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Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Gerade aus Punkten

2026-03-22T09:38:30Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}
In diesem Kapitel befasst du dich noch einmal genauer mit dem Zusammenhang zwischen Punkten und und Geraden.

==📌 Gerade aus Punkten==
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Die Formel hierfür ist dir bereits bekannt: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Setze die Koordinaten zweier dir bekannter Punkte (x₁; y₁) und (x₂; y₂) in die Formel ein. So erhälst du dein m. Danach setzt du m sowie einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung f(x) = y = mx + b ein. Dann kannst du die Gleichung nach b umstellen und somit erhälst du dein b. Nun schreibst du ein letztes Mal die Gleichung auf, bei der nun für m und b Zahlen stehen. So hast du die gesuchte Geradengleichung aufgestellt.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Punktprobe ====
Um rechnerisch festzustellen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, benötigst du zusätzlich zu dem Punkt, den du untersuchen willst, die Funktionsgleichung der Geraden. In die Funktionsgleichung setzt du den Punkt ein und rechnest die rechte Seite der Gleichung aus. Nun musst du dieses Ergebnis mit der linken Seite der Gleichung, also dem y-Wert des Punktes, vergleichen. Stimmen beide Werte überein, liegt der Punkt auf der Geraden. Das bezeichnet man als eine wahre Aussage.

 Beispiel: Liegt der Punkt A(1;5) auf der Geraden mit der Funktionsgleichung f(x) {{=}} 4x + 1?
# Punkt einsetzen: 5 {{=}} 4 • 1 + 1
# rechte Seite ausrechnen: 5 {{=}} 5
# Vergleichen: Die Werte auf der linken und der rechten Seite der Gleichung stimmen überein. Es handelt sich also um eine wahre Aussage. Daher liegt der Punkt A auf der Geraden.

 Stimmen die beiden Werte nicht überein, liegt der Punkt nicht auf der Geraden und man sagt, dass es sich um eine falsch Aussage handelt.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

a) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(2|3) und B(6|11).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x - 1.}}

b) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(1|5) und B(5|1).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung. Achtung: Die Steigung ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x + 6.}}

c) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(−1|2) und B(3|10).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und überprüfe damit dein Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

a) Gegeben ist die Gerade f(x) = 2x + 1. Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(3|7) auf der Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|7 {{=}} 2 • 3 + 1 {{=}} 7 Dies ist eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also auf der Geraden.}}

b) Gegeben ist die Gerade g(x) = −x + 4. Liegt der Punkt Q(4|−1) auf dieser Geraden? Begründe rechnerisch.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|-1 {{=}} -4 + 4 {{=}} 0 Dies ist eine falsche Aussage. Der Punkt Q liegt also nicht auf der Geraden.}}

c) Gegeben ist die Gerade h(x) = 0,5x − 2. Liegt der Punkt R(8|2) auf der Geraden? Begründe zeichnerisch. 
{{Lösung versteckt|Trage die Gerade und den Punkt in ein Koordinatensystem ein. Liegt der Punkt auf der Geraden?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.00.01.png|zentriert|400px]]Der Punkt R liegt nicht auf der Geraden.}}

d) Gib einen Punkt S an, der auf der Geraden h(x) = 0,5x − 2 liegt.
{{Lösung versteckt|Trage deinen gewählten Punkt in dieser [https://www.geogebra.org/calculator/kuyjyby9 GeoGebra-Datei] ein und überprüfe so, ob er auf der Geraden liegt.}}

<big>Aufgabe 3</big>

a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(1|2) und B(4|8). Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt C(5|10) auf dieser Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x. Der Punkt C liegt auf der Geraden, denn 10 {{=}} 2 • 5 {{=}} 10 ist eine wahre Aussage.}}

b) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(−2|3) und B(2|−1). Liegt der Punkt C(0|1) auf dieser Geraden? Begründe zeichnerisch.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x - 1. [[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.19.43.png|zentriert|400px]] Der Punkt C liegt auf der Geraden.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Welche der folgenden Punktpaare ergeben dieselbe Gerade? Stelle zuerst Vermutungen an und überprüfe sie dann, indem du die Geraden in ein Koordinatensystem in dein Heft zeichnest.

a) A(0|0) und B(2|2), b) C(1|1) und D(3|3), c) E(0|1) und F(2|3).
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 11.45.21.png|zentriert|400px]]}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Darstellungswechsel|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|
weiter=🤔 Weitere Übungen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Gerade aus Punkten

2026-03-19T08:35:30Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}
In diesem Kapitel befasst du dich noch einmal genauer mit dem Zusammenhang zwischen Punkten und und Geraden.

==📌 Gerade aus Punkten==
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Die Formel hierfür ist dir bereits bekannt: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Setze die Koordinaten zweier dir bekannter Punkte (x₁; y₁) und (x₂; y₂) in die Formel ein. So erhälst du dein m. Danach setzt du m sowie einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung f(x) = y = mx + b ein. Dann kannst du die Gleichung nach b umstellen und somit erhälst du dein b. Nun schreibst du ein letztes Mal die Gleichung auf, bei der nun für m und b Zahlen stehen. So hast du die gesuchte Geradengleichung aufgestellt.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Punktprobe ====
Um rechnerisch festzustellen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, benötigst du zusätzlich zu dem Punkt, den du untersuchen willst, die Funktionsgleichung der Geraden. In die Funktionsgleichung setzt du den Punkt ein und rechnest die rechte Seite der Gleichung aus. Nun musst du dieses Ergebnis mit der linken Seite der Gleichung, also dem y-Wert des Punktes, vergleichen. Stimmen beide Werte überein, liegt der Punkt auf der Geraden. Das bezeichnet man als eine wahre Aussage.

 Beispiel: Liegt der Punkt A(1;5) auf der Geraden mit der Funktionsgleichung f(x) {{=}} 4x + 1?
# Punkt einsetzen: 5 {{=}} 4 • 1 + b
# rechte Seite ausrechnen: 5 {{=}} 5
# Vergleichen: Die Werte auf der linken und der rechten Seite der Gleichung stimmen überein. Es handelt sich also um eine wahre Aussage. Daher liegt der Punkt A auf der Geraden.

 Stimmen die beiden Werte nicht überein, liegt der Punkt nicht auf der Geraden und man sagt, dass es sich um eine falsch Aussage handelt.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

a) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(2|3) und B(6|11).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x - 1.}}

b) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(1|5) und B(5|1).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung. Achtung: Die Steigung ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x + 6.}}

c) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(−1|2) und B(3|10).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und überprüfe damit dein Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

a) Gegeben ist die Gerade f(x) = 2x + 1. Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(3|7) auf der Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|7 {{=}} 2 • 3 + 1 {{=}} 7 Dies ist eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also auf der Geraden.}}

b) Gegeben ist die Gerade g(x) = −x + 4. Liegt der Punkt Q(4|−1) auf dieser Geraden? Begründe rechnerisch.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|-1 {{=}} -4 + 4 {{=}} 0 Dies ist eine falsche Aussage. Der Punkt Q liegt also nicht auf der Geraden.}}

c) Gegeben ist die Gerade h(x) = 0,5x − 2. Liegt der Punkt R(8|2) auf der Geraden? Begründe zeichnerisch. 
{{Lösung versteckt|Trage die Gerade und den Punkt in ein Koordinatensystem ein. Liegt der Punkt auf der Geraden?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.00.01.png|zentriert|400px]]Der Punkt R liegt nicht auf der Geraden.}}

d) Gib einen Punkt S an, der auf der Geraden h(x) = 0,5x − 2 liegt.
{{Lösung versteckt|Trage deinen gewählten Punkt in dieser [https://www.geogebra.org/calculator/kuyjyby9 GeoGebra-Datei] ein und überprüfe so, ob er auf der Geraden liegt.}}

<big>Aufgabe 3</big>

a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(1|2) und B(4|8). Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt C(5|10) auf dieser Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x. Der Punkt C liegt auf der Geraden, denn 10 {{=}} 2 • 5 {{=}} 10 ist eine wahre Aussage.}}

b) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(−2|3) und B(2|−1). Liegt der Punkt C(0|1) auf dieser Geraden? Begründe zeichnerisch.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x - 1. [[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.19.43.png|zentriert|400px]] Der Punkt C liegt auf der Geraden.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Welche der folgenden Punktpaare ergeben dieselbe Gerade? Stelle zuerst Vermutungen an und überprüfe sie dann, indem du die Geraden in ein Koordinatensystem in dein Heft zeichnest.

a) A(0|0) und B(2|2), b) C(1|1) und D(3|3), c) E(0|1) und F(2|3).
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 11.45.21.png|zentriert|400px]]}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Darstellungswechsel|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|
weiter=🤔 Weitere Übungen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Gerade aus Punkten

2026-03-19T08:33:17Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}
In diesem Kapitel befasst du dich noch einmal genauer mit dem Zusammenhang zwischen Punkten und und Geraden.

==📌 Gerade aus Punkten==
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Die Formel hierfür ist dir bereits bekannt: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Setze die Koordinaten zweier dir bekannter Punkte (x₁; y₁) und (x₂; y₂) in die Formel ein. So erhälst du dein m. Danach setzt du m sowie einen der beiden Punkte in die Funktionsgleichung f(x) = y = mx + b ein. Dann kannst du die Gleichung nach b umstellen und somit erhälst du dein b. Nun schreibst du ein letztes Mal die Gleichung auf, bei der nun für m und b Zahlen stehen. So hast du die gesuchte Geradengleichung aufgestellt.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Punktprobe ====
Um rechnerisch festzustellen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, benötigst du zusätzlich zu dem Punkt, den du untersuchen willst, die Funktionsgleichung der Geraden. In die Funktionsgleichung setzt du den Punkt ein und rechnest die rechte Seite der Gleichung aus. Nun musst du dieses Ergebnis mit der linken Seite der Gleichung, also dem y-Wert des Punktes, vergleichen. Stimmen beide Werte überein, liegt der Punkt auf der Geraden. Das bezeichnet man als eine wahre Aussage.

 Beispiel: Liegt der Punkt A(1;5) auf der Geraden mit der Funktionsgleichung f(x) {{=}} 4x + 1?
# Punkt einsetzen: 5 {{=}} 4 • 1 + 1
# rechte Seite ausrechnen: 5 {{=}} 5
# Vergleichen: Die Werte auf der linken und der rechten Seite der Gleichung stimmen überein. Es handelt sich also um eine wahre Aussage. Daher liegt der Punkt A auf der Geraden.

 Stimmen die beiden Werte nicht überein, liegt der Punkt nicht auf der Geraden und man sagt, dass es sich um eine falsch Aussage handelt.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

a) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(2|3) und B(6|11).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x - 1.}}

b) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(1|5) und B(5|1).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung. Achtung: Die Steigung ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x + 6.}}

c) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(−1|2) und B(3|10).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und überprüfe damit dein Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

a) Gegeben ist die Gerade f(x) = 2x + 1. Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(3|7) auf der Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|7 {{=}} 2 • 3 + 1 {{=}} 7 Dies ist eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also auf der Geraden.}}

b) Gegeben ist die Gerade g(x) = −x + 4. Liegt der Punkt Q(4|−1) auf dieser Geraden? Begründe rechnerisch.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|-1 {{=}} -4 + 4 {{=}} 0 Dies ist eine falsche Aussage. Der Punkt Q liegt also nicht auf der Geraden.}}

c) Gegeben ist die Gerade h(x) = 0,5x − 2. Liegt der Punkt R(8|2) auf der Geraden? Begründe zeichnerisch. 
{{Lösung versteckt|Trage die Gerade und den Punkt in ein Koordinatensystem ein. Liegt der Punkt auf der Geraden?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.00.01.png|zentriert|400px]]Der Punkt R liegt nicht auf der Geraden.}}

d) Gib einen Punkt S an, der auf der Geraden h(x) = 0,5x − 2 liegt.
{{Lösung versteckt|Trage deinen gewählten Punkt in dieser [https://www.geogebra.org/calculator/kuyjyby9 GeoGebra-Datei] ein und überprüfe so, ob er auf der Geraden liegt.}}

<big>Aufgabe 3</big>

a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(1|2) und B(4|8). Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt C(5|10) auf dieser Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x. Der Punkt C liegt auf der Geraden, denn 10 {{=}} 2 • 5 {{=}} 10 ist eine wahre Aussage.}}

b) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(−2|3) und B(2|−1). Liegt der Punkt C(0|1) auf dieser Geraden? Begründe zeichnerisch.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x - 1. [[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.19.43.png|zentriert|400px]] Der Punkt C liegt auf der Geraden.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Welche der folgenden Punktpaare ergeben dieselbe Gerade? Stelle zuerst Vermutungen an und überprüfe sie dann, indem du die Geraden in ein Koordinatensystem in dein Heft zeichnest.

a) A(0|0) und B(2|2), b) C(1|1) und D(3|3), c) E(0|1) und F(2|3).
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 11.45.21.png|zentriert|400px]]}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Darstellungswechsel|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|
weiter=🤔 Weitere Übungen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/y-Achsenabsschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

2026-03-19T08:31:38Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 y-Achsenabschitt und Nullstelle von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem y-Achsenabschitt, einem der zwei Parameter einer linearen Funktion, sowie mit der Nullstelle einer linearen Funktion.

<big>🔍 Entdecke: Wie beeinflusst der y-Achsenabschitt die Position der Funktion im Koordinatensystem?</big> 
Bewege den Schieberegler, um den y-Achenabschnitt b der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="gpwb4dsq" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|Wie verändert sich die Position der Funktion in Bezug auf die y-Achse? Fällt dir etwas an dem Wert von b auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|Wird der Wert von b erhöht, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter oben. Wird der Wert von b verringert, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter unten. Der y-Achsenabschnitt b ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse im Koordinatensystem. Ist z.B. b {{=}} 3, ist (0 ; 3) der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== y-Achsenabschitt ====
Der y-Achsenabschitt (auch: Ordinatenabschnitt) einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn x = 0 ist, und wird in der Funktionsgleichung f(x) {{=}} mx + b durch die Konstante b repräsentiert.}}

<big>🤔 Knobelaufgabe:</big> 
Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem auf b = 3. 
a) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse lautet (0 ; 3).}}
b) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (- 1,5 ; 0).}}
c) Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem nun auf b = - 1. Lies erneut den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gibt ihn an. Vergleiche ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b). Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (0,5 ; 0). Vergleicht man ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b), fällt auf: Die Funktion schneidet die y-Achse bei x {{=}} 0. Die x-Achse schneidet sie hingegen bei y {{=}} 0.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Nullstelle ====
Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.
Sie ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) = y = 0 ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null (also in unserem Beispiel von oben: 0 = 2 + 3x) und löst die Gleichung nach x auf.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Gib den y-Achsenabschitt b der jeweils gegebenen Funktion an: 
a) f(x) = -2 x + 1,5
{{Lösung versteckt|b {{=}} 1,5}}
b) h(x) = 5 x
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0, denn f(x) {{=}} 5 x {{=}} 5 x + 0.}}
c) g(x) = 7 - x
{{Lösung versteckt|Notiere die Funktionsgleichung in der Form g(x) {{=}} mx + b, die du kennengelernt hast. Was ist b?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 7, denn f(x) {{=}} 7 - x {{=}} - 1 x + 7.}}
d)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 00.02.23.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt|Wo schneidet die Funktion die y-Achse? Der y-Wert dieses Schnittpunkts entspricht b.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} - 1,5, denn hier schneidet der Graph die y-Achse.}}
e) Die Funktion kann durch folgende Wertetabelle beschrieben werden: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} c(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 0,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Was weißt du über den y-Achsenabschnitt? Es gibt eine besondere Eigenschaft des y-Achsenabschnitts, die dir helfen kann, die Aufgabe besonders schnell zu lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0,5, denn hier ist x {{=}} 0.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pz0wartcj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

Eine Funktion mit der Steigung m = 2 schneidet den Punkt (1 ; 3). Berechne den y-Achsenabschnitt b der Funktion. Notiere den Rechenweg in deinem Heft.
{{Lösung versteckt|Notiere die allgemeine Form einer linearen Funktion. Überlege dir, für welche der Buchstaben du Zahlen einsetzen kannst, die du bereits kennst. Setze sie ein und löse die Gleichung nach b auf.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt (1 ; 3) in die Funktionsgleichung f(x) {{=}} 2 x + b ein. Dann erhältst du die Gleichung 3 {{=}} 2 ⋅ 1 + b {{=}} 2 + b. Stelle diese Gleichung nach b um: b {{=}} 3 - 2 {{=}} 1.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Steigung von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Darstellungswechsel|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/y-Achsenabsschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

2026-03-19T08:30:57Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 y-Achsenabschitt und Nullstelle von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem y-Achsenabschitt, einem der zwei Parameter einer linearen Funktion, sowie mit der Nullstelle einer linearen Funktion.

<big>🔍 Entdecke: Wie beeinflusst der y-Achsenabschitt die Position der Funktion im Koordinatensystem?</big> 
Bewege den Schieberegler, um den y-Achenabschnitt b der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="gpwb4dsq" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|Wie verändert sich die Position der Funktion in Bezug auf die y-Achse? Fällt dir etwas an dem Wert von b auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|Wird der Wert von b erhöht, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter oben. Wird der Wert von b verringert, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter unten. Der y-Achsenabschnitt b ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse im Koordinatensystem. Ist z.B. b {{=}} 3, ist (0 ; 3) der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== y-Achsenabschitt ====
Der y-Achsenabschitt (auch: Ordinatenabschnitt) einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn x = 0 ist, und wird in der Funktionsgleichung f(x) {{=}} mx + b durch die Konstante b repräsentiert.}}

<big>🤔 Knobelaufgabe:</big> 
Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem auf b = 3. 
a) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse lautet (0 ; 3).}}
b) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (- 1,5 ; 0).}}
c) Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem nun auf b = - 1. Lies erneut den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gibt ihn an. Vergleiche ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b). Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (0,5 ; 0). Vergleicht man ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b), fällt auf: Die Funktion schneidet die y-Achse bei x {{=}} 0. Die x-Achse schneidet sie hingegen bei y {{=}} 0.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Nullstelle ====
Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.
Sie ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) = y = 0 ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null (also in unserem Beispiel von oben: 0=2+3x) und löst die Gleichung nach x auf.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Gib den y-Achsenabschitt b der jeweils gegebenen Funktion an: 
a) f(x) = -2 x + 1,5
{{Lösung versteckt|b {{=}} 1,5}}
b) h(x) = 5 x
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0, denn f(x) {{=}} 5 x {{=}} 5 x + 0.}}
c) g(x) = 7 - x
{{Lösung versteckt|Notiere die Funktionsgleichung in der Form g(x) {{=}} mx + b, die du kennengelernt hast. Was ist b?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 7, denn f(x) {{=}} 7 - x {{=}} - 1 x + 7.}}
d)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 00.02.23.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt|Wo schneidet die Funktion die y-Achse? Der y-Wert dieses Schnittpunkts entspricht b.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} - 1,5, denn hier schneidet der Graph die y-Achse.}}
e) Die Funktion kann durch folgende Wertetabelle beschrieben werden: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} c(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 0,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Was weißt du über den y-Achsenabschnitt? Es gibt eine besondere Eigenschaft des y-Achsenabschnitts, die dir helfen kann, die Aufgabe besonders schnell zu lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0,5, denn hier ist x {{=}} 0.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pz0wartcj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

Eine Funktion mit der Steigung m = 2 schneidet den Punkt (1 ; 3). Berechne den y-Achsenabschnitt b der Funktion. Notiere den Rechenweg in deinem Heft.
{{Lösung versteckt|Notiere die allgemeine Form einer linearen Funktion. Überlege dir, für welche der Buchstaben du Zahlen einsetzen kannst, die du bereits kennst. Setze sie ein und löse die Gleichung nach b auf.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt (1 ; 3) in die Funktionsgleichung f(x) {{=}} 2 x + b ein. Dann erhältst du die Gleichung 3 {{=}} 2 ⋅ 1 + b {{=}} 2 + b. Stelle diese Gleichung nach b um: b {{=}} 3 - 2 {{=}} 1.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Steigung von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Darstellungswechsel|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-19T08:28:41Z

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{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Lineare Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem Funktionstyp der linearen Funktionen.
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Lineare Funktionen ====
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist und durch die Gleichung f(x) = mx + b beschrieben wird. Dabei ist m die Steigung der Geraden, die angibt, wie stark diese sich pro Einheit der x-Achse verändert. Die Besonderheit dieses Funktionstyps ist, dass sich der y-Wert vom einen zum nächsten x-Wert immer gleich verändert. b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Zu Steigung und y-Achsenabschnitt erfährst du später noch mehr.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big> 

Formuliere mögliche Sachkontexte, die durch die lineare Funktion f(x) = 1,5x + 10 beschrieben sein könnten. Notiere deine Ideen auf einem Zettel. Danach kannst du dir die Lösungsvorschläge anschauen.
Falls möglich, kannst du deinen Zettel vorher mit dem deines Sitznachbarn tauschen. Auf diese Weise könnt ihr euch gegenseitig Feedback zu euren Ideen geben.
{{Lösung versteckt|Mögliche Sachkontexte, die durch diese Funktionsgleichung beschrieben werden können, lauten: 1. Der jährliche Beitrag für eine Bienenpatenschaft besteht aus einem Grundbetrag von 10 € sowie zusätzlichen Kosten von 1,50 € für jede betreute Biene. 2. Für das Ausleihen eines Regenschirms wird eine feste Gebühr von 10 € erhoben, zusätzlich fallen 1,50 € für jede Stunde an, in der der Regenschirm genutzt wird. 3. Beim Drucken einer Abschlussarbeit entstehen zunächst Kosten in Höhe von 10 € für das Einrichten des Druckers, anschließend werden 1,50 € pro gedruckter Seite berechnet. 4. Die Kosten für die Unterbringung einer Katze in einer Katzenpension setzen sich aus einer einmaligen Eingewöhnungsgebühr von 10 € und zusätzlichen Kosten von 1,50 € pro Betreuungstag zusammen.|Lösungsvorschläge anzeigen|Lösungsvorschläge verbergen}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvk41x3ft26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|
weiter=📌 Steigung von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-19T08:28:21Z

KiaraundSarah:

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[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Lineare Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem Funktionstyp der linearen Funktionen.
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Lineare Funktionen ====
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist und durch die Gleichung f(x) = mx+ b beschrieben wird. Dabei ist m die Steigung der Geraden, die angibt, wie stark diese sich pro Einheit der x-Achse verändert. Die Besonderheit dieses Funktionstyps ist, dass sich der y-Wert vom einen zum nächsten x-Wert immer gleich verändert. b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Zu Steigung und y-Achsenabschnitt erfährst du später noch mehr.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big> 

Formuliere mögliche Sachkontexte, die durch die lineare Funktion f(x) = 1,5x + 10 beschrieben sein könnten. Notiere deine Ideen auf einem Zettel. Danach kannst du dir die Lösungsvorschläge anschauen.
Falls möglich, kannst du deinen Zettel vorher mit dem deines Sitznachbarn tauschen. Auf diese Weise könnt ihr euch gegenseitig Feedback zu euren Ideen geben.
{{Lösung versteckt|Mögliche Sachkontexte, die durch diese Funktionsgleichung beschrieben werden können, lauten: 1. Der jährliche Beitrag für eine Bienenpatenschaft besteht aus einem Grundbetrag von 10 € sowie zusätzlichen Kosten von 1,50 € für jede betreute Biene. 2. Für das Ausleihen eines Regenschirms wird eine feste Gebühr von 10 € erhoben, zusätzlich fallen 1,50 € für jede Stunde an, in der der Regenschirm genutzt wird. 3. Beim Drucken einer Abschlussarbeit entstehen zunächst Kosten in Höhe von 10 € für das Einrichten des Druckers, anschließend werden 1,50 € pro gedruckter Seite berechnet. 4. Die Kosten für die Unterbringung einer Katze in einer Katzenpension setzen sich aus einer einmaligen Eingewöhnungsgebühr von 10 € und zusätzlichen Kosten von 1,50 € pro Betreuungstag zusammen.|Lösungsvorschläge anzeigen|Lösungsvorschläge verbergen}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvk41x3ft26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|
weiter=📌 Steigung von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Gerade aus Punkten

2026-03-19T08:26:45Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}
In diesem Kapitel befasst du dich noch einmal genauer mit dem Zusammenhang zwischen Punkten und und Geraden.

==📌 Gerade aus Punkten==
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Die Formel hierfür ist dir bereits bekannt: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Setze die Koordinaten zweier dir bekannter Punkte (x₁; y₁) und (x₂; y₂) in die Formel ein. So erhälst du dein m. Danach setzt du m sowie einen der beiden Punkte in die Gleichung y=mx+b ein. Dann kannst du die Gleichung nach b umstellen und somit erhälst du dein b. Nun schreibst du ein letztes Mal die Gleichung auf, bei der nun für m und b Zahlen stehen. So hast du die gesuchte Geradengleichung aufgestellt.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Punktprobe ====
Um rechnerisch festzustellen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, benötigst du zusätzlich zu dem Punkt, den du untersuchen willst, die Funktionsgleichung der Geraden. In die Funktionsgleichung setzt du den Punkt ein und rechnest die rechte Seite der Gleichung aus. Nun musst du dieses Ergebnis mit der linken Seite der Gleichung, also dem y-Wert des Punktes, vergleichen. Stimmen beide Werte überein, liegt der Punkt auf der Geraden. Das bezeichnet man als eine wahre Aussage.

 Beispiel: Liegt der Punkt A(1;5) auf der Geraden mit der Funktionsgleichung f(x) {{=}} 4x + 1?
# Punkt einsetzen: 5 {{=}} 4 • 1 + 1
# rechte Seite ausrechnen: 5 {{=}} 5
# Vergleichen: Die Werte auf der linken und der rechten Seite der Gleichung stimmen überein. Es handelt sich also um eine wahre Aussage. Daher liegt der Punkt A auf der Geraden.

 Stimmen die beiden Werte nicht überein, liegt der Punkt nicht auf der Geraden und man sagt, dass es sich um eine falsch Aussage handelt.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

a) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(2|3) und B(6|11).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x - 1.}}

b) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(1|5) und B(5|1).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung. Achtung: Die Steigung ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x + 6.}}

c) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(−1|2) und B(3|10).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und überprüfe damit dein Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

a) Gegeben ist die Gerade f(x) = 2x + 1. Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(3|7) auf der Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|7 {{=}} 2 • 3 + 1 {{=}} 7 Dies ist eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also auf der Geraden.}}

b) Gegeben ist die Gerade g(x) = −x + 4. Liegt der Punkt Q(4|−1) auf dieser Geraden? Begründe rechnerisch.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|-1 {{=}} -4 + 4 {{=}} 0 Dies ist eine falsche Aussage. Der Punkt Q liegt also nicht auf der Geraden.}}

c) Gegeben ist die Gerade h(x) = 0,5x − 2. Liegt der Punkt R(8|2) auf der Geraden? Begründe zeichnerisch. 
{{Lösung versteckt|Trage die Gerade und den Punkt in ein Koordinatensystem ein. Liegt der Punkt auf der Geraden?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.00.01.png|zentriert|400px]]Der Punkt R liegt nicht auf der Geraden.}}

d) Gib einen Punkt S an, der auf der Geraden h(x) = 0,5x − 2 liegt.
{{Lösung versteckt|Trage deinen gewählten Punkt in dieser [https://www.geogebra.org/calculator/kuyjyby9 GeoGebra-Datei] ein und überprüfe so, ob er auf der Geraden liegt.}}

<big>Aufgabe 3</big>

a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(1|2) und B(4|8). Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt C(5|10) auf dieser Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x. Der Punkt C liegt auf der Geraden, denn 10 {{=}} 2 • 5 {{=}} 10 ist eine wahre Aussage.}}

b) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(−2|3) und B(2|−1). Liegt der Punkt C(0|1) auf dieser Geraden? Begründe zeichnerisch.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x - 1. [[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.19.43.png|zentriert|400px]] Der Punkt C liegt auf der Geraden.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Welche der folgenden Punktpaare ergeben dieselbe Gerade? Stelle zuerst Vermutungen an und überprüfe sie dann, indem du die Geraden in ein Koordinatensystem in dein Heft zeichnest.

a) A(0|0) und B(2|2), b) C(1|1) und D(3|3), c) E(0|1) und F(2|3).
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 11.45.21.png|zentriert|400px]]}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Darstellungswechsel|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|
weiter=🤔 Weitere Übungen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Gerade aus Punkten

2026-03-19T08:26:11Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}
In diesem Kapitel befasst du dich noch einmal genauer mit dem Zusammenhang zwischen Punkten und und Geraden.

==📌 Gerade aus Punkten==
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Die Formel hierfür ist dir bereits bekannt: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Setze die Koordinaten zweier dir bekannter Punkte (x₁; y₁) und (x₂; y₂) in die Formel ein. So erhälst du dein m. Danach setzt du m sowie einen der beiden Punkte in die Gleichung y=mx+b ein. Dann kannst du die Gleichung nach b umstellen und somit erhälst du dein b. Nun schreibst du ein letztes Mal die Gleichung auf, bei der nun für m und b Zahlen stehen. So hast du die gesuchte Geradengleichung aufgestellt.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Punktprobe ====
Um rechnerisch festzustellen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, benötigst du zusätzlich zu dem Punkt, den du untersuchen willst, die Funktionsgleichung der Geraden. In die Funktionsgleichung setzt du den Punkt ein und rechnest die rechte Seite der Gleichung aus. Nun musst du dieses Ergebnis mit der linken Seite der Gleichung, also dem y-Wert des Punktes vergleichen. Stimmen beide Werte überein, liegt der Punkt auf der Geraden. Das bezeichnet man als eine wahre Aussage.

 Beispiel: Liegt der Punkt A(1;5) auf der Geraden mit der Funktionsgleichung f(x) {{=}} 4x + 1?
# Punkt einsetzen: 5 {{=}} 4 • 1 + 1
# rechte Seite ausrechnen: 5 {{=}} 5
# Vergleichen: Die Werte auf der linken und der rechten Seite der Gleichung stimmen überein. Es handelt sich also um eine wahre Aussage. Daher liegt der Punkt A auf der Geraden.

 Stimmen die beiden Werte nicht überein, liegt der Punkt nicht auf der Geraden und man sagt, dass es sich um eine falsch Aussage handelt.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

a) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(2|3) und B(6|11).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x - 1.}}

b) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(1|5) und B(5|1).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung. Achtung: Die Steigung ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x + 6.}}

c) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(−1|2) und B(3|10).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und überprüfe damit dein Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

a) Gegeben ist die Gerade f(x) = 2x + 1. Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(3|7) auf der Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|7 {{=}} 2 • 3 + 1 {{=}} 7 Dies ist eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also auf der Geraden.}}

b) Gegeben ist die Gerade g(x) = −x + 4. Liegt der Punkt Q(4|−1) auf dieser Geraden? Begründe rechnerisch.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|-1 {{=}} -4 + 4 {{=}} 0 Dies ist eine falsche Aussage. Der Punkt Q liegt also nicht auf der Geraden.}}

c) Gegeben ist die Gerade h(x) = 0,5x − 2. Liegt der Punkt R(8|2) auf der Geraden? Begründe zeichnerisch. 
{{Lösung versteckt|Trage die Gerade und den Punkt in ein Koordinatensystem ein. Liegt der Punkt auf der Geraden?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.00.01.png|zentriert|400px]]Der Punkt R liegt nicht auf der Geraden.}}

d) Gib einen Punkt S an, der auf der Geraden h(x) = 0,5x − 2 liegt.
{{Lösung versteckt|Trage deinen gewählten Punkt in dieser [https://www.geogebra.org/calculator/kuyjyby9 GeoGebra-Datei] ein und überprüfe so, ob er auf der Geraden liegt.}}

<big>Aufgabe 3</big>

a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(1|2) und B(4|8). Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt C(5|10) auf dieser Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x. Der Punkt C liegt auf der Geraden, denn 10 {{=}} 2 • 5 {{=}} 10 ist eine wahre Aussage.}}

b) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(−2|3) und B(2|−1). Liegt der Punkt C(0|1) auf dieser Geraden? Begründe zeichnerisch.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x - 1. [[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.19.43.png|zentriert|400px]] Der Punkt C liegt auf der Geraden.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Welche der folgenden Punktpaare ergeben dieselbe Gerade? Stelle zuerst Vermutungen an und überprüfe sie dann, indem du die Geraden in ein Koordinatensystem in dein Heft zeichnest.

a) A(0|0) und B(2|2), b) C(1|1) und D(3|3), c) E(0|1) und F(2|3).
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 11.45.21.png|zentriert|400px]]}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Darstellungswechsel|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|
weiter=🤔 Weitere Übungen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Darstellungswechsel

2026-03-19T08:25:38Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Darstellungswechsel==
Du kennst bereits die verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen, das heißt, Funktionsgleichung, Graph und Wertetabelle. In diesem Kapitel befasst du dich damit, wie zwischen diesen Darstellungsformen gewechselt werden kann.

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=

====Wertetabelle ➡️ Graph====
Eine Wertetabelle kannst du nutzen, um zum Graphen einer linearen Funktion zu gelangen, indem du die Wertepaare (x,y) aus der Tabelle als Koordinatenpunkte in ein Koordinatensystem einträgst. Du zeichnest zuerst die Achsen, trägst dann jeden Punkt aus der Tabelle in das Koordinatensystem ein und verbindest diese Punkte anschließend zu einer Geraden. Benutze dazu am besten dein Geodreieck.

====Graph ➡️ Wertetabelle====
Um von einem Graphen zur Wertetabelle zu gelangen, liest du die Punkte vom Graphen ab und trägst die entsprechenden x- und y-Werte in die Tabelle ein.
Bei einer linearen Funktion ist der Graph eine Gerade, daher genügen zwei beliebige Punkte auf der Geraden, um die Tabelle zu erstellen und den Graphen eindeutig zu definieren. Das hängt mit der Steigung zusammen. Genaueres dazu lernst du im nächsten Kapitel.

====Graph/Wertetabelle ➡️ Funktionsgleichung====
Um anhand eines Graphen bzw. einer Wertetabelle eine Funktionsgleichung aufzustellen, liest du zwei Punkte auf dem Graphen bzw. aus der Wertetabelle ab und berechnest aus ihnen die Steigung m der Funktion. Setze diese gemeinsam mit einem der beiden Punkte in die allgemeine Form einer linearen Funktion y=mx+b ein und berechne b.

====Funktionsgleichung ➡️ Graph/Wertetabelle====
Wenn du anhand der Gleichung einer linearen Funktion ihren Graphen bzw. eine Wertetabelle erstellen möchtest, gehst du wie folgt vor: Trage einige beliebige Werte für x in die Gleichung ein und berechne die zugehörigen y-Werte. Auf diese Weise erhältst du Punkte, die du in eine Wertetabelle eintragen kannst. Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie, um einen Graphen zu zeichnen.}}

====👟 Training====

{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="xzsnwfsp" width="1000" height="400" />|📐GeoGebra anzeigen|GeoGebra verbergen}}

<big>Aufgabe 1</big>

Zeichne anhand der folgenden Wertetabelle den Graphen der Funktion f: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!-}}
{{!}} 7
{{!}} - 20,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} - 3 x + 0,5. Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei entsprechend ein und vergleiche den so entstehenden Graphen mit deinem Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei auf m = 4 und b = 2,5 ein. Lege zu dem daraus entstehenden Graphen eine Wertetabelle von x = - 3 bis x = 2 mit einer Schrittweite von 1 an.
{{Lösung versteckt|Deine Wertetabelle sollte folgende Form haben: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}}
{{!-}}
{{!}} - 2
{{!}}
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}}
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}}
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}}
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}}
{{!)}}|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} - 9,5
{{!-}}
{{!}} - 2
{{!}} - 5,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} - 1,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 2,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 6,5
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 10,5
{{!)}}}}

<big>Aufgabe 3</big>

Gegeben ist die Wertetabelle: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 4,95
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 6,45
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 7,95
{{!-}}
{{!}} 3
{{!}} 9,45
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} 10,95
{{!-}}
{{!}} 5
{{!}} 12,45
{{!)}}
a) Stelle die zugehörige Funktionsgleichung auf.
{{Lösung versteckt|Für y {{=}} b ist x {{=}} 0.|💡 Hinweis 1 anzeigen|Hinweis 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Den Wert für b kannst du direkt aus der Wertetabelle ablesen (siehe Hinweis 1). Zusätzlich kannst du einen beliebigen Punkt aus der Wertetabelle ablesen. Um nun die Steigung m zu bestimmen, setze diesen Punkt und den Wert von b in die allgemeine Form einer linearen Funktiongleichung ein und löse nach m auf.|💡 Hinweis 2 anzeigen|Hinweis 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|f(x) {{=}} 1,5 x + 4,95}}
b) Formuliere einen Sachzusammenhang, der durch die Funktionsgleichung beschrieben werden kann.
{{Lösung versteckt|Bestellt man online Aufkleber, zahlt man für einen 1,50 €. Zusätzlich fallen 4,95 € Versandkosten an.|Lösungsvorschlag anzeigen|Lösungsvorschlag verbergen.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Gegeben ist die Gerade f(x) = <math> \frac{1}{4} </math> x - 2. Wähle eine der folgenden beiden Aufgaben und löse sie: 
a) Lege eine Wertetabelle für die Funktion f an, welche 5 Wertepaare (x ; f(x)) enthält.
{{Lösung versteckt|Die einzige Vorgabe an die Wertetabelle war es, dass sie 5 Wertepaare enthält. Sie kann also bei einem beliebigen x-Wert starten und eine beliebige Schrittweite kann zwischen den x-Werten liegen. Zum Beispiel kann sie bei x {{=}} 0 starten und eine Schrittweite von 1 haben: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} - 2
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - <math> \frac{7}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} - <math> \frac{3}{2} </math>
{{!-}}
{{!}} 3
{{!}} - <math> \frac{5}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 1
{{!)}}
Sie kann aber zum Beispiel auch bei x {{=}} - 2 starten: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 2
{{!}} - <math> \frac{5}{2} </math>
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} - <math> \frac{9}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} - 2
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - <math> \frac{7}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} - <math> \frac{3}{2} </math>
{{!)}}}}
b) Zeichne den Graphen der Funktion f.
{{Lösung versteckt|Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei entsprechend ein und vergleiche den so entstehenden Graphen mit deinem Ergebnis.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Gerade aus Punkten|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Darstellungswechsel

2026-03-19T08:24:39Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Darstellungswechsel==
Du kennst bereits die verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen, das heißt, Funktionsgleichung, Graph und Wertetabelle. In diesem Kapitel befasst du dich damit, wie zwischen diesen Darstellungsformen gewechselt werden kann.

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=

====Wertetabelle ➡️ Graph====
Eine Wertetabelle kannst du nutzen, um zum Graphen einer linearen Funktion zu gelangen, indem du die Wertepaare (x,y) aus der Tabelle als Koordinatenpunkte in ein Koordinatensystem einträgst. Du zeichnest zuerst die Achsen, trägst dann jeden Punkt aus der Tabelle in das Koordinatensystem ein und verbindest diese Punkte anschließend zu einer Geraden. Benutze dazu am besten dein Geodreieck.

====Graph ➡️ Wertetabelle====
Um von einem Graphen zur Wertetabelle zu gelangen, liest du die Punkte vom Graphen ab und trägst die entsprechenden x- und y-Werte in die Tabelle ein.
Bei einer linearen Funktion ist der Graph eine Gerade, daher genügen zwei beliebige Punkte auf der Geraden, um die Tabelle zu erstellen und den Graphen eindeutig zu definieren. Das hängt mit der Steigung zusammen. Genaueres dazu lernst du im nächsten Kapitel.

====Graph/Wertetabelle ➡️ Funktionsgleichung====
Um anhand eines Graphen bzw. einer Wertetabelle eine Funktionsgleichung aufzustellen, lese zwei Punkte auf dem Graphen bzw. aus der Wertetabelle ab und berechne aus ihnen die Steigung m der Funktion. Setze diese gemeinsam mit einem der beiden Punkte in die allgemeine Form einer linearen Funktion y=mx+b ein und berechne b.

====Funktionsgleichung ➡️ Graph/Wertetabelle====
Wenn du anhand der Gleichung einer linearen Funktion ihren Graphen bzw. eine Wertetabelle erstellen möchtest, gehst du wie folgt vor: Trage einige beliebige Werte für x in die Gleichung ein und berechne die zugehörigen y-Werte. Auf diese Weise erhältst du Punkte, die du in eine Wertetabelle eintragen kannst. Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie, um einen Graphen zu zeichnen.}}

====👟 Training====

{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="xzsnwfsp" width="1000" height="400" />|📐GeoGebra anzeigen|GeoGebra verbergen}}

<big>Aufgabe 1</big>

Zeichne anhand der folgenden Wertetabelle den Graphen der Funktion f: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!-}}
{{!}} 7
{{!}} - 20,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} - 3 x + 0,5. Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei entsprechend ein und vergleiche den so entstehenden Graphen mit deinem Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei auf m = 4 und b = 2,5 ein. Lege zu dem daraus entstehenden Graphen eine Wertetabelle von x = - 3 bis x = 2 mit einer Schrittweite von 1 an.
{{Lösung versteckt|Deine Wertetabelle sollte folgende Form haben: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}}
{{!-}}
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{{!)}}|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
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{{!-}}
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{{!}} - 9,5
{{!-}}
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{{!-}}
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{{!-}}
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{{!-}}
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<big>Aufgabe 3</big>

Gegeben ist die Wertetabelle: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 4,95
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 6,45
{{!-}}
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{{!-}}
{{!}} 3
{{!}} 9,45
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} 10,95
{{!-}}
{{!}} 5
{{!}} 12,45
{{!)}}
a) Stelle die zugehörige Funktionsgleichung auf.
{{Lösung versteckt|Für y {{=}} b ist x {{=}} 0.|💡 Hinweis 1 anzeigen|Hinweis 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Den Wert für b kannst du direkt aus der Wertetabelle ablesen (siehe Hinweis 1). Zusätzlich kannst du einen beliebigen Punkt aus der Wertetabelle ablesen. Um nun die Steigung m zu bestimmen, setze diesen Punkt und den Wert von b in die allgemeine Form einer linearen Funktiongleichung ein und löse nach m auf.|💡 Hinweis 2 anzeigen|Hinweis 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|f(x) {{=}} 1,5 x + 4,95}}
b) Formuliere einen Sachzusammenhang, der durch die Funktionsgleichung beschrieben werden kann.
{{Lösung versteckt|Bestellt man online Aufkleber, zahlt man für einen 1,50 €. Zusätzlich fallen 4,95 € Versandkosten an.|Lösungsvorschlag anzeigen|Lösungsvorschlag verbergen.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Gegeben ist die Gerade f(x) = <math> \frac{1}{4} </math> x - 2. Wähle eine der folgenden beiden Aufgaben und löse sie: 
a) Lege eine Wertetabelle für die Funktion f an, welche 5 Wertepaare (x ; f(x)) enthält.
{{Lösung versteckt|Die einzige Vorgabe an die Wertetabelle war es, dass sie 5 Wertepaare enthält. Sie kann also bei einem beliebigen x-Wert starten und eine beliebige Schrittweite kann zwischen den x-Werten liegen. Zum Beispiel kann sie bei x {{=}} 0 starten und eine Schrittweite von 1 haben: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} - 2
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - <math> \frac{7}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} - <math> \frac{3}{2} </math>
{{!-}}
{{!}} 3
{{!}} - <math> \frac{5}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 1
{{!)}}
Sie kann aber zum Beispiel auch bei x {{=}} - 2 starten: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 2
{{!}} - <math> \frac{5}{2} </math>
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} - <math> \frac{9}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} - 2
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - <math> \frac{7}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} - <math> \frac{3}{2} </math>
{{!)}}}}
b) Zeichne den Graphen der Funktion f.
{{Lösung versteckt|Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei entsprechend ein und vergleiche den so entstehenden Graphen mit deinem Ergebnis.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Gerade aus Punkten|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/y-Achsenabsschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

2026-03-19T08:23:05Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 y-Achsenabschitt und Nullstelle von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem y-Achsenabschitt, einem der zwei Parameter einer linearen Funktion, sowie mit der Nullstelle einer linearen Funktion.

<big>🔍 Entdecke: Wie beeinflusst der y-Achsenabschitt die Position der Funktion im Koordinatensystem?</big> 
Bewege den Schieberegler, um den y-Achenabschnitt b der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="gpwb4dsq" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|Wie verändert sich die Position der Funktion in Bezug auf die y-Achse? Fällt dir etwas an dem Wert von b auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|Wird der Wert von b erhöht, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter oben. Wird der Wert von b verringert, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter unten. Der y-Achsenabschnitt b ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse im Koordinatensystem. Ist z.B. b {{=}} 3, ist (0 ; 3) der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== y-Achsenabschitt ====
Der y-Achsenabschitt (auch: Ordinatenabschnitt) einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn x = 0 ist, und wird in der Funktionsgleichung y=mx+b durch die Konstante b repräsentiert.}}

<big>🤔 Knobelaufgabe:</big> 
Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem auf b = 3. 
a) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse lautet (0 ; 3).}}
b) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (- 1,5 ; 0).}}
c) Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem nun auf b = - 1. Lies erneut den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gibt ihn an. Vergleiche ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b). Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (0,5 ; 0). Vergleicht man ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b), fällt auf: Die Funktion schneidet die y-Achse bei x {{=}} 0. Die x-Achse schneidet sie hingegen bei y {{=}} 0.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Nullstelle ====
Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.
Sie ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) = y = 0 ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null (also in unserem Beispiel von oben: 0=2+3x) und löst die Gleichung nach x auf.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Gib den y-Achsenabschitt b der jeweils gegebenen Funktion an: 
a) f(x) = -2 x + 1,5
{{Lösung versteckt|b {{=}} 1,5}}
b) h(x) = 5 x
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0, denn f(x) {{=}} 5 x {{=}} 5 x + 0.}}
c) g(x) = 7 - x
{{Lösung versteckt|Notiere die Funktionsgleichung in der Form g(x) {{=}} mx + b, die du kennengelernt hast. Was ist b?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 7, denn f(x) {{=}} 7 - x {{=}} - 1 x + 7.}}
d)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 00.02.23.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt|Wo schneidet die Funktion die y-Achse? Der y-Wert dieses Schnittpunkts entspricht b.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} - 1,5, denn hier schneidet der Graph die y-Achse.}}
e) Die Funktion kann durch folgende Wertetabelle beschrieben werden: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} c(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 0,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Was weißt du über den y-Achsenabschnitt? Es gibt eine besondere Eigenschaft des y-Achsenabschnitts, die dir helfen kann, die Aufgabe besonders schnell zu lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0,5, denn hier ist x {{=}} 0.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pz0wartcj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

Eine Funktion mit der Steigung m = 2 schneidet den Punkt (1 ; 3). Berechne den y-Achsenabschnitt b der Funktion. Notiere den Rechenweg in deinem Heft.
{{Lösung versteckt|Notiere die allgemeine Form einer linearen Funktion. Überlege dir, für welche der Buchstaben du Zahlen einsetzen kannst, die du bereits kennst. Setze sie ein und löse die Gleichung nach b auf.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt (1 ; 3) in die Funktionsgleichung f(x) {{=}} 2 x + b ein. Dann erhältst du die Gleichung 3 {{=}} 2 ⋅ 1 + b {{=}} 2 + b. Stelle diese Gleichung nach b um: b {{=}} 3 - 2 {{=}} 1.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Steigung von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Darstellungswechsel|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-19T08:20:42Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Lineare Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem Funktionstyp der linearen Funktionen.
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Lineare Funktionen ====
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist und durch die Gleichung f(x)=mx+b beschrieben wird. Dabei ist m die Steigung der Geraden, die angibt, wie stark diese sich pro Einheit der x-Achse verändert. Die Besonderheit dieses Funktionstyps ist, dass sich der y-Wert vom einen zum nächsten x-Wert immer gleich verändert. b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Zu Steigung und y-Achsenabschnitt erfährst du später noch mehr.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big> 

Formuliere mögliche Sachkontexte, die durch die lineare Funktion f(x) = 1,5x + 10 beschrieben sein könnten. Notiere deine Ideen auf einem Zettel. Danach kannst du dir die Lösungsvorschläge anschauen.
Falls möglich, kannst du deinen Zettel vorher mit dem deines Sitznachbarn tauschen. Auf diese Weise könnt ihr euch gegenseitig Feedback zu euren Ideen geben.
{{Lösung versteckt|Mögliche Sachkontexte, die durch diese Funktionsgleichung beschrieben werden können, lauten: 1. Der jährliche Beitrag für eine Bienenpatenschaft besteht aus einem Grundbetrag von 10 € sowie zusätzlichen Kosten von 1,50 € für jede betreute Biene. 2. Für das Ausleihen eines Regenschirms wird eine feste Gebühr von 10 € erhoben, zusätzlich fallen 1,50 € für jede Stunde an, in der der Regenschirm genutzt wird. 3. Beim Drucken einer Abschlussarbeit entstehen zunächst Kosten in Höhe von 10 € für das Einrichten des Druckers, anschließend werden 1,50 € pro gedruckter Seite berechnet. 4. Die Kosten für die Unterbringung einer Katze in einer Katzenpension setzen sich aus einer einmaligen Eingewöhnungsgebühr von 10 € und zusätzlichen Kosten von 1,50 € pro Betreuungstag zusammen.|Lösungsvorschläge anzeigen|Lösungsvorschläge verbergen}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvk41x3ft26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|
weiter=📌 Steigung von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen

2026-03-19T08:13:40Z

KiaraundSarah:

{{Box
| Klasse = Lernpfad
| Titel = Willkommen zu deinem Lernpfad über lineare Funktionen
| Inhalt = Hier kannst du dein Wissen zu linearen Funktionen festigen. Du wiederholst, wie man Geraden zeichnet, Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmt sowie überprüft, ob Punkte auf einer linearen Funktion liegen. Die Übungsaufgaben unterstützen dich in der Vorbereitung auf die Klassenarbeit. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass du zunächst durch kleine Info-Boxen dein bisher erlerntes Wissen auffrischen kannst. Danach folgen kleine Aufgaben zum Training, die du in Hinblick auf die anstehende Arbeit bewältigen können solltest. Am Ende des Lernpfads findest du noch einige Aufgaben zum Knobeln. Deine Mühe zahlt sich aus: Mit jeder Geraden steigt dein Können!
| Farbe = #9AC0CD
}}

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|📌 Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|📌 Lineare Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|📌 Steigung von linearen Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen|📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|📌 Darstellungswechsel]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten|📌 Gerade aus Punkten]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen|🤔 Weitere Übungen]]|classes=hiowaeihov}}

__NOTOC__

{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}

{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenz|Dieser Lernpfad fördert primär die allgemeine mathematische Kompetenz Darstellen, indem die Schülerinnen und Schüler lineare Funktionen in ihren verschiedenen Darstellungsformen erkennen, aufstellen und interpretieren sowie zwischen den Darstellungsformen Gleichung, Graph und Wertetabelle wechseln.|Lösung}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Die inhaltlichen Kompetenzen, die mit diesem Lernpfad gefestigt und erweitert werden sollen, lauten wie folgt:

Die Schülerinnen und Schüler können entscheiden, ob es sich um eine Funktion handelt, indem sie sie als eine eindeutige Zuordnung identifizieren.

Die Schülerinnen und Schüler können einen linearen Graphen anhand einer Wertetabelle zeichnen (eine Wertetabelle anhand eines linearen Graphen aufstellen), indem sie die Punkte aus der Wertetabelle in ein KOS eintragen und verbinden (Punkte auf dem Graphen ablesen und sie entsprechend in die Wertetabelle eintragen).

Die Schülerinnen und Schüler können die Steigung einer linearen Funktion mittels Differenzenquotient bestimmen, indem sie ihn über (a) ein Steigungsdreieck am Graphen, (b) zwei Punkte der Funktion aufstellen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Steigung einer linearen Funktion ermitteln, indem sie den y-Achsenabschnitt und einen Punkt (x ≠ 0) in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen und die Steigung berechnen.

Die Schülerinnen und Schüler können den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmen, indem sie ihn (a) von dem Graphen ablesen, (b) die Steigung und einen Punkt in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen und den y-Achsenabschnitt berechnen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmen, indem sie sie (a) vom Graphen ablesen, (b) die Funktionsgleichung gleich 0 setzen und nach x auflösen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Gleichung einer Funktion aufstellen, indem sie (a) Steigung und y-Achsenabschnitt von einem Graphen ablesen und für m und b in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (b) die Steigung und einen weiteren Punkt in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (c) zwei Punkte von einem Graphen oder aus einer Wertetabelle ablesen, daraus die Steigung und den y-Achsenabschnitt berechnen und beide in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (d) die Steigung und den y-Achsenabschnitt anhand eines Sachkontexts ermitteln und in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen.

Die Schülerinnen und Schüler können entscheiden, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, indem sie zur Überprüfung (a) beides in ein Koordinatensystem zeichnen, (b) rechnerisch eine Punktprobe durchführen.

Die Schülerinnen und Schüler können lineare Funktionen interpretieren, indem sie diese mit einem Sachkontext verknüpfen.|Lösung}}

{{Fortsetzung|
weiter=📌 Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Gerade aus Punkten

2026-03-19T08:12:40Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}
In diesem Kapitel befasst du dich noch einmal genauer mit dem Zusammenhang zwischen Punkten und und Geraden.

==📌 Gerade aus Punkten==
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Die Formel hierfür ist dir bereits bekannt: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Setze die Koordinaten zweier dir bekannter Punkte (x₁; y₁) und (x₂; y₂) in die Formel ein. So erhälst du dein m. Danach setzt du m sowie einen der beiden Punkte in die Gleichung y=mx+b ein. Dann kannst du die Gleichung nach b umstellen und somit erhälst du dein b. Nun schreibst du ein letztes Mal die Gleichung auf, bei der nun für m und b Zahlen stehen. So hast du die gesuchte Geradengleichung aufgestellt.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Punktprobe ====
Um rechnerisch festzustellen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, benötigst du zusätzlich zu dem Punkt, den du untersuchen willst, die Funktionsgleichung der Geraden. In die Funktionsgleichung setzt du den Punkt ein und rechnest die rechte Seite der Gleichung aus. Nun musst zu dieses Ergebnis mit der linken Seite der Gleichung, also dem y-Wert des Punktes vergleichen. Stimmen beide Werte überein, liegt der Punkt auf der Geraden. Das bezeichnet man als eine wahre Aussage.

 Beispiel: Liegt der Punkt A(1;5) auf der Geraden mit der Funktionsgleichung f(x) {{=}} 4x + 1?
# Punkt einsetzen: 5 {{=}} 4 • 1 + 1
# rechte Seite ausrechnen: 5 {{=}} 5
# Vergleichen: Die Werte auf der linken und der rechten Seite der Gleichung stimmen überein. Es handelt sich also um eine wahre Aussage. Daher liegt der Punkt A auf der Geraden.

 Stimmen die beiden Werte nicht überein, liegt der Punkt nicht auf der Geraden und man sagt, dass es sich um eine falsch Aussage handelt.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

a) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(2|3) und B(6|11).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x - 1.}}

b) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(1|5) und B(5|1).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung. Achtung: Die Steigung ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x + 6.}}

c) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(−1|2) und B(3|10).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und überprüfe damit dein Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

a) Gegeben ist die Gerade f(x) = 2x + 1. Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(3|7) auf der Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|7 {{=}} 2 • 3 + 1 {{=}} 7 Dies ist eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also auf der Geraden.}}

b) Gegeben ist die Gerade g(x) = −x + 4. Liegt der Punkt Q(4|−1) auf dieser Geraden? Begründe rechnerisch.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|-1 {{=}} -4 + 4 {{=}} 0 Dies ist eine falsche Aussage. Der Punkt Q liegt also nicht auf der Geraden.}}

c) Gegeben ist die Gerade h(x) = 0,5x − 2. Liegt der Punkt R(8|2) auf der Geraden? Begründe zeichnerisch. 
{{Lösung versteckt|Trage die Gerade und den Punkt in ein Koordinatensystem ein. Liegt der Punkt auf der Geraden?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.00.01.png|zentriert|400px]]Der Punkt R liegt nicht auf der Geraden.}}

d) Gib einen Punkt S an, der auf der Geraden h(x) = 0,5x − 2 liegt.
{{Lösung versteckt|Trage deinen gewählten Punkt in dieser [https://www.geogebra.org/calculator/kuyjyby9 GeoGebra-Datei] ein und überprüfe so, ob er auf der Geraden liegt.}}

<big>Aufgabe 3</big>

a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(1|2) und B(4|8). Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt C(5|10) auf dieser Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x. Der Punkt C liegt auf der Geraden, denn 10 {{=}} 2 • 5 {{=}} 10 ist eine wahre Aussage.}}

b) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(−2|3) und B(2|−1). Liegt der Punkt C(0|1) auf dieser Geraden? Begründe zeichnerisch.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x - 1. [[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.19.43.png|zentriert|400px]] Der Punkt C liegt auf der Geraden.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Welche der folgenden Punktpaare ergeben dieselbe Gerade? Stelle zuerst Vermutungen an und überprüfe sie dann, indem du die Geraden in ein Koordinatensystem in dein Heft zeichnest.

a) A(0|0) und B(2|2), b) C(1|1) und D(3|3), c) E(0|1) und F(2|3).
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 11.45.21.png|zentriert|400px]]}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Darstellungswechsel|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|
weiter=🤔 Weitere Übungen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Darstellungswechsel

2026-03-19T08:11:48Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Darstellungswechsel==
Du kennst bereits die verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen, das heißt, Funktionsgleichung, Graph und Wertetabelle. In diesem Kapitel befasst du dich damit, wie zwischen diesen Darstellungsformen gewechselt werden kann.

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=

====Wertetabelle ➡️ Graph====
Eine Wertetabelle kannst du nutzen, um zum Graphen einer linearen Funktion zu gelangen, indem du die Wertepaare (x,y) aus der Tabelle als Koordinatenpunkte in ein Koordinatensystem einträgst. Du zeichnest zuerst die Achsen, trägst dann jeden Punkt aus der Tabelle in das Koordinatensystem ein und verbindest diese Punkte anschließend zu einer Geraden. Benutze dazu am besten dein Geodreieck.

====Graph ➡️ Wertetabelle====
Um von einem Graphen zur Wertetabelle zu gelangen, lies die Punkte vom Graphen ab und tragen die entsprechenden x- und y-Werte in die Tabelle ein.
Bei einer linearen Funktion ist der Graph eine Gerade, daher genügen zwei beliebige Punkte auf der Geraden, um die Tabelle zu erstellen und den Graphen eindeutig zu definieren. Das hängt mit der Steigung zusammen. Genaueres dazu lernst du im nächsten Kapitel.

====Graph/Wertetabelle ➡️ Funktionsgleichung====
Um anhand eines Graphen bzw. einer Wertetabelle eine Funktionsgleichung aufzustellen, lese zwei Punkte auf dem Graphen bzw. aus der Wertetabelle ab und berechne aus ihnen die Steigung m der Funktion. Setze diese gemeinsam mit einem der beiden Punkte in die allgemeine Form einer linearen Funktion y=mx+b ein und berechne b.

====Funktionsgleichung ➡️ Graph/Wertetabelle====
Wenn du anhand der Gleichung einer linearen Funktion ihren Graphen bzw. eine Wertetabelle erstellen möchtest, gehst du wie folgt vor: Trage einige beliebige Werte für x in die Gleichung ein und berechne die zugehörigen y-Werte. Auf diese Weise erhältst du Punkte, die du in eine Wertetabelle eintragen kannst. Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie, um einen Graphen zu zeichnen.}}

====👟 Training====

{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="xzsnwfsp" width="1000" height="400" />|📐GeoGebra anzeigen|GeoGebra verbergen}}

<big>Aufgabe 1</big>

Zeichne anhand der folgenden Wertetabelle den Graphen der Funktion f: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!-}}
{{!}} 7
{{!}} - 20,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} - 3 x + 0,5. Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei entsprechend ein und vergleiche den so entstehenden Graphen mit deinem Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei auf m = 4 und b = 2,5 ein. Lege zu dem daraus entstehenden Graphen eine Wertetabelle von x = - 3 bis x = 2 mit einer Schrittweite von 1 an.
{{Lösung versteckt|Deine Wertetabelle sollte folgende Form haben: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}}
{{!-}}
{{!}} - 2
{{!}}
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}}
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}}
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}}
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}}
{{!)}}|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} - 9,5
{{!-}}
{{!}} - 2
{{!}} - 5,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} - 1,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 2,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 6,5
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 10,5
{{!)}}}}

<big>Aufgabe 3</big>

Gegeben ist die Wertetabelle: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 4,95
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 6,45
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 7,95
{{!-}}
{{!}} 3
{{!}} 9,45
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} 10,95
{{!-}}
{{!}} 5
{{!}} 12,45
{{!)}}
a) Stelle die zugehörige Funktionsgleichung auf.
{{Lösung versteckt|Für y {{=}} b ist x {{=}} 0.|💡 Hinweis 1 anzeigen|Hinweis 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Den Wert für b kannst du direkt aus der Wertetabelle ablesen (siehe Hinweis 1). Zusätzlich kannst du einen beliebigen Punkt aus der Wertetabelle ablesen. Um nun die Steigung m zu bestimmen, setze diesen Punkt und den Wert von b in die allgemeine Form einer linearen Funktiongleichung ein und löse nach m auf.|💡 Hinweis 2 anzeigen|Hinweis 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|f(x) {{=}} 1,5 x + 4,95}}
b) Formuliere einen Sachzusammenhang, der durch die Funktionsgleichung beschrieben werden kann.
{{Lösung versteckt|Bestellt man online Aufkleber, zahlt man für einen 1,50 €. Zusätzlich fallen 4,95 € Versandkosten an.|Lösungsvorschlag anzeigen|Lösungsvorschlag verbergen.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Gegeben ist die Gerade f(x) = <math> \frac{1}{4} </math> x - 2. Wähle eine der folgenden beiden Aufgaben und löse sie: 
a) Lege eine Wertetabelle für die Funktion f an, welche 5 Wertepaare (x ; f(x)) enthält.
{{Lösung versteckt|Die einzige Vorgabe an die Wertetabelle war es, dass sie 5 Wertepaare enthält. Sie kann also bei einem beliebigen x-Wert starten und eine beliebige Schrittweite kann zwischen den x-Werten liegen. Zum Beispiel kann sie bei x {{=}} 0 starten und eine Schrittweite von 1 haben: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} - 2
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - <math> \frac{7}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} - <math> \frac{3}{2} </math>
{{!-}}
{{!}} 3
{{!}} - <math> \frac{5}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 1
{{!)}}
Sie kann aber zum Beispiel auch bei x {{=}} - 2 starten: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 2
{{!}} - <math> \frac{5}{2} </math>
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} - <math> \frac{9}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} - 2
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - <math> \frac{7}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} - <math> \frac{3}{2} </math>
{{!)}}}}
b) Zeichne den Graphen der Funktion f.
{{Lösung versteckt|Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei entsprechend ein und vergleiche den so entstehenden Graphen mit deinem Ergebnis.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Gerade aus Punkten|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/y-Achsenabsschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

2026-03-19T08:11:24Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 y-Achsenabschitt und Nullstelle von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem y-Achsenabschitt, einem der zwei Parameter einer linearen Funktion, sowie mit der Nullstelle einer linearen Funktion.

<big>🔍 Entdecke: Wie beeinflusst der y-Achsenabschitt die Position der Funktion im Koordinatensystem?</big> 
Bewege den Schieberegler, um den y-Achenabschnitt b der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="gpwb4dsq" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|Wie verändert sich die Position der Funktion in Bezug auf die y-Achse? Fällt dir etwas an dem Wert von b auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|Wird der Wert von b erhöht, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter oben. Wird der Wert von b verringert, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter unten. Der y-Achsenabschnitt b ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse im Koordinatensystem. Ist z.B. b {{=}} 3, ist (0 ; 3) der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== y-Achsenabschitt ====
Der y-Achsenabschitt (auch: Ordinatenabschnitt) einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn x = 0 ist, und wird in der Funktionsgleichung y=mx+b durch die Konstante b repräsentiert.}}

<big>🤔 Knobelaufgabe:</big> 
Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem auf b = 3. 
a) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse lautet (0 ; 3).}}
b) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (- 1,5 ; 0).}}
c) Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem nun auf b = - 1. Lies erneut den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gibt ihn an. Vergleiche ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b). Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (0,5 ; 0). Vergleicht man ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b), fällt auf: Die Funktion schneidet die y-Achse bei x {{=}} 0. Die x-Achse schneidet sie hingegen bei y {{=}} 0.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Nullstelle ====
Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.
Sie ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) = y = 0 ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null (also in unserem Beispiel von oben: 0=2+3x) und löst die Gleichung nach x auf.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Gib den y-Achsenabschitt b der folgenden Funktionen an: 
a) f(x) = -2 x + 1,5
{{Lösung versteckt|b {{=}} 1,5}}
b) h(x) = 5 x
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0, denn f(x) {{=}} 5 x {{=}} 5 x + 0.}}
c) g(x) = 7 - x
{{Lösung versteckt|Notiere die Funktionsgleichung in der Form g(x) {{=}} mx + b, die du kennengelernt hast. Was ist b?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 7, denn f(x) {{=}} 7 - x {{=}} - 1 x + 7.}}
d)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 00.02.23.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt|Wo schneidet die Funktion die y-Achse? Der y-Wert dieses Schnittpunkts entspricht b.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} - 1,5, denn hier schneidet der Graph die y-Achse.}}
e) Die Funktion kann durch folgende Wertetabelle beschrieben werden: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} c(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 0,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Was weißt du über den y-Achsenabschnitt? Es gibt eine besondere Eigenschaft des y-Achsenabschnitts, die dir helfen kann, die Aufgabe besonders schnell zu lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0,5, denn hier ist x {{=}} 0.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pz0wartcj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

Eine Funktion mit der Steigung m = 2 schneidet den Punkt (1 ; 3). Berechne den y-Achsenabschnitt b der Funktion. Notiere den Rechenweg in deinem Heft.
{{Lösung versteckt|Notiere die allgemeine Form einer linearen Funktion. Überlege dir, für welche der Buchstaben du Zahlen einsetzen kannst, die du bereits kennst. Setze sie ein und löse die Gleichung nach b auf.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt (1 ; 3) in die Funktionsgleichung f(x) {{=}} 2 x + b ein. Dann erhältst du die Gleichung 3 {{=}} 2 ⋅ 1 + b {{=}} 2 + b. Stelle diese Gleichung nach b um: b {{=}} 3 - 2 {{=}} 1.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Steigung von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Darstellungswechsel|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Steigung von linearen Funktionen

2026-03-19T08:10:50Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Steigung von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit der Steigung, einer der zwei Parameter linearer Funktionen.

<big>🔍 Entdecke: Wie beeinflusst die Steigung den Verlauf der Funktion?</big> 
Bewege den Schieberegler, um die Steigung m der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="mejqqnae" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|a) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert. 
b) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} -10 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|# Je höher der Betrag der Steigung m ist, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion. Um dies zu sehen, vergleiche beispielsweise m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander.
# Hat die Steigung m ein positives Vorzeichen (z.B. m {{=}} 10 ), verläuft die Funktion von links unten nach rechts oben. Mit anderen Worten: Die Funktion steigt in diesem Fall. Hat die Steigung m ein negatives Vorzeichen (z.B. m {{=}} - 10), verläuft die Funktion von links oben nach rechts unten. Mit anderen Worten: Die Funktion fällt in diesem Fall.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet das, wir rechnen: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Ein positives m bedeutet einen steigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Entscheide jeweils, ob die Steigung m der folgenden Funktionsgraphen ein positives oder ein negatives Vorzeichen hat. Begründe deine Entscheidung. 
{{Lösung versteckt|Verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, steigt er. Das heißt, m ist positiv. Verläuft der Graph von links oben nach rechts unten, fällt er. Das heißt, m ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
a)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.27.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen, da die Funktion von links unten nach rechts oben verläuft, also steigt.}}
 b)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.38.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein negatives Vorzeichen, da die Funktion von links oben nach rechts unten verläuft, also fällt.}}
 c)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.54.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen, da die Funktion von links unten nach rechts oben verläuft, also steigt.}}
 d)
[[Datei:Steigung.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen, da die Funktion von links unten nach rechts oben verläuft, also steigt.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ptteb9san26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pnc2bgpgj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big> 

Diese Aufgabe kannst du nutzen, um dich im Kopfrechnen zu üben. Wenn du dich damit wohler fühlst, kannst du die Rechnungen natürlich auch in deinem Heft notieren.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pto4k9v5c26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Lineare Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|
weiter=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-19T08:10:23Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Lineare Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem Funktionstyp der linearen Funktionen.
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Lineare Funktionen ====
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist und durch die Gleichung f(x)=mx+b beschrieben wird. Dabei ist m die Steigung der Geraden, die angibt, wie stark diese sich pro Einheit der x-Achse verändert. Die Besonderheit dieses Funktionstyps ist, dass sich der y-Wert vom einen zum nächsten x-Wert immer gleich verändert. b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Zu Steigung und y-Achsenabschnitt erfährst du später noch mehr.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big> 

Formuliere mögliche Sachkontexte, die durch die lineare Funktion f(x) = 1,5x + 10 beschrieben sein könnten. Notiere deine Ideen auf einem Zettel. Danach kannst du dir die Lösungsvorschläge anschauen.
Falls möglich, kannst du deinen Zettel vorher mit dem deines Sitznachbarn tauschen. Auf diese Weise könnt ihr euch gegenseitig Feedback zu euren Ideen geben.
{{Lösung versteckt|Mögliche Sachkontexte, die durch diese Funktionsgleichung beschrieben werden können, lauten: 1. Der jährliche Beitrag für eine Bienenpatenschaft besteht aus einem Grundbetrag von 10 € sowie zusätzlichen Kosten von 1,50 € für jede betreute Biene. 2. Für das Ausleihen eines Regenschirms wird eine feste Gebühr von 10 € erhoben, zusätzlich fallen 1,50 € für jede Stunde an, in der der Regenschirm genutzt wird. 3. Beim Drucken einer Abschlussarbeit entstehen zunächst 10 € für das Einrichten des Druckers, anschließend werden 1,50 € pro gedruckter Seite berechnet. 4. Die Kosten für die Unterbringung einer Katze in einer Katzenpension setzen sich aus einer einmaligen Eingewöhnungsgebühr von 10 € und zusätzlichen Kosten von 1,50 € pro Betreuungstag zusammen.|Lösungsvorschläge anzeigen|Lösungsvorschläge verbergen}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvk41x3ft26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|
weiter=📌 Steigung von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Funktionen

2026-03-19T08:09:44Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
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{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Funktionen==

In diesem Kapitel befasst du dich mit Funktionen und ihre Darstellungsformen sowie verschiedenen wichtigen Grundbegriffen, die du kennen solltest.
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Funktion ====

Wenn eine Zuordnung f: x → y jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet, dann nennt man diese Zuordnung Funktion. Der zugeordnete y-Wert heißt Funktionswert an der Stelle x. Eine andere Schreibweise für den Funktionswert lautet f(x).

==== Funktionsterm ====
Man nennt 2+3x einen Funktionsterm. Er gibt in diesem Beispiel an, dass sich der y-Wert zu Beginn bei 2 befindet und mit jedem weiteren x-Wert um 3 Einheiten wächst.

==== Funktionsgleichung/Funktionsvorschrift ====
Man nennt f(x)=2+3x Funktionsgleichung oder auch Funktionsvorschrift. Mit dieser kann man zu jedem x-Wert den zugehörigen Funktionswert f(x), also den y-Wert berechnen.
Alternativ kann man auch f: x→2+3x schreiben. Der Pfeil drückt aus, dass jedem Punkt x der entsprechende Wert 2+3x zugeordnet wird. Ist zum Beispiel x=4, schreibt man f(4)=2+3x=14.

==== Graph einer Funktion ====

Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte, die mit ihren Koordinaten die Gleichung f(x)=y erfüllen. In unserem Beispiel gilt also y=2+3x für alle Punkte (x,y) auf dem Graphen.

==== Wertetabelle ====

Eine Wertetabelle zeigt systematisch auf, welche y-Werte (errechnete Werte) zu bestimmten x-Werten (eingegebenen Werten) gehören. So kann man leicht erkennen, wie eine Funktion funktioniert.
Zum Beispiel in die Funktion f(x)=2+3x kann man einige x-Werte einsetzen, die passenden y-Werte berechnen und diese Wertepaare übersichtlich in einer solchen Wertetabelle darstellen: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 2
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 5
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 8
{{!)}}}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pdod3iy9325" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 2</big>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pr86pdgr325" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pbqmrb4ka25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ps16n8ebj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 5</big> 
Auf dem Weihnachtsmarkt in der Innenstadt von Gießen kosten 100 g gebrannte Mandeln 3,80 €. Wie viel kosten 200 g, 400 g, 700 g und 1300 g? Notiere die Ergebnisse übersichtlich in einer Tabelle in deinem Heft.

{{Lösung versteckt|Die Wertetabelle sollte so aussehen:

<table>

<tr>
<th>Gewicht der Mandeln in g</th>
<th> </th>
<th>Preis der Mandeln in €</th>
</tr>

<tr>
<td>100</td>
<td> </td>
<td>3,80</td>
</tr>

<tr>
<td>200</td>
<td> </td>
<td>7,60</td>
</tr>

<tr>
<td>400</td>
<td> </td>
<td>15,20</td>
</tr>

<tr>
<td>700</td>
<td> </td>
<td>26,60</td>
</tr>

<tr>
<td>1300</td>
<td> </td>
<td>49,40</td>
</tr>
</table>}}

{{Fortsetzung|
vorher=Willkommen zu deinem Lernpfad über lineare Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Lineare Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen

2026-03-19T08:09:07Z

KiaraundSarah:

{{Box
| Klasse = Lernpfad
| Titel = Willkommen zu deinem Lernpfad über lineare Funktionen
| Inhalt = Hier kannst du dein Wissen zu linearen Funktionen festigen. Du wiederholst, wie man Geraden zeichnet, Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmt sowie überprüft, ob Punkte auf einer linearen Funktion liegen. Die Übungsaufgaben unterstützen dich in der Vorbereitung auf die Klassenarbeit. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass du zunächst durch kleine Info-Boxen dein bisher erlerntes Wissen auffrischen kannst. Danach folgen kleine Aufgaben zum Training, die du in Hinblick auf die anstehende Arbeit bewältigen können solltest. Am Ende des Lernpfads findest du noch einige Aufgaben zum Knobeln. Deine Mühe zahlt sich aus: Mit jeder Geraden steigt dein Können!
| Farbe = #9AC0CD
}}

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|📌 Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|📌 Lineare Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|📌 Steigung von linearen Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen|📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|📌 Darstellungswechsel]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten|📌 Gerade aus Punkten]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen|🤔 Weitere Übungen]]|classes=hiowaeihov}}

__NOTOC__

{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}

{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenz|Dieser Lernpfad fördert primär die allgemeine mathematische Kompetenz Darstellen, indem die Schülerinnen und Schüler lineare Funktionen in ihren verschiedenen Darstellungsformen erkennen, aufstellen und interpretieren sowie zwischen den Darstellungsformen Gleichung, Graph und Wertetabelle wechseln.|Lösung}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Die inhaltlichen Kompetenzen, die mit diesem Lernpfad gefestigt und erweitert werden sollen, lauten wie folgt:

Die Schülerinnen und Schüler können entscheiden, ob es sich um eine Funktion handelt, indem sie sie als eine eindeutige Zuordnung identifizieren.

Die Schülerinnen und Schüler können einen linearen Graphen anhand einer Wertetabelle zeichnen (eine Wertetabelle anhand eines linearen Graphen aufstellen), indem sie die Punkte aus der Wertetabelle in ein KOS eintragen und verbinden (Punkte auf dem Graphen ablesen und sie entsprechend in die Wertetabelle eintragen).

Die Schülerinnen und Schüler können die Steigung einer linearen Funktion mittels Differenzenquotient bestimmen, indem sie ihn über (a) ein Steigungsdreieck am Graphen, (b) zwei Punkte der Funktion aufstellen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Steigung einer linearen Funktion ermitteln, indem sie den y-Achsenabschnitt und einen Punkt (x ≠ 0) in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen und die Steigung berechnen.

Die Schülerinnen und Schüler können den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmen, indem sie ihn (a) von dem Graphen ablesen, (b) die Steigung und einen Punkt in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen und den y-Achsenabschnitt berechnen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmen, indem sie sie (a) vom Graphen ablesen, (b) die Funktionsgleichung gleich 0 setzen und nach x auflösen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Gleichung einer Funktion aufstellen, indem sie (a) Steigung und y-Achsenabschnitt von einem Graphen ablesen und für m und b in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (b) die Steigung und einen weiteren Punkt in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (c) zwei Punkte von einem Graphen oder aus einer Wertetabelle ablesen, daraus die Steigung und den y-Achsenabschnitt berechnen und beide in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (d) die Steigung und den y-Achsenabschnitt anhand eines Sachkontexts ermitteln und in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen.

Die Schülerinnen und Schüler können entscheiden, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, indem sie zur Überprüfung (a) beides in ein Koordinatensystem zeichnen (b) rechnerisch eine Punktprobe durchführen.

Die Schülerinnen und Schüler können lineare Funktionen interpretieren, indem sie sie mit einem Sachkontext verknüpfen.|Lösung}}

{{Fortsetzung|
weiter=📌 Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-08T11:21:52Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Lineare Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem Funktionstyp der linearen Funktionen.
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Lineare Funktionen ====
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist und durch die Gleichung f(x)=mx+b beschrieben wird. Dabei ist m die Steigung der Geraden, die angibt, wie stark diese sich pro Einheit der x-Achse verändert. Die Besonderheit dieses Funktionstyps ist, dass sich der y-Wert vom einen zum nächsten x-Wert immer gleich verändert. b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Zu Steigung und y-Achsenabschnitt erfährst du später noch mehr.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big> 

Formuliere mögliche Sachkontexte, die durch die lineare Funktion f(x) = 1,5x + 10 beschrieben sein könnten. Notiere deine Ideen auf einem Zettel. Danach kannst du dir die Lösungsvorschläge anschauen.
Falls möglich, kannst du deinen Zettel vorher mit dem deines Sitznachbarn tauschen. Auf diese Weise könnt ihr euch gegenseitig Feedback zu euren Ideen geben.
{{Lösung versteckt|Mögliche Sachkontexte, die durch diese Funktionsgleichung beschrieben werden können, lauten: 1. Der jährliche Beitrag für eine Bienenpatenschaft besteht aus einem Grundbetrag von 10 € sowie zusätzlichen Kosten von 1,50 € für jede betreute Biene. 2. Für das Ausleihen eines Regenschirms wird eine feste Gebühr von 10 € erhoben, zusätzlich fallen 1,50 € für jede Stunde an, in der der Regenschirm genutzt wird. 3. Beim Drucken einer Abschlussarbeit entstehen zunächst 10 € für das Einrichten des Druckers, anschließend werden 1,50 € pro gedruckter Seite berechnet. 4. Die Kosten für die Unterbringung einer Katze in einer Katzenpension setzen sich aus einer einmaligen Eingewöhnungsgebühr von 10 € und zusätzlichen Kosten von 1,50 € pro Betreuungstag zusammen.|Lösungsvorschläge anzeigen|Lösungsvorschläge verbergen}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvk41x3ft26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|
weiter=📌 Steigung von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Weitere Übungen

2026-03-08T10:21:21Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Box|Info|In diesem Kapitel findest du gemischte Übungen. Es ist gut möglich, dass dir diese Aufgaben schwerer fallen, als die vorherigen. Lass dich davon nicht entmutigen, denn ihr Sinn ist es, das zu vertiefen, was du bisher gelernt hast. Viel Spaß beim Knobeln!|Kurzinfo}}

{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==🤔 Weitere Übungen==

<big>Aufgabe 1</big> 

Vergleiche die beiden unten abgebildeten Graphen. Beschreibe die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Funktionen. Notiere deine Ergebnisse. Klicke auf eine Abbildung, um sie in einem größeren Format anschauen zu können.
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
|-
|[[Datei:Funktion f.png|zentriert|400px]]||[[Datei:Funktion g.png|zentriert|400px]]
|}

{{Lösung versteckt|Treffe jeweils eine Aussage über den Funktionstyp von f bzw. g. Überlege außerdem, was du über die Steigung der jeweiligen Funktion sowie über ihren y-Achsenabschnitt sagen kannst.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}

{{Lösung versteckt|Gemeinsamkeit: Die Funktionen sind beide linear. Unterschiede: Die Funktion f fällt, während die Funktion g steigt. Das heißt, die Funktion f hat eine negative Steigung m, während die Funktion g eine positive Steigung m hat. Außerdem steigt die Funktion g schneller als die Funktion f fällt. Das heißt, die Steigung von g ist im Betrag größer als die von f. Die Funktion g schneidet die y-Achse bei 3, wohingegen die Funktion f die y-Achse bei 7 schneidet.}}

<big>Aufgabe 2</big> 

{| class="wikitable"
|+Wähle nun aus, ob du alleine oder mit einer Partnerin/einem Partner arbeiten möchtest:
!Paare zuordnen alleine ⤵️!!Memory zu Zweit ⤵️
|-
|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pga3b1shk25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowhalfscreen="true" webkitallowhalfscreen="true" mozallowhalfscreen="true"></iframe>||<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxhcvyo7n25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowhalfscreen="true" webkitallowhalfscreen="true" mozallowhalfscreen="true"></iframe>
|}

<big>Aufgabe 3</big>

a) Kann eine lineare Funktion keine Steigung haben? Erkläre.
{{Lösung versteckt|Berechne die Steigung m einer linearen Funktion, die die Punkte A(1; 2) und B(3; 2) schneidet. Was kannst du über den Verlauf dieser Funktion sagen?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Ja. Eine Gerade mit der Steigung '''0''' hat „keine Steigung“. Sie verläuft '''waagerecht''' (horizontal). Das bedeutet: Der y-Wert bleibt immer gleich, egal wie sich x ändert. Beispiel: y{{=}}3. Eine solche Funktion wird auch als Konstante bezeichnet.}}

b) Zwei lineare Funktionen haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Was bedeutet das für ihren Verlauf?
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Konstruiere zwei lineare Funktionen mit unterschiedlichem y-Achsenabschnitt und gleicher Steigung. Was fällt dir auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zwei Geraden mit derselben Steigung verlaufen parallel zueinander.
Sie steigen oder fallen gleich stark und schneiden sich nicht (außer sie sind identisch). 
Beispiel: f(x) {{=}} 2x + 1 und g(x) {{=}} 2x − 3
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-25 um 19.54.03.png|zentriert|400px]]}}

<big>Aufgabe 4</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=po9oamowt25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Lösung versteckt|Setze die folgenden Wörter in die passende Lücke ein: fällt - y-Achse - Steigung (2x) - Steigungen (2x) - stark - steigt -y-Achsenabschnitt - waagerechte Gerade - zwei|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}

<big>Aufgabe 5</big> 

Farhan möchte einen Streaming-Dienst abonnieren. Der Streaming-Dienst Flimmerflix bietet ein Abo an, welches aus einer Grundgebühr von 50 € sowie aus einer monatlichen Pauschale von 6,50 €. Der Streaming-Dienst BingeBude hingegen verlangt eine monatliche Pauschale von 11,50 €. 
a) Stelle pro Streaming-Dienst eine Funktionsgleichung auf, mit welcher die Kosten in Abhängigkeit der Zeit (in Monaten) berechnet werden können. 
{{Lösung versteckt|Überlege dir: Was wird in diesem Kontext durch die Variable beschrieben? Was wird in diesem Kontext durch den jeweiligen Funktionswert beschrieben? Was sagt die Steigung in diesem Kontext aus? Was sagt der y-Achsenabschnitt in diesem Kontext aus?|💡 Hinweis 1 anzeigen|Hinweis 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Lese dir die Aufgabe noch einmal durch und berücksichtige dabei Folgendes: Die Variable x gibt in diesem Kontext an, für wie viele Monate das Abo des Streaming-Dienstes gezahlt wird. Der Funktionswert gibt in diesem Kontext an, wie viel es kostet, den Streaming-Dienst für x Monate zu abonnieren. Die Steigung m gibt an, wie viel Geld pro Monat für das Abo gezahlt werden muss. Der y-Achsenabschnitt b gibt in diesem Kontext an, wie viel zusätzlich zu der monatlichen Pauschale für das Abo gezahlt werden muss.|💡 Hinweis 2 anzeigen|Hinweis 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Flimmerflix : f(x) {{=}} 6,50 x + 50 BingeBude : g(x) {{=}} 11,50 x, denn b {{=}} 0}}
b) Berechne den Gesamtbetrag, den Farhan zahlen muss, wenn er ein Jahr lang über Flimmerflix streamen will. 
{{Lösung versteckt|Was beschreibt die Variable deiner Funktion in diesem Kontext und welche Einheit hat sie? Was beschreibt der Funktionswert in diesem Kontext?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|1 Jahr entspricht 12 Monaten. f(12) {{=}} 6,50 ⋅ 12 + 50 {{=}} 128 Farhan muss für ein einjähriges Abo bei Flimmerflix 128 € zahlen.}}
c) Nach wie vielen Monaten belaufen sich die Kosten für beide Streaming-Dienste auf den gleichen Betrag? Welcher Streaming-Dienst ist danach teuer? 
{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe entweder zeichnerisch oder rechnerisch lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Streaming-Dienste kosten unmittelbar 10 Monate nach dem Abo-Start gleich viel. Ab dem 11. Monat ist BingeBude teurer.}}
d) Für welchen der beiden Streaming-Dienste soll Farhan sich deiner Meinung nach entscheiden? Begründe deine Antwort. 
{{Lösung versteckt|Berücksichtige deine Ergebnisse aus b) und c).|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Möchte Farhan den Streaming-Dienst für weniger als 10 Monate abonnieren, sollte er BingeBude wählen. Möchte Farhan den Streaming-Dienst für mehr als 10 Monate abonnieren, sollte er Flimmerflix wählen.}}

<big>Aufgabe 6</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pa4tru7wt26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 7</big> 

Stella tanzt Ballett in einem renommierten Tanz-Studio. Für gewöhnlich trainiert sie dort 15 Mal im Monat. In einem halben Jahr findet jedoch ihr nächster Auftritt statt. Daher sind noch 6 zusätzliche Trainingseinheiten eingeplant. Gib an, wie häufig Stella bis zu ihrem Auftritt trainieren wird, wenn sie an jedem Termin teilnimmt.
{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe auf verschiede Weisen lösen. Eine Möglichkeit wäre es, passend zum Sachzusammenhang eine Funktionsgleichung aufzustellen und die Anzahl der Trainingseinheiten damit auszurechnen. Gehe dazu ähnlich vor, wie in Aufgabe 4a) und 4b).|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stella wird bis zu ihrem Auftritt noch 96 Mal trainieren.}}

<big>Aufgabe 8</big> 

Anna behauptet: „Wenn man zwei verschiedene Punkte kennt, kann man immer genau eine Gerade zeichnen.“
Liegt sie damit richtig? Begründe deine Antwort und tausche dich, falls möglich, mit einem Partner / einer Partnerin aus.
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft und trage dort zwei beliebige, aber unterschiedliche Punkte ein. Verbinde die beiden Punkte. Kannst du durch die gleichen Punkte noch eine zweite Gerade ziehen die anders verläuft als die erste?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Annas Aussage ist richtig. Eine Gerade ist eindeutig festgelegt, sobald man zwei verschiedene Punkte kennt. Würde man versuchen, eine zweite Gerade durch dieselben beiden Punkte zu zeichnen, dann läge sie genau auf der ersten Gerade. Es gäbe also keine zweite, unterschiedliche Gerade.}}

<big>Aufgabe 9</big>

a) Eine Gerade schneidet die Punkte A(3|7) und B(7|7). Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden. Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Achte auf die Steigung und auf die x-Achse.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 0x + 7 {{=}} 7. Die Steigung ist m {{=}} 0, also ist die Funktion eine Konstante und jeder Punkt auf der Geraden f hat den y-Wert 7. Außerdem hat die Funktion keine Nullstelle.}}

b) Eine Gerade schneidet die Punkte A(2|−1) und B(2|4). Warum kann man hier '''keine''' Funktionsgleichung der Form f(x) = mx + b angeben?
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und lege eine Gerade hindurch. Welche Besonderheit fällt dir auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Punkte haben die gleichen x-Werte. Eine Gerade, die diese beiden Punkte schneidet, steht im Koordinatensystem senkrecht auf der x-Achse. Die Gerade hat zu einem x-Wert (x {{=}} 2) mehrere y-Werte. Eine Funktion ordnet allerdings jedem x-Wert nur einen y-Wert zu, weshalb es sich bei dieser Geraden gar nicht um eine Funktion handelt. Daher kann die Gerade auch nicht durch die Funktionsgleichung einer linearen Funktion beschrieben werden. Du bemerkst dieses Problem auch, wenn du versuchst, die Steigung zu berechnen, denn du würdest im Nenner des Bruchs eine Null erhalten. Durch Null darf man allerdings nicht teilen, was es unmöglich macht die Steigung zu berechnen oder gar eine Funktionsgleichung in der genannten Form anzugeben.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Gerade aus Punkten|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Weitere Übungen

2026-03-06T17:18:10Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Box|Info|In diesem Kapitel findest du gemischte Übungen. Es ist gut möglich, dass dir diese Aufgaben schwerer fallen, als die vorherigen. Lass dich davon nicht entmutigen, denn ihr Sinn ist es, das zu vertiefen, was du bisher gelernt hast. Viel Spaß beim Knobeln!|Kurzinfo}}

{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==🤔 weitere Übungen==

<big>Aufgabe 1</big> 

Vergleiche die beiden unten abgebildeten Graphen. Beschreibe die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Funktionen. Notiere deine Ergebnisse. Klicke auf eine Abbildung, um sie in einem größeren Format anschauen zu können.
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
|-
|[[Datei:Funktion f.png|zentriert|400px]]||[[Datei:Funktion g.png|zentriert|400px]]
|}

{{Lösung versteckt|Treffe jeweils eine Aussage über den Funktionstyp von f bzw. g. Überlege außerdem, was du über die Steigung der jeweiligen Funktion sowie über ihren y-Achsenabschnitt sagen kannst.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}

{{Lösung versteckt|Gemeinsamkeit: Die Funktionen sind beide linear. Unterschiede: Die Funktion f fällt, während die Funktion g steigt. Das heißt, die Funktion f hat eine negative Steigung m, während die Funktion g eine positive Steigung m hat. Außerdem steigt die Funktion g schneller als die Funktion f fällt. Das heißt, die Steigung von g ist im Betrag größer als die von f. Die Funktion g schneidet die y-Achse bei 3, wohingegen die Funktion f die y-Achse bei 7 schneidet.}}

<big>Aufgabe 2</big> 

{| class="wikitable"
|+Wähle nun aus, ob du alleine oder mit einer Partnerin/einem Partner arbeiten möchtest:
!Paare zuordnen alleine ⤵️!!Memory zu Zweit ⤵️
|-
|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pga3b1shk25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowhalfscreen="true" webkitallowhalfscreen="true" mozallowhalfscreen="true"></iframe>||<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxhcvyo7n25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowhalfscreen="true" webkitallowhalfscreen="true" mozallowhalfscreen="true"></iframe>
|}

<big>Aufgabe 3</big>

a) Kann eine lineare Funktion keine Steigung haben? Erkläre.
{{Lösung versteckt|Berechne die Steigung m einer linearen Funktion, die die Punkte A(1; 2) und B(3; 2) schneidet. Was kannst du über den Verlauf dieser Funktion sagen?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Ja. Eine Gerade mit der Steigung '''0''' hat „keine Steigung“. Sie verläuft '''waagerecht''' (horizontal). Das bedeutet: Der y-Wert bleibt immer gleich, egal wie sich x ändert. Beispiel: y{{=}}3. Eine solche Funktion wird auch als Konstante bezeichnet.}}

b) Zwei lineare Funktionen haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Was bedeutet das für ihren Verlauf?
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Konstruiere zwei lineare Funktionen mit unterschiedlichem y-Achsenabschnitt und gleicher Steigung. Was fällt dir auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zwei Geraden mit derselben Steigung verlaufen parallel zueinander.
Sie steigen oder fallen gleich stark und schneiden sich nicht (außer sie sind identisch). 
Beispiel: f(x) {{=}} 2x + 1 und g(x) {{=}} 2x − 3
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-25 um 19.54.03.png|zentriert|400px]]}}

<big>Aufgabe 4</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=po9oamowt25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Lösung versteckt|Setze die folgenden Wörter in die passende Lücke ein: fällt - y-Achse - Steigung (2x) - Steigungen (2x) - stark - steigt -y-Achsenabschnitt - waagerechte Gerade - zwei|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}

<big>Aufgabe 5</big> 

Farhan möchte einen Streaming-Dienst abonnieren. Der Streaming-Dienst Flimmerflix bietet ein Abo an, welches aus einer Grundgebühr von 50 € sowie aus einer monatlichen Pauschale von 6,50 €. Der Streaming-Dienst BingeBude hingegen verlangt eine monatliche Pauschale von 11,50 €. 
a) Stelle pro Streaming-Dienst eine Funktionsgleichung auf, mit welcher die Kosten in Abhängigkeit der Zeit (in Monaten) berechnet werden können. 
{{Lösung versteckt|Überlege dir: Was wird in diesem Kontext durch die Variable beschrieben? Was wird in diesem Kontext durch den jeweiligen Funktionswert beschrieben? Was sagt die Steigung in diesem Kontext aus? Was sagt der y-Achsenabschnitt in diesem Kontext aus?|💡 Hinweis 1 anzeigen|Hinweis 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Lese dir die Aufgabe noch einmal durch und berücksichtige dabei Folgendes: Die Variable x gibt in diesem Kontext an, für wie viele Monate das Abo des Streaming-Dienstes gezahlt wird. Der Funktionswert gibt in diesem Kontext an, wie viel es kostet, den Streaming-Dienst für x Monate zu abonnieren. Die Steigung m gibt an, wie viel Geld pro Monat für das Abo gezahlt werden muss. Der y-Achsenabschnitt b gibt in diesem Kontext an, wie viel zusätzlich zu der monatlichen Pauschale für das Abo gezahlt werden muss.|💡 Hinweis 2 anzeigen|Hinweis 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Flimmerflix : f(x) {{=}} 6,50 x + 50 BingeBude : g(x) {{=}} 11,50 x, denn b {{=}} 0}}
b) Berechne den Gesamtbetrag, den Farhan zahlen muss, wenn er ein Jahr lang über Flimmerflix streamen will. 
{{Lösung versteckt|Was beschreibt die Variable deiner Funktion in diesem Kontext und welche Einheit hat sie? Was beschreibt der Funktionswert in diesem Kontext?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|1 Jahr entspricht 12 Monaten. f(12) {{=}} 6,50 ⋅ 12 + 50 {{=}} 128 Farhan muss für ein einjähriges Abo bei Flimmerflix 128 € zahlen.}}
c) Nach wie vielen Monaten belaufen sich die Kosten für beide Streaming-Dienste auf den gleichen Betrag? Welcher Streaming-Dienst ist danach teuer? 
{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe entweder zeichnerisch oder rechnerisch lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Streaming-Dienste kosten unmittelbar 10 Monate nach dem Abo-Start gleich viel. Ab dem 11. Monat ist BingeBude teurer.}}
d) Für welchen der beiden Streaming-Dienste soll Farhan sich deiner Meinung nach entscheiden? Begründe deine Antwort. 
{{Lösung versteckt|Berücksichtige deine Ergebnisse aus b) und c).|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Möchte Farhan den Streaming-Dienst für weniger als 10 Monate abonnieren, sollte er BingeBude wählen. Möchte Farhan den Streaming-Dienst für mehr als 10 Monate abonnieren, sollte er Flimmerflix wählen.}}

<big>Aufgabe 6</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pa4tru7wt26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 7</big> 

Stella tanzt Ballett in einem renommierten Tanz-Studio. Für gewöhnlich trainiert sie dort 15 Mal im Monat. In einem halben Jahr findet jedoch ihr nächster Auftritt statt. Daher sind noch 6 zusätzliche Trainingseinheiten eingeplant. Gib an, wie häufig Stella bis zu ihrem Auftritt trainieren wird, wenn sie an jedem Termin teilnimmt.
{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe auf verschiede Weisen lösen. Eine Möglichkeit wäre es, passend zum Sachzusammenhang eine Funktionsgleichung aufzustellen und die Anzahl der Trainingseinheiten damit auszurechnen. Gehe dazu ähnlich vor, wie in Aufgabe 4a) und 4b).|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stella wird bis zu ihrem Auftritt noch 96 Mal trainieren.}}

<big>Aufgabe 8</big> 

Anna behauptet: „Wenn man zwei verschiedene Punkte kennt, kann man immer genau eine Gerade zeichnen.“
Liegt sie damit richtig? Begründe deine Antwort und tausche dich, falls möglich, mit einem Partner / einer Partnerin aus.
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft und trage dort zwei beliebige, aber unterschiedliche Punkte ein. Verbinde die beiden Punkte. Kannst du durch die gleichen Punkte noch eine zweite Gerade ziehen die anders verläuft als die erste?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Annas Aussage ist richtig. Eine Gerade ist eindeutig festgelegt, sobald man zwei verschiedene Punkte kennt. Würde man versuchen, eine zweite Gerade durch dieselben beiden Punkte zu zeichnen, dann läge sie genau auf der ersten Gerade. Es gäbe also keine zweite, unterschiedliche Gerade.}}

<big>Aufgabe 9</big>

a) Eine Gerade schneidet die Punkte A(3|7) und B(7|7). Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden. Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Achte auf die Steigung und auf die x-Achse.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 0x + 7 {{=}} 7. Die Steigung ist m {{=}} 0, also ist die Funktion eine Konstante und jeder Punkt auf der Geraden f hat den y-Wert 7. Außerdem hat die Funktion keine Nullstelle.}}

b) Eine Gerade schneidet die Punkte A(2|−1) und B(2|4). Warum kann man hier '''keine''' Funktionsgleichung der Form f(x) = mx + b angeben?
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und lege eine Gerade hindurch. Welche Besonderheit fällt dir auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Punkte haben die gleichen x-Werte. Eine Gerade, die diese beiden Punkte schneidet, steht im Koordinatensystem senkrecht auf der x-Achse. Die Gerade hat zu einem x-Wert (x {{=}} 2) mehrere y-Werte. Eine Funktion ordnet allerdings jedem x-Wert nur einen y-Wert zu, weshalb es sich bei dieser Geraden gar nicht um eine Funktion handelt. Daher kann die Gerade auch nicht durch die Funktionsgleichung einer linearen Funktion beschrieben werden. Du bemerkst dieses Problem auch, wenn du versuchst, die Steigung zu berechnen, denn du würdest im Nenner des Bruchs eine Null erhalten. Durch Null darf man allerdings nicht teilen, was es unmöglich macht die Steigung zu berechnen oder gar eine Funktionsgleichung in der genannten Form anzugeben.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Gerade aus Punkten|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Weitere Übungen

2026-03-04T17:44:39Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Box|Info|In diesem Kapitel findest du gemischte Übungen. Es ist gut möglich, dass dir diese Aufgaben schwerer fallen, als die vorherigen. Lass dich davon nicht entmutigen, denn ihr Sinn ist es, das zu vertiefen, was du bisher gelernt hast. Viel Spaß beim Knobeln!|Kurzinfo}}

==🤔 weitere Übungen==

<big>Aufgabe 1</big> 

Vergleiche die beiden unten abgebildeten Graphen. Beschreibe die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Funktionen. Notiere deine Ergebnisse. Klicke auf eine Abbildung, um sie in einem größeren Format anschauen zu können.
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
|-
|[[Datei:Funktion f.png|zentriert|400px]]||[[Datei:Funktion g.png|zentriert|400px]]
|}

{{Lösung versteckt|Treffe jeweils eine Aussage über den Funktionstyp von f bzw. g. Überlege außerdem, was du über die Steigung der jeweiligen Funktion sowie über ihren y-Achsenabschnitt sagen kannst.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}

{{Lösung versteckt|Gemeinsamkeit: Die Funktionen sind beide linear. Unterschiede: Die Funktion f fällt, während die Funktion g steigt. Das heißt, die Funktion f hat eine negative Steigung m, während die Funktion g eine positive Steigung m hat. Außerdem steigt die Funktion g schneller als die Funktion f fällt. Das heißt, die Steigung von g ist im Betrag größer als die von f. Die Funktion g schneidet die y-Achse bei 3, wohingegen die Funktion f die y-Achse bei 7 schneidet.}}

<big>Aufgabe 2</big> 

{| class="wikitable"
|+Wähle nun aus, ob du alleine oder mit einer Partnerin/einem Partner arbeiten möchtest:
!Paare zuordnen alleine ⤵️!!Memory zu Zweit ⤵️
|-
|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pga3b1shk25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowhalfscreen="true" webkitallowhalfscreen="true" mozallowhalfscreen="true"></iframe>||<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxhcvyo7n25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowhalfscreen="true" webkitallowhalfscreen="true" mozallowhalfscreen="true"></iframe>
|}

<big>Aufgabe 3</big>

a) Kann eine lineare Funktion keine Steigung haben? Erkläre.
{{Lösung versteckt|Berechne die Steigung m einer linearen Funktion, die die Punkte A(1; 2) und B(3; 2) schneidet. Was kannst du über den Verlauf dieser Funktion sagen?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Ja. Eine Gerade mit der Steigung '''0''' hat „keine Steigung“. Sie verläuft '''waagerecht''' (horizontal). Das bedeutet: Der y-Wert bleibt immer gleich, egal wie sich x ändert. Beispiel: y{{=}}3. Eine solche Funktion wird auch als Konstante bezeichnet.}}

b) Zwei lineare Funktionen haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Was bedeutet das für ihren Verlauf?
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Konstruiere zwei lineare Funktionen mit unterschiedlichem y-Achsenabschnitt und gleicher Steigung. Was fällt dir auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zwei Geraden mit derselben Steigung verlaufen parallel zueinander.
Sie steigen oder fallen gleich stark und schneiden sich nicht (außer sie sind identisch). 
Beispiel: f(x) {{=}} 2x + 1 und g(x) {{=}} 2x − 3
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-25 um 19.54.03.png|zentriert|400px]]}}

<big>Aufgabe 4</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=po9oamowt25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Lösung versteckt|Setze die folgenden Wörter in die passende Lücke ein: fällt - y-Achse - Steigung (2x) - Steigungen (2x) - stark - steigt -y-Achsenabschnitt - waagerechte Gerade - zwei|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}

<big>Aufgabe 5</big> 

Farhan möchte einen Streaming-Dienst abonnieren. Der Streaming-Dienst Flimmerflix bietet ein Abo an, welches aus einer Grundgebühr von 50 € sowie aus einer monatlichen Pauschale von 6,50 €. Der Streaming-Dienst BingeBude hingegen verlangt eine monatliche Pauschale von 11,50 €. 
a) Stelle pro Streaming-Dienst eine Funktionsgleichung auf, mit welcher die Kosten in Abhängigkeit der Zeit (in Monaten) berechnet werden können. 
{{Lösung versteckt|Überlege dir: Was wird in diesem Kontext durch die Variable beschrieben? Was wird in diesem Kontext durch den jeweiligen Funktionswert beschrieben? Was sagt die Steigung in diesem Kontext aus? Was sagt der y-Achsenabschnitt in diesem Kontext aus?|💡 Hinweis 1 anzeigen|Hinweis 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Lese dir die Aufgabe noch einmal durch und berücksichtige dabei Folgendes: Die Variable x gibt in diesem Kontext an, für wie viele Monate das Abo des Streaming-Dienstes gezahlt wird. Der Funktionswert gibt in diesem Kontext an, wie viel es kostet, den Streaming-Dienst für x Monate zu abonnieren. Die Steigung m gibt an, wie viel Geld pro Monat für das Abo gezahlt werden muss. Der y-Achsenabschnitt b gibt in diesem Kontext an, wie viel zusätzlich zu der monatlichen Pauschale für das Abo gezahlt werden muss.|💡 Hinweis 2 anzeigen|Hinweis 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Flimmerflix : f(x) {{=}} 6,50 x + 50 BingeBude : g(x) {{=}} 11,50 x, denn b {{=}} 0}}
b) Berechne den Gesamtbetrag, den Farhan zahlen muss, wenn er ein Jahr lang über Flimmerflix streamen will. 
{{Lösung versteckt|Was beschreibt die Variable deiner Funktion in diesem Kontext und welche Einheit hat sie? Was beschreibt der Funktionswert in diesem Kontext?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|1 Jahr entspricht 12 Monaten. f(12) {{=}} 6,50 ⋅ 12 + 50 {{=}} 128 Farhan muss für ein einjähriges Abo bei Flimmerflix 128 € zahlen.}}
c) Nach wie vielen Monaten belaufen sich die Kosten für beide Streaming-Dienste auf den gleichen Betrag? Welcher Streaming-Dienst ist danach teuer? 
{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe entweder zeichnerisch oder rechnerisch lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Streaming-Dienste kosten unmittelbar 10 Monate nach dem Abo-Start gleich viel. Ab dem 11. Monat ist BingeBude teurer.}}
d) Für welchen der beiden Streaming-Dienste soll Farhan sich deiner Meinung nach entscheiden? Begründe deine Antwort. 
{{Lösung versteckt|Berücksichtige deine Ergebnisse aus b) und c).|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Möchte Farhan den Streaming-Dienst für weniger als 10 Monate abonnieren, sollte er BingeBude wählen. Möchte Farhan den Streaming-Dienst für mehr als 10 Monate abonnieren, sollte er Flimmerflix wählen.}}

<big>Aufgabe 6</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pa4tru7wt26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 7</big> 

Stella tanzt Ballett in einem renommierten Tanz-Studio. Für gewöhnlich trainiert sie dort 15 Mal im Monat. In einem halben Jahr findet jedoch ihr nächster Auftritt statt. Daher sind noch 6 zusätzliche Trainingseinheiten eingeplant. Gib an, wie häufig Stella bis zu ihrem Auftritt trainieren wird, wenn sie an jedem Termin teilnimmt.
{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe auf verschiede Weisen lösen. Eine Möglichkeit wäre es, passend zum Sachzusammenhang eine Funktionsgleichung aufzustellen und die Anzahl der Trainingseinheiten damit auszurechnen. Gehe dazu ähnlich vor, wie in Aufgabe 4a) und 4b).|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stella wird bis zu ihrem Auftritt noch 96 Mal trainieren.}}

<big>Aufgabe 8</big> 

Anna behauptet: „Wenn man zwei verschiedene Punkte kennt, kann man immer genau eine Gerade zeichnen.“
Liegt sie damit richtig? Begründe deine Antwort und tausche dich, falls möglich, mit einem Partner / einer Partnerin aus.
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft und trage dort zwei beliebige, aber unterschiedliche Punkte ein. Verbinde die beiden Punkte. Kannst du durch die gleichen Punkte noch eine zweite Gerade ziehen die anders verläuft als die erste?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Annas Aussage ist richtig. Eine Gerade ist eindeutig festgelegt, sobald man zwei verschiedene Punkte kennt. Würde man versuchen, eine zweite Gerade durch dieselben beiden Punkte zu zeichnen, dann läge sie genau auf der ersten Gerade. Es gäbe also keine zweite, unterschiedliche Gerade.}}

<big>Aufgabe 9</big>

a) Eine Gerade schneidet die Punkte A(3|7) und B(7|7). Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden. Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Achte auf die Steigung und auf die x-Achse.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 0x + 7 {{=}} 7. Die Steigung ist m {{=}} 0, also ist die Funktion eine Konstante und jeder Punkt auf der Geraden f hat den y-Wert 7. Außerdem hat die Funktion keine Nullstelle.}}

b) Eine Gerade schneidet die Punkte A(2|−1) und B(2|4). Warum kann man hier '''keine''' Funktionsgleichung der Form f(x) = mx + b angeben?
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und lege eine Gerade hindurch. Welche Besonderheit fällt dir auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Punkte haben die gleichen x-Werte. Eine Gerade, die diese beiden Punkte schneidet, steht im Koordinatensystem senkrecht auf der x-Achse. Die Gerade hat zu einem x-Wert (x {{=}} 2) mehrere y-Werte. Eine Funktion ordnet allerdings jedem x-Wert nur einen y-Wert zu, weshalb es sich bei dieser Geraden gar nicht um eine Funktion handelt. Daher kann die Gerade auch nicht durch die Funktionsgleichung einer linearen Funktion beschrieben werden. Du bemerkst dieses Problem auch, wenn du versuchst, die Steigung zu berechnen, denn du würdest im Nenner des Bruchs eine Null erhalten. Durch Null darf man allerdings nicht teilen, was es unmöglich macht die Steigung zu berechnen oder gar eine Funktionsgleichung in der genannten Form anzugeben.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Gerade aus Punkten|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Lineare Funktionen

2026-03-04T17:42:53Z

KiaraundSarah:

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[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Lineare Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem Funktionstyp der linearen Funktionen.
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Lineare Funktionen ====
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine gerade Linie ist und durch die Gleichung f(x)=mx+b beschrieben wird. Dabei ist m die Steigung der Geraden, die angibt, wie stark diese sich pro Einheit der x-Achse verändert, und b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Zu Steigung und y-Achsenabschnitt erfährst du später noch mehr.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big> 

Formuliere mögliche Sachkontexte, die durch die lineare Funktion f(x) = 1,5x + 10 beschrieben sein könnten. Notiere deine Ideen auf einem Zettel. Danach kannst du dir die Lösungsvorschläge anschauen.
Falls möglich, kannst du deinen Zettel vorher mit dem deines Sitznachbarn tauschen. Auf diese Weise könnt ihr euch gegenseitig Feedback zu euren Ideen geben.
{{Lösung versteckt|Mögliche Sachkontexte, die durch diese Funktionsgleichung beschrieben werden können, lauten: 1. Der jährliche Beitrag für eine Bienenpatenschaft besteht aus einem Grundbetrag von 10 € sowie zusätzlichen Kosten von 1,50 € für jede betreute Biene. 2. Für das Ausleihen eines Regenschirms wird eine feste Gebühr von 10 € erhoben, zusätzlich fallen 1,50 € für jede Stunde an, in der der Regenschirm genutzt wird. 3. Beim Drucken einer Abschlussarbeit entstehen zunächst 10 € für das Einrichten des Druckers, anschließend werden 1,50 € pro gedruckter Seite berechnet. 4. Die Kosten für die Unterbringung einer Katze in einer Katzenpension setzen sich aus einer einmaligen Eingewöhnungsgebühr von 10 € und zusätzlichen Kosten von 1,50 € pro Betreuungstag zusammen.|Lösungsvorschläge anzeigen|Lösungsvorschläge verbergen}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvk41x3ft26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|
weiter=📌 Steigung von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Weitere Übungen

2026-03-04T15:28:43Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Box|Info|In diesem Kapitel findest du gemischte Übungen. Es ist gut möglich, dass dir diese Aufgaben schwerer fallen, als die vorherigen. Lass dich davon nicht entmutigen, denn ihr Sinn ist es, das zu vertiefen, was du bisher gelernt hast. Viel Spaß beim Knobeln!|Kurzinfo}}

==🤔 weitere Übungen==

<big>Aufgabe 1</big> 

Vergleiche die beiden unten abgebildeten Graphen. Beschreibe die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Funktionen. Notiere deine Ergebnisse. Klicke auf eine Abbildung, um sie in einem größeren Format anschauen zu können.
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
|-
|[[Datei:Funktion f.png|zentriert|400px]]||[[Datei:Funktion g.png|zentriert|400px]]
|}

{{Lösung versteckt|Treffe jeweils eine Aussage über den Funktionstyp von f bzw. g. Überlege außerdem, was du über die Steigung der jeweiligen Funktion sowie über ihren y-Achsenabschnitt sagen kannst.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}

{{Lösung versteckt|Gemeinsamkeit: Die Funktionen sind beide linear. Unterschiede: Die Funktion f fällt, während die Funktion g steigt. Das heißt, die Funktion f hat eine negative Steigung m, während die Funktion g eine positive Steigung m hat. Außerdem steigt die Funktion g schneller als die Funktion f fällt. Das heißt, die Steigung von g ist im Betrag größer als die von f. Die Funktion g schneidet die y-Achse bei 3, wohingegen die Funktion f die y-Achse bei 7 schneidet.}}

<big>Aufgabe 2</big>

a) Kann eine lineare Funktion keine Steigung haben? Erkläre.
{{Lösung versteckt|Berechne die Steigung m einer linearen Funktion, die die Punkte A(1; 2) und B(3; 2) schneidet. Was kannst du über den Verlauf dieser Funktion sagen?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Ja. Eine Gerade mit der Steigung '''0''' hat „keine Steigung“. Sie verläuft '''waagerecht''' (horizontal). Das bedeutet: Der y-Wert bleibt immer gleich, egal wie sich x ändert. Beispiel: y{{=}}3. Eine solche Funktion wird auch als Konstante bezeichnet.}}

b) Zwei lineare Funktionen haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Was bedeutet das für ihren Verlauf?
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Konstruiere zwei lineare Funktionen mit unterschiedlichem y-Achsenabschnitt und gleicher Steigung. Was fällt dir auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zwei Geraden mit derselben Steigung verlaufen parallel zueinander.
Sie steigen oder fallen gleich stark und schneiden sich nicht (außer sie sind identisch). 
Beispiel: f(x) {{=}} 2x + 1 und g(x) {{=}} 2x − 3
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-25 um 19.54.03.png|zentriert|400px]]}}

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=po9oamowt25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Lösung versteckt|Setze die folgenden Wörter in die passende Lücke ein: fällt - y-Achse - Steigung (2x) - Steigungen (2x) - stark - steigt -y-Achsenabschnitt - waagerechte Gerade - zwei|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}

<big>Aufgabe 4</big> 

Farhan möchte einen Streaming-Dienst abonnieren. Der Streaming-Dienst Flimmerflix bietet ein Abo an, welches aus einer Grundgebühr von 50 € sowie aus einer monatlichen Pauschale von 6,50 €. Der Streaming-Dienst BingeBude hingegen verlangt eine monatliche Pauschale von 11,50 €. 
a) Stelle pro Streaming-Dienst eine Funktionsgleichung auf, mit welcher die Kosten in Abhängigkeit der Zeit (in Monaten) berechnet werden können. 
{{Lösung versteckt|Überlege dir: Was wird in diesem Kontext durch die Variable beschrieben? Was wird in diesem Kontext durch den jeweiligen Funktionswert beschrieben? Was sagt die Steigung in diesem Kontext aus? Was sagt der y-Achsenabschnitt in diesem Kontext aus?|💡 Hinweis 1 anzeigen|Hinweis 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Lese dir die Aufgabe noch einmal durch und berücksichtige dabei Folgendes: Die Variable x gibt in diesem Kontext an, für wie viele Monate das Abo des Streaming-Dienstes gezahlt wird. Der Funktionswert gibt in diesem Kontext an, wie viel es kostet, den Streaming-Dienst für x Monate zu abonnieren. Die Steigung m gibt an, wie viel Geld pro Monat für das Abo gezahlt werden muss. Der y-Achsenabschnitt b gibt in diesem Kontext an, wie viel zusätzlich zu der monatlichen Pauschale für das Abo gezahlt werden muss.|💡 Hinweis 2 anzeigen|Hinweis 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Flimmerflix : f(x) {{=}} 6,50 x + 50 BingeBude : g(x) {{=}} 11,50 x, denn b {{=}} 0}}
b) Berechne den Gesamtbetrag, den Farhan zahlen muss, wenn er ein Jahr lang über Flimmerflix streamen will. 
{{Lösung versteckt|Was beschreibt die Variable deiner Funktion in diesem Kontext und welche Einheit hat sie? Was beschreibt der Funktionswert in diesem Kontext?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|1 Jahr entspricht 12 Monaten. f(12) {{=}} 6,50 ⋅ 12 + 50 {{=}} 128 Farhan muss für ein einjähriges Abo bei Flimmerflix 128 € zahlen.}}
c) Nach wie vielen Monaten belaufen sich die Kosten für beide Streaming-Dienste auf den gleichen Betrag? Welcher Streaming-Dienst ist danach teuer? 
{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe entweder zeichnerisch oder rechnerisch lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Streaming-Dienste kosten unmittelbar 10 Monate nach dem Abo-Start gleich viel. Ab dem 11. Monat ist BingeBude teurer.}}
d) Für welchen der beiden Streaming-Dienste soll Farhan sich deiner Meinung nach entscheiden? Begründe deine Antwort. 
{{Lösung versteckt|Berücksichtige deine Ergebnisse aus b) und c).|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Möchte Farhan den Streaming-Dienst für weniger als 10 Monate abonnieren, sollte er BingeBude wählen. Möchte Farhan den Streaming-Dienst für mehr als 10 Monate abonnieren, sollte er Flimmerflix wählen.}}

<big>Aufgabe 5</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pa4tru7wt26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 6</big> 

Stella tanzt Ballett in einem renommierten Tanz-Studio. Für gewöhnlich trainiert sie dort 15 Mal im Monat. In einem halben Jahr findet jedoch ihr nächster Auftritt statt. Daher sind noch 6 zusätzliche Trainingseinheiten eingeplant. Gib an, wie häufig Stella bis zu ihrem Auftritt trainieren wird, wenn sie an jedem Termin teilnimmt.
{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe auf verschiede Weisen lösen. Eine Möglichkeit wäre es, passend zum Sachzusammenhang eine Funktionsgleichung aufzustellen und die Anzahl der Trainingseinheiten damit auszurechnen. Gehe dazu ähnlich vor, wie in Aufgabe 4a) und 4b).|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stella wird bis zu ihrem Auftritt noch 96 Mal trainieren.}}

<big>Aufgabe 7</big> 

Anna behauptet: „Wenn man zwei verschiedene Punkte kennt, kann man immer genau eine Gerade zeichnen.“
Liegt sie damit richtig? Begründe deine Antwort und tausche dich, falls möglich, mit einem Partner / einer Partnerin aus.
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft und trage dort zwei beliebige, aber unterschiedliche Punkte ein. Verbinde die beiden Punkte. Kannst du durch die gleichen Punkte noch eine zweite Gerade ziehen die anders verläuft als die erste?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Annas Aussage ist richtig. Eine Gerade ist eindeutig festgelegt, sobald man zwei verschiedene Punkte kennt. Würde man versuchen, eine zweite Gerade durch dieselben beiden Punkte zu zeichnen, dann läge sie genau auf der ersten Gerade. Es gäbe also keine zweite, unterschiedliche Gerade.}}

<big>Aufgabe 8</big>

a) Eine Gerade schneidet die Punkte A(3|7) und B(7|7). Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden. Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Achte auf die Steigung und auf die x-Achse.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 0x + 7 {{=}} 7. Die Steigung ist m {{=}} 0, also ist die Funktion eine Konstante und jeder Punkt auf der Geraden f hat den y-Wert 7. Außerdem hat die Funktion keine Nullstelle.}}

b) Eine Gerade schneidet die Punkte A(2|−1) und B(2|4). Warum kann man hier '''keine''' Funktionsgleichung der Form f(x) = mx + b angeben?
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und lege eine Gerade hindurch. Welche Besonderheit fällt dir auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Punkte haben die gleichen x-Werte. Eine Gerade, die diese beiden Punkte schneidet, steht im Koordinatensystem senkrecht auf der x-Achse. Die Gerade hat zu einem x-Wert (x {{=}} 2) mehrere y-Werte. Eine Funktion ordnet allerdings jedem x-Wert nur einen y-Wert zu, weshalb es sich bei dieser Geraden gar nicht um eine Funktion handelt. Daher kann die Gerade auch nicht durch die Funktionsgleichung einer linearen Funktion beschrieben werden. Du bemerkst dieses Problem auch, wenn du versuchst, die Steigung zu berechnen, denn du würdest im Nenner des Bruchs eine Null erhalten. Durch Null darf man allerdings nicht teilen, was es unmöglich macht die Steigung zu berechnen oder gar eine Funktionsgleichung in der genannten Form anzugeben.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Gerade aus Punkten|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Weitere Übungen

2026-03-03T11:25:38Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Box|Info|In diesem Kapitel findest du gemischte Übungen. Es ist gut möglich, dass dir diese Aufgaben schwerer fallen, als die vorherigen. Lass dich davon nicht entmutigen, denn ihr Sinn ist es, das zu vertiefen, was du bisher gelernt hast. Viel Spaß beim Knobeln!|Kurzinfo}}

==🤔 weitere Übungen==

<big>Aufgabe 1</big> 

Vergleiche die beiden unten abgebildeten Graphen. Beschreibe die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Funktionen. Notiere deine Ergebnisse. Klicke auf die 🔍, um die Bilder in einem größen Format anschauen zu können.
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
|-
|[[Datei:Funktion f.png|zentriert|400px]]||[[Datei:Funktion g.png|zentriert|400px]]
|}

{{Lösung versteckt|Treffe jeweils eine Aussage über den Funktionstyp von f bzw. g. Überlege außerdem, was du über die Steigung der jeweiligen Funktion sowie über ihren y-Achsenabschnitt sagen kannst.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}

{{Lösung versteckt|Gemeinsamkeit: Die Funktionen sind beide linear. Unterschiede: Die Funktion f fällt, während die Funktion g steigt. Das heißt, die Funktion f hat eine negative Steigung m, während die Funktion g eine positive Steigung m hat. Außerdem steigt die Funktion g schneller als die Funktion f fällt. Das heißt, die Steigung von g ist im Betrag größer als die von f. Die Funktion g schneidet die y-Achse bei 3, wohingegen die Funktion f die y-Achse bei 7 schneidet.}}

<big>Aufgabe 2</big>

a) Kann eine lineare Funktion keine Steigung haben? Erkläre.
{{Lösung versteckt|Berechne die Steigung m einer linearen Funktion, die die Punkte A(1; 2) und B(3; 2) schneidet. Was kannst du über den Verlauf dieser Funktion sagen?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Ja. Eine Gerade mit der Steigung '''0''' hat „keine Steigung“. Sie verläuft '''waagerecht''' (horizontal). Das bedeutet: Der y-Wert bleibt immer gleich, egal wie sich x ändert. Beispiel: y{{=}}3. Eine solche Funktion wird auch als Konstante bezeichnet.}}

b) Zwei lineare Funktionen haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Was bedeutet das für ihren Verlauf?
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Konstruiere zwei lineare Funktionen mit unterschiedlichem y-Achsenabschnitt und gleicher Steigung. Was fällt dir auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zwei Geraden mit derselben Steigung verlaufen parallel zueinander.
Sie steigen oder fallen gleich stark und schneiden sich nicht (außer sie sind identisch). 
Beispiel: f(x) {{=}} 2x + 1 und g(x) {{=}} 2x − 3
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-25 um 19.54.03.png|zentriert|400px]]}}

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=po9oamowt25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Lösung versteckt|Setze die folgenden Wörter in die passende Lücke ein: fällt - y-Achse - Steigung (2x) - Steigungen (2x) - stark - steigt -y-Achsenabschnitt - waagerechte Gerade - zwei|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}

<big>Aufgabe 4</big> 

Farhan möchte einen Streaming-Dienst abonnieren. Der Streaming-Dienst Flimmerflix bietet ein Abo an, welches aus einer Grundgebühr von 50 € sowie aus einer monatlichen Pauschale von 6,50 €. Der Streaming-Dienst BingeBude hingegen verlangt eine monatliche Pauschale von 11,50 €. 
a) Stelle pro Streaming-Dienst eine Funktionsgleichung auf, mit welcher die Kosten in Abhängigkeit der Zeit (in Monaten) berechnet werden können. 
{{Lösung versteckt|Überlege dir: Was wird in diesem Kontext durch die Variable beschrieben? Was wird in diesem Kontext durch den jeweiligen Funktionswert beschrieben? Was sagt die Steigung in diesem Kontext aus? Was sagt der y-Achsenabschnitt in diesem Kontext aus?|💡 Hinweis 1 anzeigen|Hinweis 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Lese dir die Aufgabe noch einmal durch und berücksichtige dabei Folgendes: Die Variable x gibt in diesem Kontext an, für wie viele Monate das Abo des Streaming-Dienstes gezahlt wird. Der Funktionswert gibt in diesem Kontext an, wie viel es kostet, den Streaming-Dienst für x Monate zu abonnieren. Die Steigung m gibt an, wie viel Geld pro Monat für das Abo gezahlt werden muss. Der y-Achsenabschnitt b gibt in diesem Kontext an, wie viel zusätzlich zu der monatlichen Pauschale für das Abo gezahlt werden muss.|💡 Hinweis 2 anzeigen|Hinweis 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Flimmerflix : f(x) {{=}} 6,50 x + 50 BingeBude : g(x) {{=}} 11,50 x, denn b {{=}} 0}}
b) Berechne den Gesamtbetrag, den Farhan zahlen muss, wenn er ein Jahr lang über Flimmerflix streamen will. 
{{Lösung versteckt|Was beschreibt die Variable deiner Funktion in diesem Kontext und welche Einheit hat sie? Was beschreibt der Funktionswert in diesem Kontext?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|1 Jahr entspricht 12 Monaten. f(12) {{=}} 6,50 ⋅ 12 + 50 {{=}} 128 Farhan muss für ein einjähriges Abo bei Flimmerflix 128 € zahlen.}}
c) Nach wie vielen Monaten belaufen sich die Kosten für beide Streaming-Dienste auf den gleichen Betrag? Welcher Streaming-Dienst ist danach teuer? 
{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe entweder zeichnerisch oder rechnerisch lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Streaming-Dienste kosten unmittelbar 10 Monate nach dem Abo-Start gleich viel. Ab dem 11. Monat ist BingeBude teurer.}}
d) Für welchen der beiden Streaming-Dienste soll Farhan sich deiner Meinung nach entscheiden? Begründe deine Antwort. 
{{Lösung versteckt|Berücksichtige deine Ergebnisse aus b) und c).|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Möchte Farhan den Streaming-Dienst für weniger als 10 Monate abonnieren, sollte er BingeBude wählen. Möchte Farhan den Streaming-Dienst für mehr als 10 Monate abonnieren, sollte er Flimmerflix wählen.}}

<big>Aufgabe 5</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pa4tru7wt26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 6</big> 

Stella tanzt Ballett in einem renommierten Tanz-Studio. Für gewöhnlich trainiert sie dort 15 Mal im Monat. In einem halben Jahr findet jedoch ihr nächster Auftritt statt. Daher sind noch 6 zusätzliche Trainingseinheiten eingeplant. Gib an, wie häufig Stella bis zu ihrem Auftritt trainieren wird, wenn sie an jedem Termin teilnimmt.
{{Lösung versteckt|Du kannst die Aufgabe auf verschiede Weisen lösen. Eine Möglichkeit wäre es, passend zum Sachzusammenhang eine Funktionsgleichung aufzustellen und die Anzahl der Trainingseinheiten damit auszurechnen. Gehe dazu ähnlich vor, wie in Aufgabe 4a) und 4b).|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stella wird bis zu ihrem Auftritt noch 96 Mal trainieren.}}

<big>Aufgabe 7</big> 

Anna behauptet: „Wenn man zwei verschiedene Punkte kennt, kann man immer genau eine Gerade zeichnen.“
Liegt sie damit richtig? Begründe deine Antwort und tausche dich, falls möglich, mit einem Partner / einer Partnerin aus.
{{Lösung versteckt|Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft und trage dort zwei beliebige, aber unterschiedliche Punkte ein. Verbinde die beiden Punkte. Kannst du durch die gleichen Punkte noch eine zweite Gerade ziehen die anders verläuft als die erste?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Annas Aussage ist richtig. Eine Gerade ist eindeutig festgelegt, sobald man zwei verschiedene Punkte kennt. Würde man versuchen, eine zweite Gerade durch dieselben beiden Punkte zu zeichnen, dann läge sie genau auf der ersten Gerade. Es gäbe also keine zweite, unterschiedliche Gerade.}}

<big>Aufgabe 8</big>

a) Eine Gerade schneidet die Punkte A(3|7) und B(7|7). Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden. Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Achte auf die Steigung und auf die x-Achse.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 0x + 7 {{=}} 7. Die Steigung ist m {{=}} 0, also ist die Funktion eine Konstante und jeder Punkt auf der Geraden f hat den y-Wert 7. Außerdem hat die Funktion keine Nullstelle.}}

b) Eine Gerade schneidet die Punkte A(2|−1) und B(2|4). Warum kann man hier '''keine''' Funktionsgleichung der Form f(x) = mx + b angeben?
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und lege eine Gerade hindurch. Welche Besonderheit fällt dir auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Punkte haben die gleichen x-Werte. Eine Gerade, die diese beiden Punkte schneidet, steht im Koordinatensystem senkrecht auf der x-Achse. Die Gerade hat zu einem x-Wert (x {{=}} 2) mehrere y-Werte. Eine Funktion ordnet allerdings jedem x-Wert nur einen y-Wert zu, weshalb es sich bei dieser Geraden gar nicht um eine Funktion handelt. Daher kann die Gerade auch nicht durch die Funktionsgleichung einer linearen Funktion beschrieben werden. Du bemerkst dieses Problem auch, wenn du versuchst, die Steigung zu berechnen, denn du würdest im Nenner des Bruchs eine Null erhalten. Durch Null darf man allerdings nicht teilen, was es unmöglich macht die Steigung zu berechnen oder gar eine Funktionsgleichung in der genannten Form anzugeben.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Gerade aus Punkten|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Steigung von linearen Funktionen

2026-03-03T10:44:28Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Steigung von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit der Steigung, einer der zwei Parameter linearer Funktionen.

<big>🔍 Entdecke: Wie beeinflusst die Steigung den Verlauf der Funktion?</big> 
Bewege den Schieberegler, um die Steigung m der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="mejqqnae" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|a) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert. 
b) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} -10 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|# Je höher der Betrag der Steigung m ist, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion. Um dies zu sehen, vergleiche beispielsweise m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander.
# Hat die Steigung m ein positives Vorzeichen (z.B. m {{=}} 10 ), verläuft die Funktion von links unten nach rechts oben. Mit anderen Worten: Die Funktion steigt in diesem Fall. Hat die Steigung m ein negatives Vorzeichen (z.B. m {{=}} - 10), verläuft die Funktion von links oben nach rechts unten. Mit anderen Worten: Die Funktion fällt in diesem Fall.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet das, wir rechnen: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Ein positives m bedeutet einen steigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Entscheide jeweils, ob die Steigung m der folgenden Funktionsgraphen ein positives oder ein negatives Vorzeichen hat. Begründe deine Entscheidung. 
{{Lösung versteckt|Verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, steigt er. Das heißt, m ist positiv. Verläuft der Graph von links oben nach rechts unten, fällt er. Das heißt, m ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
a)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.27.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen, da die Funktion von links unten nach rechts oben verläuft, also steigt.}}
 b)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.38.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein negatives Vorzeichen, da die Funktion von links oben nach rechts unten verläuft, also fällt.}}
 c)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.54.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen, da die Funktion von links unten nach rechts oben verläuft, also steigt.}}
 d)
[[Datei:Steigung.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen, da die Funktion von links unten nach rechts oben verläuft, also steigt.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ptteb9san26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pnc2bgpgj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big> 

Diese Aufgabe kannst du nutzen, um dich im Kopfrechnen zu üben. Wenn du dich damit wohler fühlst, kannst du die Rechnungen natürlich auch in deinem Heft notieren.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pto4k9v5c26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Lineare Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|
weiter=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/y-Achsenabsschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

2026-03-01T11:39:21Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 y-Achsenabschitt und Nullstelle von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem y-Achsenabschitt, einem der zwei Parameter einer linearen Funktion, sowie mit der Nullstelle einer linearen Funktion.

<big>🔍 Entdecke: Wie beeinflusst der y-Achsenabschitt die Position der Funktion im Koordinatensystem?</big> 
Bewege den Schieberegler, um den y-Achenabschnitt b der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="gpwb4dsq" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|Wie verändert sich die Position der Funktion in Bezug auf die y-Achse? Fällt dir etwas an dem Wert von b auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|Wird der Wert von b erhöht, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter oben. Wird der Wert von b verringert, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter unten. Der y-Achsenabschnitt b ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse im Koordinatensystem. Ist z.B. b {{=}} 3, ist (0 ; 3) der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== y-Achsenabschitt ====
Der y-Achsenabschitt (auch: Ordinatenabschnitt) einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn x = 0 ist, und wird in der Funktionsgleichung y=mx+b durch die Konstante b repräsentiert.}}

<big>🤔 Knobelaufgabe:</big> 
Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem auf b = 3. 
a) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse lautet (0 ; 3).}}
b) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (- 1,5 ; 0).}}
c) Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem nun auf b = - 1. Lies erneut den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gibt ihn an. Vergleiche ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b). Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (0,5 ; 0). Vergleicht man ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b), fällt auf: Die Funktion schneidet die y-Achse bei x {{=}} 0. Die x-Achse schneidet sie hingegen bei y {{=}} 0.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Nullstelle ====
Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.
Sie ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) = y = 0 ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null (also in unserem Beispiel von oben: 0=2+3x) und löst die Gleichung nach x auf.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Gib den y-Achsenabschitt b der folgenden Funktionen an: 
a) f(x) = -2 x + 1,5
{{Lösung versteckt|b {{=}} 1,5}}
b) h(x) = 5 x
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0, denn f(x) {{=}} 5 x {{=}} 5 x + 0.}}
c) g(x) = 7 - x
{{Lösung versteckt|Notiere die Funktionsgleichung in der Form g(x) {{=}} mx + b, die du kennengelernt hast. Was ist b?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 7, denn f(x) {{=}} 7 - x {{=}} - 1 x + 7.}}
d)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 00.02.23.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt|Wo schneidet die Funktion die y-Achse? Der y-Wert dieses Schnittpunkts entspricht b.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} - 1,5, denn hier schneidet der Graph die y-Achse.}}
e) Die Funktion kann durch folgende Wertetabelle beschrieben werden: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} c(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 0,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Was weißt du über den y-Achsenabschnitt? Es gibt eine besondere Eigenschaft des y-Achsenabschnitts, die dir helfen kann, die Aufgabe besonders schnell zu lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0,5, denn hier ist x {{=}} 0.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pz0wartcj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

Eine Funktion mit der Steigung m = 2 schneidet den Punkt (1 ; 3). Berechne den y-Achsenabschnitt b der Funktion. Notiere den Rechenweg in deinem Heft.
{{Lösung versteckt|Notiere die allgemeine Form einer linearen Funktion. Überlege dir, für welche der Buchstaben du Zahlen einsetzen kannst, die du bereits kennst. Setze sie ein und löse die Gleichung nach b auf.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt (1 ; 3) in die Funktionsgleichung f(x) {{=}} 2 x + b ein. Dann erhältst du die Gleichung 3 {{=}} 2 ⋅ 1 + b {{=}} 2 + b. Stelle diese Gleichung nach b um: b {{=}} 3 - 2 {{=}} 1.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Steigung von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Darstellungswechsel|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/y-Achsenabsschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

2026-03-01T11:38:58Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 y-Achsenabschitt und Nullstelle von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem y-Achsenabschitt, einem der zwei Parameter einer linearen Funktion, sowie mit der Nullstelle einer linearen Funktion.

<big>🔍 Entdecke: Wie beeinflusst der y-Achsenabschitt die Position der Funktion im Koordinatensystem?</big> 
Bewege den Schieberegler, um den y-Achenabschnitt b der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="gpwb4dsq" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|Wie verändert sich die Position der Funktion in Bezug auf die y-Achse? Fällt dir etwas an dem Wert von b auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|Wird der Wert von b erhöht, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter oben. Wird der Wert von b verringert, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter unten. Der y-Achsenabschnitt b ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse im Koordinatensystem. Ist z.B. b {{=}} 3, ist (0 ; 3) der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== y-Achsenabschitt ====
Der y-Achsenabschitt (auch: Ordinatenabschnitt) einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn x = 0 ist, und wird in der Funktionsgleichung y=mx+b durch die Konstante b repräsentiert.}}

<big>🤔 Knobelaufgabe:</big> 
Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem auf b = 3. 
a) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse lautet (0 ; 3).}}
b) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (- 1,5 ; 0).}}
c) Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem nun auf b = - 1. Lies erneut den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gibt ihn an. Vergleiche ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b). Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (0,5 ; 0). Vergleicht man ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b), fällt auf: Die Funktion schneidet die y-Achse bei x {{=}} 0. Die x-Achse schneidet sie hingegen bei y {{=}} 0.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Nullstelle ====
Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.
Sie ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) = y = 0 ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null (also in unserem Beispiel von oben: 0=2+3x) und löst die Gleichung nach x auf.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Gib den y-Achsenabschitt b der folgenden Funktionen an: 
a) f(x) = -2 x + 1,5
{{Lösung versteckt|b {{=}} 1,5}}
b) h(x) = 5 x
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0, denn f(x) {{=}} 5 x {{=}} 5 x + 0.}}
c) g(x) = 7 - x
{{Lösung versteckt|Notiere die Funktionsgleichung in der Form g(x) {{=}} mx + b, die du kennengelernt hast. Was ist b?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 7, denn f(x) {{=}} 7 - x {{=}} - 1 x + 7.}}
d)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 00.02.23.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt|Wo schneidet die Funktion die y-Achse? Der y-Wert dieses Schnittpunkts entspricht b.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} - 1,5, denn hier schneidet der Graph die y-Achse.}}
e) Die Funktion kann durch folgende Wertetabelle beschrieben werden: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} c(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 0,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Was weißt du über den y-Achsenabschnitt? Es gibt eine besondere Eigenschaft des y-Achsenabschnitts, die dir helfen kann, die Aufgabe besonders schnell zu lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0,5, denn hier ist x {{=}} 0.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pz0wartcj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

Eine Funktion mit der Steigung m = 2 schneidet den Punkt (1 ; 3). Berechne den y-Achsenabschnitt b der Funktion. Notiere den Rechenweg in deinem Heft.
{{Lösung versteckt|Notiere die allgemeine Form einer linearen Funktion. Überlege dir, für welche der Buchstaben du Zahlen einsetzen kannst, die du bereits kennst. Setze sie ein und löse die Gleichung nach b auf.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt (1 ; 3) in die Funktionsgleichung f(x) {{=}} 2 x + b ein. Dann erhältst du die Gleichung 3 {{=}} 2 ⋅ 1 + b {{=}} 2 + b. Stelle diese Gleichung nach b um: b {{=}} 3 - 2 {{=}} 1.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Steigung von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Darstellungswechsel|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Steigung von linearen Funktionen

2026-03-01T11:36:37Z

KiaraundSarah:

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[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Steigung von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit der Steigung, einer der zwei Parameter linearer Funktionen.

<big>🔍 Entdecke: Wie beeinflusst die Steigung den Verlauf der Funktion?</big> 
Bewege den Schieberegler, um die Steigung m der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="mejqqnae" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|a) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert. 
b) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} -10 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|# Je höher der Betrag der Steigung m ist, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion. Um dies zu sehen, vergleiche beispielsweise m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander.
# Hat die Steigung m ein positives Vorzeichen (z.B. m {{=}} 10 ), verläuft die Funktion von links unten nach rechts oben. Mit anderen Worten: Die Funktion steigt in diesem Fall. Hat die Steigung m ein negatives Vorzeichen (z.B. m {{=}} - 10), verläuft die Funktion von links oben nach rechts unten. Mit anderen Worten: Die Funktion fällt in diesem Fall.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet das, wir rechnen: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Ein positives m bedeutet einen steigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Entscheide, ob die Steigung m der folgenden Funktionsgraphen ein positives oder ein negatives Vorzeichen hat: 
{{Lösung versteckt|Verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, steigt er. Das heißt, m ist positiv. Verläuft der Graph von links oben nach rechts unten, fällt er. Das heißt, m ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
a)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.27.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen.}}
 b)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.38.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein negatives Vorzeichen.}}
 c)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.54.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen.}}
 d)
[[Datei:Steigung.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ptteb9san26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pnc2bgpgj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big> 

Diese Aufgabe kannst du nutzen, um dich im Kopfrechnen zu üben. Wenn du dich damit wohler fühlst, kannst du die Rechnungen natürlich auch in deinem Heft notieren.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pto4k9v5c26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Lineare Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|
weiter=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Gerade aus Punkten

2026-02-28T11:27:18Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}
In diesem Kapitel befasst du dich noch einmal genauer mit dem Zusammenhang zwischen Punkten und und Geraden.

==📌 Gerade aus Punkten==
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Die Formel hierfür ist dir bereits bekannt: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Setze die Koordinaten zweier dir bekannter Punkte (x₁; y₁) und (x₂; y₂) in die Formel ein. So erhälst du dein m. Danach setzt du m sowie einen der beiden Punkte in die Gleichung y=mx+b ein. Dann kannst du die Gleichung nach b umstellen und somit erhälst du dein b. Nun schreibst du ein letztes Mal die Gleichung auf, bei der nun für m und b Zahlen stehen. So hast du die gesuchte Geradengleichung aufgestellt.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Punktprobe ====
Um rechnerisch festzustellen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, benötigst du zusätzlich zu dem Punkt, den du untersuchen willst, die Funktionsgleichung der Geraden. In die Funktionsgleichung setzt du den Punkt ein und rechnest die rechte Seite der Gleichung aus. Nun musst zu dieses Ergebnis mit der linken Seite der Gleichung, also dem y-Wert des Punktes vergleichen. Stimmen beide Werte überein, liegt der Punkt auf der Geraden. Das bezeichnet man als eine wahre Aussage.

 Beispiel: Liegt der Punkt A(1;5) auf der Geraden mit der Funktionsgleichung f(x) {{=}} 4x + 1?
# Punkt einsetzen: 5 {{=}} 4 • 1 + 1
# rechte Seite ausrechnen: 5 {{=}} 5
# Vergleichen: Die Werte auf der linken und der rechten Seite der Gleichung stimmen überein. Es handelt sich also um eine wahre Aussage. Daher liegt der Punkt A auf der Geraden.

 Stimmen die beiden Werte nicht überein, liegt der Punkt nicht auf der Geraden und man sagt, dass es sich um eine falsch Aussage handelt.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

a) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(2|3) und B(6|11).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x - 1.}}

b) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(1|5) und B(5|1).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung. Achtung: Die Steigung ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x + 6.}}

c) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(−1|2) und B(3|10).
{{Lösung versteckt|Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Trage die Punkte bei [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] ein und überprüfe damit dein Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

a) Gegeben ist die Gerade f(x) = 2x + 1. Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(3|7) auf der Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|7 {{=}} 2 • 3 + 1 {{=}} 7 Dies ist eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also auf der Geraden.}}

b) Gegeben ist die Gerade g(x) = −x + 4. Liegt der Punkt Q(4|−1) auf dieser Geraden? Begründe rechnerisch.
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|-1 {{=}} -4 + 4 {{=}} 0 Dies ist eine falsche Aussage. Der Punkt Q liegt also nicht auf der Geraden.}}

c) Gegeben ist die Gerade h(x) = 0,5x − 2. Liegt der Punkt R(8|2) auf der Geraden? Begründe zeichnerisch. 
{{Lösung versteckt|Trage die Gerade und den Punkt in ein Koordinatensystem ein. Liegt der Punkt auf der Geraden?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.00.01.png|zentriert|400px]]Der Punkt R liegt nicht auf der Geraden.}}

d) Gib einen Punkt S an, der auf der Geraden h(x) = 0,5x − 2 liegt.
{{Lösung versteckt|Trage deinen gewählten Punkt in dieser [https://www.geogebra.org/calculator/kuyjyby9 GeoGebra-Datei] ein und überprüfe so, ob er auf der Geraden liegt.}}

<big>Aufgabe 3</big>

a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(1|2) und B(4|8). Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt C(5|10) auf dieser Geraden liegt.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} 2x. Der Punkt C liegt auf der Geraden, denn 10 {{=}} 2 • 5 {{=}} 10 ist eine wahre Aussage.}}

b) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(−2|3) und B(2|−1). Liegt der Punkt C(0|1) auf dieser Geraden? Begründe zeichnerisch.
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} -x - 1. [[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-27 um 14.19.43.png|zentriert|400px]] Der Punkt C liegt auf der Geraden.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Welche der folgenden Punktpaare ergeben dieselbe Gerade? Stelle zuerst Vermutungen an und überprüfe sie dann, indem du die Geraden in ein Koordinatensystem in dein Heft zeichnest.

a) A(0|0) und B(2|2), b) C(1|1) und D(3|3), c) E(0|1) und F(2|3).
{{Lösung versteckt|[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 11.45.21.png|zentriert|400px]]}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Darstellungswechsel|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|
weiter=🤔 Weitere Übungen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Darstellungswechsel

2026-02-28T11:26:10Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Darstellungswechsel==
Du kennst bereits die verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen, das heißt, Funktionsgleichung, Graph und Wertetabelle. In diesem Kapitel befasst du dich damit, wie zwischen diesen Darstellungsformen gewechselt werden kann.

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=

====Wertetabelle ➡️ Graph====
Eine Wertetabelle kannst du nutzen, um zum Graphen einer linearen Funktion zu gelangen, indem du die Wertepaare (x,y) aus der Tabelle als Koordinatenpunkte in ein Koordinatensystem einträgst. Du zeichnest zuerst die Achsen, trägst dann jeden Punkt aus der Tabelle in das Koordinatensystem ein und verbindest diese Punkte anschließend zu einer Geraden. Benutze dazu am besten dein Geodreieck.

====Graph ➡️ Wertetabelle====
Um von einem Graphen zur Wertetabelle zu gelangen, lies die Punkte vom Graphen ab und tragen die entsprechenden x- und y-Werte in die Tabelle ein.
Bei einer linearen Funktion ist der Graph eine Gerade, daher genügen zwei beliebige Punkte auf der Geraden, um die Tabelle zu erstellen und den Graphen eindeutig zu definieren. Das hängt mit der Steigung zusammen. Genaueres dazu lernst du im nächsten Kapitel.

====Graph/Wertetabelle ➡️ Funktionsgleichung====
Um anhand eines Graphen bzw. einer Wertetabelle eine Funktionsgleichung aufzustellen, lese zwei Punkte auf dem Graphen bzw. aus der Wertetabelle ab und berechne aus ihnen die Steigung m der Funktion. Setze diese gemeinsam mit einem der beiden Punkte in die allgemeine Form einer linearen Funktion y=mx+b ein und berechne b.

====Funktionsgleichung ➡️ Graph/Wertetabelle====
Wenn du anhand der Gleichung einer linearen Funktion ihren Graphen bzw. eine Wertetabelle erstellen möchtest, gehst du wie folgt vor: Trage einige beliebige Werte für x in die Gleichung ein und berechne die zugehörigen y-Werte. Auf diese Weise erhältst du Punkte, die du in eine Wertetabelle eintragen kannst. Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie, um einen Graphen zu zeichnen.}}

====👟 Training====

{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="xzsnwfsp" width="1000" height="400" />|📐GeoGebra anzeigen|GeoGebra verbergen}}

<big>Aufgabe 1</big>

Zeichne anhand der folgenden Wertetabelle den Graphen der Funktion f: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!-}}
{{!}} 7
{{!}} - 20,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Die Funktionsgleichung lautet f(x) {{=}} - 3 x + 0,5. Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei entsprechend ein und vergleiche den so entstehenden Graphen mit deinem Ergebnis.}}

<big>Aufgabe 2</big>

Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei auf m = 4 und b = 2,5 ein. Lege zu dem daraus entstehenden Graphen eine Wertetabelle von x = - 3 bis x = 2 mit einer Schrittweite von 1 an.
{{Lösung versteckt|Deine Wertetabelle sollte folgende Form haben: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}}
{{!-}}
{{!}} - 2
{{!}}
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}}
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}}
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}}
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}}
{{!)}}|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} - 9,5
{{!-}}
{{!}} - 2
{{!}} - 5,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} - 1,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 2,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 6,5
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 10,5
{{!)}}}}

<big>Aufgabe 3</big>

Gegeben ist die Wertetabelle: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 4,95
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 6,45
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 7,95
{{!-}}
{{!}} 3
{{!}} 9,45
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} 10,95
{{!-}}
{{!}} 5
{{!}} 12,45
{{!)}}
a) Stelle die zugehörige Funktionsgleichung auf.
{{Lösung versteckt|Für y {{=}} b ist x {{=}} 0.|💡 Hinweis 1 anzeigen|Hinweis 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Den Wert für b kannst du direkt aus der Wertetabelle ablesen (siehe Hinweis 1). Zusätzlich kannst du einen beliebigen Punkt aus der Wertetabelle ablesen. Um nun die Steigung m zu bestimmen, setze diesen Punkt und den Wert von b in die allgemeine Form einer linearen Funktiongleichung ein und löse nach m auf.|💡 Hinweis 2 anzeigen|Hinweis 2 verbergen}}
{{Lösung versteckt|f(x) {{=}} 1,5 x + 4,95}}
b) Formuliere einen Sachzusammenhang, der durch die Funktionsgleichung beschrieben werden kann.
{{Lösung versteckt|Bestellt man online Aufkleber, zahlt man für einen 1,50 €. Zusätzlich fallen 4,95 € Versandkosten an.|Lösungsvorschlag anzeigen|Lösungsvorschlag verbergen.}}

<big>Aufgabe 4</big>

Gegeben ist die Gerade f(x) = <math> \frac{1}{4} </math> x - 2. Wähle eine der folgenden beiden Aufgaben und löse sie: 
a) Lege eine Wertetabelle für die Funktion f an, welche 5 Wertepaare (x ; f(x)) enthält.
{{Lösung versteckt|Die einzige Vorgabe an die Wertetabelle war es, dass sie 5 Wertepaare enthält. Sie kann also bei einem beliebigen x-Wert starten und eine beliebige Schrittweite kann zwischen den x-Werten liegen. Zum Beispiel kann sie bei x {{=}} 0 starten und eine Schrittweite von 1 haben: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} - 2
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - <math> \frac{7}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} - <math> \frac{3}{2} </math>
{{!-}}
{{!}} 3
{{!}} - <math> \frac{5}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 1
{{!)}}
Sie kann aber zum Beispiel auch bei x {{=}} - 2 starten: {{(!}} class{{=}}wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
{{!}} - 2
{{!}} - <math> \frac{5}{2} </math>
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} - <math> \frac{9}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} - 2
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - <math> \frac{7}{4} </math>
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} - <math> \frac{3}{2} </math>
{{!)}}}}
b) Zeichne den Graphen der Funktion f.
{{Lösung versteckt|Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei entsprechend ein und vergleiche den so entstehenden Graphen mit deinem Ergebnis.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Gerade aus Punkten|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/y-Achsenabsschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

2026-02-28T11:22:30Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 y-Achsenabschitt und Nullstelle von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem y-Achsenabschitt, einem der zwei Parameter einer linearen Funktion, sowie mit der Nullstelle einer linearen Funktion.

<big>Entdecke: Wie beeinflusst der y-Achsenabschitt die Position der Funktion im Koordinatensystem?</big> 
Bewege den Schieberegler, um den y-Achenabschnitt b der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="gpwb4dsq" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|Wie verändert sich die Position der Funktion in Bezug auf die y-Achse? Fällt dir etwas an dem Wert von b auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|Wird der Wert von b erhöht, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter oben. Wird der Wert von b verringert, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter unten. Der y-Achsenabschnitt b ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse im Koordinatensystem. Ist z.B. b {{=}} 3, ist (0 ; 3) der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== y-Achsenabschitt ====
Der y-Achsenabschitt (auch: Ordinatenabschnitt) einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn x = 0 ist, und wird in der Funktionsgleichung y=mx+b durch die Konstante b repräsentiert.}}

<big>🤔 Knobelaufgabe:</big> 
Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem auf b = 3. 
a) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse lautet (0 ; 3).}}
b) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gib ihn an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (- 1,5 ; 0).}}
c) Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem nun auf b = - 1. Lies erneut den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gibt ihn an. Vergleiche ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b). Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (0,5 ; 0). Vergleicht man ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b), fällt auf: Die Funktion schneidet die y-Achse bei x {{=}} 0. Die x-Achse schneidet sie hingegen bei y {{=}} 0.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Nullstelle ====
Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.
Sie ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) = y = 0 ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null (also in unserem Beispiel von oben: 0=2+3x) und löst die Gleichung nach x auf.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Gib den y-Achsenabschitt b der folgenden Funktionen an: 
a) f(x) = -2 x + 1,5
{{Lösung versteckt|b {{=}} 1,5}}
b) h(x) = 5 x
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0, denn f(x) {{=}} 5 x {{=}} 5 x + 0.}}
c) g(x) = 7 - x
{{Lösung versteckt|Notiere die Funktionsgleichung in der Form g(x) {{=}} mx + b, die du kennengelernt hast. Was ist b?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 7, denn f(x) {{=}} 7 - x {{=}} - 1 x + 7.}}
d)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 00.02.23.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt|Wo schneidet die Funktion die y-Achse? Der y-Wert dieses Schnittpunkts entspricht b.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} - 1,5, denn hier schneidet der Graph die y-Achse.}}
e) Die Funktion kann durch folgende Wertetabelle beschrieben werden: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} c(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 0,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Was weißt du über den y-Achsenabschnitt? Es gibt eine besondere Eigenschaft des y-Achsenabschnitts, die dir helfen kann, die Aufgabe besonders schnell zu lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0,5, denn hier ist x {{=}} 0.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pz0wartcj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

Eine Funktion mit der Steigung m = 2 schneidet den Punkt (1 ; 3). Berechne den y-Achsenabschnitt b der Funktion. Notiere den Rechenweg in deinem Heft.
{{Lösung versteckt|Notiere die allgemeine Form einer linearen Funktion. Überlege dir, für welche der Buchstaben du Zahlen einsetzen kannst, die du bereits kennst. Setze sie ein und löse die Gleichung nach b auf.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt (1 ; 3) in die Funktionsgleichung f(x) {{=}} 2 x + b ein. Dann erhältst du die Gleichung 3 {{=}} 2 ⋅ 1 + b {{=}} 2 + b. Stelle diese Gleichung nach b um: b {{=}} 3 - 2 {{=}} 1.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Steigung von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Darstellungswechsel|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/y-Achsenabsschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

2026-02-28T11:18:42Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 y-Achsenabschitt und Nullstelle von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem y-Achsenabschitt, einem der zwei Parameter einer linearen Funktion, sowie mit der Nullstelle einer linearen Funktion.

<big>Entdecke: Wie beeinflusst der y-Achsenabschitt die Position der Funktion im Koordinatensystem?</big> 
Bewege den Schieberegler, um den y-Achenabschnitt b der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="gpwb4dsq" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|Wie verändert sich die Position der Funktion in Bezug auf die y-Achse? Fällt dir etwas an dem Wert von b auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|Wird der Wert von b erhöht, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter oben. Wird der Wert von b verringert, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter unten. Der y-Achsenabschnitt b ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse im Koordinatensystem. Ist z.B. b {{=}} 3, ist (0 ; 3) der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== y-Achsenabschitt ====
Der y-Achsenabschitt (auch: Ordinatenabschnitt) einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn x = 0 ist, und wird in der Funktionsgleichung y=mx+b durch die Konstante b repräsentiert.}}

<big>🤔 Knobelaufgabe:</big> 
Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem auf b = 3. 
a) Gib den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse lautet (0 ; 3).}}
b) Gib den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (- 1,5 ; 0).}}
c) Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem nun auf b = - 1. Gib den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse an. Vergleiche ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b). Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (0,5 ; 0). Vergleicht man ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b), fällt auf: Die Funktion schneidet die y-Achse bei x {{=}} 0. Die x-Achse schneidet sie allerdings bei y {{=}} 0.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Nullstelle ====
Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.
Sie ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) = y = 0 ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null (also in unserem Beispiel von oben: 0=2+3x) und löst die Gleichung nach x auf.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Gib den y-Achsenabschitt b der folgenden Funktionen an: 
a) f(x) = -2 x + 1,5
{{Lösung versteckt|b {{=}} 1,5}}
b) h(x) = 5 x
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0, denn f(x) {{=}} 5 x {{=}} 5 x + 0.}}
c) g(x) = 7 - x
{{Lösung versteckt|Notiere die Funktionsgleichung in der Form g(x) {{=}} mx + b, die du kennengelernt hast. Was ist b?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 7, denn f(x) {{=}} 7 - x {{=}} - 1 x + 7.}}
d)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 00.02.23.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt|Wo schneidet die Funktion die y-Achse? Der y-Wert dieses Schnittpunkts entspricht b.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} - 1,5, denn hier schneidet der Graph die y-Achse.}}
e) Die Funktion kann durch folgende Wertetabelle beschrieben werden: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} c(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
{{!}} 3,5
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 0,5
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Was weißt du über den y-Achsenabschnitt? Es gibt eine besondere Eigenschaft des y-Achsenabschnitts, die dir helfen kann, die Aufgabe besonders schnell zu lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0,5, denn hier ist x {{=}} 0.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pz0wartcj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

Eine Funktion mit der Steigung m = 2 schneidet den Punkt (1 ; 3). Berechne den y-Achsenabschitt b der Funktion. Notiere den Rechenweg in deinem Heft.
{{Lösung versteckt|Notiere die allgemeine Form einer linearen Funktion. Überlege dir, für welche der Buchstaben du Zahlen einsetzen kannst, die du bereits kennst. Setze sie ein und löse die Gleichung nach b auf.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt (1 ; 3) in die Funktionsgleichung f(x) {{=}} 2 x + b ein. Dann erhältst du die Gleichung 3 {{=}} 2 ⋅ 1 + b {{=}} 2 + b. Stelle diese Gleichung nach b um: b {{=}} 3 - 2 {{=}} 1.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Steigung von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Darstellungswechsel|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/y-Achsenabsschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

2026-02-28T11:18:26Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 y-Achsenabschitt und Nullstelle von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem y-Achsenabschitt, einem der zwei Parameter einer linearen Funktion, sowie mit der Nullstelle einer linearen Funktion.

<big>Entdecke: Wie beeinflusst der y-Achsenabschitt die Position der Funktion im Koordinatensystem?</big> 
Bewege den Schieberegler, um den y-Achenabschnitt b der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="gpwb4dsq" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|Wie verändert sich die Position der Funktion in Bezug auf die y-Achse? Fällt dir etwas an dem Wert von b auf?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|Wird der Wert von b erhöht, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter oben. Wird der Wert von b verringert, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter unten. Der y-Achsenabschnitt b ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse im Koordinatensystem. Ist z.B. b {{=}} 3, ist (0 ; 3) der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== y-Achsenabschitt ====
Der y-Achsenabschitt (auch: Ordinatenabschnitt) einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn x = 0 ist, und wird in der Funktionsgleichung y=mx+b durch die Konstante b repräsentiert.}}

<big>🤔 Knobelaufgabe:</big> 
Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem auf b = 3. 
a) Gib den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse lautet (0 ; 3).}}
b) Gib den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse an.
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (- 1,5 ; 0).}}
c) Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem nun auf b = - 1. Gib den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse an. Vergleiche ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b). Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (0,5 ; 0). Vergleicht man ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b), fällt auf: Die Funktion schneidet die y-Achse bei x {{=}} 0. Die x-Achse schneidet sie allerdings bei y {{=}} 0.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Nullstelle ====
Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.
Sie ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) = y = 0 ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null (also in unserem Beispiel von oben: 0=2+3x) und löst die Gleichung nach x auf.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Gib den y-Achsenabschitt b der folgenden Funktionen an: 
a) f(x) = -2 x + 1,5
{{Lösung versteckt|b {{=}} 1,5}}
b) h(x) = 5 x
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0, denn f(x) {{=}} 5 x {{=}} 5 x + 0.}}
c) g(x) = 7 - x
{{Lösung versteckt|Notiere die Funktionsgleichung in der Form g(x) {{=}} mx + b, die du kennengelernt hast. Was ist b?|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 7, denn f(x) {{=}} 7 - x {{=}} - 1 x + 7.}}
d)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-04 um 00.02.23.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt|Wo schneidet die Funktion die y-Achse? Der y-Wert dieses Schnittpunkts entspricht b.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} - 1,5, denn hier schneidet der Graph die y-Achse.}}
e) Die Funktion kann durch folgende Wertetabelle beschrieben werden: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} c(x)
{{!-}}
{{!}} - 3
{{!}} 9,5
{{!-}}
{{!}} - 1
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{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} - 2,5
{{!-}}
{{!}} 4
{{!}} - 11,5
{{!)}}
{{Lösung versteckt|Was weißt du über den y-Achsenabschnitt? Es gibt eine besondere Eigenschaft des y-Achsenabschnitts, die dir helfen kann, die Aufgabe besonders schnell zu lösen.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|b {{=}} 0,5, denn hier ist x {{=}} 0.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pz0wartcj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

Eine Funktion mit der Steigung m = 2 schneidet den Punkt (1 ; 3). Berechne den y-Achsenabschitt b der Funktion. Notiere den Rechenweg in deinem Heft.
{{Lösung versteckt|Notiere die allgemeine Form einer linearen Funktion. Überlege dir, für welche der Buchstaben du Zahlen einsetzen kannst, die du bereits kennst. Setze sie ein und löse die Gleichung nach b auf.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
{{Lösung versteckt|Setze den Punkt (1 ; 3) in die Funktionsgleichung f(x) {{=}} 2 x + b ein. Dann erhältst du die Gleichung 3 {{=}} 2 ⋅ 1 + b {{=}} 2 + b. Stelle diese Gleichung nach b um: b {{=}} 3 - 2 {{=}} 1.}}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Steigung von linearen Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Darstellungswechsel|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Steigung von linearen Funktionen

2026-02-28T11:16:30Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Steigung von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit der Steigung, einer der zwei Parameter linearer Funktionen.

<big>Entdecke: Wie beeinflusst die Steigung den Verlauf der Funktion?</big> 
Bewege den Schieberegler, um die Steigung m der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="mejqqnae" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|a) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert. 
b) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} -10 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|# Je höher der Betrag der Steigung m ist, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion. Um dies zu sehen, vergleiche beispielsweise m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander.
# Hat die Steigung m ein positives Vorzeichen (z.B. m {{=}} 10 ), verläuft die Funktion von links unten nach rechts oben. Mit anderen Worten: Die Funktion steigt in diesem Fall. Hat die Steigung m ein negatives Vorzeichen (z.B. m {{=}} - 10), verläuft die Funktion von links oben nach rechts unten. Mit anderen Worten: Die Funktion fällt in diesem Fall.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet das, wir rechnen: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Ein positives m bedeutet einen steigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Entscheide, ob die Steigung m der folgenden Funktionsgraphen ein positives oder ein negatives Vorzeichen hat: 
{{Lösung versteckt|Verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, steigt er. Das heißt, m ist positiv. Verläuft der Graph von links oben nach rechts unten, fällt er. Das heißt, m ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
a)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.27.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen.}}
 b)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.38.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein negatives Vorzeichen.}}
 c)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.54.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen.}}
 d)
[[Datei:Steigung.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung hat ein positives Vorzeichen.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ptteb9san26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pnc2bgpgj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big> 

Diese Aufgabe kannst du nutzen, um dich im Kopfrechnen zu üben. Wenn du dich damit wohler fühlst, kannst du die Rechnungen natürlich auch in deinem Heft notieren.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pto4k9v5c26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Lineare Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|
weiter=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen}}

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2026-02-28T11:15:27Z

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[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Steigung von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit der Steigung, einer der zwei Parameter linearer Funktionen.

<big>Entdecke: Wie beeinflusst die Steigung den Verlauf der Funktion?</big> 
Bewege den Schieberegler, um die Steigung m der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="mejqqnae" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|a) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert. 
b) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} -10 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|# Je höher der Betrag der Steigung m ist, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion. Um dies zu sehen, vergleiche beispielsweise m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander.
# Hat die Steigung m ein positives Vorzeichen (z.B. m {{=}} 10 ), verläuft die Funktion von links unten nach rechts oben. Mit anderen Worten: Die Funktion steigt in diesem Fall. Hat die Steigung m ein negatives Vorzeichen (z.B. m {{=}} - 10), verläuft die Funktion von links oben nach rechts unten. Mit anderen Worten: Die Funktion fällt in diesem Fall.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet das, wir rechnen: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Ein positives m bedeutet einen steigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Entscheide, ob die Steigung m der folgenden Funktionsgraphen ein positives oder ein negatives Vorzeichen hat: 
{{Lösung versteckt|Verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, steigt er. Das heißt, m ist positiv. Verläuft der Graph von links oben nach rechts unten, fällt er. Das heißt, m ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
a)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.27.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 b)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.38.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist negativ.}}
 c)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.54.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 d)
[[Datei:Steigung.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ptteb9san26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pnc2bgpgj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big> 

Diese Aufgabe kannst du nutzen, um dich im Kopfrechnen zu üben. Wenn du dich damit wohler fühlst, kannst du die Rechnungen natürlich auch in deinem Heft notieren.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pto4k9v5c26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Lineare Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|
weiter=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen}}

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2026-02-28T11:14:58Z

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{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Steigung von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit der Steigung, einer der zwei Parameter linearer Funktionen.

<big>Entdecke: Wie beeinflusst die Steigung den Verlauf der Funktion?</big> 
Bewege den Schieberegler, um die Steigung m der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
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<tr>
<td><ggb_applet id="mejqqnae" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|a) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert. 
b) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} -10 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
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{{Lösung versteckt|# Je höher der Betrag der Steigung m ist, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion. Um dies zu sehen, vergleiche beispielsweise m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander.
# Hat die Steigung m ein positives Vorzeichen (z.B. m {{=}} 10 ), verläuft die Funktion von links unten nach rechts oben. Mit anderen Worten: Die Funktion steigt in diesem Fall. Hat die Steigung m ein negatives Vorzeichen (z.B. m {{=}} - 10), verläuft die Funktion von links oben nach rechts unten. Mit anderen Worten: Die Funktion fällt in diesem Fall.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet das, wir rechnen: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Ein positives m bedeutet einen steigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Entscheide, ob die Steigung m der folgenden Funktionsgraphen einen positiven oder einen negativen Wert hat: 
{{Lösung versteckt|Verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, steigt er. Das heißt, m ist positiv. Verläuft der Graph von links oben nach rechts unten, fällt er. Das heißt, m ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
a)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.27.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 b)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.38.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist negativ.}}
 c)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.54.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 d)
[[Datei:Steigung.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ptteb9san26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pnc2bgpgj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big> 

Diese Aufgabe kannst du nutzen, um dich im Kopfrechnen zu üben. Wenn du dich damit wohler fühlst, kannst du die Rechnungen natürlich auch in deinem Heft notieren.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pto4k9v5c26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Lineare Funktionen|
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weiter=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
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Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Steigung von linearen Funktionen

2026-02-28T11:14:15Z

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{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Steigung von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit der Steigung, einer der zwei Parameter linearer Funktionen.

<big>Entdecke: Wie beeinflusst die Steigung den Verlauf der Funktion?</big> 
Bewege den Schieberegler, um die Steigung m der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
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<tr>
<td><ggb_applet id="mejqqnae" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|a) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert. 
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{{Lösung versteckt|# Je höher der Betrag der Steigung m ist, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion. Um dies zu sehen, vergleiche beispielsweise m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander.
# Hat die Steigung m ein positives Vorzeichen (z.B. m {{=}} 10 ), verläuft die Funktion von links unten nach rechts oben. Mit anderen Worten: Die Funktion steigt in diesem Fall. Hat die Steigung m ein negatives Vorzeichen (z.B. m {{=}} - 10), verläuft die Funktion von links oben nach rechts unten. Mit anderen Worten: Die Funktion fällt in diesem Fall.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet das, wir rechnen: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Ein positives m bedeutet einen steigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Entscheide, ob die Steigung m der folgenden Funktionsgraphen einen positiven oder einen negativen Wert hat: 
{{Lösung versteckt|Verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, steigt er. Das heißt, m ist positiv. Verläuft der Graph von links oben nach rechts unten, fällt er. Das heißt, m ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
a)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.27.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 b)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.38.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist negativ.}}
 c)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.54.png|zentriert|400px]]
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Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Steigung von linearen Funktionen

2026-02-28T11:12:58Z

KiaraundSarah:

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{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
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<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Steigung von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit der Steigung, einer der zwei Parameter linearer Funktionen.

<big>Entdecke: Wie beeinflusst die Steigung den Verlauf der Funktion?</big> 
Bewege den Schieberegler, um die Steigung m der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="mejqqnae" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|a) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert. 
b) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} -10 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|# Je höher der Betrag der Steigung m ist, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion. Um dies zu sehen, vergleiche beispielsweise m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander.
# Hat die Steigung m ein positives Vorzeichen (z.B. m {{=}} 10 ), verläuft die Funktion von links unten nach rechts oben. Mit anderen Worten: Die Funktion steigt in diesem Fall. Hat die Steigung m ein negatives Vorzeichen (z.B. m {{=}} - 10), verläuft die Funktion von links oben nach rechts unten. Mit anderen Worten: Die Funktion fällt in diesem Fall.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet das, wir rechnen: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Ein positives m bedeutet einen steigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Entscheide, ob die Steigung m der folgenden Funktionsgraphen einen positiven oder einen negativen Wert hat: 
{{Lösung versteckt|Verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, steigt er. Das heißt, m ist positiv. Verläuft der Graph von links oben nach rechts unten, fällt er. Das heißt, m ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
a)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.27.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 b)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.38.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist negativ.}}
 c)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.54.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 d)
[[Datei:Steigung.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ptteb9san26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pnc2bgpgj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big> 

Diese Aufgabe kannst du nutzen, um dich im Kopfrechnen zu üben. Wenn du dich damit wohler fühlst, kannst du die Rechnungen natürlich auch in deinem Heft notieren.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pto4k9v5c26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Lineare Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|
weiter=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen}}

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2026-02-28T11:12:20Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Steigung von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit der Steigung, einer der zwei Parameter linearer Funktionen.

<big>Entdecke: Wie beeinflusst die Steigung den Verlauf der Funktion?</big> 
Bewege den Schieberegler, um die Steigung m der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="mejqqnae" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|a) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert. 
b) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} -10 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|# Je höher der Betrag der Steigung m ist, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion. Um dies zu sehen, vergleiche beispielsweise m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander.
# Hat die Steigung m ein positives Vorzeichen (z.B. m {{=}} 10 ), verläuft die Funktion von links unten nach rechts oben. Mit anderen Worten: Die Funktion steigt in diesem Fall. Hat die Steigung m ein negatives Vorzeichen (z.B. m {{=}} - 10), verläuft die Funktion von links oben nach rechts unten. Mit anderen Worten: Die Funktion fällt in diesem Fall.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet das, wir rechnen: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Ein positives m bedeutet einen steigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Entscheide, ob die Steigung m der folgenden Funktionsgraphen einen positiven oder einen negativen Wert hat: 
{{Lösung versteckt|Verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, steigt er. Das heißt, m ist positiv. Verläuft der Graph von links oben nach rechts unten, fällt er. Das heißt, m ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
a)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.27.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 b)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.38.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist negativ.}}
 c)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.54.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 d)
[[Datei:Steigung.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ptteb9san26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pnc2bgpgj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big> 

Diese Aufgabe kannst du nutzen, um dich im Kopfrechnen zu üben. Wenn du dich damit wohler fühlst, kannst du die Rechnungen natürlich auch in deinem Heft notieren.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pto4k9v5c26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Lineare Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|
weiter=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen}}

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2026-02-28T11:05:59Z

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{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Steigung von linearen Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit der Steigung, einer der zwei Parameter linearer Funktionen.

<big>Entdecke: Wie beeinflusst die Steigung den Verlauf der Funktion?</big> 
Bewege den Schieberegler, um die Steigung m der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie. Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.
<table>
<tr>
<td><ggb_applet id="mejqqnae" width="800" height="800" /></td>
<td>{{Lösung versteckt|a) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert. 
b) Vergleiche m {{=}} 10 und m {{=}} - 10 miteinander. Beschreibe, wie sich der Verlauf der Funktion verändert.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}</td>
<tr>
</table>

{{Lösung versteckt|# Je höher der Betrag der Steigung m ist, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion. Um dies zu sehen, vergleiche beispielsweise m {{=}} 10 und m {{=}} 1 miteinander.
# Hat die Steigung m ein positives Vorzeichen (z.B. m {{=}} 10), verläuft die Funktion von links unten nach rechts oben. Mit anderen Worten: Die Funktion steigt in diesem Fall. Hat die Steigung m ein negatives Vorzeichen (z.B. m {{=}} - 10), verläuft die Funktion von links oben nach rechts unten. Mit anderen Worten: Die Funktion fällt in diesem Fall.}}

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m bezeichnet. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet es, dass wir Delta y geteilt durch Delta x rechnen. Man kann auch schreiben: m = <math>\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}</math>. Ein positives m bedeutet einen steigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>

Entscheide, ob die Steigung m der folgenden Funktionsgraphen einen positiven oder einen negativen Wert hat: 
{{Lösung versteckt|Verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, steigt er. Das heißt, m ist positiv. Verläuft der Graph von links oben nach rechts unten, fällt er. Das heißt, m ist negativ.|💡 Hinweis anzeigen|Hinweis verbergen}}
a)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.27.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 b)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.38.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist negativ.}}
 c)
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-02-03 um 23.09.54.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}
 d)
[[Datei:Steigung.png|zentriert|400px]]
{{Lösung versteckt| Die Steigung ist positiv.}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ptteb9san26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pnc2bgpgj26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big> 

Diese Aufgabe kannst du nutzen, um dich im Kopfrechnen zu üben. Wenn du dich damit wohler fühlst, kannst du die Rechnungen natürlich auch in deinem Heft notieren.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pto4k9v5c26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Lineare Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|
weiter=📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen|
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{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Lineare Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem Funktionstyp der linearen Funktionen.
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt=
==== Lineare Funktionen ====
Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine gerade Linie ist und durch die Gleichung f(x)=mx+b beschrieben wird. Dabei ist m die Steigung der Geraden, die angibt, wie stark diese sich pro Einheit der x-Achse verändert, und b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Zu Steigung und y-Achsenabschnitt erfährst du später noch mehr.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big> 

Formuliere mögliche Sachkontexte, die durch die lineare Funktion f(x) = 1,5x + 10 beschrieben sein könnten. Notiere deine Ideen auf einem Zettel. Danach kannst du dir die Lösungsvorschläge anschauen.
Falls möglich, kannst du deinen Zettel vorher mit dem deines Sitznachbarn tauschen. Auf diese Weise könnt ihr euch gegenseitig Feedback zu euren Ideen geben.
{{Lösung versteckt|Mögliche Sachkontexte, die durch diese Funktionsgleichung beschrieben werden können, lauten: 1. Der jährliche Beitrag für eine Bienenpatenschaft besteht aus einem Grundbetrag von 10 € sowie zusätzlichen Kosten von 1,50 € für jede betreute Biene. 2. Für das Ausleihen eines Regenschirms wird eine feste Gebühr von 10 € erhoben, zusätzlich fallen 1,50 € für jede Stunde an, in der der Regenschirm genutzt wird. 3. Beim Drucken einer Abschlussarbeit entstehen zunächst 10 € für das Einrichten des Druckers, anschließend werden 1,50 € pro gedruckter Seite berechnet. 4. Die Kosten für die Unterbringung einer Katze in einer Katzenpension setzen sich aus einer einmaligen Eingewöhnungsgebühr von 10 € und zusätzlichen Kosten von 1,50 € pro Betreuungstag zusammen.|Lösungsvorschläge anzeigen|Lösungsvorschläge verbergen}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvk41x3ft26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big> 

{| class="wikitable"
|+Wähle nun aus, ob du alleine oder mit einer Partnerin/einem Partner arbeiten möchtest:
!Paare zuordnen alleine ⤵️!!Memory zu Zweit ⤵️
|-
|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pga3b1shk25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowhalfscreen="true" webkitallowhalfscreen="true" mozallowhalfscreen="true"></iframe>||<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxhcvyo7n25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowhalfscreen="true" webkitallowhalfscreen="true" mozallowhalfscreen="true"></iframe>
|}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|
weiter=📌 Steigung von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Lineare Funktionen

2026-02-28T11:04:43Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Lineare Funktionen==
In diesem Kapitel befasst du dich mit dem Funktionstyp der linearen Funktionen.
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt= ====Lineare FUnktionen==== Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine gerade Linie ist und durch die Gleichung f(x)=mx+b beschrieben wird. Dabei ist m die Steigung der Geraden, die angibt, wie stark diese sich pro Einheit der x-Achse verändert, und b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Zu Steigung und y-Achsenabschnitt erfährst du später noch mehr.}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big> 

Formuliere mögliche Sachkontexte, die durch die lineare Funktion f(x) = 1,5x + 10 beschrieben sein könnten. Notiere deine Ideen auf einem Zettel. Danach kannst du dir die Lösungsvorschläge anschauen.
Falls möglich, kannst du deinen Zettel vorher mit dem deines Sitznachbarn tauschen. Auf diese Weise könnt ihr euch gegenseitig Feedback zu euren Ideen geben.
{{Lösung versteckt|Mögliche Sachkontexte, die durch diese Funktionsgleichung beschrieben werden können, lauten: 1. Der jährliche Beitrag für eine Bienenpatenschaft besteht aus einem Grundbetrag von 10 € sowie zusätzlichen Kosten von 1,50 € für jede betreute Biene. 2. Für das Ausleihen eines Regenschirms wird eine feste Gebühr von 10 € erhoben, zusätzlich fallen 1,50 € für jede Stunde an, in der der Regenschirm genutzt wird. 3. Beim Drucken einer Abschlussarbeit entstehen zunächst 10 € für das Einrichten des Druckers, anschließend werden 1,50 € pro gedruckter Seite berechnet. 4. Die Kosten für die Unterbringung einer Katze in einer Katzenpension setzen sich aus einer einmaligen Eingewöhnungsgebühr von 10 € und zusätzlichen Kosten von 1,50 € pro Betreuungstag zusammen.|Lösungsvorschläge anzeigen|Lösungsvorschläge verbergen}}

<big>Aufgabe 2</big>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvk41x3ft26" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big> 

{| class="wikitable"
|+Wähle nun aus, ob du alleine oder mit einer Partnerin/einem Partner arbeiten möchtest:
!Paare zuordnen alleine ⤵️!!Memory zu Zweit ⤵️
|-
|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pga3b1shk25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowhalfscreen="true" webkitallowhalfscreen="true" mozallowhalfscreen="true"></iframe>||<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxhcvyo7n25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowhalfscreen="true" webkitallowhalfscreen="true" mozallowhalfscreen="true"></iframe>
|}

{{Fortsetzung|
vorher=📌 Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|
weiter=📌 Steigung von linearen Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Funktionen

2026-02-28T11:02:43Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Funktionen==

In diesem Kapitel befasst du dich mit Funktionen und ihre Darstellungsformen sowie verschiedenen wichtigen Grundbegriffen, die du kennen solltest.
{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Funktion ====

Wenn eine Zuordnung f: x → y jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet, dann nennt man diese Zuordnung Funktion. Der zugeordnete y-Wert heißt Funktionswert an der Stelle x. Eine andere Schreibweise für den Funktionswert lautet f(x).

==== Funktionsterm ====
Man nennt 2+3x einen Funktionsterm. Er gibt in diesem Beispiel an, dass sich der y-Wert zu Beginn bei 2 befindet und mit jedem weiteren x-Wert um 3 Einheiten wächst.

==== Funktionsgleichung/Funktionsvorschrift ====
Man nennt f(x)=2+3x Funktionsgleichung oder auch Funktionsvorschrift. Mit dieser kann man zu jedem x-Wert den zugehörigen Funktionswert f(x), also den y-Wert berechnen.
Alternativ kann man auch f: x→2+3x schreiben. Der Pfeil drückt aus, dass jedem Punkt x der entsprechende Wert 2+3x zugeordnet wird. Ist zum Beispiel x=4, schreibt man f(4)=2+3x=14.

==== Graph einer Funktion ====

Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte, die mit ihren Koordinaten die Gleichung f(x)=y erfüllen. In unserem Beispiel gilt also y=2+3x für alle Punkte (x,y) auf dem Graphen.

==== Wertetabelle ====

Eine Wertetabelle zeigt systematisch auf, welche y-Werte (errechnete Werte) zu bestimmten x-Werten (eingegebenen Werten) gehören. So kann man leicht erkennen, wie eine Funktion funktioniert.
Zum Beispiel in die Funktion f(x)=2+3x kann man einige x-Werte einsetzen, die passenden y-Werte berechnen und diese Wertepaare übersichtlich in einer solchen Wertetabelle darstellen: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
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{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 5
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 8
{{!)}}}}

====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pdod3iy9325" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 2</big>
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<big>Aufgabe 3</big>
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<big>Aufgabe 4</big>
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<big>Aufgabe 5</big> 
Auf dem Weihnachtsmarkt in der Innenstadt von Gießen kosten 100 g gebrannte Mandeln 3,80 €. Wie viel kosten 200 g, 400 g, 700 g und 1300 g? Notiere die Ergebnisse übersichtlich in einer Tabelle in deinem Heft.

{{Lösung versteckt|Die Wertetabelle sollte so aussehen:

<table>

<tr>
<th>Gewicht der Mandeln in g</th>
<th> </th>
<th>Preis der Mandeln in €</th>
</tr>

<tr>
<td>100</td>
<td> </td>
<td>3,80</td>
</tr>

<tr>
<td>200</td>
<td> </td>
<td>7,60</td>
</tr>

<tr>
<td>400</td>
<td> </td>
<td>15,20</td>
</tr>

<tr>
<td>700</td>
<td> </td>
<td>26,60</td>
</tr>

<tr>
<td>1300</td>
<td> </td>
<td>49,40</td>
</tr>
</table>}}

{{Fortsetzung|
vorher=Willkommen zu deinem Lernpfad über lineare Funktionen|
vorherlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|
weiter=📌 Lineare Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Funktionen

2026-02-28T11:02:23Z

KiaraundSarah:

{{TOCright}}
[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen|zurück zur Startseite]]
{{Lösung versteckt|{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}|ℹ︎ Orientierung anzeigen|ℹ︎ Orientierung verbergen}}

==📌 Funktionen==

In diesem Kapitel befasst du dich mit Funktionen und ihre Darstellungsformen sowie verschiedenen wichtigen Grundbegriffen, die du kennen solltest.

{{Box-spezial|Farbe=lightblue|Rahmen=darkblue|Rahmenfarbe=darkblue|Titel= |Inhalt===== Funktion ====

Wenn eine Zuordnung f: x → y jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet, dann nennt man diese Zuordnung Funktion. Der zugeordnete y-Wert heißt Funktionswert an der Stelle x. Eine andere Schreibweise für den Funktionswert lautet f(x).

==== Funktionsterm ====
Man nennt 2+3x einen Funktionsterm. Er gibt in diesem Beispiel an, dass sich der y-Wert zu Beginn bei 2 befindet und mit jedem weiteren x-Wert um 3 Einheiten wächst.

==== Funktionsgleichung/Funktionsvorschrift ====
Man nennt f(x)=2+3x Funktionsgleichung oder auch Funktionsvorschrift. Mit dieser kann man zu jedem x-Wert den zugehörigen Funktionswert f(x), also den y-Wert berechnen.
Alternativ kann man auch f: x→2+3x schreiben. Der Pfeil drückt aus, dass jedem Punkt x der entsprechende Wert 2+3x zugeordnet wird. Ist zum Beispiel x=4, schreibt man f(4)=2+3x=14.

==== Graph einer Funktion ====

Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte, die mit ihren Koordinaten die Gleichung f(x)=y erfüllen. In unserem Beispiel gilt also y=2+3x für alle Punkte (x,y) auf dem Graphen.

==== Wertetabelle ====

Eine Wertetabelle zeigt systematisch auf, welche y-Werte (errechnete Werte) zu bestimmten x-Werten (eingegebenen Werten) gehören. So kann man leicht erkennen, wie eine Funktion funktioniert.
Zum Beispiel in die Funktion f(x)=2+3x kann man einige x-Werte einsetzen, die passenden y-Werte berechnen und diese Wertepaare übersichtlich in einer solchen Wertetabelle darstellen: {{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} f(x)
{{!-}}
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{{!}} 2
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{{!}} 1
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{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 8
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====👟 Training====

<big>Aufgabe 1</big>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pdod3iy9325" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 2</big>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pr86pdgr325" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 3</big>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pbqmrb4ka25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 4</big>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=ps16n8ebj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<big>Aufgabe 5</big> 
Auf dem Weihnachtsmarkt in der Innenstadt von Gießen kosten 100 g gebrannte Mandeln 3,80 €. Wie viel kosten 200 g, 400 g, 700 g und 1300 g? Notiere die Ergebnisse übersichtlich in einer Tabelle in deinem Heft.

{{Lösung versteckt|Die Wertetabelle sollte so aussehen:

<table>

<tr>
<th>Gewicht der Mandeln in g</th>
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<th>Preis der Mandeln in €</th>
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<tr>
<td>100</td>
<td> </td>
<td>3,80</td>
</tr>

<tr>
<td>200</td>
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{{Fortsetzung|
vorher=Willkommen zu deinem Lernpfad über lineare Funktionen|
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weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen

2026-02-28T10:43:01Z

KiaraundSarah:

{{Box
| Klasse = Lernpfad
| Titel = Willkommen zu deinem Lernpfad über lineare Funktionen
| Inhalt = Hier kannst du dein Wissen zu linearen Funktionen festigen. Du wiederholst, wie man Geraden zeichnet, Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmt sowie überprüft, ob Punkte auf einer linearen Funktion liegen. Die Übungsaufgaben unterstützen dich in der Vorbereitung auf die Klassenarbeit. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass du zunächst durch kleine Info-Boxen dein bisher erlerntes Wissen auffrischen kannst. Danach folgen kleine Aufgaben zum Training, die du in Hinblick auf die anstehende Arbeit bewältigen können solltest. Am Ende des Lernpfads findest du noch einige Aufgaben zum Knobeln. Deine Mühe zahlt sich aus: Mit jeder Geraden steigt dein Können!
| Farbe = #9AC0CD
}}

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|📌 Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|📌 Lineare Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|📌 Steigung von linearen Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen|📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|📌 Darstellungswechsel]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten|📌 Gerade aus Punkten]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen|🤔 Weitere Übungen]]|classes=hiowaeihov}}

__NOTOC__

{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}

{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenz|Dieser Lernpfad fördert primär die allgemeine mathematische Kompetenz Darstellen, indem die Schülerinnen und Schüler lineare Funktionen in ihren verschiedenen Darstellungsformen erkennen, aufstellen und interpretieren sowie zwischen den Darstellungsformen Gleichung, Graph und Wertetabelle wechseln.|Lösung}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Die inhaltlichen Kompetenzen, die mit diesem Lernpfad gefestigt und erweitert werden sollen, lauten wie folgt:

Die Schülerinnen und Schüler können entscheiden, ob es sich um eine Funktion handelt, indem sie sie als eine eindeutige Zuordnung identifizieren.

Die Schülerinnen und Schüler können einen linearen Graphen anhand einer Wertetabelle zeichnen (eine Wertetabelle anhand eines linearen Graphen aufstellen), indem sie die Punkte aus der Wertetabelle in ein KOS eintragen und verbinden (Punkte auf dem Graphen ablesen und sie entsprechend in die Wertetabelle eintragen).

Die Schülerinnen und Schüler können die Steigung einer linearen Funktion mittels Differenzenquotient bestimmen, indem sie ihn über (a) ein Steigungsdreieck am Graphen, (b) zwei Punkte der Funktion aufstellen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Steigung einer linearen Funktion ermitteln, indem sie den y-Achsenabschnitt und einen Punkt (x ≠ 0) in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen und die Steigung berechnen.

Die Schülerinnen und Schüler können den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmen, indem sie ihn (a) von dem Graphen ablesen, (b) die Steigung und einen Punkt in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen und den y-Achsenabschnitt berechnen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmen, indem sie sie (a) vom Graphen ablesen, (b) die Funktionsgleichung gleich 0 setzen und nach x auflösen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Gleichung einer Funktion aufstellen, indem sie (a) Steigung und y-Achsenabschnitt von einem Graphen ablesen und für m und b in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (b) die Steigung und einen weiteren Punkt in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (c) zwei Punkte von einem Graphen oder aus einer Wertetabelle ablesen, daraus die Steigung und den y-Achsenabschnitt berechnen und beide in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (d) die Steigung und den y-Achsenabschnitt anhand eines Sachkontexts ermitteln und in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen.

Die Schülerinnen und Schüler können entscheiden, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, indem sie zur Überprüfung (a) beides in ein Koordinatensystem zeichnen (b) rechnerisch eine Punktprobe durchführen.

Die Schülerinnen und Schüler können lineare Funktionen interpretieren, indem sie sie mit einem Sachkontext verknüpfen.|Lösung}}

{{Fortsetzung|
weiter=📌 Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen}}

Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen

2026-02-28T10:32:20Z

KiaraundSarah:

{{Box
| Klasse = Lernpfad
| Titel = Willkommen zu deinem Lernpfad über lineare Funktionen
| Inhalt = Hier kannst du dein Wissen zu linearen Funktionen festigen. Du wiederholst, wie man Geraden zeichnet, Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmt sowie überprüft, ob Punkte auf einer linearen Funktion liegen. Die Übungsaufgaben unterstützen dich in der Vorbereitung auf die Klassenarbeit. Der Lernpfad ist so aufgebaut, dass du zunächst durch kleine Info-Boxen dein bisher erlerntes Wissen auffrischen kannst. Danach folgen kleine Aufgaben zum Training, die du in Hinblick auf die anstehende Arbeit bewältigen können solltest. Am Ende des Lernpfads findest du noch einige Aufgaben zum Knobeln. Deine Mühe zahlt sich aus: Mit jeder Geraden steigt dein Können!
| Farbe = #9AC0CD
}}

{{Navigation| <big>Inhaltsverzeichnis</big>
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen|📌 Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Lineare_Funktionen|📌 Lineare Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Steigung_von_linearen_Funktionen|📌 Steigung von linearen Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/y-Achsenabsschnitt_und_Nullstelle_von_linearen_Funktionen|📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Darstellungswechsel|📌 Darstellungswechsel]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Gerade_aus_Punkten|📌 Gerade aus Punkten]]
#[[Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Weitere_Übungen|🤔 Weitere Übungen]]|classes=hiowaeihov}}

__NOTOC__

{{Box|Zur Orientierung|
<ul>
<li>Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im <big>👟 Training</big> beherrschen solltest. Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
<li>Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
<ul>
<li>Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.</li>
<li>Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches es dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.<li/>
<li>Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts und der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.</li></ul>
<li>Bei den anderen Aufgaben...
<ul>
<li>... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf "💡 Hinweis anzeigen" bzw. "Lösung anzeigen" klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.</li>
<li>... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.</li></ul>
</ul>
|Kurzinfo}}

{{Box|Allgemeine mathematische Kompetenz|Dieser Lernpfad fördert primär die allgemeine mathematische Kompetenz Darstellen, indem die Schülerinnen und Schüler lineare Funktionen in ihren verschiedenen Darstellungsformen erkennen, aufstellen und interpretieren sowie zwischen den Darstellungsformen Gleichung, Graph und Wertetabelle wechseln.|Lösung}}

{{Box|Inhaltliche Kompetenzen|Die inhaltlichen Kompetenzen, die mit diesem Lernpfad gefestigt und erweitert werden sollen lauten wie folgt:

Die Schülerinnen und Schüler können entscheiden, ob es sich um eine Funktion handelt, indem sie sie als eine eindeutige Zuordnung identifizieren.

Die Schülerinnen und Schüler können einen linearen Graphen anhand einer Wertetabelle zeichnen (eine Wertetabelle anhand eines linearen Graphen aufstellen), indem sie die Punkte aus der Wertetabelle in ein KOS eintragen und verbinden (Punkte auf dem Graphen ablesen und sie entsprechend in die Wertetabelle eintragen).

Die Schülerinnen und Schüler können die Steigung einer linearen Funktion mittels Differenzenquotient bestimmen, indem sie ihn über (a) ein Steigungsdreieck am Graphen, (b) zwei Punkte der Funktion aufstellen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Steigung einer linearen Funktion ermitteln, indem sie den y-Achsenabschnitt und einen Punkt (x ≠ 0) in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen und die Steigung berechnen.

Die Schülerinnen und Schüler können den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmen, indem sie ihn (a) von dem Graphen ablesen, (b) die Steigung und einen Punkt in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen und den y-Achsenabschnitt berechnen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmen, indem sie sie (a) vom Graphen ablesen, (b) die Funktionsgleichung gleich 0 setzen und nach x auflösen.

Die Schülerinnen und Schüler können die Gleichung einer Funktion aufstellen, indem sie (a) Steigung und y-Achsenabschnitt von einem Graphen ablesen und für m und b in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (b) die Steigung und einen weiteren Punkt in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (c) zwei Punkte von einem Graphen oder aus einer Wertetabelle ablesen, daraus die Steigung und den y-Achsenabschnitt berechnen und beide in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen, (d) die Steigung und den y-Achsenabschnitt anhand eines Sachkontexts ermitteln und in die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung einsetzen.

Die Schülerinnen und Schüler können entscheiden, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, indem sie zur Überprüfung (a) beides in ein Koordinatensystem zeichnen (b) rechnerisch eine Punktprobe durchführen.|Lösung}}

{{Fortsetzung|
weiter=📌 Funktionen|
weiterlink=Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs_zum_Erfolg_-_Dein_Lernpfad_zu_linearen_Funktionen/Funktionen}}