel, die höchstens 180° groß sind, gilt: <br />
Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden liegt, so hat er von beiden Schenkeln denselben Abstand.

'''Beweis:''' Die Winkelhalbierende teilt den Winkel in zwei gleich große Teilwinkel. <br />
Betrachtet man die rechtwinkligen Dreiecke CPS und DPS, so gilt: <br />

1. <nowiki>SP = SP (gemeinsame Seite) </nowiki><br />
2. <nowiki>α1 = α2 (Winkelhalbierende) </nowiki><br />
3. <nowiki>Die Winkel bei C und D = 90° </nowiki><br />

Nach dem '''Kongruenzsatz WSW''' sind die Dreiecke kongruent. <br />
<nowiki>Darauf folgt: ∣PC∣ = ∣PD∣</nowiki>
Der Punkt P hat also zu beiden Schenkeln den gleichen Abstand.|Merksatz
}}
----[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini]]Stell dir nun wieder unsere Parkanlage vor, in der mittig ein Springbrunnen stehen soll. <br /> Jetzt wendest du das Wissen aus den Merksätzen wieder praktisch an.
{{Box|Aufgabe 10|Ermittle nun den Standort des Springbrunnens und seine
Entfernung zu den Wegstrecken.
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 11.

'''Wichtig:''' Konstruiere die gegebenen '''Längen''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm'''.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:50%; border:none;"

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von beiden Wegstrecken entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Konstruiere die Winkelhalbierenden der Strecken AB, BC und AC.
Der Mittelpunkt der drei Winkelhalbierenden ist der Standort des Springbrunnens.[[Datei:Winkelhalbierenden in einem Dreieck .png|mini|center]]|✅Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}

|}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Inkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt

2026-04-19T14:01:43Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Mittelsenkrechten|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}

{{TOCright}}
==Umkreis==
Du hast im vorherigen Kapitel zum Thema "Den Eigenschaften von Mittelsenkrechten auf der Spur" den Standort des Depots ermittelt.<br />
Das Depot hat nun von der Forschungsstation A, B und C die gleiche Entfernung. <br />Wir können daraus Schlussfolgern, dass sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man Umkreismittelpunkt.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|left]]Die '''drei Mittelsenkrechten''' eines Dreiecks schneiden sich in ''einem'' Punkt M. <br /> Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.|Merksatz
}}

[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]
Wir kehren zurück zur Aufgabe der Forschungsstationen. <br />
Die Lage in der Antarktis hat sich zugespitzt.
Nach einem Stromausfall müssen die drei Stationen nun über ein mobiles Funksystem verbunden werden. <br />
Das Funksignal breitet sich kreisförmig aus. <br />

Der Sendemast soll so stehen, dass alle Stationen am Rand des gleichen Funkkreises liegen.
Überlege dir zunächst, welchen Punkt du für den Mittelpunkt des mobilen Funksystem brauchst.

<big>💭+📒</big> Notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 6|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels den Funkkreis.<br />

📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter und deine bereits angefertigte Konstruktion für die Standortbestimmung des Depots auf Seite 6.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:30%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:70%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

----

===Lage des Umkreismittelpunktes im Dreieck===

Für den Stromausfall in der Antarktis hast du die drei Forschungsstationen über ein mobiles Funksystem miteinander verbunden.
Dafür hast du einen Umkreis konstruiert und den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Sendemast festgelegt.

'''Überprüfe''' zunächst deine '''Vermutung''' aus Aufgabe 6: War sie richtig? <br />Markiere sie mit ✔ oder ✘.

Doch jetzt stellt sich eine wichtige Frage: Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />
Was passiert, wenn sich die Form des Dreiecks verändert?

Gehe diesen Fragen nach und schreibe zunächst deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 7|Untersuche nun die Lage des Sendemastes genauer. <br />
In dieser Aufgabe geht es um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.

1) '''Zeichne''' zunächst den Umkreis des Dreiecks ein.<br />
{{Lösung versteckt|Nutze das Werkzeug "Kreis mit MP durch Punkt"|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
2) '''Verändere''' in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />

<u>Gehe dabei wie folgt vor:</u> Klicke auf den Punkt C und bewege ihn langsam.
* nach rechts
* nach links
* nach oben
* nach unten
'''Beobachte genau''', was mit dem Umkreis und dem Mittelpunkt passiert.

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 6.
#Bleibt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Umkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksarten (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welcher deiner Vermutungen haben sich bestätigt, welche nicht? Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="zpmtu6pt" width="800" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|1='''Frage 1:''' Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Der Radius des Umkreises kann sich verändern. <br /> Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. <br />
'''Frage 3:''' Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt <br />
Spitzwinkliges Dreieck => Innen <br />
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse <br />
Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb|2=✅ Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Winkelhalbierenden|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt

2026-04-19T14:01:12Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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{{TOCright}}
==Umkreis==
Du hast im vorherigen Kapitel zum Thema "Den Eigenschaften von Mittelsenkrechten auf der Spur" den Standort des Depots ermittelt.<br />
Das Depot hat nun von der Forschungsstation A, B und C die gleiche Entfernung. <br />Wir können daraus Schlussfolgern, dass sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man Umkreismittelpunkt.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|left]]Die '''drei Mittelsenkrechten''' eines Dreiecks schneiden sich in ''einem'' Punkt M. <br /> Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.|Merksatz
}}

[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]
Wir kehren zurück zur Aufgabe der Forschungsstationen. <br />
Die Lage in der Antarktis hat sich zugespitzt.
Nach einem Stromausfall müssen die drei Stationen nun über ein mobiles Funksystem verbunden werden. <br />
Das Funksignal breitet sich kreisförmig aus. <br />

Der Sendemast soll so stehen, dass alle Stationen am Rand des gleichen Funkkreises liegen.
Überlege dir zunächst, welchen Punkt du für den Mittelpunkt des mobilen Funksystem brauchst.

<big>💭+📒</big> Notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 6|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels den Funkkreis.<br />

📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter und deine bereits angefertigte Konstruktion für die Standortbestimmung des Depots auf Seite 6.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:30%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:70%; vertical-align:top; border:none;" |

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===Lage des Umkreismittelpunktes im Dreieck===

Für den Stromausfall in der Antarktis hast du die drei Forschungsstationen über ein mobiles Funksystem miteinander verbunden.
Dafür hast du einen Umkreis konstruiert und den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Sendemast festgelegt.

'''Überprüfe''' zunächst deine '''Vermutung''' aus Aufgabe 6: War sie richtig? <br />Markiere sie mit ✔ oder ✘.

Doch jetzt stellt sich eine wichtige Frage: Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />
Was passiert, wenn sich die Form des Dreiecks verändert?

Gehe diesen Fragen nach und schreibe zunächst deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 7|Untersuche nun die Lage des Sendemastes genauer. <br />
In dieser Aufgabe geht es um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.

1) '''Zeichne''' zunächst den Umkreis des Dreiecks ein.<br />
{{Lösung versteckt|Nutze das Werkzeug "Kreis mit MP durch Punkt"|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
2) '''Verändere''' in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />

<u>Gehe dabei wie folgt vor:</u> Klicke auf den Punkt C und bewege ihn langsam.
* nach rechts
* nach links
* nach oben
* nach unten
'''Beobachte genau''', was mit dem Umkreis und dem Mittelpunkt passiert.

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 6.
#Bleibt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Umkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksarten (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welcher deiner Vermutungen haben sich bestätigt, welche nicht? Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.

5) Welche deiner Vermutungen haben sich bestätigt, welche nicht? <br /> Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="zpmtu6pt" width="800" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|1='''Frage 1:''' Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Der Radius des Umkreises kann sich verändern. <br /> Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. <br />
'''Frage 3:''' Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt <br />
Spitzwinkliges Dreieck => Innen <br />
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse <br />
Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb|2=✅ Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

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{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Winkelhalbierenden|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt

2026-04-19T14:00:12Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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{{TOCright}}
==Umkreis==
Du hast im vorherigen Kapitel zum Thema "Den Eigenschaften von Mittelsenkrechten auf der Spur" den Standort des Depots ermittelt.<br />
Das Depot hat nun von der Forschungsstation A, B und C die gleiche Entfernung. <br />Wir können daraus Schlussfolgern, dass sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man Umkreismittelpunkt.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|left]]Die '''drei Mittelsenkrechten''' eines Dreiecks schneiden sich in ''einem'' Punkt M. <br /> Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.|Merksatz
}}

[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]
Wir kehren zurück zur Aufgabe der Forschungsstationen. <br />
Die Lage in der Antarktis hat sich zugespitzt.
Nach einem Stromausfall müssen die drei Stationen nun über ein mobiles Funksystem verbunden werden. <br />
Das Funksignal breitet sich kreisförmig aus. <br />

Der Sendemast soll so stehen, dass alle Stationen am Rand des gleichen Funkkreises liegen.
Überlege dir zunächst, welchen Punkt du für den Mittelpunkt des mobilen Funksystem brauchst.

<big>💭+📒</big> Notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 6|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels den Funkkreis.<br />

📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter und deine bereits angefertigte Konstruktion für die Standortbestimmung des Depots auf Seite 6.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:30%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:70%; vertical-align:top; border:none;" |

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===Lage des Umkreismittelpunktes im Dreieck===

Für den Stromausfall in der Antarktis hast du die drei Forschungsstationen über ein mobiles Funksystem miteinander verbunden.
Dafür hast du einen Umkreis konstruiert und den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Sendemast festgelegt.

'''Überprüfe''' zunächst deine '''Vermutung''' aus Aufgabe 6: War sie richtig? <br />Markiere sie mit ✔ oder ✘.

Doch jetzt stellt sich eine wichtige Frage: Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />
Was passiert, wenn sich die Form des Dreiecks verändert?

Gehe diesen Fragen nach und schreibe zunächst deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 7|Untersuche nun die Lage des Sendemastes genauer. <br />
In dieser Aufgabe geht es um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.

1) '''Zeichne''' zunächst den Umkreis des Dreiecks ein.<br />
{{Lösung versteckt|Nutze das Werkzeug "Kreis mit MP durch Punkt"|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
2) '''Verändere''' in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />

<u>Gehe dabei wie folgt vor:</u> Klicke auf den Punkt C und bewege ihn langsam.
* nach rechts
* nach links
* nach oben
* nach unten
'''Beobachte genau''', was mit dem Umkreis und dem Mittelpunkt passiert.

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 6.
#Bleibt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Umkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksarten (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welche deiner Vermutungen haben sich bestätigt, welche nicht? <br /> Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="zpmtu6pt" width="800" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|1='''Frage 1:''' Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Der Radius des Umkreises kann sich verändern. <br /> Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. <br />
'''Frage 3:''' Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt <br />
Spitzwinkliges Dreieck => Innen <br />
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse <br />
Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb|2=✅ Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Winkelhalbierenden|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt

2026-04-19T13:57:13Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Mittelsenkrechten|
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{{TOCright}}
==Umkreis==
Du hast im vorherigen Kapitel zum Thema "Den Eigenschaften von Mittelsenkrechten auf der Spur" den Standort des Depots ermittelt.<br />
Das Depot hat nun von der Forschungsstation A, B und C die gleiche Entfernung. <br />Wir können daraus Schlussfolgern, dass sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man Umkreismittelpunkt.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|left]]Die '''drei Mittelsenkrechten''' eines Dreiecks schneiden sich in ''einem'' Punkt M. <br /> Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.|Merksatz
}}

[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]
Wir kehren zurück zur Aufgabe der Forschungsstationen. <br />
Die Lage in der Antarktis hat sich zugespitzt.
Nach einem Stromausfall müssen die drei Stationen nun über ein mobiles Funksystem verbunden werden. <br />
Das Funksignal breitet sich kreisförmig aus. <br />

Der Sendemast soll so stehen, dass alle Stationen am Rand des gleichen Funkkreises liegen.
Überlege dir zunächst, welchen Punkt du für den Mittelpunkt des mobilen Funksystem brauchst.

<big>💭+📒</big> Notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 6|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels den Funkkreis.<br />

📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter und deine bereits angefertigte Konstruktion für die Standortbestimmung des Depots auf Seite 6.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:30%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:70%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

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===Lage des Umkreismittelpunktes im Dreieck===

Für den Stromausfall in der Antarktis hast du die drei Forschungsstationen über ein mobiles Funksystem miteinander verbunden.
Dafür hast du einen Umkreis konstruiert und den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Sendemast festgelegt.

'''Überprüfe''' zunächst deine '''Vermutung''' aus Aufgabe 6: War sie richtig? <br />Markiere sie mit ✔ oder ✘.

Doch jetzt stellt sich eine wichtige Frage: Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />
Was passiert, wenn sich die Form des Dreiecks verändert?

auf Seite 3.

<nowiki>{{Box| Gehe diesen Fragen nach und schreibe zunächst deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 3.</nowiki>

{{Box|Aufgabe 7|Untersuche nun die Lage des Sendemastes genauer. <br />
In dieser Aufgabe geht es um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.

1) '''Zeichne''' zunächst den Umkreis des Dreiecks ein.<br />
{{Lösung versteckt|Nutze das Werkzeug "Kreis mit MP durch Punkt"|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
2) '''Verändere''' in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />

<u>Gehe dabei wie folgt vor:</u> Klicke auf den Punkt C und bewege ihn langsam.
* nach rechts
* nach links
* nach oben
* nach unten
'''Beobachte genau''', was mit dem Umkreis und dem Mittelpunkt passiert.

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 6.
#Bleibt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Umkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksarten (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welche deiner Vermutungen haben sich bestätigt, welche nicht?<br /> Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="zpmtu6pt" width="800" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:40%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|1='''Frage 1:''' Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Der Radius des Umkreises kann sich verändern. Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. <br />
'''Frage 3:''' Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt <br />
Spitzwinkliges Dreieck => Innen <br />
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse <br />
Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb|2=✅ Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| style="width:60%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Winkelhalbierenden|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt

2026-04-19T13:56:36Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Mittelsenkrechten|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}

{{TOCright}}
==Umkreis==
Du hast im vorherigen Kapitel zum Thema "Den Eigenschaften von Mittelsenkrechten auf der Spur" den Standort des Depots ermittelt.<br />
Das Depot hat nun von der Forschungsstation A, B und C die gleiche Entfernung. <br />Wir können daraus Schlussfolgern, dass sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man Umkreismittelpunkt.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|left]]Die '''drei Mittelsenkrechten''' eines Dreiecks schneiden sich in ''einem'' Punkt M. <br /> Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.|Merksatz
}}

[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]
Wir kehren zurück zur Aufgabe der Forschungsstationen. <br />
Die Lage in der Antarktis hat sich zugespitzt.
Nach einem Stromausfall müssen die drei Stationen nun über ein mobiles Funksystem verbunden werden. <br />
Das Funksignal breitet sich kreisförmig aus. <br />

Der Sendemast soll so stehen, dass alle Stationen am Rand des gleichen Funkkreises liegen.
Überlege dir zunächst, welchen Punkt du für den Mittelpunkt des mobilen Funksystem brauchst.

<big>💭+📒</big> Notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 6|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels den Funkkreis.<br />

📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter und deine bereits angefertigte Konstruktion für die Standortbestimmung des Depots auf Seite 6.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:60%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:40%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

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===Lage des Umkreismittelpunktes im Dreieck===

Für den Stromausfall in der Antarktis hast du die drei Forschungsstationen über ein mobiles Funksystem miteinander verbunden.
Dafür hast du einen Umkreis konstruiert und den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Sendemast festgelegt.

'''Überprüfe''' zunächst deine '''Vermutung''' aus Aufgabe 6: War sie richtig? <br />Markiere sie mit ✔ oder ✘.

Doch jetzt stellt sich eine wichtige Frage: Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />
Was passiert, wenn sich die Form des Dreiecks verändert?

auf Seite 3.

<nowiki>{{Box| Gehe diesen Fragen nach und schreibe zunächst deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 3.</nowiki>

{{Box|Aufgabe 7|Untersuche nun die Lage des Sendemastes genauer. <br />
In dieser Aufgabe geht es um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.

1) '''Zeichne''' zunächst den Umkreis des Dreiecks ein.<br />
{{Lösung versteckt|Nutze das Werkzeug "Kreis mit MP durch Punkt"|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
2) '''Verändere''' in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />

<u>Gehe dabei wie folgt vor:</u> Klicke auf den Punkt C und bewege ihn langsam.
* nach rechts
* nach links
* nach oben
* nach unten
'''Beobachte genau''', was mit dem Umkreis und dem Mittelpunkt passiert.

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 6.
#Bleibt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Umkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksarten (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welche deiner Vermutungen haben sich bestätigt, welche nicht?<br /> Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="zpmtu6pt" width="800" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:90%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|1='''Frage 1:''' Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Der Radius des Umkreises kann sich verändern. Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. <br />
'''Frage 3:''' Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt <br />
Spitzwinkliges Dreieck => Innen <br />
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse <br />
Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb|2=✅ Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| style="width:10%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

{{Lösung versteckt|1='''Frage 1:''' Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Der Radius des Umkreises kann sich verändern. Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. <br />
'''Frage 3:''' Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt <br />
Spitzwinkliges Dreieck => Innen <br />
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse <br />
Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb|2=✅ Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Winkelhalbierenden|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt

2026-04-19T13:55:58Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Mittelsenkrechten|
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{{TOCright}}
==Umkreis==
Du hast im vorherigen Kapitel zum Thema "Den Eigenschaften von Mittelsenkrechten auf der Spur" den Standort des Depots ermittelt.<br />
Das Depot hat nun von der Forschungsstation A, B und C die gleiche Entfernung. <br />Wir können daraus Schlussfolgern, dass sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man Umkreismittelpunkt.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|left]]Die '''drei Mittelsenkrechten''' eines Dreiecks schneiden sich in ''einem'' Punkt M. <br /> Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.|Merksatz
}}

[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]
Wir kehren zurück zur Aufgabe der Forschungsstationen. <br />
Die Lage in der Antarktis hat sich zugespitzt.
Nach einem Stromausfall müssen die drei Stationen nun über ein mobiles Funksystem verbunden werden. <br />
Das Funksignal breitet sich kreisförmig aus. <br />

Der Sendemast soll so stehen, dass alle Stationen am Rand des gleichen Funkkreises liegen.
Überlege dir zunächst, welchen Punkt du für den Mittelpunkt des mobilen Funksystem brauchst.

<big>💭+📒</big> Notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 6|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels den Funkkreis.<br />

📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter und deine bereits angefertigte Konstruktion für die Standortbestimmung des Depots auf Seite 6.|Arbeitsmethode
}}

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:90%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

| style="width:10%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

----

===Lage des Umkreismittelpunktes im Dreieck===

Für den Stromausfall in der Antarktis hast du die drei Forschungsstationen über ein mobiles Funksystem miteinander verbunden.
Dafür hast du einen Umkreis konstruiert und den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Sendemast festgelegt.

'''Überprüfe''' zunächst deine '''Vermutung''' aus Aufgabe 6: War sie richtig? <br />Markiere sie mit ✔ oder ✘.

Doch jetzt stellt sich eine wichtige Frage: Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />
Was passiert, wenn sich die Form des Dreiecks verändert?

auf Seite 3.

<nowiki>{{Box| Gehe diesen Fragen nach und schreibe zunächst deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 3.</nowiki>

{{Box|Aufgabe 7|Untersuche nun die Lage des Sendemastes genauer. <br />
In dieser Aufgabe geht es um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.

1) '''Zeichne''' zunächst den Umkreis des Dreiecks ein.<br />
{{Lösung versteckt|Nutze das Werkzeug "Kreis mit MP durch Punkt"|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
2) '''Verändere''' in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />

<u>Gehe dabei wie folgt vor:</u> Klicke auf den Punkt C und bewege ihn langsam.
* nach rechts
* nach links
* nach oben
* nach unten
'''Beobachte genau''', was mit dem Umkreis und dem Mittelpunkt passiert.

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 6.
#Bleibt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Umkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksarten (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welche deiner Vermutungen haben sich bestätigt, welche nicht?<br /> Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="zpmtu6pt" width="800" height="500" />

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:90%; vertical-align:top; border:none;" |

{{Lösung versteckt|1='''Frage 1:''' Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Der Radius des Umkreises kann sich verändern. Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. <br />
'''Frage 3:''' Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt <br />
Spitzwinkliges Dreieck => Innen <br />
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse <br />
Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb|2=✅ Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| style="width:10%; vertical-align:top; border:none;" |

|}

{{Lösung versteckt|1='''Frage 1:''' Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Der Radius des Umkreises kann sich verändern. Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. <br />
'''Frage 3:''' Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt <br />
Spitzwinkliges Dreieck => Innen <br />
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse <br />
Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb|2=✅ Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Winkelhalbierenden|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-19T13:52:17Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen. {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>

</div>

|}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Konstruiere die gegebenen '''Längen''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm'''.|Arbeitsmethode
}}
{| style="width:50%; border:none;"

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen (Starttipp)|Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}

|}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-19T13:51:40Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Wiederholung|
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{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen. {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>

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|}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Konstruiere die gegebenen '''Längen''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm'''.|Arbeitsmethode
}}
{| style="width:50%; border:none;"

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen (Starttipp)|Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}

|}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-19T13:50:21Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Wiederholung|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
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<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen. {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>

</div>

|}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Konstruiere die gegebenen '''Längen''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm'''.|Arbeitsmethode
}}
{| style="width:50%; border:none;"

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen (Starttipp)|Hilfe verbergen}}

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}

|}{{TOCright}}{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-19T13:47:23Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Wiederholung|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen. {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>

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Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Konstruiere die gegebenen '''Längen''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm'''.|Arbeitsmethode
}}
{| style="width:50%; border:none;"

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen (Starttipp)|Hilfe verbergen}}

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}

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{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-19T13:45:40Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Wiederholung|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
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| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

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|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen. {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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|}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Konstruiere die gegebenen '''Längen''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm'''.|Arbeitsmethode
}}
{| style="width:50%; border:none;"

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}

| style="width:25%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}

|}

{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-19T13:43:23Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Wiederholung|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen. {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>

</div>

|}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Konstruiere die gegebenen '''Längen''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm'''.|Arbeitsmethode
}}
{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}

|}

{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Beginne mit einer Seite. <br />
Konstruiere dann Kreisbögen mit den passenden Radien um die Endpunkte, um den dritten Punkt zu bestimmen.|💡 Hilfe anzeigen (SSS - Konstruktion)|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-19T13:23:18Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen. {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>

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|}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Achte darauf, dass du die '''Maßangaben''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm''' angibst.|Arbeitsmethode
}}{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}

Datei:Forschungsstationen.png

2026-04-19T13:22:15Z

Nathalie Bosshammer: Nathalie Bosshammer lud eine neue Version von Datei:Forschungsstationen.png hoch

{{Information
|description = Drei Forschungsstationen in der Antarktis.
Die Forschungsstationen stehen in einem Dreieck zueinander.
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Nathalie Bosshammer|Nathalie Bosshammer]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung

2026-04-18T09:06:57Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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==Wissens-Check - Wie gut kennst du dich aus?==
Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades beginnst, <br />
hast du hier die Möglichkeit dein Wissen zu überprüfen oder fehlendes Wissen aufzufrischen.
[[Datei:Mittelsenkrechte.png|mini]]

=== Definitionen ===
{{Box|Merke: Mittelsenkrechte|Die '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] ist die Gerade, die '''senkrecht''' durch den '''Mittelpunkt der Strecke''' verläuft.|Merksatz
}}
----[[Datei:Winkelhalbierende eingezeichnet.png|mini]]{{Box|Merke: Winkelhalbierende|Gegeben ist ein '''Winkel α''' mit dem Scheitel S. Die '''Halbgerade w<sub>α<sub>''' mit dem Anfangspunkt S, die den Winkel α in '''zwei gleich große Teilwinkel''' zerlegt, nennt man die Winkelhalbierende von α.|Merksatz
}}
----{{Box|Aufgabe 1|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pohndbtia26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Arbeitsmethode
}}

===Konstruieren und Zeichnen===
Hier kannst du dir noch einmal in einem kurzen YouTube Video 🖥️ ansehen, wie du eine Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende zeichnest.

Du findest außerdem ein Einführungsvideo 🖥️, das dir den Umgang mit '''GeoGebra''' für grundlegende Konstruktionen erklärt.
{{2Spalten
|
'''Mittelsenkrechte'''
{{#ev:youtube|_gTFPlNwV2I|460|center}}
|
'''Winkelhalbierende'''
{{#ev:youtube|MKCkcy-HwAk|460|center}}
}}

{{Box|Übung|Du bist dir noch unsicher beim Zeichnen der beiden Linien?

📒 Bearbeite die beiden Konstruktionsaufgaben in deinem persönlichen Hefter auf der Notizseite 12.
#Konstruiere auf der '''Strecke '''<nowiki>[AB] = 14 cm</nowiki>''' die '''Mittelsenkrechte''' mit Zirkel und Geodreieck.
#Zeichne einen '''<nowiki>Winkel von α = 78°</nowiki>'''. Konstruiere die '''Winkelhalbierende''' mit Zirkel und Geodreieck.|Üben
}}
----'''Geometrie mit GeoGebra'''

{{#ev:youtube|K3o_Zaj3Awo|540||start=143&end=283}}

<span style="background-color:yellow;">Hinweis:</span> Schau dir das Video ab Minute 00:40 bis Minute 04:70 an.

----
===Quizfragen===
{{Box|Aufgabe 2|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p490hqwen26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Arbeitsmethode
}}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Vertiefung der Mittelsenkrechten|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt

2026-04-16T14:07:41Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Mittelsenkrechten|
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{{TOCright}}
==Umkreis==
Du hast im vorherigen Kapitel zum Thema "Den Eigenschaften von Mittelsenkrechten auf der Spur" den Standort des Depots ermittelt.<br />
Das Depot hat nun von der Forschungsstation A, B und C die gleiche Entfernung. <br />Wir können daraus Schlussfolgern, dass sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennt man Umkreismittelpunkt.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|left]]Die '''drei Mittelsenkrechten''' eines Dreiecks schneiden sich in ''einem'' Punkt M. <br /> Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.|Merksatz
}}

[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]
Wir kehren zurück zur Aufgabe der Forschungsstationen. <br />
Die Lage in der Antarktis hat sich zugespitzt.
Nach einem Stromausfall müssen die drei Stationen nun über ein mobiles Funksystem verbunden werden. <br />
Das Funksignal breitet sich kreisförmig aus. <br />

Der Sendemast soll so stehen, dass alle Stationen am Rand des gleichen Funkkreises liegen.
Überlege dir zunächst, welchen Punkt du für den Mittelpunkt des mobilen Funksystem brauchst.

<big>💭+📒</big> Notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 6|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels den Funkkreis.<br />

📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter und deine bereits angefertigte Konstruktion für die Standortbestimmung des Depots auf Seite 6.|Arbeitsmethode
}}

{{Lösung versteckt|[[Datei:Umkreismittelpunkt .png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
----

===Lage des Umkreismittelpunktes im Dreieck===

Für den Stromausfall in der Antarktis hast du die drei Forschungsstationen über ein mobiles Funksystem miteinander verbunden.
Dafür hast du einen Umkreis konstruiert und den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Sendemast festgelegt.

'''Überprüfe''' zunächst deine '''Vermutung''' aus Aufgabe 6: War sie richtig? <br />Markiere sie mit ✔ oder ✘.

Doch jetzt stellt sich eine wichtige Frage: Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />
Was passiert, wenn sich die Form des Dreiecks verändert?

auf Seite 3.

{{Box| Gehe diesen Fragen nach und schreibe zunächst deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 3.

{{Box|Aufgabe 7|Untersuche nun die Lage des Sendemastes genauer. <br />
In dieser Aufgabe geht es um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra.

1) '''Zeichne''' zunächst den Umkreis des Dreiecks ein.<br />
{{Lösung versteckt|Nutze das Werkzeug "Kreis mit MP durch Punkt"|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
2) '''Verändere''' in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />

<u>Gehe dabei wie folgt vor:</u> Klicke auf den Punkt C und bewege ihn langsam.
* nach rechts
* nach links
* nach oben
* nach unten
'''Beobachte genau''', was mit dem Umkreis und dem Mittelpunkt passiert.

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 6.
#Bleibt der Umkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Umkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksarten (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welche deiner Vermutungen haben sich bestätigt, welche nicht?<br /> Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="zpmtu6pt" width="800" height="500" />

{{Lösung versteckt|1='''Frage 1:''' Nein, der Umkreismittelpunkt bleibt nicht immer innerhalb des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Der Radius des Umkreises kann sich verändern. Er hängt direkt von der Form (spitzwinklig, stumpfwinklig, rechtwinklig) und Größe des Dreiecks ab. <br />
'''Frage 3:''' Dreieckstyp => Umkreismittelpunkt <br />
Spitzwinkliges Dreieck => Innen <br />
Rechtwinkliges Dreieck => Mitte der Hypotenuse <br />
Stumpfwinkliges Dreieck => Außerhalb|2=✅ Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Winkelhalbierenden|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt

2026-04-16T13:52:51Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Winkelhalbierenden|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus}}
__TOC__
==Inkreis==
{{TOCright}}Im vorherigen Kapitel hast du dich mit den Eigenschaften der Winkelhalbierenden auseinandergesetzt und den Standort für den Springbrunnen ermittelt. <br /> Das ist super! <br />
Wir können nun Schlussfolgern, dass sich die Winkelhalbierenden der drei Wegstrecken in einem Punkt schneiden. <br />

Dieser Punkt, an dem der Springbrunnen platziert wird, nennt man Inkreismittelpunkt. <br />
Wie der Name schon verrät, ist dies der Mittelpunkt des Inkreises. <br />
Der folgende Merksatz erklärt dir, was genau der Inkreis ist.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Inkreis in Dreieck ABC.png|mini|left]]
Der '''Inkreis''' eines Dreiecks ist ein Kreis, der '''alle Seiten''' des Dreiecks '''berührt'''. <br /> Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem '''Schnittpunkt W''' der '''drei Winkelhalbierenden''' eines Dreiecks.|Merksatz
}}
[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini|right]]
Jetzt weißt du, was ein Inkreis ist. <br />
Kehre nun zur gestalteten Rasenfläche in der Parkanlage zurück. <br />
Du möchtest um den Springbrunnen ein kreisförmiges Blumenbeet anlegen, das genau in die dreieckige Rasenfläche passt.

Wo setzt du den Zirkel an? <br />
Wie groß muss der Radius des Blumenbeetes sein, damit er in die dreieckige Rasenfläche passt?

<big>💭+📒</big> Bevor du Aufgabe 11 bearbeitest, überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

{{Box|Aufgabe 11|1. Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels das kreisförmige Blumenbeet.
<br />

2. Überprüfe anschließend deine Vermutung und markiere sie mit ✔ oder ✘.
<br />
📒 Da du den Standort des Springbrunnens bereits bestimmt hast, nutze für die Bearbeitung der Aufgabe die Zeichnung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.|Arbeitsmethode
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Inkreis.png|mini||center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

===Lage des Inkreismitelpunktes im Dreieck===
Du hast den Inkreis in die dreieckige Parkfläche eingezeichnet. <br />
Dabei hast du sicherlich festgestellt, dass der Inkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt. <br />
Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />

<big>💭+📒</big> Was vermutest du? Schreibe deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 8.

Gehe diesen Fragen nach und erkunde in der nächsten Aufgabe die Lage des Inkreismittelpunktes in verschiedenen Dreiecken.

{{Box|Aufgabe 12|Hier geht es nun um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra. <br />

1) '''Zeichne''' zunächst den Inkreis des Dreiecks ein.
{{Lösung versteckt|Konstruiere zunächst ein Lot vom Mittelpunkt S auf eine Dreiecksseite. Werkzeug: "Senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Zeichne den Inkreis. Werkzeug: "Kreis mit MP durch Punkt". <br /> Der Mittelpunkt ist S und der Punkt ist der Schnittpunkt der senkrechten Gerade mit einer Dreiecksseite |💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

2) '''Verändere''' nun in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />
*Dabei kannst du den '''Eckpunkt C''' langsam nach rechts und nach links verschieben. <br />
*Du kannst den Punkt auch nach oben oder nach unten bewegen. <br />
'''Beobachte''' dabei '''genau''': Was passiert mit dem Inkreis und dem Mittelpunkt? <br />

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.<br />
#Bleibt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Inkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksformen (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?<br />

5) Welche deiner Vermutungen auf Seite 8 im persönlichen Hefter haben sich bestätigt, welche nicht? <br /> Markiere jede Vermutung mit ✔ oder ✘.|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="hwvq2ydh" width="600" height="500" />{{Lösung versteckt|'''Frage 1:''' Ja, der Inkreismittelpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Ja, der Radius verändert sich, wenn sich die Form oder Größe des Dreiecks verändert.
'''Frage 3:''' Bei unterschiedlichen Dreiecksarten fällt nichts besonderes auf, da der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegt.|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Abschlusstest|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt

2026-04-16T13:36:21Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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__TOC__
==Inkreis==
{{TOCright}}Im vorherigen Kapitel hast du dich mit den Eigenschaften der Winkelhalbierenden auseinandergesetzt und den Standort für den Springbrunnen ermittelt. <br /> Das ist super! <br />
Wir können nun Schlussfolgern, dass sich die Winkelhalbierenden der drei Wegstrecken in einem Punkt schneiden. <br />

Dieser Punkt, an dem der Springbrunnen platziert wird, nennt man Inkreismittelpunkt. <br />
Wie der Name schon verrät, ist dies der Mittelpunkt des Inkreises. <br />
Der folgende Merksatz erklärt dir, was genau der Inkreis ist.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Inkreis in Dreieck ABC.png|mini|left]]
Der '''Inkreis''' eines Dreiecks ist ein Kreis, der '''alle Seiten''' des Dreiecks '''berührt'''. <br /> Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem '''Schnittpunkt W''' der '''drei Winkelhalbierenden''' eines Dreiecks.|Merksatz
}}
[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini|right]]
Jetzt weißt du, was ein Inkreis ist. <br />
Kehre nun zur gestalteten Rasenfläche in der Parkanlage zurück. <br />
Du möchtest um den Springbrunnen ein kreisförmiges Blumenbeet anlegen, das genau in die dreieckige Rasenfläche passt.

Wo setzt du den Zirkel an? <br />
Wie groß muss der Radius des Blumenbeetes sein, damit er in die dreieckige Rasenfläche passt?

<big>💭+📒</big> Bevor du Aufgabe 11 bearbeitest, überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

{{Box|Aufgabe 11|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels das kreisförmige Blumenbeet.
📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 11. <br />
Da du den Standort des Springbrunnens bereits bestimmt hast, nutze diese Zeichnung, um das kreisförmige Blumenbeet einzuzeichnen.|Arbeitsmethode
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Inkreis.png|mini||center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

===Lage des Inkreismitelpunktes im Dreieck===
Du hast den Inkreis in die dreieckige Parkfläche eingezeichnet. <br />
Dabei hast du sicherlich festgestellt, dass der Inkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt. <br />
Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />

<big>💭+📒</big> Was vermutest du? Schreibe deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 8.

Gehe diesen Fragen nach und erkunde in der nächsten Aufgabe die Lage des Inkreismittelpunktes in verschiedenen Dreiecken.

{{Box|Aufgabe 12|Hier geht es nun um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra. <br />

1) '''Zeichne''' zunächst den Inkreis des Dreiecks ein.
{{Lösung versteckt|Konstruiere zunächst ein Lot vom Mittelpunkt S auf eine Dreiecksseite. Werkzeug: "Senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Zeichne den Inkreis. Werkzeug: "Kreis mit MP durch Punkt". <br /> Der Mittelpunkt ist S und der Punkt ist der Schnittpunkt der senkrechten Gerade mit einer Dreiecksseite |💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

2) '''Verändere''' nun in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />
Dabei kannst du den '''Eckpunkt C''' langsam nach rechts und nach links verschieben. <br />
Du kannst den Punkt auch nach oben oder nach unten bewegen. <br />

3) Beobachte dabei genau: Was passiert mit dem Inkreis und dem Mittelpunkt? <br />

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.<br />
#Bleibt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Inkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksformen (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="hwvq2ydh" width="600" height="500" />{{Lösung versteckt|'''Frage 1:''' Ja, der Inkreismittelpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Ja, der Radius verändert sich, wenn sich die Form oder Größe des Dreiecks verändert.
'''Frage 3:''' Bei unterschiedlichen Dreiecksarten fällt nichts besonderes auf, da der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegt.|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

{{Fortsetzung|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt

2026-04-16T13:31:58Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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__TOC__
==Inkreis==
{{TOCright}}Im vorherigen Kapitel hast du dich mit den Eigenschaften der Winkelhalbierenden auseinandergesetzt und den Standort für den Springbrunnen ermittelt. <br /> Das ist super! <br />
Wir können nun Schlussfolgern, dass sich die Winkelhalbierenden der drei Wegstrecken in einem Punkt schneiden. <br />

Dieser Punkt, an dem der Springbrunnen platziert wird, nennt man Inkreismittelpunkt. <br />
Wie der Name schon verrät, ist dies der Mittelpunkt des Inkreises. <br />
Der folgende Merksatz erklärt dir, was genau der Inkreis ist.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Inkreis in Dreieck ABC.png|mini|left]]
Der '''Inkreis''' eines Dreiecks ist ein Kreis, der '''alle Seiten''' des Dreiecks '''berührt'''. <br /> Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem '''Schnittpunkt W''' der '''drei Winkelhalbierenden''' eines Dreiecks.|Merksatz
}}
[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini|right]]
Jetzt weißt du, was ein Inkreis ist. <br />
Kehre nun zur gestalteten Rasenfläche in der Parkanlage zurück. <br />
Du möchtest um den Springbrunnen ein kreisförmiges Blumenbeet anlegen, das genau in die dreieckige Rasenfläche passt.

Wo setzt du den Zirkel an? <br />
Wie groß muss der Radius des Blumenbeetes sein, damit er in die dreieckige Rasenfläche passt?

<big>💭+📒</big> Bevor du Aufgabe 11 bearbeitest, überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

{{Box|Aufgabe 11|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels das kreisförmige Blumenbeet.
📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 11. <br />
Da du den Standort des Springbrunnens bereits bestimmt hast, nutze diese Zeichnung, um das kreisförmige Blumenbeet einzuzeichnen.|Arbeitsmethode
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Inkreis.png|mini||center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

===Lage des Inkreismitelpunktes im Dreieck===
Du hast den Inkreis in die dreieckige Parkfläche eingezeichnet. <br />
Dabei hast du sicherlich festgestellt, dass der Inkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt. <br />
Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />

<big>💭+📒</big> Was vermutest du? Schreibe deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 8.

Gehe diesen Fragen nach und erkunde in der nächsten Aufgabe die Lage des Inkreismittelpunktes in verschiedenen Dreiecken.

{{Box|Aufgabe 12|Hier geht es nun um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra. <br />

1) '''Zeichne''' zunächst den Inkreis des Dreiecks ein.
{{Lösung versteckt|Konstruiere zunächst ein Lot vom Mittelpunkt S auf eine Dreiecksseite. Werkzeug: "Senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Zeichne den Inkreis. Werkzeug: "Kreis mit MP durch Punkt". <br /> Der Mittelpunkt ist S und der Punkt ist der Schnittpunkt der senkrechten Gerade mit einer Dreiecksseite |💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

2) '''Verändere''' nun in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />
Dabei kannst du den '''Eckpunkt C''' langsam nach rechts und nach links verschieben. <br />
Du kannst den Punkt auch nach oben oder nach unten bewegen. <br />

3) Beobachte dabei genau: Was passiert mit dem Inkreis und dem Mittelpunkt? <br />

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.<br />
#Bleibt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Inkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksformen (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="hwvq2ydh" width="600" height="500" />{{Lösung versteckt|'''Frage 1:''' Ja, der Inkreismittelpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Ja, der Radius verändert sich, wenn sich die Form oder Größe des Dreiecks verändert.
'''Frage 3:''' Bei unterschiedlichen Dreiecksarten fällt nichts besonderes auf, da der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegt.|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|Konstruiere zunächst ein Lot vom Mittelpunkt S auf eine Dreiecksseite. Werkzeug: "Senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Zeichne den Inkreis. Werkzeug: "Kreis mit MP durch Punkt". Der Mittelpunkt ist S und der Punkt ist der Schnittpunkt der senkrechten Gerade mit einer Dreiecksseite |💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Fortsetzung|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Inkreismittelpunkt

2026-04-16T13:30:58Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zu den Eigenschaften der Winkelhalbierenden|
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__TOC__
==Inkreis==
{{TOCright}}Im vorherigen Kapitel hast du dich mit den Eigenschaften der Winkelhalbierenden auseinandergesetzt und den Standort für den Springbrunnen ermittelt. <br /> Das ist super! <br />
Wir können nun Schlussfolgern, dass sich die Winkelhalbierenden der drei Wegstrecken in einem Punkt schneiden. <br />

Dieser Punkt, an dem der Springbrunnen platziert wird, nennt man Inkreismittelpunkt. <br />
Wie der Name schon verrät, ist dies der Mittelpunkt des Inkreises. <br />
Der folgende Merksatz erklärt dir, was genau der Inkreis ist.

===Definition===

{{Box|Merke|[[Datei:Inkreis in Dreieck ABC.png|mini|left]]
Der '''Inkreis''' eines Dreiecks ist ein Kreis, der '''alle Seiten''' des Dreiecks '''berührt'''. <br /> Der Mittelpunkt des Kreises ergibt sich aus dem '''Schnittpunkt W''' der '''drei Winkelhalbierenden''' eines Dreiecks.|Merksatz
}}
[[Datei:Parkanlage mit dreieckiger Rasenfläche .png|mini|right]]
Jetzt weißt du, was ein Inkreis ist. <br />
Kehre nun zur gestalteten Rasenfläche in der Parkanlage zurück. <br />
Du möchtest um den Springbrunnen ein kreisförmiges Blumenbeet anlegen, das genau in die dreieckige Rasenfläche passt.

Wo setzt du den Zirkel an? <br />
Wie groß muss der Radius des Blumenbeetes sein, damit er in die dreieckige Rasenfläche passt?

<big>💭+📒</big> Bevor du Aufgabe 11 bearbeitest, überlege kurz und notiere deine Vermutungen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 8.

{{Box|Aufgabe 11|Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels das kreisförmige Blumenbeet.
📒 Nutze für die Bearbeitung der Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 11. <br />
Da du den Standort des Springbrunnens bereits bestimmt hast, nutze diese Zeichnung, um das kreisförmige Blumenbeet einzuzeichnen.|Arbeitsmethode
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Inkreis.png|mini||center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

===Lage des Inkreismitelpunktes im Dreieck===
Du hast den Inkreis in die dreieckige Parkfläche eingezeichnet. <br />
Dabei hast du sicherlich festgestellt, dass der Inkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt. <br />
Liegt dieser Punkt immer an der gleichen Stelle im Dreieck oder kann er auch woanders liegen? <br />

<big>💭+📒</big> Was vermutest du? Schreibe deine Vermutungen in deinen persönlichen Hefter auf Seite 8.

Gehe diesen Fragen nach und erkunde in der nächsten Aufgabe die Lage des Inkreismittelpunktes in verschiedenen Dreiecken.

{{Box|Aufgabe 12|Hier geht es nun um die dynamische Untersuchung mit GeoGebra. <br />

1) '''Zeichne''' zunächst den Inkreis des Dreiecks ein.
{{Lösung versteckt|Nutze das Werkzeug "Kreis mit MP durch Punkt"|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}

2) '''Verändere''' nun in dem untenstehenden GeoGebra-Applet die '''Form des Dreiecks'''. <br />
Dabei kannst du den '''Eckpunkt C''' langsam nach rechts und nach links verschieben. <br />
Du kannst den Punkt auch nach oben oder nach unten bewegen. <br />

3) Beobachte dabei genau: Was passiert mit dem Inkreis und dem Mittelpunkt? <br />

4) 📒 Beantworte und Begründe dabei folgende Fragen in deinem persönlichen Hefter auf Seite 11.<br />
#Bleibt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks?
#Verändert sich der Radius des Inkreises, wenn du Punkt C verschiebst?
#Was fällt dir bei unterschiedlichen Dreiecksformen (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig) auf?|Arbeitsmethode
}}

<ggb_applet id="hwvq2ydh" width="600" height="500" />{{Lösung versteckt|'''Frage 1:''' Ja, der Inkreismittelpunkt liegt immer im Inneren des Dreiecks.<br />
'''Frage 2:''' Ja, der Radius verändert sich, wenn sich die Form oder Größe des Dreiecks verändert.
'''Frage 3:''' Bei unterschiedlichen Dreiecksarten fällt nichts besonderes auf, da der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks liegt.|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|Konstruiere zunächst ein Lot vom Mittelpunkt S auf eine Dreiecksseite. Werkzeug: "Senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Zeichne den Inkreis. Werkzeug: "Kreis mit MP durch Punkt". Der Mittelpunkt ist S und der Punkt ist der Schnittpunkt der senkrechten Gerade mit einer Dreiecksseite |💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Abschlusstest|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender

2026-04-16T12:42:55Z

Nathalie Bosshammer:

__NOTOC__
== Besondere Linien im Dreieck==
{{Box|Herzlich Willkommen im Lernpfad: Eine vertiefende Auseinandersetzung mit Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender|Schön, dass du da bist!

Du kennst bereits die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende.
Aber hast du dich schon einmal gefragt, warum sich diese Linien jeweils in genau einem Punkt schneiden?
Und warum dieser Punkt manchmal im Dreieck liegt, manchmal aber auch nicht?

In diesem Lernpfad untersuchst du die besonderen Eigenschaften dieser Linien genauer. Du vergleichst ihre Gemeinsamkeiten und Unterschiede und findest heraus, welche Rolle sie spielen.
Heute geht es nicht nur ums Konstruieren - sondern ums Verstehen.|Lernpfad
}}

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: mintcream; border-radius: 5px;width:80%">
[[Datei:Dekoratives_Mathematikbild_zur_Mittelsenkrechten_und_Winkelhalbierenden.png|rechts|rahmenlos|250x250px]]
<strong>'''Inhaltsverzeichnis''' </strong>
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung|Wiederholung]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus|Die Mittelsenkrechte im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus|Die Winkelhalbierende im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht|Abschlusstest]]

</div>

== Orientierung==

Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades beginnst, erhältst du nun einige wichtige Hinweise, damit du dich leicht zurechtfindest.

Die Bearbeitung des Lernpfades dauert in etwa 60 Minuten.

Oben auf dieser Seite findest du eine Übersicht der Kapitel, die du im Laufe der Bearbeitung durchläufst. <br />
Das Kapitel, in dem du dich gerade befindet, ist jeweils '''hervorgehoben'''.
Im Moment ist das, dass Kapitel '''"Willkommen"'''. <br />
Du kannst jederzeit zwischen den einzelnen Kapiteln wechseln.<br />

'''Hinweis zur Bearbeitung:'''
Du kannst selbst entscheiden, ob du zuerst die '''Mittelsenkrechte''' oder die '''Winkelhalbierende''' bearbeitest. <br />
<span style="color:red;">'''Wichtig:'''</span> Bevor du mit dem letzten Kapitel beginnst, müssen beide Themen bearbeitet sein.

Ergänzend zur Arbeit im Lernpfad erhältst du einen '''Lernbegleitbogen'''.<br />
Er erscheint mit diesem Symbol: 📒<br />
Darin findet du weiterführende Informationen, Platz für Notizen, Merksätze und Aufgabenbearbeitungen.

🖥️ Im Lernpfad sind außerdem Videos eingebunden.
Wenn du dich nicht alleine im Raum befindest, benötigst du Kopfhörer, um die Videos anzuschauen.
----'''Du triffst im Lernpfad auf folgende Bausteine:'''

{{Box|Merke|Hier sind wichtige Erkenntnisse in einem Merksatz zusammengefasst. Du findest diese auch in deinem persönlichen Hefter wieder. <br /> Dort hast du außerdem Platz Notizen oder Beispiele hinzuzufügen.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe|Bei diesen Bausteinen wirst du selbst aktiv und entdeckst neue Zusammenhänge. <br /> Neben klassischen Aufgaben, die du mit Papier und Stift in deinem Hefter bearbeitest, erwarten dich auch interaktive Elemente, wie GeoGebra-Applets, Zuordnungsaufgaben, kleine Rätsel oder digitale Übungsformate. <br /> Du findest entsprechend zu jeder Aufgabe eine kurze Erklärung, was zu tun ist.|Arbeitsmethode
}}{{Box|Übung|Dieser Baustein kennzeichnet Übungsaufgaben, sodass du bereits gelernte Inhalte wiederholen kannst.|Üben
}}
----

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
===💡Wenn du nicht weiter kommst===
Bei einigen Aufgaben stehen dir Hilfestellungen zur Verfügung. <br />
Dies geschieht über einen Hilfe-Button. <br />
Versuche jedoch zunächst, die Aufgaben eigenständig zu lösen.

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
===✅Rückmeldung zu deinen Lösungen===
Nachdem du eine Aufgabe bearbeitet hast, erhältst du eine direkte Rückmeldung. <br />
Dies geschieht über einen Lösungs-Button. So kannst du selbst kontrollieren, ob du auf dem richtigen Weg bist.
|}

==Kompetenzen==
{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenzen|'''Argumentieren'''<br />
In diesem Lernpfad übst du, mathematische Aussagen zu begründen und verständlich zu erklären.

'''Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen'''
Mit der dynamischer Geometriesoftware kannst du Figuren verändern und untersuchen. Dabei wirst du Zusammenhänge feststellen und Vermutungen überprüfen.|Hervorhebung1
}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Im folgenden siehst du, welches Wissen du bereits mitbringst und was du heute lernen wirst.

Das bringst du schon mit
#'''Du kannst''' eine Mittelsenkrechte und eine Winkelhalbierende mit Hilfe eines Zirkels und Geodreieck konstruieren.
#'''Du kannst''' die Begriffe Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden in eigenen Worten definieren.
#'''Du weißt''', dass sich jeweils drei dieser Linien in einem Punkt schneiden.
#'''Du kannst''' geometrische Grundkonstruktionen (Punkte, Geraden, Strecken, Kreise) mithilfe der dynamischer Geometriesoftware (GeoGebra) konstruieren.
#'''Du kannst''' die Kongruenzsätze, insbesondere die Sätze SWS und WSW, in eigenen Worten erklären.

Das vertiefst du heute
#'''Du kannst''' Eigenschaften der Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden fachsprachlich erklären und begründen.
#'''Du kannst''' den Umkreis und den Inkreis eines Dreiecks konstruieren und erklären, wo die jeweiligen Mittelpunkte bei verschiedenen Dreiecken liegen.
#'''Du kannst''' mit Hilfe von GeoGebra Zusammenhänge und Eigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden sowie die Lage der dazugehörigen Mittelpunkte dynamisch untersuchen.
#'''Du kannst''' die Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende anhand ihrer charakteristischen Eigenschaften unterscheiden.|Hervorhebung1
| Icon = brainy hdg-school
}}

'''🚀 Bist du bereit?'''

Dann starte jetzt mit einer kurzen Selbsteinschätzung, um dein Vorwissen und deine Erfahrungen zu reflektieren.

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: WhiteSmoke; border-radius: 5px;width:55%">
Du kannst entweder den Link nutzen oder einfach den QR-Code mit deinem Handy scannen.

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>Mentimeterlink:</u>'''
https://www.menti.com/ali9erxid979

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>OR-Code:</u>'''
[[Datei:Mentimeter QR-Code.png|mini|220x220px|rechts]]
|}

</div>

Klicke nun <nowiki/>in<nowiki/> de<nowiki/>r Kapitelübersicht auf das nächste Thema oder nutze den Pfeil am unteren Rand der Seite, um Schritt für Schritt durch den Lernpfad zu kommen.

Viel Erfolg beim Entdecken und Vertiefen.

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht‘s weiter zur Wiederholung (optional)|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
----{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Vertiefung der Mittelsenkrechten|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender

2026-04-16T12:34:42Z

Nathalie Bosshammer:

__NOTOC__
== Besondere Linien im Dreieck==
{{Box|Herzlich Willkommen im Lernpfad: Eine vertiefende Auseinandersetzung mit Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender|Schön, dass du da bist!

Du kennst bereits die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende.
Aber hast du dich schon einmal gefragt, warum sich diese Linien jeweils in genau einem Punkt schneiden?
Und warum dieser Punkt manchmal im Dreieck liegt, manchmal aber auch nicht?

In diesem Lernpfad untersuchst du die besonderen Eigenschaften dieser Linien genauer. Du vergleichst ihre Gemeinsamkeiten und Unterschiede und findest heraus, welche Rolle sie spielen.
Heute geht es nicht nur ums Konstruieren - sondern ums Verstehen.|Lernpfad
}}

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: mintcream; border-radius: 5px;width:80%">
[[Datei:Dekoratives_Mathematikbild_zur_Mittelsenkrechten_und_Winkelhalbierenden.png|rechts|rahmenlos|250x250px]]
<strong>'''Inhaltsverzeichnis''' </strong>
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung|Wiederholung]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus|Die Mittelsenkrechte im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Winkelhalbierende im Fokus|Die Winkelhalbierende im Fokus]]
#[[Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Zusammenhänge auf den Punkt gebracht|Abschlusstest]]

</div>

== Orientierung==

Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades beginnst, erhältst du nun einige wichtige Hinweise, damit du dich leicht zurechtfindest.

Die Bearbeitung des Lernpfades dauert in etwa 60 Minuten.

Oben auf dieser Seite findest du eine Übersicht der Kapitel, die du im Laufe der Bearbeitung durchläufst. <br />
Das Kapitel, in dem du dich gerade befindet, ist jeweils '''hervorgehoben'''.
Im Moment ist das, dass Kapitel '''"Willkommen"'''. <br />
Du kannst jederzeit zwischen den einzelnen Kapiteln wechseln.<br />

'''Hinweis zur Bearbeitung:'''
Du kannst selbst entscheiden, ob du zuerst die '''Mittelsenkrechte''' oder die '''Winkelhalbierende''' bearbeitest. <br />
<span style="color:red;">'''Wichtig:'''</span> Bevor du mit dem letzten Kapitel beginnst, müssen beide Themen bearbeitet sein.

Ergänzend zur Arbeit im Lernpfad erhältst du einen '''Lernbegleitbogen'''.<br />
Er erscheint mit diesem Symbol: 📒<br />
Darin findet du weiterführende Informationen, Platz für Notizen, Merksätze und Aufgabenbearbeitungen.

🖥️ Im Lernpfad sind außerdem Videos eingebunden.
Wenn du dich nicht alleine im Raum befindest, benötigst du Kopfhörer, um die Videos anzuschauen.
----'''Du triffst im Lernpfad auf folgende Bausteine:'''

{{Box|Merke|Hier sind wichtige Erkenntnisse in einem Merksatz zusammengefasst. Du findest diese auch in deinem persönlichen Hefter wieder. <br /> Dort hast du außerdem Platz Notizen oder Beispiele hinzuzufügen.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe|Bei diesen Bausteinen wirst du selbst aktiv und entdeckst neue Zusammenhänge. <br /> Neben klassischen Aufgaben, die du mit Papier und Stift in deinem Hefter bearbeitest, erwarten dich auch interaktive Elemente, wie GeoGebra-Applets, Zuordnungsaufgaben, kleine Rätsel oder digitale Übungsformate. <br /> Du findest entsprechend zu jeder Aufgabe eine kurze Erklärung, was zu tun ist.|Arbeitsmethode
}}{{Box|Übung|Dieser Baustein kennzeichnet Übungsaufgaben, sodass du bereits gelernte Inhalte wiederholen kannst.|Üben
}}
----

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
===💡Wenn du nicht weiter kommst===
Bei einigen Aufgaben stehen dir Hilfestellungen zur Verfügung. <br />
Dies geschieht über einen Hilfe-Button. <br />
Versuche jedoch zunächst, die Aufgaben eigenständig zu lösen.

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
===✅Rückmeldung zu deinen Lösungen===
Nachdem du eine Aufgabe bearbeitet hast, erhältst du eine direkte Rückmeldung. <br />
Dies geschieht über einen Lösungs-Button. So kannst du selbst kontrollieren, ob du auf dem richtigen Weg bist.
|}

==Kompetenzen==
{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenzen|'''Argumentieren'''<br />
In diesem Lernpfad übst du, mathematische Aussagen zu begründen und verständlich zu erklären.

'''Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen'''
Mit der dynamischer Geometriesoftware kannst du Figuren verändern und untersuchen. Dabei wirst du Zusammenhänge feststellen und Vermutungen überprüfen.|Hervorhebung1
}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Im folgenden siehst du, welches Wissen du bereits mitbringst und was du heute lernen wirst.

Das bringst du schon mit
#'''Du kannst''' eine Mittelsenkrechte und eine Winkelhalbierende mit Hilfe eines Zirkels und Geodreieck konstruieren.
#'''Du kannst''' die Begriffe Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden in eigenen Worten definieren.
#'''Du weißt''', dass sich jeweils drei dieser Linien in einem Punkt schneiden.
#'''Du kannst''' geometrische Grundkonstruktionen (Punkte, Geraden, Strecken, Kreise) mithilfe der dynamischer Geometriesoftware (GeoGebra) konstruieren.
#'''Du kannst''' die Kongruenzsätze, insbesondere die Sätze SWS und WSW, in eigenen Worten erklären.

Das vertiefst du heute
#'''Du kannst''' Eigenschaften der Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden fachsprachlich erklären und begründen.
#'''Du kannst''' den Umkreis und den Inkreis eines Dreiecks konstruieren und erklären, wo die jeweiligen Mittelpunkte bei verschiedenen Dreiecken liegen.
#'''Du kannst''' mit Hilfe von GeoGebra Zusammenhänge und Eigenschaften von Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden sowie die Lage der dazugehörigen Mittelpunkte dynamisch untersuchen.
#'''Du kannst''' die Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende systematisch miteinander vergleichen.|Hervorhebung1
| Icon = brainy hdg-school
}}

'''🚀 Bist du bereit?'''

Dann starte jetzt mit einer kurzen Selbsteinschätzung, um dein Vorwissen und deine Erfahrungen zu reflektieren.

<div style="border: 2px solid black; padding: 15px; background-color: WhiteSmoke; border-radius: 5px;width:55%">
Du kannst entweder den Link nutzen oder einfach den QR-Code mit deinem Handy scannen.

{| style="width:100%; border:none;"

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>Mentimeterlink:</u>'''
https://www.menti.com/ali9erxid979

| style="width:50%; vertical-align:top; border:none;" |
'''<u>OR-Code:</u>'''
[[Datei:Mentimeter QR-Code.png|mini|220x220px|rechts]]
|}

</div>

Klicke nun <nowiki/>in<nowiki/> de<nowiki/>r Kapitelübersicht auf das nächste Thema oder nutze den Pfeil am unteren Rand der Seite, um Schritt für Schritt durch den Lernpfad zu kommen.

Viel Erfolg beim Entdecken und Vertiefen.

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht‘s weiter zur Wiederholung (optional)|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
----{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Vertiefung der Mittelsenkrechten|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung

2026-04-16T12:05:07Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Startseite|
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==Wissens-Check - Wie gut kennst du dich aus?==
Bevor du mit der Bearbeitung des Lernpfades beginnst, <br />
hast du hier die Möglichkeit dein Wissen zu überprüfen oder fehlendes Wissen aufzufrischen.
[[Datei:Mittelsenkrechte.png|mini]]

=== Definitionen ===
{{Box|Merke: Mittelsenkrechte|Die '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] ist die Gerade, die '''senkrecht''' durch den '''Mittelpunkt der Strecke''' verläuft.|Merksatz
}}
----[[Datei:Winkelhalbierende eingezeichnet.png|mini]]{{Box|Merke: Winkelhalbierende|Gegeben ist ein '''Winkel α''' mit dem Scheitel S. Die '''Halbgerade w<sub>α<sub>''' mit dem Anfangspunkt S, die den Winkel α in '''zwei gleich große Teilwinkel''' zerlegt, nennt man die Winkelhalbierende von α.|Merksatz
}}
----{{Box|Aufgabe 1|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pohndbtia26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Arbeitsmethode
}}

===Konstruieren und Zeichnen===
Hier kannst du dir noch einmal in einem kurzen YouTube Video ansehen, wie du eine Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende zeichnest.

Du findest außerdem ein Einführungsvideo, das dir den Umgang mit '''GeoGebra''' für grundlegende Konstruktionen erklärt.
{{2Spalten
|
'''Mittelsenkrechte'''
{{#ev:youtube|_gTFPlNwV2I|460|center}}
|
'''Winkelhalbierende'''
{{#ev:youtube|MKCkcy-HwAk|460|center}}
}}

{{Box|Übung|Du bist dir noch unsicher beim Zeichnen der beiden Linien?

📒 Bearbeite die beiden Konstruktionsaufgaben in deinem persönlichen Hefter auf der Notizseite 12.
#Konstruiere auf der '''Strecke '''<nowiki>[AB] = 14 cm</nowiki>''' die '''Mittelsenkrechte''' mit Zirkel und Geodreieck.
#Zeichne einen '''<nowiki>Winkel von α = 78°</nowiki>'''. Konstruiere die '''Winkelhalbierende''' mit Zirkel und Geodreieck.|Üben
}}
----'''Geometrie mit GeoGebra'''

{{#ev:youtube|K3o_Zaj3Awo|540||start=143&end=283}}

<span style="background-color:yellow;">Hinweis:</span> Schau dir das Video ab Minute 00:40 bis Minute 04:70 an.

----
===Quizfragen===
{{Box|Aufgabe 2|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p490hqwen26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Arbeitsmethode
}}

{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zur Vertiefung der Mittelsenkrechten|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-16T12:02:48Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Wiederholung|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen. {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>

</div>

|}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Achte darauf, dass du die '''Maßangaben''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm''' angibst.|Arbeitsmethode
}}{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-16T11:59:41Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Wiederholung|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

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|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

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|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen.{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]}}
</div>

</div>

|}

{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Achte darauf, dass du die '''Maßangaben''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm''' angibst.|Arbeitsmethode
}}{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-16T11:56:48Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Wiederholung|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen.{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]}} {{Lösung versteckt|[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
</div>

</div>

|}{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Achte darauf, dass du die '''Maßangaben''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm''' angibst.|Arbeitsmethode
}}{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
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Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-16T11:53:50Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
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== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

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|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen.{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]}} {{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
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|}{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Achte darauf, dass du die '''Maßangaben''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm''' angibst.|Arbeitsmethode
}}{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-16T07:42:56Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Wiederholung|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

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|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
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</div>

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|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen.{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]}}
</div>

</div>

|}

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Achte darauf, dass du die '''Maßangaben''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm''' angibst.|Arbeitsmethode
}}{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}

Benutzer:Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Die Mittelsenkrechte im Fokus

2026-04-16T07:42:34Z

Nathalie Bosshammer:

{{Fortsetzung|
vorher=zurück zur Wiederholung|
vorherlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefende Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Wiederholung}}
{{TOCright}}
== Die Mittelsenkrechte im Fokus ==

Die Mittelsenkrechte gehört zu der Kategorie der geometrischen Ortslinien. Sie ist die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt einer Strecke verläuft.<br />
Im Alltag spielen Mittelsenkrechten eine wichtige Rolle. Besonders dann, wenn sehr genaue Arbeiten, exakte Symmetrien oder gleichmäßige Abstände gefordert sind. So auch in der Architektur und im Bauwesen. <br />
Hier helfen geometrische Überlegungen dabei, Mittelpunkte zu bestimmen und Bauteile auszurichten.<br />
Ein typisches Beispiel ist der symmetrische Brückenbau, damit die Lasten gleichmäßig auf Stützpfeiler übertragen werden oder auch die Spiegelachsen in Bauplänen.

Doch warum funktioniert das eigentlich? <br />
Und was macht eine Mittelsenkrechte eigentlich so besonders? <br />

Mit diesen Fragen beschäftigst du dich im folgenden Kapitel.

===Versorgungsproblem der Forschungsstationen===
[[Datei:Forschungsstationen.png|mini|]]

Drei Forschungsstationen A, B, C in der Antarktis sind nicht sehr weit voneinander entfernt: <blockquote>'''[AB] = 9 km '''

'''[BC] = 6 km '''

'''[AC] = 11 km ''' </blockquote>Sie sollen von einem gemeinsamen Depot aus versorgt werden, das von allen drei Forschungsstationen '''gleich weit entfernt''' ist.

Wo könnte der Punkt liegen, der von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist?

<big>💭+📒</big> Überlege kurz und notiere deine Vermutung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 3, bevor du im nächsten Abschnitt genauer untersuchst, welche besonderen Eigenschaften die Mittelsenkrechte hat.
===Eigenschaft der Mittelsenkrechte erkunden===
{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten zunächst nur zwei Forschungsstationen A und B.

#Zeichne die '''Strecke [AB]''' in das untenstehende GeoGebra Applet.
#Konstruiere auf diese Strecke die Mittelsenkrechte und markiere drei verschiedene Punkte auf ihr.
#Miss jeweils die Abstände zu A und B.<br />

Was kannst du beobachten? <br />
📒 Notiere deine Beobachtung in deinem persönlichen Hefter auf Seite 4.

'''Tipp:''' Nutze für das Zeichnen der Strecke [AB] das Werkzeug "Strecke mit fester Länge"|Arbeitsmethode
}}
{|

| valign="top" width="70%" |

<ggb_applet id="s6yfpsx4" width="800" height="500" />
| valign="top" width="40%" |

{{Lösung versteckt|Konstruiere eine feste Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Strecke mit fester Länge"{{Lösung versteckt|Bestimme den Mittelpunkt der Strecke AB. '''Werkzeug:''' "Mittelpunkt"{{Lösung versteckt|Konstruiere eine senkrechte Gerade auf diesem Mittelpunkt. '''Werkzeug:''' "senkrechte Gerade"{{Lösung versteckt|Markiere drei beliebige Punkte auf dieser Mittelsenkrechte. '''Werkzeug:''' "Punkt". Miss jeweils die Abstände dieser Punkte zu deinen Ausgangspunkten. '''Werkzeug:''' "Abstand oder Länge"|💡 Hilfe 4 anzeigen|Hilfe 4 verbergen}}|💡 Hilfe 3 anzeigen|Hilfe 3 verbergen}}|💡 Hilfe 2 anzeigen|Hilfe 2 verbergen}}|💡 Hilfe 1 anzeigen|Hilfe 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|Beobachtung: Die Punkte D, E, F auf der Mittelsenkrechte haben denselben Abstand zu den Punkten A und B.[[Datei:Abstände der Mittelsenkrechten.png|mini]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|}

[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
Wir können folgendes festhalten: {{Box|Eigenschaft der Mittelsenkrechten|Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.|Merksatz
}}

Wir haben nun die Eigenschaft der Mittelsenkrechte festgehalten.
Doch in der Mathematik reicht eine Beobachtung allein nicht aus. <br />
'''Warum gilt das eigentlich immer?'''<br />
Können wir begründen, warum die Abstände wirklich gleich sein müssen und nicht nur zufällig gleich sind?

===Beweis der Eigenschaft===
Du kannst nun selbst entscheiden, wie fit du bist. Wähle '''ein Aufgabenniveau''' aus und bearbeite diesen.
{| class="wikitable"
!Niveau
!Arbeitsauftrag 4

|-
|Aufgabenniveau ★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4a|Bearbeite den untenstehenden Lückentext sorgfältig.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini]]
<div class="lueckentext-quiz">

<u>Voraussetzung</u>: Wir wissen: P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. <br>
<u>Behauptung</u>: |PA| = '''|PB|''' <br>
<u>Beweis</u>: Die Mittelsenkrechte zu [AB] zerlegt das Dreieck ABP in die Teildreiecke '''MAP''' und MBP. <br>
Es gilt: <br>
(1) |MP| = |MP|, da [MP] zu beiden Teil'''dreiecken''' gehört. <br>
(2) |AM| = |MB|, da PM '''Mittelsenkrechte''' der Strecke [AB] ist. <br>
(3) Beide '''Winkel''' bei M sind '''90°''' groß, da '''PM''' Mittelsenkrechte von [AB] ist. <br> Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke MAP und '''MBP''' kongruent zueinander und so gilt auch: '''|PA|''' = |PB|.

</div>

</div>
|-
|Aufgabenniveau ★★ (Basisstufe)
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4b|Die Reihenfolge dieser Beweisschritte ist durcheinandergeraten. <br/> Bringe sie in die richtige Reihenfolge.|Arbeitsmethode
}}

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|]]
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ppa94gsdj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
</div>

|-
|Aufgabenniveau ★★★
|<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
{{Box|Aufgabe 4c|Formuliere selbst einen Beweis für den folgenden Satz:
:'''Liegt ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB,'''
:'''<nowiki>dann ist die Entfernung des Punktes P zu den Punkten A und B gleich. Es gilt |PA| = |PB|.</nowiki>'''

Du findest hier Leitfragen, die dir helfen, den Beweis Schritt für Schritt aufzubauen.<br/>
📒 Nutze für die Bearbeitung dieser Aufgabe deinen persönlichen Hefter auf Seite 5.|Arbeitsmethode
}}
<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:5-schrittige Schema zum Beweis.png|mini]]
[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen einer Strecken.png|mini]]
<u>'''5 Schritte zum Beweis - Leitfragen:'''</u>''' <br />'''
'''Schritt 1 - Aussage verstehen & Voraussetzung klären'''
*Was ist gegeben?
*Was weißt du über den Punkt P?
*Was willst du zeigen?
'''Schritt 2 - Situation zeichnen'''
*Zeichne die Strecke AB, den Mittelpunkt M, die Mittelsenkrechte, den Punkt P und die Verbindungsstrecke PA und PB.
'''Schritt 3 - Wissensbasis sammeln'''
*Betrachte die entstehenden Dreiecke und markiere gleiche Strecken oder gleiche Winkel in der gleichen Farbe.
*Notiere alles, was du sicher weißt.
{{Lösung versteckt|*<nowiki>AM = MB, weil ...</nowiki>
*<nowiki>Winkel MAP = Winkel ..., weil ...</nowiki>
*<nowiki>MP = MP, weil ... </nowiki>|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 4 - Finde eine passende Strategie'''
*Wie kannst du zeigen, dass zwei Strecken gleich lang sind?
{{Lösung versteckt|Erinnere dich an die Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW, SsW|💡Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}
'''Schritt 5 - Rückschau'''
*Wenn zwei Dreiecke bestimmte übereinstimmende Merkmale haben, lässt sich auf etwas schließen.
→ Welcher Zusammenhang liegt hier vor?
Fasse deine Beweisidee zusammen.{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf|Lösungsvorschlag herunterladen]]}}
</div>

</div>

|}

<nowiki>{{Lösung versteckt|[[Media:Lösungsvorschlag_Beweis_Mittelsenkrechteneigenschaft.pdf]]|✅Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</nowiki>

Sicherlich war der letzte Abschnitt nicht gerade einfach. Das hast du super gemeistert. <br />
Wir fassen daher noch einmal die wichtigsten Kenntnisse in einem Merksatz zusammen.

{{Box|Merke|[[Datei:Mittelsenkrechte zwischen der Strecke AB.png|mini|left]]
'''Satz:''' Wenn ein Punkt P auf der '''Mittelsenkrechte''' einer Strecke [AB] liegt, dann hat er die '''gleiche Entfernung''' zu den Punkten A und B.

'''Beweis''': Die Mittelsenkrechte halbiert die Strecke AB im Punkt M und steht senkrecht auf ihr.
Betrachtet man die '''Dreiecke AMP und BMP,''' so gilt: <br />

1. <nowiki>AM = MB (Mittelpunkt von AB)</nowiki> <br />
2. <nowiki>Winkel (AMP) = Winkel (BMP) = 90° (Senkrechte)</nowiki> <br />
3. <nowiki>MP = MP (gemeinsame Seite) </nowiki> <br />

Nach dem '''Kongruenzsatz SWS''' sind die Dreiecke kongruent.
Daher folgt: '''<nowiki>IPAI = IPBI</nowiki>'''|Merksatz
}}
----Jetzt, nachdem du den Beweis für die Eigenschaft der Mittelsenkrechten erarbeitet hast, <br /> betrachten wir alle drei Forschungsstationen A, B, C noch einmal zusammen.[[Datei:Forschungsstationen.png|mini]]
{{Box|Aufgabe 5|Ermittle nun den Standort des Depots und seine Entfernung zu den Forschungsstationen.<br/>
📒 Nutze für deine Konstruktion und Notizen deinen persönlichen Hefter auf Seite 6.

'''Wichtig:''' Achte darauf, dass du die '''Maßangaben''' der Strecken [AB], [BC] und [AC] '''in cm''' angibst.|Arbeitsmethode
}}{{Lösung versteckt|Erinnere dich daran, wo Punkte liegen, die gleich weit von zwei Punkten entfernt sind.|💡 Hilfe anzeigen|Hilfe verbergen}}{{Lösung versteckt|Zeichne die Mittelsenkrechten der Strecken AB, AC und BC.<br/> Der Mittelpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Standort des Depots.[[Datei:Lösungsbild Aufgabe Forschungsstationen.png|mini|center]]|✅ Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Fortsetzung|
weiter=Hier geht's weiter zum Umkreis|
weiterlink=Benutzer: Nathalie Bosshammer/Besondere Linien im Dreieck - Eine vertiefenden Untersuchung von Mittelsenkrechter und Winkelhalbierender/Umkreismittelpunkt}}