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Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-29T10:09:36Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:
Funktionsgleichung linearer Funktionen
}}

__NOTOC__
{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
}}

Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe ausblenden
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 3
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 4
| Inhalt = Bestimme die Steigung mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app = phaj2711t26
| height = 500px
}}
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Knobler
| Inhalt = Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.
{{Lösung versteckt|
Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
|Übung für Knobler aufklappen | Übung für Knobler verstecken
}}
}}

=== Der Parameter b ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
* Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
* Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
* b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
* Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Der y-Achsenabschnitt b
| Inhalt =
Der Parameter b beschreibt, '''wo der Graph beginnt''', also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist.
Er gibt damit an, '''an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet''' und wie der Graph im Koordinatensystem '''nach oben oder unten verschoben''' ist.
Man nennt ihn deshalb auch den '''y-Achsenabschnitt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

* Ist b '''positiv''', dann liegt der Graph bei x=0 '''oberhalb''' der x-Achse und ist nach '''oben verschoben'''.
* Ist b '''negativ''', dann liegt der Graph bei x=0 '''unterhalb''' der x-Achse und ist nach '''unten verschoben'''.
* Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den '''Ursprung (0I0)'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Den Parameter b kannst du dir wie den '''Startpunkt''' einer Bewegung vorstellen.
Er beschreibt, '''wo etwas beginnt''', bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:
* Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
* Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
* Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der '''Wert''', den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also '''bei x=0''').
}}

=== Aufgabe ===
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = p3bdgrqf526
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe verstecken
}}
}}

=== Den y-Achsenabschnitt b bestimmen ===
Du kannst b auf '''zwei Arten''' bestimmen, je nachdem, was du angegeben hast:

====='''1. Aus einer Wertetabelle ablesen'''=====

Suche in der Tabelle den Wert, bei dem '''x=0''' ist.
Der dazugehörige y-Wert ist direkt '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und 2 € pro Kilometer. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
Wir suchen x=0, der dazugehörige y-Wert ist 4. Hier ist also b=4.
}}

====== '''2. Im Graphen ablesen''' ======

Schau dir den Graphen im Koordinatensystem an:

# Suche den Punkt, an dem der Graph die '''y-Achse schneidet'''.
# Dieser Punkt hat immer die Form '''(0 | b)'''.
# Der y-Wert dieses Punktes ist '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Für das Taxi-Beispiel sieht der Graph folgendermaßen aus:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini]]
Der Schnittpunkt zwischen Graph und y-Achse liegt bei (0 | 4), also ist auch hier b=4.
}}
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt = b ist der y-Wert bei '''x=0'''.

Du findest b in der '''Wertetabelle''' oder am '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' im Graphen.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Finde den richtigen y-Achsenabschnitt b zu den Graphen!
{{LearningApp
| app = p6hjc5hv326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pbmu6m5xk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pvbjn084526
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}
}}
===Wie können lineare Funktionen dargestellt werden?===
Lineare Funktionen können auf '''vier verschiedene Arten''' dargestellt werden. Dabei beschreiben alle '''denselben Zusammenhang''', nur auf unterschiedliche Weise.

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:{{Lösung versteckt|Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach '''in Worten beschrieben''' werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:
* Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
* Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).}}

Solche Texte helfen dir, den '''Zusammenhang zu verstehen''', bevor du ihn mathematisch darstellst.
Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

|Text |Text}}{{Lösung versteckt|
Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch '''mit einer Gleichung beschreiben'''.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus:
'''<math display="block">y = m \cdot x+b</math>'''
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
<math display="block">y = 2 \cdot x+4</math>
Das bedeutet:
* x steht für die gefahrenen Kilometer
* y steht für den Preis
Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt
Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)
}}
Mit einer solchen Gleichung kannst du '''genau berechnen''', wie sich der Zusammenhang verhält.
Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.
|Funktionsgleichung|Funktionsgleichung}}{{Lösung versteckt|
Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang '''in einer Tabelle darzustellen'''.
Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
In der Tabelle siehst du:
* Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
* Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)}}
Die Tabelle hilft dir besonders gut, den '''Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen''' und '''Muster zu erkennen'''.
|Wertetabelle|Wertetabelle}}{{Lösung versteckt|
Schließlich kann man eine lineare Funktion auch '''als Graph im Koordinatensystem darstellen'''.
Dazu:
1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein
2. Verbindest die Punkte miteinander
Das Ergebnis ist '''eine Gerade'''.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini|500px]]}}
Diese Gerade zeigt:
* Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
* Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)
Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den '''gesamten Zusammenhang auf einen Blick''' sehen kannst.

|Graph|Graph}}{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Zusammenhang der Darstellungen
| Inhalt = Eine lineare Funktion kann als '''Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph''' dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und '''beschreiben denselben Zusammenhang''' auf unterschiedliche Weise:
* Der Text erklärt die Situation
* Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
* Die Tabelle zeigt einzelne Werte
* Der Graph macht den Verlauf sichtbar

'''Wichtig:''' Du kannst dabei jederzeit '''zwischen den Darstellungen wechseln!'''
}}
===Gemischte Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
Du hast jetzt kennengelernt, was die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist und welche Bedeutung die Parameter m und b haben. Außerdem hat du gesehen, das lineare Funktionen auf verschiedene Arten dargestellt werden können.

Jetzt geht es darum, dieses Wissen '''anzuwenden und zu vertiefen'''.
In den folgenden Aufgaben arbeitest du deshalb mit verschiedenen Darstellungen von linearen Funktionen und trainierst, lineare Funktionen sicher zu bestimmen.
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt =
Bestimme für jede der folgenden Situationen die Steigung m und den Startwert b. Schließe daraus auf die dazugehörige Funktionsgleichung und fülle die Tabelle passend aus.
{{LearningApp
| app = p8895kiij26
| height = 500px
}}
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt =
Ordne den Graphen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pzx5hhv7k26
| height = 500px
}}
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt =
Ordne den Graphen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pwumca47c26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 3
| Inhalt =
Ordne den Wertetabellen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pd6q1rfrj26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 4
| Inhalt =
Ordne alle zusammengehörigen Darstellungen zu.
{{LearningApp
| app = p3inmrctk26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 5 - Anwendungsaufgabe
| Inhalt =
Du bist mit deiner Klasse auf Klassenfahrt in Berlin. Gemeinsam besucht ihr verschiedene Sehenswürdigkeiten in der Stadt. Nach einem langen Tag entscheidet sich deine Gruppe ein Taxi zu nehmen, um schneller vom Brandenburger Tor zur nächsten Sehenswürdigkeit zu kommen.
Leider habt ihr insgesamt nur noch 9 € dabei. Ihr fragt euch, für welches Ziel euer Geld noch ausreicht.
Dazu möchtest du zunächst herausfinden, wie weit die Strecken sind.

1. '''Recherchiere''' dazu im Internet '''die Entfernung''' zwischen dem Brandenburger Tor und dem Berliner Dom, sowie zwischen dem Brandenburger Tor und dem Alexanderplatz. Nutze dazu zum Beispiel Google Maps. Notiere dir die Entfernungen in Kilometern.
{{Lösung versteckt|
a) Brandenburger Tor - Berliner Dom: 1,7 km

b) Brandenburger Tor - Alexanderplatz: 2,5 km
|Lösung anzeigen|Lösung ausblenden
}}
2. Informiere dich mithilfe unten bereitgestellten Tabelle über die Taxitarife. Entnimm daraus den Grundpreis und den Preis pro gefahrenem Kilometer und '''stelle eine passende Funktionsgleichung''' zur Berechnung der Taxikosten '''auf'''.
{{Lösung versteckt|
Grundpreis: 3,90 €

Preis pro Kilometer: 2,30 €

Der Grundpreis entspricht dem Startwert, also <math>b=3,90</math>

Der Preis pro Kilometer entspricht der Steigung, also <math>m=2,30</math>

Somit ergibt sich mit <math>y=mx+b</math> folgende Funktionsgleichung: <math>y=2,30x+3,90</math>
|Lösung anzeigen|Lösung ausblenden
}}
3. '''Berechne''' nun '''die Kosten''' für beide Fahrten mithilfe deiner Funktionsgleichung und gib deine Ergebnisse an.
{{Lösung versteckt|
Mithilfe der aufgestellten Funktionsgleichung <math>y=2,30x+3,90</math> können wir die Kosten für beide Fahrten berechnen. Dazu setzen wir die die beiden Entfernungen für x ein und berechnen die Gleichung.

Damit ergibt sich:
<blockquote>a) <math>y=2,30*1,7+3,90=7,81</math></blockquote>

<blockquote>b) <math>y=2,30*2,5+3,90=9,65</math></blockquote>

|Lösung anzeigen|Lösung ausblenden
}}
4. '''Interpretiere''' aus deinem Ergebnis, für welches Ziel ihr euch entscheiden solltet.
{{Lösung versteckt|
Da ihr zusammen nur 9 € besitzt, reicht euer Geld nur für die kürzere Fahrt.

Ihr solltet euch deshalb für die Fahrt vom Brandenburger Tor zum Berliner Dom entscheiden.
|Lösung anzeigen|Lösung ausblenden
}}
[[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher= (Lineare) Funktionen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-29T10:07:49Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Funktionen als eindeutige Zuordnungen

2026-03-29T10:07:12Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:
(Lineare) Funktionen
}}
__NOTOC__{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
}}
===Was ist eine Funktion? (Definition Funktion)===
Schauen wir uns einen Graphen an, der den gefahrenen Weg eines Fahrstuhls zeigt. Wobei die x-Achse die Zeit und die y-Achse das jeweilige Stockwerk ist:
[[Datei:Besseres Bild Fahrstuhl.png|ohne|mini|700x700px]]Zu jeder Zeit (z.B. 0 s, 3 s, 6 s, ...) gehört immer '''genau ein Stockwerk.'''

Der Fahrstuhl kann nicht gleichzeitig in unterschiedlichen Stockwerken zur selben Zeit sein!

Allgemein bedeutet das:

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionen
| Inhalt = Funktionen ordnen jedem Eingangswert '''genau einen''' Ausgangswert zu. Also zu jedem x-Wert gehört '''genau ein''' y-Wert'''.'''
 
Solche Zuordnungen nennt man auch eindeutige Zuordnungen oder Funktionen.

ANDERSHERUM: Wenn ein x-Wert zwei unterschiedliche y-Werte hat, ist es keine Funktion!
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

===Aufgabe: Ist das eine Funktion?===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Stellen die abbgebildeten Graphen eine Funktion dar?
{{LearningApp
| app = p37z2czit25
| height = 500px
}}
}}

===Was sind proportionale Funktionen?===
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Proportionale Funktionen
| Inhalt = Proportionale Funktionen sind '''eindeutige, proportionale Zuordnungen''', die '''durch den Ursprung''' verlaufen. Das bedeutet: Wenn der Eingangswert 0 ist, dann ist der Ausgangswert ebenfalls 0. Dabei verändert sich der Ausgangswert '''gleichmäßig'''.
}}

===Wenn etwas nicht bei 0 startet - was dann?===
Im echten Leben gibt es viele Situationen, in denen etwas nicht bei 0 beginnt.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Ein Fahrstuhl startet im 2.Stock. Alle 3 Sekunden fährt dieser 1 Stockwerk nach oben. 
Wir untersuchen nun, wo dieser sich nach verschiedenen Zeiten befindet:
[[Datei:Tabelle Aufzug Stockwerke.jpg|mini|700x700px|ohne]]
}}

Hier gibt es also einen Startwert, der nicht 0 ist.
Das heißt:

Die Zuordnung ist '''nicht proportional, aber trotzdem gleichmäßig'''!

Einen solchen Zusammenhang nennen wir '''linear'''. Also heißen die dazugehörigen Funktionen:

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Lineare Funktionen
| Inhalt = '''Lineare Funktionen''' sind proportionale Zuordnungen, die nicht durch den Ursprung (0{{!}}0) geht.
Das heißt eine lineare Funktion besteht aus einem '''Startwert, der nicht 0 sein muss''' und einer '''gleichmäßigen Änderung''' (linearer Zusammenhang).
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

=== Aufgabe: Linear oder nicht linear? ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Entscheide, ob es sich bei den gegebenen Beispielen um lineare Zusammenhänge handelt oder nicht.
{{LearningApp
| app = pnfurxvet26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Gleichmäßige Änderung:
# pro Sekunde 1 cm Wachstum
# pro Stunde 5 km Strecke
Startwert, der nicht 0 sein muss:
# Startgebühren beim Taxi
# Start im 2. Stock
# Startfüllstand eines Tanks beim tanken
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Finde 2-3 weitere Beispiele zu linearen Funktionen und schreibe diese in dein Heft!
}}

===Wie sieht das im Koordinatensystem aus?===
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Wenn wir die Wertepaare aus dem Fahrstuhl-Beispiel in ein Koordinatensystem eintragen, wird folgendes sichtbar:

*Die Punkte liegen alle auf '''einer Geraden.'''
*Die Gerade '''geht bei dieser linearen Funktion nicht durch den Ursprung (P(0I0))''', sondern sie schneidet die y-Achse oberhalb oder unterhalb der 0.

[[Datei:Besseres Bild Fahrstuhl.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

Aus diesem Graphen lässt sich schlussfolgern, dass:

*Jeder proportionale Zusammenhang linear,
*aber nicht jeder lineare Zusammenhang proportional ist!

===Aufgabe===
Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Du bist dir noch unsicher, was lineare Funktionen sind? Dann bearbeite folgenden Lückentext:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pz9p0omw226
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon sicher, was lineare Funktionen sind? Dann bearbeite folgenden Lückentext:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pawi2oank26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}
}}

===Zusammenfassung===
In diesem Kapitel hast du '''lineare Zusammenhänge''' anhand von Beispielen aus deinem Alltag kennengelernt.

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Schreibe die '''wichtigsten Erkenntnisse über lineare Funktionen''' in dein Heft.
Gehe dabei auf Besonderheiten wie gleichmäßige Veränderung und den Startwert ein. Beachte außerdem, wie sich die einzelnen Punkte im Koordinatensystem verhalten.
}}

Falls du dir noch unsicher bist, findest du hier eine Liste:
{{Lösung versteckt|
*Du hast gesehen, dass die Werte '''gleichmäßig''' wachsen oder fallen.
*Du hast erkannt, dass es oft einen '''Startwert''' gibt.
*Du hast gesehen, dass die Punkte im Koordinatensystem auf einer '''Geraden''' liegen.
*Und du weißt: Lineare Zusammenhänge sind '''eindeutige Zuordnungen''', also '''Funktionen'''.
|Hinweise anzeigen|Hinweise verstecken
}}

{{Fortsetzung|vorher=Wiederholung Zuordnungen|
vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen|übersicht=Startseite|
übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiter=Funktionsgleichung linearer Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Wiederholung (proportionale) Zuordnungen

2026-03-29T10:06:10Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Wiederholung Zuordnungen}}

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
}}

__NOTOC__

=== Was ist überhaupt eine "Zuordnung"? ===
Im Alltag gibt es viele Situationen, in denen zwei Größen zusammenhängen.

Eine Größe nennen wir '''Eingangswert (Wert aus der Definitionsmenge)''', die andere '''Ausgangswert (Wert aus der Wertemenge)'''.
[[Datei:Zuordnungen allgemein.png|mini|700x700px|ohne|Die blauen Punkte sind hier Werte aus der Definitionsmenge und die lila Punkte sind Werte aus der Wertemenge. Die Werte aus der Definitionsmenge werden der Wertemenge zugeordnet.]]
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Definitions- und Wertebereich
| Inhalt = Immer wenn '''jedem Wert aus dem Definitionsbereich mindestens ein Wert aus dem Wertebereich zugeordnet wird''', sprechen wir von einer '''Zuordnung'''. Zusammengehörige Werte nennen wir '''Wertepaare'''.
}}

Das kann so aussehen:
[[Datei:Definitionsmenge Beispiel allgemein.jpg|ohne|mini|700x700px]]
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Wenn ein Zug 120 km pro Stunde fährt, hängt die '''gefahrene Strecke''' davon ab, '''wie viel Zeit''' vergangen ist. Man sagt, der '''Zeit wird die gefahrene Strecke zugeordnet'''. In Symbolen schreibt man:
*Zeit → Strecke.

Weitere Beispiele sind:
# Anzahl 🠒 Preis ("Die Anzahl wir dem Preis zugeordnet.")
# Weg 🠒 Zeit ("Dem Weg wird die Zeit zugeordnet.")
# Klasse 🠒 Schüler:innen ("Der Klasse werden Schüler:innen zugeordnet.")
# Augenfarbe 🠒 Person ("Die Augenfarbe wird Personen zugeordnet.")
[[Datei:Augenfarbe Person.jpg|ohne|mini|700x700px]]

}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Eindeutige Zuordnung
| Inhalt = Wird jedem Wert aus der Definitionsmenge '''genau ein Wert''' aus der Wertemenge '''zugeordnet''', dann sprechen wir von einer '''eindeutigen Zuordnung'''.
Das bedeutet: Zu jedem x gehört '''genau ein''' y. Nie mehr oder weniger!
}}[[Datei:Höchstens ein Wert.jpg|mini|700x700px|ohne|Zu jedem Wert aus der Definitionsmenge wird '''genau''' ein Wert aus der Wertemenge zugeordnet.]]{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele
| Inhalt = * 1 T-Shirt 🠒 12 €
* 2 T-Shirts 🠒 24 €
* 3 T-Shirts 🠒 36 €

Hier hat jeder Wert der Definitionsmenge (1, 2, 3) genau einen Ausgangswert (12, 24, 36).

[[Datei:Zuordnungen Beispiel Tiere.png|ohne|mini|700x700px]]
Tier 🠒 Lebensraum ("Die Tiere werden dem jeweiligen Lebensraum zugeordnet.")

Das sind eindeutige Zuordnungen.
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Gegenbeispiel
| Inhalt = [[Datei:Nicht eindeutig.png|ohne|mini|700x700px]]
Hier wird die 1 gleichzeitig 5 und 7 zugeordnet. Daher ist die Zuordnung nicht eindeutig!
}}

=== Aufgabe: Ist die Zuordnung eindeutig? ===
Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt =

Du bist dir noch unsicher, woran man eindeutige Zuordnungen erkennt? Dann bearbeite folgendes Quiz:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pgik5q5ba26
| height = 500px
}}|leichte Aufgabe anzeigen | leichte Aufgabe verstecken}}

Du fühlst dich schon sicher im Erkennen eindeutiger Zuordnungen? Überprüfe dein Wissen an folgendem Quiz:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = ph02e1r4a26
| height = 500px
}}|schwierige Aufgabe anzeigen | schwierige Aufgabe verstecken}}

}}

=== Was macht eine Zuordnung "proportional"? ===
Eine Zuordnung heißt '''proportional''', wenn Folgendes gilt:

'''Verändert man die eine Größe, verändert sich die andere im gleichen Verhältnis.'''

*Kurz: Je mehr von A, desto gleichmäßig mehr von B
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = * Doppelte Anzahl 🠒 doppelter Preis
* Dreifache Zeit 🠒 dreifache Strecke
* Halbe Anzahl 🠒 halber Preis
[[Datei:Bild Eis.jpg|ohne|mini|700x700px|Möchte Tim kein Eis kaufen, dann muss er auch kein Geld zahlen. 
Möchte Tim ein Eis kaufen, dann muss er 2 € zahlen. 
Möchte Tim zwei Eis kaufen, dann muss er 4 € zahlen.]]
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Proportionale Zuordnung
| Inhalt = In einer proportionalen Zuordnung gilt immer: 
<div style="text-indent:100px;">''y = k ⋅ x''</div>
* x = Eingangswert (z.B. Anzahl an T-Shirts)
* y = Ausgangswert (z.B. Preis)
* k = Proportionalitätsfaktor
** "Wie viel kostet ein Stück"
** "Wie viel km schafft man in einer Stunde" 
Es gibt also immer '''denselben Zuwachs pro Einheit''', alle Wertepaare haben das gleiche Verhältnis. Dieses Verhältnis nennt man den '''Proportionalitätsfaktor k'''.
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele für Proportionalitätsfaktoren:
| Inhalt = * Preis pro Stück
* Strecke pro Zeit
* Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h)
* Verbrauch pro km
* Gewicht pro Stück (z.B. 1 Apfel = 150 g)
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Konkretes Beispiel
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Tshirt.png|mini|700x700px|ohne]]
* Verdoppelt man die Anzahl von 1 auf 2, so verdoppelt sich der Preis auch von 12 € auf 24 €.
* Verdreifacht man die Anzahl von 1 auf 3, so verdreifacht sich der Preis auch von 12 € auf 36 €.
*Aber das Verhältnis der Wertepaare bleibt immer gleich! Das kann man mit folgender Rechnung zeigen:
<div style="text-indent:100px;"><math>\frac{Preis\, y\, in\, €}{Anzahl\, x\, T\, Shirts}=\frac{y}{x}=\frac{12}{1}=\frac{24}{2}=⋯=12=k</math></div>
}}

===Wie erkenne ich proportionale Zuordnungen?===
=====In einer Tabelle (Funktionstabelle)=====
Eine Zuordnung ist proportional, wenn:

#Das Verhältnis <math>\frac{y}{x}</math> immer '''gleich''' bleibt
# Die Wertepaare sich direkt "hochrechnen" lassen (Wenn ''x'' sich verdoppelt, dann verdoppelt sich auch ''y''; Wenn sich ''x'' verdoppelt, dann verdreifacht sich auch ''y''; etc.)

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel - NICHT proportional
| Inhalt = [[Datei:Nicht proportional Beispiel neu.mp4|mini|700x350px|ohne]]
Warum ist diese Zuordnung denn nicht proportional?
Schauen wir uns dieses Beispiel Mal genauer an: 
Wenn man sich die linke Spalte dieser Tabelle ansieht, fällt auf, dass ''x'' immer um 1 steigt. 
Wenn man sich aber die rechte Spalte anguckt, fällt auf, dass ''y'' bei dem ersten Mal um 5 steigt, aber dann beim zweiten Mal um 7 steigt, also ist der Proportionalitätsfaktor ''k'' nicht gleich: 
<math> \frac{5}{1} = 5</math> 
<math> \frac{10}{2} = 5</math> 
ABER! 
<math> \frac{17}{3} \neq 5</math>
}}

=====In einem Koordinatensystem (Funktionsgraph)=====
Eine proportionale Zuordnung hat immer folgende Eigenschaften:

*Es ist eine '''Gerade'''
*die durch den '''Ursprung (0|0)''' geht
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = [[Datei:Bild Geogebra T-Shirt.png|mini|700x700px|ohne]]
Warum geht diese Gerade durch den Ursprung?
* Wenn du 0 T-Shirts kaufst, kostet das 0 €.
* Wenn du 0 Minuten mit dem Fahrrad gefahren bist, hast du 0 km zurückgelegt.
}}

=====In einer Gleichung (Funktionsgleichung)=====
Wenn eine Zuordnung proportional ist, kannst du folgende Formel nutzen:
 <math> y=k \cdot x</math>

(Diese Formel kennst du schon aus dem Kasten "Proportionale Zuordnung") Dann kannst du mit dieser Formel einen Graphen erstellen.
<ggb_applet id="vwsawpms" width="700" height="700" />

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Benutze den Schieberegler und beschreibe jeweils in einem kurzen Satz, wie der Graph bei den Werten <math> k = -2,3; k = 0; k = 1 </math> und <math> k = 5 </math> aussieht! 
Achte dabei vor allem darauf, durch welche Punkte die Gerade, beziehungsweise der Graph, geht.
Beschreibe in welche Richtung der Graph steigt.
}}

=== Typische Beispiele aus dem Alltag===
Proportional

*Eis kostet 1,20 € pro Kugel.
*Beim Joggen läufst du 8 km pro Stunde.
*Eine Maschine produziert 50 Teile pro Stunde.
*Eine Kerze brennt jede Stunde 3 cm ab.
*Ein Fahrstuhl fährt, ohne dass er angehalten wird, 1 Stockwerk pro Sekunde.

Nicht proportional

*Taxi: Grundgebühr + Preis pro km
* Handyvertrag: fester Grundpreis + Kosten pro GB
*Parkhaus: 1 € für die erste Stunde; jede weitere halbe Stunde kostet 50 ct.

Diese Situationen starten nicht bei 0! Das bringt uns nämlich zum nächsten Kapitel: Funktionen als eindeutige Zuordnungen, welche nicht durch 0 gehen müssen.

{{Fortsetzung|weiter=(Lineare) Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|vorher=Startseite|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen

2026-03-29T10:05:48Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Lineare Funktionen}}

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Um mit diesem Lernpfad zu starten, lies dir erst die Informationen auf dieser Seite durch! Und klicke dann unten auf dieser Seite auf den Pfeil nach rechts, um mit der Wiederholung für proportionale Zuordnungen zu starten.

Wenn du Wörter nicht verstehst, darfst du im Internet nach diesen Begriffen suchen.
==Was ist dieser Lernpfad?==
In diesem Lernpfad erkundest du lineare Funktionen. Dafür brauchst du:

*Laptop/IPad/Tablet und
*etwas zu schreiben.

===Was lernst du hier? ===
In diesem Lernpfad beschäftigst du dich zu Beginn zunächst mit '''(eindeutigen) Zuordnungen'''. Darauf aufbauend untersuchst du '''proportionale Zuordnungen''' und erkennst, welche Eigenschaften sie haben. Du lernst, wann eine Zuordnung als '''Funktion''' bezeichnet werden kann und wann nicht.

Anschließend entdeckst du, dass es auch Zusammenhänge gibt, die zwar '''gleichmäßig verlaufen''', aber nicht proportional sind. Du lernst, wie '''proportionale Zuordnungen und lineare Funktionen zusammenhängen''' und worin sie sich unterscheiden.

Du lernst dabei lineare Funktionen zunächst '''anschaulich anhand von Beispielen aus dem Alltag''' kennen. Anschließen lernst du die '''Funktionsgleichung''' kennen und untersuchst, wie sich der Graph abhängig von den Parametern m und b (die die Steigung und den Startwert beschreiben) verändert.

Im weiteren Verlauf lernst du verschiedene '''Darstellungsformen linearer Funktionen''' kennen: als Text, als Wertetabelle, als Graph und als Funktionsgleichung. Du übst, zwischen diesen Darstellungen zu wechseln und Zusammenhänge zu erkennen.

Außerdem wirst du lernen, '''Funktionsgleichungen aufzustellen''', Werte zu berechnen und alltagsnahe Probleme mit linearen Funktionen zu lösen.

====Welche Kompetenzen kannst du dabei erlernen?====
* Du kannst '''Zuordnungen auf Eindeutigkeit überprüfen''', indem du gegebene Darstellungen (Tabellen, Graphen) auf Mehrdeutigkeiten untersuchst.
* Du kannst '''proportionale Zuordnungen identifizieren''', indem du Tabellen, Graphen und Sachsituationen analysierst und begründest.
* Du kannst lineare Zusammenhänge aus deinem Alltag '''in Textform und mithilfe der Zuordnungsschreibweise angeben'''.
* Du kannst '''lineare Zusammenhänge erkennen''', indem du gleichmäßige Veränderungen in Tabellen, Graphen und Texten beschreibst.
* Du kannst '''das Verhalten eines Graphen beschreiben''', indem du die Wirkung von m und b auf Steigung und Lage erläuterst.
* Du kannst '''die Parameter m und b bestimmen''', indem du diese aus Tabellen, Graphen und Sachsituationen abliest oder berechnest.
* Du kannst '''verschiedene Darstellungsformen verknüpfen''', indem du zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung wechselst.
* Du kannst '''Funktionsgleichungen aufstellen''', indem du Sachsituationen in die Form y=mx+b überträgst.
* Du kannst erste '''alltagsbezogene Probleme''' lösen, indem du lineare Funktionen modellierst und Ergebnisse interpretierst.

===Wie kannst du hier arbeiten?===
Dieser Lernpfad besteht aus einzelnen Kapiteln.

Dort findest du:

*Erklärungen in einfacher Sprache
*Beispiele aus dem Alltag
*interaktive Aufgaben
*Minirätsel und Checks, um dein Wissen zu testen

=== Wie nutzt du diesen Lernpfad? ===
In diesem Lernpfad gibt es immer wieder drei verschiedene Arten Abschnitte. Diese haben verschiedenen Bedeutungen und sind mit einem entsprechendem Symbol und einer Farbe markiert. Schauen wir uns die verschiedenen Abschnitte einmal genauer an:
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt = Findest du einen '''rosa''' Abschnitt mit einem '''Pin''' in der Ecke, dann handelt es sich um einen '''Merkkasten'''. Hier sind '''neue Inhalte und wichtige Ergebnisse''' zusammengefasst. Es lohnt sich also, diese mit besonderer Genauigkeit durchzulesen.
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele
| Inhalt = Findest du einen '''gelben''' Abschnitt mit einem '''Megafon''' in der Ecke, dann handelt es sich um ein '''Beispiel'''. Hier kannst du dein neues Wissen anhand eines Beispiels '''genauer verstehen'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Findest du einen '''blauen''' Abschnitt mit einem '''Stift''' in der Ecke, dann handelt es sich um eine '''Aufgabe'''. Diese sind, wenn nicht anders erwähnt, '''verpflichtend'''.

In einigen Fällen kannst du dich dabei für einen '''Schwierigkeitsgrad entscheiden'''. Trau dir dabei ruhig etwas zu und probiere auch anspruchsvollere Aufgaben aus, oft kannst du mehr, als du denkst!
}}
====== ======
[[Datei:Screenshot der Navigationsleiste.png|zentriert|mini|1036x1036px]]
Du findest am Ende jeder Seite des Lernpfades so eine Navigationsleiste. Du kannst links auf den Pfeil drücken, um auf die vorige Seite des Lernpfades zu kommen, in der Mitte kommst du wieder auf diese Seite, auf der du gerade bist, und mit dem rechten Pfeil kannst du den Lernpfad weitermachen.
====== ======
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Solche Inhaltsverzeichnisse kannst du auch mehrmals in diesem Lernpfad finden. Mit diesem kannst du auf schon besuchte Seiten zurück oder dir andere spannende Informationen zu dem Thema suchen.

{{Fortsetzung|
weiter=Wiederholung Zuordnungen|
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2026-03-29T10:05:39Z

LaVi: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Screenshot Navigation2

|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:LaVi|LaVi]]
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen

2026-03-29T10:04:56Z

LaVi:

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===Was lernst du hier? ===
In diesem Lernpfad beschäftigst du dich zu Beginn zunächst mit '''(eindeutigen) Zuordnungen'''. Darauf aufbauend untersuchst du '''proportionale Zuordnungen''' und erkennst, welche Eigenschaften sie haben. Du lernst, wann eine Zuordnung als '''Funktion''' bezeichnet werden kann und wann nicht.

Anschließend entdeckst du, dass es auch Zusammenhänge gibt, die zwar '''gleichmäßig verlaufen''', aber nicht proportional sind. Du lernst, wie '''proportionale Zuordnungen und lineare Funktionen zusammenhängen''' und worin sie sich unterscheiden.

Du lernst dabei lineare Funktionen zunächst '''anschaulich anhand von Beispielen aus dem Alltag''' kennen. Anschließen lernst du die '''Funktionsgleichung''' kennen und untersuchst, wie sich der Graph abhängig von den Parametern m und b (die die Steigung und den Startwert beschreiben) verändert.

Im weiteren Verlauf lernst du verschiedene '''Darstellungsformen linearer Funktionen''' kennen: als Text, als Wertetabelle, als Graph und als Funktionsgleichung. Du übst, zwischen diesen Darstellungen zu wechseln und Zusammenhänge zu erkennen.

Außerdem wirst du lernen, '''Funktionsgleichungen aufzustellen''', Werte zu berechnen und alltagsnahe Probleme mit linearen Funktionen zu lösen.

====Welche Kompetenzen kannst du dabei erlernen?====
* Du kannst '''Zuordnungen auf Eindeutigkeit überprüfen''', indem du gegebene Darstellungen (Tabellen, Graphen) auf Mehrdeutigkeiten untersuchst.
* Du kannst '''proportionale Zuordnungen identifizieren''', indem du Tabellen, Graphen und Sachsituationen analysierst und begründest.
* Du kannst lineare Zusammenhänge aus deinem Alltag '''in Textform und mithilfe der Zuordnungsschreibweise angeben'''.
* Du kannst '''lineare Zusammenhänge erkennen''', indem du gleichmäßige Veränderungen in Tabellen, Graphen und Texten beschreibst.
* Du kannst '''das Verhalten eines Graphen beschreiben''', indem du die Wirkung von m und b auf Steigung und Lage erläuterst.
* Du kannst '''die Parameter m und b bestimmen''', indem du diese aus Tabellen, Graphen und Sachsituationen abliest oder berechnest.
* Du kannst '''verschiedene Darstellungsformen verknüpfen''', indem du zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung wechselst.
* Du kannst '''Funktionsgleichungen aufstellen''', indem du Sachsituationen in die Form y=mx+b überträgst.
* Du kannst erste '''alltagsbezogene Probleme''' lösen, indem du lineare Funktionen modellierst und Ergebnisse interpretierst.

===Wie kannst du hier arbeiten?===
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| Titel = Merkkasten
| Inhalt = Findest du einen '''rosa''' Abschnitt mit einem '''Pin''' in der Ecke, dann handelt es sich um einen '''Merkkasten'''. Hier sind '''neue Inhalte und wichtige Ergebnisse''' zusammengefasst. Es lohnt sich also, diese mit besonderer Genauigkeit durchzulesen.
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele
| Inhalt = Findest du einen '''gelben''' Abschnitt mit einem '''Megafon''' in der Ecke, dann handelt es sich um ein '''Beispiel'''. Hier kannst du dein neues Wissen anhand eines Beispiels '''genauer verstehen'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Findest du einen '''blauen''' Abschnitt mit einem '''Stift''' in der Ecke, dann handelt es sich um eine '''Aufgabe'''. Diese sind, wenn nicht anders erwähnt, '''verpflichtend'''.

In einigen Fällen kannst du dich dabei für einen '''Schwierigkeitsgrad entscheiden'''. Trau dir dabei ruhig etwas zu und probiere auch anspruchsvollere Aufgaben aus, oft kannst du mehr, als du denkst!
}}
====== ======
[[Datei:Screenshot der Navigationsleiste.png|zentriert|mini|1036x1036px]]
Du findest am Ende jeder Seite des Lernpfades so eine Navigationsleiste. Du kannst links auf den Pfeil drücken, um auf die vorige Seite des Lernpfades zu kommen, in der Mitte kommst du wieder auf diese Seite, auf der du gerade bist, und mit dem rechten Pfeil kannst du den Lernpfad weitermachen.
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weiter=Wiederholung Zuordnungen|
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Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen

2026-03-29T10:04:28Z

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Anschließend entdeckst du, dass es auch Zusammenhänge gibt, die zwar '''gleichmäßig verlaufen''', aber nicht proportional sind. Du lernst, wie '''proportionale Zuordnungen und lineare Funktionen zusammenhängen''' und worin sie sich unterscheiden.

Du lernst dabei lineare Funktionen zunächst '''anschaulich anhand von Beispielen aus dem Alltag''' kennen. Anschließen lernst du die '''Funktionsgleichung''' kennen und untersuchst, wie sich der Graph abhängig von den Parametern m und b (die die Steigung und den Startwert beschreiben) verändert.

Im weiteren Verlauf lernst du verschiedene '''Darstellungsformen linearer Funktionen''' kennen: als Text, als Wertetabelle, als Graph und als Funktionsgleichung. Du übst, zwischen diesen Darstellungen zu wechseln und Zusammenhänge zu erkennen.

Außerdem wirst du lernen, '''Funktionsgleichungen aufzustellen''', Werte zu berechnen und alltagsnahe Probleme mit linearen Funktionen zu lösen.

====Welche Kompetenzen kannst du dabei erlernen?====
* Du kannst '''Zuordnungen auf Eindeutigkeit überprüfen''', indem du gegebene Darstellungen (Tabellen, Graphen) auf Mehrdeutigkeiten untersuchst.
* Du kannst '''proportionale Zuordnungen identifizieren''', indem du Tabellen, Graphen und Sachsituationen analysierst und begründest.
* Du kannst lineare Zusammenhänge aus deinem Alltag '''in Textform und mithilfe der Zuordnungsschreibweise angeben'''.
* Du kannst '''lineare Zusammenhänge erkennen''', indem du gleichmäßige Veränderungen in Tabellen, Graphen und Texten beschreibst.
* Du kannst '''das Verhalten eines Graphen beschreiben''', indem du die Wirkung von m und b auf Steigung und Lage erläuterst.
* Du kannst '''die Parameter m und b bestimmen''', indem du diese aus Tabellen, Graphen und Sachsituationen abliest oder berechnest.
* Du kannst '''verschiedene Darstellungsformen verknüpfen''', indem du zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung wechselst.
* Du kannst '''Funktionsgleichungen aufstellen''', indem du Sachsituationen in die Form y=mx+b überträgst.
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}}
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| Titel = Aufgabe
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Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen

2026-03-27T10:18:26Z

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===Was lernst du hier? ===
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Anschließend entdeckst du, dass es auch Zusammenhänge gibt, die zwar '''gleichmäßig verlaufen''', aber nicht proportional sind. Du lernst, wie '''proportionale Zuordnungen und lineare Funktionen zusammenhängen''' und worin sie sich unterscheiden.

Du lernst dabei lineare Funktionen zunächst '''anschaulich anhand von Beispielen aus dem Alltag''' kennen. Anschließen lernst du die '''Funktionsgleichung''' kennen und untersuchst, wie sich der Graph abhängig von den Parametern m und b (die die Steigung und den Startwert beschreiben) verändert.

Im weiteren Verlauf lernst du verschiedene '''Darstellungsformen linearer Funktionen''' kennen: als Text, als Wertetabelle, als Graph und als Funktionsgleichung. Du übst, zwischen diesen Darstellungen zu wechseln und Zusammenhänge zu erkennen.

Außerdem wirst du lernen, '''Funktionsgleichungen aufzustellen''', Werte zu berechnen und alltagsnahe Probleme mit linearen Funktionen zu lösen.

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* Du kannst '''Zuordnungen auf Eindeutigkeit überprüfen''', indem du gegebene Darstellungen (Tabellen, Graphen) auf Mehrdeutigkeiten untersuchst.
* Du kannst '''proportionale Zuordnungen identifizieren''', indem du Tabellen, Graphen und Sachsituationen analysierst und begründest.
* Du kannst lineare Zusammenhänge aus deinem Alltag '''in Textform und mithilfe der Zuordnungsschreibweise angeben'''.
* Du kannst '''lineare Zusammenhänge erkennen''', indem du gleichmäßige Veränderungen in Tabellen, Graphen und Texten beschreibst.
* Du kannst '''das Verhalten eines Graphen beschreiben''', indem du die Wirkung von m und b auf Steigung und Lage erläuterst.
* Du kannst '''die Parameter m und b bestimmen''', indem du diese aus Tabellen, Graphen und Sachsituationen abliest oder berechnest.
* Du kannst '''verschiedene Darstellungsformen verknüpfen''', indem du zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung wechselst.
* Du kannst '''Funktionsgleichungen aufstellen''', indem du Sachsituationen in die Form y=mx+b überträgst.
* Du kannst erste '''alltagsbezogene Probleme''' lösen, indem du lineare Funktionen modellierst und Ergebnisse interpretierst.

===Wie kannst du hier arbeiten?===
Dieser Lernpfad besteht aus einzelnen Kapiteln.

Dort findest du:

*Erklärungen in einfacher Sprache
*Beispiele aus dem Alltag
*interaktive Aufgaben
*Minirätsel und Checks, um dein Wissen zu testen

=== Wie nutzt du diesen Lernpfad? ===
In diesem Lernpfad gibt es immer wieder drei verschiedene Arten Abschnitte. Diese haben verschiedenen Bedeutungen und sind mit einem entsprechendem Symbol und einer Farbe markiert. Schauen wir uns die verschiedenen Abschnitte einmal genauer an:
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt = Findest du einen '''rosa''' Abschnitt mit einem '''Pin''' in der Ecke, dann handelt es sich um einen '''Merkkasten'''. Hier sind '''neue Inhalte und wichtige Ergebnisse''' zusammengefasst. Es lohnt sich also, diese mit besonderer Genauigkeit durchzulesen.
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele
| Inhalt = Findest du einen '''gelben''' Abschnitt mit einem '''Megafon''' in der Ecke, dann handelt es sich um ein '''Beispiel'''. Hier kannst du dein neues Wissen anhand eines Beispiels '''genauer verstehen'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Findest du einen '''blauen''' Abschnitt mit einem '''Stift''' in der Ecke, dann handelt es sich um eine '''Aufgabe'''. Diese sind, wenn nicht anders erwähnt, '''verpflichtend'''.

In einigen Fällen kannst du dich dabei für einen '''Schwierigkeitsgrad entscheiden'''. Trau dir dabei ruhig etwas zu und probiere auch anspruchsvollere Aufgaben aus, oft kannst du mehr, als du denkst!
}}
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[[Datei:Screenshot der Navigationsleiste.png|zentriert|mini|1036x1036px]]
Du findest am Ende jeder Seite des Lernpfades so eine Navigationsleiste. Du kannst links auf den Pfeil drücken, um auf die vorige Seite des Lernpfades zu kommen, in der Mitte kommst du wieder auf diese Seite, auf der du gerade bist, und mit dem rechten Pfeil kannst du den Lernpfad weitermachen.
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Solche Inhaltsverzeichnisse kannst du auch mehrmals in diesem Lernpfad finden. Mit diesem kannst du auf schon besuchte Seiten zurück oder dir andere spannende Informationen zu dem Thema suchen.

{{Fortsetzung|
weiter=Wiederholung Zuordnungen|
weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen}}__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen

2026-03-27T10:13:35Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Lineare Funktionen}}

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}

Um mit diesem Lernpfad zu starten, lies dir erst die Informationen auf dieser Seite durch! Und klicke dann unten auf dieser Seite auf den Pfeil nach rechts, um mit der Wiederholung für proportionale Zuordnungen zu starten.

Wenn du Wörter nicht verstehst, darfst du im Internet nach diesen Begriffen suchen.
==Was ist dieser Lernpfad?==
In diesem Lernpfad erkundest du lineare Funktionen. Dafür brauchst du:

*Laptop/IPad/Tablet und
*etwas zu schreiben.

===Was lernst du hier? ===
In diesem Lernpfad beschäftigst du dich zu Beginn zunächst mit '''(eindeutigen) Zuordnungen''' und lernst, wann eine Zuordnung als Funktion bezeichnet werden kann. Darauf aufbauend untersuchst du proportionale Zuordnungen und erkennst, welche Eigenschaften sie haben.

Anschließend entdeckst du, dass es auch Zusammenhänge gibt, die zwar '''gleichmäßig verlaufen''', aber nicht proportional sind. Du lernst, wie proportionale Zuordnungen und lineare Funktionen zusammenhängen und worin sie sich unterscheiden.

Du lernst dabei lineare Funktionen zunächst '''anschaulich anhand von Beispielen aus dem Alltag''' kennen. Anschließen untersuchst du, wie sich der Graph verändert, und arbeitest mit den Parametern m und b, die die Steigung und den Startwert beschreiben.

Im weiteren Verlauf lernst du verschiedene '''Darstellungsformen linearer Funktionen''' kennen: als Text, als Wertetabelle, als Graph und als Funktionsgleichung. Du übst, zwischen diesen Darstellungen zu wechseln und Zusammenhänge zu erkennen.

Außerdem wirst du lernen, '''Funktionsgleichungen aufzustellen''', Werte zu berechnen und alltagsnahe Probleme mit linearen Funktionen zu lösen.

====Welche Kompetenzen kannst du dabei erlernen?====
* Du kannst '''Zuordnungen auf Eindeutigkeit überprüfen''', indem du gegebene Darstellungen (Tabellen, Graphen) auf Mehrdeutigkeiten untersuchst.
* Du kannst '''proportionale Zuordnungen identifizieren''', indem du Tabellen, Graphen und Sachsituationen analysierst und begründest.
* Du kannst lineare Zusammenhänge aus deinem Alltag '''in Textform und mithilfe der Zuordnungsschreibweise angeben'''.
* Du kannst '''lineare Zusammenhänge erkennen''', indem du gleichmäßige Veränderungen in Tabellen, Graphen und Texten beschreibst.
* Du kannst '''das Verhalten eines Graphen beschreiben''', indem du die Wirkung von m und b auf Steigung und Lage erläuterst.
* Du kannst '''die Parameter m und b bestimmen''', indem du diese aus Tabellen, Graphen und Sachsituationen abliest oder berechnest.
* Du kannst '''verschiedene Darstellungsformen verknüpfen''', indem du zwischen Text, Tabelle, Graph und Gleichung wechselst.
* Du kannst '''Funktionsgleichungen aufstellen''', indem du Sachsituationen in die Form y=mx+b überträgst.
* Du kannst erste '''alltagsbezogene Probleme''' lösen, indem du lineare Funktionen modellierst und Ergebnisse interpretierst.

===Wie kannst du hier arbeiten?===
Dieser Lernpfad besteht aus einzelnen Kapiteln.

Dort findest du:

*Erklärungen in einfacher Sprache
*Beispiele aus dem Alltag
*interaktive Aufgaben
*Minirätsel und Checks, um dein Wissen zu testen

=== Wie nutzt du diesen Lernpfad? ===
In diesem Lernpfad gibt es immer wieder drei verschiedene Arten Abschnitte. Diese haben verschiedenen Bedeutungen und sind mit einem entsprechendem Symbol und einer Farbe markiert. Schauen wir uns die verschiedenen Abschnitte einmal genauer an:
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt = Findest du einen '''rosa''' Abschnitt mit einem '''Pin''' in der Ecke, dann handelt es sich um einen '''Merkkasten'''. Hier sind '''neue Inhalte und wichtige Ergebnisse''' zusammengefasst. Es lohnt sich also, diese mit besonderer Genauigkeit durchzulesen.
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele
| Inhalt = Findest du einen '''gelben''' Abschnitt mit einem '''Megafon''' in der Ecke, dann handelt es sich um ein '''Beispiel'''. Hier kannst du dein neues Wissen anhand eines Beispiels '''genauer verstehen'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Findest du einen '''blauen''' Abschnitt mit einem '''Stift''' in der Ecke, dann handelt es sich um eine '''Aufgabe'''. Diese sind, wenn nicht anders erwähnt, '''verpflichtend'''.

In einigen Fällen kannst du dich dabei für einen '''Schwierigkeitsgrad entscheiden'''. Trau dir dabei ruhig etwas zu und probiere auch anspruchsvollere Aufgaben aus, oft kannst du mehr, als du denkst!
}}
====== ======
[[Datei:Screenshot der Navigationsleiste.png|zentriert|mini|1036x1036px]]
Du findest am Ende jeder Seite des Lernpfades so eine Navigationsleiste. Du kannst links auf den Pfeil drücken, um auf die vorige Seite des Lernpfades zu kommen, in der Mitte kommst du wieder auf diese Seite, auf der du gerade bist, und mit dem rechten Pfeil kannst du den Lernpfad weitermachen.
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[[Datei:Screenshot Inhaltsverzeichnis.png|zentriert|mini|439x439px]]
Solche Inhaltsverzeichnisse kannst du auch mehrmals in diesem Lernpfad finden. Mit diesem kannst du auf schon besuchte Seiten zurück oder dir andere spannende Informationen zu dem Thema suchen.

{{Fortsetzung|
weiter=Wiederholung Zuordnungen|
weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen}}__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen

2026-03-27T09:34:49Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-27T09:32:16Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:
Funktionsgleichung linearer Funktionen
}}

__NOTOC__
{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
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#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}

Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe ausblenden
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 3
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 4
| Inhalt = Bestimme die Steigung mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app = phaj2711t26
| height = 500px
}}
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Knobler
| Inhalt = Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.
{{Lösung versteckt|
Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
|Übung für Knobler aufklappen | Übung für Knobler verstecken
}}
}}

=== Der Parameter b ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
* Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
* Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
* b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
* Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Der y-Achsenabschnitt b
| Inhalt =
Der Parameter b beschreibt, '''wo der Graph beginnt''', also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist.
Er gibt damit an, '''an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet''' und wie der Graph im Koordinatensystem '''nach oben oder unten verschoben''' ist.
Man nennt ihn deshalb auch den '''y-Achsenabschnitt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

* Ist b '''positiv''', dann liegt der Graph bei x=0 '''oberhalb''' der x-Achse und ist nach '''oben verschoben'''.
* Ist b '''negativ''', dann liegt der Graph bei x=0 '''unterhalb''' der x-Achse und ist nach '''unten verschoben'''.
* Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den '''Ursprung (0I0)'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Den Parameter b kannst du dir wie den '''Startpunkt''' einer Bewegung vorstellen.
Er beschreibt, '''wo etwas beginnt''', bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:
* Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
* Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
* Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der '''Wert''', den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also '''bei x=0''').
}}

=== Aufgabe ===
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = p3bdgrqf526
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe verstecken
}}
}}

=== Den y-Achsenabschnitt b bestimmen ===
Du kannst b auf '''zwei Arten''' bestimmen, je nachdem, was du angegeben hast:

====='''1. Aus einer Wertetabelle ablesen'''=====

Suche in der Tabelle den Wert, bei dem '''x=0''' ist.
Der dazugehörige y-Wert ist direkt '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und 2 € pro Kilometer. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
Wir suchen x=0, der dazugehörige y-Wert ist 4. Hier ist also b=4.
}}

====== '''2. Im Graphen ablesen''' ======

Schau dir den Graphen im Koordinatensystem an:

# Suche den Punkt, an dem der Graph die '''y-Achse schneidet'''.
# Dieser Punkt hat immer die Form '''(0 | b)'''.
# Der y-Wert dieses Punktes ist '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Für das Taxi-Beispiel sieht der Graph folgendermaßen aus:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini]]
Der Schnittpunkt zwischen Graph und y-Achse liegt bei (0 | 4), also ist auch hier b=4.
}}
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt = b ist der y-Wert bei '''x=0'''.

Du findest b in der '''Wertetabelle''' oder am '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' im Graphen.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Finde den richtigen y-Achsenabschnitt b zu den Graphen!
{{LearningApp
| app = p6hjc5hv326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pbmu6m5xk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pvbjn084526
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}
}}
===Wie können lineare Funktionen dargestellt werden?===
Lineare Funktionen können auf '''vier verschiedene Arten''' dargestellt werden. Dabei beschreiben alle '''denselben Zusammenhang''', nur auf unterschiedliche Weise.

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:{{Lösung versteckt|Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach '''in Worten beschrieben''' werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:
* Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
* Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).}}

Solche Texte helfen dir, den '''Zusammenhang zu verstehen''', bevor du ihn mathematisch darstellst.
Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

|Text |Text}}{{Lösung versteckt|
Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch '''mit einer Gleichung beschreiben'''.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus:
'''<math display="block">y = m \cdot x+b</math>'''
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
<math display="block">y = 2 \cdot x+4</math>
Das bedeutet:
* x steht für die gefahrenen Kilometer
* y steht für den Preis
Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt
Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)
}}
Mit einer solchen Gleichung kannst du '''genau berechnen''', wie sich der Zusammenhang verhält.
Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.
|Funktionsgleichung|Funktionsgleichung}}{{Lösung versteckt|
Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang '''in einer Tabelle darzustellen'''.
Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
In der Tabelle siehst du:
* Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
* Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)}}
Die Tabelle hilft dir besonders gut, den '''Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen''' und '''Muster zu erkennen'''.
|Wertetabelle|Wertetabelle}}{{Lösung versteckt|
Schließlich kann man eine lineare Funktion auch '''als Graph im Koordinatensystem darstellen'''.
Dazu:
1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein
2. Verbindest die Punkte miteinander
Das Ergebnis ist '''eine Gerade'''.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini|500px]]}}
Diese Gerade zeigt:
* Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
* Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)
Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den '''gesamten Zusammenhang auf einen Blick''' sehen kannst.

|Graph|Graph}}{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Zusammenhang der Darstellungen
| Inhalt = Eine lineare Funktion kann als '''Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph''' dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und '''beschreiben denselben Zusammenhang''' auf unterschiedliche Weise:
* Der Text erklärt die Situation
* Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
* Die Tabelle zeigt einzelne Werte
* Der Graph macht den Verlauf sichtbar

'''Wichtig:''' Du kannst dabei jederzeit '''zwischen den Darstellungen wechseln!'''
}}
===Gemischte Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
Du hast jetzt kennengelernt, was die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist und welche Bedeutung die Parameter m und b haben. Außerdem hat du gesehen, das lineare Funktionen auf verschiedene Arten dargestellt werden können.

Jetzt geht es darum, dieses Wissen '''anzuwenden und zu vertiefen'''.
In den folgenden Aufgaben arbeitest du deshalb mit verschiedenen Darstellungen von linearen Funktionen und trainierst, lineare Funktionen sicher zu bestimmen.
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt =
Bestimme für jede der folgenden Situationen die Steigung m und den Startwert b. Schließe daraus auf die dazugehörige Funktionsgleichung und fülle die Tabelle passend aus.
{{LearningApp
| app = p8895kiij26
| height = 500px
}}
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt =
Ordne den Graphen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pzx5hhv7k26
| height = 500px
}}
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt =
Ordne den Graphen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pwumca47c26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 3
| Inhalt =
Ordne den Wertetabellen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pd6q1rfrj26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 4
| Inhalt =
Ordne alle zusammengehörigen Darstellungen zu.
{{LearningApp
| app = p3inmrctk26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 5 - Anwendungsaufgabe
| Inhalt =
Du bist mit deiner Klasse auf Klassenfahrt in Berlin. Gemeinsam besucht ihr verschiedene Sehenswürdigkeiten in der Stadt. Nach einem langen Tag entscheidet sich deine Gruppe ein Taxi zu nehmen, um schneller vom Brandenburger Tor zur nächsten Sehenswürdigkeit zu kommen.
Leider habt ihr insgesamt nur noch 9 € dabei. Ihr fragt euch, für welches Ziel euer Geld noch ausreicht.
Dazu möchtest du zunächst herausfinden, wie weit die Strecken sind.

1. '''Recherchiere''' dazu im Internet '''die Entfernung''' zwischen dem Brandenburger Tor und dem Berliner Dom, sowie zwischen dem Brandenburger Tor und dem Alexanderplatz. Nutze dazu zum Beispiel Google Maps. Notiere dir die Entfernungen in Kilometern.
{{Lösung versteckt|
a) Brandenburger Tor - Berliner Dom: 1,7 km

b) Brandenburger Tor - Alexanderplatz: 2,5 km
|Lösung anzeigen|Lösung ausblenden
}}
2. Informiere dich mithilfe unten bereitgestellten Tabelle über die Taxitarife. Entnimm daraus den Grundpreis und den Preis pro gefahrenem Kilometer und '''stelle eine passende Funktionsgleichung''' zur Berechnung der Taxikosten '''auf'''.
{{Lösung versteckt|
Grundpreis: 3,90 €

Preis pro Kilometer: 2,30 €

Der Grundpreis entspricht dem Startwert, also <math>b=3,90</math>

Der Preis pro Kilometer entspricht der Steigung, also <math>m=2,30</math>

Somit ergibt sich mit <math>y=mx+b</math> folgende Funktionsgleichung: <math>y=2,30x+3,90</math>
|Lösung anzeigen|Lösung ausblenden
}}
3. '''Berechne''' nun '''die Kosten''' für beide Fahrten mithilfe deiner Funktionsgleichung und gib deine Ergebnisse an.
{{Lösung versteckt|
Mithilfe der aufgestellten Funktionsgleichung <math>y=2,30x+3,90</math> können wir die Kosten für beide Fahrten berechnen. Dazu setzen wir die die beiden Entfernungen für x ein und berechnen die Gleichung.

Damit ergibt sich:
<blockquote>a) <math>y=2,30*1,7+3,90=7,81</math></blockquote>

<blockquote>b) <math>y=2,30*2,5+3,90=9,65</math></blockquote>

|Lösung anzeigen|Lösung ausblenden
}}
4. '''Interpretiere''' aus deinem Ergebnis, für welches Ziel ihr euch entscheiden solltet.
{{Lösung versteckt|
Da ihr zusammen nur 9 € besitzt, reicht euer Geld nur für die kürzere Fahrt.

Ihr solltet euch deshalb für die Fahrt vom Brandenburger Tor zum Berliner Dom entscheiden.
|Lösung anzeigen|Lösung ausblenden
}}
[[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher= (Lineare) Funktionen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T15:48:50Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:
Funktionsgleichung linearer Funktionen
}}

__NOTOC__
{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}

Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe ausblenden
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 3
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 4
| Inhalt = Bestimme die Steigung mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app = phaj2711t26
| height = 500px
}}
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Knobler
| Inhalt = Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.
{{Lösung versteckt|
Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
|Übung für Knobler aufklappen | Übung für Knobler verstecken
}}
}}

=== Der Parameter b ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
* Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
* Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
* b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
* Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Der y-Achsenabschnitt b
| Inhalt =
Der Parameter b beschreibt, '''wo der Graph beginnt''', also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist.
Er gibt damit an, '''an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet''' und wie der Graph im Koordinatensystem '''nach oben oder unten verschoben''' ist.
Man nennt ihn deshalb auch den '''y-Achsenabschnitt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

* Ist b '''positiv''', dann liegt der Graph bei x=0 '''oberhalb''' der x-Achse und ist nach '''oben verschoben'''.
* Ist b '''negativ''', dann liegt der Graph bei x=0 '''unterhalb''' der x-Achse und ist nach '''unten verschoben'''.
* Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den '''Ursprung (0I0)'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Den Parameter b kannst du dir wie den '''Startpunkt''' einer Bewegung vorstellen.
Er beschreibt, '''wo etwas beginnt''', bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:
* Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
* Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
* Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der '''Wert''', den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also '''bei x=0''').
}}

=== Aufgabe ===
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = p3bdgrqf526
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe verstecken
}}
}}

=== Den y-Achsenabschnitt b bestimmen ===
Du kannst b auf '''zwei Arten''' bestimmen, je nachdem, was du angegeben hast:

====='''1. Aus einer Wertetabelle ablesen'''=====

Suche in der Tabelle den Wert, bei dem '''x=0''' ist.
Der dazugehörige y-Wert ist direkt '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und 2 € pro Kilometer. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
Wir suchen x=0, der dazugehörige y-Wert ist 4. Hier ist also b=4.
}}

====== '''2. Im Graphen ablesen''' ======

Schau dir den Graphen im Koordinatensystem an:

# Suche den Punkt, an dem der Graph die '''y-Achse schneidet'''.
# Dieser Punkt hat immer die Form '''(0 | b)'''.
# Der y-Wert dieses Punktes ist '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Für das Taxi-Beispiel sieht der Graph folgendermaßen aus:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini]]
Der Schnittpunkt zwischen Graph und y-Achse liegt bei (0 | 4), also ist auch hier b=4.
}}
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt = b ist der y-Wert bei '''x=0'''.

Du findest b in der '''Wertetabelle''' oder am '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' im Graphen.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Finde den richtigen y-Achsenabschnitt b zu den Graphen!
{{LearningApp
| app = p6hjc5hv326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pbmu6m5xk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pvbjn084526
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}
}}
===Wie können lineare Funktionen dargestellt werden?===
Lineare Funktionen können auf '''vier verschiedene Arten''' dargestellt werden. Dabei beschreiben alle '''denselben Zusammenhang''', nur auf unterschiedliche Weise.

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:{{Lösung versteckt|Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach '''in Worten beschrieben''' werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:
* Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
* Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).}}

Solche Texte helfen dir, den '''Zusammenhang zu verstehen''', bevor du ihn mathematisch darstellst.
Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

|Text |Text}}{{Lösung versteckt|
Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch '''mit einer Gleichung beschreiben'''.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus:
'''<math display="block">y = m \cdot x+b</math>'''
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
<math display="block">y = 2 \cdot x+4</math>
Das bedeutet:
* x steht für die gefahrenen Kilometer
* y steht für den Preis
Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt
Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)
}}
Mit einer solchen Gleichung kannst du '''genau berechnen''', wie sich der Zusammenhang verhält.
Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.
|Funktionsgleichung|Funktionsgleichung}}{{Lösung versteckt|
Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang '''in einer Tabelle darzustellen'''.
Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
In der Tabelle siehst du:
* Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
* Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)}}
Die Tabelle hilft dir besonders gut, den '''Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen''' und '''Muster zu erkennen'''.
|Wertetabelle|Wertetabelle}}{{Lösung versteckt|
Schließlich kann man eine lineare Funktion auch '''als Graph im Koordinatensystem darstellen'''.
Dazu:
1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein
2. Verbindest die Punkte miteinander
Das Ergebnis ist '''eine Gerade'''.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini|500px]]}}
Diese Gerade zeigt:
* Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
* Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)
Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den '''gesamten Zusammenhang auf einen Blick''' sehen kannst.

|Graph|Graph}}{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Zusammenhang der Darstellungen
| Inhalt = Eine lineare Funktion kann als '''Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph''' dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und '''beschreiben denselben Zusammenhang''' auf unterschiedliche Weise:
* Der Text erklärt die Situation
* Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
* Die Tabelle zeigt einzelne Werte
* Der Graph macht den Verlauf sichtbar

'''Wichtig:''' Du kannst dabei jederzeit '''zwischen den Darstellungen wechseln!'''
}}
===Gemischte Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
Du hast jetzt kennengelernt, was die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist und welche Bedeutung die Parameter m und b haben. Außerdem hat du gesehen, das lineare Funktionen auf verschiedene Arten dargestellt werden können.

Jetzt geht es darum, dieses Wissen '''anzuwenden und zu vertiefen'''.
In den folgenden Aufgaben arbeitest du deshalb mit verschiedenen Darstellungen von linearen Funktionen und trainierst, lineare Funktionen sicher zu bestimmen.
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt =
Bestimme für jede der folgenden Situationen die Steigung m und den Startwert b. Schließe daraus auf die dazugehörige Funktionsgleichung und fülle die Tabelle passend aus.
{{LearningApp
| app = p8895kiij26
| height = 500px
}}
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt =
Ordne den Graphen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pzx5hhv7k26
| height = 500px
}}
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt =
Ordne den Graphen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pwumca47c26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 3
| Inhalt =
Ordne den Wertetabellen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pd6q1rfrj26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 4
| Inhalt =
Ordne alle zusammengehörigen Darstellungen zu.
{{LearningApp
| app = p3inmrctk26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 5 - Anwendungsaufgabe
| Inhalt =
Du bist mit deiner Klasse auf Klassenfahrt in Berlin. Gemeinsam besucht ihr verschiedene Sehenswürdigkeiten in der Stadt. Nach einem langen Tag entscheidet ihr euch, ein Taxi zu nehmen, um schneller vom Brandenburger Tor zu euer nächsten Sehenswürdigkeit zu kommen.
Leider habt ihr insgesamt nur noch 9 € dabei. Ihr fragt euch, für welches Ziel euer Geld noch ausreicht.
Dazu möchtest du zunächst herausfinden, wie weit die Strecken sind.

# '''Recherchiere''' dazu im Internet '''die Entfernung''' zwischen dem Brandenburger Tor und dem Berliner Dom sowie zwischen dem Brandenburger Tor und dem Alexanderplatz. Nutze dazu zum Beispiel Google Maps. Notiere dir die Entfernungen in Kilometern.
# Informiere dich mithilfe unten bereitgestellten Tabelle über die Taxitarife. Entnimm daraus den Grundpreis und den Preis pro gefahrenem Kilometer und '''stelle eine passende Funktionsgleichung''' zur Berechnung der Taxikosten '''auf'''.
# '''Berechne''' nun '''die Kosten''' für beide Fahrten mit deiner Funktionsgleichung und gib deine Ergebnisse an.
# '''Interpretiere''' aus deinem Ergebnis, für welches Ziel ihr euch entscheiden solltet.
[[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher= (Lineare) Funktionen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T15:46:42Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:
Funktionsgleichung linearer Funktionen
}}

__NOTOC__
{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}

Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe ausblenden
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 3
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 4
| Inhalt = Bestimme die Steigung mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app = phaj2711t26
| height = 500px
}}
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Knobler
| Inhalt = Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.
{{Lösung versteckt|
Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
|Übung für Knobler aufklappen | Übung für Knobler verstecken
}}
}}

=== Der Parameter b ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
* Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
* Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
* b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
* Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Der y-Achsenabschnitt b
| Inhalt =
Der Parameter b beschreibt, '''wo der Graph beginnt''', also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist.
Er gibt damit an, '''an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet''' und wie der Graph im Koordinatensystem '''nach oben oder unten verschoben''' ist.
Man nennt ihn deshalb auch den '''y-Achsenabschnitt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

* Ist b '''positiv''', dann liegt der Graph bei x=0 '''oberhalb''' der x-Achse und ist nach '''oben verschoben'''.
* Ist b '''negativ''', dann liegt der Graph bei x=0 '''unterhalb''' der x-Achse und ist nach '''unten verschoben'''.
* Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den '''Ursprung (0I0)'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Den Parameter b kannst du dir wie den '''Startpunkt''' einer Bewegung vorstellen.
Er beschreibt, '''wo etwas beginnt''', bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:
* Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
* Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
* Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der '''Wert''', den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also '''bei x=0''').
}}

=== Aufgabe ===
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = p3bdgrqf526
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe verstecken
}}
}}

=== Den y-Achsenabschnitt b bestimmen ===
Du kannst b auf '''zwei Arten''' bestimmen, je nachdem, was du angegeben hast:

====='''1. Aus einer Wertetabelle ablesen'''=====

Suche in der Tabelle den Wert, bei dem '''x=0''' ist.
Der dazugehörige y-Wert ist direkt '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und 2 € pro Kilometer. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
Wir suchen x=0, der dazugehörige y-Wert ist 4. Hier ist also b=4.
}}

====== '''2. Im Graphen ablesen''' ======

Schau dir den Graphen im Koordinatensystem an:

# Suche den Punkt, an dem der Graph die '''y-Achse schneidet'''.
# Dieser Punkt hat immer die Form '''(0 | b)'''.
# Der y-Wert dieses Punktes ist '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Für das Taxi-Beispiel sieht der Graph folgendermaßen aus:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini]]
Der Schnittpunkt zwischen Graph und y-Achse liegt bei (0 | 4), also ist auch hier b=4.
}}
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt = b ist der y-Wert bei '''x=0'''.

Du findest b in der '''Wertetabelle''' oder am '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' im Graphen.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Finde den richtigen y-Achsenabschnitt b zu den Graphen!
{{LearningApp
| app = p6hjc5hv326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pbmu6m5xk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pvbjn084526
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}
}}
===Wie können lineare Funktionen dargestellt werden?===
Lineare Funktionen können auf '''vier verschiedene Arten''' dargestellt werden. Dabei beschreiben alle '''denselben Zusammenhang''', nur auf unterschiedliche Weise.

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:{{Lösung versteckt|Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach '''in Worten beschrieben''' werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:
* Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
* Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).}}

Solche Texte helfen dir, den '''Zusammenhang zu verstehen''', bevor du ihn mathematisch darstellst.
Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

|Text |Text}}{{Lösung versteckt|
Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch '''mit einer Gleichung beschreiben'''.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus:
'''<math display="block">y = m \cdot x+b</math>'''
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
<math display="block">y = 2 \cdot x+4</math>
Das bedeutet:
* x steht für die gefahrenen Kilometer
* y steht für den Preis
Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt
Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)
}}
Mit einer solchen Gleichung kannst du '''genau berechnen''', wie sich der Zusammenhang verhält.
Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.
|Funktionsgleichung|Funktionsgleichung}}{{Lösung versteckt|
Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang '''in einer Tabelle darzustellen'''.
Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
In der Tabelle siehst du:
* Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
* Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)}}
Die Tabelle hilft dir besonders gut, den '''Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen''' und '''Muster zu erkennen'''.
|Wertetabelle|Wertetabelle}}{{Lösung versteckt|
Schließlich kann man eine lineare Funktion auch '''als Graph im Koordinatensystem darstellen'''.
Dazu:
1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein
2. Verbindest die Punkte miteinander
Das Ergebnis ist '''eine Gerade'''.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini|500px]]}}
Diese Gerade zeigt:
* Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
* Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)
Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den '''gesamten Zusammenhang auf einen Blick''' sehen kannst.

|Graph|Graph}}{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Zusammenhang der Darstellungen
| Inhalt = Eine lineare Funktion kann als '''Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph''' dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und '''beschreiben denselben Zusammenhang''' auf unterschiedliche Weise:
* Der Text erklärt die Situation
* Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
* Die Tabelle zeigt einzelne Werte
* Der Graph macht den Verlauf sichtbar

'''Wichtig:''' Du kannst dabei jederzeit '''zwischen den Darstellungen wechseln!'''
}}
===Gemischte Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
Du hast jetzt kennengelernt, was die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist und welche Bedeutung die Parameter m und b haben. Außerdem hat du gesehen, das lineare Funktionen auf verschiedene Arten dargestellt werden können.

Jetzt geht es darum, dieses Wissen '''anzuwenden und zu vertiefen'''.
In den folgenden Aufgaben arbeitest du deshalb mit verschiedenen Darstellungen von linearen Funktionen und trainierst, lineare Funktionen sicher zu bestimmen.
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt =
Bestimme für jede der folgenden Situationen die Steigung m und den Startwert b. Schließe daraus auf die dazugehörige Funktionsgleichung und fülle die Tabelle passend aus.
{{LearningApp
| app = p8895kiij26
| height = 500px
}}
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt =
Ordne den Graphen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pzx5hhv7k26
| height = 500px
}}
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt =
Ordne den Graphen die passende Funktionsgleichung zu.
{{LearningApp
| app = pwumca47c26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 3
| Inhalt =
Ordne alle zusammengehörigen Darstellungen zu.
{{LearningApp
| app = p3inmrctk26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 4 - Anwendungsaufgabe
| Inhalt =
Du bist mit deiner Klasse auf Klassenfahrt in Berlin. Gemeinsam besucht ihr verschiedene Sehenswürdigkeiten in der Stadt. Nach einem langen Tag entscheidet ihr euch, ein Taxi zu nehmen, um schneller vom Brandenburger Tor zu euer nächsten Sehenswürdigkeit zu kommen.
Leider habt ihr insgesamt nur noch 9 € dabei. Ihr fragt euch, für welches Ziel euer Geld noch ausreicht.
Dazu möchtest du zunächst herausfinden, wie weit die Strecken sind.

# '''Recherchiere''' dazu im Internet '''die Entfernung''' zwischen dem Brandenburger Tor und dem Berliner Dom sowie zwischen dem Brandenburger Tor und dem Alexanderplatz. Nutze dazu zum Beispiel Google Maps. Notiere dir die Entfernungen in Kilometern.
# Informiere dich mithilfe unten bereitgestellten Tabelle über die Taxitarife. Entnimm daraus den Grundpreis und den Preis pro gefahrenem Kilometer und '''stelle eine passende Funktionsgleichung''' zur Berechnung der Taxikosten '''auf'''.
# '''Berechne''' nun '''die Kosten''' für beide Fahrten mit deiner Funktionsgleichung und gib deine Ergebnisse an.
# '''Interpretiere''' aus deinem Ergebnis, für welches Ziel ihr euch entscheiden solltet.
[[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher= (Lineare) Funktionen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T15:05:09Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:
Funktionsgleichung linearer Funktionen
}}

__NOTOC__
{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}

Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe ausblenden
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 3
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 4
| Inhalt = Bestimme die Steigung mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app = phaj2711t26
| height = 500px
}}
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Knobler
| Inhalt = Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.
{{Lösung versteckt|
Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
|Übung für Knobler aufklappen | Übung für Knobler verstecken
}}
}}

=== Der Parameter b ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
* Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
* Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
* b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
* Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Der y-Achsenabschnitt b
| Inhalt =
Der Parameter b beschreibt, '''wo der Graph beginnt''', also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist.
Er gibt damit an, '''an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet''' und wie der Graph im Koordinatensystem '''nach oben oder unten verschoben''' ist.
Man nennt ihn deshalb auch den '''y-Achsenabschnitt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

* Ist b '''positiv''', dann liegt der Graph bei x=0 '''oberhalb''' der x-Achse und ist nach '''oben verschoben'''.
* Ist b '''negativ''', dann liegt der Graph bei x=0 '''unterhalb''' der x-Achse und ist nach '''unten verschoben'''.
* Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den '''Ursprung (0I0)'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Den Parameter b kannst du dir wie den '''Startpunkt''' einer Bewegung vorstellen.
Er beschreibt, '''wo etwas beginnt''', bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:
* Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
* Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
* Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der '''Wert''', den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also '''bei x=0''').
}}

=== Aufgabe ===
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = p3bdgrqf526
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe verstecken
}}
}}

=== Den y-Achsenabschnitt b bestimmen ===
Du kannst b auf '''zwei Arten''' bestimmen, je nachdem, was du angegeben hast:

====='''1. Aus einer Wertetabelle ablesen'''=====

Suche in der Tabelle den Wert, bei dem '''x=0''' ist.
Der dazugehörige y-Wert ist direkt '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und 2 € pro Kilometer. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
Wir suchen x=0, der dazugehörige y-Wert ist 4. Hier ist also b=4.
}}

====== '''2. Im Graphen ablesen''' ======

Schau dir den Graphen im Koordinatensystem an:

# Suche den Punkt, an dem der Graph die '''y-Achse schneidet'''.
# Dieser Punkt hat immer die Form '''(0 | b)'''.
# Der y-Wert dieses Punktes ist '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Für das Taxi-Beispiel sieht der Graph folgendermaßen aus:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini]]
Der Schnittpunkt zwischen Graph und y-Achse liegt bei (0 | 4), also ist auch hier b=4.
}}
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt = b ist der y-Wert bei '''x=0'''.

Du findest b in der '''Wertetabelle''' oder am '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' im Graphen.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Finde den richtigen y-Achsenabschnitt b zu den Graphen!
{{LearningApp
| app = p6hjc5hv326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pbmu6m5xk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pvbjn084526
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}
}}
===Wie können lineare Funktionen dargestellt werden?===
Lineare Funktionen können auf '''vier verschiedene Arten''' dargestellt werden. Dabei beschreiben alle '''denselben Zusammenhang''', nur auf unterschiedliche Weise.

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:{{Lösung versteckt|Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach '''in Worten beschrieben''' werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:
* Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
* Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).}}

Solche Texte helfen dir, den '''Zusammenhang zu verstehen''', bevor du ihn mathematisch darstellst.
Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

|Text |Text}}{{Lösung versteckt|
Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch '''mit einer Gleichung beschreiben'''.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus:
'''<math display="block">y = m \cdot x+b</math>'''
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
<math display="block">y = 2 \cdot x+4</math>
Das bedeutet:
* x steht für die gefahrenen Kilometer
* y steht für den Preis
Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt
Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)
}}
Mit einer solchen Gleichung kannst du '''genau berechnen''', wie sich der Zusammenhang verhält.
Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.
|Funktionsgleichung|Funktionsgleichung}}{{Lösung versteckt|
Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang '''in einer Tabelle darzustellen'''.
Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
In der Tabelle siehst du:
* Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
* Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)}}
Die Tabelle hilft dir besonders gut, den '''Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen''' und '''Muster zu erkennen'''.
|Wertetabelle|Wertetabelle}}{{Lösung versteckt|
Schließlich kann man eine lineare Funktion auch '''als Graph im Koordinatensystem darstellen'''.
Dazu:
1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein
2. Verbindest die Punkte miteinander
Das Ergebnis ist '''eine Gerade'''.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini|500px]]}}
Diese Gerade zeigt:
* Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
* Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)
Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den '''gesamten Zusammenhang auf einen Blick''' sehen kannst.

|Graph|Graph}}{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Zusammenhang der Darstellungen
| Inhalt = Eine lineare Funktion kann als '''Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph''' dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und '''beschreiben denselben Zusammenhang''' auf unterschiedliche Weise:
* Der Text erklärt die Situation
* Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
* Die Tabelle zeigt einzelne Werte
* Der Graph macht den Verlauf sichtbar

'''Wichtig:''' Du kannst dabei jederzeit '''zwischen den Darstellungen wechseln!'''
}}
===Gemischte Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
Du hast jetzt kennengelernt, was die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist und welche Bedeutung die Parameter m und b haben. Außerdem hat du gesehen, das lineare Funktionen auf verschiedene Arten dargestellt werden können.

Jetzt geht es darum, dieses Wissen '''anzuwenden und zu vertiefen'''.
In den folgenden Aufgaben arbeitest du deshalb mit verschiedenen Darstellungen von linearen Funktionen und trainierst, lineare Funktionen sicher zu bestimmen.
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt =
Bestimme für jede der folgenden Situationen die Steigung m und den Startwert b. Schließe daraus auf die dazugehörige Funktionsgleichung und fülle die Tabelle passend aus.
{{LearningApp
| app = p8895kiij26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt =
[[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher= (Lineare) Funktionen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T15:03:12Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:
Funktionsgleichung linearer Funktionen
}}

__NOTOC__
{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}

Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe ausblenden
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 3
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen mithilfe eines Graphens bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 4
| Inhalt = Bestimme die Steigung mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app = phaj2711t26
| height = 500px
}}
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Knobler
| Inhalt = Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.
{{Lösung versteckt|
Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
|Übung für Knobler aufklappen | Übung für Knobler verstecken
}}
}}

=== Der Parameter b ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
* Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
* Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
* b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
* Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Der y-Achsenabschnitt b
| Inhalt =
Der Parameter b beschreibt, '''wo der Graph beginnt''', also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist.
Er gibt damit an, '''an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet''' und wie der Graph im Koordinatensystem '''nach oben oder unten verschoben''' ist.
Man nennt ihn deshalb auch den '''y-Achsenabschnitt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

* Ist b '''positiv''', dann liegt der Graph bei x=0 '''oberhalb''' der x-Achse und ist nach '''oben verschoben'''.
* Ist b '''negativ''', dann liegt der Graph bei x=0 '''unterhalb''' der x-Achse und ist nach '''unten verschoben'''.
* Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den '''Ursprung (0I0)'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Den Parameter b kannst du dir wie den '''Startpunkt''' einer Bewegung vorstellen.
Er beschreibt, '''wo etwas beginnt''', bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:
* Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
* Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
* Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der '''Wert''', den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also '''bei x=0''').
}}

=== Aufgabe ===
Du möchtest dein Verständnis zur Steigung m vertiefen? Dann bearbeite diese Aufgabe:
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt =
{{Lösung versteckt|In den folgenden Aussagen geht es um den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphens. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = p3bdgrqf526
| height = 500px
}}|Aufgabe anzeigen|Aufgabe verstecken
}}
}}

=== Den y-Achsenabschnitt b bestimmen ===
Du kannst b auf '''zwei Arten''' bestimmen, je nachdem, was du angegeben hast:

====='''1. Aus einer Wertetabelle ablesen'''=====

Suche in der Tabelle den Wert, bei dem '''x=0''' ist.
Der dazugehörige y-Wert ist direkt '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und 2 € pro Kilometer. Die dazugehörige Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
Wir suchen x=0, der dazugehörige y-Wert ist 4. Hier ist also b=4.
}}

====== '''2. Im Graphen ablesen''' ======

Schau dir den Graphen im Koordinatensystem an:

# Suche den Punkt, an dem der Graph die '''y-Achse schneidet'''.
# Dieser Punkt hat immer die Form '''(0 | b)'''.
# Der y-Wert dieses Punktes ist '''b'''.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Für das Taxi-Beispiel sieht der Graph folgendermaßen aus:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini]]
Der Schnittpunkt zwischen Graph und y-Achse liegt bei (0 | 4), also ist auch hier b=4.
}}
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt = b ist der y-Wert bei '''x=0'''.

Du findest b in der '''Wertetabelle''' oder am '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' im Graphen.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt = Finde den richtigen y-Achsenabschnitt b zu den Graphen!
{{LearningApp
| app = p6hjc5hv326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 2
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pbmu6m5xk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktionen aus einem Graphen abließt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pvbjn084526
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}
}}
===Wie können lineare Funktionen dargestellt werden?===
Lineare Funktionen können auf '''vier verschiedene Arten''' dargestellt werden. Dabei beschreiben alle '''denselben Zusammenhang''', nur auf unterschiedliche Weise.

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:{{Lösung versteckt|Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach '''in Worten beschrieben''' werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:
* Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
* Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).}}

Solche Texte helfen dir, den '''Zusammenhang zu verstehen''', bevor du ihn mathematisch darstellst.
Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

|Text |Text}}{{Lösung versteckt|
Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch '''mit einer Gleichung beschreiben'''.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus:
'''<math display="block">y = m \cdot x+b</math>'''
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
<math display="block">y = 2 \cdot x+4</math>
Das bedeutet:
* x steht für die gefahrenen Kilometer
* y steht für den Preis
Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt
Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)
}}
Mit einer solchen Gleichung kannst du '''genau berechnen''', wie sich der Zusammenhang verhält.
Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.
|Funktionsgleichung|Funktionsgleichung}}{{Lösung versteckt|
Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang '''in einer Tabelle darzustellen'''.
Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
In der Tabelle siehst du:
* Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
* Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)}}
Die Tabelle hilft dir besonders gut, den '''Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen''' und '''Muster zu erkennen'''.
|Wertetabelle|Wertetabelle}}{{Lösung versteckt|
Schließlich kann man eine lineare Funktion auch '''als Graph im Koordinatensystem darstellen'''.
Dazu:
1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein
2. Verbindest die Punkte miteinander
Das Ergebnis ist '''eine Gerade'''.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini|500px]]}}
Diese Gerade zeigt:
* Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
* Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)
Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den '''gesamten Zusammenhang auf einen Blick''' sehen kannst.

|Graph|Graph}}{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Zusammenhang der Darstellungen
| Inhalt = Eine lineare Funktion kann als '''Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph''' dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und '''beschreiben denselben Zusammenhang''' auf unterschiedliche Weise:
* Der Text erklärt die Situation
* Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
* Die Tabelle zeigt einzelne Werte
* Der Graph macht den Verlauf sichtbar

'''Wichtig:''' Du kannst dabei jederzeit '''zwischen den Darstellungen wechseln!'''
}}
===Gemischte Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
Du hast jetzt kennengelernt, was die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist und welche Bedeutung die Parameter m und b haben.

Du weißt nun:

* m beschreibt, wie der Graph verläuft (steigt, sinkt oder bleibt konstant)

* b zeigt, wo der Graph startet

Jetzt geht es darum, dieses Wissen '''anzuwenden und zu vertiefen'''.

In den folgenden Aufgaben arbeitest du mit verschiedenen Darstellungen von linearen Funktionen und trainierst, lineare Funktionen sicher zu bestimmen.{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe 1
| Inhalt =
Bestimme für jede der folgenden Situationen die Steigung m und den Startwert b. Schließe daraus auf die dazugehörige Funktionsgleichung und fülle die Tabelle passend aus.
{{LearningApp
| app = p8895kiij26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt =
[[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher= (Lineare) Funktionen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T15:02:13Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T14:55:46Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T14:33:57Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T14:21:13Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T14:19:01Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T14:14:36Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T14:01:19Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T13:02:24Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:57:46Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:32:50Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:31:51Z

LaVi:

Datei:Screenshot der Navigationsleiste.png

2026-03-25T12:31:39Z

LaVi: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Screenshot der Navigationsleiste
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:LaVi|LaVi]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:29:53Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:28:51Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Funktionen als eindeutige Zuordnungen

2026-03-25T12:28:01Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:
(Lineare) Funktionen
}}
__NOTOC__{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}
===Was ist eine Funktion? (Definition Funktion)===
Schauen wir uns einen Graphen an, der den gefahrenen Weg eines Fahrstuhls zeigt. Wobei die x-Achse die Zeit und die y-Achse das jeweilige Stockwerk ist:
[[Datei:Besseres Bild Fahrstuhl.png|ohne|mini|700x700px]]Zu jeder Zeit (z.B. 0 s, 3 s, 6 s, ...) gehört immer '''genau ein Stockwerk.'''

Der Fahrstuhl kann nicht gleichzeitig in unterschiedlichen Stockwerken zur selben Zeit sein!

Allgemein bedeutet das:

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionen
| Inhalt = Funktionen ordnen jedem Eingangswert '''genau einen''' Ausgangswert zu. Also zu jedem x-Wert gehört '''genau ein''' y-Wert'''.'''
 
Solche Zuordnungen nennt man auch eindeutige Zuordnungen oder Funktionen.

ANDERSHERUM: Wenn ein x-Wert zwei unterschiedliche y-Werte hat, ist es keine Funktion!
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

===Aufgabe: Ist das eine Funktion?===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Stellen die abbgebildeten Graphen eine Funktion dar?
{{LearningApp
| app = p37z2czit25
| height = 500px
}}
}}

===Was sind proportionale Funktionen?===
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Proportionale Funktionen
| Inhalt = Proportionale Funktionen sind '''eindeutige, proportionale Zuordnungen''', die '''durch den Ursprung''' verlaufen. Das bedeutet: Wenn der Eingangswert 0 ist, dann ist der Ausgangswert ebenfalls 0. Dabei verändert sich der Ausgangswert '''gleichmäßig'''.
}}

===Wenn etwas nicht bei 0 startet - was dann?===
Im echten Leben gibt es viele Situationen, in denen etwas nicht bei 0 beginnt.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Ein Fahrstuhl startet im 2.Stock. Alle 3 Sekunden fährt dieser 1 Stockwerk nach oben. 
Wir untersuchen nun, wo dieser sich nach verschiedenen Zeiten befindet:
[[Datei:Tabelle Aufzug Stockwerke.jpg|mini|700x700px|ohne]]
}}

Hier gibt es also einen Startwert, der nicht 0 ist.
Das heißt:

Die Zuordnung ist '''nicht proportional, aber trotzdem gleichmäßig'''!

Einen solchen Zusammenhang nennen wir '''linear'''. Also heißen die dazugehörigen Funktionen:

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Lineare Funktionen
| Inhalt = '''Lineare Funktionen''' sind proportionale Zuordnungen, die nicht durch den Ursprung (0{{!}}0) geht.
Das heißt eine lineare Funktion besteht aus einem '''Startwert, der nicht 0 sein muss''' und einer '''gleichmäßigen Änderung''' (linearer Zusammenhang).
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

=== Aufgabe: Linear oder nicht linear? ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Entscheide, ob es sich bei den gegebenen Beispielen um lineare Zusammenhänge handelt oder nicht.
{{LearningApp
| app = pnfurxvet26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Gleichmäßige Änderung:
# pro Sekunde 1 cm Wachstum
# pro Stunde 5 km Strecke
Startwert, der nicht 0 sein muss:
# Startgebühren beim Taxi
# Start im 2. Stock
# Startfüllstand eines Tanks beim tanken
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Finde 2-3 weitere Beispiele zu linearen Funktionen und schreibe diese in dein Heft!
}}

===Wie sieht das im Koordinatensystem aus?===
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Wenn wir die Wertepaare aus dem Fahrstuhl-Beispiel in ein Koordinatensystem eintragen, wird folgendes sichtbar:

*Die Punkte liegen alle auf '''einer Geraden.'''
*Die Gerade '''geht bei dieser linearen Funktion nicht durch den Ursprung (P(0I0))''', sondern sie schneidet die y-Achse oberhalb oder unterhalb der 0.

[[Datei:Besseres Bild Fahrstuhl.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

Aus diesem Graphen lässt sich schlussfolgern, dass:

*Jeder proportionale Zusammenhang linear,
*aber nicht jeder lineare Zusammenhang proportional ist!

===Aufgabe===
Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Du bist dir noch unsicher, was lineare Funktionen sind? Dann bearbeite folgenden Lückentext:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pz9p0omw226
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon sicher, was lineare Funktionen sind? Dann bearbeite folgenden Lückentext:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pawi2oank26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}
}}

===Zusammenfassung===
In diesem Kapitel hast du '''lineare Zusammenhänge''' anhand von Beispielen aus deinem Alltag kennengelernt.

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Schreibe die '''wichtigsten Erkenntnisse über lineare Funktionen''' in dein Heft.
Gehe dabei auf Besonderheiten wie gleichmäßige Veränderung und den Startwert ein. Beachte außerdem, wie sich die einzelnen Punkte im Koordinatensystem verhalten.
}}

Falls du dir noch unsicher bist, findest du hier eine Liste:
{{Lösung versteckt|
*Du hast gesehen, dass die Werte '''gleichmäßig''' wachsen oder fallen.
*Du hast erkannt, dass es oft einen '''Startwert''' gibt.
*Du hast gesehen, dass die Punkte im Koordinatensystem auf einer '''Geraden''' liegen.
*Und du weißt: Lineare Zusammenhänge sind '''eindeutige Zuordnungen''', also '''Funktionen'''.
|Hinweise anzeigen|Hinweise verstecken
}}

{{Fortsetzung|vorher=Wiederholung Zuordnungen|
vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen|übersicht=Startseite|
übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiter=Funktionsgleichung linearer Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Wiederholung (proportionale) Zuordnungen

2026-03-25T12:27:38Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Wiederholung Zuordnungen}}

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}

__NOTOC__

=== Was ist überhaupt eine "Zuordnung"? ===
Im Alltag gibt es viele Situationen, in denen zwei Größen zusammenhängen.

Eine Größe nennen wir '''Eingangswert (Wert aus der Definitionsmenge)''', die andere '''Ausgangswert (Wert aus der Wertemenge)'''.
[[Datei:Zuordnungen allgemein.png|mini|700x700px|ohne|Die blauen Punkte sind hier Werte aus der Definitionsmenge und die lila Punkte sind Werte aus der Wertemenge. Die Werte aus der Definitionsmenge werden der Wertemenge zugeordnet.]]
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Definitions- und Wertebereich
| Inhalt = Immer wenn '''jedem Wert aus dem Definitionsbereich mindestens ein Wert aus dem Wertebereich zugeordnet wird''', sprechen wir von einer '''Zuordnung'''. Zusammengehörige Werte nennen wir '''Wertepaare'''.
}}

Das kann so aussehen:
[[Datei:Definitionsmenge Beispiel allgemein.jpg|ohne|mini|700x700px]]
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Wenn ein Zug 120 km pro Stunde fährt, hängt die '''gefahrene Strecke''' davon ab, '''wie viel Zeit''' vergangen ist. Man sagt, der '''Zeit wird die gefahrene Strecke zugeordnet'''. In Symbolen schreibt man:
*Zeit → Strecke.

Weitere Beispiele sind:
# Anzahl 🠒 Preis ("Die Anzahl wir dem Preis zugeordnet.")
# Weg 🠒 Zeit ("Dem Weg wird die Zeit zugeordnet.")
# Klasse 🠒 Schüler:innen ("Der Klasse werden Schüler:innen zugeordnet.")
# Augenfarbe 🠒 Person ("Die Augenfarbe wird Personen zugeordnet.")
[[Datei:Augenfarbe Person.jpg|ohne|mini|700x700px]]

}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Eindeutige Zuordnung
| Inhalt = Wird jedem Wert aus der Definitionsmenge '''genau ein Wert''' aus der Wertemenge '''zugeordnet''', dann sprechen wir von einer '''eindeutigen Zuordnung'''.
Das bedeutet: Zu jedem x gehört '''genau ein''' y. Nie mehr oder weniger!
}}[[Datei:Höchstens ein Wert.jpg|mini|700x700px|ohne|Zu jedem Wert aus der Definitionsmenge wird '''genau''' ein Wert aus der Wertemenge zugeordnet.]]{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele
| Inhalt = * 1 T-Shirt 🠒 12 €
* 2 T-Shirts 🠒 24 €
* 3 T-Shirts 🠒 36 €

Hier hat jeder Wert der Definitionsmenge (1, 2, 3) genau einen Ausgangswert (12, 24, 36).

[[Datei:Zuordnungen Beispiel Tiere.png|ohne|mini|700x700px]]
Tier 🠒 Lebensraum ("Die Tiere werden dem jeweiligen Lebensraum zugeordnet.")

Das sind eindeutige Zuordnungen.
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Gegenbeispiel
| Inhalt = [[Datei:Nicht eindeutig.png|ohne|mini|700x700px]]
Hier wird die 1 gleichzeitig 5 und 7 zugeordnet. Daher ist die Zuordnung nicht eindeutig!
}}

=== Aufgabe: Ist die Zuordnung eindeutig? ===
Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt =

Du bist dir noch unsicher, woran man eindeutige Zuordnungen erkennt? Dann bearbeite folgendes Quiz:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pgik5q5ba26
| height = 500px
}}|leichte Aufgabe anzeigen | leichte Aufgabe verstecken}}

Du fühlst dich schon sicher im Erkennen eindeutiger Zuordnungen? Überprüfe dein Wissen an folgendem Quiz:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = ph02e1r4a26
| height = 500px
}}|schwierige Aufgabe anzeigen | schwierige Aufgabe verstecken}}

}}

=== Was macht eine Zuordnung "proportional"? ===
Eine Zuordnung heißt '''proportional''', wenn Folgendes gilt:

'''Verändert man die eine Größe, verändert sich die andere im gleichen Verhältnis.'''

*Kurz: Je mehr von A, desto gleichmäßig mehr von B
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = * Doppelte Anzahl 🠒 doppelter Preis
* Dreifache Zeit 🠒 dreifache Strecke
* Halbe Anzahl 🠒 halber Preis
[[Datei:Bild Eis.jpg|ohne|mini|700x700px|Möchte Tim kein Eis kaufen, dann muss er auch kein Geld zahlen. 
Möchte Tim ein Eis kaufen, dann muss er 2 € zahlen. 
Möchte Tim zwei Eis kaufen, dann muss er 4 € zahlen.]]
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Proportionale Zuordnung
| Inhalt = In einer proportionalen Zuordnung gilt immer: 
<div style="text-indent:100px;">''y = k ⋅ x''</div>
* x = Eingangswert (z.B. Anzahl an T-Shirts)
* y = Ausgangswert (z.B. Preis)
* k = Proportionalitätsfaktor
** "Wie viel kostet ein Stück"
** "Wie viel km schafft man in einer Stunde" 
Es gibt also immer '''denselben Zuwachs pro Einheit''', alle Wertepaare haben das gleiche Verhältnis. Dieses Verhältnis nennt man den '''Proportionalitätsfaktor k'''.
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele für Proportionalitätsfaktoren:
| Inhalt = * Preis pro Stück
* Strecke pro Zeit
* Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h)
* Verbrauch pro km
* Gewicht pro Stück (z.B. 1 Apfel = 150 g)
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Konkretes Beispiel
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Tshirt.png|mini|700x700px|ohne]]
* Verdoppelt man die Anzahl von 1 auf 2, so verdoppelt sich der Preis auch von 12 € auf 24 €.
* Verdreifacht man die Anzahl von 1 auf 3, so verdreifacht sich der Preis auch von 12 € auf 36 €.
*Aber das Verhältnis der Wertepaare bleibt immer gleich! Das kann man mit folgender Rechnung zeigen:
<div style="text-indent:100px;"><math>\frac{Preis\, y\, in\, €}{Anzahl\, x\, T\, Shirts}=\frac{y}{x}=\frac{12}{1}=\frac{24}{2}=⋯=12=k</math></div>
}}

===Wie erkenne ich proportionale Zuordnungen?===
=====In einer Tabelle (Funktionstabelle)=====
Eine Zuordnung ist proportional, wenn:

#Das Verhältnis <math>\frac{y}{x}</math> immer '''gleich''' bleibt
# Die Wertepaare sich direkt "hochrechnen" lassen (Wenn ''x'' sich verdoppelt, dann verdoppelt sich auch ''y''; Wenn sich ''x'' verdoppelt, dann verdreifacht sich auch ''y''; etc.)

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel - NICHT proportional
| Inhalt = [[Datei:Nicht proportional Beispiel neu.mp4|mini|700x350px|ohne]]
Warum ist diese Zuordnung denn nicht proportional?
Schauen wir uns dieses Beispiel Mal genauer an: 
Wenn man sich die linke Spalte dieser Tabelle ansieht, fällt auf, dass ''x'' immer um 1 steigt. 
Wenn man sich aber die rechte Spalte anguckt, fällt auf, dass ''y'' bei dem ersten Mal um 5 steigt, aber dann beim zweiten Mal um 7 steigt, also ist der Proportionalitätsfaktor ''k'' nicht gleich: 
<math> \frac{5}{1} = 5</math> 
<math> \frac{10}{2} = 5</math> 
ABER! 
<math> \frac{17}{3} \neq 5</math>
}}

=====In einem Koordinatensystem (Funktionsgraph)=====
Eine proportionale Zuordnung hat immer folgende Eigenschaften:

*Es ist eine '''Gerade'''
*die durch den '''Ursprung (0|0)''' geht
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = [[Datei:Bild Geogebra T-Shirt.png|mini|700x700px|ohne]]
Warum geht diese Gerade durch den Ursprung?
* Wenn du 0 T-Shirts kaufst, kostet das 0 €.
* Wenn du 0 Minuten mit dem Fahrrad gefahren bist, hast du 0 km zurückgelegt.
}}

=====In einer Gleichung (Funktionsgleichung)=====
Wenn eine Zuordnung proportional ist, kannst du folgende Formel nutzen:
 <math> y=k \cdot x</math>

(Diese Formel kennst du schon aus dem Kasten "Proportionale Zuordnung") Dann kannst du mit dieser Formel einen Graphen erstellen.
<ggb_applet id="vwsawpms" width="700" height="700" />

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Benutze den Schieberegler und beschreibe jeweils in einem kurzen Satz, wie der Graph bei den Werten <math> k = -2,3; k = 0; k = 1 </math> und <math> k = 5 </math> aussieht! 
Achte dabei vor allem darauf, durch welche Punkte die Gerade, beziehungsweise der Graph, geht.
Beschreibe in welche Richtung der Graph steigt.
}}

=== Typische Beispiele aus dem Alltag===
Proportional

*Eis kostet 1,20 € pro Kugel.
*Beim Joggen läufst du 8 km pro Stunde.
*Eine Maschine produziert 50 Teile pro Stunde.
*Eine Kerze brennt jede Stunde 3 cm ab.
*Ein Fahrstuhl fährt, ohne dass er angehalten wird, 1 Stockwerk pro Sekunde.

Nicht proportional

*Taxi: Grundgebühr + Preis pro km
* Handyvertrag: fester Grundpreis + Kosten pro GB
*Parkhaus: 1 € für die erste Stunde; jede weitere halbe Stunde kostet 50 ct.

Diese Situationen starten nicht bei 0! Das bringt uns nämlich zum nächsten Kapitel: Funktionen als eindeutige Zuordnungen, welche nicht durch 0 gehen müssen.

{{Fortsetzung|weiter=(Lineare) Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|vorher=Startseite|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:26:49Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Lineare Funktionen}}

__NOTOC__
{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}

Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphen. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app =
| height = 500px
}}
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Knobler
| Inhalt = Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.
{{Lösung versteckt|
Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
|Übung für Knobler aufklappen | Übung für Knobler verstecken
}}
}}

=== Der Parameter b ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
* Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
* Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
* b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
* Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Der y-Achsenabschnitt b
| Inhalt =
Der Parameter b beschreibt, '''wo der Graph beginnt''', also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist.
Er gibt damit an, '''an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet''' und wie der Graph im Koordinatensystem '''nach oben oder unten verschoben''' ist.
Man nennt ihn deshalb auch den '''y-Achsenabschnitt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

* Ist b '''positiv''', dann liegt der Graph bei x=0 '''oberhalb''' der x-Achse und ist nach '''oben verschoben'''.
* Ist b '''negativ''', dann liegt der Graph bei x=0 '''unterhalb''' der x-Achse und ist nach '''unten verschoben'''.
* Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den '''Ursprung (0I0)'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Den Parameter b kannst du dir wie den '''Startpunkt''' einer Bewegung vorstellen.
Er beschreibt, '''wo etwas beginnt''', bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:
* Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
* Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
* Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der '''Wert''', den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also '''bei x=0''').
}}

Den Parameter b kannst du also bei einer Tabelle schnell herausfinden, falls der Punkt x = 0 in der Tabelle steht. Der Parameter b ist dann nämlich der y-Wert, der bei x = 0 steht.

===Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung 1
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher=(Lineare) Funktionen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Funktionen als eindeutige Zuordnungen

2026-03-25T12:26:17Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Funktionen als eindeutige Zuordnungen}}
__NOTOC__{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}
===Was ist eine Funktion? (Definition Funktion)===
Schauen wir uns einen Graphen an, der den gefahrenen Weg eines Fahrstuhls zeigt. Wobei die x-Achse die Zeit und die y-Achse das jeweilige Stockwerk ist:
[[Datei:Besseres Bild Fahrstuhl.png|ohne|mini|700x700px]]Zu jeder Zeit (z.B. 0 s, 3 s, 6 s, ...) gehört immer '''genau ein Stockwerk.'''

Der Fahrstuhl kann nicht gleichzeitig in unterschiedlichen Stockwerken zur selben Zeit sein!

Allgemein bedeutet das:

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionen
| Inhalt = Funktionen ordnen jedem Eingangswert '''genau einen''' Ausgangswert zu. Also zu jedem x-Wert gehört '''genau ein''' y-Wert'''.'''
 
Solche Zuordnungen nennt man auch eindeutige Zuordnungen oder Funktionen.

ANDERSHERUM: Wenn ein x-Wert zwei unterschiedliche y-Werte hat, ist es keine Funktion!
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

===Aufgabe: Ist das eine Funktion?===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Stellen die abbgebildeten Graphen eine Funktion dar?
{{LearningApp
| app = p37z2czit25
| height = 500px
}}
}}

===Was sind proportionale Funktionen?===
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Proportionale Funktionen
| Inhalt = Proportionale Funktionen sind '''eindeutige, proportionale Zuordnungen''', die '''durch den Ursprung''' verlaufen. Das bedeutet: Wenn der Eingangswert 0 ist, dann ist der Ausgangswert ebenfalls 0. Dabei verändert sich der Ausgangswert '''gleichmäßig'''.
}}

===Wenn etwas nicht bei 0 startet - was dann?===
Im echten Leben gibt es viele Situationen, in denen etwas nicht bei 0 beginnt.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Ein Fahrstuhl startet im 2.Stock. Alle 3 Sekunden fährt dieser 1 Stockwerk nach oben. 
Wir untersuchen nun, wo dieser sich nach verschiedenen Zeiten befindet:
[[Datei:Tabelle Aufzug Stockwerke.jpg|mini|700x700px|ohne]]
}}

Hier gibt es also einen Startwert, der nicht 0 ist.
Das heißt:

Die Zuordnung ist '''nicht proportional, aber trotzdem gleichmäßig'''!

Einen solchen Zusammenhang nennen wir '''linear'''. Also heißen die dazugehörigen Funktionen:

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Lineare Funktionen
| Inhalt = '''Lineare Funktionen''' sind proportionale Zuordnungen, die nicht durch den Ursprung (0{{!}}0) geht.
Das heißt eine lineare Funktion besteht aus einem '''Startwert, der nicht 0 sein muss''' und einer '''gleichmäßigen Änderung''' (linearer Zusammenhang).
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

=== Aufgabe: Linear oder nicht linear? ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Entscheide, ob es sich bei den gegebenen Beispielen um lineare Zusammenhänge handelt oder nicht.
{{LearningApp
| app = pnfurxvet26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Gleichmäßige Änderung:
# pro Sekunde 1 cm Wachstum
# pro Stunde 5 km Strecke
Startwert, der nicht 0 sein muss:
# Startgebühren beim Taxi
# Start im 2. Stock
# Startfüllstand eines Tanks beim tanken
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Finde 2-3 weitere Beispiele zu linearen Funktionen und schreibe diese in dein Heft!
}}

===Wie sieht das im Koordinatensystem aus?===
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Wenn wir die Wertepaare aus dem Fahrstuhl-Beispiel in ein Koordinatensystem eintragen, wird folgendes sichtbar:

*Die Punkte liegen alle auf '''einer Geraden.'''
*Die Gerade '''geht bei dieser linearen Funktion nicht durch den Ursprung (P(0I0))''', sondern sie schneidet die y-Achse oberhalb oder unterhalb der 0.

[[Datei:Besseres Bild Fahrstuhl.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

Aus diesem Graphen lässt sich schlussfolgern, dass:

*Jeder proportionale Zusammenhang linear,
*aber nicht jeder lineare Zusammenhang proportional ist!

===Aufgabe===
Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Du bist dir noch unsicher, was lineare Funktionen sind? Dann bearbeite folgenden Lückentext:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pz9p0omw226
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon sicher, was lineare Funktionen sind? Dann bearbeite folgenden Lückentext:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pawi2oank26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}
}}

===Zusammenfassung===
In diesem Kapitel hast du '''lineare Zusammenhänge''' anhand von Beispielen aus deinem Alltag kennengelernt.

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Schreibe die '''wichtigsten Erkenntnisse über lineare Funktionen''' in dein Heft.
Gehe dabei auf Besonderheiten wie gleichmäßige Veränderung und den Startwert ein. Beachte außerdem, wie sich die einzelnen Punkte im Koordinatensystem verhalten.
}}

Falls du dir noch unsicher bist, findest du hier eine Liste:
{{Lösung versteckt|
*Du hast gesehen, dass die Werte '''gleichmäßig''' wachsen oder fallen.
*Du hast erkannt, dass es oft einen '''Startwert''' gibt.
*Du hast gesehen, dass die Punkte im Koordinatensystem auf einer '''Geraden''' liegen.
*Und du weißt: Lineare Zusammenhänge sind '''eindeutige Zuordnungen''', also '''Funktionen'''.
|Hinweise anzeigen|Hinweise verstecken
}}

{{Fortsetzung|vorher=Wiederholung Zuordnungen|
vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen|übersicht=Startseite|
übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiter=Funktionsgleichung linearer Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Wiederholung (proportionale) Zuordnungen

2026-03-25T12:25:44Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Wiederholung (proportionale) Zuordnungen}}{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}__NOTOC__

=== Was ist überhaupt eine "Zuordnung"? ===
Im Alltag gibt es viele Situationen, in denen zwei Größen zusammenhängen.

Eine Größe nennen wir '''Eingangswert (Wert aus der Definitionsmenge)''', die andere '''Ausgangswert (Wert aus der Wertemenge)'''.
[[Datei:Zuordnungen allgemein.png|mini|700x700px|ohne|Die blauen Punkte sind hier Werte aus der Definitionsmenge und die lila Punkte sind Werte aus der Wertemenge. Die Werte aus der Definitionsmenge werden der Wertemenge zugeordnet.]]
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Definitions- und Wertebereich
| Inhalt = Immer wenn '''jedem Wert aus dem Definitionsbereich mindestens ein Wert aus dem Wertebereich zugeordnet wird''', sprechen wir von einer '''Zuordnung'''. Zusammengehörige Werte nennen wir '''Wertepaare'''.
}}

Das kann so aussehen:
[[Datei:Definitionsmenge Beispiel allgemein.jpg|ohne|mini|700x700px]]
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Wenn ein Zug 120 km pro Stunde fährt, hängt die '''gefahrene Strecke''' davon ab, '''wie viel Zeit''' vergangen ist. Man sagt, der '''Zeit wird die gefahrene Strecke zugeordnet'''. In Symbolen schreibt man:
*Zeit → Strecke.

Weitere Beispiele sind:
# Anzahl 🠒 Preis ("Die Anzahl wir dem Preis zugeordnet.")
# Weg 🠒 Zeit ("Dem Weg wird die Zeit zugeordnet.")
# Klasse 🠒 Schüler:innen ("Der Klasse werden Schüler:innen zugeordnet.")
# Augenfarbe 🠒 Person ("Die Augenfarbe wird Personen zugeordnet.")
[[Datei:Augenfarbe Person.jpg|ohne|mini|700x700px]]

}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Eindeutige Zuordnung
| Inhalt = Wird jedem Wert aus der Definitionsmenge '''genau ein Wert''' aus der Wertemenge '''zugeordnet''', dann sprechen wir von einer '''eindeutigen Zuordnung'''.
Das bedeutet: Zu jedem x gehört '''genau ein''' y. Nie mehr oder weniger!
}}[[Datei:Höchstens ein Wert.jpg|mini|700x700px|ohne|Zu jedem Wert aus der Definitionsmenge wird '''genau''' ein Wert aus der Wertemenge zugeordnet.]]{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele
| Inhalt = * 1 T-Shirt 🠒 12 €
* 2 T-Shirts 🠒 24 €
* 3 T-Shirts 🠒 36 €

Hier hat jeder Wert der Definitionsmenge (1, 2, 3) genau einen Ausgangswert (12, 24, 36).

[[Datei:Zuordnungen Beispiel Tiere.png|ohne|mini|700x700px]]
Tier 🠒 Lebensraum ("Die Tiere werden dem jeweiligen Lebensraum zugeordnet.")

Das sind eindeutige Zuordnungen.
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Gegenbeispiel
| Inhalt = [[Datei:Nicht eindeutig.png|ohne|mini|700x700px]]
Hier wird die 1 gleichzeitig 5 und 7 zugeordnet. Daher ist die Zuordnung nicht eindeutig!
}}

=== Aufgabe: Ist die Zuordnung eindeutig? ===
Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt =

Du bist dir noch unsicher, woran man eindeutige Zuordnungen erkennt? Dann bearbeite folgendes Quiz:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pgik5q5ba26
| height = 500px
}}|leichte Aufgabe anzeigen | leichte Aufgabe verstecken}}

Du fühlst dich schon sicher im Erkennen eindeutiger Zuordnungen? Überprüfe dein Wissen an folgendem Quiz:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = ph02e1r4a26
| height = 500px
}}|schwierige Aufgabe anzeigen | schwierige Aufgabe verstecken}}

}}

=== Was macht eine Zuordnung "proportional"? ===
Eine Zuordnung heißt '''proportional''', wenn Folgendes gilt:

'''Verändert man die eine Größe, verändert sich die andere im gleichen Verhältnis.'''

*Kurz: Je mehr von A, desto gleichmäßig mehr von B
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = * Doppelte Anzahl 🠒 doppelter Preis
* Dreifache Zeit 🠒 dreifache Strecke
* Halbe Anzahl 🠒 halber Preis
[[Datei:Bild Eis.jpg|ohne|mini|700x700px|Möchte Tim kein Eis kaufen, dann muss er auch kein Geld zahlen. 
Möchte Tim ein Eis kaufen, dann muss er 2 € zahlen. 
Möchte Tim zwei Eis kaufen, dann muss er 4 € zahlen.]]
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Proportionale Zuordnung
| Inhalt = In einer proportionalen Zuordnung gilt immer: 
<div style="text-indent:100px;">''y = k ⋅ x''</div>
* x = Eingangswert (z.B. Anzahl an T-Shirts)
* y = Ausgangswert (z.B. Preis)
* k = Proportionalitätsfaktor
** "Wie viel kostet ein Stück"
** "Wie viel km schafft man in einer Stunde" 
Es gibt also immer '''denselben Zuwachs pro Einheit''', alle Wertepaare haben das gleiche Verhältnis. Dieses Verhältnis nennt man den '''Proportionalitätsfaktor k'''.
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele für Proportionalitätsfaktoren:
| Inhalt = * Preis pro Stück
* Strecke pro Zeit
* Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h)
* Verbrauch pro km
* Gewicht pro Stück (z.B. 1 Apfel = 150 g)
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Konkretes Beispiel
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Tshirt.png|mini|700x700px|ohne]]
* Verdoppelt man die Anzahl von 1 auf 2, so verdoppelt sich der Preis auch von 12 € auf 24 €.
* Verdreifacht man die Anzahl von 1 auf 3, so verdreifacht sich der Preis auch von 12 € auf 36 €.
*Aber das Verhältnis der Wertepaare bleibt immer gleich! Das kann man mit folgender Rechnung zeigen:
<div style="text-indent:100px;"><math>\frac{Preis\, y\, in\, €}{Anzahl\, x\, T\, Shirts}=\frac{y}{x}=\frac{12}{1}=\frac{24}{2}=⋯=12=k</math></div>
}}

===Wie erkenne ich proportionale Zuordnungen?===
=====In einer Tabelle (Funktionstabelle)=====
Eine Zuordnung ist proportional, wenn:

#Das Verhältnis <math>\frac{y}{x}</math> immer '''gleich''' bleibt
# Die Wertepaare sich direkt "hochrechnen" lassen (Wenn ''x'' sich verdoppelt, dann verdoppelt sich auch ''y''; Wenn sich ''x'' verdoppelt, dann verdreifacht sich auch ''y''; etc.)

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel - NICHT proportional
| Inhalt = [[Datei:Nicht proportional Beispiel neu.mp4|mini|700x350px|ohne]]
Warum ist diese Zuordnung denn nicht proportional?
Schauen wir uns dieses Beispiel Mal genauer an: 
Wenn man sich die linke Spalte dieser Tabelle ansieht, fällt auf, dass ''x'' immer um 1 steigt. 
Wenn man sich aber die rechte Spalte anguckt, fällt auf, dass ''y'' bei dem ersten Mal um 5 steigt, aber dann beim zweiten Mal um 7 steigt, also ist der Proportionalitätsfaktor ''k'' nicht gleich: 
<math> \frac{5}{1} = 5</math> 
<math> \frac{10}{2} = 5</math> 
ABER! 
<math> \frac{17}{3} \neq 5</math>
}}

=====In einem Koordinatensystem (Funktionsgraph)=====
Eine proportionale Zuordnung hat immer folgende Eigenschaften:

*Es ist eine '''Gerade'''
*die durch den '''Ursprung (0|0)''' geht
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = [[Datei:Bild Geogebra T-Shirt.png|mini|700x700px|ohne]]
Warum geht diese Gerade durch den Ursprung?
* Wenn du 0 T-Shirts kaufst, kostet das 0 €.
* Wenn du 0 Minuten mit dem Fahrrad gefahren bist, hast du 0 km zurückgelegt.
}}

=====In einer Gleichung (Funktionsgleichung)=====
Wenn eine Zuordnung proportional ist, kannst du folgende Formel nutzen:
 <math> y=k \cdot x</math>

(Diese Formel kennst du schon aus dem Kasten "Proportionale Zuordnung") Dann kannst du mit dieser Formel einen Graphen erstellen.
<ggb_applet id="vwsawpms" width="700" height="700" />

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Benutze den Schieberegler und beschreibe jeweils in einem kurzen Satz, wie der Graph bei den Werten <math> k = -2,3; k = 0; k = 1 </math> und <math> k = 5 </math> aussieht! 
Achte dabei vor allem darauf, durch welche Punkte die Gerade, beziehungsweise der Graph, geht.
Beschreibe in welche Richtung der Graph steigt.
}}

=== Typische Beispiele aus dem Alltag===
Proportional

*Eis kostet 1,20 € pro Kugel.
*Beim Joggen läufst du 8 km pro Stunde.
*Eine Maschine produziert 50 Teile pro Stunde.
*Eine Kerze brennt jede Stunde 3 cm ab.
*Ein Fahrstuhl fährt, ohne dass er angehalten wird, 1 Stockwerk pro Sekunde.

Nicht proportional

*Taxi: Grundgebühr + Preis pro km
* Handyvertrag: fester Grundpreis + Kosten pro GB
*Parkhaus: 1 € für die erste Stunde; jede weitere halbe Stunde kostet 50 ct.

Diese Situationen starten nicht bei 0! Das bringt uns nämlich zum nächsten Kapitel: Funktionen als eindeutige Zuordnungen, welche nicht durch 0 gehen müssen.

{{Fortsetzung|weiter=(Lineare) Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|vorher=Startseite|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:25:13Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:24:23Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Lineare Funktionen}}

__NOTOC__
{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}

Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphen. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app =
| height = 500px
}}
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Knobler
| Inhalt = Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.
{{Lösung versteckt|
Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
|Übung für Knobler aufklappen | Übung für Knobler verstecken
}}
}}

=== Der Parameter b ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
* Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
* Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
* b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
* Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Der y-Achsenabschnitt b
| Inhalt =
Der Parameter b beschreibt, '''wo der Graph beginnt''', also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist.
Er gibt damit an, '''an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet''' und wie der Graph im Koordinatensystem '''nach oben oder unten verschoben''' ist.
Man nennt ihn deshalb auch den '''y-Achsenabschnitt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

* Ist b '''positiv''', dann liegt der Graph bei x=0 '''oberhalb''' der x-Achse und ist nach '''oben verschoben'''.
* Ist b '''negativ''', dann liegt der Graph bei x=0 '''unterhalb''' der x-Achse und ist nach '''unten verschoben'''.
* Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den '''Ursprung (0I0)'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Den Parameter b kannst du dir wie den '''Startpunkt''' einer Bewegung vorstellen.
Er beschreibt, '''wo etwas beginnt''', bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:
* Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
* Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
* Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der '''Wert''', den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also '''bei x=0''').
}}

Den Parameter b kannst du also bei einer Tabelle schnell herausfinden, falls der Punkt x = 0 in der Tabelle steht. Der Parameter b ist dann nämlich der y-Wert, der bei x = 0 steht.

===Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung 1
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher=Funktionen als eindeutige Zuordnungen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Funktionen als eindeutige Zuordnungen

2026-03-25T12:23:46Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Funktionen als eindeutige Zuordnungen}}
__NOTOC__{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}
===Was ist eine Funktion? (Definition Funktion)===
Schauen wir uns einen Graphen an, der den gefahrenen Weg eines Fahrstuhls zeigt. Wobei die x-Achse die Zeit und die y-Achse das jeweilige Stockwerk ist:
[[Datei:Besseres Bild Fahrstuhl.png|ohne|mini|700x700px]]Zu jeder Zeit (z.B. 0 s, 3 s, 6 s, ...) gehört immer '''genau ein Stockwerk.'''

Der Fahrstuhl kann nicht gleichzeitig in unterschiedlichen Stockwerken zur selben Zeit sein!

Allgemein bedeutet das:

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionen
| Inhalt = Funktionen ordnen jedem Eingangswert '''genau einen''' Ausgangswert zu. Also zu jedem x-Wert gehört '''genau ein''' y-Wert'''.'''
 
Solche Zuordnungen nennt man auch eindeutige Zuordnungen oder Funktionen.

ANDERSHERUM: Wenn ein x-Wert zwei unterschiedliche y-Werte hat, ist es keine Funktion!
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

===Aufgabe: Ist das eine Funktion?===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Stellen die abbgebildeten Graphen eine Funktion dar?
{{LearningApp
| app = p37z2czit25
| height = 500px
}}
}}

===Was sind proportionale Funktionen?===
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Proportionale Funktionen
| Inhalt = Proportionale Funktionen sind '''eindeutige, proportionale Zuordnungen''', die '''durch den Ursprung''' verlaufen. Das bedeutet: Wenn der Eingangswert 0 ist, dann ist der Ausgangswert ebenfalls 0. Dabei verändert sich der Ausgangswert '''gleichmäßig'''.
}}

===Wenn etwas nicht bei 0 startet - was dann?===
Im echten Leben gibt es viele Situationen, in denen etwas nicht bei 0 beginnt.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Ein Fahrstuhl startet im 2.Stock. Alle 3 Sekunden fährt dieser 1 Stockwerk nach oben. 
Wir untersuchen nun, wo dieser sich nach verschiedenen Zeiten befindet:
[[Datei:Tabelle Aufzug Stockwerke.jpg|mini|700x700px|ohne]]
}}

Hier gibt es also einen Startwert, der nicht 0 ist.
Das heißt:

Die Zuordnung ist '''nicht proportional, aber trotzdem gleichmäßig'''!

Einen solchen Zusammenhang nennen wir '''linear'''. Also heißen die dazugehörigen Funktionen:

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Lineare Funktionen
| Inhalt = '''Lineare Funktionen''' sind proportionale Zuordnungen, die nicht durch den Ursprung (0{{!}}0) geht.
Das heißt eine lineare Funktion besteht aus einem '''Startwert, der nicht 0 sein muss''' und einer '''gleichmäßigen Änderung''' (linearer Zusammenhang).
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}

=== Aufgabe: Linear oder nicht linear? ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Entscheide, ob es sich bei den gegebenen Beispielen um lineare Zusammenhänge handelt oder nicht.
{{LearningApp
| app = pnfurxvet26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Gleichmäßige Änderung:
# pro Sekunde 1 cm Wachstum
# pro Stunde 5 km Strecke
Startwert, der nicht 0 sein muss:
# Startgebühren beim Taxi
# Start im 2. Stock
# Startfüllstand eines Tanks beim tanken
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Finde 2-3 weitere Beispiele zu linearen Funktionen und schreibe diese in dein Heft!
}}

===Wie sieht das im Koordinatensystem aus?===
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Wenn wir die Wertepaare aus dem Fahrstuhl-Beispiel in ein Koordinatensystem eintragen, wird folgendes sichtbar:

*Die Punkte liegen alle auf '''einer Geraden.'''
*Die Gerade '''geht bei dieser linearen Funktion nicht durch den Ursprung (P(0I0))''', sondern sie schneidet die y-Achse oberhalb oder unterhalb der 0.

[[Datei:Besseres Bild Fahrstuhl.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

Aus diesem Graphen lässt sich schlussfolgern, dass:

*Jeder proportionale Zusammenhang linear,
*aber nicht jeder lineare Zusammenhang proportional ist!

===Aufgabe===
Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Du bist dir noch unsicher, was lineare Funktionen sind? Dann bearbeite folgenden Lückentext:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pz9p0omw226
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon sicher, was lineare Funktionen sind? Dann bearbeite folgenden Lückentext:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pawi2oank26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}
}}

===Zusammenfassung===
In diesem Kapitel hast du '''lineare Zusammenhänge''' anhand von Beispielen aus deinem Alltag kennengelernt.

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Schreibe die '''wichtigsten Erkenntnisse über lineare Funktionen''' in dein Heft.
Gehe dabei auf Besonderheiten wie gleichmäßige Veränderung und den Startwert ein. Beachte außerdem, wie sich die einzelnen Punkte im Koordinatensystem verhalten.
}}

Falls du dir noch unsicher bist, findest du hier eine Liste:
{{Lösung versteckt|
*Du hast gesehen, dass die Werte '''gleichmäßig''' wachsen oder fallen.
*Du hast erkannt, dass es oft einen '''Startwert''' gibt.
*Du hast gesehen, dass die Punkte im Koordinatensystem auf einer '''Geraden''' liegen.
*Und du weißt: Lineare Zusammenhänge sind '''eindeutige Zuordnungen''', also '''Funktionen'''.
|Hinweise anzeigen|Hinweise verstecken
}}

{{Fortsetzung|vorher=Wiederholung (proportionale) Zuordnungen|
vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen|übersicht=Startseite|
übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiter=Lineare Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Wiederholung (proportionale) Zuordnungen

2026-03-25T12:23:33Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Wiederholung (proportionale) Zuordnungen}}{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | (Lineare) Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Funktionsgleichung linearer Funktionen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen | Darstellungsarten linearer Funktionen]]
}}__NOTOC__

=== Was ist überhaupt eine "Zuordnung"? ===
Im Alltag gibt es viele Situationen, in denen zwei Größen zusammenhängen.

Eine Größe nennen wir '''Eingangswert (Wert aus der Definitionsmenge)''', die andere '''Ausgangswert (Wert aus der Wertemenge)'''.
[[Datei:Zuordnungen allgemein.png|mini|700x700px|ohne|Die blauen Punkte sind hier Werte aus der Definitionsmenge und die lila Punkte sind Werte aus der Wertemenge. Die Werte aus der Definitionsmenge werden der Wertemenge zugeordnet.]]
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Definitions- und Wertebereich
| Inhalt = Immer wenn '''jedem Wert aus dem Definitionsbereich mindestens ein Wert aus dem Wertebereich zugeordnet wird''', sprechen wir von einer '''Zuordnung'''. Zusammengehörige Werte nennen wir '''Wertepaare'''.
}}

Das kann so aussehen:
[[Datei:Definitionsmenge Beispiel allgemein.jpg|ohne|mini|700x700px]]
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = Wenn ein Zug 120 km pro Stunde fährt, hängt die '''gefahrene Strecke''' davon ab, '''wie viel Zeit''' vergangen ist. Man sagt, der '''Zeit wird die gefahrene Strecke zugeordnet'''. In Symbolen schreibt man:
*Zeit → Strecke.

Weitere Beispiele sind:
# Anzahl 🠒 Preis ("Die Anzahl wir dem Preis zugeordnet.")
# Weg 🠒 Zeit ("Dem Weg wird die Zeit zugeordnet.")
# Klasse 🠒 Schüler:innen ("Der Klasse werden Schüler:innen zugeordnet.")
# Augenfarbe 🠒 Person ("Die Augenfarbe wird Personen zugeordnet.")
[[Datei:Augenfarbe Person.jpg|ohne|mini|700x700px]]

}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Eindeutige Zuordnung
| Inhalt = Wird jedem Wert aus der Definitionsmenge '''genau ein Wert''' aus der Wertemenge '''zugeordnet''', dann sprechen wir von einer '''eindeutigen Zuordnung'''.
Das bedeutet: Zu jedem x gehört '''genau ein''' y. Nie mehr oder weniger!
}}[[Datei:Höchstens ein Wert.jpg|mini|700x700px|ohne|Zu jedem Wert aus der Definitionsmenge wird '''genau''' ein Wert aus der Wertemenge zugeordnet.]]{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele
| Inhalt = * 1 T-Shirt 🠒 12 €
* 2 T-Shirts 🠒 24 €
* 3 T-Shirts 🠒 36 €

Hier hat jeder Wert der Definitionsmenge (1, 2, 3) genau einen Ausgangswert (12, 24, 36).

[[Datei:Zuordnungen Beispiel Tiere.png|ohne|mini|700x700px]]
Tier 🠒 Lebensraum ("Die Tiere werden dem jeweiligen Lebensraum zugeordnet.")

Das sind eindeutige Zuordnungen.
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Gegenbeispiel
| Inhalt = [[Datei:Nicht eindeutig.png|ohne|mini|700x700px]]
Hier wird die 1 gleichzeitig 5 und 7 zugeordnet. Daher ist die Zuordnung nicht eindeutig!
}}

=== Aufgabe: Ist die Zuordnung eindeutig? ===
Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt =

Du bist dir noch unsicher, woran man eindeutige Zuordnungen erkennt? Dann bearbeite folgendes Quiz:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pgik5q5ba26
| height = 500px
}}|leichte Aufgabe anzeigen | leichte Aufgabe verstecken}}

Du fühlst dich schon sicher im Erkennen eindeutiger Zuordnungen? Überprüfe dein Wissen an folgendem Quiz:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = ph02e1r4a26
| height = 500px
}}|schwierige Aufgabe anzeigen | schwierige Aufgabe verstecken}}

}}

=== Was macht eine Zuordnung "proportional"? ===
Eine Zuordnung heißt '''proportional''', wenn Folgendes gilt:

'''Verändert man die eine Größe, verändert sich die andere im gleichen Verhältnis.'''

*Kurz: Je mehr von A, desto gleichmäßig mehr von B
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = * Doppelte Anzahl 🠒 doppelter Preis
* Dreifache Zeit 🠒 dreifache Strecke
* Halbe Anzahl 🠒 halber Preis
[[Datei:Bild Eis.jpg|ohne|mini|700x700px|Möchte Tim kein Eis kaufen, dann muss er auch kein Geld zahlen. 
Möchte Tim ein Eis kaufen, dann muss er 2 € zahlen. 
Möchte Tim zwei Eis kaufen, dann muss er 4 € zahlen.]]
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Proportionale Zuordnung
| Inhalt = In einer proportionalen Zuordnung gilt immer: 
<div style="text-indent:100px;">''y = k ⋅ x''</div>
* x = Eingangswert (z.B. Anzahl an T-Shirts)
* y = Ausgangswert (z.B. Preis)
* k = Proportionalitätsfaktor
** "Wie viel kostet ein Stück"
** "Wie viel km schafft man in einer Stunde" 
Es gibt also immer '''denselben Zuwachs pro Einheit''', alle Wertepaare haben das gleiche Verhältnis. Dieses Verhältnis nennt man den '''Proportionalitätsfaktor k'''.
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiele für Proportionalitätsfaktoren:
| Inhalt = * Preis pro Stück
* Strecke pro Zeit
* Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h)
* Verbrauch pro km
* Gewicht pro Stück (z.B. 1 Apfel = 150 g)
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Konkretes Beispiel
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Tshirt.png|mini|700x700px|ohne]]
* Verdoppelt man die Anzahl von 1 auf 2, so verdoppelt sich der Preis auch von 12 € auf 24 €.
* Verdreifacht man die Anzahl von 1 auf 3, so verdreifacht sich der Preis auch von 12 € auf 36 €.
*Aber das Verhältnis der Wertepaare bleibt immer gleich! Das kann man mit folgender Rechnung zeigen:
<div style="text-indent:100px;"><math>\frac{Preis\, y\, in\, €}{Anzahl\, x\, T\, Shirts}=\frac{y}{x}=\frac{12}{1}=\frac{24}{2}=⋯=12=k</math></div>
}}

===Wie erkenne ich proportionale Zuordnungen?===
=====In einer Tabelle (Funktionstabelle)=====
Eine Zuordnung ist proportional, wenn:

#Das Verhältnis <math>\frac{y}{x}</math> immer '''gleich''' bleibt
# Die Wertepaare sich direkt "hochrechnen" lassen (Wenn ''x'' sich verdoppelt, dann verdoppelt sich auch ''y''; Wenn sich ''x'' verdoppelt, dann verdreifacht sich auch ''y''; etc.)

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel - NICHT proportional
| Inhalt = [[Datei:Nicht proportional Beispiel neu.mp4|mini|700x350px|ohne]]
Warum ist diese Zuordnung denn nicht proportional?
Schauen wir uns dieses Beispiel Mal genauer an: 
Wenn man sich die linke Spalte dieser Tabelle ansieht, fällt auf, dass ''x'' immer um 1 steigt. 
Wenn man sich aber die rechte Spalte anguckt, fällt auf, dass ''y'' bei dem ersten Mal um 5 steigt, aber dann beim zweiten Mal um 7 steigt, also ist der Proportionalitätsfaktor ''k'' nicht gleich: 
<math> \frac{5}{1} = 5</math> 
<math> \frac{10}{2} = 5</math> 
ABER! 
<math> \frac{17}{3} \neq 5</math>
}}

=====In einem Koordinatensystem (Funktionsgraph)=====
Eine proportionale Zuordnung hat immer folgende Eigenschaften:

*Es ist eine '''Gerade'''
*die durch den '''Ursprung (0|0)''' geht
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt = [[Datei:Bild Geogebra T-Shirt.png|mini|700x700px|ohne]]
Warum geht diese Gerade durch den Ursprung?
* Wenn du 0 T-Shirts kaufst, kostet das 0 €.
* Wenn du 0 Minuten mit dem Fahrrad gefahren bist, hast du 0 km zurückgelegt.
}}

=====In einer Gleichung (Funktionsgleichung)=====
Wenn eine Zuordnung proportional ist, kannst du folgende Formel nutzen:
 <math> y=k \cdot x</math>

(Diese Formel kennst du schon aus dem Kasten "Proportionale Zuordnung") Dann kannst du mit dieser Formel einen Graphen erstellen.
<ggb_applet id="vwsawpms" width="700" height="700" />

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Benutze den Schieberegler und beschreibe jeweils in einem kurzen Satz, wie der Graph bei den Werten <math> k = -2,3; k = 0; k = 1 </math> und <math> k = 5 </math> aussieht! 
Achte dabei vor allem darauf, durch welche Punkte die Gerade, beziehungsweise der Graph, geht.
Beschreibe in welche Richtung der Graph steigt.
}}

=== Typische Beispiele aus dem Alltag===
Proportional

*Eis kostet 1,20 € pro Kugel.
*Beim Joggen läufst du 8 km pro Stunde.
*Eine Maschine produziert 50 Teile pro Stunde.
*Eine Kerze brennt jede Stunde 3 cm ab.
*Ein Fahrstuhl fährt, ohne dass er angehalten wird, 1 Stockwerk pro Sekunde.

Nicht proportional

*Taxi: Grundgebühr + Preis pro km
* Handyvertrag: fester Grundpreis + Kosten pro GB
*Parkhaus: 1 € für die erste Stunde; jede weitere halbe Stunde kostet 50 ct.

Diese Situationen starten nicht bei 0! Das bringt uns nämlich zum nächsten Kapitel: Funktionen als eindeutige Zuordnungen, welche nicht durch 0 gehen müssen.

{{Fortsetzung|weiter=Funktionen als eindeutige Zuordnungen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|vorher=Startseite|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:23:10Z

LaVi:

Datei:Screenshot Inhaltsverzeichnis.png

2026-03-25T12:22:43Z

LaVi: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Screenshot Inhaltsverzeichnis
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:LaVi|LaVi]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:18:58Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:18:18Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Lineare Funktionen}}

__NOTOC__

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung (proportionale) Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | Funktion als eindeutige Zuordnung]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Lineare Funktionen]]
}}
Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphen. Trage jeweils ein passendes Wort oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app =
| height = 500px
}}
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Knobler
| Inhalt = Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.
{{Lösung versteckt|
Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
|Übung für Knobler aufklappen | Übung für Knobler verstecken
}}
}}

=== Der Parameter b ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
* Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
* Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
* b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
* Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Der y-Achsenabschnitt b
| Inhalt =
Der Parameter b beschreibt, '''wo der Graph beginnt''', also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist.
Er gibt damit an, '''an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet''' und wie der Graph im Koordinatensystem '''nach oben oder unten verschoben''' ist.
Man nennt ihn deshalb auch den '''y-Achsenabschnitt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

* Ist b '''positiv''', dann liegt der Graph bei x=0 '''oberhalb''' der x-Achse und ist nach '''oben verschoben'''.
* Ist b '''negativ''', dann liegt der Graph bei x=0 '''unterhalb''' der x-Achse und ist nach '''unten verschoben'''.
* Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den '''Ursprung (0I0)'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Den Parameter b kannst du dir wie den '''Startpunkt''' einer Bewegung vorstellen.
Er beschreibt, '''wo etwas beginnt''', bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:
* Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
* Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
* Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der '''Wert''', den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also '''bei x=0''').
}}

Den Parameter b kannst du also bei einer Tabelle schnell herausfinden, falls der Punkt x = 0 in der Tabelle steht. Der Parameter b ist dann nämlich der y-Wert, der bei x = 0 steht.

===Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung 1
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher=Funktionen als eindeutige Zuordnungen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T12:17:35Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Lineare Funktionen}}

__NOTOC__

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung (proportionale) Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | Funktion als eindeutige Zuordnung]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Lineare Funktionen]]
}}
Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphen. Trage jeweils ein passendes Wört oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder null ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app =
| height = 500px
}}
}}{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Knobler
| Inhalt = Du bist schon Profi darin, die Steigung einer Funktion zu bestimmen? Dann probiere dich gerne an dieser freiwilligen Knobelaufgabe.
{{Lösung versteckt|
Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
|Übung für Knobler aufklappen | Übung für Knobler verstecken
}}
}}

=== Der Parameter b ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du b mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich b vergrößere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je größer b ist, desto ... liegt der Graph.
* Wenn ich b verkleinere, wird der Graph nach ... verschoben.
* Je kleiner b ist, desto ... liegt der Graph.
* Der Graph verändert seine ..., aber nicht seine Steigung.
* b gibt die Stelle an, bei der der Graph die ... schneidet.
* Wenn b gleich 0 ist, dann geht der Graph durch den ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Der y-Achsenabschnitt b
| Inhalt =
Der Parameter b beschreibt, '''wo der Graph beginnt''', also den y-Wert, den die Funktion annimmt, wenn <x=0 ist.
Er gibt damit an, '''an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet''' und wie der Graph im Koordinatensystem '''nach oben oder unten verschoben''' ist.
Man nennt ihn deshalb auch den '''y-Achsenabschnitt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:

* Ist b '''positiv''', dann liegt der Graph bei x=0 '''oberhalb''' der x-Achse und ist nach '''oben verschoben'''.
* Ist b '''negativ''', dann liegt der Graph bei x=0 '''unterhalb''' der x-Achse und ist nach '''unten verschoben'''.
* Ist b=0, dann verläuft der Graph durch den '''Ursprung (0I0)'''.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir den y-Achsenabschnitt im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Den Parameter b kannst du dir wie den '''Startpunkt''' einer Bewegung vorstellen.
Er beschreibt, '''wo etwas beginnt''', bevor sich überhaupt etwas verändert.

Stell dir vor, du startest eine Wanderung:
* Du beginnst auf 100 Metern Höhe, dann ist b=100.
* Du startest im Tal bei 0 Metern, dann ist b=0.
* Du startest unter dem Meeresspiegel, dann ist b negativ.

b ist also der '''Wert''', den der Graph hat, bevor man "nach rechts" geht (also '''bei x=0''').
}}

Den Parameter b kannst du also bei einer Tabelle schnell herausfinden, falls der Punkt x = 0 in der Tabelle steht. Der Parameter b ist dann nämlich der y-Wert, der bei x = 0 steht.

===Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung 1
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher=Funktionen als eindeutige Zuordnungen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T11:47:50Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Lineare Funktionen}}

__NOTOC__

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung (proportionale) Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | Funktion als eindeutige Zuordnung]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Lineare Funktionen]]
}}
Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphen. Trage jeweils ein passendes Wört oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

=== Aufgaben ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme, ob die Steigung der linearen Funktionen positiv, negativ oder konstant ist. Bestimme außerdem den Wert m anhand der Funktionsgleichung.
{{LearningApp
| app = pou19biu326
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen anhand der Graphen.
{{LearningApp
| app = pt0sknmqn26
| height = 500px
}}
}}

{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = '''Suche dir eine dieser Aufgaben aus, und löse diese!'''

Du bist dir noch '''unsicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = psu1mmgqk26
| height = 500px}}
|leichte Aufgabe anzeigen|leichte Aufgabe verstecken
}}
 
Du bist dir schon '''sicher''', wie man die Steigung einer linearen Funktionen bestimmt? Dann bearbeite folgende Aufgabe:
{{Lösung versteckt|
{{LearningApp
| app = pc3c0vuea26
| height = 500px
}}
|schwere Aufgabe anzeigen|schwere Aufgabe verstecken
}}

}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe
| Inhalt = Bestimme die Steigung der linearen Funktionen mithilfe der Wertetabellen.
{{LearningApp
| app =
| height = 500px
}}
}}

{{Lösung versteckt|
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Schnelle
| Inhalt = Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
}}
|Übung für Schnelle aufklappen | Übung für Schnelle verstecken
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Der Parameter b
| Inhalt = In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
 
Den Parameter b kannst du also bei einer Tabelle schnell herausfinden, falls der Punkt x = 0 in der Tabelle steht. Der Parameter b ist dann nämlich der y-Wert, der bei x = 0 steht.
}}

m ausrechnen durch Differenzen von y und x.

Funktionsgleichung aus zwei Punkten?

===Aufgaben zu lineareren Funktionen ===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung 1
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher=Funktionen als eindeutige Zuordnungen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T10:57:43Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T10:04:22Z

LaVi:

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T09:58:50Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Lineare Funktionen}}

__NOTOC__

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung (proportionale) Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | Funktion als eindeutige Zuordnung]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Lineare Funktionen]]
}}Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphen. Trage jeweils ein passendes Wört oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

ÜBUNG: STEIGUNG M AUS GRAPH UND WERTETABELLE BESTIMMEN
{{Lösung versteckt|
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Schnelle
| Inhalt = Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
}}
|Übung für Schnelle aufklappen | Übung für Schnelle verstecken
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Der Parameter b
| Inhalt = In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
 
Den Parameter b kannst du also bei einer Tabelle schnell herausfinden, falls der Punkt x = 0 in der Tabelle steht. Der Parameter b ist dann nämlich der y-Wert, der bei x = 0 steht.
}}

m ausrechnen durch Differenzen von y und x.

Funktionsgleichung aus zwei Punkten?

===Wie können lineare Funktionen dargestellt werden? ===
Lineare Funktionen können auf ner Gleichung beschreiben'''. dargestellt werden. Dabei beschreiben alle den immer ähnlich aus:'''
'''<m, nur auf unterschiedliche Weise.'''

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:

{{Lösung versteckt|Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach '''in Worten beschrieben''' werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:
* Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
* Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).}}

Solche Texte helfen dir, den '''Zusammenhang zu verstehen''', bevor du ihn mathematisch darstellst.
Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

|Text |Text}}

{{Lösung versteckt|
Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch '''mit einer Gleichung beschreiben'''.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus:
'''<math display="block">y = m \cdot x+b</math>'''
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
<math display="block">y = 2 \cdot x+4</math>
Das bedeutet:
* x steht für die gefahrenen Kilometer
* y steht für den Preis
Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt
Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)
}}
Mit einer solchen Gleichung kannst du '''genau berechnen''', wie sich der Zusammenhang verhält.
Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.
|Funktionsgleichung|Funktionsgleichung}}

{{Lösung versteckt|
Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang '''in einer Tabelle darzustellen'''.
Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
In der Tabelle siehst du:
* Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
* Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)}}
Die Tabelle hilft dir besonders gut, den '''Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen''' und '''Muster zu erkennen'''.
|Wertetabelle|Wertetabelle}}

{{Lösung versteckt|
Schließlich kann man eine lineare Funktion auch '''als Graph im Koordinatensystem darstellen'''.
Dazu:
1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein
2. Verbindest die Punkte miteinander
Das Ergebnis ist '''eine Gerade'''.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini|500px]]}}
Diese Gerade zeigt:
* Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
* Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)
Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den '''gesamten Zusammenhang auf einen Blick''' sehen kannst.

|Graph|Graph}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Zusammenhang der Darstellungen
| Inhalt = Eine lineare Funktion kann als '''Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph''' dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und '''beschreiben denselben Zusammenhang''' auf unterschiedliche Weise:
* Der Text erklärt die Situation
* Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
* Die Tabelle zeigt einzelne Werte
* Der Graph macht den Verlauf sichtbar

'''Wichtig:''' Du kannst dabei jederzeit '''zwischen den Darstellungen wechseln!'''
}}

===Aufgaben zu lineareren Funktionen===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung 1
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher=Funktionen als eindeutige Zuordnungen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T09:52:34Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Lineare Funktionen}}

__NOTOC__{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung (proportionale) Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | Funktion als eindeutige Zuordnung]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Lineare Funktionen]]
}}Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphen. Trage jeweils ein passendes Wört oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

ÜBUNG: STEIGUNG M AUS GRAPH UND WERTETABELLE BESTIMMEN
{{Lösung versteckt|
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Schnelle
| Inhalt = Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
}}
|Übung für Schnelle aufklappen | Übung für Schnelle verstecken
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Der Parameter b
| Inhalt = In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
 
Den Parameter b kannst du also bei einer Tabelle schnell herausfinden, falls der Punkt x = 0 in der Tabelle steht. Der Parameter b ist dann nämlich der y-Wert, der bei x = 0 steht.
}}

m ausrechnen durch Differenzen von y und x.

Funktionsgleichung aus zwei Punkten?

===Wie können lineare Funktionen dargestellt werden? ===
Lineare Funktionen können auf ner Gleichung beschreiben'''. dargestellt werden. Dabei beschreiben alle den immer ähnlich aus:'''
'''<m, nur auf unterschiedliche Weise.'''

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:

{{Lösung versteckt|Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach '''in Worten beschrieben''' werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:
* Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
* Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).}}

Solche Texte helfen dir, den '''Zusammenhang zu verstehen''', bevor du ihn mathematisch darstellst.
Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

|Text |Text}}

{{Lösung versteckt|
Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch '''mit einer Gleichung beschreiben'''.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus:
'''<math display="block">y = m \cdot x+b</math>'''
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
<math display="block">y = 2 \cdot x+4</math>
Das bedeutet:
* x steht für die gefahrenen Kilometer
* y steht für den Preis
Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt
Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)
}}
Mit einer solchen Gleichung kannst du '''genau berechnen''', wie sich der Zusammenhang verhält.
Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.
|Funktionsgleichung|Funktionsgleichung}}

{{Lösung versteckt|
Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang '''in einer Tabelle darzustellen'''.
Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
In der Tabelle siehst du:
* Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
* Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)}}
Die Tabelle hilft dir besonders gut, den '''Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen''' und '''Muster zu erkennen'''.
|Wertetabelle|Wertetabelle}}

{{Lösung versteckt|
Schließlich kann man eine lineare Funktion auch '''als Graph im Koordinatensystem darstellen'''.
Dazu:
1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein
2. Verbindest die Punkte miteinander
Das Ergebnis ist '''eine Gerade'''.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini|500px]]}}
Diese Gerade zeigt:
* Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
* Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)
Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den '''gesamten Zusammenhang auf einen Blick''' sehen kannst.

|Graph|Graph}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Zusammenhang der Darstellungen
| Inhalt = Eine lineare Funktion kann als '''Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph''' dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und '''beschreiben denselben Zusammenhang''' auf unterschiedliche Weise:
* Der Text erklärt die Situation
* Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
* Die Tabelle zeigt einzelne Werte
* Der Graph macht den Verlauf sichtbar

'''Wichtig:''' Du kannst dabei jederzeit '''zwischen den Darstellungen wechseln!'''
}}

===Aufgaben zu lineareren Funktionen===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung 1
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher=Funktionen als eindeutige Zuordnungen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen|weiterlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Darstellungsarten_linearer_Funktionen|weiter=Darstellungsarten linearer Funktionen}}

Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-25T09:47:35Z

LaVi:

{{DISPLAYTITLE:Lineare Funktionen}}

__NOTOC__{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen | Startseite]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Wiederholung_(proportionale)_Zuordnungen | Wiederholung (proportionale) Zuordnungen]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen | Funktion als eindeutige Zuordnung]]
#[[Benutzer:LaVi/Lineare Funktionen/Lineare Funktionen | Lineare Funktionen]]
}}Die Formel <math>y=k \cdot x</math> hast du bereits bei den proportionalen Zuordnungen in diesem Lernpfad gesehen.

Hier geht es jetzt darum, wie diese Formel bei einer linearen Funktion aussieht, wie du mit dieser rechnen kannst und was die Buchstaben (Parameter y, m und b) darin bedeuten.

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Funktionsgleichung einer linearen Funktion
| Inhalt = Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

<math display="block">y = m \cdot x+b</math>
}}

=== Der Parameter m ===
In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert m genauer an.
<ggb_applet id="pad9phgp" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler m.
Kommt dir bekannt vor, was du da siehst?
{{Lösung versteckt|Das kennst du schon von proportionalen Zuordnungen. Der Parameter m gibt auch hier die Steigung an.}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = Beschreibe in deinem Heft, wie sich der Graph verändert, wenn du m mithilfe des Schiebereglers veränderst.

Falls du dir unsicher bist, wie du deine Beobachtungen ausformulieren kannst, findest du hier ein paar mögliche Satzanfänge:
{{Lösung versteckt|
* Wenn ich m vergrößere, wird der Graph ... .
* Je größer m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m größer als 0 ist, dann ... der Graph.
* Wenn ich m verkleinere, wird der Graph ... .
* Je kleiner m ist, desto ... wird der Graph.
* Wenn m kleiner als 0 ist, dann ... der Graph.
* Der Graph verändert seine ... , aber nicht seine Lage.
* Wenn m gleich 0 ist, dann ist der Graph ... .
|Formulierungshilfen anzeigen|Formulierungshilfen ausblenden
}}
}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Die Steigung m
| Inhalt = Die Steigung m beschreibt, ''' wie (stark) sich der y-Wert verändert''', wenn sich der x-Wert um 1 erhöht.
Sie gibt also an, wie '''steil eine Gerade ist''' und wie sich der '''Graph von links nach rechts entwickelt'''.

Dabei unterscheidet man drei Fälle:
* Ist '''m positiv''', dann '''steigt''' der Graph und die y-Werte werden größer.
* Ist '''m negativ''', dann '''sinkt''' der Graph und die y-Werte werden kleiner.
* Ist '''m=0''', verläuft der Graph '''konstant''' (parallel zu x-Achse) und der y-Wert bleibt immer gleich.
}}
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel =
| Inhalt = Übernehme den Merkkasten in dein Heft!
}}
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Wie du dir die Steigung im Alltag vorstellen kannst
| Inhalt =
Die Steigung m kannst du dir wie einen Weg auf einen Berg vorstellen.
Sie beschreibt, '''wie schnell es nach oben oder unten geht''', wenn du dich nach vorne bewegst.

* Gehst du 1 Meter nach vorne und dabei 2 Meter nach oben, dann ist die Steigung <math>m=2</math>.
* Gehst du nur wenig nach oben, ist die Steigung klein.
* Gehst du stark nach oben, ist die Steigung groß.
Die Steigung sagt also:<blockquote>'''Wie viel nach oben (oder unten) du gehst, wenn du einen Schritt nach rechts machst.'''</blockquote>
So kannst du die Steigung auch im Graphen verstehen: '''nach rechts gehen und schauen, wie weit es nach oben geht.'''
}}

==== Aufgabe ====
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung
| Inhalt = In den folgenden Aussagen geht es um die Steigung einer linearen Funktion und das Verhalten des Graphen. Trage jeweils ein passendes Wört oder Symbol ein, das die Aussage richtig ergänzt.
{{LearningApp
| app = pdzb4qjw326
| height = 500px
}}
}}

==== Die Steigung m bestimmen ====
Du kannst die '''Steigung anschaulich im Graphen bestimmen''' – mit einem sogenannten '''Steigungsdreieck'''.

Dazu gehst du so vor:
#Wähle zwei Punkte auf der Geraden aus: [[Datei:Steigungsdreieckxx1.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe vom ersten Punkt nach rechts bis zur Höhe des zweiten Punktes: [[Datei:Steigungsdreieckxx2.png|ohne|mini|400px]]
#Gehe dann nach oben oder unten zum zweiten Punkt: [[Datei:Steigungsdreieck 3.png|ohne|mini|400px]]

So entsteht ein '''rechtwinkliges Dreieck:'''

*Die waagerechte Strecke zeigt, wie stark sich ''x'' verändert.
*Die senkrechte Strecke zeigt, wie stark sich ''y'' verändert.
Aus den Strecken kannst du die '''Steigung berechnen:'''
<math>m = \frac{\ddot{A}nderung\ von\ y}{\ddot{A}nderung\ von\ x} </math> 
Die Steigung gibt also vereinfacht gesagt an:
'''„Wie viel nach oben (oder unten) pro Schritt nach rechts?“'''
{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Merkkasten
| Inhalt =
'''Mathematisch''' ausgedrück kannst du '''folgende Gleichung''' verwenden:
<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> 
Dabei sind A( x1 | y1 ) und B( x2 | y2 ) zwei verschiedene Punkte.}}

Auf diese Weise kannst du '''m auch mithilfe einer Wertetabelle''' bestimmen, indem du '''<math>y_2, y_1, x_2</math>''' und '''<math>x_1</math> in die Gleichung einsetzt'''.

ÜBUNG: STEIGUNG M AUS GRAPH UND WERTETABELLE BESTIMMEN
{{Lösung versteckt|
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Aufgabe für Schnelle
| Inhalt = Überlege dir, indem du zwei Skizzen machst und dir 3 Sätze dazu aufschreibst, wieso k mit <math>k = \frac{y}{x} </math> (proportionale Zuordnungen) und m mit <math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math> (lineare Funktionen) unterschiedliche Formeln haben.
}}
|Übung für Schnelle aufklappen | Übung für Schnelle verstecken
}}

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Der Parameter b
| Inhalt = In der folgenden Aufgabe schauen wir uns nun nur den Wert b geanuer an.
<ggb_applet id="qffjafye" width="700" height="700" />
Bewege den Schieberegler b.
Was fällt dir auf?
Stelle den Wert b = 2 ein und verschiebe den Schieberegler auf b = 3, was fällt dir jetzt auf?
{{Lösung versteckt | Die Graphen verschieben sich an der y-Achse, also nach oben und unten, wenn <math> b = 2 </math> ist, geht die Konstante Funktion durch den Punkt (0 | 2).}}
 
Den Parameter b kannst du also bei einer Tabelle schnell herausfinden, falls der Punkt x = 0 in der Tabelle steht. Der Parameter b ist dann nämlich der y-Wert, der bei x = 0 steht.
}}

m ausrechnen durch Differenzen von y und x.

Funktionsgleichung aus zwei Punkten?

===Wie können lineare Funktionen dargestellt werden? ===
Lineare Funktionen können auf ner Gleichung beschreiben'''. dargestellt werden. Dabei beschreiben alle den immer ähnlich aus:'''
'''<m, nur auf unterschiedliche Weise.'''

Schauen wir uns die vier Darstellungsarten genauer an:

{{Lösung versteckt|Eine lineare Funktion kann zuerst ganz einfach '''in Worten beschrieben''' werden. Dabei geht es meist um eine Situation aus dem Alltag.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
„Ein Taxi kostet 4 € Startgebühr und zusätzlich 2 € pro gefahrenem Kilometer.“

In diesem Text steckt bereits alles Wichtige:
* Es gibt einen festen Anfangswert (die 4 € Startgebühr).
* Danach wächst der Preis gleichmäßig weiter (2 € pro Kilometer).}}

Solche Texte helfen dir, den '''Zusammenhang zu verstehen''', bevor du ihn mathematisch darstellst.
Du erkennst hier also, was passiert und wie sich etwas verändert.

|Text |Text}}

{{Lösung versteckt|
Den Zusammenhang aus dem Text kann man auch '''mit einer Gleichung beschreiben'''.

Diese Gleichung sieht bei linearen Funktionen immer ähnlich aus:
'''<math display="block">y = m \cdot x+b</math>'''
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
<math display="block">y = 2 \cdot x+4</math>
Das bedeutet:
* x steht für die gefahrenen Kilometer
* y steht für den Preis
Die 2 zeigt, wie viel der Preis pro Kilometer steigt
Die 4 ist der Startwert (Preis am Anfang)
}}
Mit einer solchen Gleichung kannst du '''genau berechnen''', wie sich der Zusammenhang verhält.
Zum Beispiel kannst du ausrechnen, was eine Fahrt von 5 km kostet.
|Funktionsgleichung|Funktionsgleichung}}

{{Lösung versteckt|
Eine weitere Möglichkeit ist, den Zusammenhang '''in einer Tabelle darzustellen'''.
Dort werden einzelne Wertepaare übersichtlich aufgeschrieben.
{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Wertetabelle Taxi.png|ohne|mini]]
In der Tabelle siehst du:
* Für jede Strecke gibt es genau einen Preis
* Der Preis steigt immer um den gleichen Betrag (hier: 2 €)}}
Die Tabelle hilft dir besonders gut, den '''Zusammenhang Schritt für Schritt nachzuvollziehen''' und '''Muster zu erkennen'''.
|Wertetabelle|Wertetabelle}}

{{Lösung versteckt|
Schließlich kann man eine lineare Funktion auch '''als Graph im Koordinatensystem darstellen'''.
Dazu:
1. Trägst du die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte ein
2. Verbindest die Punkte miteinander
Das Ergebnis ist '''eine Gerade'''.

{{Box
| Klasse = Hervorhebung1
| Titel = Beispiel
| Inhalt =
Für das Taxi-Beispiel ergibt sich:
[[Datei:Fahrstuhl.png|ohne|mini|500px]]}}
Diese Gerade zeigt:
* Wo der Zusammenhang beginnt (Startwert)
* Wie stark er ansteigt (gleichmäßige Veränderung)
Der Graph ist besonders hilfreich, weil du den '''gesamten Zusammenhang auf einen Blick''' sehen kannst.

|Graph|Graph}}

{{Box
| Klasse = Merksatz
| Titel = Zusammenhang der Darstellungen
| Inhalt = Eine lineare Funktion kann als '''Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph''' dargestellt werden.

Alle vier Darstellungen gehören zusammen und '''beschreiben denselben Zusammenhang''' auf unterschiedliche Weise:
* Der Text erklärt die Situation
* Die Gleichung beschreibt sie mathematisch
* Die Tabelle zeigt einzelne Werte
* Der Graph macht den Verlauf sichtbar

'''Wichtig:''' Du kannst dabei jederzeit '''zwischen den Darstellungen wechseln!'''
}}

===Aufgaben zu lineareren Funktionen===
{{Box
| Klasse = Üben
| Titel = Übung 1
| Inhalt = [[Datei:Tabelle Taxipreise.png|ohne|mini|700x700px]]
}}

{{Fortsetzung|vorher=Funktionen als eindeutige Zuordnungen|vorherlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen/Funktionen_als_eindeutige_Zuordnungen|übersicht=Startseite|übersichtlink=Benutzer:LaVi/Lineare_Funktionen}}