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Nullstellen bestimmen

2019-07-10T11:06:07Z

Florian Ferstl:

__NOTOC__
{{Box|Lernpfad|
===In diesem Lernpfad===
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann

===Das solltest du bereits können===
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind
*Lineare Gleichungen lösen können
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}

'''Nullstellen bestimmen'''

0. [[Nullstellen bestimmen/0. Überblick]] 
1. [[Nullstellen bestimmen/1. Ausklammern]] 
2. [[Nullstellen bestimmen/2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision]] 
3. [[Nullstellen bestimmen/3. Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen]] 
4. [[Nullstellen bestimmen/4. Erraten von Nullstellen]] 
5. [[Nullstellen bestimmen/5. Substitution]] 

 
==Hefteintrag==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt''' 
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|300px|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]
|3=Arbeitsmethode}}

 

===Erklärung der verwendeten Symbole===
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, 
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.

 

{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}

 

{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}

 

{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}

 
{|
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]
|}

<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big>

'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''

{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/0. Überblick}}

{{Autoren|Florian Ferstl}}

[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Nullstellen bestimmen

2019-07-10T11:05:42Z

Florian Ferstl:

__NOTOC__
{{Box|Lernpfad|
===In diesem Lernpfad===
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann

===Das solltest du bereits können===
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind
*Lineare Gleichungen lösen können
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}

'''Nullstellen bestimmen'''

0. [[Nullstellen bestimmen/0. Überblick]]
1. [[Nullstellen bestimmen/1. Ausklammern]]
2. [[Nullstellen bestimmen/2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision]]
3. [[Nullstellen bestimmen/3. Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen]]
4. [[Nullstellen bestimmen/4. Erraten von Nullstellen]]
5. [[Nullstellen bestimmen/5. Substitution]] 

 
==Hefteintrag==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt''' 
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|300px|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]
|3=Arbeitsmethode}}

 

===Erklärung der verwendeten Symbole===
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, 
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.

 

{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}

 

{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}

 

{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}

 
{|
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]
|}

<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big>

'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''

{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/0. Überblick}}

{{Autoren|Florian Ferstl}}

[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Nullstellen bestimmen/2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision

2019-07-10T10:43:33Z

Florian Ferstl:

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 2: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 1 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}
}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]
 

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}

 

In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}

 

==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

<math>f(x)=x^2-4x+3</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}
}}

 
Nimm im Skript Kapitel "2.3 Polynomdivision" zur Hand und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

{|
|[[Datei:Polynomdivision.png|500px|gerahmt]]
|}

 

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch. 
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math>
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 
'''
für Experten''' 
<math>(x^5-1):(x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

|Üben}}

 
 
==Abschlussübung==

{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
 
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist. 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Üben}}
 
 

'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen

2019-07-10T10:42:40Z

Florian Ferstl:

Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen

2019-07-10T10:41:22Z

Florian Ferstl:

Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen

2019-07-09T06:42:29Z

Florian Ferstl:

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__

==Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen==

==Worum geht's?==
Du hast in 2.2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach, ... sein kann.
Man nennt das die '''Vielfachheit der Nullstelle'''
Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier!

==Informiere dich!==

{{2Spalten|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]|{{#evt:
service=youtube
|id=https://www.youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE
|alignment=left
}}}}
 

==Hefteintrag==
Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren.
[[Datei:Mehrfache Nullstellen.png|mini]]

==Verstanden, worum es geht?==
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Erraten drauf hast... ;)

{{LearningApp|app=pjfpenrwt18|width=70%|height=500px}}

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Errate die erste Nullstelle und berechne alle weiteren mit Polynomdivision. Gib den Term vollständig faktorisiert an. 

 
<math>f(x)=x^3-3x^2+3x-1</math>
{{Lösung versteckt|1=Es gibt eine dreifache Nullstelle bei <math>x=1</math>; <math>f(x)=(x-1)^3</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=x^3+x^2-4x-4</math>
{{Lösung versteckt|Nullstellen bei <math>x_1=2; x_2=-2; x_3=-1</math>; <math>f(x)=(x+2)(x+1)(x-2)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Üben
}}

'''Weiter '''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../5. Substitution}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Datei:Mehrfache Nullstellen.png

2019-07-09T06:37:45Z

Florian Ferstl: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = AB zum Erkennen der Vielfachheit von Nullstellen am Graph
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Florian Ferstl|Florian Ferstl]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen

2019-07-09T06:32:25Z

Florian Ferstl:

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__

==Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen==

==Worum geht's?==
Du hast in 2.2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach, ... sein kann.
Man nennt das die '''Vielfachheit der Nullstelle'''
Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier!

==Informiere dich!==

{{2Spalten|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]|{{#evt:
service=youtube
|id=https://www.youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE
|alignment=left
}}}}
 

==Hefteintrag==
Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren.
{|
|[[Datei:HE_Erraten_Nullstellen.png|700x700px|HE Erraten Nullstellen]]
|}

==Verstanden, worum es geht?==
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Erraten drauf hast... ;)

{{LearningApp|app=pjfpenrwt18|width=70%|height=500px}}

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Errate die erste Nullstelle und berechne alle weiteren mit Polynomdivision. Gib den Term vollständig faktorisiert an. 

 
<math>f(x)=x^3-3x^2+3x-1</math>
{{Lösung versteckt|1=Es gibt eine dreifache Nullstelle bei <math>x=1</math>; <math>f(x)=(x-1)^3</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=x^3+x^2-4x-4</math>
{{Lösung versteckt|Nullstellen bei <math>x_1=2; x_2=-2; x_3=-1</math>; <math>f(x)=(x+2)(x+1)(x-2)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Üben
}}

'''Pflichtprogramm erfolgreich absolviert. Gratulation!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../5. Substitution}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen

2019-07-09T06:31:54Z

Florian Ferstl:

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__

==Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen==

==Worum geht's?==
Du hast in 2.2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach, ... sein kann.
Man nennt das die '''Vielfachheit der Nullstelle'''
Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier!

==Informiere dich!==

{{2Spalten|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]|{{#ev:youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE|460|center}}}}
[youtube]-CcJxa7rYtE[/youtube]

{{#evt:
service=youtube
|id=https://www.youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE
|alignment=left
}}

==Hefteintrag==
Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren.
{|
|[[Datei:HE_Erraten_Nullstellen.png|700x700px|HE Erraten Nullstellen]]
|}

==Verstanden, worum es geht?==
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Erraten drauf hast... ;)

{{LearningApp|app=pjfpenrwt18|width=70%|height=500px}}

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Errate die erste Nullstelle und berechne alle weiteren mit Polynomdivision. Gib den Term vollständig faktorisiert an. 

 
<math>f(x)=x^3-3x^2+3x-1</math>
{{Lösung versteckt|1=Es gibt eine dreifache Nullstelle bei <math>x=1</math>; <math>f(x)=(x-1)^3</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=x^3+x^2-4x-4</math>
{{Lösung versteckt|Nullstellen bei <math>x_1=2; x_2=-2; x_3=-1</math>; <math>f(x)=(x+2)(x+1)(x-2)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Üben
}}

'''Pflichtprogramm erfolgreich absolviert. Gratulation!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../5. Substitution}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen

2019-07-09T06:30:24Z

Florian Ferstl: Neue Station

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__KEIN_INHALTSVERZEICHNIS__

== Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen ==

== Worum geht's? ==
Du hast in 2.2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach, ... sein kann.
Man nennt das die '''Vielfachheit der Nullstelle'''
Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier!

== Informiere dich! ==

{{2Spalten|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]|{{#ev:youtube.com/watch?v=-CcJxa7rYtE|460|center}}}}
[youtube]-CcJxa7rYtE[/youtube]

== Hefteintrag ==
Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren.
{|
|[[Datei:HE_Erraten_Nullstellen.png|700x700px|HE Erraten Nullstellen]]
|}

== Verstanden, worum es geht? ==
In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Erraten drauf hast... ;)

{{LearningApp|app=pjfpenrwt18|width=70%|height=500px}}

== Teste dich! ==

{{Box|Übung|Errate die erste Nullstelle und berechne alle weiteren mit Polynomdivision. Gib den Term vollständig faktorisiert an. 

 
<math>f(x)=x^3-3x^2+3x-1</math>
{{Lösung versteckt|1=Es gibt eine dreifache Nullstelle bei <math>x=1</math>; <math>f(x)=(x-1)^3</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=x^3+x^2-4x-4</math>
{{Lösung versteckt|Nullstellen bei <math>x_1=2; x_2=-2; x_3=-1</math>; <math>f(x)=(x+2)(x+1)(x-2)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Üben
}}

'''Pflichtprogramm erfolgreich absolviert. Gratulation!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../5. Substitution}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision

2019-07-09T06:21:46Z

Florian Ferstl:

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 2: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 1 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}
}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]
 

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}

 

In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}

 

==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

<math>f(x)=x^2-4x+3</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}
}}

 
Nimm im Skript Kapitel "2.3 Polynomdivision" zur Hand und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

{|
|[[Datei:Polynomdivision.png|500px|gerahmt]]
|}

 

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch. 
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math>
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 
'''
für Experten''' 
<math>(x^5-1):(x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

|Üben}}

 
 
==Abschlussübung==

{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
 
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist. 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Üben}}
 
 

'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision

2019-07-09T06:20:43Z

Florian Ferstl: Neuer Seitenname

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 2: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 1 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}
}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]
 

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}

 

In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}

 

==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

<math>f(x)=x^2-4x+3</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}
}}

 
Nimm im Skript Kapitel "2.3 Polynomdivision" zur Hand und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

{|
|[[Datei:Polynomdivision.png|500px|gerahmt]]
|}

 

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch. 
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math>
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 
'''
für Experten''' 
<math>(x^5-1):(x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

|Üben}}

 
 
==Abschlussübung==

{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
 
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist. 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Üben}}
 
 

'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/1. Ausklammern

2019-07-09T06:19:12Z

Florian Ferstl:

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}

__NOTOC__

==Station 1: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==
 

==Wiederholung - nur falls nötig...==
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an. 

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}
}}

 

==Informiere dich!==
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}
}}
 

==Arbeitsblatt studieren==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!''' 
[[Datei:Ausklammern.png|300px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}

 

==Teste dich!==
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen! Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}

*<math>f(x)=x^3-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}

*<math>g(x)=3x^2-6x </math>

{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math>

{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../2. Faktorisierung von Polynomen und Polynomdivision}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]

Nullstellen bestimmen/1. Ausklammern

2019-07-09T06:16:13Z

Florian Ferstl: neuer Seitenname

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}

__NOTOC__

==Station 1: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==
 

==Wiederholung - nur falls nötig...==
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an. 

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}
}}

 

==Informiere dich!==
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}
}}
 

==Arbeitsblatt studieren==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!''' 
[[Datei:Ausklammern.png|300px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}

 

==Teste dich!==
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen! Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}

*<math>f(x)=x^3-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}

*<math>g(x)=3x^2-6x </math>

{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math>

{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Faktorisieren von Polynomen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]

Nullstellen bestimmen

2019-07-09T06:13:44Z

Florian Ferstl:

__NOTOC__
{{Box|Lernpfad|
===In diesem Lernpfad===
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann

===Das solltest du bereits können===
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind
*Lineare Gleichungen lösen können
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}

{{Nullstellen bestimmen}}

 
==Hefteintrag==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt''' 
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|300px|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]
|3=Arbeitsmethode}}

 

===Erklärung der verwendeten Symbole===
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, 
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.

 

{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}

 

{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}

 

{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}

 
{|
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]
|}

<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big>

'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''

{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/0. Überblick}}

{{Autoren|Florian Ferstl}}

[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Nullstellen bestimmen/Ausklammern

2019-07-09T06:10:13Z

Florian Ferstl: /* Station 2: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren) */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}

__NOTOC__

==Station 1: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==
 

==Wiederholung - nur falls nötig...==
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an. 

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}
}}

 

==Informiere dich!==
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}
}}
 

==Arbeitsblatt studieren==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!''' 
[[Datei:Ausklammern.png|300px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}

 

==Teste dich!==
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen! Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}

*<math>f(x)=x^3-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}

*<math>g(x)=3x^2-6x </math>

{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math>

{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Faktorisieren von Polynomen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]

Nullstellen bestimmen/Überblick

2019-07-09T06:09:16Z

Florian Ferstl: /* Station 1: Überblick - worum geht's eigentlich? */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}

==Einstieg: Überblick - worum geht's eigentlich?==
Um einen Überblick darüber zu bekommen, was dich im Lernpfad erwartet, schaue dir dieses Video an.

Für den Vollbildmodus rechts unten klicken, mit ESC kommst du wieder zurück.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|Au0885ibhX8|460|center}}
}}

Bevor du zur nächsten Station gehst, teste, ob du die Grundlagen zum Lösen von Gleichungen beherrscht!

{{Box|Übung|Teste hier, ob du die Grundlagen zum Lösen von Gleichungen sicher beherrscht! Du musst die Antworten nicht ins Heft schreiben
 
{{LearningApp|app=p0fxtswnn18|width=70%|height=500px|center}}
|Üben}}
 

'''So. Nun geht's aber los mit der ersten Strategie, dem Ausklammern! :)'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../2. Ausklammern}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen

2019-07-02T21:12:32Z

Florian Ferstl: /* Polynomdivision */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}
}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]
 

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}

 

In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}

 

==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

<math>f(x)=x^2-4x+3</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}
}}

 
Nimm im Skript Kapitel "2.3 Polynomdivision" zur Hand und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

{|
|[[Datei:Polynomdivision.png|500px|gerahmt]]
|}

 

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch. 
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math>
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 
'''
für Experten''' 
<math>(x^5-1):(x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

|Üben}}

 
 
==Abschlussübung==

{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
 
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist. 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Üben}}
 
 

'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen

2019-07-02T21:11:50Z

Florian Ferstl: /* Polynomdivision */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}
}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]
 

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}

 

In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}

 

==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

<math>f(x)=x^2-4x+3</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
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Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}
}}

 
Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

{|
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|}

 

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch. 
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
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'''
für Experten''' 
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|Üben}}

 
 
==Abschlussübung==

{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
 
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist. 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Üben}}
 
 

'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen

2019-07-02T21:11:14Z

Florian Ferstl: /* Polynomdivision */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
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}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]
 

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

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In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

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==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

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Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math> 
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|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

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Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

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==Teste dich!==

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Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
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'''
für Experten''' 
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==Abschlussübung==

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'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Datei:Polynomdivision.png

2019-07-02T21:10:49Z

Florian Ferstl: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Seite5
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Florian Ferstl|Florian Ferstl]]
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen

2019-07-02T21:09:38Z

Florian Ferstl: /* Theorie - '''intensiv studieren!''' */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}
}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Studiere im Skript den Abschnitt 2.1 und 2.2
Diese enthalten alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]
 

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}

 

In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}

 

==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

<math>f(x)=x^2-4x+3</math>
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<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math>
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<math>f(x)=2x^2+4x-6</math> 
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Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math> 
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|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
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}}

 
Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

{|
|[[Datei:ABPolynomdivision.pdf|thumb|AB Polynomdivision]]
|}

 

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch. 
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
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<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math>
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<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math>
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'''
für Experten''' 
<math>(x^5-1):(x-1)</math>
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|Üben}}

 
 
==Abschlussübung==

{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
 
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist. 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Üben}}
 
 

'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen

2019-07-02T21:08:21Z

Florian Ferstl: /* Theorie - '''intensiv studieren!''' */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
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}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Hole am Pult das Arbeitsblatt zu dieser Station. Es enthält alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb]]
 

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}

 

In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

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==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

<math>f(x)=x^2-4x+3</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math>
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Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math> 
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|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

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Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

{|
|[[Datei:ABPolynomdivision.pdf|thumb|AB Polynomdivision]]
|}

 

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch. 
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
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für Experten''' 
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|Üben}}

 
 
==Abschlussübung==

{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
 
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist. 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Üben}}
 
 

'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen

2019-07-02T21:05:29Z

Florian Ferstl: /* Theorie - '''intensiv studieren!''' */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}
}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Hole am Pult das Arbeitsblatt zu dieser Station. Es enthält alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

 

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}

 

In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}

 

==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

<math>f(x)=x^2-4x+3</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math> 
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Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
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{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
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Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

{|
|[[Datei:ABPolynomdivision.pdf|thumb|AB Polynomdivision]]
|}

 

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch. 
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
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<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math>
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für Experten''' 
<math>(x^5-1):(x-1)</math>
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==Abschlussübung==

{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
 
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist. 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Üben}}
 
 

'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen

2019-07-02T21:04:43Z

Florian Ferstl: /* Theorie - '''intensiv studieren!''' */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}
}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Hole am Pult das Arbeitsblatt zu dieser Station. Es enthält alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

 
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|thumb|center|Zerlegungssatz]]
[[Datei:Polynome faktorisieren.pdf|thumb|center|Faktorisieren]]

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}

 

In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}

 

==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

<math>f(x)=x^2-4x+3</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}
}}

 
Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

{|
|[[Datei:ABPolynomdivision.pdf|thumb|AB Polynomdivision]]
|}

 

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch. 
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>2x+5</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(3x^3-x^2-3x+1):(x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>3x^2+2x-1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math>
{{Lösung versteckt|<math>x^2+3x-2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 
'''
für Experten''' 
<math>(x^5-1):(x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>x^4+x^3+x^2+1</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math>
{{Lösung versteckt|<math>3x+2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

|Üben}}

 
 
==Abschlussübung==

{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
 
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist. 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Üben}}
 
 

'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Nullstellen bestimmen/Faktorisieren von Polynomen

2019-07-02T21:04:18Z

Florian Ferstl: /* Theorie - '''intensiv studieren!''' */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
__NOTOC__

==Station 3: Zerlegung eines Polynoms in Faktoren - Polynomdivision ==
==Worum geht's?==
Wie du schon in Station 2 gelernt hast, ist es zur Nullstellenbestimmung (und nicht nur da!) günstig, wenn man ein Polynom in faktorisierter Form angeben kann.
Dann kann man nämlich die Nullstellen oft einfach ablesen.
In dieser Station lernst du ein Verfahren kennen, wie du Polynome faktorisieren kannst, wenn Ausklammern nicht möglich ist. Nicht schlecht, oder? ;)

==Informiere dich!==

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|UO47QHJhosk|460|center}}
}}

 

==Theorie - '''intensiv studieren!'''==
Hole am Pult das Arbeitsblatt zu dieser Station. Es enthält alle wichtigen Informationen zusammengefasst.
Studiere den Text intensiv und versuche '''alles''' möglichst gut '''zu verstehen'''. Du musst im Anschluss daran Fragen dazu beantworten!

 
[[Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf|300|center|Zerlegungssatz]]
[[Datei:Polynome faktorisieren.pdf|thumb|center|Faktorisieren]]

==Verstanden, worum es geht?==

In diesem Quiz kannst du zeigen, ob du das Arbeitsblatt verstanden hast... ;)

 

{{LearningApp|app=psvz7ypsn18|width=70%|height=500px|center}}

 

In diesem Quiz musst du dem faktorisierten Term seine Nullstellen zuordnen. Mehrfache Nullstellen sind auch dabei! :)
 

{{LearningApp|app=pujhng5pk18|width=70%|height=500px|center}}

 

==Übung macht den Meister==

{{Box|1=Aufgabe|2=
Bestimme '''in deinem Heft in äußerst übersichtlicher Form''' die Nullstellen x1 und x2 der Funktion und gib die faktorisierte Form an.
 
 

<math>f(x)=x^2-4x+3</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x-1)(x-3)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=\frac{1}{2}x^2 -2x</math>
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=0,5x(x-4)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
<math>f(x)=2x^2+4x-6</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=2(x+3)(x-1)</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
 
Faktorsiere und kürze. Achte auf formale Richtigkeit beim kürzen!
<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}</math> 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=\frac{x^3-5x^2}{(x-1)^2\cdot(x-5)}=\frac{x^2}{(x-1)^2}</math> für x ungleich 5|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode}}
 

Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/2

==Polynomdivision==
Sind nicht alle Nullstellen des Polynoms bekannt, so musst kannst du nicht sofort alles faktorisieren. 
Kennst du aber zumindest eine Nullstelle, kannst du mit dem Verfahren der '''Polynomdivsion''' Schritt für Schritt weitere Nullstellen finden und so immer weiter faktorisieren.
 
Hör dir den überragenden '''Polynomdivisionssong''' an und verinnerliche das Prinzip gut. Im Anschluss musst du sie selbst durchführen.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|Film klappe|center]]
|{{#ev:youtube|K8K4_gowb4E|460|center}}
}}

 
Hole dir das Arbeitsblatt vom Pult und vollziehe die Polynomdivision noch einmal gut durch.
 

{|
|[[Datei:ABPolynomdivision.pdf|thumb|AB Polynomdivision]]
|}

 

==Teste dich!==

{{Box|Übung|Führe '''in deinem Heft''' die Polynomdivision durch. 
Weitere Aufgaben findest du im Buch auf S.145/5

 
<math>(x^3+5x^2-x-5):(x+1)</math>
{{Lösung versteckt|[[Datei:A1 Lösung Polynomdivision.png|500px|A1 Lösung Polynomdivision]]|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}} 

<math>(4x^2+12x+5):(2x+1)</math>
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<math>(x^3+x^2-8x+4):(x-2)</math>
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'''
für Experten''' 
<math>(x^5-1):(x-1)</math>
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<math>(3x^3-8x^2+x+2):(x^2-2x-1)</math>
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|Üben}}

 
 
==Abschlussübung==

{{Box|Übung|Füge all dein neu erworbenes Wissen zusammen und bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion und gib die Funktion vollständig faktorisiert an.
 
<math>f(x)=x^3-2x^2-4x+8</math>, wenn <math>x=2</math> als Nullstelle bekannt ist. 
{{Lösung versteckt|<math>f(x)=(x+2)(x-2)^2 </math> mit einfacher Nullstelle <math>x_1=-2</math> und doppelter Nullstelle bei <math>x_(2,3)=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Üben}}
 
 

'''Das war nicht ohne...! Zum Abschluss noch etwas eher Entspannendes, nämlich das "Erraten" der ersten Nullstelle, damit man die Polynomdivision überhaupt durchführen kann!'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../4. Erraten von Nullstellen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Datei:02 AB Zerlegungssatz.pdf

2019-07-02T21:03:51Z

Florian Ferstl: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Seiten 2-4
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Florian Ferstl|Florian Ferstl]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Nullstellen bestimmen/Ausklammern

2019-07-02T21:02:47Z

Florian Ferstl: /* Hefteintrag */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}

__NOTOC__

==Station 2: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==
 

==Wiederholung - nur falls nötig...==
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an. 

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}
}}

 

==Informiere dich!==
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}
}}
 

==Arbeitsblatt studieren==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!''' 
[[Datei:Ausklammern.png|300px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}

 

==Teste dich!==
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen! Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}

*<math>f(x)=x^3-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}

*<math>g(x)=3x^2-6x </math>

{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math>

{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Faktorisieren von Polynomen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]

Nullstellen bestimmen/Ausklammern

2019-07-02T21:02:16Z

Florian Ferstl: /* Hefteintrag */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}

__NOTOC__

==Station 2: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==
 

==Wiederholung - nur falls nötig...==
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an. 

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}
}}

 

==Informiere dich!==
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}
}}
 

==Hefteintrag==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!''' 
[[Datei:Ausklammern.png|300px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}

 

==Teste dich!==
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen! Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}

*<math>f(x)=x^3-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}

*<math>g(x)=3x^2-6x </math>

{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x</math>

{{Lösung versteckt|<math>h(x)=4x^3-16x^2-8x=4x(x^2-4x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2-\sqrt{6}, x_3 =2+\sqrt{6}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

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{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

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{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Faktorisieren von Polynomen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]

Nullstellen bestimmen/Ausklammern

2019-07-02T21:01:59Z

Florian Ferstl: /* Hefteintrag */

{{Navigation verstecken|{{Nullstellen bestimmen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}

__NOTOC__

==Station 2: Nullstellen bestimmen durch Ausklammern (Faktorisieren)==
 

==Wiederholung - nur falls nötig...==
Du solltest mit dem Prinzip des Ausklammerns gut vertraut sein. Falls nicht, schaue dir vorsichtshalber folgendes Video an. 

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|N8F9qLsE_98|460|center}}
}}

 

==Informiere dich!==
In diesem Video wird dir gezeigt, in welchen Fällen das Prinzip des Ausklammern möglich ist, und wie du damit im Anschluss die Nullstellen berechnen kannst.

{{2Spalten
|[[Datei:Film Klappe.jpg|250px|center|Film klappe]]
|{{#ev:youtube|8xHaW2LePeo|460|center}}
}}
 

==Hefteintrag==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Lies dir im Skript den Abschnitt "1. Faktorisieren durch Ausklammern aufmerksam durch! Bearbeite den gestellten Arbeitsauftrag sauber und ordentlich!''' 
[[Datei:Ausklammern.png|600px|center|Hefteintrag Ausklammern|gerahmt]]|3=Arbeitsmethode}}

 

==Teste dich!==
{{Box|Übung|Übernimm folgende Terme in dein '''Heft''', klammere aus und bestimme die Nullstellen! Arbeite '''absolut übersichtlich und ordentlich'''. Hebe die '''Nullstellen mit Farbe''' hervor!|Üben}}

*<math>f(x)=x^3-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|1= <math> f(x)=x^3-4x^2 = x^2 (x-4) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=4</math>|2= Lösung anzeigen|3= Lösung verbergen}}

*<math>g(x)=3x^2-6x </math>

{{Lösung versteckt|<math>g(x)=3x^2-6x = 3x (x-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=2</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

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*<math>l(x)=2x^4-4x^2</math>

{{Lösung versteckt|<math>l(x)=2x^4-4x^2 = 2x^2 (x^2-2) \text{ mit den Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=-\sqrt{2}, x_3 =\sqrt{2}</math>|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}

*<math>m(x)=5x^3+2x^2-x</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>m(x)=5x^3+2x^2-x = x(5x^2+2x-1) \text{ mit der einzigen Nullstellen }x_1=0 \text{ und } x_2=\frac{1-\sqrt{6}}{5}, x_3 =\frac{1+\sqrt{6}}{5}</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''Ausklammern ist geschafft! Weiter geht's mit dem Faktorisieren von Polynomen :)'''

{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../3. Faktorisieren von Polynomen}}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]

Datei:Ausklammern.png

2019-07-02T21:00:34Z

Florian Ferstl: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Seite 1
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Florian Ferstl|Florian Ferstl]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Nullstellen bestimmen

2019-07-02T20:47:58Z

Florian Ferstl:

__NOTOC__
{{Box|Lernpfad|
===In diesem Lernpfad===
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann

===Das solltest du bereits können===
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind
*Lineare Gleichungen lösen können
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}

{{Nullstellen bestimmen}}

 
==Hefteintrag==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt''' 
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|300px|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]
|3=Arbeitsmethode}}

 

===Erklärung der verwendeten Symbole===
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, 
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.

 

{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}

 

{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}

 

{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}

 
{|
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]
|}

<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big>

'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''

{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/1. Überblick}}

{{Autoren|Florian Ferstl}}

[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Nullstellen bestimmen

2019-07-02T20:45:34Z

Florian Ferstl:

__NOTOC__
{{Box|Lernpfad|
===In diesem Lernpfad===
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann

===Das solltest du bereits können===
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind
*Lineare Gleichungen lösen können
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}

{{Nullstellen bestimmen}}

 
==Hefteintrag==
{{Box|1=Aufgabe|2=
Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt''' 
[[Datei:Skript_Lernpfad.pdf|thumb|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]
|3=Arbeitsmethode}}

[[Datei:Skript Lernpfad Nullstellen und Faktorisieren von Polynomen.pdf|thumb|Lerninhalte zu Polynomfunktionen]]

 

===Erklärung der verwendeten Symbole===
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, 
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.

 

{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}

 

{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}

 

{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}

 
{|
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]
|}

<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big>

'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''

{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/1. Überblick}}

{{Autoren|Florian Ferstl}}

[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Datei:Skript Lernpfad.pdf

2019-07-02T20:41:19Z

Florian Ferstl: Folge von AB

== Beschreibung ==
Folge von AB
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Nullstellen bestimmen

2019-07-02T20:31:42Z

Florian Ferstl:

__NOTOC__
{{Box|Lernpfad|
===In diesem Lernpfad===
*lernst du, wie du deine Kenntnisse zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen nutzen kannst, um ganzrationale Gleichungen höheren Grades lösen zu können
*wiederholst, warum Ausklammern immer sinnvoll ist und wann man Ausklammern kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Substitution Gleichungen löst
*lernst du, wie man ganzrationale Funktionsterme faktorisieren kann
*lernst du, wie man mit Hilfe der Polynomdivision Gleichungen löst
*lernst du, wie man einzelne, ganzzahlige Lösungen "erraten" kann

===Das solltest du bereits können===
*Verständnis dafür, was Nullstellen sind
*Lineare Gleichungen lösen können
*Quadratische Gleichungen Lösen können (Ausklammern, Wurzelziehen, Mitternachtsformel)
[[Datei:Logo Mathematik-digital 2011.png|200px|right|verweis=Mathematik-digital|Mathematik-digital]]
|Lernpfad}}

{{Nullstellen bestimmen}}

Hier findest du das Skript zum Lernpfad, komplett als PDF-Datei. Die einzelnen Arbeitsblätter sind in den jeweiligen Stationen noch einmal verlinkt.

===Erklärung der verwendeten Symbole===
Damit du den Lernpfad ohne Probleme durchführen kannst ist es wichtig, 
dass du die verwendeten Symbole und Grafiken kennst und weißt, was sie für dich bedeuten.

 

{{Box|Merke|Hierbei handelt es sich um einen Merksatz. '''Merksätze''' musst du grundsätzlich '''immer in dein Schulheft übertragen''', inklusive einer farbigen Umrahmung.|Merksatz}}

 

{{Box|Aufgabe|Immer wenn du diesen Kasten mit dem Stiftsymbol siehst, gibt es eine '''Aufgabe schriftlich im Schulheft zu bearbeiten!'''|Arbeitsmethode}}

 

{{Box|Übung|Übungsaufgaben werden entweder '''online oder im Übungsheft''' bearbeitet. Genaueres steht jeweils mit dabei.|Üben}}

 
{|
|Vergiss nicht, dass du die Zeit im Auge behältst. Oberstes Ziel ist zwar, dass du alles verstehst, trotzdem solltest du nicht trödeln!
|[[Datei:Time-1019921 1920.jpg|180px|Zeitwächter]]
|}

<big>Nun kann es aber endlich losgehen! Viel Erfolg!</big>

'''Beginne doch gleich mit der ersten Station!'''

{{Fortsetzung|weiter=Hier geht es los|weiterlink=/1. Überblick}}

{{Autoren|Florian Ferstl}}

[[Kategorie:Nullstellen bestimmen|!]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Lernpfad]]