https://zumunterrichten.idea-sketch.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=ChristianZUM-Unterrichten - Benutzerbeiträge [de]2026-06-25T23:53:05ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.39.17https://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154182Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-28T18:14:29Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca(HCO_3)_2</math>enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154180Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-28T17:48:12Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca(HCO_3)_2</math>enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154179Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-28T17:47:36Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca(HCO_3)_2</math>enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154178Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-28T17:46:13Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca1_2</math>enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154177Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-28T17:46:01Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>1+1</math>enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154176Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-28T17:45:14Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CaHCO_3_2</math>enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154175Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-28T17:44:59Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in CaHCO_3_2enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154174Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-28T17:44:38Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CaHCO_3_2</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154173Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-28T17:44:08Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca\bigl(HCO_3\bigr)_2</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154114Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-27T20:24:43Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca\bigl(HCO_3\bigr)_2</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:Christian/r-quiz&diff=154113Benutzer:Christian/r-quiz2026-05-27T20:20:45Z<p>Christian: Die Seite wurde neu angelegt: „<div class="multiplechoice-quiz"> '''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca\bigl(HCO_3\bigr)_2</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5) </div>“</p>
<hr />
<div><div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca\bigl(HCO_3\bigr)_2</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
</div></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Chemie-Lexikon/Symbolschreibweise_-_Benennung_von_Verbindungen/Multiple-Choice-Test_zum_Erkennen_von_Elementsymbolen&diff=154111Chemie-Lexikon/Symbolschreibweise - Benennung von Verbindungen/Multiple-Choice-Test zum Erkennen von Elementsymbolen2026-05-27T20:17:58Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>'''Die Übung ist ganz einfach:''' Du musst nur erkennen, wie viele Elemente in dieser "Verbindung" enthalten sind. Das Wort ''Verbindung'' ist in Anführungsstrichen, denn wenn man nur ein Element hat, ist es ja keine Verbindung. sondern ein Element-Molekül.<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>NaHSO_4</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Br_2</math> enthalten?''' (1) (!2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>SO_3</math> enthalten?''' (!1) (2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>NaCl</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_2CO_3</math> enthalten?''' (!1) (!2) (3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CH_4</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>C_2H_5OH</math> enthalten?''' (3) (!4) (!5)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>K_2Cr_2O_7</math> enthalten?''' (!2) (3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>KCN</math> enthalten?''' (!1) (!2) (3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_2</math> enthalten?''' (1) (!2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca\bigl(HCO_3\bigr)_2</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CuCl_2</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CO</math> enthalten?''' (!1) (2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_2S</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Mg(OH)_2</math> enthalten?''' (!2) (3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_4SiO_4</math> enthalten?''' (!2) (3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>C_6H_6</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
</div><br />
<br />
[[Kategorie:Symbolschreibweise]]<br />
[[Kategorie:Summenformel]]<br />
[[Kategorie:Atomsymbol]]<br />
[[Kategorie:Chemie]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Chemie-Lexikon/Symbolschreibweise_-_Benennung_von_Verbindungen/Multiple-Choice-Test_zum_Erkennen_von_Elementsymbolen&diff=154110Chemie-Lexikon/Symbolschreibweise - Benennung von Verbindungen/Multiple-Choice-Test zum Erkennen von Elementsymbolen2026-05-27T20:17:26Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>'''Die Übung ist ganz einfach:''' Du musst nur erkennen, wie viele Elemente in dieser "Verbindung" enthalten sind. Das Wort ''Verbindung'' ist in Anführungsstrichen, denn wenn man nur ein Element hat, ist es ja keine Verbindung. sondern ein Element-Molekül.<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>NaHSO_4</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Br_2</math> enthalten?''' (1) (!2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>SO_3</math> enthalten?''' (!1) (2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>NaCl</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_2CO_3</math> enthalten?''' (!1) (!2) (3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CH_4</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>C_2H_5OH</math> enthalten?''' (3) (!4) (!5)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>K_2Cr_2O_7</math> enthalten?''' (!2) (3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>KCN</math> enthalten?''' (!1) (!2) (3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_2</math> enthalten?''' (1) (!2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca\biglHCO_3\bigr_2</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CuCl_2</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CO</math> enthalten?''' (!1) (2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_2S</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Mg(OH)_2</math> enthalten?''' (!2) (3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_4SiO_4</math> enthalten?''' (!2) (3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>C_6H_6</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
</div><br />
<br />
[[Kategorie:Symbolschreibweise]]<br />
[[Kategorie:Summenformel]]<br />
[[Kategorie:Atomsymbol]]<br />
[[Kategorie:Chemie]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Chemie-Lexikon/Symbolschreibweise_-_Benennung_von_Verbindungen/Multiple-Choice-Test_zum_Erkennen_von_Elementsymbolen&diff=154109Chemie-Lexikon/Symbolschreibweise - Benennung von Verbindungen/Multiple-Choice-Test zum Erkennen von Elementsymbolen2026-05-27T20:17:03Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>'''Die Übung ist ganz einfach:''' Du musst nur erkennen, wie viele Elemente in dieser "Verbindung" enthalten sind. Das Wort ''Verbindung'' ist in Anführungsstrichen, denn wenn man nur ein Element hat, ist es ja keine Verbindung. sondern ein Element-Molekül.<br />
<br />
<div class="multiplechoice-quiz"><br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>NaHSO_4</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Br_2</math> enthalten?''' (1) (!2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>SO_3</math> enthalten?''' (!1) (2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>NaCl</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_2CO_3</math> enthalten?''' (!1) (!2) (3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CH_4</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>C_2H_5OH</math> enthalten?''' (3) (!4) (!5)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>K_2Cr_2O_7</math> enthalten?''' (!2) (3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>KCN</math> enthalten?''' (!1) (!2) (3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_2</math> enthalten?''' (1) (!2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Ca\bigl(HCO_3\bigr)_2</math> enthalten?''' (!3) (4) (!5)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CuCl_2</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>CO</math> enthalten?''' (!1) (2) (!3)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_2S</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>Mg(OH)_2</math> enthalten?''' (!2) (3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>H_4SiO_4</math> enthalten?''' (!2) (3) (!4)<br />
<br />
'''Wieviele verschiedene Elemente sind in <math>C_6H_6</math> enthalten?''' (2) (!3) (!4)<br />
</div><br />
<br />
[[Kategorie:Symbolschreibweise]]<br />
[[Kategorie:Summenformel]]<br />
[[Kategorie:Atomsymbol]]<br />
[[Kategorie:Chemie]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:FrauSch%C3%BCtze/Workshop2026&diff=151355Benutzer:FrauSchütze/Workshop20262026-03-22T21:08:38Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><br />
== Ergebnisse ==<br />
<br />
* Mandy und Sabine haben die Seiten [[Religion]], [[Islam]] und [[Christentum]] sortiert und neu strukturiert<br />
* Seite [[Hinduismus]] erstellt und gefüllt<br />
* Seite [[Tierbeschreibung|Tierbeschreibungen]]<br />
* Verschiebung aller Seiten aus dem Benutzernamensraum von [[Benutzerin:Sabine Häcker]] in den Hauptnamensraum, Kategorien ergänzt<br />
* Seite [[Philosophinnen]] angelegt, kann nun gefüllt werden<br />
* Seite/Kategorie [[Arbeitslehre]] angelegt und Inhalte hinzugefügt<br />
*<br />
*<br />
*<br />
<br />
== nächste Projekte ==<br />
<br />
* Mandy: Seite Buddhismus anlegen und füllen<br />
* Mandy: Seite [[Philosophinnen]] füllen<br />
* Sabine: Meine Sprachbildungsmaterialien mit ''ZUM Deutsch lernen'' verbinden; Seminarmaterial zum Thema ''Texte für den Fachunterricht differenzieren''<br />
*<br />
<br />
== Organisatorisches ==<br />
* Wann? 21./22.März 2026, Anreise ab Freitagnachmittag möglich<br />
* Wo? [https://www.kolping-mainfranken.de/partner/kolpinghaus-wuerzburg Kolping-Haus Würzburg]<br />
* Wer? <br />
** [[Benutzerin:Sabine Häcker]]<br />
** [[Benutzer:Ukalina]]<br />
** [[Benutzer:M.Nethe]]<br />
** [[Benutzer:HerrTRN]]<br />
** [[Benutzer:Maria Eirich]]<br />
** [[Benutzer:Christian]]<br />
** [[Benutzer:FrauSchütze]]<br />
* Was? selbstständiges Arbeiten an Inhalten, Kennenlernen, Austausch, Probleme identifizieren, die für die eigene Arbeit relevant sind - Lösungen gemeinsam mit dem Technikteam suchen, Ideensammlung, was getan werden sollte:<br />
** Seite [[Religion]] und [[Islam]] sortieren und neu strukturieren<br />
** Seite [[Hinduismus]] erstellt und mit vorhandenen H5P gefüllt<br />
** auf [[Benutzer:Mareike Drinhaus/Alltagsvorbereitung]] schauen - Klarnamenverwendung, Einbindung als pdf und powerpoint, Kategorie/ Fach vergeben?<br />
**Philosophinnen - Seite anlegen, bestehende Inhalte einpflegen, neue planen (Mandy)<br />
**ipadführerschein (Melanie)<br />
**Umzug altes Projektwiki —> neues Projektwiki (Maria)<br />
**Fragen zum Einstieg<br />
<br />
== Inhaltliches ==<br />
<br />
====== Fragen von Reiner ======<br />
<br />
# ❓direkt zugriff auf zum-apps (suche apps zum thema)<br />
# ❓verlinkung auf zum-apps<br />
## im Fußbereich (generisch)<br />
## als Link auf den Fachportalseiten in eine Suchergebnisseite auf zum-apps<br />
## Idee(Christian): als <br />
<br />
====== Fragen von Maria ======<br />
<br />
# Projektwiki und ZUM-Unterrichten verweben<br />
## ❗️☹️Idee: DPL in zum unterrichten findet via interwiki auch seiten im projekte wiki<br />
### ☹️ geht nicht<br />
## ❗️❓Idee: Seiten die per interwiki links auf das projekte wiki verzweigt<br />
### diese seiten vom bot befüllt aufgrund von kategorien<br />
<br />
======Fragen von Ulrich Kalina (ukalina)======<br />
<br />
# ✅🪳Probleme mit Seiten, die Mathe (LaTeX) enthalten: <br />
## Muss ich mich jedesmal abmelden, um die gerenderte 2D-Mathedarstellung zu sehen?<br />
## Warum funktioniert das Rendern von Mathe nur am Seitenanfang - ist aber ok nach Abmeldung<br />
## Lösung: Benutzereinstellung: Mathematische Formeln -> Latex Quelltext erzeugt Ladeprobleme<br />
# ❓❓Kategorien<br />
## Gibt es Regeln? z.B. gibt es die Kategorie quadratische Funktion, Quadratische Funktionen, Lernpfad Quadratisch<br />
## Moderation?<br />
## Qualitätskontrolle?<br />
## Taxonomien, Vereinheitlichen, Klären nachziehen<br />
# ❗️Sollen alle Lernschritte in einem Lernpfad kategorisiert werden oder nur die Startseite?<br />
## nein, der lernschritt nicht, nur der Einstieg<br />
## Problem: Pflege<br />
# ❗️Wie umgehen mit schon vorhandene Seiten mit gleichem Titel ("Quadratische Funktionen")?<br />
## Vorschlag Rezept: Übersichtsseiten anlegen und vorherige Seite verschieben<br />
## Vorschlag Regelung: Möglichst nicht mit Unterseiten im Titel arbeiten. (äußer bei zusammenhängend Einheiten z.B. Lernpfade); keine Thematischen/Strukturellen Oberseiten<br />
# ❓GeoGebra<br />
## Wie bindet man am besten GeoGebra-Applets ein? Anmeldung bei GeoGebra erforderlich? [[Hilfe:Medien einbinden]] - hier ist Geogebra dabei (runter scrollen), passt das?<br />
# ❓Account gesperrt: Ich wurde mehrfach gesperrt, weil "meine IP" von anderem Benutzer ("Religion9fd") verwendet wurde. Was ist der Hintergrund und was kann ich tun?<br />
# ❓Boxen: Box-Überschriften werden von SR nicht als solche erkannt. Daher keine gute Navigation. Notlösung <br />
## 1. Aufgabe (Üben) - Torbogen(siehe QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen)<br />
## Andere Boxen (z.B. Aufgabe mit Ziel Erkundung vs. Aufgabe mit Ziel Übung)<br />
# 🪳Captcha-Elemente sind nicht zugänglich, da ausschließlich visuell nachvollziehbar<br />
# ✅🪳KHC, stielt fokus beim Seitenbetreten<br />
## KHC Maschinensprache erste Schritte Teil 1<br />
## Problemursache: Seite lädt -> init -> loadProgramm -> neustart: neustart fokussiert immer. Sollte es nur tun nach interaktion, sprich fokusverhalten muss anders kontrolliert werden nicht an neustart geknüpft, sondern an interaktion.<br />
# main/nav im Mediawiki Template<br />
# ❓Wiki und H5P-Module (z.B. Vokabeltest): Ist es möglich, Textteile beispielsweise als "englisch" oder "spanisch" auszuzeichnen, so dass ein Screenreader dies erkennt und die Aussprache entsprechend umschaltet (analog zu HTML mit Attribut lang="en")?<br />
# 🟧Lernpfadvorlage erweitern<br />
## Lernschritt/Vorspann<br />
### nutzung am seitenanfang<br />
### Fortsetzungsnavigation<br />
### Platz für einführungstext/Übersicht<br />
## LernpfadNeu<br />
### autorenbox viel kleinere variante<br />
# ✅🪳LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
## Bild ist an falscher Stelle (uk-align-right css klasse ist nicht mehr existent)<br />
# 🪳LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
## Weiter Navigation ist nicht ganz korrekt siehe Lernpfad Quadratische Funktion, der weiter link ist IMMER der QF Anhang, statt der korrekten nächsten Seite. In der Navigation stimmt die Reihenfolge allerdings.</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Widget:KnowHowComputer&diff=151354Widget:KnowHowComputer2026-03-22T21:05:30Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><noinclude>{{#tag:pre|{{msgnw:Widget:KnowHowComputer}}}}</noinclude><includeonly><script type="text/JavaScript"><br />
<br />
(function () {<br />
const STYLESHEET_HREFS = Array.from(document.styleSheets).filter(cssss => cssss.href).map(cssss => cssss.href);<br />
if (!customElements.get('know-how-computer')) {<br />
<br />
// Define the KnowHowComputer Web Component<br />
class KnowHowComputerElement extends HTMLElement {<br />
static observedAttributes = ['no-help', 'memory-size'];<br />
<br />
/**<br />
* @typedef {object} MemoryConfiguration<br />
* @property {string} name<br />
* @property {Record<int,string>} program<br />
*/<br />
<br />
/** @type {MemoryConfiguration[]} */<br />
#memoryConfigurations = [];<br />
<br />
/** @type {?MutationObserver} */<br />
#observer;<br />
/** @type {int} */<br />
#selectedMemory;<br />
<br />
constructor() {<br />
super();<br />
this.attachShadow({mode: 'open'});<br />
// Add the HTML template and styles to the shadow DOM<br />
this.shadowRoot.innerHTML = `<style><br />
<br />
<br />
:host {<br />
display: block;<br />
margin-block: 1rem;<br />
}<br />
<br />
* {<br />
box-sizing: border-box;<br />
}<br />
<br />
.no-help .khc-help {<br />
display: none;<br />
}<br />
<br />
:host > section {<br />
display: flex;<br />
flex-direction: column;<br />
gap: 1rem;<br />
}<br />
<br />
.mw-ui-button.khc-help {<br />
min-height: auto;<br />
min-width: auto;<br />
aspect-ratio: 1;<br />
margin-inline-start: auto;<br />
}<br />
<br />
#memory-selector:not(:has(> button)) {<br />
display: none;<br />
}<br />
<br />
#speicheranzeigefeld {<br />
overflow-y: scroll;<br />
overflow-block: scroll;<br />
}<br />
<br />
code {<br />
font-weight: bolder;<br />
}<br />
<br />
label {<br />
font-weight: bold;<br />
}<br />
<br />
.steueritem {<br />
display: flex;<br />
justify-content: space-between;<br />
gap: 0.5rem;<br />
<br />
> input {<br />
max-height: 2rem;<br />
}<br />
}<br />
<br />
figure {<br />
<br />
grid-area: main;<br />
display: flex;<br />
flex-direction: column;<br />
margin: 0;<br />
<br />
fieldset {<br />
display: flex;<br />
flex-direction: column;<br />
gap: 0.5rem;<br />
}<br />
}<br />
<br />
dialog#hilfe[open] {<br />
display: flex;<br />
<br />
}<br />
<br />
dialog#hilfe {<br />
flex-direction: column;<br />
<br />
form {<br />
margin-block-start: 0.5rem;<br />
margin-inline-start: auto;<br />
}<br />
}<br />
<br />
details {<br />
font-size: 0.95rem;<br />
}<br />
<br />
details, details > summary {<br />
display: revert;<br />
}<br />
<br />
details > summary {<br />
font-weight: bolder;<br />
font-size: 1.15rem;<br />
}<br />
<br />
@media (max-width: 600px) {<br />
:host > div {<br />
display: flex;<br />
flex-direction: column;<br />
grid-template-areas: "title" "nav" "main" "side";<br />
}<br />
}<br />
</style><br />
<br />
<section><br />
<div class="steueritem"><br />
<button class="mw-ui-button"<br />
type="button"<br />
id="neustartschalter"<br />
aria-describedby="descr-neustartschalter"<br />
aria-details="details-neustartschalter">Neustart&thinsp;<kbd>F8</kbd></button><br />
<button class="mw-ui-button"<br />
type="button"<br />
id="ausfuehrenschalter"<br />
aria-describedby="descr-ausfuehrenschalter"<br />
aria-details="details-ausfuehrenschalter">Ausf&uuml;hren&thinsp;<kbd>F9</kbd></button><br />
<button class="mw-ui-button khc-help"<br />
type="button"<br />
id="hilfeschalter"<br />
title="Hilfe">ℹ︎<br />
</button><br />
</div><br />
<figure aria-describedby="details-khc"><br />
<label for="programmzaehleranzeigefeld">Programmz&auml;hler</label><br />
<input type="text"<br />
id="programmzaehleranzeigefeld"<br />
aria-describedby="descr-programmzaehleranzeigefeld"<br />
aria-details="details-programmzaehleranzeigefeld"<br />
readonly<br />
disabled/><br />
<br />
<label for="speicheranzeigefeld">Hauptspeicher</label><br />
<textarea id="speicheranzeigefeld"<br />
aria-describedby="descr-speicheranzeigefeld"<br />
aria-details="details-speicheranzeigefeld"><br />
</textarea><br />
<fieldset id="memory-selector"><br />
<legend>Speicherkonfiguration laden:</legend><br />
</fieldset><br />
</figure><br />
<br />
<dialog id="hilfe" class="oo-ui-window-frame"><br />
<details open><br />
<summary><span is="h2">Bedeutung der KHC Befehle</span></summary><br />
<dl><br />
<dt><code>inc&nbsp;x</code></dt><br />
<dd>Erh&ouml;he den Wert in Zelle x um 1 <br/><br />
und erh&ouml;he den Programmz&auml;hler um 1<br />
</dd><br />
<dt><code>dec&nbsp;x</code></dt><br />
<dd>Verringere den Wert in Zelle x um 1 <br/><br />
und erh&ouml;he den Programmz&auml;hler um 1<br />
</dd><br />
<dt><code> isz&nbsp;x</code></dt><br />
<dd>Wenn Zelle x den Wert 0 (<span lang="en">zero</span>) enth&auml;lt,<br/><br />
dann erh&ouml;he den Programmz&auml;hler um 2,<br/><br />
sonst erh&ouml;he den Programmz&auml;hler um 1<br />
</dd><br />
<dt><code>jmp&nbsp;x</code></dt><br />
<dd>Setze den Programmz&auml;hler auf den Wert x</dd><br />
<dt><code>stp&nbsp;&nbsp;</code></dt><br />
<dd>Beende das Programm</dd><br />
</dl><br />
</details><br />
<details><br />
<summary>&Uuml;ber den Know-How-Computer</summary><br />
<p>Die Idee zum Know-How-Computer wurde im Jahr 1983 von Wolfgang Back (WDR) und Ulrich Rohde (PC-Magazin)<br />
entwickelt. Ver&ouml;ffentlicht wurde das Konzept des KHC u.a. in den Computerzeitschriften MC und<br />
PC-Magazin. Weitere Informationen findet man auf <a<br />
href="https://de.wikipedia.org/wiki/Know-how-Computer"<br />
target="_blank">de.wikipedia.org/wiki/Know-how-Computer</a><br />
</p><br />
<p>Eine leicht abgewandelte Form des Know-How-Computers ist der so genannte Murmelrechner, der auf der Seite<br />
<a<br />
href="https://www.inf-schule.de/rechner/bonsai/murmelrechner" target="_blank"><br />
www.inf-schule.de/rechner/bonsai/murmelrechner</a> vorgestellt wird.<br />
</p><br />
<p>Diese JavaScript-Implementierung des Know-How-Computers ist auch f&uuml;r Menschen mit Seheinschr&auml;nkungen<br />
barrierefrei zugänglich. Sie wurde 2025 von Ulrich Kalina erstellt.<br />
</p><br />
</details><br />
<details id="details-khc"><br />
<summary>Kurzanleitung zu dieser JavaScript Implementierung des KHC</summary><br />
<p>Die Bedienoberfl&auml;che des KHC besteht in dieser Implementierung aus folgenden f&uuml;nf<br />
Elementen, die mit TAB bzw. UMSCHALT+TAB fokussiert (angew&auml;hlt) werden k&ouml;nnen.</p><br />
<h3 id="descr-speicheranzeigefeld">Mehrzeiliges Textfeld Hauptspeicher</h3><br />
<p id="details-speicheranzeigefeld">bildet den Hauptspeicher des Know-How-Computers ab. Jede Zeile des<br />
Textfeldes enth&auml;lt<br />
die<br />
Nummer (Adresse) einer Speicherzelle und deren Inhalt. Dabei geh&ouml;rt die Adresse (Zahl vor dem<br />
Doppelpunkt) selbst nicht zum Inhalt der Speicherzelle, sondern dient lediglich ihrer eindeutigen<br />
Bezeichnung. Die Zelleninhalte (hinter dem Doppelpunkt) k&ouml;nnen entweder KHC-Befehle oder Daten<br />
(Zahlenwerte von 0 bis 99) sein.<br><br />
Der gesamte Inhalt des Textfeldes kann &uuml;ber Tastatureingaben ver&auml;ndert werden. Dabei muss<br />
in jeder<br />
Zeile die Abfolge Adresse, Doppelpunkt, Befehl oder Datenwert eingehalten werden. Da es sich um ein<br />
normales<br />
Textfeld handelt, kann sein gesamter Inhalt, also ein ganzes KHC-Programm einfach durch Kopieren und<br />
Einf&uuml;gen<br />
("Drag and Drop") aus einem Texteditor in den KHC-Speicher importiert oder umgekehrt in einen Editor<br />
exportiert und in einer Textdatei gespeichert werden.<br>Der importierte Programmtext darf<br />
Kommentare<br />
enthalten. Diese beginnen mit einem Semikolon ; und reichen bis zum Zeilenende. Die Kommentare<br />
werden<br />
automatisch entfernt, wenn der Fokus das mehrzeilige Textfeld verl&auml;sst.<br><br />
Wenn in diesem Textfeld Programmzeilen ver&auml;ndert wurden, sollte vor der n&auml;chsten<br />
Programmausf&uuml;hrung<br />
ein Neustart mit dem Neustart-Schalter (F8) durchgef&uuml;hrt werden.<br />
</p><br />
<h3 id="descr-programmzaehleranzeigefeld">Einzeiliges Textfeld Programmz&auml;hler</h3><br />
<p id="details-programmzaehleranzeigefeld">enth&auml;lt eine Kombination aus Programmz&auml;hler und<br />
Befehlsregister. Im<br />
Befehlsregister<br />
(hinter dem Doppelpunkt) steht immer der aktuelle Befehl, der im n&auml;chsten Schritt ausgef&uuml;hrt<br />
werden soll. Der Programmz&auml;hler (vor dem Doppelpunkt) gibt die Adresse der Speicherzelle an,<br />
von der<br />
dieser Befehl ins Befehlsregister geladen wurde.<br />
</p><br />
<h3 id="descr-neustartschalter">Neustart-Schalter <kbd>F8</kbd></h3><br />
<p id="details-neustartschalter">setzt den Programmz&auml;hler auf den Wert 1 zur&uuml;ck und l&auml;dt<br />
den Befehl aus<br />
der Zelle<br />
1 des Hauptspeichers in das Befehlsregister. Der Inhalt des Hauptspeichers wird durch einen Neustart<br />
nicht<br />
ver&auml;ndert. Der Neustart-Schalter kann auch mit der F8-Taste aktiviert werden.<br />
</p><br />
<h3 id="descr-ausfuehrenschalter">Ausf&uuml;hren-Schalter <kbd>F9</kbd></h3><br />
<p id="details-ausfuehrenschalter">f&uuml;hrt den aktuellen Befehl im Befehlsregisters aus und l&auml;dt<br />
anschlie&szlig;end<br />
den n&auml;chsten<br />
Befehl aus dem Hauptspeicher dorthin. Der Ausf&uuml;hren-Schalter kann auch mit der F9-Taste<br />
aktiviert<br />
werden.<br />
</p><br />
</details><br />
<form method="dialog"><br />
<button autofocus>Hilfe schlie&szlig;en</button><br />
</form><br />
</dialog><br />
</section>`;<br />
<br />
STYLESHEET_HREFS.map(function (href) {<br />
const styleElem = document.createElement("link");<br />
styleElem.setAttribute("href", href);<br />
styleElem.setAttribute("rel", "stylesheet");<br />
return styleElem;<br />
}).forEach(linkElem => this.shadowRoot.prepend(linkElem));<br />
<br />
this.shadowRoot.getElementById("hilfeschalter").addEventListener("click", (event) => {<br />
<br />
const dialog = this.shadowRoot.getElementById("hilfe");<br />
if (dialog instanceof HTMLDialogElement) {<br />
if (dialog.open) {<br />
dialog.close();<br />
} else {<br />
dialog.show();<br />
}<br />
}<br />
});<br />
// Create the KnowHowComputer instance<br />
this.khc = new KnowHowComputer(this.shadowRoot, {});<br />
}<br />
<br />
refreshMemoryConfigurations() {<br />
this.#memoryConfigurations = [<br />
...this.parseMemoryElements()<br />
];<br />
this.refreshMemorySelector(this.#memoryConfigurations);<br />
if (!this.#selectedMemory) {<br />
if (this.khc && this.#memoryConfigurations[0]<br />
) {<br />
this.khc.loadProgram(this.#memoryConfigurations[0].program);<br />
}<br />
}<br />
}<br />
<br />
refreshHelp() {<br />
this.shadowRoot.querySelector(':host > *')<br />
.classList<br />
.toggle('no-help', this.hasAttribute('no-help'));<br />
}<br />
<br />
refreshKhcConfiguration() {<br />
let memSize;<br />
<br />
if (this.hasAttribute('memory-size')) {<br />
memSize = Number.parseInt(this.getAttribute('memory-size'), 10);<br />
}<br />
<br />
if (!Number.isFinite(memSize) || !Number.isSafeInteger(memSize)) {<br />
memSize = 15;<br />
}<br />
this.khc.setMemorySize(Math.max(memSize, 1));<br />
}<br />
<br />
// noinspection JSUnusedGlobalSymbols<br />
attributeChangedCallback(_name, _oldValue, _newValue) {<br />
this.refreshHelp()<br />
this.refreshKhcConfiguration()<br />
}<br />
<br />
// Lifecycle callbacks<br />
// noinspection JSUnusedGlobalSymbols<br />
connectedCallback() {<br />
// Component is now in the DOM<br />
<br />
// Parse khc-memory child elements<br />
this.refreshMemoryConfigurations();<br />
this.#observer = new MutationObserver(_ => {<br />
this.refreshMemoryConfigurations();<br />
});<br />
this.#observer.observe(this, {childList: true});<br />
<br />
<br />
// Add event listener for memory selector<br />
const memorySelector = this.shadowRoot.getElementById('memory-selector');<br />
memorySelector.addEventListener('click', (e) => {<br />
const selectedValue = e.target.value;<br />
// Load program from khc-memory elements<br />
const index = parseInt(selectedValue);<br />
if (index >= 0 && index < this.#memoryConfigurations.length) {<br />
this.#selectedMemory = index;<br />
this.loadMemoryConfiguration(this.#memoryConfigurations[index]);<br />
}<br />
e.preventDefault();<br />
});<br />
<br />
this.refreshMemoryConfigurations();<br />
this.refreshHelp();<br />
this.refreshKhcConfiguration();<br />
}<br />
<br />
// noinspection JSUnusedGlobalSymbols<br />
disconnectedCallback() {<br />
// Component is removed from the DOM<br />
// Clean up any event listeners if needed<br />
this.#observer?.disconnect();<br />
}<br />
<br />
// Parse khc-memory child elements<br />
parseMemoryElements() {<br />
// Use Array.from to convert HTMLCollection to Array<br />
return Array.from(this.querySelectorAll('khc-memory'))<br />
.map((element, idx) => {<br />
const programText = element.textContent.trim();<br />
const [name, program] = this.parseProgram(programText);<br />
<br />
return {<br />
name: name ?? `Program ${idx + 1}`,<br />
program: program<br />
};<br />
});<br />
}<br />
<br />
// Parse program text into a program object<br />
parseProgram(programText) {<br />
const lines = programText.split('\n')<br />
.map(line => line.trim())<br />
.filter(line => line !== '');<br />
<br />
let name =<br />
lines.slice(0, 1)<br />
.filter(l => l.startsWith('#'))<br />
.map(l => l.replace(/^#*/, ''))<br />
.map(l => l.trim())<br />
.find(l => l !== '') ?? null;<br />
<br />
return [<br />
name,<br />
Object.fromEntries(<br />
lines<br />
.filter(l => !l.startsWith('#')) // filter out comments<br />
.map(l => l.split(':', 2).map(s => s.trim())) // split and trim parts<br />
.filter(([address, instruction]) => (address && instruction))) // filter incomplete lines;<br />
];<br />
}<br />
<br />
// Populate memory selector dropdown<br />
refreshMemorySelector(memoryConfigurations) {<br />
const memorySelector = this.shadowRoot.getElementById('memory-selector');<br />
memorySelector.querySelectorAll('button').forEach(button => memorySelector.removeChild(button));<br />
// Add options for each memory configuration<br />
memoryConfigurations.forEach((config, index) => {<br />
const button = document.createElement('button');<br />
button.value = (index).toString();<br />
button.textContent = config.name;<br />
button.type = 'button';<br />
button.classList.add('mw-ui-button');<br />
memorySelector.appendChild(button);<br />
});<br />
}<br />
<br />
// Load memory configuration<br />
loadMemoryConfiguration(config) {<br />
if (this.khc) {<br />
this.khc.loadProgram(config.program, true);<br />
}<br />
}<br />
}<br />
<br />
// KnowHowComputer class that handles the emulator logic<br />
class KnowHowComputer {<br />
constructor(containerNode) {<br />
// Store the container node<br />
this.container = containerNode;<br />
<br />
// Configuration variables<br />
this.speicheranzahl = 15; // Standardwert ist 15 für Adr. 1-15, kann aber geändert werden. Adr. 0 wird nicht benutzt<br />
this.maxwert = 99;<br />
this.spaltenanzahlinspeicheranzeigefeld = 10;<br />
this.zeilenanzahlinspeicheranzeigefeld = this.speicheranzahl; // kann auch abweichend von speicheranzahl gewählt werden<br />
<br />
// State variables<br />
/** @type {string[]} */<br />
this.mem = this.getMemForProgramm({}, this.speicheranzahl);<br />
this.pz = 1; // Programmzähler<br />
this.br = ""; // Befehlsregister<br />
<br />
// Constants and utility variables<br />
this.ziffern = new Set("0123456789".split(''));<br />
this.lueckenzeichen = new Set(" \r\n\t".split(''));<br />
this.doppelpunkt = new Set(":".split(''));<br />
this.kommentarzeichen = new Set(":".split(''));<br />
this.khcbefehle = new Set(["isz", "jmp", "inc", "dec", "stp"]);<br />
this.khcbuchstaben = new Set(this.khcbefehle.values().flatMap(s => s.split('')));<br />
<br />
<br />
// Lexer/parser state<br />
/** @type {string[]} */<br />
this.symtypen = [];<br />
/** @type {string[]} */<br />
this.symwerte = [];<br />
this.symindex = -1;<br />
<br />
// Error messages<br />
this.fehlermeldungen = [];<br />
this.fehlermeldungen[0] = "Keinen Fehler gefunden";<br />
this.fehlermeldungen[1] = "Unerlaubtes Zeichen";<br />
this.fehlermeldungen[2] = "Zahl erwartet";<br />
this.fehlermeldungen[3] = "Adresse nicht im gültigen Bereich";<br />
this.fehlermeldungen[4] = "Wert nicht im gültigen Bereich";<br />
this.fehlermeldungen[5] = "Ungültiger Befehl";<br />
this.fehlermeldungen[6] = "Syntaxfehler: Doppelpunkt erwartet";<br />
this.fehlermeldungen[7] = "Syntaxfehler: Zahl oder Befehl erwartet";<br />
this.fehlermeldungen[8] = "Syntaxfehler: stp ohne Operandenadresse ";<br />
this.fehlermeldungen[9] = "Syntaxfehler: Operandenadresse erwartet";<br />
this.fehlermeldungen[10] = "Laufzeitfehler: Kein ausführbarer Befehl";<br />
this.fehlermeldungen[11] = "Laufzeitfehler: Operand würde zu klein";<br />
this.fehlermeldungen[12] = "Laufzeitfehler: Operand würde zu groß";<br />
<br />
// Initialize the emulator<br />
this.init();<br />
}<br />
<br />
// Helper methods<br />
meldung(index) {<br />
alert(this.fehlermeldungen[index]);<br />
}<br />
<br />
stringmitleerzeichenauffuellen(str, bislaenge) { // neu 24.01.2024<br />
return str.trimEnd().padEnd(bislaenge);<br />
}<br />
<br />
rechtsbuendig(s) {<br />
return String(s).trimStart().padStart(2)<br />
}<br />
<br />
zahltrimmen(zahlstr, min, max) {<br />
let test = parseInt(zahlstr);<br />
if (isNaN(test)) {<br />
test = min;<br />
} else {<br />
if (test < min) {<br />
test = min;<br />
this.meldung(11);<br />
}<br />
if (test > max) {<br />
test = max;<br />
this.meldung(12);<br />
}<br />
}<br />
return test;<br />
}<br />
<br />
arrayleeren(a) {<br />
a.splice(0)<br />
return a;<br />
}<br />
<br />
// Lexer and parser<br />
khclexer(eingabe) {<br />
let z; // einzelnes Zeichen aus eingabe<br />
let i;<br />
this.symtypen = this.arrayleeren(this.symtypen);<br />
this.symwerte = this.arrayleeren(this.symwerte);<br />
this.symindex = -1;<br />
<br />
let symwert = "";<br />
let symtyp = "l"; // z =zahl, b =buchstabenkette, l =luecke, : =doppelpunkt<br />
eingabe = " " + eingabe + " ";<br />
let ztyp = "l";<br />
for (i = 0; i < eingabe.length; i++) {<br />
z = eingabe.charAt(i);<br />
if (this.lueckenzeichen.has(z)) ztyp = "l"; // z ist ein Lückenzeichen<br />
else if (this.ziffern.has(z)) ztyp = "z"; // z ist eine Ziffer<br />
else if (this.doppelpunkt.has(z)) ztyp = ":"; // z ist ein Doppelpunkt<br />
else if (this.khcbuchstaben.has(z)) ztyp = "b"; // z kommt in einem der KHC-Befehle vor<br />
else if (this.kommentarzeichen.has(z)) ztyp = ";"; // z ist Kommentarzeichen<br />
else return false;<br />
<br />
if (symtyp === ztyp) { // aktueller symtyp stimmt mit dem ztyp des gerade gelesenen Zeichens z überein<br />
symwert = symwert + z;<br />
} else { // neues Symbol:<br />
if (symtyp !== "l") { // bisheriges Symbol in Arrays speichern<br />
this.symindex++;<br />
this.symwerte[this.symindex] = symwert;<br />
this.symtypen[this.symindex] = symtyp;<br />
}<br />
if (ztyp !== ";") {<br />
symtyp = ztyp; // Anfang des neuen Symbols in sym-Vars speichern<br />
symwert = z;<br />
} else { // Kommentarzeichen, also aufhören:<br />
return true;<br />
}<br />
}<br />
}<br />
return true;<br />
}<br />
<br />
istkhcbefehl(s) {<br />
return this.khcbefehle.has(s);<br />
}<br />
<br />
istgueltigezahl(zahlstr, min, max) {<br />
let ok = true;<br />
const test = parseInt(zahlstr);<br />
if (isNaN(test)) ok = false;<br />
else {<br />
if (test < min || test > max) ok = false;<br />
}<br />
return ok;<br />
}<br />
<br />
khcparser(zeile) {<br />
// Rückgabewert: fehlerindex<br />
const ok = this.khclexer(zeile);<br />
if (this.symwerte.join("").length === 0) return -1; // Leerzeile liefert keine Fehlermeldung<br />
if (!ok) return 1; // "Unerlaubtes Zeichen"<br />
if (this.symtypen[0] !== "z") return 2; // "Syntaxfehler - Zahl erwartet"<br />
if (!this.istgueltigezahl(this.symwerte[0], 1, this.speicheranzahl)) return 3; // "Adresse nicht im gültigen Bereich"<br />
if (this.symtypen[1] !== ":") return 6; // "Syntaxfehler - Doppelpunkt erwartet"<br />
if (this.symtypen[2] !== "z" && this.symtypen[2] !== "b") return 7; // "Syntaxfehler - Zahl oder Befehl erwartet"<br />
if (this.symtypen[2] === "z") {<br />
if (!this.istgueltigezahl(this.symwerte[2], 0, this.maxwert)) return 4; // "Wert nicht im gültigen Bereich"<br />
}<br />
if (this.symtypen[2] === "b") {<br />
if (!this.istkhcbefehl(this.symwerte[2])) return 5; // "Ungültiger Befehl"<br />
if (this.symwerte[2] === "stp" && this.symtypen.length > 3) return 8; // "Syntaxfehler"<br />
if (this.symwerte[2] !== "stp") {<br />
if (this.symtypen[3] !== "z") return 9; // "Syntaxfehler"<br />
if (!this.istgueltigezahl(this.symwerte[3], 1, this.speicheranzahl)) return 3; // "Adresse nicht im gültigen Bereich"<br />
}<br />
}<br />
return 0; // keinen Fehler gefunden<br />
}<br />
<br />
// Initialization and control<br />
init() {<br />
<br />
this.loadProgram({});<br />
<br />
// Set up event listeners<br />
this.setupEventListeners();<br />
}<br />
<br />
setupEventListeners() {<br />
const self = this;<br />
<br />
this.container.getElementById('ausfuehrenschalter').addEventListener('click', function () {<br />
self.befehlausfuehren();<br />
});<br />
<br />
this.container.getElementById('neustartschalter').addEventListener('click', function () {<br />
self.neustart();<br />
});<br />
<br />
this.container.getElementById('speicheranzeigefeld').addEventListener('change', function () {<br />
self.speicherfeldanzeigeinspeicheruebernehmen();<br />
self.neustart();<br />
});<br />
<br />
this.container.getElementById('speicheranzeigefeld').addEventListener('focus', function () {<br />
self.zeileinspeicheranzeigefeldmarkieren(self.pz);<br />
});<br />
<br />
this.container.addEventListener('keydown', function (event) {<br />
if (event.keyCode === 120) { // F9<br />
self.registeranzeigefeldaktualisieren();<br />
self.befehlausfuehren();<br />
} else if (event.keyCode === 119) { // F8<br />
self.speicherfeldanzeigeinspeicheruebernehmen();<br />
self.neustart(); // 24.01.2024<br />
}<br />
});<br />
}<br />
<br />
loadProgram(program, shouldFocus = false) {<br />
this.mem = this.getMemForProgramm(program ?? {}, this.speicheranzahl);<br />
// Restart the emulator<br />
this.neustart(shouldFocus);<br />
}<br />
<br />
// Load a program from a program object<br />
getMemForProgramm(program, speicheranzahl) {<br />
const newMem = new Array(speicheranzahl + 1);//expected size<br />
newMem.fill(undefined);<br />
<br />
// Load program into memory<br />
for (const [address, instruction] of Object.entries(program)) {<br />
if (parseInt(address) >= 1 && parseInt(address)) {<br />
newMem[address] = instruction;<br />
}<br />
}<br />
// fill all empty memory cells with 0<br />
newMem.forEach((val, idx, self) => {<br />
if (val === undefined) {<br />
self[idx] = '0';<br />
}<br />
});<br />
return newMem;<br />
}<br />
<br />
neustart(shouldFocus = true) {<br />
this.pz = 1; // Programmzähler<br />
this.br = this.mem[this.pz]; // Befehlsregister<br />
this.anzeigeaktualisieren();<br />
if (shouldFocus) {<br />
this.container.getElementById("speicheranzeigefeld").focus();<br />
}<br />
}<br />
<br />
registeranzeigefeldaktualisieren() {<br />
this.container.getElementById("programmzaehleranzeigefeld").value = this.rechtsbuendig(this.pz) + ": " + this.stringmitleerzeichenauffuellen(this.mem[this.pz], this.spaltenanzahlinspeicheranzeigefeld - 3);<br />
}<br />
<br />
anzeigeaktualisieren() {<br />
// Anzeige des gesamten Speichers aktualisieren:<br />
/**@type HTMLTextAreaElement */<br />
const speicheranzeigefeld = this.container.getElementById("speicheranzeigefeld");<br />
speicheranzeigefeld.value = this.mem.slice(1).map((speicher, idx) => this.rechtsbuendig(idx + 1) + ": " + speicher).join('\n');<br />
<br />
/**@type HTMLInputElement */<br />
const registeranzeigefeld = this.container.getElementById("programmzaehleranzeigefeld");<br />
<br />
speicheranzeigefeld.rows = this.mem.length - 1<br />
speicheranzeigefeld.cols = this.spaltenanzahlinspeicheranzeigefeld;<br />
registeranzeigefeld.size = this.spaltenanzahlinspeicheranzeigefeld;<br />
<br />
this.registeranzeigefeldaktualisieren();<br />
this.zeileinspeicheranzeigefeldmarkieren(this.pz);<br />
}<br />
<br />
befehlausfuehren() {<br />
let fehlerindex = 0;<br />
this.speicherfeldanzeigeinspeicheruebernehmen();<br />
console.log("mem[pz] = " + this.mem[this.pz]);<br />
this.br = this.mem[this.pz];<br />
<br />
const z = parseInt(this.br);<br />
console.log("Start befehlausfuehren mit z = parseint(br): " + z);<br />
console.log("in befehlausfuehren vor Test: pz = " + this.pz + " br = " + this.br);<br />
<br />
// Test: Ist Inhalt von br nur eine ganze Zahl, also ein Operand? Dann keine Ausführung möglich ...<br />
if (!isNaN(z)) {<br />
fehlerindex = 10;<br />
this.meldung(fehlerindex);<br />
} else {<br />
// sonst gehen wir von einem Befehl aus:<br />
const befehlscode = this.br.substr(0, 3).toLowerCase();<br />
// Bei stp ist keine Adresse erforderlich und es wird auch nichts gemacht:<br />
if (befehlscode === "stp") return 0;<br />
// sonst muss eine ganze Zahl als Adresse folgen:<br />
var adresse = parseInt(this.br.substr(4)); // ab Pos. 4 bis zum Ende ausschneiden<br />
if (isNaN(adresse)) return 2;<br />
this.pz = parseInt(this.pz);<br />
switch (befehlscode) {<br />
case "jmp":<br />
this.pz = adresse;<br />
break;<br />
case "isz":<br />
if (this.isZero(this.mem[adresse])) this.pz = this.pz + 2; else this.pz = this.pz + 1;<br />
break;<br />
case "inc":<br />
let wert = this.mem[adresse];<br />
wert = parseInt(wert) + 1;<br />
wert = this.zahltrimmen(wert, 0, this.maxwert);<br />
this.mem[adresse] = String(wert);<br />
this.pz = this.pz + 1;<br />
break;<br />
case "dec":<br />
let wert2 = this.mem[adresse];<br />
wert2 = parseInt(wert2) - 1;<br />
wert2 = this.zahltrimmen(wert2, 0, this.maxwert);<br />
this.mem[adresse] = String(wert2);<br />
this.pz = this.pz + 1;<br />
break;<br />
default:<br />
fehlerindex = 3;<br />
}<br />
this.pz = this.zahltrimmen(this.pz, 1, this.speicheranzahl);<br />
this.br = this.mem[this.pz];<br />
this.anzeigeaktualisieren();<br />
}<br />
this.container.getElementById("speicheranzeigefeld").focus();<br />
this.zeileinspeicheranzeigefeldmarkieren(this.pz);<br />
return fehlerindex;<br />
}<br />
<br />
isZero(zeile) {<br />
return 0 === parseInt(zeile);<br />
}<br />
<br />
einezeileinspeicheruebernehmen(zeile) {<br />
zeile = zeile.toLowerCase();<br />
const fehlerindex = this.khcparser(zeile);<br />
if (fehlerindex === 0) {<br />
const pz = parseInt(this.symwerte[0]);<br />
let befehlszeile = this.symwerte[2];<br />
if (this.symwerte.length > 3) {<br />
befehlszeile = befehlszeile + " " + this.symwerte[3];<br />
}<br />
this.mem[pz] = befehlszeile;<br />
} else {<br />
if (fehlerindex > 0) { // -1 wäre Leerzeile<br />
alert(this.fehlermeldungen[fehlerindex] + " in\n" + zeile);<br />
}<br />
}<br />
}<br />
<br />
speicherfeldanzeigeinspeicheruebernehmen() {<br />
var zeilen = this.container.getElementById("speicheranzeigefeld").value.split("\n");<br />
for (let i = 0; i < zeilen.length; i++) {<br />
this.einezeileinspeicheruebernehmen(zeilen[i]);<br />
}<br />
this.anzeigeaktualisieren();<br />
}<br />
<br />
setzeMarkierungInTextFeld(domElemSelector, posStart, posEnde) {<br />
const domElem = this.container.querySelector(domElemSelector);<br />
if ('selectionStart' in domElem) {<br />
domElem.selectionStart = posStart;<br />
domElem.selectionEnd = posEnde;<br />
}<br />
}<br />
<br />
zeileinspeicheranzeigefeldmarkieren(pz) {<br />
let pzstring = this.rechtsbuendig(pz) + ": ";<br />
let startpos = this.container.getElementById("speicheranzeigefeld").value.indexOf(pzstring);<br />
let endepos = startpos + this.mem[pz].length + 4;<br />
this.setzeMarkierungInTextFeld("#speicheranzeigefeld", startpos, endepos);<br />
}<br />
<br />
setMemorySize(memSize) {<br />
this.speicheranzahl = memSize;<br />
this.updateMemSize();<br />
}<br />
<br />
updateMemSize() {<br />
const currentProgram = this.mem.reduce((p, v, idx) => {<br />
if (!this.isZero(v)) {<br />
p[idx] = v;<br />
}<br />
return p;<br />
}, {})<br />
this.mem = this.getMemForProgramm(currentProgram, this.speicheranzahl);<br />
this.anzeigeaktualisieren();<br />
}<br />
}<br />
<br />
// Register the custom elements<br />
customElements.define('know-how-computer', KnowHowComputerElement);<br />
}<br />
<br />
<br />
if (!customElements.get('khc-memory')) {<br />
// Define the KhcMemoryElement custom element<br />
class KhcMemoryElement extends HTMLPreElement {<br />
constructor() {<br />
super();<br />
// No need for shadow DOM as this is just a data container<br />
}<br />
<br />
// Lifecycle callbacks<br />
// noinspection JSUnusedGlobalSymbols<br />
connectedCallback() {<br />
// Hide the element by default as it's just a data container<br />
this.style.display = 'none';<br />
}<br />
}<br />
<br />
customElements.define('khc-memory', KhcMemoryElement, {extends: 'pre'});<br />
}<br />
<br />
<br />
// Initialize when the DOM is loaded<br />
document.addEventListener('DOMContentLoaded', function () {<br />
// For MediaWiki gadget, this would be the initialization code<br />
// No need to do anything here as the custom element will initialize itself when added to the DOM<br />
});<br />
})();<br />
<br />
</script><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<know-how-computer <br />
<!--{if $noHelp|validate:'boolean'|default:'false' == 'true'}--><br />
no-help<br />
<!--{/if}--><br />
<!--{if $Speichergroesse|validate:'int'|default:'-1' != '-1'}--><br />
memory-size="<!--{$Speichergroesse|escape:'htmlall'}-->"<br />
<!--{/if}--><br />
><br />
<!--{if $Speicherkonfiguration1|default:'' != ''}--><br />
<khc-memory><!--{$Speicherkonfiguration1|escape:'htmlall'}--></khc-memory><br />
<!--{/if}--><br />
<!--{if $Speicherkonfiguration2|default:'' != ''}--><br />
<khc-memory><!--{$Speicherkonfiguration2|escape:'htmlall'}--></khc-memory><br />
<!--{/if}--><br />
<!--{if $Speicherkonfiguration3|default:'' != ''}--><br />
<khc-memory><!--{$Speicherkonfiguration3|escape:'htmlall'}--></khc-memory><br />
<!--{/if}--><br />
<!--{if $Speicherkonfiguration4|default:'' != ''}--><br />
<khc-memory><!--{$Speicherkonfiguration4|escape:'htmlall'}--></khc-memory><br />
<!--{/if}--><br />
<!--{if $Speicherkonfiguration5|default:'' != ''}--><br />
<khc-memory><!--{$Speicherkonfiguration5|escape:'htmlall'}--></khc-memory><br />
<!--{/if}--><br />
</know-how-computer><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:FrauSch%C3%BCtze/Workshop2026&diff=151353Benutzer:FrauSchütze/Workshop20262026-03-22T15:18:34Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><br />
== Ergebnisse ==<br />
<br />
* Mandy und Sabine haben die Seiten [[Religion]], [[Islam]] und [[Christentum]] sortiert und neu strukturiert<br />
* Seite [[Hinduismus]] erstellt und gefüllt<br />
* Seite [[Tierbeschreibung|Tierbeschreibungen]]<br />
* Verschiebung aller Seiten aus dem Benutzernamensraum von [[Benutzerin:Sabine Häcker]] in den Hauptnamensraum, Kategorien ergänzt<br />
* Seite [[Philosophinnen]] angelegt, kann nun gefüllt werden<br />
* Seite/Kategorie [[Arbeitslehre]] angelegt und Inhalte hinzugefügt<br />
*<br />
*<br />
*<br />
<br />
== nächste Projekte ==<br />
<br />
* Mandy: Seite Buddhismus anlegen und füllen<br />
* Mandy: Seite [[Philosophinnen]] füllen<br />
* Sabine: Meine Sprachbildungsmaterialien mit ''ZUM Deutsch lernen'' verbinden; Seminarmaterial zum Thema ''Texte für den Fachunterricht differenzieren''<br />
*<br />
<br />
== Organisatorisches ==<br />
* Wann? 21./22.März 2026, Anreise ab Freitagnachmittag möglich<br />
* Wo? [https://www.kolping-mainfranken.de/partner/kolpinghaus-wuerzburg Kolping-Haus Würzburg]<br />
* Wer? <br />
** [[Benutzerin:Sabine Häcker]]<br />
** [[Benutzer:Ukalina]]<br />
** [[Benutzer:M.Nethe]]<br />
** [[Benutzer:HerrTRN]]<br />
** [[Benutzer:Maria Eirich]]<br />
** [[Benutzer:Christian]]<br />
** [[Benutzer:FrauSchütze]]<br />
* Was? selbstständiges Arbeiten an Inhalten, Kennenlernen, Austausch, Probleme identifizieren, die für die eigene Arbeit relevant sind - Lösungen gemeinsam mit dem Technikteam suchen, Ideensammlung, was getan werden sollte:<br />
** Seite [[Religion]] und [[Islam]] sortieren und neu strukturieren<br />
** Seite [[Hinduismus]] erstellt und mit vorhandenen H5P gefüllt<br />
** auf [[Benutzer:Mareike Drinhaus/Alltagsvorbereitung]] schauen - Klarnamenverwendung, Einbindung als pdf und powerpoint, Kategorie/ Fach vergeben?<br />
**Philosophinnen - Seite anlegen, bestehende Inhalte einpflegen, neue planen (Mandy)<br />
**ipadführerschein (Melanie)<br />
**Umzug altes Projektwiki —> neues Projektwiki (Maria)<br />
**Fragen zum Einstieg<br />
<br />
== Inhaltliches ==<br />
<br />
====== Fragen von Reiner ======<br />
<br />
# ❓direkt zugriff auf zum-apps (suche apps zum thema)<br />
# ❓verlinkung auf zum-apps<br />
## im Fußbereich (generisch)<br />
## als Link auf den Fachportalseiten in eine Suchergebnisseite auf zum-apps<br />
## Idee(Christian): als <br />
<br />
====== Fragen von Maria ======<br />
<br />
# Projektwiki und ZUM-Unterrichten verweben<br />
## ❗️☹️Idee: DPL in zum unterrichten findet via interwiki auch seiten im projekte wiki<br />
### ☹️ geht nicht<br />
## ❗️❓Idee: Seiten die per interwiki links auf das projekte wiki verzweigt<br />
### diese seiten vom bot befüllt aufgrund von kategorien<br />
<br />
======Fragen von Ulrich Kalina (ukalina)======<br />
<br />
# 🪳✅Probleme mit Seiten, die Mathe (LaTeX) enthalten: <br />
## Muss ich mich jedesmal abmelden, um die gerenderte 2D-Mathedarstellung zu sehen?<br />
## Warum funktioniert das Rendern von Mathe nur am Seitenanfang - ist aber ok nach Abmeldung<br />
## Lösung: Benutzereinstellung: Mathematische Formeln -> Latex Quelltext erzeugt Ladeprobleme<br />
# ❓❓Kategorien<br />
## Gibt es Regeln? z.B. gibt es die Kategorie quadratische Funktion, Quadratische Funktionen, Lernpfad Quadratisch<br />
## Moderation?<br />
## Qualitätskontrolle?<br />
## Taxonomien, Vereinheitlichen, Klären nachziehen<br />
# ❗️Sollen alle Lernschritte in einem Lernpfad kategorisiert werden oder nur die Startseite?<br />
## nein, der lernschritt nicht, nur der Einstieg<br />
## Problem: Pflege<br />
# ❗️Wie umgehen mit schon vorhandene Seiten mit gleichem Titel ("Quadratische Funktionen")?<br />
## Vorschlag Rezept: Übersichtsseiten anlegen und vorherige Seite verschieben<br />
## Vorschlag Regelung: Möglichst nicht mit Unterseiten im Titel arbeiten. (äußer bei zusammenhängend Einheiten z.B. Lernpfade); keine Thematischen/Strukturellen Oberseiten<br />
# ❓GeoGebra<br />
## Wie bindet man am besten GeoGebra-Applets ein? Anmeldung bei GeoGebra erforderlich? [[Hilfe:Medien einbinden]] - hier ist Geogebra dabei (runter scrollen), passt das?<br />
# ❓Account gesperrt: Ich wurde mehrfach gesperrt, weil "meine IP" von anderem Benutzer ("Religion9fd") verwendet wurde. Was ist der Hintergrund und was kann ich tun?<br />
# ❓Boxen: Box-Überschriften werden von SR nicht als solche erkannt. Daher keine gute Navigation. Notlösung <br />
## 1. Aufgabe (Üben) - Torbogen(siehe QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen)<br />
## Andere Boxen (z.B. Aufgabe mit Ziel Erkundung vs. Aufgabe mit Ziel Übung)<br />
# 🪳Captcha-Elemente sind nicht zugänglich, da ausschließlich visuell nachvollziehbar<br />
# 🪳KHC, stielt fokus beim Seitenbetreten<br />
## KHC Maschinensprache erste Schritte Teil 1<br />
## Problemursache: Seite lädt -> init -> loadProgramm -> neustart: neustart fokussiert immer. Sollte es nur tun nach interaktion, sprich fokusverhalten muss anders kontrolliert werden nicht an neustart geknüpft, sondern an interaktion.<br />
# main/nav im Mediawiki Template<br />
# ❓Wiki und H5P-Module (z.B. Vokabeltest): Ist es möglich, Textteile beispielsweise als "englisch" oder "spanisch" auszuzeichnen, so dass ein Screenreader dies erkennt und die Aussprache entsprechend umschaltet (analog zu HTML mit Attribut lang="en")?<br />
# 🟧Lernpfadvorlage erweitern<br />
## Lernschritt/Vorspann<br />
### nutzung am seitenanfang<br />
### Fortsetzungsnavigation<br />
### Platz für einführungstext/Übersicht<br />
## LernpfadNeu<br />
### autorenbox viel kleinere variante<br />
# ✅🪳LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
## Bild ist an falscher Stelle (uk-align-right css klasse ist nicht mehr existent)<br />
# 🪳LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
## Weiter Navigation ist nicht ganz korrekt siehe Lernpfad Quadratische Funktion, der weiter link ist IMMER der QF Anhang, statt der korrekten nächsten Seite. In der Navigation stimmt die Reihenfolge allerdings.</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF01_Normalparabel&diff=151352Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel2026-03-22T15:17:35Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann<br />
|Titel = Lernschritt Eigenschaften der Normalparabel<br />
|In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen ''jeder beliebigen'' quadratischen Funktion, also ''alle'' Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.<br />
* In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.<br />
* Du lernst einige ''graphische'' Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie ''rechnerisch'' begründen kann. Dieses Wissen kann später auch auf andere Parabeln und Funktionen übertragen werden.<br />
* Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der ''Quadratwurzel'' einer Zahl versteht (und was nicht).<br />
}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
<br />
Die Normalparabel ist der Graph der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. (Was eine ''Funktion'' im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite [[Benutzer:ukalina/Funktionen|Funktionen]] ausführlich erklärt.) <br />
Jetzt soll untersucht werden, wie die Normalparabel aussieht und wie sie entsteht. Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, erstellt man üblicherweise eine ''Wertetabelle'', in der man einer Reihe von x-Werten die jeweils dazugehörigen y-Werte gegenüberstellt, die mithilfe der Funktionsvorschrift, in diesem Fall <math> f(x) = x^2 </math>, berechnet werden können. Anschließend zeichnet man die Wertepaare <math> (x | y) </math> aus der Tabelle als Punkte in ein Koordinatensystem ein. <br />
<br />
Im Fall der Funktion <math>f(x) = x^2</math> könnte eine solche Wertetabelle z.B. so aussehen:<br />
<br />
====Wertetabelle====<br />
<br />
{| cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"<br />
|+ '''Tabelle 1: <math>f(x)=x^2</math>'''<br />
|align="center" |'''x''' <br />
| -3<br />
| -2<br />
| -1<br />
| 0<br />
| 1<br />
| 2<br />
| 3<br />
|- <br />
|align="center" |'''f(x)'''<br />
|9<br />
|4<br />
|1<br />
|0<br />
|1<br />
|4<br />
|9<br />
|}<br />
<br />
In der '''Tabelle 1''' wurden als x-Werte ganze Zahlen verwendet. Im Prinzip können aber auch beliebige andere Zahlen als x-Werte gewählt werden. <br />
<br />
Aus dieser Tabelle 1 kann man ablesen, dass die Punkte <math> A(-3|9) </math>, <math> B(-2|4) </math>, <math> C(-1|1) </math>, <math> D(0|0) </math>, <math> E(1|1) </math>, <math> F(2|4) </math> und <math> G(3|9) </math> zum Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> gehören. Aber wie sieht der Graph ''zwischen'' diesen Punkten aus? <br />
<br />
Von den linearen Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form <math>y = m \cdot x +b</math> besitzen, weißt du, dass alle Punkte, die zu einer bestimmten linearen Funktion gehören, auf der gleichen Geraden liegen. Das ist bei der Funktion <math> f(x) =x^2 </math> offensichtlich nicht so. Aber wie ist es dann? Kann man die Punkte <math> A </math> bis <math> G </math> aus der Tabelle 1 etwa von Punkt zu Punkt gradlinig durch Strecken verbinden? Oder verläuft der Graph zwischen den Punkten gekrümmt? Um dies herauszufinden, erweitern wir die Tabelle 1 um weitere Wertepaare.<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Erweiterung der Wertetabelle<br />
|2=Übertrage die Tabelle 2 für die Funktion <math>f(x)=x^2</math> in dein Arbeitsheft und vervollständige sie für positive x-Werte. Runde auf zwei Stellen hinter dem Komma.<br />
{{(!}} cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 2: <math>f(x)=x^2</math>'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''x''' <br />
{{!}} 0,25<br />
{{!}} <br />
{{!}} 0,75<br />
{{!}} 1,25<br />
{{!}} <br />
{{!}} 1,75<br />
{{!}} 2,25<br />
{{!}} <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''f(x)'''<br />
{{!}}<br />
{{!}}0,25<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}2,25<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}6,25 <br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1={{(!}} cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 2: <math>f(x)=x^2</math>'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''x''' <br />
{{!}} 0,25<br />
{{!}} '''0,5''' <br />
{{!}} 0,75<br />
{{!}} 1,25<br />
{{!}} '''1,5'''<br />
{{!}} 1,75<br />
{{!}} 2,25<br />
{{!}} '''2,5'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''f(x)'''<br />
{{!}}'''0,06'''<br />
{{!}}0,25<br />
{{!}}'''0,56'''<br />
{{!}}'''1,56'''<br />
{{!}}2,25<br />
{{!}}'''3,06'''<br />
{{!}}'''5,06'''<br />
{{!}}6,25 <br />
{{!)}}<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x<br />
}}<br />
<br />
<br />
====Funktionsgraph====<br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Aussehen und Eigenschaften der Normalparabel<br />
|2=<br />
* Zeichne die Werte aus Tabelle 1 und Tabelle 2 in deinem Arbeitsheft als Punkte in ein Koordinatensystem. <br />
* Füge einige beliebige weitere Punkte hinzu - z.B. die entsprechenden Punkte links von der y-Achse. <br />
* Stelle eine Vermutung auf: Wie sieht wohl der Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math> aus - also die ''Menge aller Punkte'' <math>P(x | x^2)</math> im Koordinatensystem? <br />
* Beschreibe grundsätzliche Unterschiede zu den Graphen der linearen Funktionen und weitere Eigenschaften, die dir auffallen. <br />
|3=<br />
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x<br />
}}<br />
<br />
{{ Box<br />
|1= Auswertung der Ergebnisse<br />
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf|mini|left|400px|alternativtext=In einem Koordinatensystem sind Punkte aus den Wertetabellen 1 und 2 dargestellt. Die Punkte liegen so dicht beieinander, dass die Gestalt einer Kurve erkennbar wird.|QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf<br />Punkte <math>(x | x^2)</math> aus den Wertetabellen 1 und 2]]<br />
<br />Die Abbildung legt verschiedene Aussagen nahe, z.B.<br />
* Je mehr Punkte <math>(x|x^2)</math> man berechnet und im Koordinatensystem einzeichnet, desto mehr verdichten sich die Einzelpunkte zu einer durchgehenden, gekrümmten Linie. <br />
* Der Graph geht durch den Koordinatenursprung und verläuft ansonsten ausschließlich im 1. und 2. Quadranten. <br />
* Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.<br />
* Im Ursprung hat die Normalparabel ihren tiefsten Punkt. (Dies ist ihr so genannter "Scheitelpunkt".)<br />
* Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er. <br />
* Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.<br />
|3=Lösung}}<br />
<br />
====Achsensymmetrie zur y-Achse====<br />
Man kann bestimmte ''geometrische'' Eigenschaften von Funktionsgraphen - wie z.B. die Eigenschaft der Achsensymmetrie - mithilfe ''rechnerischer'' Eigenschaften des Funktionsterms überprüfen. Die Achsensymmetrie zur y-Achse kann man rechnerisch mit der Gleichung <math>f(x) =f(-x)</math> nachweisen. <br />
<br />
{{Box<br />
|1= Achsensymmetrie eines Funktionsgraphen<br />
|2=Der Graph einer Funktion <math> f </math> verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion die Gleichung gilt: <br />
: <math>f(x) =f(-x)</math>.<br />
|3=Merksatz<br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Begründen) - Achsensymmetrie der Normalparabel<br />
|2=<br />
* Zeige, dass die Funktion <math>f(x) = x^2 </math> die Bedingung <math>f(x) =f(-x)</math> für alle <math> x \in \mathbb {R} </math> erfüllt.<br />
* Wie kann man die Symmetrie der Normalparabel zur y-Achse mit dieser Gleichung begründen?<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1= Erinnerung Achsenspiegelung: Ein Punkt P wird an einer Geraden gespiegelt, indem man von <math>P</math> aus auf dem kürzesten Weg, d.h. im rechten Winkel auf die Gerade zuläuft. Der Punkt, in welchem man auf die Gerade trifft, werde mit <math>Q</math> bezeichnet. Verlängert man nun die Strecke <math>\overline{PQ}</math> um die Länge dieser Strecke noch einmal in gleicher Richtung über die Gerade hinaus, so landet man im "Spiegelpunkt" <math>P'</math>. <br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<br />
* Für alle <math> x \in \mathbb {R} </math> gilt: <math>f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)</math>.<br />
* Um die Achsensymmetrie zur y-Achse nachzuweisen, kann man einen beliebigen Punkt <math>P(x|x^2)</math> auf dem rechten Parabelast wählen und geht von dort aus auf dem kürzesten Weg, also parallel zur x-Achse, auf die y-Achse zu. Der Punkt, in dem man auf die y-Achse trifft, besitzt die Koordinaten <math>Q(0|x^2)</math>. Die Länge der Strecke <math>\overline{PQ}</math> ist <math>x</math>. Verlängert man nun <math>\overline{PQ}</math> um die gleiche Länge noch einmal in gleicher Richtung, so landet man im "Spiegelpunkt" <math>P'(-x|x^2)</math>. Dieser liegt aber ebenfalls auf der Normalparabel, denn er erfüllt die Bedingung aller Parabelpunkte: <math>f(-x) = (-x)^2 = x^2</math>. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}}<br />
<br />
====Die Parabel-Treppe====<br />
Manchmal ist es nützlich, wenn man vom Scheitelpunkt einer Parabel ausgehend schnell und ohne größere Rechnung die Koordinaten weiterer Parabelpunkte angebenen kann. Mit der Parabel-Treppe ist das einfach möglich. Außerdem macht sie noch einmal anschaulich klar, dass die "Steilheit" der Normalparabel zunimmt, je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt. <br />
<br />
Den Anfang der Parabel-Treppe kann man so beschreiben: Man geht im Koordinatensystem vom Scheitelpunkt der Normalparabel <math>P_0(0|0)</math> aus erst um eine Einheit nach rechts zum Zwischenpunkt <math>Z_1(1|0)</math> und dann von hier aus senkrecht nach oben, bis man im Parabelpunkt <math>P_1(1|1)</math> wieder auf die Parabel trifft. Die Länge der senkrechten Strecke <math> \overline{Z_1P_1} </math> beträgt 1 Einheit und entspricht der Höhe der 1. Stufe.<br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Erkunden) - weitere Stufen der Parabel-Treppe <br />
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf|mini|400px|left|alternativtext=Normalparabel und Parabeltreppe mit Stufenhöhen 1, 2 und 3|QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf]]<br />
# Gehe im Koordinatensystem vom Parabelpunkt <math>P_1(1|1)</math> aus um eine Einheit nach rechts und anschließend wieder senkrecht nach oben bis zur Parabel. Die Länge dieser senkrechte Strecke entspricht der Höhe der 2. Treppenstufe. Wie hoch ist diese? Wie lauten die Koordinaten des Punktes <math>P_2</math>, in dem du jetzt auf der Parabel gelandet bist?<br />
# Gehe auch von <math>P_2</math> aus wieder um eine Einheit nach rechts und dann senkrecht bis zur Normalparabel. Um wie viele Einheiten musst du dabei senkrecht gehen, d.h. wie hoch ist die 3. Stufe?<br />
# Wenn du die Stufenschritte noch weiter wiederholst: Um wie viele Einheiten musst du bei den nächsten Schritten jeweils senkrecht nach oben gehen? Welche Regelmäßigkeit steckt dahinter? Was vermutest du?<br />
# Formuliere deine Vermutung in Form einer Gleichung, mit der die Höhe <math>h</math> der x-ten Stufe aus der Nummer <math>x</math> dieser Stufe berechnet werden kann. Berechne mit dieser Formel die Höhe der 100. Stufe.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Wenn man von <math>P_1(1|1)</math> aus eine Einheit nach rechts geht, muss man '''3''' Einheiten nach oben gehen, um im Punkt <math>P_2(2|4)</math> wieder auf der Parabel zu landen. Die 2. Stufe ist also 3 Einheiten hoch.<br />
#Von <math>P_2</math> aus geht man eine Einheit nach rechts und dann '''5''' Einheiten nach oben, um im Punkt <math>P_3(3|9)</math> wieder auf die Parabel zu treffen. Die 3. Stufe ist also 5 Einheiten hoch.<br />
# Die Stufenhöhen sind bei den ersten drei Stufen 1, 3 und 5, also aufeinander folgende ungerade Zahlen. Vermutung: Auch die weiteren Stufenhöhen sind die nächsten ungeraden Zahlen, also '''7''' und '''9'''. <br />
# Entwicklung einer Formel für die Berechnung der x-ten Stufenhöhe: <br />Stufe Nr. '''1''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{1} -1 = 1 </math> <br />Stufe Nr. '''2''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{2} -1 = 3</math> <br />Stufe Nr. '''3''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{3} -1 = 5</math> <br />Stufe Nr. '''x''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{x} -1 </math> <br />In der 100. Stufe beträgt die Höhe demnach <math> h = 2 \cdot 100 -1 = 199 </math>.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Begründen) - allgemeine Regel für die Parabel-Treppe <br />
|2=Beweise die Formel für die Höhe der x-ten Stufe <math> h = 2 \cdot x -1 </math> mit <math> x \in \mathbb {N} </math> (Vermutung aus der vorangegangenen Aufgabe) rechnerisch mithilfe des Funktionsterms der Normalparabel. <br />
<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Die Höhe einer Stufe entspricht der Höhendifferenz zweier benachbarter Parabelpunkte, deren Abstand in x-Richtung 1 beträgt.<br />
|2=Tipp 1<br />
|3=Tipp 1 verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Beispiel: Die Höhe der 2. Stufe entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte <math>P_2(2|4)</math> und <math>P_1(1|1)</math>, also der Differenz der Funktionswerte <math>f(2)</math> und <math>f(1)</math>. Es gilt <math>h = f(2) - f(1) = 2^2 - 1^2 = 4 -1 = 3</math>.<br />
|2=Tipp 2<br />
|3=Tipp 2 verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<br />
Allgemeine Begründung: Die Höhe der x-ten Stufe ( <math> x \in \mathbb {N} </math> ) entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte <math> P_x(x|f(x)) </math> und <math> P_{x-1}(x-1|f(x-1)) </math>, also der Differenz der Funktionswerte <math> f(x) </math> und <math> f(x-1) </math>. Es gilt daher: <math> h = f(x)- f(x-1)=x^2 -(x-1)^2 </math> <math>= x^2 -(x^2 -2x +1) </math> <math>= x^2 -x^2 +2x -1 </math> <math>= 2x -1</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung Normalparabel<br />
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Arial24.pdf|mini|350px|left|alternativtext=Normalparabel über dem Intervall [-3; 3] |QF01 Normalparabel Arial24.pdf<br />Normalparabel, Graph der Funktion <math>f(x) =x^2 </math>]]<br />
; Definition Normalparabel<br />
* Der Graph der quadratischen Funktion <math>f(x)=x^2</math> wird als '''Normalparabel''' bezeichnet. <br />
* Die Normalparabel ist die Menge aller Punkte <math>P(x | x^2)</math> ( <math> x \in \mathbb {R}</math> ) im Koordinatensystem, deren y-Koordinate das Quadrat der x-Koordinate ist, kurz: <math> y = x^2</math>. <br />
* Der '''Definitionsbereich''' der Funktion <math>f(x)=x^2</math> ist <math>\mathbb {D} = \mathbb {R}</math>, da jede Zahl <math> x \in \mathbb {R}</math> quadriert werden kann. Ihr '''Wertebereich''' ist <math> \mathbb {W} = \mathbb {R}_0^+</math>, da durch das Quadrieren keine negativen Werte entstehen können.<br />
* Der tiefste Punkt der Normalparabel <math>(0|0)</math> wird als ihr '''Scheitelpunkt''' bezeichnet.<br />
; Eigenschaften der Normalparabel<br />
* Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.<br />
* Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er. <br />
* Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse. <br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=6. Aufgabe (Üben) - Graphisches Quadrieren<br />
|2=<br />
{{2Spalten<br />
|<br />
Lies für folgende x-Werte den Wert <math>y=x^2</math> "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt). <br />
# <math>x=2,7</math> &nbsp;&nbsp; <math>x^2=?</math><br />
# <math>x=-2,5</math> &nbsp;&nbsp; <math>x^2=?</math><br />
# <math>x=1,8</math> &nbsp;&nbsp; <math>x^2=?</math><br />
Du kannst für dieses Aufgabe entweder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden (, die es im Anhang auch mit Braille-Beschriftung als taktile Schwellpapier-Kopiervorlage gibt), oder das GeoGebra-Applet "Normalparabel <math> f(x) = x^2</math>. In diesem kannst du den Punkt auf der x-Achse oder den Punkt auf der Parabel mit der Maus verschieben.<br />
|<br />
<ggb_applet width="361" height="527" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAgIAHJzW1sAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICAByc1tbAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbO1d63LbxhX+nTzFDn907ESk9r5AKqWTS9O4cRxN7HakZhIPSC5JRCTAEKBEevICfY+8Sd+kT9KzuwAvIEgKNCVRdDWWQAB7O9/5zmUXC/rsL5NBH93oURLG0XmNNHAN6agVt8Ooe14bp526V/vL5x+fdXXc1c1RgDrxaBCk5zXeoLV5PThrEM9UDtvnNeF3MJOM1X0ciDr3NK97bYLrErellp7q4LaqITRJws+i+FUw0MkwaOnXrZ4eBC/jVpDaNntpOvzs9PT29raR996IR93TbrfZmCTtGoKRR8l5LfvwGTS3VOmW2eIUY3J6+f1L13w9jJI0iFq6hoxU4/Dzjz86uw2jdnyLbsN22juvMQWD6+mw2wMxJec1dGoKDUHWoW6l4Y1OoOrCqZU5HQxrtlgQmfsfuU+oPxOnhtrhTdjWI4Oy50shiKKcMOUzUkPxKNRRmhUlWZeneWNnN6G+da2aT7ZDGFcax/1mAA1i9PvviGKK0Yk5EHegcJDS3cLuGmbuQN2Bu4NwZbirzl1R7spwV4Yz0HaYhM2+Pq91gn4CAIZRZwTKm50n6bSv7XiyC3PhyQnIlITvoDD0V0MOcRj4CT7h2P46mRcEpFV6TEfjpQ7ZCcs7ZEIud0jXdEgWOnTtVehv1pskdxPPW9AfMfr5HRGjGHtgyKiEWNWYA89OpTtV9kCwO5Dspmf++OZEvp+yclmIWFCVwCf2n/1dxe7hu2TvRZBdepRLNrehd9fZfjvn2Fd7EViyJQP05QlhUpT2qXCpk3FHkh03qWFvQJyd5i7wLBsQSnqmbGaoqR4kZojMR4ohac0ICbAqqcB/CUR8OCiKlEDKGBFFRCAu4CLxkDRHhZgxK44Y8pApTRiyzk948Idbk5NIQIvmonK2hxhHgiFiXSZHAAeybhfAoQxKCIEEVDJjIGZMTCIu4YR5iPsIBmiaIggRqCs9UwAa8JGAUVDECGKmEQrDV4hKJDESFEnjKsBXg592PhrueYgZGcAIh3ESzrDt6f5wphQLYxgNx2kGXXa9NWjnMKbxMP9oS7fj1vWXM6iz8jpI0sVGIUzNY6ELW0uh8qOzftDUfUgoXhseIHQT9I3DtD104ihFs8jgrnVHwbAXtpLXOk2hVoJ+DW6Cl0GqJ99A6STv23ZtI/iZHrf6YTsMon8CSUwTpkE0C+iSzAM6933XSyuOR+3X0wSYgyb/0qMYEFO8wSVmPvGZx31JwOCm7hbn3ARtLDljRBAfPEHSCgzlmd/wiBBMgSf2uS+4gEqFe5J5zPNMLdu1vpmJFkz0TCDUHRmjWzh5kXwZ9+eXhnEYpV8Fw3Q8sukZBJ2RkeqLqNvXFlwbNSHRaV0348lrh6p0bb2ZDrXxWnYEze5XcT8eITBJKmDA3ezYdEdbxgxtVgrbMtiWmKkpbG+6Dxp3g8qEJLmAuZ6DSZhYNwPVlhhm+WIypnEUpi/zkzRsXWdCElfh1XjQBKpllF1uk+yvTTNqSN6S9DJLkM3nq4XPb3o6DUCMhqBM+J5SAv5S3/McRwvsPLvWo0j3HQcjoME4HifOKGbE/uhsnOiLIO19EbV/1F2w54vAeNQUhuaKzofX1q1wABXddZrhYCjxDxDVXW3r7kjnEPVtLu1UY+/iRYtYuWyb+mYUD15EN2+Ab4Whnp3m8pwlrVE4NLxGTXDx13rOXEApgADRXqwHwicgRct4K1BEapRgpATVoM6zyXN0jgL0CXo2QXXUfv4LRZ9CQ8E47cXAt+8CoFcADYNbAKEp+uE6jUFxJiAJm4jfxqPrpKd1+kZPUhQ04xsoCJOAUEMxDSKNUHCC2sCHNtJoAEi9DKPr5LoPlEDvQt3T0QkaD2DoGs3AR+/GZtLznz8iSOQjYLvuG45ZeXRfDyCHR6k1tGg80KOwNSPe1RetXqK/DyZ2cADhOEPZb0iHs2Efipu/guMssnaBF1BgjdGhoD/sWRqSzACDKYx4UZW2ue/jdtZ1Vi7pm2kJQABBow5mMAgmkCWYyBs0k7g/TmFqBuyJ5lMzFyIy9wpJpzEEqMPshylccp864WSBA6C38B0Qfpm9cy+Rgs+/hvlOYp1Ymrkr++HbsN3W0WzAQQSEt7QB7z10EiOIONrZ/azqEBCwjnKBrJmWturrcp2+WINu1ddcvHtQ10NIn7E1jIrS13FD7Vl8fEfxcQlbRcZWcUeu0jlXvYyrwjt8qrbiwSAAPxXZpPrr8KY2z+UCbEwQHOWcsSgg5lqmgnGaF8tLjK5NKdtH1vKdzcFVXTEJXJntwXgS9sNgNF0OZ5Wlvtoq9dXuUl9tktq/H6n1ZDgCZhnKrI4CDBJBAYvGT4vyhxCsCP4ZfYrc4tHdBVu1cXxPgt2BYK/BSIrDIflwjt/hfrDiZ9ofhuk7fbXKRyIeN+Y8NASXqxDsG4H3yRHzqEveJ0cUTyBFXI5AF3F/2o2jQhR6Nou74HyXlHiC8HMXleZlTpaKXJn7dPl+vVCgPIi72671xSuvdZhq4lpduQ6YBazkOtscFYeZ3GVMre2qoCUiZ8uCO0x2SGVTrhqoEt01Z6XSZ2g/qmsqlyebzSfG5OrWgRqbqxs/gt5Zf5Iv8+yiPP1b5Kokbu0kHAxh2hymM7L2jVG9iMxyhbYT/NUFjmuth2ZN6ofozSiIEvNccW8qodtUUnFCvX+d4AazGrFO8J3VjC+PVyHs4BUyN5LjsJE1Cea69GLvGdYBJplXm5PMo0BgOWN5ndllIWPBJ/NpY56hzK8Fk9Wkw93anCYUnUBWZ4/BvrLd2+yyaPN3cQYEN6i/9LPkrecDKXMM6sAcw52y2EX9QyJ7VcxSDUeulrPbBb64LLa+vkA5oRaz2Ks1WezK9SyLXbleMYu9+qCz2BK0H9NQ75Qx5eGZuPhcJw1Bnm6A3qqRkiT20DSC81kFsxqhDffI8zj1UZLDHpY+6k/fRIrpy29jbfZqrsaq6ds8c4FPi4FitkxuYoTBmy8trpbHIVMpeaW7myNIP0yK9JhV3EyNx1kB2EXjdouJ2TjiGhOLV+c7A9g+9YYX43n+rKWC3i7iZDe9mYqPqLdqyenBKXPyNpovcE4KyrxcVeblemVe7qrMy/8rc5sy7/RYt+Q5PzuOx053mg/PUChfscfrFuGrzYcvn+58OM/0pHnpw61WbpoAi4POKjZvn7Cpw9btE1Bqo+43bJ/YZGv3uX+imh+/XJtM3c2PV0umLg8mmXoiftwWnyHy5SOvru/sqZdmLzRzMjxbZJstihQQ4+WI4c30f9GpQTkQelIwALA+gv777z/QxP5lZvDWFH55Rlcdf+dtczOvO+PIuqw59lDj4Hx+9XXLyo4lv/zTs/AE/focfucLgtarLJ2aODtP9392KgjX+qJq+eV3QLKLcXSd/hgAQ0cVHFOx5qPa2S6xtmA7dA/e5osn4G3IVm/DMm/j78nbbELsq6NAjOSbux8Asa+PAbE8a8YPANhfjwGwh2TYN8cA2L5Tpk2A/e0YALtfr1+c9bWKMz3V8Phhrarsf5eF/hCFDj5EoZsfotDtVaEJ9fxjE3vZ9784Bt8/fzpKxb1Hy78fB2JqtiVSPgBo3x0DaMTSy2axDwLay+MAzWFGH8I2vz8OxDLbhJT2IWj26hhAo7ltivsCrZguTN6uvNAHkzasFPexRzyfSl/d08bjhe/4KC85+6aPnV4CY9lLYKz6q9eU5/NW//1eApNVXwLDeKfUaOWV3Cmo1b2I23nbfAZKfn6Xt26nq2QAJBjBQjIlPI596VdU8+ZhXmSDNCM0e2/MMJeMe3XMy1Z/8ZCPLn7odBKdGoYo59nYJo+wtApSNKhsUaQA7SZzl3vwkd8eg4/EuY/Ee/SRK8y8fLvMTVyVmaaBB+RmdfptW/Vd8+CXb8fuao4d3smqrw4GOzxfwKxgq3eF7i6bfywRzcPGi0zc+WPDLTsYivt7tu1beChM6yVgLvDRa2CfMe4rpqSgPF9p2PhskRzkRp5yhWbqNBwvKrRXTaG9A1HobJ99mac5Ko2ar+oqqPNPv43j9M8Td1jR6MQ+9I+aOmn1RmEnHUdbjDY1PcyS85Lam1V+v99slAaj9MI4NeSeVQiFBWcCC6Ek9inL37bwBBXcIxRMHH58tugsdwB3ugbc6XuBW1b7EcEt3QZTQBw3uPSlFJ7vMaJ8lb315zckJ77kClSACRjgOryLoRqBXeTTBPeFdrNNRVt3De32pQJEMAuXILPvcnyAjUMb96DsQMhX5jvG+8OF7wI8dzfQJ6izQtM3Yar7FYjpyh84Fc2uNF96kvicUSKUYG5ORICjQgE5PcU45eu5uBVqsgokFJqQKki6CgcOJfhL6nmUEgWulIJhe7kf9QnYufWiFOInoXvGcloVy+nBYwmgSR9LTxDOBYQhyfPk0sNSQl4iJKYeY4TsjKUox1JUxVI8ASyVI6DADExdCZ7NhZTyBdARLgGWntgZSr8cSr8qlP4TgFJi5WHqU0XByplLlbyGRxjhVGJAkSi5u4HTcmdJqzrLbe/0PjqSBJJLAnQknuKe+UhnSSfMJZXCmGACzpLtbuCsHMstr++vYrntfdxHx5IC/SCHFMzzfWAncHHvWNbXRPFBGFUO5LbOgUNqvyZJ+sKnGCa6PlNzTPcWzOtrjB3wqWzvts6hY0obdAlTeg+YrjF6wKey3ds6h44pM98fIyHxZGD/gKzaO6TlLJ1Wpej08Pm5JuckxZzT23NImlal5vTwebkGS1rAkqqdseTlWPKqWPKniiUrYLn78pwsh1JWhVI+BSglw0Ip5nmYeIKzbJsGQEl9SEgZt5P33edCqhxLVRVL9VSxlA3FhaTU4woTovDuSadXDqVXFUrvqUKpGkoqD+bsyudg38pfB+Xp4v9xYs7z/8jw8/8BUEsHCDIMk31RDgAAeHEAAFBLAQIUABQACAgIAHJzW1tFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgAcnNbWzIMk31RDgAAeHEAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAADpDgAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />
}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
|3=Üben}} <br />
<br />
====Quadratwurzel====<br />
{{Box<br />
|1=Definition Quadratwurzel<br />
|2=Die Quadratwurzel aus einer ''positiven'' Zahl <math>a</math> ist diejenige ''positive'' Zahl, deren Quadrat <math>a</math> ist. Man bezeichnet diese Zahl mit dem Symbol <math>\sqrt{a}</math>. Außerdem definiert man für die Quadratwurzel aus 0: <math>\sqrt{0} = 0</math>. <br />
<br />
'''Anmerkungen''' zur Quadratwurzel-Definition: <br />
# Die Gleichung <math>x^2 = 9</math> besitzt zwar zwei Lösungen, nämlich <math>x_1 = -3</math> und <math>x_2 = 3</math>. Aber nur die ''positive'' dieser beiden Lösungen wird als "Quadratwurzel aus 9" <math>\sqrt{9}</math> (oder kurz "Wurzel aus 9") definiert. (Diese Festlegung sorgt dafür, dass die Wurzel-Definition eindeutig ist).<br />
# Für ''negative'' Zahlen <math>a</math> ist die Quadratwurzel nicht definiert ( - jedenfalls im Moment noch nicht). Es gibt beispielsweise keine reelle Zahl <math> x \in \mathbb {R} </math>, für die <math> x^2 = -1 </math> ist. Dementsprechend ist auch der Ausdruck <math> \sqrt{-1} </math> keine reelle Zahl und somit in <math> \mathbb {R} </math> nicht definiert.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=7. Aufgabe (Üben) - Graphisches Wurzelziehen<br />
|2=<br />
Lies für folgende y-Werte ihre Quadratwurzel "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Du kannst hierfür wieder entweder das GeoGebra Applet "Normalparabel <math> f(x) = x^2</math>" oder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt).<br />
# <math>y=1,44</math> &nbsp;&nbsp; <math>\sqrt{y}=?</math><br />
# <math>y=6,25</math> &nbsp;&nbsp; <math>\sqrt{y}=?</math><br />
# <math>y=2</math> &nbsp;&nbsp; <math>\sqrt{y}=?</math><br />
|3=Üben}} <br />
<br />
{{Box<br />
|1=8. Aufgabe (Üben) - Punktprobe<br />
|2=Untersuche für jeden der folgenden drei Punkte, ob der Punkt jeweils oberhalb, unterhalb oder genau auf der Normalparabel liegt.<br />
# <math> P(0,7|0,5)</math> <br />
# <math> Q(9|80) </math><br />
# <math> R(-0,1|0,01) </math><br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Rechnerische Überprüfung durch Einsetzen der Punkt-Koordinaten in die Funktionsgleichung der Normalparabel <math>f(x)=x^2 </math>:<br />
# <math> P(0,7|0,5)</math>: <math>f(0,7)=0,7^2 = 0,49 < 0,5 </math>. Um vom Punkt <math>(0,7|0)</math> auf der x-Achse bis zum Punkt <math>(0,7|0,49)</math> auf der Normalparabel zu gelangen, muss man 0,49 Einheiten nach oben gehen. Der Punkt <math>P(0,7|0,5)</math> liegt 0,01 Einheiten darüber, also ''oberhalb'' der Normalparabel. <br />
# <math> Q(9|80) </math>: <math>f(9)=9^2 = 81 > 80 </math>. Der Punkt <math>Q(9|80)</math> liegt ''unterhalb'' der Normalparabel. <br />
# <math> R(-0,1|0,01) </math>: <math>f(-0,1)=(-0,1)^2 = 0,01 </math>. Der Punkt <math>R(-0,1|0,01)</math> liegt ''exakt auf'' der Normalparabel. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}{{Fortsetzung<br />
|vorher=zurück<br />
|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen<br />
|weiter=weiter<br />
|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben<br />
|übersicht=Kapitelübersicht<br />
|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}<br />
<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF_Anhang&diff=151290Lernpfad Quadratische Funktionen/QF Anhang2026-03-22T10:10:39Z<p>Christian: Christian verschob die Seite Lernpfad Quadratische Funktionen/QF Anhang nach Lernpfad Quadratische Funktionen/QFZ Anhang</p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann}}<br />
<br />
{{Box|1=Dokumente in Großdruck und mit Braillebeschriftung zum Download<br />
|2=Die Abbildungen in diesem Lernpfad stehen hier im Anhang als PDF-Dokumente sowohl in Großdruck als auch mit Beschriftungen in Blindenpunktschrift (Computerbraille) zum Download zur Verfügung. Die Dokumente mit Brailleschrift können als Kopiervorlagen für taktile Abbildungen auf so genanntem Schwellpapier genutzt werden. Bei diesem Verfahren werden schwarze Linien und Punkte auf einem Spezialpapier durch Aufschwellen in erhöhte, tastbare Konturen umgesetzt.<br />
|3=Download}}<br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel|QF01 Normalparabel]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf|QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Arial24.pdf|QF01 Normalparabel Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf|QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Punkte Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Punkte Braille.pdf|QF01 Normalparabel Punkte Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Braille.pdf|QF01 Normalparabel Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Treppe Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Treppe Braille.pdf|QF01 Normalparabel Treppe Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben|QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF02 Abbildung 1 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF02 Abbildung 1 Braille.pdf|QF02 Abbildung 1 Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben|QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF03 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF03 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF03 Abbildung 1 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF03 Abbildung 1 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF03 Abbildung 1 Braille.pdf|QF03 Abbildung 1 Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln|QF04 Normalparabel strecken und spiegeln]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF04 Abbildung 1 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF04 Abbildung 1 Braille.pdf|QF04 Abbildung 1 Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 2 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 2 Arial24.pdf|QF05 Abbildung 2 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 3 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 3 Arial24.pdf|QF05 Abbildung 3 Arial24.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 1 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 1 Braille.pdf|QF05 Abbildung 1 Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 2 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 2 Braille.pdf|QF05 Abbildung 2 Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 3 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 3 Braille.pdf|QF05 Abbildung 3 Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden|QF08 Parabeln und Geraden]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf|QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf|QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF08 Parabelrechner Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Parabelrechner Arial24.pdf|QF08 Parabelrechner Arial24.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 1 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 1 Braille.pdf|QF08 Abbildung 1 Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 2 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 2 Braille.pdf|QF08 Abbildung 2 Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 3 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 3 Braille.pdf|QF08 Abbildung 3 Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF08 Parabelrechner Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Parabelrechner Braille.pdf|QF08 Parabelrechner Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen|QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 1-3 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 1-3 Arial24.pdf|QF09 Abbildungen 1-3 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Arial24.pdf|QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 5 und 6 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 5 und 6 Arial24.pdf|QF09 Abbildungen 5 und 6 Arial24.pdf]]]]}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 1-3 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 1-3 Braille.pdf|QF09 Abbildungen 1-3 Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Braille.pdf|QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 5 und 6 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 5 und 6 Braille.pdf|QF09 Abbildungen 5 und 6 Braille.pdf]]]] <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
[[Kategorie:Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann&diff=151289Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann2026-03-22T10:10:08Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<onlyinclude><div class="zum-lernpfad--lerneinheit--leader"></onlyinclude><br />
<!-- sucht bis zu 200 Seiten, die "kleiner" sind als die aktuelle Seite (Titel) wie die aktuelle Elternseite (der Lernpfad) beginnen und das Template Lerneinheit benutzen.<br />
dadurch, dass für jeden Treffer die Variable Lerneinheit_vorher neu gesetzt wird ist es am Ende die letzte der bis zu 200 vorherigen Seiten.<br />
<br />
Das heißt, bei der 201. Lerneinheit wird nicht mehr der Richtige "vorher" Link verwendet. Das wird praktisch nicht auftreten.<br />
--><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlelt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=200<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| includesubpages=true<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_vorher¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Nächste Seite finden, ist einfacher da wir einfach die erste nächstgrößere Seite nehmen. --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlegt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=1<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| includesubpages=true<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_weiter¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<br />
<!-- sucht bis zu 1 Bild aus der Lernpfad Vorlage aus der Elternseite --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| debug=3<br />
| title={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 }}<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu<br />
| include={LernpfadNeu}:Bild<br />
| count=1<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦,}²,<br />
| noresultsheader=²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦}²&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude>{{Fortsetzung<br />
| übersicht={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 | -2 }}<br />
| übersichtlink={{#titleparts:{{FULLPAGENAME}} | -1 }}<br />
| vorher={{#varexists:Lerneinheit_vorher|vorher}}<br />
| vorherlink={{#varexists:Lerneinheit_vorher|{{#var:Lerneinheit_vorher}} }}<br />
| weiter={{#varexists:Lerneinheit_weiter|weiter}}<br />
| weiterlink={{#varexists:Lerneinheit_weiter|{{#var:Lerneinheit_weiter}} }}<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude>{{#if: {{{Titel|}}}{{{1|}}}|{{Box<br />
|{{{Titel|{{{PAGENAME}}}}}}<br />
|{{{1|}}}<br />
|Lernpfad<br />
}}}}</onlyinclude><br />
<!-- end of .zum-lernpfad--lerneinheit--leader --><br />
<onlyinclude></div></onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF_Anhang&diff=151288Lernpfad Quadratische Funktionen/QF Anhang2026-03-22T10:08:52Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann}}<br />
<br />
{{Box|1=Dokumente in Großdruck und mit Braillebeschriftung zum Download<br />
|2=Die Abbildungen in diesem Lernpfad stehen hier im Anhang als PDF-Dokumente sowohl in Großdruck als auch mit Beschriftungen in Blindenpunktschrift (Computerbraille) zum Download zur Verfügung. Die Dokumente mit Brailleschrift können als Kopiervorlagen für taktile Abbildungen auf so genanntem Schwellpapier genutzt werden. Bei diesem Verfahren werden schwarze Linien und Punkte auf einem Spezialpapier durch Aufschwellen in erhöhte, tastbare Konturen umgesetzt.<br />
|3=Download}}<br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel|QF01 Normalparabel]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf|QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Arial24.pdf|QF01 Normalparabel Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf|QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Punkte Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Punkte Braille.pdf|QF01 Normalparabel Punkte Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Braille.pdf|QF01 Normalparabel Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF01 Normalparabel Treppe Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF01 Normalparabel Treppe Braille.pdf|QF01 Normalparabel Treppe Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben|QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF02 Abbildung 1 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF02 Abbildung 1 Braille.pdf|QF02 Abbildung 1 Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben|QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF03 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF03 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF03 Abbildung 1 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF03 Abbildung 1 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF03 Abbildung 1 Braille.pdf|QF03 Abbildung 1 Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln|QF04 Normalparabel strecken und spiegeln]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF04 Abbildung 1 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF04 Abbildung 1 Braille.pdf|QF04 Abbildung 1 Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 2 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 2 Arial24.pdf|QF05 Abbildung 2 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 3 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 3 Arial24.pdf|QF05 Abbildung 3 Arial24.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 1 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 1 Braille.pdf|QF05 Abbildung 1 Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 2 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 2 Braille.pdf|QF05 Abbildung 2 Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 3 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF05 Abbildung 3 Braille.pdf|QF05 Abbildung 3 Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden|QF08 Parabeln und Geraden]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf|QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf|QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF08 Parabelrechner Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Parabelrechner Arial24.pdf|QF08 Parabelrechner Arial24.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 1 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 1 Braille.pdf|QF08 Abbildung 1 Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 2 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 2 Braille.pdf|QF08 Abbildung 2 Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 3 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Abbildung 3 Braille.pdf|QF08 Abbildung 3 Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF08 Parabelrechner Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF08 Parabelrechner Braille.pdf|QF08 Parabelrechner Braille.pdf]]]]<br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
====Abbildungen in [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen|QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen]]====<br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 1-3 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 1-3 Arial24.pdf|QF09 Abbildungen 1-3 Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Arial24.pdf|QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Arial24.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 5 und 6 Arial24.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 5 und 6 Arial24.pdf|QF09 Abbildungen 5 und 6 Arial24.pdf]]]]}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
{{nSpalten|4|<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 1-3 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 1-3 Braille.pdf|QF09 Abbildungen 1-3 Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Braille.pdf|QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Braille.pdf]]]]<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 5 und 6 Braille.pdf|mini|[[:Datei:QF09 Abbildungen 5 und 6 Braille.pdf|QF09 Abbildungen 5 und 6 Braille.pdf]]]] <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
}} <!-- Ende 4 Spalten-Bereich --><br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
[[Kategorie:Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF09_Sachanwendungen_quadratischer_Funktionen&diff=151287Lernpfad Quadratische Funktionen/QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen2026-03-22T10:08:23Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann|Titel = Lernschritt Sachanwendungen quadratischer Funktionen <br />
|<br />
In den vorangegangenen Kapiteln hast du eine ganze Menge über quadratische Funktionen gelernt. Jetzt geht es darum, das erworbene Wissen als "mathematisches Handwerkszeug" nicht mehr nur für innermathematische Aufgaben zu nutzen, sondern auch bei Fragestellungen anzuwenden, die einen Bezug zur realen Welt haben. <br />
}}<br />
<br />
==== Mathematische Modellierung ====<br />
Bei der Modellierung einer realen Situation durch ein "mathematisches Modell" wird die Realität zwar häufig ein Stück weit "idealisiert", dafür ermöglicht das Modell aber vergleichsweise einfache Berechnungen. <br />
<br />
Ein einfaches Beispiel soll verdeutlichen, was damit gemeint ist: Ein Kreis ist beispielsweise in der Mathematik definiert als die Menge aller Punkte in einer Ebene, die von einem gemeinsamen Mittelpunkt den gleichen Abstand haben. Kreisförmige Objekte in der realen Welt wie Räder, Topfdeckel oder Zielscheiben sind eigentlich nie ''absolut'' kreisförmig im Sinne dieser mathematischen Definition, da es in der Realität immer kleine Unregelmäßigkeiten und Abweichungen gibt. Diese sind aber in vielen Fällen so klein und unbedeutend, dass man trotzdem sehr brauchbare Ergebnisse erhält, wenn man die mathematischen Kreisformeln (z.B. für den Kreisumfang oder den Flächeninhalt) auf diese realen Objekte anwendet. <br />
<br />
In ähnlicher Weise kann man auch die Beziehungen zwischen Größen aus der realen Welt in einigen Fällen durch mathematische Funktionen modellieren. Auch hierbei können die Verhältnisse ein Stück weit "idealisiert" werden. Aber die Berechnungen sind im Modell vergleichsweise einfach und die Abweichungen von der Realität sind oft so geringfügig, dass sie in der Praxis keine Rolle spielen.<br />
<br />
==== Anwendungsaufgaben ====<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 1-3 Arial24.pdf|mini|350px|right|alternativtext=Das Blatt QF09 Abbildungen 1-3 enhält drei Abbildungen: QF09 Abbildung 1 enthält eine Skizze zur 1. Aufgabe mit einem Torbogen in Form einer nach unten geöffneten Parabel. Die Höhe von 2 m und Breite von 1 m in dieser Höhe sind durch Pfeile dargestellt. QF09 Abbildung 2 zeigt eine Skizze zur 2. Aufgabe mit der Flugbahn des geworfenen Balls in Form einer nach unten geöffneten Parabel. Die Weite des Wurfs von 10 m (auf dem Boden gemessen) ist durch einen Pfeil dargestellt. QF09 Abbildung 3 enthält eine Skizze zur 3. Aufgabe mit dem Querschnitt des Kanals. Die Kanalbreite von 4 m ist durch einen Pfeil dargestellt.|QF09Abbildungen 1-3 Arial24.pdf<br />mit Skizzen zur 1., 2. und 3. Aufgabe]]<br />
<br />
<h5 class="sr-only">1. Aufgabe (Üben) - Torbogen</h5><br />
{{Box<br />
|1= 1. Aufgabe (Üben) - Torbogen <br />
|2= Ein Torbogen besitzt die Form einer nach unten geöffneten Normalparabel. In der Höhe von 2 Metern ist die Toröffnung 1 Meter breit. Wie hoch ist der Torbogen an seiner höchsten Stelle und wie breit ist er am Boden? (Siehe QF09 Abbildung 1 Torbogen).<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Modellierungsansatz: Eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt <math>(0|e)</math> (höchster Punkt des Torbogens) auf der y-Achse: <math>f(x) = -x^2 +e</math> <br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Der Punkt <math>(0,5|2) </math> liegt auf der Parabel (halbe Breite des Bogens (0,5 Meter) in 2 Meter Höhe) <br />
<math>f(0,5) = 2</math><br />
<br />
Einsetzen in die Funktionsgleichung:<br />
<br />
<math>f(x) = -x^2 +e</math> <br /><br />
<br />
<math>\Leftrightarrow - 0,5^2 + e = 2</math> <br /><br />
<math>\Leftrightarrow -0,25 + e = 2</math> <br /><br />
<math>\Leftrightarrow e = 2,25</math> = Höhe des Torbogens<br />
<br />
<math>f(x) =-x^2 +2,25</math> <br />
<br />
Berechnung der Nullstellen:<br />
<br />
Setze <math>f(x) = 0</math>: <br /><br />
<math>-x^2 + 2,25 = 0</math> <br /><br />
<math>\Leftrightarrow x^2 = 2,25</math> <br /><br />
<math>\Rightarrow x_1 = 1,5</math> und <math>x_2 = -1,5</math><br />
<br />
Ergebnis: Die Breite des Torbogens am Boden (auf der x-Achse) beträgt: <math>2 \cdot 1,5 = 3</math> Meter<br />
<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}} <!-- Ende 1. Aufgabe --><br />
<br />
<h5 class="sr-only">2. Aufgabe (Üben) - Schräger Wurf</h5><br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Üben) - Schräger Wurf<br />
|2=Ein Ball wird in einem Winkel von 45° (in Bezug auf den ebenen Boden) abgeschossen und trifft nach 10 m wieder auf dem Boden auf. Die Flugbahn entspricht im mathematischen Modell einer Parabel, wobei Reibungseffekte vernachlässigt werden. (Siehe QF09 Abbildung 2 Wurf).<br />
# Welche Flughöhe erreicht der Ball im höchsten Punkt seiner Flugbahn?<br />
# In welcher Höhe befindet sich der Ball in dem Moment, in dem er 8 m weit geflogen ist? <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Modellierung: Man kann den Startpunkt der Flugbahn beispielsweise in den Koordinatenursprung <math> (0|0) </math> legen. Der Zielpunkt ist dann der Punkt <math> (10|0) </math> und die Linearfaktorform bzw. die Normalform der Wurfparabel lauten: <math>f(x) = a x (x -10) </math> <math> = ax^2 -10ax </math> <br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Bestimmung des Faktors <math> a </math> in der Funktionsgleichung <math>f(x) = a x (x -10) </math> <math> = ax^2 -10ax </math> <br />
<br />
Wegen der Achsensymmetrie der Parabel liegt die x-Koordinate des Scheitelpunkts <math>x_S</math> in der Mitte zwischen den Nullstellen <math>x_1 = 0</math> und <math>x_2 = 10</math>. Daher ist <math>x_S=5</math>.<br />
<br />
Wegen des Abschusswinkels von 45° beträgt die Steigung an der Nullstelle <math>x_1 = 0</math> (im Startpunkt) <math>m = 1</math>. Durch Einsetzen in die Steigungsformel <math> m = 2 a x_t + b </math> erhält man: <br /> <br />
<math> 1 = 2 a \cdot 0 - 10 a </math> <br /><br />
<math>\Rightarrow 1 = -10 a </math> <br /><br />
<math>\Rightarrow a = -\frac{1}{10}</math> <br />
<br />
<math> f(x)= -\frac{1}{10} x^2 + x </math> <br />
<br />
# Maximale Flughöhe: <math>f(5) = -\frac{1}{10} \cdot 5^2 +5</math> <math>= -2,5 +5 = 2,5</math> <br />
# Flughöhe nach 8 m: <math>f(8) = -\frac{1}{10} \cdot 8^2 +8</math> <math>= -6,4 +8 = 1,6</math><br />
<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}} <!-- Ende 2. Aufgabe --><br />
<br />
<h5 class="sr-only">3. Aufgabe (Üben) - Kanalquerschnitt</h5><br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Üben) - Kanalquerschnitt<br />
|2=Ein geplanter Wasserkanal soll im Querschnitt die Form einer Parabel erhalten und 4 m breit werden. Außerdem soll das Kanalbett im Querschnitt an seinen steilsten Stellen mit einer Steigung von <math>m = -1,2</math> gegenüber dem ebenen Erdboden abfallen bzw. mit <math>m = +1,2</math> ansteigen. Wie tief wird der Kanal an seiner tiefsten Stelle?<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
Man kann den ebenen Boden als x-Achse betrachten und die Modellierungsfunktion so wählen, dass der Scheitelpunkt der Parabel auf der y-Achse liegt. Modellierungsfunktion: <math>f(x) = a (x+2) (x-2)</math> <math>= ax^2 -4a </math> <math> = ax^2 + e </math> <br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
<math>f(x) = ax^2 +e </math> <math>= a(x+2)(x-2)</math> <math>= ax^2 -4a </math><br />
<br />
Der Parabelabschnitt, der im Modell den Querschnitt des Kanals darstellt, besitzt in seiner rechten Nullstelle <math>x_2 = 2</math> die größte Steigung <math>m_2 = +1,2</math>. Um den Streckfaktor <math> a=0 </math> zu berechnen, kann man beide zusammen mit <math> b=0 </math> in die Steigungsformel <math>m = 2a x_t + b </math> einsetzen: <br /> <br />
<math>1,2 = 2a \cdot 2 +0 =4a </math> <math>\Rightarrow a = 0,3 </math> <br /> Für die y-Koordinate des Scheitelpunktes erhält man damit <math> e = -4a </math> <math>=- 4 \cdot 0,3</math> <math>= -1,2 </math> <br /><br />
<math>\Rightarrow f(x)= 0,3 x^2 -1,2 </math><br />
<br />
Ergebnis: Der Kanal wird 1,2 Meter tief. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}} <!-- Ende 3. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
==== Extremwertaufgaben ====<br />
<br />
Bei Extremwertaufgaben geht es darum, eine bestimmte Größe zu optimieren. Das kann z.B. der Gewinn eines Unternehmens sein, der möglichst groß werden soll, oder der Materialverbrauch bei der Herstellung eines Produktes, der minimiert werden soll. Ein sehr einfaches Beispiel ist folgende Optimierungsaufgabe:<br />
<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Arial24.pdf|mini|350px|right|alternativtext=Das Blatt QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe enhält drei Abbildungen: eine Skizze mit einem Rechteck von 12 cm mal 4 cm, eine Skizze mit einem Rechteck von 10 cm mal 6 cm und den Graphen der Zielfunktion <math> A(x) = -x^2 +16x </math>|QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Arial24.pdf<br />Skizzen zum Beispiel Extremwertaufgabe Rechteck]]<br />
<br />
<h5 class="sr-only">Beispiel Extremwertaufgabe Rechteck</h5> <br />
{{Box<br />
|1= Beispiel Extremwertaufgabe Rechteck<br />
|2= Gesucht werden die Länge und die Breite eines Rechtecks, dessen Umfang 32 cm beträgt und dessen Flächeninhalt dabei möglichst groß sein soll. <br />
<br />
Rechtecke mit einem Umfang von 32 cm gibt es zunächst einmal viele. So besitzt z.B. sowohl ein Rechteck mit einer Länge von x = 12 cm und einer Breite von y = 4 cm einen Umfang von <math>U = 2 \cdot (x+y) = 2 \cdot (12 \text{ cm}+4 \text{ cm}) = 32 \text{ cm} </math> ebenso wie auch ein Rechteck mit einer Länge von <math>x = 10 \text{ cm} </math> und einer Breite von <math>y = 6 \text{ cm} </math> usw. (Siehe QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Rechteck)<br />
<br />
Die ''Flächeninhalte'' dieser Rechtecke sind aber ''nicht'' gleich groß. Im ersten Beispielrechteck beträgt der Flächeninhalt <math>A = x \cdot y = 12 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 48 \text{ cm}^2</math>, im zweiten Beispiel beträgt er <math>A = x \cdot y = 10 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2</math>. Es stellt sich daher die Frage, wie x und y gewählt werden müssen, damit der Flächeninhalt A maximal wird. <br />
<br />
Eine Lösungsidee könnte darin bestehen, verschiedene Werte für x und y auszuprobieren. Mit dieser Strategie kommt man bei dieser sehr einfachen Aufgabe auch tatsächlich relativ schnell zur gesuchten Lösung.<br />
<br />
Bei komplexeren Aufgaben mit weniger "glatten" Zahlen ist das Ausprobieren aber keine besonders effektive Methode. Hier ist es günstiger, wenn man einen Weg findet, mit dem man die Lösung gezielt ''berechnen'' kann. Ein solcher Lösungsweg wird hier vorgestellt:<br />
|3=Lösung<br />
}}{{clear}}{{Box<br />
|1= Lösungsweg für Extremwertaufgaben in vier Schritten<br />
|2= <br />
; 1. Schritt - Zielfunktion aufstellen<br />
: Im ersten Schritt stellt man eine Funktionsgleichung auf, in der die Größe, die optimiert werden soll, als Funktionswert in Abhängigkeit von anderen Größen dargestellt wird. Eine solche Funktion wird auch als "'''Zielfunktion'''" bezeichnet. In unserem Beispiel soll der Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seitenlängen x und y maximiert werden. Die bekannte Formel für den Flächeninhalt lautet: <math>A = x \cdot y</math>. Der Flächeninhalt A hängt von den Seitenlängen x und y ab. Als Funktion kann man das auch so schreiben: <math>A(x,y) = x \cdot y</math><br />
<br />
; 2. Schritt - Gleichung für Nebenbedingung aufstellen<br />
: Eine Problem besteht nun darin, dass die Zielgröße A von ''zwei'' anderen Größen, nämlich x und y abhängt. Das kann man aber mithilfe der Vorgabe, dass der Umfang 32 cm betragen soll, (der so genannten "'''Nebenbedingung'''") leicht ändern, indem man die Beziehung zwischen den beiden unabhängigen Größen x und y als Gleichung schreibt, in der die eine von der anderen abhängt: <br /><math> U = 2 \cdot (x +y) = 32 </math> <math> \Rightarrow x +y = 16 </math> <math> \Rightarrow y =16 -x </math><br />
<br />
; 3. Schritt - Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen<br />
: Wenn man diesen Ausdruck für y in die Zielfunktion einsetzt, erhält man eine Funktionsgleichung, in der der Flächeninhalt A nur noch von x abhängt: <math> A(x) = x \cdot (16 -x) = -x^2 +16x </math><br />
: Dass diese Funktionsgleichung tatsächlich den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von x liefert, kann man auch noch einmal an den beiden Beispielen von oben überprüfen: <br /> Für x = 12 ist <math>A(12) = -12^2 +16 \cdot 12 = -144 + 192 = 48</math> <br /> Für x = 10 ist <math>A(10) = -10^2 +16 \cdot 10 = -100 + 160 = 60</math> <br />Wie kommen wir nun zum gesuchten x, bei dem <math>A(x)</math> maximal wird?<br />
<br />
; 4. Schritt - Extremum der Zielfunktion ermitteln<br />
: Die Funktion <math> A(x) = -x^2 +16x </math> ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist (siehe QF09 Abbildungen 4a-c Beispiel Extremwertaufgabe Rechteck). Der höchste Punkt dieser Parabel ist ihr Scheitelpunkt. Dieser besitzt von allen Parabelpunkten die größte y-Koordinate, also den größten Funktionswert <math>A(x)</math> und das ist in diesem Sachzusammenhang zugleich der größte Flächeninhalt des Rechtecks. Die Frage nach dem größten Flächeninhalt wird also durch die Modellierung zurückgeführt auf die Frage nach dem höchsten Parabelpunkt. Das gesuchte x ist der x-Wert des Scheitelpunktes dieser Parabel. <br />
: Aus der Linearfaktorform der Funktion <math>A(x) = x \cdot (16 -x)</math> kann man ihre Nullstellen direkt ablesen. Sie lauten <math>x_1 = 0</math> und <math>x_2 = 16</math>. Die x-Koordinate <math>x_s</math> des Scheitelpunktes liegt (wegen der Achsensymmetrie der Parabel) in der Mitte zwischen den Nullstellen und lautet daher <math>x_s = 8</math>. Der maximale Flächeninhalt ist entsprechend <math>A(x_s) = A(8)</math> <math>= -8^2 +16 \cdot 8</math> <math>= -64 +128 = 64 \; ( \text{ cm}^2)</math><br />Das gesuchte Rechteck hat also eine Länge von <math>x_s = 8 \text{ cm}</math>. Seine Breite beträgt <math>y_s = 16 - x_s</math> <math>= 16 -8 = 8 \; ( \text{ cm})</math>.<br />
<br />
; Ergebnis<br />
: Bei dem gesuchten Rechteck mit maximalem Flächeninhalt handelt es sich um ein Quadrat mit der Seitenlänge 8 cm.<br />
|3=<br />
|Farbe={{Farbe|grau|hell}}<br />
}}<br />
<br />
[[Datei:QF09 Abbildungen 5 und 6 Arial24.pdf|mini|350px|right|alternativtext=Das Blatt QF09 Abbildungen 5 und 6 enhält zwei Abbildungen: eine Skizze mit einem Rechteck, das nur von drei Seiten begrenzt wird und ein Skizze mit einem Dreieck, das ein Rechteck enthält.|QF09 Abbildungen 5 und 6 Arial24.pdf<br />Skizzen zur 4. und 5. Aufgabe ]]<br />
<br />
<h5 class="sr-only">4. Aufgabe (Üben) - Zaun</h5> <br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Üben) - Zaun<br />
|2=<br />
Eine rechteckige Fläche soll als Auslauf für Tiere eingezäunt werden. Drei Seiten des Auslaufs werden durch einen insgesamt 24 m lange Zaun begrenzt. Für die vierte Seite wird kein Zaun benötigt, da der Auslauf hier von einer Hauswand begrenzt wird (siehe Abbildung QF09 Abbildung 5 Zaun). Wie müssen die Seiten x und y des Rechtecks gewählt werden, damit der Auslauf eine möglichst große Fläche einnimmt und wie groß ist diese Fläche?<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Zielfunktion: <math>A(x,y) = x \cdot y </math> <br />
# Nebenbedingung: <math>2x +y = 24 \Rightarrow y = -2x +24</math><br />
# Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen: <math>A(x) = x \cdot (-2x +24)</math> <math>= -2\cdot x \cdot (x -12) </math> <br />
# Extremum der Zielfunktion: Nullstellen sind <math> x_1 = 0 </math> und <math> x_2 = 12 </math>. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen und lautet daher <math>x_s = 6</math>. Das entsprechende y ist <math> y_s = -2x_s +24 </math> <math>= -2 \cdot 6 + 24 = 12</math>. <br />
# Ergebnis: Die Seitenlängen des Auslaufs müssen 6 m und 12 m betragen, damit der Flächeninhalt maximal wird. Dieser beträgt dann <math>A(x_s, y_s) = A(6, 12) </math> <math>= 6 \text{ m }\cdot 12 \text{ m }</math> <math>= 72 \; \text{ m}^2 </math>.<br />
<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}} <!-- Ende 4. Aufgabe --><br />
<br />
<h5 class="sr-only">5. Aufgabe (Üben) - Dreieck</h5> <br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Üben) - Dreieck<br />
|2=<br />
Aus einer Holzplatte, die die Form eines rechtwinkligen Dreiecks besitzt, soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt ausgeschnitten werden. Die Katheten des Dreiecks, also die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, sind 90 cm und 60 cm lang. Ein Eckpunkt des Rechtecks liegt auf der Hypotenuse des Dreiecks (Dreiecksseite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt), die anderen liegen auf den Katheten (siehe QF09 Abbildung 6 Dreieck). Wie müssen die Seiten des Rechtecks gewählt werden, damit sein Flächeninhalt möglichst groß wird und wie groß ist dieser Flächeninhalt dann?<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Zielfunktion: <math>A(x,y) = x \cdot y </math> <br />
# Nebenbedingung: Man kann den Dreieckspunkt mit dem rechten Winkel in den Ursprung eines Koordinatensystems legen und die Katheten auf die Koordinatenachsen. Die Hypotenuse kann man dann als Strecke auf der Geraden <math>y = -1,5x + 90 </math> betrachten. Die Strecke ist der Teil der Geraden, der im 1. Quadranten verläuft. <br />
# Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen: <math>A(x) = x \cdot (-1,5x + 90) </math> <math>= -1,5 \cdot x \cdot (x -60) </math> <br />
# Extremum der Zielfunktion: Nullstellen der Zielfunktion sind <math> x_1 = 0 </math> und <math> x_2 = 60 </math>. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen und lautet daher <math>x_s = 30</math>. Das entsprechende y ist <math> y_s = -1,5 \cdot 30 +90 </math> <math> = 45</math>. <br />
# Ergebnis: Die Seitenlängen des Rechtecks müssen 30 cm und 45 cm betragen, damit der Flächeninhalt maximal wird. Dieser beträgt dann <math>A(x_s, y_s) = A(30, 45) </math> <math>= 30 \text{ cm }\cdot 45 \text{ cm } </math> <math>= 1350 \text{ cm}^2 </math>.<br />
<br />
<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}} <!-- Ende 5. Aufgabe --><br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF08_Parabeln_und_Geraden&diff=151286Lernpfad Quadratische Funktionen/QF08 Parabeln und Geraden2026-03-22T10:07:59Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann|Titel = Lernschritt Parabeln und Geraden<br />
|<br />
* In diesem Lernschritt geht es um die Schnittpunkte von Parabeln und Geraden. Es stellt sich heraus, dass die Schnittpunktberechnung direkt auf die schon bekannte Nullstellenberechnung zurückgeführt werden kann. <br />
* Das gilt auch für die Schnittpunkte zweier Parabeln.<br />
* Außerdem wird noch der Sonderfall beleuchtet, dass eine Gerade eine Parabel nur in einem einzigen Punkt als Tangente berührt. Dieser Fall hängt eng zusammen mit der Frage, wie man die ''Steigung einer Parabel in einem Punkt'' definieren und berechnen kann.<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Schnittpunkte von Parabel und Gerade<br />
|2=<div style="float:right; margin-left:20px > <!-- 2 Abbildungen rechts mit Text links davon --><br />
{{2Spalten<br />
|<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|350px|[[:Datei:QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF08 Abbildung 1 Arial24.pdf]]<br />Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> und Gerade <math>h(x) =2x -5</math>]] <br />
| <!-- Spaltenwechsel --><br />
[[Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|350px|[[:Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf]]<br />Parabel <math>f(x) =x^2 -6x +5</math>]]<br />
}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
</div><br />
In der Abbildung QF08 Abbildung 1 sind die Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> (als durchgezogene Linie) und die Gerade <math>h(x) =2x -5</math> (als gestrichelte Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen in den Punkten <math>S_1(1|-3) </math> und <math>S_2(5|5) </math> schneiden. <br />
# Bestimme die Schnittpunkte beider Graphen ''rechnerisch''. <br />
# Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel <math>f(x) =x^2 -6x +5</math> (QF05 Abbildung 1)?<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen. <br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=1. <br /><br />
<math>g(x) = h(x) </math> <br /> <br />
<math>\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -5 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}} <math> -2x +5 </math> <br /> <br />
<math>\Leftrightarrow x^2 -6x +5 = 0 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}} pq-Formel anwenden <br /> <br />
<math>\Rightarrow x_1 = 1 </math> und <math> x_2 = 5 </math> <br /> <br />
Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung <math>h(x)</math>, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen (und in <math>g(x)</math> zur Kontrolle): <br /> <br />
<math> h(1) = 2 \cdot 1 -5 = -3 </math> <br /> <br />
<math> g(1) = 1^2 -4\cdot 1 = -3 </math> <br /> <br />
<math> h(5) = 2 \cdot 5 -5 = 5 </math> <br /> <br />
<math> g(5) = 5^2 -4\cdot 5 = 5 </math> <br /> <br />
Schnittpunkte von <math>g</math> und <math>h</math>: <math>S_1(1|-3)</math> und <math>S_2(5|5)</math><br /><br />
2. <br />Die Berechnung der Schnittpunkte von <math>g</math> und <math>h</math> führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von <math>f(x) =x^2 -6x +5</math> zu lösen ist. Die ''Schnittstellen'' von <math>g</math> und <math>h</math> sind also die ''Nullstellen'' der Parabel <math>f</math>. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <!-- Ende 1. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Schnittpunkt von Parabel und Tangente<br />
|2=<div style="float:right; margin-left:20px ><br />
{{2Spalten<br />
|<br />
[[Datei:QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf|mini|350px|[[:Datei:QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf|QF08 Abbildung 2 Arial24.pdf]]<br />Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> und Gerade <math>t(x) =2x -9</math>]] <br />
| <!-- Spaltenwechsel --><br />
[[Datei:QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf|mini|350px|[[:Datei:QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf|QF08 Abbildung 3 Arial24.pdf]]<br />Parabel <math>f(x) =(x-3)^2</math>]]<br />
}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
</div><br />
In der Abbildung QF08 Abbildung 2 sind die Parabel <math>g(x) =x^2 -4x </math> (als durchgezogene Linie) und die Gerade <math>t(x) =2x -9</math> (als Strich-Punkt-Linie) dargestellt. Die Abbildung legt nahe, dass sich die beiden Graphen im Punkt <math>S(3|-3) </math> berühren, die Gerade <math>t</math> also eine ''Tangente'' der Parabel ist. <br />
# Bestätige ''rechnerisch'', dass es sich bei der Geraden <math>t</math> tatsächlich um eine Tangente an die Parabel <math>g</math> handelt, d.h. dass beide Graphen tatsächlich nur genau einen gemeinsamen Schnittpunkt (Berührpunkt) haben und dieser die Koordinaten <math>S(3|-3) </math> besitzt.<br />
# Welcher Zusammenhang besteht zu der Parabel <math>f(x) =x^2 -6x +9</math> (QF08 Abbildung 3)?<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Allgemeiner Ansatz zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen: Die Funktionsterme gleichsetzen. <br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=1. <br /><br />
<math>g(x) = t(x) </math> <br /> <br />
<math>\Leftrightarrow x^2 -4x = 2x -9 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}} <math> -2x +9 </math> <br /> <br />
<math>\Leftrightarrow x^2 -6x +9 = 0 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}} 2. binomische Formel anwenden <br /> <br />
<math>\Leftrightarrow (x-3)^2 = 0 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;{{!}} (doppelte) Nullstelle ablesen <br /> <br />
<math>\Rightarrow x_1 = x_2 = 3 </math> <br /> <br />
Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung <math>t(x)</math>, um die y-Koordinaten des Berührpunktes zu bestimmen (in <math>g(x)</math> zur Kontrolle): <br /> <br />
<math> t(3) = -2 \cdot 3 -9 = - 3 </math> <br /> <br />
<math> g(3) = 3^2 -4\cdot 3 = -3 </math> <br /> <br />
Berührpunkt von <math>g</math> und <math>t</math>: <math>S(3|-3)</math> <br /><br />
<br />
2. <br />Der Ansatz zur Berechnung der Schnittpunkte von <math>g</math> und <math>t</math> führt zu der gleichen quadratischen Gleichung, die auch bei der Berechnung der Nullstellen von <math>f(x) =x^2 -6x +9 = (x -3)^2 </math> zu lösen ist. Die ''Berührstelle'' von <math>g</math> und <math>t</math> ist also die (einzige) ''Nullstelle'' der Parabel <math>f</math>. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <!-- Ende 2. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Üben) - Schnittpunkte berechnen<br />
|2=Gegeben sind eine quadratische Funktion <math>f</math> und eine lineare Funktion <math>g</math>. Berechne die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.<br />
# <math>f(x) =x^2</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) = x +2</math><br />
# <math>f(x) = x^2 -3x +9</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) = 2x +3</math><br />
# <math>f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =0,5x -3</math><br />
# <math>f(x) =2x^2 +2x +1</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =-2x -1</math><br />
# <math>f(x) =-0,5x^2 +6x</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =0,5x +12</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# <math>S_1(-1|1)</math>) ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(2|4)</math> <br />
# <math>S_1(2| 7)</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(3|9)</math><br />
# <math>S_1(1|-2,5)</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(3|-1,5)</math><br />
# <math>S(-1|1)</math> <br />
# <math>S_1(3|13,5)</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(8|16)</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}} <!-- 3. Aufgabe --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Üben) - Schnittpunkte zweier Parabeln<br />
|2=Gegeben sind eine zwei quadratische Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>. Berechne die Schnittpunkte beider Parabeln.<br />
# <math>f(x) =0,5x^2 -1,5x -1,5</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =-0,5x^2 -x +1,5</math><br />
# <math>f(x) =x^2 -5x +9</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =2x^2 -x -12</math><br />
# <math>f(x) =2x^2</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>g(x) =-4x^2</math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# <math>S_1(-1,5|1,875)</math>) ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(2|-2,5)</math> <br />
# <math>S_1(-7|93)</math> ; &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>S_2(3|3)</math><br />
# <math>S (0|0)</math> <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}} <!-- 4. Aufgabe --><br />
<br />
====Der Parabelrechner====<br />
Mithilfe einer Normalparabel kann man beliebige Zahlen "graphisch multipliziert". ''Wie'' das praktisch geht, wird hier an einem sehr einfachen Beispiel erklärt. Aber eine rechnerische Begründung dafür zu finden, ''warum'' es tatsächlich immer funktioniert, das ist anschließend deine Aufgabe.<br />
<br />
In unserem Beispiel sollen die beiden Zahlen 2 und 3 multipliziert werden. Da die Zahlen recht klein sind, reicht dafür die Normalparabel in der Abbildung QF01 Normalparabel Arial24.pfd aus. Für die Multiplikation größerer Zahlen benötigt man eine größere Normalparabel. Eine solche hängt z.B. im Mathematikum in Gießen als Exponat an der Wand. Eine Beschreibung dieses Parabelrechners findet man auch auf der Seite der Mathotek [https://mathothek.de/katalog/der-parabelrechner-er-ist-keine-konkurenz-fuer-den-taschenrechner/ Der Parabelrechner - Er ist keine Konkurrenz für den Taschenrechner]<br />
<br />
<div style="float:right; margin-right:0px ><br />
[[Datei:QF08 Parabelrechner Arial24.pdf|mini|400px|right|[[:Datei:QF08 Parabelrechner Arial24.pdf|QF08 Parabelrechner Arial24.pdf]]]]<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Beispiel - Wie multipliziert man mit dem Parabelrechner?<br />
|2=<br />
Um beispielsweise die Zahlen <math>u=2</math> und <math>v=3</math> mit der Normalparabel graphisch zu multiplizieren, geht man zunächst im Koordinatensystem vom Ursprung aus um <math>u=2</math> Einheiten nach links, also zum Punkt <math>(-2|0)</math> und von dort aus senkrecht nach oben, bis man im Punkt <math>U(-2|4)</math> auf die Normalparabel trifft. Anschließend geht man vom Ursprung aus um <math>v=3</math> Einheiten nach rechts, also zum Punkt <math>(3|0)</math> und von dort aus senkrecht nach oben, bis man im Punkt <math>V(3|9)</math> auf die Normalparabel trifft. Nun zeichnet man die Strecke <math>\overline{UV}</math>. In der Abbildung kann man nun ablesen, dass diese Strecke <math>\overline{UV}</math> die y-Achse im Punkt <math>P(0|6)</math> schneidet. Die y-Koordinate 6 dieses Schnittpunktes ist das Produkt der beiden Ausgangszahlen <math>u</math> und <math>v</math>, denn es ist <math>u \cdot v = 2 \cdot 3 = 6 </math><br />
|3=Lösung}}<br />
<br />
Es stellt sich die Frage: Warum und wie funktioniert dieser Parabelrechner eigentlich? Das soll in den nächsten beiden Aufgaben untersucht werden - erst am Beispiel <math>u=2</math> und <math>v=3</math> und dann anschließend für beliebige Faktoren <math>u</math> und <math>v</math>.<br />
<br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Begründen) - Parabelrechner Begründung am Beispiel<br />
|2=Begründe rechnerisch für die Zahlen <math>u=2</math> und <math>v=3</math>, dass die Gerade durch die Parabelpunkte <math>U(-2|(-2)^2)</math> und <math>V(3|3^2)</math> die y-Achse im Punkt <math>(0|u \cdot v) = (0|6) </math> schneidet.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Man stellt die Gleichung der Geraden <math>g(x) =m \cdot x +b</math> auf, die durch die Punkte <math>U(-2|(-2)^2)</math> und <math>V(3|3^2)</math> geht. Dazu bestimmt man zunächst den Steigungsfaktor <math> m </math> und anschließend den y-Achsenabschnitt <math> b</math>. <br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<math>m= \frac{3^2 -(-2)^2}{3-(-2)} = \frac{9 -4}{3 +2} = \frac{5}{5} = 1</math> <br /><br />
<br />
Um <math>b</math> zu berechnen, kann man <math> m=1 </math> und die Koordinaten eines der beiden Punkte (z.B. <math>V(3|9)</math>) in die Geradengleichung <math>g(x) =m \cdot x +b</math> einsetzen: <br />
<br />
<math>g(3) = 1 \cdot 3 + b = 9 </math> <br /><math>\Leftrightarrow b =6 =2 \cdot 3 </math> <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}} <!-- Ende 5. Aufgabe --><br />
</div> <!-- Ende div --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=6. Aufgabe (Begründen) - Parabelrechner Beweis allgemein<br />
|2= Begründe rechnerisch für beliebige Zahlen <math>u, v \in \mathbb {R} </math> ganz allgemein, dass die Gerade durch die Parabelpunkte <math>U(-u|(-u)^2)</math> und <math>V(v|v^2)</math> die y-Achse im Punkt <math>(0|u \cdot v)</math> schneidet.<br />
<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Man stellt die Gleichung der Geraden <math>g(x) =m \cdot x +b</math> auf, die durch die Punkte <math>U(-u|(-u)^2)</math> und <math>V(v|v^2)</math> geht. Dazu bestimmt man zunächst den Steigungsfaktor <math> m </math> und anschließend den y-Achsenabschnitt <math> b</math> in Abhängigkeit von <math>u </math> und <math> v </math>. <br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<math>m= \frac{v^2 -(-u)^2}{v-(-u)} = \frac{v^2 -u^2}{v+u} </math> <br /><br />
<math>= \frac{(v+u)\cdot (v-u)}{v+u} = v-u </math><br />
<br />
Um <math>b</math> zu berechnen, kann man <math> m=v-u </math> und die Koordinaten eines der beiden Punkte (z.B. <math>V(v|v^2)</math>) in die Geradengleichung <math>g(x) =m \cdot x +b</math> einsetzen: <br />
<br />
<math>g(v) = (v-u) \cdot v +b = v^2 </math> <br /><math>\Leftrightarrow v^2 - u \cdot v +b = v^2 </math> <br /><math>\Leftrightarrow b = u \cdot v</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}} <!-- Ende 6. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
====Steigung einer Parabel====<br />
Eine Gerade mit der Funktionsgleichung <math>g(x) =mx + n</math> ist überall "gleich steil", besitzt also in jedem Punkt den gleichen Steigungsfaktor <math>m</math> . Eine Normalparabel wird dagegen immer steiler, je weiter man sich auf ihr vom Scheitelpunkt entfernt. (Siehe dazu auch [[Lernpfad Quadratische Funktionen#Die Parabel-Treppe/QF01 Normalparabel|QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe]].) Bei ihr ändert sich die Steigung sogar kontinuierlich von Punkt zu Punkt.<br />
<br />
Es stellt sich die Frage, wie man eine solche Steigung berechnen kann. Mithilfe der ''Differentialrechnung'' ist das für eine große Anzahl von Funktionen möglich. Für eine Parabel der Form <math>f(x) =a x^2 +bx +c </math> geht das aber auch ohne Differentialrechnung mithilfe der pq-Formel. <br />
<br />
{{Box<br />
|1=Parabelsteigung als Tangentensteigung<br />
|2=<br />
Für eine Parabel <math>f(x) =a x^2 +bx +c</math> (<math>a \not= 0</math>) definiert man die '''Steigung in einem Parabelpunkt <math>T(x_t|y_t)</math>''' als Steigung <math> m </math> der Tangente, die die Parabel im Punkt <math> T </math> berührt. Diese Steigung lässt sich berechnen mit der Formel <br />
: <math> \boldsymbol{m = 2ax_t +b} </math>.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
In der folgenden Aufgabe geht es darum, die Steigungsformel einer Parabel herzuleiten und anzuwenden.<br />
<br />
{{Box<br />
|1=7. Aufgabe (Begründen) - Parabel und Tangentengleichung<br />
|2=<br />
# Gegeben ist die Gerade <math>t(x) = mx + n</math>, die die Parabel <math>f(x) =ax^2 +bx +c</math> mit <math>a \not= 0</math> im Punkt <math>T(x_t|y_t) </math> als Tangente berührt. Zeige, dass die Tangente die Steigung <math>m = 2ax_t + b</math> besitzt.<br />
# Bestimme die Gleichung derjenigen Tangente <math>t_1</math>, die die Normalparabel im Punkt <math>T_1(1|1)</math> als Tangente berührt. <br />Zeige, dass man dieses Ergebnis auch erhält, wenn man die Parabel <math>g(x) = x^2 -4x</math> aus der 2. Aufgabe zu der Normalparabel <math>f(x) = x^2</math> verschiebt und diese Verschiebung auch auf die Tangente <math>t(x) =2x -9</math> und den Berührpunkt aus der 2. Aufgabe anwendet. <br />
# Berechne die Steigung der Normalparabel in den Punkten <math>T_2(2|4)</math> und <math>T_{-2}(-2|4)</math>. Was fällt dir auf?<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Durch Gleichsetzen der Funktionsterme <math>f(x) =ax^2 +bx +c</math> und <math>t(x) = mx +n</math> entsteht eine quadratische Gleichung. Da sich die Graphen nur in einem einzigen Punkt berühren, hat diese Gleichung auch nur eine einzige Lösung. Was bedeutet das für die Diskriminante?<br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Lösung zu 1.<br />
<br />
Gegeben: <math>f(x) = a x^2 + bx +c</math> &nbsp; und &nbsp; <math>t(x) = m x +n</math> <br /><br />
Ansatz: <math>f(x) = t(x)</math><br />
<br />
<math>a x^2 +bx + c = m x +n</math> &nbsp; &nbsp; {{!}} <math> -mx - n</math><br /><br />
<math>\Leftrightarrow a x^2 + bx - mx +c -n =0</math> &nbsp; &nbsp; {{!}} zusammenfassen durch Ausklammern von <math>x</math><br /><br />
<math>\Leftrightarrow a x^2 + (b -m)x +c -n =0</math> &nbsp; &nbsp; {{!}} durch <math>a</math> dividieren, um pq-Formel anwenden zu können <br /><br />
<math>\Leftrightarrow x^2 + \frac{b -m}{a} \cdot x +\frac{c -n}{a} = 0</math> <br /><br />
<br />
Für die x-Koordinate des Berührpunktes liefert die pq-Formel genau eine Lösung. Dabei ist die Diskriminante <math>D = 0 </math>. Anwendung der pq-Formel:<br /><br />
<math>x_t = -\frac{1}{2} \cdot \frac{b-m}{a} \pm \sqrt{\;0\;}</math> <br /><br />
<math>\Rightarrow x_t = -\frac{b-m}{2a} </math> <br /><br />
<math>\Rightarrow x_t = \frac{m-b}{2a} </math> <br /><br />
<math>\Rightarrow 2 a x_t = m-b </math> <br /><br />
<math>\Rightarrow \boldsymbol{m = 2 a x_t + b}</math> <br />
<br />
<br />
Lösung zu 2.<br />
<br />
Für <math>x_t = 1</math>, &nbsp; <math>a = 1</math> und <math>b = 0</math> erhält man: <br /><br />
<math>m = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2</math><br /><br />
<math>y_t </math> berechnen durch Einsetzen von <math>x_t =1</math> in die Parabelgleichung:<br /><br />
<math>y_t = x_t^2 = 1^2 = 1 </math><br /><br />
<math>x_t =1</math>, <math>y_t =1</math> und <math>m = 2</math> in die Tangentengleichung <math>t(x) = m x +n</math> einsetzen, um <math> n </math> zu berechnen:<br /><br />
<math>y_t = m \cdot x_t + n </math><br /><br />
<math>1 = 2 \cdot 1 + n </math> <br /><br />
<math>n = 1 -2 = -1 </math> <br /><br />
<math>t_1(x) = 2x -1</math><br />
<br />
Oder mit Verschiebung:<br />
<br />
<math>g(x) = x^2 -4x </math> aus der 2. Aufgabe in Scheitelform umwandeln: <br /><br />
<math>g(x) = x^2 -4x +4 - 4 </math> <br /><br />
<math>= (x -2)^2 -4</math> <br /><br />
Scheitelpunkt von <math>g</math> &nbsp; : &nbsp; <math>S_g(2|-4)</math> <br />
<br />
Die Parabel <math> g </math> kann durch eine Verschiebung um 2 nach links und 4 nach oben "zurück" zur Normalparabel verschoben werden. Diese Verschiebung kann man nun auch auf die Tangente <math>t(x) = 2x -9</math> und den Berührpunkt <math>T(3|-3)</math> aus der 2. Aufgabe anwenden:<br />
<br />
<math>t_1(x) = t(x+2) +4</math> <math>= 2(x+2) -9 +4</math> <math>= 2x +4 -5</math> <math> = 2x -1 </math> <br /><br />
<math>T_1 (3-2|-3+4) = T_1(1|1)</math><br />
<br />
Lösung zu 3.<br />
<br />
Steigung der Normalparabel im Punkt <math>T_2(2|4)</math>:&nbsp; <math> m = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 </math> <br /><br />
Steigung der Normalparabel im Punkt <math>T_{-2}(-2|4)</math>:&nbsp; <math> m = 2 \cdot 1 \cdot (-2) = -4 </math> <br />
<br />
Beide Steigungsfaktoren unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Das passt zu der Tatsache, dass die beiden Punkte <math>T_2(2|4)</math> und <math>T_{-2}(-2|4)</math> gleich weit von der y-Achse entfernt sind und die Parabel achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft: Die Parabel fällt im Punkt <math>T_{-2}(-2|4)</math> im gleichen Maße von links nach rechts, in dem sie im Punkt <math>T_2(2|4)</math> von links nach rechts ansteigt.<br />
<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}} <!-- Ende 7. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann man die Form und Lage der Parabel <math> f(x) =a x^2 +bx +c </math> mit den Schiebereglern für die Parameter verändern. Außerdem kann man mit der Maus den Berührpunkt der Tangente auf der Parabel verschieben oder seine Position mit dem Schieberegler <math>x_t</math> verändern. <br />
<br />
<ggb_applet width="659" height="621" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br />
<br />
{{Box<br />
|1=8. Aufgabe (Üben) - Parabelsteigung berechnen<br />
|2=<br />
Berechne die Steigung der Parabel <math>f(x) = -0,5 x^2 -1,5 x +2 </math> an der Stelle <math> x_t = -1 </math>.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1= Setze in die Steigungsformel <math> m = 2 a x_t + b </math> die gegebenen Größen <math> a=-0,5 </math>, <math> b=-1,5 </math> und <math> x_t = -1 </math> ein:<br />
<br />
<math> m = 2 \cdot (-0,5) \cdot (-1) + (-1,5) </math> <math> = -0,5 </math> <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=Üben}} <!-- Ende 8. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=9. Aufgabe (Üben) - Berührpunkt ermitteln<br />
|2=<br />
In welchem Parabelpunkt besitzt die Parabel <math>f(x) = \frac{1}{4} x^2 -1</math> die Steigung <math>m=2</math> ? <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1= In die Steigungsformel <math> m = 2 a x_t + b </math> die gegebenen Größen <math> m=2 </math>, <math> a=\frac{1}{4} </math> und <math> b=0 </math> einsetzen und nach <math> x_t </math> auflösen:<br />
<br />
<math> 2 = 2 \cdot \frac{1}{4} x_t + 0 </math> <br /><br />
<math> \Leftrightarrow x_t = 4 </math> <br /><br />
<math> \Leftrightarrow y_t = \frac{1}{4} 4^2 -1 = 3 </math> <br /><br />
<math> \Rightarrow T(4|3) </math> <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=Üben}} <!-- Ende 9. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=10. Aufgabe (Üben) - Parabelgleichung ermitteln<br />
|2=Die Parabel <math>f(x) =a x^2 +1</math> besitzt in ihrer negativen Nullstelle die Steigung 1.<br />
Berechne den Streckfaktor <math>a</math> und die Nullstellen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
Nullstellen in Abhängigkeit von a: <br /><br />
<math>a x^2 + 1 = 0</math> <br /><br />
<math>\Leftrightarrow x^2 = -\frac{1}{a}</math> <br /><br />
<math>\Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{1}{a}}</math><br />
<br />
(Bitte lass dich nicht durch das Minuszeichen unter der Wurzel irritieren: Eine Parabel, deren Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt und die zugleich Nullstellen besitzt, muss nach unten geöffnet sein. Der Faktor <math> a </math> ist also negativ und damit ist der Bruch unter der Wurzel <math> -\frac{1}{a}</math> eine positive Zahl.)<br />
<br />
Den Koeffizienten <math>a</math> aus der gegebenen Steigung an der Stelle <math>x_t = x_2 = -\sqrt{-\frac{1}{a}} </math> ermitteln: <br /><br />
<math>m = 2a \cdot x_t </math> <br /><br />
<math>\Rightarrow m = 2a \cdot \left( -\sqrt{-\frac{1}{a}} \right) = 1 </math> <br /><br />
<math>\Rightarrow a \cdot \left( -\sqrt{-\frac{1}{a}} \right)= \frac{1}{2} </math> &nbsp; &nbsp; {{!}} auf beiden Seiten quadrieren<br /><br />
<math>\Rightarrow a^2 \cdot (- \frac{1}{a}) = \frac{1}{4} </math> <br /><br />
<math>\Rightarrow -a = \frac{1}{4} </math> <br /> <br />
<math>\Rightarrow a = - \frac{1}{4} </math> <br />
<br />
Nullstellen berechnen: <br /><br />
<math> - \frac{1}{4} x^2 + 1 = 0 </math> <br /><br />
<math> \Leftrightarrow \frac{1}{4} x^2 = 1 </math> <br /><br />
<math> \Leftrightarrow x^2 = 4 </math> <br /><br />
<math> \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{4} = \pm 2 </math> <br />
<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben<br />
}}<br />
<!-- Ende 10. Aufgabe --><br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF07_Quadratische_Gleichungen&diff=151285Lernpfad Quadratische Funktionen/QF07 Quadratische Gleichungen2026-03-22T10:07:36Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann|Titel = Lernschritt Quadratische Gleichungen lösen<br />
|<br />
* In verschiedenen mathematischen Zusammenhängen kommt es öfters mal vor, dass eine quadratische Gleichung der Form <math>ax^2 +bx +c = 0</math> mit <math>a \not= 0 </math> zu lösen ist. Das ist zwar - wie wir gesehen haben - möglich, indem man die Normalform zuerst mithilfe einer quadratischen Ergängzung in die Scheitelpunktform und diese anschließend mit der 3. binomischen Formel in die Linearfaktorform überführt. Aber dieses Verfahren ist ziemlich aufwendig und langwierig. Eine schnellere Methode besteht darin, entweder die so genannte '''pq-Formel''' oder die '''abc-Formel''' (auch bekannt als "Mitternachtsformel") anzuwenden.<br />
* Allerdings gibt es auch einige Sonderfälle, in denen man auch ganz ohne diese Formeln auskommt. <br />
}}<br />
<br />
====Quadratischen Gleichungen, die man sehr schnell auch ohne pq-Formel lösen kann====<br />
Bevor man die pq-Formel oder die abc-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung <math>ax^2 +bx +c = 0</math> anwendet, sollte man erst mal prüfen, ob nicht einer der folgenden Sonderfälle vorliegt, bei denen man diese Formeln gar nicht benötigt:<br />
; <math>\boldsymbol{c = 0}</math><br />
: In einer Gleichung wie z.B. <math> x^2 -7,63\; x = 0 </math> kann man auf der linken Seite einfach ein <math>x</math> ausklammern und erhält dadurch die Aufspaltung in zwei Linearfaktoren: <math>x \cdot (x -7,63) = 0 </math>. Der eine Faktor ist <math>x</math>, der andere die Klammer <math>(x -7,63)</math>. Nach der Nullprodukt-Regel ist daher entweder <math>x =0</math> oder <math>x -7,63 =0</math>, also <math>x =7,63</math>. Die Nullstellen lauten <math>x_1 =0</math> und <math>x_2 =7,63</math>. <br />
; <math>\boldsymbol{b = 0}</math><br />
: Eine Gleichung wie z.B. <math> x^2 - 2 = 0 </math> kann man direkt mit der 3. binomischen Formel umformen zu <math> (x +\sqrt{2}) \cdot (x -\sqrt{2}) = 0 </math> und darin mit der Nullprodukt-Regel die beiden Lösungen <math> x_1 = -\sqrt{2} </math> und <math> x_2 = +\sqrt{2} </math> ablesen. <br />Alternativ kann man auch die Gleichung <math> x^2 - 2 = 0 </math> umformen zu <math> x^2 = 2 </math>. Hier kann man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen, muss dabei aber bedenken, dass man damit erst einmal nur die ''positive'' Lösung <math> x = +\sqrt{2} </math> erhält und die zweite, negative Lösung noch hinzugefügt werden muss (siehe Kapitel [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel|QF01 Normalparabel]]).<br />
; 1. oder 2. binomische Formel direkt anwenden<br />
: Eine Gleichung wie z.B. <math> x^2 +10x +25 = 0 </math> kann man direkt mit der 1. binomischen Formel in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen und darin die Nullstellen ablesen: <br /><math> x^2 +10x +25 = 0 </math> <math> \Leftrightarrow (x + 5)^2 = 0 </math> <math> \Leftrightarrow (x + 5) \cdot (x +5) = 0 </math>. Hier ist <math> x_1 = x_2 = -5 </math> eine (doppelte) Nullstelle der Funktion <math> f(x) = (x + 5)^2 </math> und damit die Lösung dieser quadratischen Gleichung. <br />
<br />
Im Folgenden wird zuerst die pq-Formel vorgestellt und dann an zwei Beispielen gezeigt, wie man sie anwenden kann. Die pq-Formel ist etwas einfacher als die abc-Formel, leistet letztlich aber nicht weniger. Beiden Formeln liegt die Idee zu Grunde, dass man sie (irgendwann mal vorab) einmalig über den Weg der quadratischen Ergänzung und 3. binomische Formel hergeleitet hat - und zwar ganz allgemein mit den Koeffizienten der quadratischen Gleichung als Variablen. Dadurch erhält man die Lösungen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> als Ausdrücke, die auch wieder diese Koeffizienten enthalten. Das sind die Formeln. Um sie anzuwenden, muss man dann nur noch in ihnen für die Koeffizienten die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung einsetzen. <br />
<br />
{{Box<br />
|1=pq-Formel<br />
|2=Die quadratische Gleichung <math> x^2 +px +q = 0</math> besitzt die ''zwei'' Lösungen <br />
:<math>x_1 = -\frac{1}{2}p + \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}</math> und <math>x_2 = -\frac{1}{2}\;p - \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q}</math>,<br />
wenn der Ausdruck unter der Wurzel (die so genannte "Diskriminante") <math> D = \frac{1}{4}\;p^2 -q > 0 </math> ist. In einer abgekürzten Schreibweise fasst man die beiden Formeln für <math>x_1</math> und <math>x_2</math> auch so zu einer Formel zusammen:<br />
: <math>\boldsymbol{ x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q} } </math><br />
<br />
Wenn <math> D = 0 </math> ist, gibt es genau ''eine'' Lösung <math> x_1 = x_2 = -\frac{1}{2}\;p </math>.<br />
<br />
Wenn <math> D < 0 </math> ist, besitzt die quadratische Gleichung ''keine'' Lösung.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Beispiel - Anwendung der pq-Formel<br />
|2=<br />
Gelöst werden soll die quadratische Gleichung <math> x^2 -6x +5 = 0 </math> mithilfe der pq-Formel (siehe 1. Beispiel im Kapitel [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen|QF06 Linearfaktorform und Nullstellen]])<br />
: <math>x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q} </math><br />
# Schritt: p und q identifzieren: <math>p = -6</math> und <math>q = 5</math><br />
# Schritt: <math> -\frac{1}{2}\;p = -\frac{1}{2} \cdot (-6) = \boldsymbol{3} </math> <br />
# Schritt: Der vordere Ausdruck innerhalb der Wurzel lautet <math>\frac{1}{4}\;p^2</math>. Das ist aber nichts anderes als das Quadrat des Terms <math> -\frac{1}{2}\;p </math>, den wir im 2. Schritt schon berechnet haben - im vorliegenden Beispiel mit dem Ergebnis 3. Wir müssen also lediglich dieses Zwischenergebnis zu <math> 3^2 =9</math> quadrieren und davon <math>q=5</math> subtrahieren, um die gesamte Diskriminante D (den Ausdruck unter der Wurzel) zu berechnen: <br /><math>D = \frac{1}{4}p^2 -q = 9 - 5 = 4 </math><br />
# Schritt: Die Wurzel aus D ziehen: <math> \sqrt{D} = \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q} </math> <math>= \sqrt{4} = \boldsymbol{2} </math><br />
# Schritt: Die Ergebnisse aus dem 2. und dem 4. Schritt einmal addieren und einmal subtrahieren, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu erhalten: <math> x_1 = 3 +2 = 5 </math> und <math> x_1 = 3 -2 = 1 </math>.<br />
|3=Lösung}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Beispiel - Anwendung der pq-Formel<br />
|2=<br />
Gelöst werden soll die quadratische Gleichung <math> \frac{2}{5}\;x^2 +\frac{4}{5}\;x -6 = 0 </math> mithilfe der pq-Formel (siehe Aufgabe 3.3 im Kapitel [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen|QF06 Linearfaktorform und Nullstellen]]).<br />
<br />
Vorbereitender Schritt: Da in diesem Beispiel der Koeffizient <math>a = \frac{2}{5} \not= 1 </math> ist, dividieren wir als erstes die gegebene Gleichung durch diesen Koeffizienten, indem wir mit dem Kehrwert <math>\frac{5}{2} </math> multiplizieren, und erhalten so die Gleichung:<br />
: <math> x^2 +2\;x -15 = 0 </math><br />
Anwendung der pq-Formel:<br />
: <math>x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q} </math><br />
# Schritt: p und q identifzieren: <math>p = 2</math> und <math>q = -15</math><br />
# Schritt: <math> -\frac{1}{2}\;p = -\frac{1}{2} \cdot 2 = \boldsymbol{-1} </math> <br />
# Schritt: Dieses Zwischenergebnis zu <math> (-1)^2 =1</math> quadrieren und davon <math>q=-15</math> subtrahieren, um D zu berechnen. Dabei ist zu beachten, dass hier mit <math>q = -15</math> eine negative Zahl subtrahiert werden muss, was zur Addition von 15 führt: <math>D = 1-(-15) = 1 + 15 = 16 </math><br />
# Schritt: Die Wurzel aus D ziehen: <math> \sqrt{D} = \sqrt{16} = \boldsymbol{4} </math><br />
# Schritt: Die Ergebnisse aus dem 2. und dem 4. Schritt einmal addieren und einmal subtrahieren, um die Lösungen der quadratischen Gleichung zu erhalten: <math> x_1 = -1 +4 = 3 </math> und <math> x_2 = -1 -4 = -5 </math>.<br />
|3=Lösung}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Üben) - pq-Formel anwenden<br />
|2=Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der pq-Formel. Bilde anschließend zur Kontrolle aus den Lösungen die Linearfaktorform und daraus die Normalform der entsprechenden quadratischen Funktion.<br />
# <math> x^2 +4\;x -21 = 0 </math> <br />
# <math> 2\;x^2 -11\;x -6 = 0 </math><br />
# <math> 4\;x^2 +\frac{1}{3}\; x - 2 = 0 </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# <math> p=4 </math>, <math> q=-21 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Lösungen: &nbsp; <math> x_1=3 </math> und <math> x_2=-7 </math><br /><math> (x-3) \; (x+7) = 0 </math> <math> \Leftrightarrow x^2 +4x\; -21 = 0 </math><br />
# <math> p=-\frac{11}{2} </math>, <math> q=-3 </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Lösungen: &nbsp; <math> x_1=-0,5 </math> und <math> x_2=6</math><br /><math> (x+0,5) \; (x-6) = 0 </math> <math> \Leftrightarrow x^2 -5,5\;x -3 = 0 </math> <math> \Leftrightarrow 2\;x^2 -11\;x -6 = 0 </math><br />
# <math> p=\frac{1}{12} </math>, <math> q=-\frac{1}{2} </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Lösungen: &nbsp; <math> x_1=\frac{2}{3} </math> und <math> x_2=-\frac{3}{4}</math><br /><math> (x -\frac{2}{3}) \; (x +\frac{3}{4}) = 0 </math> <math> \Leftrightarrow x^2 +\frac{1}{12}\;x - \frac{1}{2}= 0 </math> <math> \Leftrightarrow 4\;x^2 +\frac{1}{3}\;x -2 = 0 </math><br />
|2= Lösung anzeigen<br />
|3= Lösung verstecken}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Begründen) - Satz von Vieta<br />
|2=Begründe den so genannten "Satz von Vieta", der besagt: Wenn <math>x_1</math> und <math>x_2</math> die Lösungen der quadratischen Gleichung <math>x^2 +p\;x + q = 0</math> sind, dann gilt:<br />
: <math> \boldsymbol{p = -(x_1 + x_2) } </math> und <math> \boldsymbol{ q = x_1 \cdot x_2 } </math><br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1= Wenn <math>x_1</math> und <math>x_2</math> die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind, dann gilt nach der Nullprodukt-Regel: <br />
: <math>(x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; {{!}} Ausmultiplizieren der Klammern:<br />
: <math>x^2 - x_1 \cdot x - x_2 \cdot x + x_1 \cdot x_2 = 0</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; {{!}} Zusammenfassen:<br />
: <math>x^2 - (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 \cdot x_2 = 0</math> <br />
Die quadratische Gleichung besitzt also die Koeffizienten <math> p = - (x_1 + x_2) </math> und <math>q = x_1 \cdot x_2</math>.<br />
|2= Lösung anzeigen<br />
|3= Lösung verstecken}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}} <!-- Ende 2. Aufgabe --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Begründen) - pq-Formel herleiten<br />
|2=Man muss die pq-Formeln nicht unbedingt erst selber hergeleitet haben, bevor man sie anwenden kann - schließlich findet man sie in jeder Formelsammlung. Aber vielleicht reizt es dich ja, diese Herleitung auch selbstständig hinzubekommen?<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Ausgangspunkt ist die Normalform der quadratischen Funktion <math> f(x) = x^2 +p\;x +q </math>. Diese kann durch eine quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt werden. Der Koeffizient <math>p</math> entspricht dabei dem Ausdruck <math> 2\;b </math> in der 1. binomischen Formel. <math> 2\;b = p \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}\;p </math>. Mit der 3. binomischen Formel wird anschließend die Scheitelpunktform in die Linearfaktorform überführt, aus der die Nullstellen abgelesen werden können. <br />
|2= Tipp anzeigen<br />
|3= Tipp verstecken}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Gegeben ist die quadratische Funktion in der Normalform<br />
: <math> f(x) = x^2 +px +q </math>. <br />
Um ihre Nullstellen zu bestimmen, wird diese Normalform zunächst mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt:<br />
: <math> f(x) = x^2 +p\;x + \boldsymbol{\left( \frac{1}{2}\;p \right)^2} - \boldsymbol{\left( \frac{1}{2}\;p \right)^2} +q </math><br />
: <math> f(x) = \boldsymbol{\left( x + \frac{1}{2}\;p \right)^2} - \frac{1}{4}\;p^2 +q </math><br />
: <math> f(x) = \left( x + \frac{1}{2}\;p \right)^2 - \left( \frac{1}{4}\;p^2 -q \right)</math><br />
Um nun die 3. binomische Formel anwenden zu können, wird die hintere Klammer zu einem Quadrat umgeformt:<br />
: <math> f(x) = \left( x + \frac{1}{2}\;p \right)^2 - \boldsymbol{\left( \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right)^2 } </math><br />
Anwendung der 3. binomischen Formel mit <math> a^2 = \left( x + \frac{1}{2}\;p \right)^2 </math> und <math> b^2 = \left( \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right)^2 </math><br />
: <math> f(x) = \left( x + \frac{1}{2}\;p \boldsymbol{+} \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right) \cdot \left( x + \frac{1}{2}\;p \boldsymbol{-} \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} \right) </math><br />
Setzt man diese Linearfaktorform von <math>f</math> gleich Null, so erhält man die Nullstellen:<br />
: <math>x_1 = -\frac{1}{2}\;p \boldsymbol{-} \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} </math> und<br />
: <math>x_2 = -\frac{1}{2}\;p \boldsymbol{+} \sqrt{ \frac{1}{4}\;p^2 -q} </math>.<br />
|2= Herleitung anzeigen<br />
|3= Herleitung verstecken}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}} <!-- Ende 3. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
Die folgende abc-Formel leistet im Prinzip das Gleiche wie die pq-Formel und kann auch auf diese zurückgeführt werden. <br />
<br />
{{Box<br />
|1=abc-Formel ("Mitternachtsformel")<br />
|2=Die quadratische Gleichung <math> a\;x^2 +b\;x +c = 0</math> mit <math> a \not= 0 </math> besitzt die ''zwei'' Lösungen <br />
: <math> \boldsymbol{x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} } </math>, <br />
wenn der Ausdruck unter der Wurzel <math> D = b^2 - 4ac > 0 </math> ist.<br />
<br />
Wenn <math> D = 0 </math> ist, gibt es genau ''eine'' Lösung <math> x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} </math>.<br />
<br />
Wenn <math> D < 0 </math> ist, besitzt die quadratische Gleichung ''keine'' Lösung.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Begründen) - abc-Formel herleiten<br />
|2=Auch die abc-Formeln muss man nicht selbst hergeleitet haben, um sie anwenden zu können. Aber eine solche Herleitung ist gar nicht so schwierig, wenn man die pq-Formel dafür verwendet. Versuch es doch mal!<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1 = <br />
: <math> a\;x^2 +b\;x +c = 0</math> mit <math> a \not= 0 </math> <br />
Division auf beiden Seiten der Gleichung durch <math> a </math>:<br />
: <math> x^2 +\frac{b}{a}\;x +\frac{c}{a} = 0</math> <br />
Setze in der pq-Formel &nbsp; <math> p = \frac{b}{a} </math> &nbsp; und &nbsp; <math> q = \frac{c}{a} </math>:<br />
: <math>x_{1,2} = -\frac{1}{2}p \pm \sqrt{\frac{1}{4}p^2 -q} </math> <br />
: <math>x_{1,2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a} \pm \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{b}{a} \right)^2 - \frac{c}{a}} </math><br />
: <math>x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{b^2}{a^2} - \frac{c}{a}} </math><br />
: <math>x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}} </math><br />
: <math>x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}} </math><br />
: <math>x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math><br />
: <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math><br />
|2= Herleitung anzeigen<br />
|3=Herleitung verstecken}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}} <!-- Ende 4. Aufgabe --><br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF06_Linearfaktorform_und_Nullstellen&diff=151284Lernpfad Quadratische Funktionen/QF06 Linearfaktorform und Nullstellen2026-03-22T10:07:07Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann|Titel = Lernschritt Linearfaktorform und Nullstellen<br />
|<br />
* In diesem Lernschritt wird erklärt, was man unter der '''Linearfaktorform''' einer quadratischen Funktion versteht und wozu diese genutzt werden kann.<br />
* In diesem Zusammenhang wird auch die '''Nullprodukt-Regel''' und der Begriff der '''Nullstelle''' einer Funktion wiederholt.<br />
* Schließlich wird gezeigt, wie man die Linearfaktorform aus der Scheitelpunktform mithilfe der 3. binomischen Formel gewinnen kann. <br />
}}<br />
<br />
====Linearfaktorform====<br />
[[Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|400px|right|[[:Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf]]<br />Parabel <math>f(x) =x^2 -6x +5 </math>]]<br />
<div><br />
Neben der Scheitelpunktform und der Normalform gibt es noch eine weitere Darstellungsform für quadratische Funktionen, nämlich die '''Linearfaktorform'''. Ein Beispiel hierfür ist die Funktionsgleichung<br />
: <math>f(x) = (x-1) \cdot (x-5) </math><br />
Der Funktionsterm ist das Produkt zweier Klammern, die beide einen ''linearen'' x-Ausdruck enthalten. Das bedeutet: Für sich genommen ist jeder einzelne Klammerausdruck der Funktionsterm einer linearen Funktion, in dem die Variable <math>x</math> nur einfach, also nicht zum Quadrat oder in einer noch höheren Potenz vorkommt. Da die beiden Klammern innerhalb des Produkts also "lineare Faktoren" sind, heißt der gesamte Funktionsterm "Linearfaktorform".<br />
<br />
Wenn man in der Beispielfunktion <math>f(x) = (x-1) \cdot (x-5) </math> die beiden Klammern ausmultipliziert, stellt man fest, dass es sich dabei um die Funktion <math>f(x) = x^2 -6x +5</math> aus der 1. Aufgabe des Kapitels [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]] handelt, die in der Abbildung QF05 Abbildung 1 Arial24 dargestellt ist:<br />
: <math>f(x) = (x-1) \cdot (x-5) </math> <math>= x^2 -5x -x + 5 </math> <math>= x^2 -6x + 5 </math><br />
<br />
Die Abbildung 1 legt nahe, dass diese Parabel die x-Achse in den beiden Punkten <math>N_1(1|0) </math> und <math>N_2(5|0) </math> schneidet. Dies lässt sich rechnerisch leicht bestätigten, indem man die x-Koordinaten dieser Punkte in die Funktionsgleichung von <math>f</math> einsetzt. Dafür eignet sich die Linearfaktorform besonders gut, denn durch Einsetzen des x-Wertes <math>x_1 = 1 </math> erhält man<br />
: <math>f(1) = (1-1) \cdot (1-5) = 0 \cdot (-4) = 0 </math> <br />
Die erste Klammer wird offensichtlich Null und das reicht aus, damit auch das gesamte Produkt Null wird. Entsprechend wird durch Einsetzen des x-Wertes <math>x_2 = 5 </math> die zweite Klammer - und damit das gesamte Produkt - zu Null:<br />
: <math>f(5) = (5-1) \cdot (5-5) = 4 \cdot 0 = 0 </math> <br />
Hier kommt die so genannte "Nullprodukt-Regel" zum Tragen:<br />
<br />
{{Box <br />
|1=Nullprodukt-Regel<br />
|2=Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
In der Linearfaktorform einer Funktion kann man direkt ablesen, an welchen Stellen ihr Graph die x-Achse schneidet: Es sind diejenigen x-Werte, deren Einsetzung in die Funktionsgleichung dafür sorgen, dass mindestens eine der Klammern - und damit der gesamte Funktionsterm - gleich Null wird. Diese speziellen x-Werte bezeichnet man auch als "Nullstellen" der Funktion. Sie sind die Lösungen der quadratischen Gleichung <br />
: <math> (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 </math>. <br />
</div><br />
{{Box <br />
|1=Definitionen Nullstelle<br />
|2=Eine Zahl <math>x_N</math> heißt '''Nullstelle''' einer Funktion <math>f</math>, wenn gilt <math>f(x_N) = 0</math>. <br />Die Nullstellen einer Funktion <math>f</math> sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse. <br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Linearfaktorform aus Nullstellen erstellen<br />
|2=Man kann die Linearfaktorform auch nutzen, um zu zwei vorgegebenen x-Werten eine quadratische Funktion zu finden, deren Graph die x-Achse genau an diesen beiden Stellen schneidet. <br />
# Bestimme die Linearfaktorform und die Normalform einer quadratischen Funktion <math>f</math>, deren Graph die x-Achse in den Punkten <math>N_1(-2|0) </math> und <math>N_2(4|0) </math> schneidet. <br />
# Begründe, dass es eine ganze Schar von Funktionen gibt, die alle genau diese beiden x-Achsenschnittpunkte besitzen. Gib die Funktionsgleichung dieser Schar an und beschreibe, worin sich die einzelnen Parabeln der Schar unterscheiden.<br />
# Ermittle die Normalform einer Parabel <math>g</math>, die die x-Achse in den Punkten <math>N_1(-2|0) </math> und <math>N_1(4|0) </math> und die y-Achse im Punkt <math>S_g(0|4) </math> schneidet.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# <math>f(x) = (x+2) \cdot (x-4) </math> <math> = x^2 -4x +2x - 8 </math> <math> = x^2 -2x - 8 </math><br />
# Alle Funktionen der Schar <math>f_a(x) = a \cdot (x+2) \cdot (x-4) </math> mit <math> a \not= 0 </math> besitzen die Nullstellen <math>x_1 = -2 </math> und <math> x_2 = 4 </math>. Um die Nullstellen zu berechnen, setzt man <br /> <math> a \cdot (x+2) \cdot (x-4) = 0</math> <br />Wegen <math> a \not= 0 </math> kann man auf beiden Seiten durch <math> a </math> dividieren und erhält die Gleichung <br /><math>(x+2) \cdot (x-4) = 0</math> mit den Lösungen <math>x_1 = -2 </math> und <math> x_2 = 4 </math>.<br />Alle Parabeln der Schar <math>f_a</math> schneiden die x-Achse in den beiden Punkten <math>N_1(-2|0) </math> und <math>N_1(4|0) </math>. Wenn man den Parameter a verändert, wandert der Scheitelpunkt der Parabel auf einer Parallelen zur y-Achse auf- und abwärts, die durch den Punkt <math>(1|0)</math> geht. Gleichzeitig wird die Parabel immer flacher, je mehr sich der Betrag von <math>a</math> sich dem Wert 0 nähert.<br />
# <math> f_a(x) = a \cdot (x^2 -2x - 8)</math> <math> = ax^2 -2ax - 8a </math> <br />Wenn man <math>-8a = 4 </math> setzt, erhält man <math> a= -\frac{1}{2} </math>. Für <math> a= -\frac{1}{2} </math> hat das absolute Glied in der Funktionsgleichung - und damit der y-Achsenabschnitt der Parabel <math>f_a</math> - den Wert <math> (-8) \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 </math>. Die gesuchte Funktion <math>g</math> hat die Gleichung <math> g(x) = f_{-0,5}(x) =-\frac{1}{2} x^2 +x +4 </math>.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verstecken}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <!-- Ende 1. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Allgemeine Linearfaktorform <br />
|2=Wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion <math>f</math> die Form <br />
: <math>\boldsymbol{ f(x) =a\;(x-x_1)\; (x - x_2) } </math> &nbsp; mit &nbsp; <math>a \not= 0</math> <br />
besitzt, dann befindet sie sich in der allgemeinen '''Linearfaktorform'''. In dieser kann man die x-Koordinaten <math>x_1</math> und <math>x_2</math> der Schnittpunkte mit der x-Achse <math>N(x_1|0)</math> und <math>N(x_2|0)</math> direkt ablesen. Die x-Koordinaten <math>x_1</math> und <math>x_2</math> bezeichnet man als ihre '''Nullstellen'''. <br />
<br />
''Beachte'': In der allgemeinen Funktionsgleichung der Linearfaktorform stehen die Nullstellen in den Klammern ''hinter einem Minuszeichen''. Ein konkreter Ausdruck wie <math>(x+2)\;(x-4) </math> muss also umgeformt werden zu <math>(x-(-2)\;(x-4) </math>, wenn man erreichen möchte, dass die Nullstellen <math>x_1 = -2 </math> und <math>x_2 = +4</math> beide hinter einem Minuszeichen erscheinen. <br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
In der Linearfaktorform kann man die Nullstellen einer quadratischen Funktion einfach ablesen. Es stellt sich die Frage, wie man die Nullstellen berechnen kann, wenn die Funktion in der Scheitelpunktform gegeben ist. Dies wird im Folgenden am Beispiel zweier bekannter Funktionen gezeigt.<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Beispiel - Linearfaktorform aus Scheitelpunktform erstellen<br />
|2=<br />
Gegeben ist die Scheitelpunktform <math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math> einer Funktion <math>f</math>.<br />Gesucht sind die die Nullstellen von <math>f</math> - und damit ihre Linearfaktorform.<br />
<br />
Ein möglicher Lösungsweg besteht darin, die 3. binomische Formel anzuwenden:<br />
: <math>a^2 - b^2 = (a +b) \cdot (a - b) </math> <br />
In der Scheitelpunktform entspricht der Ausdruck <math>(x - 3)^2</math> dem <math>a^2 </math> in der binomischen Formel, der Klammerinhalt <math>x - 3</math> demnach dem <math>a</math>. Der subtrahierte Wert 4 entspricht dann dem <math>b^2</math> in der Formel, der Wert 2 also dem <math>b</math>.<br />
<br />
<math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math> &nbsp;&nbsp; {{!}} den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>= (x - 3)^2 -2^2 </math> &nbsp;&nbsp; {{!}} 3. binomische Formel anwenden <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>= (x - 3\; + 2)\cdot (x-3\; -2) </math> &nbsp;&nbsp; {{!}} in den Klammern zusammenfassen <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>= (x - 1)\cdot (x - 5) </math> <br />
|3=Lösung}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Beispiel - Linearfaktorform aus allgemeiner Scheitelpunktform erstellen<br />
|2=<br />
Wenn die Funktionsgleichung von <math>f</math> in der allgemeinen Scheitelpunktform mit einem Streckfaktor <math>a \not= 1</math> gegeben ist, muss man diesen erst wieder ausklammern, bevor man die 3. binomische Formel anwendet. Auch im folgenden Beispiel wird mit der Funktion <math>f</math> aus der 4. Aufgabe des Kapitels [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]] auf eine bereits bekannte Funktion zurückgegriffen.<br />
<br />
Gegeben ist die Scheitelpunktform <math>f(x)=\frac {1}{4} \; (x-4)^2 - 1</math> einer Funktion <math>f</math>.<br />Gesucht ist die Linearfaktorform von <math>f</math>.<br />
<br />
<math>f(x)=\frac {1}{4} \; (x-4)^2 - 1</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; {{!}} den Koeffizienten <math>\frac {1}{4}</math> aus dem gesamten Term ausklammern<br /> &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 4 \right) </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; {{!}} den Wert 4 als Quadrat von 2 auffassen <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>=\frac {1}{4} \cdot \left( (x-4)^2 - 2^2 \right) </math>&nbsp;&nbsp;&nbsp; {{!}} 3. binomische Formel anwenden <br /> &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>=\frac {1}{4} \; (x-4 +2) \; (x-4-2) </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; {{!}} in den Klammern zusammenfassen <br /> &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>=\frac {1}{4} \; (x-2) \; (x-6) </math><br />
|3=Lösung}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Üben) - Bestimmung der Nullstellen aus einfacher Scheitelpunktform üben<br />
|2=Berechne die Nullstellen folgender Funktionen. Es handelt sich dabei um die bekannten Funktionen aus der 3. Aufgabe des Kapitels [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform|QF05 Scheitelpunktform und Normalform]]. Die Lösungen können entsprechend auch mit dem dazu gehörenden GeoGebra-Applet graphisch überprüft werden. <br />
# <math>f(x) = (x - 1)^2 -9 </math><br />
# <math>g(x) = (x - 2)^2 -1</math> <br />
# <math>h(x) = (x + 1,5)^2 -6,25 </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# <math>f(x) = (x - 1)^2 -9 </math> <math>= (x - 1)^2 -3^2 </math> <math> = (x-1 +3)\;(x-1-3) </math> <math> = (x +2)\;(x-4) </math> &nbsp;&nbsp;<br />Nullstellen: <math>x_1 = -2 </math> und <math>x_2=4 </math><br />
# <math>g(x) = (x - 2)^2 -1 </math> <math>= (x - 2)^2 -1^2 </math> <math> = (x-2 +1)\;(x-2-1) </math> <math> = (x -1)\;(x-3) </math> &nbsp;&nbsp;<br />Nullstellen: <math>x_1 = 1 </math> und <math>x_2=3 </math><br />
# <math>h(x) = (x + 1,5)^2 -6,25 </math> <math>= (x +1,5)^2 -2,5^2 </math> <math> = (x+1,5+2,5)\;(x+1,5-2,5) </math> <math> = (x +4)\;(x-1) </math> &nbsp;&nbsp;<br />Nullstellen: <math>x_1 = -4 </math> und <math>x_2= 1 </math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verstecken}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
Mit den folgenden GeoGebra-Applets kannst du überprüfen, ob die Scheitelpunktform und die Linearfaktorform einer quadratischen Funktion zu der gleichen Parabel gehören. Die Parameter sind hier erst mal so eingestellt, dass die bekannte Funktion aus dem 2. Beispiel <math>f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1 </math> <math>= \frac{1}{4} \cdot (x - 2)\;(x -6) </math> dargestellt wird. Über die Schieberegler können die Parameter mit der Maus verändert werden. Mit kurzen Klicks oder den Pfeiltasten können die Werte in kleinen Schritten exakt eingestellt werden. In der Scheitelpunktform kann man auch den Scheitelpunkt mit der Maus verschieben, in der Linearfaktorform die x-Achsenschnittpunkte auf der x-Achse. <br />
<br />
{{2Spalten<br />
|<br />
'''Scheitelpunktform &nbsp;<math>\boldsymbol{f(x) =a \cdot (x -d)^2 +e}</math>'''<br />
<br />
<ggb_applet width="527" height="671" version="4.2" ggbBase64="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" 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'''Linearfaktorform &nbsp;<math>\boldsymbol{f(x) =a \cdot (x -x_1)\;(x -x_2)}</math>'''<br />
<br />
<ggb_applet width="527" height="671" version="4.2" ggbBase64="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" 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}} <!-- Ende 2. Spalte --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Üben) - Bestimmung der Nullstellen aus allgemeiner Scheitelpunktform<br />
|2=Berechne die Nullstellen folgender Funktionen. Die Lösungen können auch mit den obigen GeoGebra-Applets überprüft werden. <br />
# <math>f(x)= 0,4 \; (x + 1)^2 -6,4 </math><br />
# <math>g(x) = -\;(x - 2)^2 +1</math> <br />
# <math>h(x) = -0,6\;(x + 1,5)^2 +3,75 </math> <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# <math>f(x)= 0,4 (x +1)^2 -6,4 </math> <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>= 0,4 \;\left( (x+1)^2 - 16 \right) </math> <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>= 0,4 \;(x +1 +4)\;(x +1 -4) </math> <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> = 0,4 \;( x + 5)\;(x - 3) </math> &nbsp;&nbsp;<br />Nullstellen: <math>x_1 = -5 </math> und <math>x_2=3 </math><br />
# <math>g(x) = -(x - 2)^2 +1</math> <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> = -\;\left( (x - 2)^2 -1 \right) </math> <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> = - (x - 2 +1)\;(x -2 -1) </math> <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> = - (x - 1)\;(x - 3) </math> &nbsp;&nbsp;<br />Nullstellen: <math>x_1 = 1 </math> und <math>x_2=3 </math><br />
# <math>h(x) = -0,6(x + 1,5)^2 +3,75 </math> <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> = -0,6 \;\left( (x + 1,5)^2 -6,25 \right) </math> <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> = -0,6 \; (x + 1,5 +2,5) \; (x +1,5 -2,5) </math> <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math> = -0,6 \; (x + 4) \; (x -1) </math> &nbsp;&nbsp;<br />Nullstellen: <math>x_1 = -4 </math> und <math>x_2=1 </math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verstecken}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Erkunden) - quadratische Funktion ohne Nullstellen<br />
|2=Wie wir gesehen haben, kann man jede Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln und umgekehrt. Man kann auch jede Linearfaktorform in die Normalform umwandeln. Aber umgekehrt funktioniert ''das'' nicht immer! <br />
Beschreibe graphisch anschaulich, in welchen Fällen eine quadratische Funktion keine Linearfaktorform besitzt und gib ein Beispiel für eine solche Funktion an.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Wenn eine Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt, schneidet sie die x-Achse nicht. Es gibt daher dann auch keine Nullstellen und keine Linearfaktorform. Ein sehr einfaches Beispiel hierfür ist die Funktion <math>f(x) = x^2 +1 </math>. Entsprechendes gilt für Parabeln, die nach unten geöffnet sind und deren Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt. Beispiel: <math>g(x) = -x^2 -1 </math><br />
<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verstecken}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <!-- Ende 7. Aufgabe --><br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF05_Scheitelpunktform_und_Normalform&diff=151283Lernpfad Quadratische Funktionen/QF05 Scheitelpunktform und Normalform2026-03-22T10:06:42Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann|Titel = Lernschritt Scheitelpunktform und Normalform<br />
|* In diesem Lernschritt wird die Normalparabel zunächst sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben und dann gefragt, wie die Funktionsgleichung aussieht, die zu dem verschobenen Graphen gehört. <br />
* Im nächsten Schritt wird die Normalparabel dann nicht mehr nur verschoben, sondern zusätzlich auch noch in y-Richtung gestreckt.<br />
* Es wird erklärt, was die '''Scheitelpunktform''' und was die '''Normalform''' einer Parabel ist.<br />
* Schließlich wird gezeigt, wie man mithilfe einer so genannten '''quadratischen Ergänzung''' aus der Normalform einer quadratischen Funktion ihre Scheitelpunktform gewinnen kann. <br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgleichung aus Graph bestimmen<br />
|2=[[Datei:QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|400px|right|alternativtext=In x- und y-Richtung verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt im 4. Quadrant|QF05 Abbildung 1 Arial24.pdf<br />Parabel <math>f </math> - in x- und y-Richtung verschobene Normalparabel]]<br />
In der Abbildung "QF05 Abbildung 1" ist eine Parabel <math>f</math> dargestellt, die durch Verschiebung der Normalparabel im Koordinatensystem sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung entstanden ist. <br />
# Ermittle anhand der Abbildung die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel <math>f</math>.<br />
# Gib an, um wieviele Einheiten und in welche Richtungen die Normalparabel verschoben wurde.<br />
# Gib die Funktionsgleichung der Parabel <math>f</math> an. <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
Man kann die Verschiebung in x- und y-Richtung in zwei Einzelschritte "Verschiebung in x-Richtung" und "Verschiebung in y-Richtung" aufspalten, die hintereinander ausgeführt werden, denn die entsprechenden Transformationsgleichungen gelten für ''alle'' Funktionen. Wenn man die Normalparabel also zuerst in x-Richtung verschoben hat, dann kann man auch auf die dadurch erzeugte Funktion die Transformationsgleichung für die Verschiebung in y-Richtung anwenden.<br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Der Scheitelpunkt der Parabel <math>f</math> besitzt die Koordinaten <math>S(3|-4)</math>.<br />
# Der Scheitelpunkt der Normalparabel <math>O(0|0)</math> wurde um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten zum Scheitelpunkt <math>S(3|-4)</math> von <math>f</math> verschoben. Entsprechend wurden auch alle anderen Punkte der Normalparabel und damit ihr gesamter Graph um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten verschoben.<br />
# Die Parabel besitzt die Funktionsgleichung <math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <!-- Ende 1. Aufgabe --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgleichung in Normalform <br />
|2=<br />
# Forme die Funktionsgleichung <math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math> um, indem du die Klammer ausmultiplizierst oder eine Binomische Formel anwendest und anschließend so weit wie möglich zusammenfasst. <br />
# Berechne den Schnittpunkt dieser Parabel <math> f </math> mit der y-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# <math>f(x) = (x - 3)^2 -4 </math> <math> \Leftrightarrow f(x) = x^2 -6x + 9 - 4 </math> <math> \Leftrightarrow f(x) = x^2 -6x +5 </math><br />
# Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes <math>S_y</math> mit der y-Achse: Setze in der Funktionsgleichung <math>x = 0</math>: <br /><math>f(0) = 0^2 -6\cdot 0 +5 = 5 </math> &nbsp; Der Schnittpunkt mit der y-Achse besitzt die Koordinaten <math>S_y(0|5)</math>.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <!-- Ende 2. Aufgabe --><br />
<br />
====Scheitelpunktform und Normalform einer verschobenen Normalparabel ====<br />
Die Funktionsgleichung <math>\boldsymbol{ f(x) = (x - 3)^2 -4 }</math> wird als '''Scheitelpunktform''' der Funktion <math> f </math> bezeichnet, weil man darin die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesen kann. Die Gleichung <math>\boldsymbol{ f(x) = x^2 -6x +5 }</math> bezeichnet man als ihre '''Normalform'''. Darin nennt man den Ausdruck <math>x^2</math> ''quadratisches Glied'', den Ausdruck <math>-6x</math> ''lineares Glied'' und <math>+5</math> ''absolutes Glied'' des Funktionsterms. In der Normalform einer Parabel kann man am absoluten Glied direkt ablesen, wo sie die y-Achse schneidet. <br />
<br />
Weiter unten in diesem Lernschritt folgen noch die ''allgemeinen Gleichungen'' der Scheitelpunkt- und Normalform einer quadratischen Funktion. Bei diesen wird dann zusätzlich auch noch eine Streckung der Parabel in y-Richtung berücksichtigt.<br />
<br />
====Quadratische Ergänzung==== <br />
In der Scheitelpunktform sind die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt ablesbar. Wenn man nun aber die Funktionsgleichung einer Parabel nur in der Normalform gegeben ist und ihr Scheitelpunkt ermittelt werden soll, dann stellt sich die Frage, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln kann. <br />
<br />
Während die Umformung der Scheitelpunktform in die Normalform recht einfach zu bewerkstelligen ist, wie wir in der 2. Aufgabe gesehen haben, ist die Umformung in der entgegengesetzten Richtung nicht ganz so einfach, besteht aber im Prinzip aus den gleichen Schritten in umgekehrter Reihenfolge. Wir demonstrieren die Vorgehensweise, die auch als '''quadratische Ergänzung''' bezeichnet wird, an der Beispielfunktion <math>f</math> aus der 2. Aufgabe. Unser Ausgangspunkt ist die Normalform:<br />
<br />
: <math> f(x) = x^2 -6x +5</math><br />
<br />
Als erstes wird geschaut, wie man die ersten beiden Summanden des Funktionsterms, also <math> x^2 -6x </math> so durch eine Quadratzahl ergänzen kann, dass ein Ausdruck entsteht, den man mithilfe der zweiten binomischen Formel <br />
: <math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </math><br />
in einen "Klammerausdruck zum Quadrat" umwandeln kann. <br />
<br />
Auf der rechten Seite der Formel entspricht der Summand <math> a^2 </math> dem quadratischen Glied <math>x^2</math> der Funktionsgleichung. Der mittlere Ausdruck <math>-2ab</math> entspricht dem lineare Ausdruck <math> -6x </math>.<br />
<br />
: <math> a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 </math><br />
: <math> x^2 - 6x \; + ?^2 = (x - ?)^2 </math><br />
<br />
Wenn <math>x</math> dem <math>a</math> entspricht und <math>-6x</math> dem <math>2ab</math>: Welche Quadratzahl entspricht dann in der Funktionsgleichung dem <math>b^2</math> in der Formel? Man kann <math>b</math> ausrechnen, indem man die beiden mittleren Ausdrücke aus Formel und Funktionsgleichung gleichsetzt: <math> -2ab = -6x </math>, anschließend in dieser Gleichung das <math>a</math> durch <math>x</math> ersetzt und dann noch auf beiden Seiten der Gleichung durch <math>-2x</math> dividiert: <math> -2xb = -6x </math> <math>\Rightarrow b =3</math> <math>\Rightarrow b^2 = 9</math>. <br />
<br />
Nach dieser Vorüberlegung kommt jetzt im nächsten Schritt die eigentliche quadratische Ergänzung: Der Ausdruck <math> x^2 -6x +5 </math> wird einerseits um den Summand 9 ergänzt, um die binomische Formel anwenden zu können, andererseits wird die Zahl 9 aber auch gleich wieder subtrahiert, damit der Funktionsterm der Funktion <math>f</math> insgesamt unverändert bleibt. Das sieht dann erst einmal etwas merkwürdig, nämlich so aus: <br />
<br />
: <math> f(x) = x^2 -6x \; \boldsymbol{+ 9 - 9} \; + 5 </math> <br />
<br />
Nun können die ersten drei Summanden des Terms nach der zweiten binomischen Formel mit <math> a = x </math> und <math> b = 3 </math> in einen quadrierten Klammerausdruck umgewandel werden:<br />
<br />
: <math> f(x) = \boldsymbol{x^2 -6x + 9} \; - 9 + 5 </math> <br />
: <math> f(x) = \boldsymbol{(x -3)^2} \; - 9 + 5 </math> <br />
<br />
Jetzt muss nur noch der Ausdruck <math> - 9 + 5 </math> zu <math>-4</math> zusammengefasst werden und man erhält die Scheitelpunktform <br />
<br />
: <math> f(x) =(x-3)^2 -4 </math><br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Üben) - Quadratische Ergänzung<br />
|2=<br />
{{2Spalten<br />
|<br />
In dieser Aufgabe wird das Verfahren der quadratischen Ergänzung geübt. Folgende Funktionsgleichungen in Normalform sind gegeben: <br />
# <math>f(x) = x^2 -2x -8 </math><br />
# <math>g(x) = x^2 -4x +3 </math> <br />
# <math>h(x) = x^2 +3x -4 </math> <br />
<br />
* Wandele jeweils die Normalform mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform um.<br />
* Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes sowie den Schnittpunkt mit der y-Achse. <br />
* Ermittle zur Kontrolle rechnerisch aus der Scheitelpunktform wieder die Normalform.<br />
<br />
In dem GeoGebra-Applet kannst du die Parameter <math>d</math> und <math>e</math> für die Verschiebung in x- und y-Richtung mit der Maus verändern. Die Schieberegler kannst du durch kurze Klicks oder nach dem Anklicken mit den Pfeiltasten auf einen exakten Wert einstellen.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# <math>f(x) = x^2 -2x + 1 - 1 -8</math> <math> = (x - 1)^2 -9 </math>, <br />Scheitelpunkt <math>S(1|-9)</math>, &nbsp;Schnittpunkt mit y-Achse <math>S_y(0|-8)</math><br />
# <math>g(x) = x^2 -4x + 4 -4 + 3</math> <math> = (x - 2)^2 -1 </math>, <br />Scheitelpunkt <math>S(2|-1)</math>, &nbsp;Schnittpunkt mit y-Achse <math>S_y(0|3)</math> <br />
# <math>h(x) = x^2 +3x + 2,25 - 2,25 - 4</math> <math> = (x + 1,5)^2 -6,25 </math>, <br />Scheitelpunkt <math>S(-1,5|-6,25)</math>, &nbsp;Schnittpunkt mit y-Achse <math>S_y(0|-4)</math> <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
| <!-- Spaltenwechsel --><br />
<ggb_applet width="800" height="1000" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br />
}} <!-- Ende 2. Spalte --><br />
|3=Üben}}<br />
<br />
====Scheitelpunktform und Normalform allgemein ====<br />
Jetzt wird die Normalparabel nicht nur in x- und y-Richtung verschoben, sondern zusätzlich auch noch in y-Richtung gestreckt. Die entsprechenden Transformationen werden hintereinander ausgeführt (man spricht auch von einer "Verkettung"). <br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Üben) - Scheitelpunkt- und Normalform ermitteln <br />
|2=[[Datei:QF05 Abbildung 2 Arial24.pdf|mini|400px|right|[[:Datei:QF05 Abbildung 2 Arial24.pdf|QF05 Abbildung 2 Arial24.pdf]]<br />Parabel <math>f </math> - gestreckte und in x- und y-Richtung verschobene Normalparabel]]<br />
Der Graph einer quadratischen Funktion <math>f </math> entsteht, indem man die Normalparabel zuerst in y-Richtung mit dem Streckfaktor <math>a = \frac{1}{4} </math> streckt, dann 4 Einheiten nach rechts und anschließend um 1 Einheit nach unten verschiebt.<br />
# Bestimme die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt von <math>f </math>. <br />
# Ermittle die Normalform von <math>f </math> und ihren Schnittpunkt mit der y-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Durch die Streckung der Normalparabel in y-Richtung mit dem Streckfaktor <math>a = \frac{1}{4} </math> erhält man zunächst die Funktion <math>i(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2 </math> (siehe Kapitel [[Benutzer:ukalina/Funktionen/Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln]] 2. Aufgabe). Der Scheitelpunkt bleibt dabei unverändert im Punkt <math>S_i(0|0) </math>. <br /> Verschiebung der Parabel <math> i </math> um 4 Einheiten nach rechts führt zu <math>j(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 </math>. Der Scheitelpunkt wird dabei auch um 4 Einheiten nach rechts verschoben und landet daher im Punkt <math>S_j(4|0) </math>.<br />Verschiebung der Parabel <math> j </math> um eine Einheit nach unten führt schließlich zu der gesuchten Funktionsgleichung in '''Scheitelpunktform''' <math>f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1</math>. <br />Der Scheitelpunkt <math>S_j(4|0) </math> wird bei dieser Verschiebung ebenfalls um eine Einheit nach unten verschoben und landet somit im Punkt <math>S_f(4|-1) </math>. <br /> Die Koordinaten des Scheitelpunktes <math>x_s = 4</math> und <math>y_s = -1</math> von <math>f</math> können aus dieser "allgemeinen Scheitelpunktform" direkt ablesen kann. <br />
# Normalform ermitteln: <br /><math>f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1</math> <math> = \frac{1}{4} \cdot (x^2 - 8x + 16) - 1</math> <math> = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 4 - 1</math>. Hieraus erhält man schließlich die gesuchte '''Normalform''' <math> f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3</math>. <br />Der Graph von <math> f </math> schneidet die y-Achse im Punkt <math>S_y(0|3) </math>. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Üben) - Scheitelpunkt- und Normalform ermitteln <br />
|2=[[Datei:QF05 Abbildung 3 Arial24.pdf|mini|400px|right|[[:Datei:QF05 Abbildung 3 Arial24.pdf|QF05 Abbildung 3 Arial24.pdf]]<br />Parabel <math>f </math> - nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt <math>S_f(-3|1) </math>]]<br />
<br />
<br />
Der Graph einer quadratischen Funktion <math>f </math> besitzt die Form einer nach unten geöffneten Normalparabel mit dem Scheitelpunkt <math>S_f(-3|1) </math>.<br />
# Ermittle die Scheitelpunktform von <math>f </math>. <br />
# Bestimme die Normalform von <math>f </math> und ihren Schnittpunkt mit der y-Achse.<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Man erhält eine nach unten geöffnete Normalparabel, indem man die Normalparabel an der x-Achse spiegelt. Dies entspricht einer Streckung in y-Richtung mit dem Streckfaktor <math>a=-1</math>.<br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Scheitelpunktform: <math>f(x) =-(x+3)^2 +1 </math><br />
# Normalform: <math>f(x) =-(x^2 +6x +9) +1 </math> <math>=-x^2 -6x -9 +1 </math> <math>=-x^2 -6x -8 </math> <br />Schnittpunkt mit der y-Achse: <math>S_y(0|-8</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung - Allgemeine Scheitelpunktform<br />
|2=Wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion <math>f</math> die Form <br />
: <math>\boldsymbol{ f(x) =a \cdot (x-d)^2 +e } </math> &nbsp; mit &nbsp; <math>a \not= 0</math> <br />
besitzt, befindet sie sich in der '''allgemeinen Scheitelpunktform'''. In dieser kann man die x-Koordinate <math>x_s = d</math> und die y-Koordinate <math>y_s = e</math> des Scheitelpunktes <math>S_f(d|e)</math> direkt ablesen. Manchmal wird die Scheitelpunktform auch in folgender Schreibweise angegeben:<br />
: <math>\boldsymbol{ f(x) =a \cdot (x-x_s)^2 +y_s } </math> &nbsp; mit &nbsp; <math>a \not= 0</math> <br />
: '''Anmerkung:''' Der Fall <math> a = 0 </math> wird in der Gleichung einer ''quadratischen'' Funktion ausgeschlossen, weil in diesem Fall <math>f(x) =e </math> ist und es sich hierbei also um eine ''lineare'' Funktion handelt, deren Graph eine Parallele zur x-Achse ist. <br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung - Allgemeine Normalform <br />
|2=Wenn die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion <math>f</math> die Form <br />
: <math>\boldsymbol{ f(x) =a\;x^2 + b\;x + c } </math> &nbsp; mit &nbsp; <math>a \not= 0</math> <br />
besitzt, dann befindet sie sich in der allgemeinen '''Normalform'''. In dieser kann man die y-Koordinate <math>c</math> des Schnittpunktes mit der y-Achse <math>S_y(0|c)</math> direkt ablesen. Die Faktoren vor den x-Ausdrücken <math> a </math>, <math> b </math> und <math> c </math> bezeichnet als ihre '''Koeffizienten'''. Diese werden manchmal auch mit <math> a_2 </math>, <math> a_1 </math> und <math> a_0 </math> benannt. Die Normalform der quadratischen Funktion sieht dann so aus:<br />
: <math>\boldsymbol{ f(x) =a_2\;x^2 + a_1\;x + a_0 }</math> &nbsp; mit &nbsp; <math>a_2 \not= 0</math> <br />
: Der Graph einer quadratischen Funktion wird allgemein als '''Parabel''' bezeichnet, ihr Funktionsterm auch als "'''Polynom 2. Grades'''".<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
====Von der allgemeinen Normalform zur Scheitelpunktform====<br />
Auch die allgemeine Nomalform kann mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform überführt werden.<br />
Dabei werden im Prinzip die Rechenschritte, die von der Schweitelpunktform zur Normalform geführt haben, in umgekehrter Reihenfolge durchgeführt. Dies wird hier am Beispiel der Funktion <math> f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3</math> aus der 4. Aufgabe gezeigt. <br />
<br />
{{Box<br />
|1=Beispiel - quadratische Ergänzung in allgemeiner Normalform <br />
|2=<math> f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} den Faktor <math>a=\frac{1}{4}</math> aus dem ''gesamten'' Term ausklammern. <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>= \frac{1}{4} \cdot (x^2 - 8x + 12 )</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} Quadratische Ergänzung mit <math>4^2 =16 </math> innerhalb der Klammer <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>= \frac{1}{4} \cdot (\boldsymbol{ x^2 - 8x +16} -16 + 12)</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} binomische Formel anwenden, hinten Summanden zusammenfassen <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>= \frac{1}{4} \cdot \left( \boldsymbol{ (x-4)^2 } -4 \right)</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} Faktor <math>\frac{1}{4}</math> in die äußere Klammer hineinmultiplizieren <br />&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>= \frac{1}{4} \cdot (x-4)^2 -1 </math><br />
|3=Lösung}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=6. Aufgabe (Üben) - quadratische Ergänzung in allgemeiner Normalform <br />
|2=Überführe die Normalform <math> f(x) =-x^2 -6x -8 </math> der Funktion <math> f </math> aus der 5. Aufgabe mithilfe einer quadratischen Ergänzung zurück in die Scheitelpunktform. <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Klammere im ersten Schritt das Minuszeichen vor <math> x^2 </math> ''aus dem gesamten Funktionstem'' aus, um innerhalb der Klammer einen Ausdruck zu erhalten, der mit <math> x^2 </math> beginnt und auf die gleiche Weise quadratisch ergänzt werden kann, wie dies oben im Abschnitt "Quadratische Ergänzung" gezeigt wurde. Nach Anwendung der binomischen Formel wird das Minuszeichen wieder in die Klammer hineinmultipliziert, um die Scheitelpunktform zu erhalten.<br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<math> f(x) =-x^2 -6x -8 </math>&nbsp;&nbsp; {{!}} den Faktor <math>a=-1</math> ausklammern. <br /><math> f(x) = - (x^2 +6x +8 )</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} Quadratische Ergänzung mit <math>3^2 =9 </math> innerhalb der Klammer <br /><math> f(x) = -(\boldsymbol{ x^2 +6x +9} -9 +8)</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} binomische Formel anwenden, hinten Summanden zusammenfassen <br /><math> f(x) = - \left( \boldsymbol{ (x+3)^2 } -1 \right)</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} Faktor <math>(-1)</math> in die äußere Klammer hineinmultiplizieren <br /><math> f(x) = -(x+3)^2 +1</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=7. Aufgabe (Erkunden) - Verkettung von Transformationen<br />
|2=Beschreibe, wie die Parabel <math>f(x) = -\frac{2}{5}x^2 -\frac{4}{5}x +\frac{6}{5}</math> aus der Normalparabel durch eine Verkettung (Hintereinanderausführung) von Transformationen entsteht. <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Überführe zuerst die Normalform von <math>f</math> in die Scheitelpunktform. Klammere dazu im ersten Schritt den Koeffizienten <math>-\frac{2}{5}</math> aus dem ''gesamten'' Funktionsterm aus, um dann innerhalb der Klammer einen Ausdruck zu erhalten, der mit <math> x^2 </math> beginnt und auf die gleiche Weise quadratisch ergänzt werden kann, wie dies oben im Abschnitt "Quadratische Ergänzung" gezeigt wurde. Nach Anwendung der binomischen Formel wird der Koeffizient wieder in die Klammer hineinmultipliziert, um die Scheitelpunktform zu erhalten.<br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}} <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<math>f(x) = -\frac{2}{5}x^2 -\frac{4}{5}x +\frac{6}{5}</math>&nbsp;&nbsp; {{!}} den Faktor <math>a=-\frac{2}{5}</math> ausklammern. <br /><math> f(x) = -\frac{2}{5} \cdot (x^2 +2x -3 )</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} Quadratische Ergänzung mit <math>1^2 =1 </math> innerhalb der Klammer <br /><math> f(x) = -\frac{2}{5} \cdot (\boldsymbol{ x^2 +2x +1} -1 -3)</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} binomische Formel anwenden, hinten Summanden zusammenfassen <br /><math> f(x) = -\frac{2}{5} \cdot \left( \boldsymbol{ (x+1)^2 } -4 \right)</math> &nbsp;&nbsp; {{!}} Faktor <math>-\frac{2}{5}</math> in die äußere Klammer hineinmultiplizieren <br /><math> f(x) = -\frac{2}{5} \cdot (x+1)^2 +\frac{8}{5}</math><br /><br />Transformationen: Die Normalparabel wird mit dem Streckfaktor <math> a= -\frac{2}{5}</math> in y-Richtung gestreckt. Das bedeutet anschaulich, dass sie zunächst an der x-Achse gespiegelt und zusätzlich um den Faktor <math>\frac{2}{5} =0,4 </math> gestaucht wird, so dass eine nach unten geöffnete, gestauchte Parabel entsteht. Diese wird anschließend um eine Einheit nach links und um <math>\frac{8}{5} =1,6 </math> Einheiten nach oben verschoben.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <!-- Ende 7. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
Mit den folgenden GeoGebra-Applets kannst du überprüfen, ob die Normalform und die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion zu der gleichen Parabel gehören. Die Parameter sind hier erst mal so eingestellt, dass die Funktion aus der 4. Aufgabe <math> f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3 = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1 </math> dargestellt wird. <br />
{{2Spalten<br />
|<br />
'''Normalform &nbsp;<math>\boldsymbol{f(x) =a x^2 + bx + c}</math>'''<br />
<br />
<ggb_applet width="527" height="671" version="4.2" ggbBase64="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|<br />
'''Scheitelpunktform &nbsp;<math>\boldsymbol{f(x) =a \cdot (x -d)^2 +e}</math>'''<br />
<br />
<ggb_applet width="527" height="671" version="4.2" 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<br />
{{Box<br />
|1=8. Aufgabe (Erkunden) - Normalform bestimmen, Transformationsgleichung angeben<br />
|2=Die Parabel <math> f(x) = \frac{1}{4} x^2 - 2x + 3 = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1 </math> wird um 2 Einheiten nach links zu der Parabel <math>g</math> verschoben.<br />
# Bestimme die Normalform von <math>g</math>. <br />
# Gib die Transformationsgleichung für diese Verschiebung an. <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Verschiebung von <math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 4)^2 - 1 </math> um 2 Einheiten nach links führt zu der Parabel <math> g(x) = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)^2 - 1 </math> <math> = \frac{1}{4} \cdot (x^2 -4x +4)^2 - 1 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 -x + 1 - 1 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 -x </math>.<br />
# Transformationsgleichung für die Verschiebung: <math> g(x) = f(x+2) </math> <br />Um die Normalform von <math>g</math> zu erhalten, kann man auch diese Transformationsgleichung auf die Normalform von <math>f</math> anwenden, indem man darin jedes <math> x </math> durch <math> x+2 </math> ersetzt: <math> g(x) = f(x+2) = \frac{1}{4} (x+2)^2 - 2(x+2) + 3 </math> <math> = \frac{1}{4} \cdot (x^2 + 4x +4) - 2x -4 + 3 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 + x + 1 -2x - 4+ 3 </math> <math> = \frac{1}{4} x^2 - x </math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}} <br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF04_Normalparabel_strecken_und_spiegeln&diff=151282Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln2026-03-22T10:06:03Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann|Titel = Lernschritt Normalparabel strecken und spiegeln<br />
|* In diesem Lernschritt wird untersucht, was sich an der Normalparabel ändert, wenn man in ihrer Funktionsgleichung den Funktionsterm <math>x^2</math> mit einem konstanten Faktor <math>a</math> multipliziert. Beispielhaft werden dafür zunächst die Funktionen <math>g(x)=2 \; x^2</math>, <math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math> und <math>i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2</math> genauer betrachtet. <br />
* Anschließend wird wieder allgemein untersucht, welche Rolle der Parameter <math>a</math> für die gesamte Funktionenschar <math>f_a(x) =a\;x^2</math> spielt.<br />
* Dies führt schließlich zu den Transformationsgleichungen für eine Streckung in y-Richtung und eine Spiegelung an der x-Achse. <br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Wertetabelle erstellen<br />
|2=# Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=2 \; x^2</math>, <math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math> und <math>i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2</math> in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.<br />
# Vergleiche die y-Werte der Funktionen <math>g</math>, <math>h</math> und <math>i</math> spaltenweise mit den y-Werten der Funktion <math>f</math>. Was stellst du dabei fest?<br />
{{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 1'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math> <br />
{{!}} -3<br />
{{!}} -2<br />
{{!}} -1<br />
{{!}} 0<br />
{{!}} 1<br />
{{!}} 2<br />
{{!}} 3<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>f(x)=x^2</math><br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}}<br />
{{!}} <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>g(x)=2 \; x^2</math><br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math><br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2</math><br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!)}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1={{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 1'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math> <br />
{{!}} -3<br />
{{!}} -2<br />
{{!}} -1<br />
{{!}} 0<br />
{{!}} 1<br />
{{!}} 2<br />
{{!}} 3<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>f(x)=x^2</math><br />
{{!}} '''9'''<br />
{{!}} '''4'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''4'''<br />
{{!}} '''9'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>g(x)=2 \; x^2</math><br />
{{!}} '''18'''<br />
{{!}} '''8'''<br />
{{!}} '''2'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''2'''<br />
{{!}} '''8'''<br />
{{!}} '''18'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math><br />
{{!}} '''2,25'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''0,25'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''0,25'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''2,25'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2</math><br />
{{!}} '''-2,25'''<br />
{{!}} '''-1'''<br />
{{!}} '''-0,25'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''-0,25'''<br />
{{!}} '''-1'''<br />
{{!}} '''-2,25'''<br />
{{!)}}<br />
<br />
Alle y-Werte der Funktion <math>g</math> sind bei gleichem x-Wert doppelt so groß wie die von <math>f</math>, die y-Werte von <math>h</math> nur ein Viertel so groß. Die y-Werte der Funktion <math>i</math> unterscheiden sich von denjenigen der Funktion <math>h </math> nur durch das negative Vorzeichen.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}} <br />
<br />
{{2Spalten<br />
|<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgraph zuordnen<br />
|2=<br />
# In der Abbildung "QF04 Abbildung 1" sind vier Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet, einer als Strich-Punkt-Linie und einer als durchgezogene Linie. Ordne diese Graphen den Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, &nbsp;<math>g(x)=2 \; x^2</math>,&nbsp; <math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math> und <math>i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2</math> zu und begründe deine Zuordnung. <br />
# Beschreibe, durch welche graphische Operation die Graphen von <math>g</math>, &nbsp;<math>h</math> und <math>i</math> jweils aus der Normalparabeln <math>f</math> entstehen. <br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# Die durchgezogene Linie ist eine Normalparabel, also der Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math>. Dies erkennt man u.a. an den Treppen-Punkten in der Tabelle. <br />Die gepunktete Linie oberhalb der Normalparabel ist der Graph von <math>g(x)=2 \; x^2</math>. Dies erkennt man z.B. an den Punkten <math>(1|2)</math> und <math>(-1|2)</math>, die auf diesem Graphen liegn. <br />Die gestrichelte Linie ist der Graph der Funktion <math>h</math>, leicht zu identifizieren mithilfe der Punkte <math>(2|1)</math> und <math>(-2|1)</math>. <br />Die Strich-Punkt-Linie verläuft vollständig unterhalt der x-Achse und gehört daher zu der Funktion <math>i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2</math>, bei der alle y-Koordinaten negativ sind. <br />
# Der Graph der Funktion <math>g(x)=2 \; x^2</math> entsteht, indem man die Normalparabel in y-Richtung um den Faktor 2 ''streckt'', der Graph von <math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math>, indem man sie um den Faktor <math>\frac{1}{4}</math> in y-Richtung ''staucht''. Der Graph von <math>i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2</math>, ist im gleichen Maße gestaucht wie der Graph von <math>h</math>, aber statt nach oben in der entgegengesetzten y-Richtung, d.h. von oben nach unten auf die x-Achse zu.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Erkunden) - Zusammenhang Funktionsterm und Graph<br />
|2=Vergleiche in der Tabelle 1 spaltenweise die y-Werte der Funktionen <math>h</math> und <math>i</math> sowie die Funktionsgraphen dieser beiden Funktionen. Welche ''rechnerische'' Beziehung stellst du fest? Welche ''geometrische'' Operation überführt den Graphen von <math>h</math> in den Graphen von <math>i </math> ? <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Die Funktionswerte von <math>h</math> und <math>i</math> unterscheiden sich bei gleichem x-Wert nur durch das Vorzeichen.<br />
Wenn man den Graphen von <math>h</math> an der x-Achse spiegelt, erhält man den Graphen von <math>i </math> - und umgekehrt. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <br />
| <!-- Spaltenwechsel --><br />
[[Datei:QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|400px|left|alternativtext=In einem Koordinatensystem sind außer der Normalparabel drei weitere Parabeln dargestellt, die durch Streckung mit verschiedenen Streckfaktoren aus der Normalparabel erzeugt wurden.|QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf<br />Vier mit verschiedenen Streckfaktoren gestreckte Parabeln]]<br />
}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Erkunden) &nbsp; <math>f_a(x) =a\;x^2</math><br />
|2={{2Spalten<br />
|<br />
Bisher wurden einzelne Beispielfunktionen aus der Funktionenschar <math>f_a(x) =a\; x^2</math> betrachtet. Jetzt soll ganz allgemein untersucht werden, welchen Einfluss der Parameter <math>a \in \mathbb{R}</math> auf den Graphen der Funktion <math>f_a(x) =a\; x^2</math> hat. <br />
# Welche gemeinsamen Eigenschaften haben alle Graphen der Funktion <math>f_a(x) =a\; x^2</math>, wenn der Parameter <math>a</math> eine positive Zahl ist (<math>a>0</math>)? Welche gemeinsamen Eigenschaften haben die Graphen, wenn <math>a</math> negativ ist (<math>a<0</math>)?<br />
# Welche geometrische Operation wird mit dem Graphen von <math> f_a </math> durchgeführt, wenn sich beim Parameter <math> a </math> nur das Vorzeichen ändert? Wenn man diese geometrische Operation auf den veränderten Graphen noch einmal anwendet, landet man wieder beim ursprünglichen Graph. Wie lässt sich das auch rechnerisch erklären?<br />
# Wie verlaufen die Graphen der Funktionen <math>f_a(x) =a\; x^2</math> für alle Parameter <math>a</math> mit der Eigenschaft <math> 0 < a < 1 </math> (d.h. <math>a</math> ist ein positiver, echter Bruch) im Vergleich zu den Graphen dieser Schar, bei denen <math> a > 1 </math> ist?<br />
# Beschreibe anschaulich, wie sich der Graph von <math> f_a </math> verändert, wenn man von dem Wert <math>a = 4</math> ausgehend den Parameter <math>a</math> allmählich immer kleiner werden lässt, bis er schließlich sehr dicht ''über'' dem Wert 0 landet (z.B. bei dem Wert 0,01). Was passiert, wenn man diese Bewegung über den Wert <math> a = 0</math> hinaus weiter fortsetzt (für <math> a < 0 </math>)?<br />
# Was ist an dem Fall <math>a = 0 </math> besonders?<br />
|<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet ändert sich die Form der Parabel mit der Funktionsgleichung <math>f_a(x) =a^2</math>, wenn man die Position des Schiebereglers <math>a</math> verändert.<br />
<br />
<ggb_applet width="458" height="621" version="4.2" ggbBase64="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" 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}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Für alle positiven Zahlen <math>a>0</math> verlaufen die Parabeln der Schar <math>f_a(x) =a\; x^2</math> oberhalb der x-Achse und sind nach oben geöffnet. Bei negativem <math>a</math> verlaufen sie unterhalb der x-Achse und sind nach unten geöffnet.<br />
# Wenn sich beim Parameter <math> a </math> nur das Vorzeichen ändert, dann bedeutet das, dass der Graph von <math>f_a(x) =a\;x^2</math> an der x-Achse gespiegelt wird. Wenn man eine Achsenspiegelung noch einmal auf das schon gespiegelte Objekt anwendet, erhält man wieder das ursprüngliche Objekt. Bei der Spiegelung der Parabeln entspricht dies der rechnerischen Regel: Wenn man einen Term mit der Zahl <math>a=-1</math> multipliziert und dies anschließend noch einmal wiederholt, erhält man als Ergebnis wieder den ursprünglichen Term, denn des gilt die Regel "Minus mal minus ist gleich plus". <br />
# Die Graphen der Funktionen <math>f_a(x) =a\; x^2</math> verlaufen für alle Parameter <math>a</math> mit der Eigenschaft <math> 0 < a < 1 </math> oberhalb der x-Achse, aber unterhalb der Normalparabel. Demgegenüber verlaufen die Graphen derjenigen Funktionen, bei denen <math> a > 1 </math> ist, oberhalb der Normalparabel. Je größer <math>a</math> ist, desto gestreckter (in y-Richtung) verläuft der Graph von <math> f_a </math>. Für große <math>a</math> nähern sich die Parabelarme immer mehr der y-Achse, für <math>a</math>-Werte dicht bei 0 schmiegen sie sich immer stärker an die x-Achse an.<br />
# Wenn man von dem Wert <math>a = 4</math> ausgehend den Parameter <math>a</math> allmählich immer kleiner werden lässt, dann werden die Parabelarme immer stärker "nach unten auseinandergedrückt", also in y-Richtung gestaucht. Wenn <math>a</math> einen Wert sehr dicht über dem Wert 0 annimmt, verlaufen die Parabelarme sehr flach, also fast auf der x-Achse. Wenn man diese Bewegung über den Wert <math> a = 0</math> hinaus weiter fortsetzt (für <math> a < 0</math>), entfernen sich die Parabelarme unterhalb der x-Achse wieder von der x-Achse und nähern sich im weiteren Verlauf für betragsmäßig große, negative <math>a</math>-Werte unterhalb der x-Achse erneut der y-Achse. <br />
# Im Fall <math>a = 0 </math> ist der Graph der Funktion <math>f_a(x) =a\; x^2</math> die x-Achse, also eine Gerade und damit streng genommen keine Parabel.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <!-- Ende Box 4. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung &nbsp; <math>f_a(x) =a\;x^2</math><br />
|2='''Streckung der Normalparabel in y-Richtung'''<br />
<br />
* Der Graph der Funktion <math>f_a(x) =a\;x^2</math> ist für jede Zahl <math>a \in \mathbb{R}, a \not= 0</math> eine um den '''Streckfaktor''' <math>a</math> in y-Richtung gestreckte Normalparabel. <br />
<br />
* Alle Funktionen der Funktionenschar <math>f_a</math>haben ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung <math>O(0|0)</math>.<br />
<br />
* Der Streckfaktor <math>a</math> beeinflusst den Verlauf des Graphen folgendermaßen: <br />
** Für <math>a>0</math> verläuft der Graph ''oberhalb der x-Achse'' und ist ''nach oben geöffnet'', für <math>a<0</math> verläuft er ''unterhalb der x-Achse'' und ist ''nach unten geöffnet''.<br />
** Für <math>a>1</math> verläuft der Graph ''oberhalb'' der Normalparabel, für <math> 0 < a < 1 </math> zwischen der Normalparabel und der x-Achse. Je größer <math>a</math> ist, desto gestreckter (in y-Richtung) verläuft der Graph von <math> f_a </math>. Für große <math>a</math> nähern sich die Parabelarme immer mehr der y-Achse, für <math>a</math>-Werte dicht bei 0 schmiegen sie sich immer stärker an die x-Achse an. Auch, wenn es sich anschaulich um eine ''Stauchung'' des Graphen handelt, spricht man im mathematischen Sinne von einer ''Streckung'', wenn der Streckfaktor ein echter Bruch ist.<br />
** Der Graph von <math>f_{-a}</math> entsteht aus dem Graphen von <math>f_a</math> durch Spiegelung an der x-Achse.<br />
** Im Fall <math>a = 0 </math> ist der Graph der Funktion <math>f_a(x) =a\; x^2</math> die x-Achse, also eine Gerade und damit streng genommen keine Parabel.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Üben) - Scharparameter bestimmen<br />
|2=Berechne den Scharparameter <math>a \in \mathbb{R}</math> so, dass der Graph der Funktion <math>f_a(x) =a\;x^2</math> durch den Punkt <math>P(-5|6) </math> geht.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Ansatz: Koordinaten des Punktes <math>P(-5|6) </math> in die Gleichung der Schar <math>f_a</math> einsetzen und die entstehende Gleichung dann nach <math>a</math> auflösen. <br />
<br />
<math>f_a(x) =a\;x^2</math> <math> \Leftrightarrow 6 =a \cdot (-5)^2</math> <math> \Leftrightarrow 6 =a \cdot 25</math> <math> \Leftrightarrow a = \frac{6}{25} = 0,24</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
Auch die Gleichung <math>f_a(x) = a\;x^2 </math> zur Streckung der Normalparabel in y-Richtung kann als Transformation für weitere Funktionen verallgemeinert werden. <br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung &nbsp; <math>g(x) = a \cdot f(x) </math><br />
|2='''Transformationsgleichung zur Streckung eines beliebigen Funktionsgraphen in y-Richtung und Spiegelung an der x-Achse'''<br />
* Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion <math>g</math> dadurch entsteht, dass man den gesamten Funktionsterm einer anderen Funktion <math>f</math> mit einem Faktor <math>a \in \mathbb{R}, \; a \not = 0 </math> multipliziert (kurz: <math>g(x) = a \cdot f(x) </math>, dann entsteht der Graph von <math>g</math>, indem man den Graphen von <math>f</math> um den Betrag von <math>a</math> in y-Richtung streckt.<br />
* Für <math>a > 0</math> beschreibt die Transformationsgleichung eine Streckung in positiver y-Richtung, für <math> 0 < a < 1 </math> eine "Stauchung" in positiver y-Richtung, für <math> a < 0 </math> eine Streckung in negativer y-Richtung.<br />
* Für <math>a = -1</math> beschreibt die Transformationsgleichung eine Spiegelung des Graphen von <math> f </math> an der x-Achse. <br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF04_Normalparabel_strecken_und_spiegeln&diff=151281Lernpfad Quadratische Funktionen/QF04 Normalparabel strecken und spiegeln2026-03-22T10:05:47Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann|Title = Lernschritt Normalparabel strecken und spiegeln<br />
|* In diesem Lernschritt wird untersucht, was sich an der Normalparabel ändert, wenn man in ihrer Funktionsgleichung den Funktionsterm <math>x^2</math> mit einem konstanten Faktor <math>a</math> multipliziert. Beispielhaft werden dafür zunächst die Funktionen <math>g(x)=2 \; x^2</math>, <math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math> und <math>i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2</math> genauer betrachtet. <br />
* Anschließend wird wieder allgemein untersucht, welche Rolle der Parameter <math>a</math> für die gesamte Funktionenschar <math>f_a(x) =a\;x^2</math> spielt.<br />
* Dies führt schließlich zu den Transformationsgleichungen für eine Streckung in y-Richtung und eine Spiegelung an der x-Achse. <br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Wertetabelle erstellen<br />
|2=# Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=2 \; x^2</math>, <math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math> und <math>i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2</math> in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.<br />
# Vergleiche die y-Werte der Funktionen <math>g</math>, <math>h</math> und <math>i</math> spaltenweise mit den y-Werten der Funktion <math>f</math>. Was stellst du dabei fest?<br />
{{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 1'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math> <br />
{{!}} -3<br />
{{!}} -2<br />
{{!}} -1<br />
{{!}} 0<br />
{{!}} 1<br />
{{!}} 2<br />
{{!}} 3<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>f(x)=x^2</math><br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}}<br />
{{!}} <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>g(x)=2 \; x^2</math><br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math><br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2</math><br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!)}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1={{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 1'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math> <br />
{{!}} -3<br />
{{!}} -2<br />
{{!}} -1<br />
{{!}} 0<br />
{{!}} 1<br />
{{!}} 2<br />
{{!}} 3<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>f(x)=x^2</math><br />
{{!}} '''9'''<br />
{{!}} '''4'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''4'''<br />
{{!}} '''9'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>g(x)=2 \; x^2</math><br />
{{!}} '''18'''<br />
{{!}} '''8'''<br />
{{!}} '''2'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''2'''<br />
{{!}} '''8'''<br />
{{!}} '''18'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math><br />
{{!}} '''2,25'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''0,25'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''0,25'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''2,25'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2</math><br />
{{!}} '''-2,25'''<br />
{{!}} '''-1'''<br />
{{!}} '''-0,25'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''-0,25'''<br />
{{!}} '''-1'''<br />
{{!}} '''-2,25'''<br />
{{!)}}<br />
<br />
Alle y-Werte der Funktion <math>g</math> sind bei gleichem x-Wert doppelt so groß wie die von <math>f</math>, die y-Werte von <math>h</math> nur ein Viertel so groß. Die y-Werte der Funktion <math>i</math> unterscheiden sich von denjenigen der Funktion <math>h </math> nur durch das negative Vorzeichen.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}} <br />
<br />
{{2Spalten<br />
|<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgraph zuordnen<br />
|2=<br />
# In der Abbildung "QF04 Abbildung 1" sind vier Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet, einer als Strich-Punkt-Linie und einer als durchgezogene Linie. Ordne diese Graphen den Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, &nbsp;<math>g(x)=2 \; x^2</math>,&nbsp; <math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math> und <math>i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2</math> zu und begründe deine Zuordnung. <br />
# Beschreibe, durch welche graphische Operation die Graphen von <math>g</math>, &nbsp;<math>h</math> und <math>i</math> jweils aus der Normalparabeln <math>f</math> entstehen. <br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# Die durchgezogene Linie ist eine Normalparabel, also der Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math>. Dies erkennt man u.a. an den Treppen-Punkten in der Tabelle. <br />Die gepunktete Linie oberhalb der Normalparabel ist der Graph von <math>g(x)=2 \; x^2</math>. Dies erkennt man z.B. an den Punkten <math>(1|2)</math> und <math>(-1|2)</math>, die auf diesem Graphen liegn. <br />Die gestrichelte Linie ist der Graph der Funktion <math>h</math>, leicht zu identifizieren mithilfe der Punkte <math>(2|1)</math> und <math>(-2|1)</math>. <br />Die Strich-Punkt-Linie verläuft vollständig unterhalt der x-Achse und gehört daher zu der Funktion <math>i(x) = -\frac{1}{4} \; x^2</math>, bei der alle y-Koordinaten negativ sind. <br />
# Der Graph der Funktion <math>g(x)=2 \; x^2</math> entsteht, indem man die Normalparabel in y-Richtung um den Faktor 2 ''streckt'', der Graph von <math>h(x) =\frac{1}{4} \; x^2</math>, indem man sie um den Faktor <math>\frac{1}{4}</math> in y-Richtung ''staucht''. Der Graph von <math>i(x) =-\frac{1}{4} \; x^2</math>, ist im gleichen Maße gestaucht wie der Graph von <math>h</math>, aber statt nach oben in der entgegengesetzten y-Richtung, d.h. von oben nach unten auf die x-Achse zu.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Erkunden) - Zusammenhang Funktionsterm und Graph<br />
|2=Vergleiche in der Tabelle 1 spaltenweise die y-Werte der Funktionen <math>h</math> und <math>i</math> sowie die Funktionsgraphen dieser beiden Funktionen. Welche ''rechnerische'' Beziehung stellst du fest? Welche ''geometrische'' Operation überführt den Graphen von <math>h</math> in den Graphen von <math>i </math> ? <br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=Die Funktionswerte von <math>h</math> und <math>i</math> unterscheiden sich bei gleichem x-Wert nur durch das Vorzeichen.<br />
Wenn man den Graphen von <math>h</math> an der x-Achse spiegelt, erhält man den Graphen von <math>i </math> - und umgekehrt. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <br />
| <!-- Spaltenwechsel --><br />
[[Datei:QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|400px|left|alternativtext=In einem Koordinatensystem sind außer der Normalparabel drei weitere Parabeln dargestellt, die durch Streckung mit verschiedenen Streckfaktoren aus der Normalparabel erzeugt wurden.|QF04 Abbildung 1 Arial24.pdf<br />Vier mit verschiedenen Streckfaktoren gestreckte Parabeln]]<br />
}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Erkunden) &nbsp; <math>f_a(x) =a\;x^2</math><br />
|2={{2Spalten<br />
|<br />
Bisher wurden einzelne Beispielfunktionen aus der Funktionenschar <math>f_a(x) =a\; x^2</math> betrachtet. Jetzt soll ganz allgemein untersucht werden, welchen Einfluss der Parameter <math>a \in \mathbb{R}</math> auf den Graphen der Funktion <math>f_a(x) =a\; x^2</math> hat. <br />
# Welche gemeinsamen Eigenschaften haben alle Graphen der Funktion <math>f_a(x) =a\; x^2</math>, wenn der Parameter <math>a</math> eine positive Zahl ist (<math>a>0</math>)? Welche gemeinsamen Eigenschaften haben die Graphen, wenn <math>a</math> negativ ist (<math>a<0</math>)?<br />
# Welche geometrische Operation wird mit dem Graphen von <math> f_a </math> durchgeführt, wenn sich beim Parameter <math> a </math> nur das Vorzeichen ändert? Wenn man diese geometrische Operation auf den veränderten Graphen noch einmal anwendet, landet man wieder beim ursprünglichen Graph. Wie lässt sich das auch rechnerisch erklären?<br />
# Wie verlaufen die Graphen der Funktionen <math>f_a(x) =a\; x^2</math> für alle Parameter <math>a</math> mit der Eigenschaft <math> 0 < a < 1 </math> (d.h. <math>a</math> ist ein positiver, echter Bruch) im Vergleich zu den Graphen dieser Schar, bei denen <math> a > 1 </math> ist?<br />
# Beschreibe anschaulich, wie sich der Graph von <math> f_a </math> verändert, wenn man von dem Wert <math>a = 4</math> ausgehend den Parameter <math>a</math> allmählich immer kleiner werden lässt, bis er schließlich sehr dicht ''über'' dem Wert 0 landet (z.B. bei dem Wert 0,01). Was passiert, wenn man diese Bewegung über den Wert <math> a = 0</math> hinaus weiter fortsetzt (für <math> a < 0 </math>)?<br />
# Was ist an dem Fall <math>a = 0 </math> besonders?<br />
|<br />
In dem folgenden GeoGebra-Applet ändert sich die Form der Parabel mit der Funktionsgleichung <math>f_a(x) =a^2</math>, wenn man die Position des Schiebereglers <math>a</math> verändert.<br />
<br />
<ggb_applet width="458" height="621" version="4.2" ggbBase64="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" 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}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
<br />
<br />
{{Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Für alle positiven Zahlen <math>a>0</math> verlaufen die Parabeln der Schar <math>f_a(x) =a\; x^2</math> oberhalb der x-Achse und sind nach oben geöffnet. Bei negativem <math>a</math> verlaufen sie unterhalb der x-Achse und sind nach unten geöffnet.<br />
# Wenn sich beim Parameter <math> a </math> nur das Vorzeichen ändert, dann bedeutet das, dass der Graph von <math>f_a(x) =a\;x^2</math> an der x-Achse gespiegelt wird. Wenn man eine Achsenspiegelung noch einmal auf das schon gespiegelte Objekt anwendet, erhält man wieder das ursprüngliche Objekt. Bei der Spiegelung der Parabeln entspricht dies der rechnerischen Regel: Wenn man einen Term mit der Zahl <math>a=-1</math> multipliziert und dies anschließend noch einmal wiederholt, erhält man als Ergebnis wieder den ursprünglichen Term, denn des gilt die Regel "Minus mal minus ist gleich plus". <br />
# Die Graphen der Funktionen <math>f_a(x) =a\; x^2</math> verlaufen für alle Parameter <math>a</math> mit der Eigenschaft <math> 0 < a < 1 </math> oberhalb der x-Achse, aber unterhalb der Normalparabel. Demgegenüber verlaufen die Graphen derjenigen Funktionen, bei denen <math> a > 1 </math> ist, oberhalb der Normalparabel. Je größer <math>a</math> ist, desto gestreckter (in y-Richtung) verläuft der Graph von <math> f_a </math>. Für große <math>a</math> nähern sich die Parabelarme immer mehr der y-Achse, für <math>a</math>-Werte dicht bei 0 schmiegen sie sich immer stärker an die x-Achse an.<br />
# Wenn man von dem Wert <math>a = 4</math> ausgehend den Parameter <math>a</math> allmählich immer kleiner werden lässt, dann werden die Parabelarme immer stärker "nach unten auseinandergedrückt", also in y-Richtung gestaucht. Wenn <math>a</math> einen Wert sehr dicht über dem Wert 0 annimmt, verlaufen die Parabelarme sehr flach, also fast auf der x-Achse. Wenn man diese Bewegung über den Wert <math> a = 0</math> hinaus weiter fortsetzt (für <math> a < 0</math>), entfernen sich die Parabelarme unterhalb der x-Achse wieder von der x-Achse und nähern sich im weiteren Verlauf für betragsmäßig große, negative <math>a</math>-Werte unterhalb der x-Achse erneut der y-Achse. <br />
# Im Fall <math>a = 0 </math> ist der Graph der Funktion <math>f_a(x) =a\; x^2</math> die x-Achse, also eine Gerade und damit streng genommen keine Parabel.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x<br />
}} <!-- Ende Box 4. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung &nbsp; <math>f_a(x) =a\;x^2</math><br />
|2='''Streckung der Normalparabel in y-Richtung'''<br />
<br />
* Der Graph der Funktion <math>f_a(x) =a\;x^2</math> ist für jede Zahl <math>a \in \mathbb{R}, a \not= 0</math> eine um den '''Streckfaktor''' <math>a</math> in y-Richtung gestreckte Normalparabel. <br />
<br />
* Alle Funktionen der Funktionenschar <math>f_a</math>haben ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung <math>O(0|0)</math>.<br />
<br />
* Der Streckfaktor <math>a</math> beeinflusst den Verlauf des Graphen folgendermaßen: <br />
** Für <math>a>0</math> verläuft der Graph ''oberhalb der x-Achse'' und ist ''nach oben geöffnet'', für <math>a<0</math> verläuft er ''unterhalb der x-Achse'' und ist ''nach unten geöffnet''.<br />
** Für <math>a>1</math> verläuft der Graph ''oberhalb'' der Normalparabel, für <math> 0 < a < 1 </math> zwischen der Normalparabel und der x-Achse. Je größer <math>a</math> ist, desto gestreckter (in y-Richtung) verläuft der Graph von <math> f_a </math>. Für große <math>a</math> nähern sich die Parabelarme immer mehr der y-Achse, für <math>a</math>-Werte dicht bei 0 schmiegen sie sich immer stärker an die x-Achse an. Auch, wenn es sich anschaulich um eine ''Stauchung'' des Graphen handelt, spricht man im mathematischen Sinne von einer ''Streckung'', wenn der Streckfaktor ein echter Bruch ist.<br />
** Der Graph von <math>f_{-a}</math> entsteht aus dem Graphen von <math>f_a</math> durch Spiegelung an der x-Achse.<br />
** Im Fall <math>a = 0 </math> ist der Graph der Funktion <math>f_a(x) =a\; x^2</math> die x-Achse, also eine Gerade und damit streng genommen keine Parabel.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Üben) - Scharparameter bestimmen<br />
|2=Berechne den Scharparameter <math>a \in \mathbb{R}</math> so, dass der Graph der Funktion <math>f_a(x) =a\;x^2</math> durch den Punkt <math>P(-5|6) </math> geht.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Ansatz: Koordinaten des Punktes <math>P(-5|6) </math> in die Gleichung der Schar <math>f_a</math> einsetzen und die entstehende Gleichung dann nach <math>a</math> auflösen. <br />
<br />
<math>f_a(x) =a\;x^2</math> <math> \Leftrightarrow 6 =a \cdot (-5)^2</math> <math> \Leftrightarrow 6 =a \cdot 25</math> <math> \Leftrightarrow a = \frac{6}{25} = 0,24</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
Auch die Gleichung <math>f_a(x) = a\;x^2 </math> zur Streckung der Normalparabel in y-Richtung kann als Transformation für weitere Funktionen verallgemeinert werden. <br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung &nbsp; <math>g(x) = a \cdot f(x) </math><br />
|2='''Transformationsgleichung zur Streckung eines beliebigen Funktionsgraphen in y-Richtung und Spiegelung an der x-Achse'''<br />
* Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion <math>g</math> dadurch entsteht, dass man den gesamten Funktionsterm einer anderen Funktion <math>f</math> mit einem Faktor <math>a \in \mathbb{R}, \; a \not = 0 </math> multipliziert (kurz: <math>g(x) = a \cdot f(x) </math>, dann entsteht der Graph von <math>g</math>, indem man den Graphen von <math>f</math> um den Betrag von <math>a</math> in y-Richtung streckt.<br />
* Für <math>a > 0</math> beschreibt die Transformationsgleichung eine Streckung in positiver y-Richtung, für <math> 0 < a < 1 </math> eine "Stauchung" in positiver y-Richtung, für <math> a < 0 </math> eine Streckung in negativer y-Richtung.<br />
* Für <math>a = -1</math> beschreibt die Transformationsgleichung eine Spiegelung des Graphen von <math> f </math> an der x-Achse. <br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF03_Normalparabel_in_x-Richtung_verschieben&diff=151279Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben2026-03-22T10:05:05Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann|Titel = Lernschritt Normalparabel in x-Richtung verschieben<br />
|* In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrem Funktionsterm <math>x^2</math> noch ''vor dem Quadrieren'' eine konstante Zahl von der Variable <math>x</math> subtrahiert oder zu ihr addiert. Beispielhaft werden dafür zunächst die Funktionen <math>g(x)=(x-3)^2</math> und <math>h(x) =(x+2)^2</math> genauer betrachtet. <br />
* Anschließend wird wieder die gesamte ''Funktionenschar'' untersucht und <br />
* schließlich lernst du noch die allgemeine Gleichung für eine Transformation von Funktionsgraphen in x-Richtung kennen.<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Wertetabelle erstellen<br />
|2=# Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=(x-3)^2</math> und <math>h(x)=(x+2)^2</math> in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.<br />
# Vergleiche die Abfolge der y-Werte von links nach rechts bei allen drei Funktionen. Welchen Zusammenhang in Bezug auf die Parabel-Treppe stellst du fest?<br />
{{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 1'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math> <br />
{{!}} -5<br />
{{!}} -4<br />
{{!}} -3<br />
{{!}} -2<br />
{{!}} -1<br />
{{!}} 0<br />
{{!}} 1<br />
{{!}} 2<br />
{{!}} 3<br />
{{!}} 4<br />
{{!}} 5<br />
{{!}} 6<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>f(x)=x^2</math><br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}}<br />
{{!}} <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>g(x)=(x-3)^2</math><br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>h(x)=(x+2)^2</math><br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!)}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# {{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 1'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math> <br />
{{!}} -5<br />
{{!}} -4<br />
{{!}} -3<br />
{{!}} -2<br />
{{!}} -1<br />
{{!}} 0<br />
{{!}} 1<br />
{{!}} 2<br />
{{!}} 3<br />
{{!}} 4<br />
{{!}} 5<br />
{{!}} 6<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>f(x)=x^2</math><br />
{{!}} '''25'''<br />
{{!}} '''16''' <br />
{{!}} '''9''' <br />
{{!}} '''4''' <br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''1''' <br />
{{!}} '''4''' <br />
{{!}} '''9''' <br />
{{!}} '''16''' <br />
{{!}} '''25''' <br />
{{!}} '''36''' <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>g(x)=(x-3)^2</math><br />
{{!}} '''64'''<br />
{{!}} '''49'''<br />
{{!}} '''36'''<br />
{{!}} '''25'''<br />
{{!}} '''16'''<br />
{{!}} '''9'''<br />
{{!}} '''4'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''4'''<br />
{{!}} '''9'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>h(x)=(x+2)^2</math><br />
{{!}} '''9'''<br />
{{!}} '''4'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''0'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''4'''<br />
{{!}} '''9'''<br />
{{!}} '''16'''<br />
{{!}} '''25'''<br />
{{!}} '''36'''<br />
{{!}} '''49'''<br />
{{!}} '''64'''<br />
{{!)}}<br />
<br />
# Bei den Funktionsgraphen von <math>g</math> und <math>h</math> kann man die gleiche Parabel-Treppe anlegen wie bei der Normalparabel (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel#Die Parabel-Treppe|QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe]]). Allerdings beginnt sie bei <math>g</math> im tiefsten Punkt <math>(3|0)</math> und bei <math>h</math> im tiefsten Punkt <math>(-2|0)</math>.<br />
<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}} <br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgraph zuordnen <br />
|2=[[Datei:QF03 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|400px|left|alternativtext=In einem Koordinatensystem sind eine um 3 Einheiten nach rechts und eine um 2 Einheiten nach links verschobene Normalparabel dargestellt.|QF03 Abbildung 1 Arial24.pdf<br />Zwei in x-Richtung verschobene Normalparabeln]]<br />
# In der Abbildung "QF03 Abbildung 1" sind zwei Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt und einer mit durchgezogener Linie. Ordne diese beiden Graphen den Funktionen <math>g(x)=(x-3)^2</math> und <math>h(x)=(x+2)^2</math> zu. Begründe deine Zuordnung mithilfe von "Treppen-Punkten" aus der Tabelle 1 (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel#Die Parabel-Treppe|QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe]]).<br />
# Die Graphen von <math>g(x)=(x-3)^2</math> und <math>h(x)=(x+2)^2</math> sind verschobene Normalparabeln. Gibt für beide Graphen an, um wie viele Einheiten und in welche Richtung die Normalparabel verschoben wurde und erläutere anhand der Funktionsgleichung von <math>g</math>, wie die Verschiebung zustande kommt. <br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# Die durchgezogene Linie ist der Graph der Funktion <math>g</math>, die gestrichelte Linie der Graph der Funktion <math>h</math>. Am Koordinatenraster der Abbildung kann man ablesen, dass z.B. die "Treppen-Punkte" <math>(3|0)</math>, <math>(4|1)</math>, <math>(5|4)</math> <math>(6|9)</math>, die man in Tabelle 1 für die Funktion <math>g</math> findet, auf diesem Graphen liegen.<br />Entsprechendes gilt für die Treppen-Punkte <math>(-2|0)</math>, <math>(-1|1)</math>, <math>(0|4)</math>, <math>(1|9)</math> der Funktion <math>h</math>, die auf der gestrichelten Linie liegen. <br />
# Der Graph der Funktion <math>g</math> ist eine um 3 Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel, der Graph der Funktion <math>h</math> ist eine um 2 Einheiten nach links verschobene Normalparabel. <br />
# Begründung für die Verschiebung nach rechts (in positiver x-Richtung) am Beispiel <math>g</math>: <br />In Tabelle 1 erkennt man, dass die Zeile mit den y-Werten von <math>g</math> gegenüber der y-Reihe von <math>f</math> um 3 Spalten nach rechts verschoben ist. Diese Verschiebung gilt auch für jeden anderen x-Wert, wenn man ihn in beide Funktionen einsetzt. Die Gleichung <math>g(x)=(x-3)^2</math> kann man auch so schreiben: <math>g(x) = f(x-3)</math>, denn man erhält <math>g(x)</math>, wenn man in der Gleichung von <math>f</math> das <math>x</math> durch <math>x-3</math> ersetzt. <br />Die Gleichung <math>g(x) = f(x-3)</math> kann man auch so interpretieren, dass die Funktionenmaschine <math>g</math> an der Stelle <math>x</math> den gleichen Funktionswert erzeugt, den die Maschine <math>f</math> erst erzeugt, wenn man <math>x</math> um 3 verringert hat. Der von <math>g</math> erzeugte Punkt liegt also 3 Einheiten ''rechts'' von dem Punkt, den <math>f</math> aus dem gleichen <math>x</math> erzeugt. Daher ist der gesamte Graph von <math>g</math> gegenüber der Normalparabel um 3 Einheiten nach ''rechts'' verschoben.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}} <br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Begründen) - Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung<br />
|2=Bisher wurden zwei ''spezielle'' Verschiebungen der Normalparabel in x-Richtung untersucht. Jetzt geht es allgemein um ''beliebige'' Verschiebungen der Normalparabel in x-Richtung.<br />
# Beschreibe für eine beliebige Zahl <math>d \in \mathbb{R}</math>, wie der Graph der Funktion <math>f(x) =(x-d)^2</math> durch eine Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung entsteht und welche Rolle genau die Zahl <math>d</math> dabei spielt. <br /> <br />
# Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel <math>f(x) =(x-d)^2</math> an.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Die Lösung findest du in der folgenden Zusammenfassung. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}} <!-- Ende 3. Aufgabe --><br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung - Verschiebung &nbsp; <math>f(x) =(x-d)^2</math><br />
|2={{2Spalten<br />
|<br />
* Der Graph der Funktion <math>f(x) =(x-d)^2 </math> ist für jede Zahl <math>d \in \mathbb{R}</math> eine um den Betrag von <math>d</math> in x-Richtung verschobene Normalparabel. <br />
* Wenn <math>d</math> ''positiv'' ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach ''rechts'' (in ''positiver'' y-Richtung), bei ''negativem'' <math>d</math> um eine Verschiebung nach ''links''.<br />
* Der ''Scheitelpunkt'' der Parabel <math>f(x) =(x-d)^2 </math> besitzt die Koordinaten <math>S(d|0)</math>.<br />
* Alle Funktionen, deren Graph eine in x-Richtung verschobenen Normalparabel ist, bilden die Funktionenschar <math>f_d(x) =(x-d)^2 </math>.<br />
In dem GeoGebra-Applet kann man die Parabel mit der Funktionsgleichung <math>f_d(x) =(x-d)^2</math> in x-Richtung verschieben, indem man die Position des Schiebereglers <math>d</math> verändert oder den Scheitelpunkt auf der x-Achse mit der Maus verschiebt.<br />
<br />
'''Achtung, Stolperfalle!''' In dem allgemeinen Funktionsterm <math>(x-d)^2 </math> steht hinter dem <math>x</math> ein ''Minuszeichen''. Wenn nun die Zahl <math>d</math> für sich genommen schon eine negative Zahl ist (z.B. <math>d=-2</math>), dann stehen in dem Funktionsterm hinter dem <math>x</math> insgesamt ''zwei Minuszeichen'', die zu einem ''Pluszeichen'' werden: <math>f(x) =(x-(-2))^2 = (x+2)^2 </math>. <br />Wenn also im Funktionsterm hinter dem <math>x</math> ein Pluszeichen steht und dann eine positive Zahl folgt, dann handelt es sich um eine Verschiebung nach ''links'', also eine Verschiebung in ''negativer'' x-Richtung, weil das Pluszeichen bedeutet, dass von dem <math>x</math> in der Klammer eine ''negative'' Zahl subtrahiert wird. <br />
|<br />
<ggb_applet width="508" height="537" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /><br />
}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Üben) - Scheitelpunkt bestimmen<br />
|2=Bestimme jeweils den Scheitelpunkt folgender Funktionen<br />
# <math>f(x)=(x -7)^2 </math>,<br />
# <math>g(x)=x^2 +10x +25 </math><br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# Bei der Funktion <math>f</math> kann man den Scheitelpunkt direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.<br />
# Den Funktionsterm der Funktion <math>g</math> kann man mithilfe der ersten binomischen Formel so umformen, dass man anschließend den Scheitelpunkt ablesen kann.<br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# Scheitelpunkt des Graphen von <math>f</math>: <math>S_f(7|0)</math><br />
# <math>g(x)=x^2 +10x +25 = (x+5)^2</math>. Scheitelpunkt des Graphen von <math>g</math>: <math>S_g(-5|0)</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Üben) - Funktionsgleichung bestimmen<br />
|2=Es gibt zwei Möglichkeiten, die Normalparabel so in x-Richtung zu verschieben, dass der Graph der verschobenen Funktion die y-Achse im Punkt <math>P(0|6,25)</math> schneidet. Bestimme die Funktionsgleichungen dieser beiden Funktionen.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Ansatz für die Berechnung des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der y-Achse: In der Funktionsgleichung für <math>x</math> den Wert 0 einsetzen und die entstehende Gleichung anschließend nach der unbekannten Größe auflösen. <br />Ausgangsgleichung: <math>f(x) =(x-d)^2</math> <br /><math>f(0)=(0-d)^2 \Leftrightarrow 6,25 = d^2 \Leftrightarrow d_1=-2,5</math> und <math>d_2=2,5</math><br />Ergebnis: <math>f_{-2,5}(x) =(x+2,5)^2</math> und <math>f_{2,5}(x) =(x-2,5)^2</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
<br />
Auch die Gleichung <math>g(x) = (x-d)^2 </math> zur Verschiebung (Transformation) der ''Normalparabel'' in x-Richtung kann für weitere Funktionen verallgemeinert werden. <br />
<br />
{{Box<br />
|1=Transformationsgleichung &nbsp; <math>g(x) = f(x-d) </math> <br />
|2='''Verschiebung eines Funktionsgraphen in x-Richtung'''<br />
* Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion <math>g</math> aus der Funktionsgleichung einer anderen Funktion <math>f</math> dadurch entsteht, dass man im Funktionsterm von <math> f </math> die Variable <math>x</math> durch den Ausdruck <math>x-d</math> ersetzt (kurz: <math>g(x) = f(x-d)</math> mit <math>d \in \mathbb{R}</math>), dann bedeutet das für die Graphen der beiden Funktionen: Der Graph von <math>g</math> entsteht, indem man den Graphen von <math>f</math> um den Betrag von <math>d</math> in x-Richtung verschiebt. <br />
* Wenn <math>d</math> positiv ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach rechts, wenn <math>d</math> negativ ist, um eine Verschiebung nach links.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=6. Aufgabe (Begründen) - Transformationsgleichung &nbsp; <math>g(x) = f(x-d) </math> <br />
|2=Begründe die Transformationsgleichung <math>g(x) = f(x-d) </math> für die Verschiebung beliebiger Funktionsgraphen in x-Richtung.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# Alle Punkte auf dem Graphen von <math>f</math> haben die Form <math>P(x | f(x))</math>. Dies gilt für jedes <math>x \in \mathbb{R} </math>. Für eine beliebige Zahl <math>d \in \mathbb{R}</math> durchläuft der Ausdruck <math>x-d </math> so wie <math>x</math> die gesamte Menge der reelen Zahlen <math>\mathbb{R}</math>. Alle Punkte auf dem Graphen von <math>f</math> können daher auch in der Form <math>P(x-d | f(x-d))</math> geschrieben werden. <br />Wir vergleichen nun die Lage des Punktes <math>P</math> im Koordinatensystem mit der Lage desjenigen Punktes <math>Q(x | g(x))</math>, der auf dem Graphen von <math>g</math> liegt und die ''gleiche y-Koordinate'' wie <math>P</math> besitzt. Nach Voraussetzung gilt die Gleichung <math>g(x) = f(x-d) </math>, d.h. <math>Q</math> besitzt auf dem Graphen von <math>g</math> die ''gleiche y-Koordinate'' <math>f(x-d) </math> wie der Punkt <math>P(x-d | f(x-d))</math> auf dem Graphen von <math>f</math>. Beide Punkte unterscheiden sich lediglich in der x-Koordinate um den Betrag von <math>d</math>, können also durch eine Verschiebung in x-Richtung um den Betrag von <math>d</math> ineinander überführt werden. Da diese Verschiebung für ''alle'' Punkte <math>P</math> des Graphen von <math>f</math> gilt, wird der gesamte Graph von <math>f</math> um den Betrag von <math>d</math> in x-Richtung zum Graphen von <math>g</math> verschoben.<br />
# Wenn <math> d </math> eine ''positive'' Zahl ist, dann ist <math>x</math> größer als <math>x-d</math>, d.h. <math>x</math> liegt auf der x-Achse <math>d</math> Einheiten rechts von <math>x-d</math> und damit der Punkt <math>Q(x|g(x)) = Q(x|f(x-d))</math> mit einem Abstand von <math>d</math> Einheiten in x-Richtung ''rechts'' vom Punkt <math>P(x-d|f(x))</math>. <br />Wenn <math> d </math> eine ''negative'' Zahl ist, dann kann man die Subtraktion von <math>d</math> als Addition der positiven Gegenzahl von <math> d </math> betrachten. In diesem Fall ist daher <math>x</math> kleiner als <math>x-d</math>, d.h. <math>x</math> liegt auf der x-Achse <math>d</math> Einheiten links von <math>x-d</math> und damit der Punkt <math>Q(x|g(x)) = Q(x|f(x-d))</math> mit einem Abstand von <math>d</math> Einheiten in x-Richtung ''links'' vom Punkt <math>P(x-d|f(x))</math>.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}}<br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF02_Normalparabel_in_y-Richtung_verschieben&diff=151278Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben2026-03-22T10:04:26Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann<br />
|Titel=Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben<br />
|* In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrer Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math> hinter dem <math>x^2</math> eine konstante Zahl addiert oder subtrahiert. Beispielhaft werden dafür die Funktionen <math>g(x)=x^2 +1</math> und <math>h(x) =x^2 -4</math> genauer unter die Lupe genommen. <br />
* Dabei erfährst du auch, was eine ''Funktionenschar'' ist und<br />
* was man unter der ''Nullstelle'' einer Funktion versteht. <br />
* Schließlich lernst du noch eine Gleichung kennen, die ganz allgemein die Verschiebung von Funktionsgraphen in y-Richtung beschreibt. Es handelt sich dabei um eine von mehreren ''Transformationen'', die in diesem Lernpfad eine Rolle spielen.<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Wertetabelle erstellen<br />
|2=Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=x^2+1</math> und <math>h(x)=x^2-4</math> in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.<br />
{{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 1'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math> <br />
{{!}} -3<br />
{{!}} -2<br />
{{!}} -1<br />
{{!}} 0<br />
{{!}} 1<br />
{{!}} 2<br />
{{!}} 3<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>f(x)=x^2</math><br />
{{!}}<br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>g(x)=x^2+1</math><br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>h(x)=x^2-4</math><br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!)}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1={{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 1'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math> <br />
{{!}} -3<br />
{{!}} -2<br />
{{!}} -1<br />
{{!}} 0<br />
{{!}} 1<br />
{{!}} 2<br />
{{!}} 3<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>f(x)=x^2</math><br />
{{!}} '''9'''<br />
{{!}} '''4''' <br />
{{!}} '''1''' <br />
{{!}} '''0''' <br />
{{!}} '''1''' <br />
{{!}} '''4''' <br />
{{!}} '''9''' <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>g(x)=x^2+1</math><br />
{{!}} '''10'''<br />
{{!}} '''5'''<br />
{{!}} '''2'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''2'''<br />
{{!}} '''5'''<br />
{{!}} '''10'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>h(x)=x^2-4</math><br />
{{!}} '''5'''<br />
{{!}} '''0''' <br />
{{!}} '''-3''' <br />
{{!}} '''-4''' <br />
{{!}} '''-3''' <br />
{{!}} '''0''' <br />
{{!}} '''5''' <br />
{{!)}}<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}} <br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgraph zuordnen<br />
|2=[[Datei:QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|400px|right|alternativtext=In einem Koordinatensystem sind außer der Normalparabel zwei in y-Richtung verschobene Normalparabeln dargestellt.|QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf<br />In y-Richtung verschobene Normalparabeln]]<br />
# In der Abbildung "QF02 Abbildung 1" sind drei Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet und einer mit durchgezogener Linie. Ordne diese drei Graphen den Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=x^2+1</math> und <math>h(x)=x^2-4</math> zu. Begründe deine Zuordnung mithilfe von Beispielpunkten aus der Tabelle 1.<br />
# Zeige mithilfe der Wertetabellen, dass man auch an die Graphen von <math>g</math> und <math>h</math> Parabel-Treppen wie bei der Normalparabel anlegen kann (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel|QF01 Normalparabel]]). <br />
# Begründe, dass der Graph von <math>g(x)=x^2+1</math> eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel und der Graph von <math>h(x)=x^2-4</math> eine um 4 Einheiten nach unten verschobene Normalparabel ist. <br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# Die ''durchgezogene'' Linie ist die Normalparabel, also der Graph der Funktion <math>f</math> (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel|QF01 Normalparabel]]). <br />Die ''gepunktete'' Linie ist der Graph der Funktion <math>g(x)=x^2 +1</math>. In der Abbildung "QF02 Abbildung 1" erkennt man, dass dieser Graph die y-Achse im Punkt <math>(0|1)</math> schneidet. Dieses Koordinatenpaar findet man auch in Wertetabelle von <math>g</math>, denn <math>g(0) = 0^2 +1 = 1</math>. <br />Die ''gestrichelte'' Linie ist der Graph der Funktion <math>h</math>. In der Abbildung erkennt man, dass dieser Graph die y-Achse im Punkt <math>(0|-4)</math> schneidet. Dieses Koordinatenpaar findet man auch in Wertetabelle von <math>h</math>, denn <math>h(0) = 0^2 -4 = -4</math>.<br />
# Wenn man in der Wertetabelle von <math>g</math> vom Koordinatenpaar <math>(0|1)</math> ausgehend die x-Koordinate schrittweise um 1 erhöht, dann erhöhen sich die entsprechenden y-Werte schrittweise um 1, 3 und 5, also um aufeinander folgende ungerade Zahlen - wie bei der Parabel-Treppe der Normalparabel (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel#Die Parabel-Treppe|QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe]]). Das gleiche gilt auch für die Funktion <math>h</math>, wenn man bei ihr von <math>(0|-4)</math> ausgeht. <br />
# Man kann den Graphen einer Funktion <math>f</math> als eine Linie betrachten, die aus unendlich vielen, sehr dicht aneinander liegenden Punkten mit den Koordinaten <math>(x|f(x))</math> besteht. Es genügt daher, die Beziehung zwischen einem x-beliebigen Punkt <math>P(x | x^2)</math> auf der Normalparabel und demjenigen Punkt <math>Q(x | x^2 +1)</math> auf dem Graphen von <math>g</math> zu betrachten, der die gleiche x-Koordinate wie <math>P</math> besitzt. Die y-Koordinate von <math>Q</math> ist (bei gleichem <math>x</math>) um 1 größer als die y-Koordiante von <math>P</math>. Im Koordinatensystem liegt der Punkt <math>Q</math> also eine Einheit senkrecht oberhalb von <math>P</math> und man gelangt von <math>P</math> zu <math>Q</math>, indem man <math>P</math> um eine Einheit nach oben verschiebt. Da dies für ''jeden beliebigen'' Punkt <math>P</math> der Normalparabel gilt, ist der ''gesamte Graph'' von <math>g</math> eine um 1 nach oben verschobene Normalparabel.<br />Diese Argumentation lässt sich auch auf Funktion <math>h(x)=x^2-4</math> übertragen, indem man die Verschiebungszahl 1 durch die Zahl -4 ersetzt.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}} <!-- Ende 2. Aufgabe --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Begründen) - Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung<br />
|2=<br />
Bisher wurden zwei ''spezielle'' Verschiebungen der Normalparabel in y-Richtung untersucht. Jetzt geht es allgemein um ''beliebige'' Verschiebungen der Normalparabel in y-Richtung.<br />
# Erkläre für eine beliebige Zahl <math> e \in \mathbb{R} </math>, wie der Graph der Funktion <math>f(x) =x^2 +e</math> durch eine Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung entsteht und welche Rolle genau die Zahl <math>e</math> dabei spielt. <br />
# Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel <math>f(x) =x^2 +e</math> an. Begründe deine Angabe.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# In der vorangegangen Aufgabe wurde erklärt, warum der Graph der Funktion <math>g(x)=x^2 +1</math> eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel ist. Diese Begründung lässt sich verallgemeinern, indem man in ihr einfach die Zahl 1 durch die Variable <math>e</math> ersetzt. <br />Wenn die addierte Zahl <math>e</math> positiv ist, dann werden durch die Addition alle y-Koordinaten der Normalparabel um den Betrag von <math>e</math> vergrößert und es handelt sich daher um eine Verschiebung nach ''oben''. <br />Die Subtraktion einer positiven Zahl (z.B. 4), durch die die y-Koordinaten kleiner werden, kann man auch als Addition ihrer negativen Gegenzahl (im Beispiel -4) auffassen. Die ''Addition einer negativen Zahl'' <math>e</math> bedeutet daher eine ''Verschiebung'' der Normalparabel ''nach unten'', also in ''negativer y-Richtung''.<br />
# Der Scheitelpunkt der Parabel <math>f(x) =x^2 +e</math> liegt auf der y-Achse. Seine x-Koordinate ist daher gleich Null. Seine y-Koordinate erhält man durch <math>f(0) =0^2 +e = e</math>. Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten <math>(0|e)</math>.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}} <!-- Ende 3. Aufgabe --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung - Verschiebung &nbsp; <math>f(x) =x^2 +e</math><br />
|2={{2Spalten<br />
|<br />
* Der Graph der Funktion <math>f(x) =x^2 +e</math> ist für jede Zahl <math>e \in \mathbb{R}</math> eine um den Betrag von <math>e</math> in y-Richtung verschobene Normalparabel. <br />
* Wenn <math>e</math> ''positiv'' ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach ''oben'' (in ''positiver'' y-Richtung), bei ''negativem'' <math>e</math> um eine Verschiebung nach ''unten''.<br />
*Der ''Scheitelpunkt'' der Parabel <math>f(x) =x^2 +e</math> besitzt die Koordinaten <math>(0|e)</math>.<br />
<br />
In dem GeoGebra-Applet kann man die Parabel mit der Funktionsgleichung <math>f(x) =x^2 +e</math> in y-Richtung verschieben, indem man die Position des Schiebereglers <math>e</math> verändert oder den Scheitelpunkt auf der y-Achse mit der Maus verschiebt. Nach Anklicken des Schiebereglers kann man ihn auch mit den Pfeiltasten in kleinen Schritten auf einen exakten Wert einstellen.<br />
|<br />
<ggb_applet width="389" height="539" version="4.2" ggbBase64="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" 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}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Üben) - Punktprobe<br />
|2=Untersuche für jede der drei der Parabeln <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=x^2+1</math> und <math>h(x)=x^2-4</math>, ob der Punkte <math>P(2,5|7)</math> oberhalb, unterhalb oder genau auf der Parabel liegt.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<math>f(2,5)=2,5^2 = 6,25 < 7 </math>. Um vom Punkt <math>(2,5|0)</math> auf der x-Achse bis zum Punkt <math>(2,5|6,25)</math> auf der Normalparabel zu gelangen, muss man 6,25 Einheiten nach oben gehen. Der Punkt <math>P(2,5|7)</math> liegt 0,75 Einheiten darüber, also oberhalb der Normalparabel.<br /><math>g(2,5)=2,5^2+1 = 7,25 > 7 </math>. Der Punkt <math>P(2,5|7)</math> liegt unterhalb der Parabel <math>g(x)=x^2+1</math>.<br />Die Parabel <math>h(x)=x^2-4</math> verläuft vollständig unterhalb der Normalparabel. Der Punkt <math>P(2,5|7)</math> liegt oberhalb der Normalparabel, also erst recht oberhalb der Parabel <math>h(x)=x^2-4</math>.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Definition Nullstellen<br />
|2=Die x-Koordinate eines Punktes, in dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet oder berührt, bezeichnet man als '''Nullstelle''' der Funktion.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Üben) - Nullstellen berechnen<br />
|2=Berechne die Nullstellen der Funktion <math>f(x) =x^2-4</math>. Kontrolliere dein Ergebnis anhand der Abbildung QF02 Abbildung 1 oder mit dem GeoGebra-Applet zur Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung.<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Ansatz zur Berechnung von Nullstellen: Setze den Funktionsterm von f gleich Null, kurz:<math>f(x)=0</math>. Dadurch entsteht eine Gleichung, die man nach <math>x</math> auflösen kann. <br />
<br />
Begründung für den Ansatz: Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben eines gemeinsam: ihre y-Koordinate ist gleich Null. Für die y-Koordinate eines Punktes, der sowohl auf der x-Achse als auch auf dem Graphen <math>f</math> liegt, gilt also <math>f(x)=0</math>.<br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Ansatz: Setze <math>f(x) =x^2-4 = 0</math>. <br />Für die Berechnung derjenigen x-Werte, die diese Gleichung erfüllen, gibt es zwei mögliche Lösungswege:<br />
# Weg: Wurzelziehen<br /><math>x^2 -4 = 0</math> <math>\Leftrightarrow x^2 = 4 </math> <br />Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen, nämlich:<br /> <math> x_1 = +\sqrt{4}</math> und <math>x_2 = -\sqrt{4}</math> <br /> Ergebnis: <math> x_1 = +2 </math> und <math> x_2 = -2 </math><br />
# Weg: Nullprodukt-Methode<br />In der Gleichung <math>x^2 -4 = 0</math> kann die linke Seite mithilfe der 3. binomischen Formel in ein Produkt umgeformt werden, so dass man die Gleichung <br /><math>(x -2) \cdot (x+2) = 0 </math> erhält. <br />Die '''Nullprodukt-Regel''' besagt: Wenn ein Produkt gleich Null ist, dann muss mindestens einer der Faktoren gleich Null sein. In diesem Fall ist also entweder der Inhalt der ersten Klammer oder der Inhalt der zweiten Klammer gleich Null:<br /><math> x -2 = 0</math> oder <math> x +2 = 0 </math><br />Ergebnis: <math> x_1 = 2 </math> und <math> x_2 = -2</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=<math>f_e(x)=x^2 +e </math> &nbsp; als Funktionenschar<br />
|2=Wenn man für <math>e \in \mathbb{R}</math> verschiedene Zahlen wählt, erhält man durch die Funktionsvorschrift <math>f(x) =x^2 +e</math> entsprechend viele verschiedene Funktionen mit unterschiedlichen Funktionsgraphen. ''Alle'' diese Funktionen bilden zusammen eine so genannte '''Funktionenschar'''. Man verwendet dafür auch die Schreibweise <math>f_e(x) =x^2 +e</math> und bezeichnet <math>e</math> als '''Scharparameter'''. <br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=6. Aufgabe (Üben) - Scharparameter bestimmen<br />
|2=Gesucht ist derjenige Scharparameter <math>e \in \mathbb{R}</math>, für den der Punkt <math>P(-1,5|3)</math> auf dem Graphen der Funktion <math>f_e(x) =x^2 +e</math> liegt. Berechne dieses <math>e</math>.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Da der Punkt <math>P(-1,5|3)</math> auf dem Graphen der Funktion <math>f_e(x) =x^2 +e</math> liegen soll, kann man seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen: <br /><br />
<math>f_e(-1,5) = 3</math> <br /> <math>\Leftrightarrow(-1,5)^2+e = 3</math> <br /><math>\Leftrightarrow 2,25 + e = 3</math> <br /><math>\Leftrightarrow e = 0,75</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Transformationsgleichung &nbsp; <math>g(x) = f(x) + e </math><br />
|2=<br />
* Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion <math>g</math> aus der Funktionsgleichung einer anderen Funktion <math>f</math>dadurch entsteht, dass man im Funktionsterm von <math> f </math> eine Zahl <math>e \in \mathbb{R}</math> als Summand hinzufügt (kurz: <math>g(x) = f(x) +e </math>), dann bedeutet das für die Graphen der beiden Funktionen: Der Graph von <math>g</math> entsteht, indem man den Graphen von <math>f</math> um den Betrag von <math>e \in \mathbb{R}</math> in y-Richtung verschiebt.<br />
* Wenn <math>e</math> positiv ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach oben, wenn <math>e</math> negativ ist, um eine Verschiebung nach unten.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=7. Aufgabe (Begründen) - Transformationsgleichung &nbsp; <math>g(x) = f(x) +e </math><br />
|2=Begründe die Transformationsgleichung <math>g(x) = f(x) +e </math> für die Verschiebung beliebiger Funktionsgraphen in y-Richtung.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Bei der Begründung dieser Aussage kann man sich an der Lösung von Aufgabe 3 orientieren: <br />Für jeden beliebigen x-Wert liegt der Punkt <math>P(x | f(x))</math> auf dem Graphen von <math>f</math> und für den gleichen x-Wert liegt der Punkt <math>Q(x | g(x))</math> auf dem Graphen von <math>g</math>. Da vorausgesetzt wird, dass für die Funktionsgleichungen die Beziehung <math>g(x) = f(x) +e </math> gilt, liegt der Punkt <math>Q</math> im Koordinatensystem <math>e</math> Einheiten senkrecht ''oberhalb'' von <math>P</math>, wenn <math>e</math> ''positiv'' ist, bzw. <math>e</math> Einheiten senkrecht ''darunter'', falls <math>e</math> ''negativ'' ist. Man gelangt also von <math>P</math> zu <math>Q</math>, indem man <math>P</math> um den Betrag von <math>e</math> nach oben bzw. nach unten verschiebt. Da dies für ''jeden beliebigen'' Punkt <math>P(x | f(x))</math> des Graphen von <math>f</math> gilt, erhält man den ''gesamten Graphen'' von <math>g</math>, indem man den Graphen von <math>f</math> um <math>e</math> in y-Richtung verschiebt.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}}<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF02_Normalparabel_in_y-Richtung_verschieben&diff=151275Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben2026-03-22T10:03:59Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann<br />
|Titel=Lernschritt Normalparabel in y-Richtung verschieben<br />
|* In diesem Lernschritt wird untersucht, wie die Normalparabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn man in ihrer Funktionsgleichung <math>f(x)=x^2</math> hinter dem <math>x^2</math> eine konstante Zahl addiert oder subtrahiert. Beispielhaft werden dafür die Funktionen <math>g(x)=x^2 +1</math> und <math>h(x) =x^2 -4</math> genauer unter die Lupe genommen. <br />
* Dabei erfährst du auch, was eine ''Funktionenschar'' ist und<br />
* was man unter der ''Nullstelle'' einer Funktion versteht. <br />
* Schließlich lernst du noch eine Gleichung kennen, die ganz allgemein die Verschiebung von Funktionsgraphen in y-Richtung beschreibt. Es handelt sich dabei um eine von mehreren ''Transformationen'', die in diesem Lernpfad eine Rolle spielen.<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Wertetabelle erstellen<br />
|2=Übertrage die Tabelle 1 für die Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=x^2+1</math> und <math>h(x)=x^2-4</math> in dein Arbeitsheft und vervollständige sie.<br />
{{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 1'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math> <br />
{{!}} -3<br />
{{!}} -2<br />
{{!}} -1<br />
{{!}} 0<br />
{{!}} 1<br />
{{!}} 2<br />
{{!}} 3<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>f(x)=x^2</math><br />
{{!}}<br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!}} <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>g(x)=x^2+1</math><br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>h(x)=x^2-4</math><br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!)}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1={{(!}} cellpadding="10" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 1'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math> x </math> <br />
{{!}} -3<br />
{{!}} -2<br />
{{!}} -1<br />
{{!}} 0<br />
{{!}} 1<br />
{{!}} 2<br />
{{!}} 3<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>f(x)=x^2</math><br />
{{!}} '''9'''<br />
{{!}} '''4''' <br />
{{!}} '''1''' <br />
{{!}} '''0''' <br />
{{!}} '''1''' <br />
{{!}} '''4''' <br />
{{!}} '''9''' <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>g(x)=x^2+1</math><br />
{{!}} '''10'''<br />
{{!}} '''5'''<br />
{{!}} '''2'''<br />
{{!}} '''1'''<br />
{{!}} '''2'''<br />
{{!}} '''5'''<br />
{{!}} '''10'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}<math>h(x)=x^2-4</math><br />
{{!}} '''5'''<br />
{{!}} '''0''' <br />
{{!}} '''-3''' <br />
{{!}} '''-4''' <br />
{{!}} '''-3''' <br />
{{!}} '''0''' <br />
{{!}} '''5''' <br />
{{!)}}<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}} <br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Funktionsgraph zuordnen<br />
|2=[[Datei:QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf|mini|400px|right|alternativtext=In einem Koordinatensystem sind außer der Normalparabel zwei in y-Richtung verschobene Normalparabeln dargestellt.|QF02 Abbildung 1 Arial24.pdf<br />In y-Richtung verschobene Normalparabeln]]<br />
# In der Abbildung "QF02 Abbildung 1" sind drei Funktionsgraphen gezeichnet: einer gestrichelt, einer gepunktet und einer mit durchgezogener Linie. Ordne diese drei Graphen den Funktionen <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=x^2+1</math> und <math>h(x)=x^2-4</math> zu. Begründe deine Zuordnung mithilfe von Beispielpunkten aus der Tabelle 1.<br />
# Zeige mithilfe der Wertetabellen, dass man auch an die Graphen von <math>g</math> und <math>h</math> Parabel-Treppen wie bei der Normalparabel anlegen kann (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel|QF01 Normalparabel]]). <br />
# Begründe, dass der Graph von <math>g(x)=x^2+1</math> eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel und der Graph von <math>h(x)=x^2-4</math> eine um 4 Einheiten nach unten verschobene Normalparabel ist. <br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# Die ''durchgezogene'' Linie ist die Normalparabel, also der Graph der Funktion <math>f</math> (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel|QF01 Normalparabel]]). <br />Die ''gepunktete'' Linie ist der Graph der Funktion <math>g(x)=x^2 +1</math>. In der Abbildung "QF02 Abbildung 1" erkennt man, dass dieser Graph die y-Achse im Punkt <math>(0|1)</math> schneidet. Dieses Koordinatenpaar findet man auch in Wertetabelle von <math>g</math>, denn <math>g(0) = 0^2 +1 = 1</math>. <br />Die ''gestrichelte'' Linie ist der Graph der Funktion <math>h</math>. In der Abbildung erkennt man, dass dieser Graph die y-Achse im Punkt <math>(0|-4)</math> schneidet. Dieses Koordinatenpaar findet man auch in Wertetabelle von <math>h</math>, denn <math>h(0) = 0^2 -4 = -4</math>.<br />
# Wenn man in der Wertetabelle von <math>g</math> vom Koordinatenpaar <math>(0|1)</math> ausgehend die x-Koordinate schrittweise um 1 erhöht, dann erhöhen sich die entsprechenden y-Werte schrittweise um 1, 3 und 5, also um aufeinander folgende ungerade Zahlen - wie bei der Parabel-Treppe der Normalparabel (siehe [[Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel#Die Parabel-Treppe|QF01 Normalparabel - Die Parabel-Treppe]]). Das gleiche gilt auch für die Funktion <math>h</math>, wenn man bei ihr von <math>(0|-4)</math> ausgeht. <br />
# Man kann den Graphen einer Funktion <math>f</math> als eine Linie betrachten, die aus unendlich vielen, sehr dicht aneinander liegenden Punkten mit den Koordinaten <math>(x|f(x))</math> besteht. Es genügt daher, die Beziehung zwischen einem x-beliebigen Punkt <math>P(x | x^2)</math> auf der Normalparabel und demjenigen Punkt <math>Q(x | x^2 +1)</math> auf dem Graphen von <math>g</math> zu betrachten, der die gleiche x-Koordinate wie <math>P</math> besitzt. Die y-Koordinate von <math>Q</math> ist (bei gleichem <math>x</math>) um 1 größer als die y-Koordiante von <math>P</math>. Im Koordinatensystem liegt der Punkt <math>Q</math> also eine Einheit senkrecht oberhalb von <math>P</math> und man gelangt von <math>P</math> zu <math>Q</math>, indem man <math>P</math> um eine Einheit nach oben verschiebt. Da dies für ''jeden beliebigen'' Punkt <math>P</math> der Normalparabel gilt, ist der ''gesamte Graph'' von <math>g</math> eine um 1 nach oben verschobene Normalparabel.<br />Diese Argumentation lässt sich auch auf Funktion <math>h(x)=x^2-4</math> übertragen, indem man die Verschiebungszahl 1 durch die Zahl -4 ersetzt.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-binoculars fa-2x}} <!-- Ende 2. Aufgabe --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Begründen) - Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung<br />
|2=<br />
Bisher wurden zwei ''spezielle'' Verschiebungen der Normalparabel in y-Richtung untersucht. Jetzt geht es allgemein um ''beliebige'' Verschiebungen der Normalparabel in y-Richtung.<br />
# Erkläre für eine beliebige Zahl <math> e \in \mathbb{R} </math>, wie der Graph der Funktion <math>f(x) =x^2 +e</math> durch eine Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung entsteht und welche Rolle genau die Zahl <math>e</math> dabei spielt. <br />
# Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel <math>f(x) =x^2 +e</math> an. Begründe deine Angabe.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=# In der vorangegangen Aufgabe wurde erklärt, warum der Graph der Funktion <math>g(x)=x^2 +1</math> eine um eine Einheit nach oben verschobene Normalparabel ist. Diese Begründung lässt sich verallgemeinern, indem man in ihr einfach die Zahl 1 durch die Variable <math>e</math> ersetzt. <br />Wenn die addierte Zahl <math>e</math> positiv ist, dann werden durch die Addition alle y-Koordinaten der Normalparabel um den Betrag von <math>e</math> vergrößert und es handelt sich daher um eine Verschiebung nach ''oben''. <br />Die Subtraktion einer positiven Zahl (z.B. 4), durch die die y-Koordinaten kleiner werden, kann man auch als Addition ihrer negativen Gegenzahl (im Beispiel -4) auffassen. Die ''Addition einer negativen Zahl'' <math>e</math> bedeutet daher eine ''Verschiebung'' der Normalparabel ''nach unten'', also in ''negativer y-Richtung''.<br />
# Der Scheitelpunkt der Parabel <math>f(x) =x^2 +e</math> liegt auf der y-Achse. Seine x-Koordinate ist daher gleich Null. Seine y-Koordinate erhält man durch <math>f(0) =0^2 +e = e</math>. Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten <math>(0|e)</math>.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}} <!-- Ende 3. Aufgabe --><br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung - Verschiebung &nbsp; <math>f(x) =x^2 +e</math><br />
|2={{2Spalten<br />
|<br />
* Der Graph der Funktion <math>f(x) =x^2 +e</math> ist für jede Zahl <math>e \in \mathbb{R}</math> eine um den Betrag von <math>e</math> in y-Richtung verschobene Normalparabel. <br />
* Wenn <math>e</math> ''positiv'' ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach ''oben'' (in ''positiver'' y-Richtung), bei ''negativem'' <math>e</math> um eine Verschiebung nach ''unten''.<br />
*Der ''Scheitelpunkt'' der Parabel <math>f(x) =x^2 +e</math> besitzt die Koordinaten <math>(0|e)</math>.<br />
<br />
In dem GeoGebra-Applet kann man die Parabel mit der Funktionsgleichung <math>f(x) =x^2 +e</math> in y-Richtung verschieben, indem man die Position des Schiebereglers <math>e</math> verändert oder den Scheitelpunkt auf der y-Achse mit der Maus verschiebt. Nach Anklicken des Schiebereglers kann man ihn auch mit den Pfeiltasten in kleinen Schritten auf einen exakten Wert einstellen.<br />
|<br />
<ggb_applet width="389" height="539" version="4.2" ggbBase64="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" 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}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Üben) - Punktprobe<br />
|2=Untersuche für jede der drei der Parabeln <math>f(x)=x^2</math>, <math>g(x)=x^2+1</math> und <math>h(x)=x^2-4</math>, ob der Punkte <math>P(2,5|7)</math> oberhalb, unterhalb oder genau auf der Parabel liegt.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<math>f(2,5)=2,5^2 = 6,25 < 7 </math>. Um vom Punkt <math>(2,5|0)</math> auf der x-Achse bis zum Punkt <math>(2,5|6,25)</math> auf der Normalparabel zu gelangen, muss man 6,25 Einheiten nach oben gehen. Der Punkt <math>P(2,5|7)</math> liegt 0,75 Einheiten darüber, also oberhalb der Normalparabel.<br /><math>g(2,5)=2,5^2+1 = 7,25 > 7 </math>. Der Punkt <math>P(2,5|7)</math> liegt unterhalb der Parabel <math>g(x)=x^2+1</math>.<br />Die Parabel <math>h(x)=x^2-4</math> verläuft vollständig unterhalb der Normalparabel. Der Punkt <math>P(2,5|7)</math> liegt oberhalb der Normalparabel, also erst recht oberhalb der Parabel <math>h(x)=x^2-4</math>.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Definition Nullstellen<br />
|2=Die x-Koordinate eines Punktes, in dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet oder berührt, bezeichnet man als '''Nullstelle''' der Funktion.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Üben) - Nullstellen berechnen<br />
|2=Berechne die Nullstellen der Funktion <math>f(x) =x^2-4</math>. Kontrolliere dein Ergebnis anhand der Abbildung QF02 Abbildung 1 oder mit dem GeoGebra-Applet zur Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung.<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Ansatz zur Berechnung von Nullstellen: Setze den Funktionsterm von f gleich Null, kurz:<math>f(x)=0</math>. Dadurch entsteht eine Gleichung, die man nach <math>x</math> auflösen kann. <br />
<br />
Begründung für den Ansatz: Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben eines gemeinsam: ihre y-Koordinate ist gleich Null. Für die y-Koordinate eines Punktes, der sowohl auf der x-Achse als auch auf dem Graphen <math>f</math> liegt, gilt also <math>f(x)=0</math>.<br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Ansatz: Setze <math>f(x) =x^2-4 = 0</math>. <br />Für die Berechnung derjenigen x-Werte, die diese Gleichung erfüllen, gibt es zwei mögliche Lösungswege:<br />
# Weg: Wurzelziehen<br /><math>x^2 -4 = 0</math> <math>\Leftrightarrow x^2 = 4 </math> <br />Diese Gleichung besitzt zwei Lösungen, nämlich:<br /> <math> x_1 = +\sqrt{4}</math> und <math>x_2 = -\sqrt{4}</math> <br /> Ergebnis: <math> x_1 = +2 </math> und <math> x_2 = -2 </math><br />
# Weg: Nullprodukt-Methode<br />In der Gleichung <math>x^2 -4 = 0</math> kann die linke Seite mithilfe der 3. binomischen Formel in ein Produkt umgeformt werden, so dass man die Gleichung <br /><math>(x -2) \cdot (x+2) = 0 </math> erhält. <br />Die '''Nullprodukt-Regel''' besagt: Wenn ein Produkt gleich Null ist, dann muss mindestens einer der Faktoren gleich Null sein. In diesem Fall ist also entweder der Inhalt der ersten Klammer oder der Inhalt der zweiten Klammer gleich Null:<br /><math> x -2 = 0</math> oder <math> x +2 = 0 </math><br />Ergebnis: <math> x_1 = 2 </math> und <math> x_2 = -2</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=<math>f_e(x)=x^2 +e </math> &nbsp; als Funktionenschar<br />
|2=Wenn man für <math>e \in \mathbb{R}</math> verschiedene Zahlen wählt, erhält man durch die Funktionsvorschrift <math>f(x) =x^2 +e</math> entsprechend viele verschiedene Funktionen mit unterschiedlichen Funktionsgraphen. ''Alle'' diese Funktionen bilden zusammen eine so genannte '''Funktionenschar'''. Man verwendet dafür auch die Schreibweise <math>f_e(x) =x^2 +e</math> und bezeichnet <math>e</math> als '''Scharparameter'''. <br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=6. Aufgabe (Üben) - Scharparameter bestimmen<br />
|2=Gesucht ist derjenige Scharparameter <math>e \in \mathbb{R}</math>, für den der Punkt <math>P(-1,5|3)</math> auf dem Graphen der Funktion <math>f_e(x) =x^2 +e</math> liegt. Berechne dieses <math>e</math>.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Da der Punkt <math>P(-1,5|3)</math> auf dem Graphen der Funktion <math>f_e(x) =x^2 +e</math> liegen soll, kann man seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen: <br /><br />
<math>f_e(-1,5) = 3</math> <br /> <math>\Leftrightarrow(-1,5)^2+e = 3</math> <br /><math>\Leftrightarrow 2,25 + e = 3</math> <br /><math>\Leftrightarrow e = 0,75</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Transformationsgleichung &nbsp; <math>g(x) = f(x) + e </math><br />
|2=<br />
* Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion <math>g</math> aus der Funktionsgleichung einer anderen Funktion <math>f</math>dadurch entsteht, dass man im Funktionsterm von <math> f </math> eine Zahl <math>e \in \mathbb{R}</math> als Summand hinzufügt (kurz: <math>g(x) = f(x) +e </math>), dann bedeutet das für die Graphen der beiden Funktionen: Der Graph von <math>g</math> entsteht, indem man den Graphen von <math>f</math> um den Betrag von <math>e \in \mathbb{R}</math> in y-Richtung verschiebt.<br />
* Wenn <math>e</math> positiv ist, handelt es sich um eine Verschiebung nach oben, wenn <math>e</math> negativ ist, um eine Verschiebung nach unten.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=7. Aufgabe (Begründen) - Transformationsgleichung &nbsp; <math>g(x) = f(x) +e </math><br />
|2=Begründe die Transformationsgleichung <math>g(x) = f(x) +e </math> für die Verschiebung beliebiger Funktionsgraphen in y-Richtung.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Bei der Begründung dieser Aussage kann man sich an der Lösung von Aufgabe 3 orientieren: <br />Für jeden beliebigen x-Wert liegt der Punkt <math>P(x | f(x))</math> auf dem Graphen von <math>f</math> und für den gleichen x-Wert liegt der Punkt <math>Q(x | g(x))</math> auf dem Graphen von <math>g</math>. Da vorausgesetzt wird, dass für die Funktionsgleichungen die Beziehung <math>g(x) = f(x) +e </math> gilt, liegt der Punkt <math>Q</math> im Koordinatensystem <math>e</math> Einheiten senkrecht ''oberhalb'' von <math>P</math>, wenn <math>e</math> ''positiv'' ist, bzw. <math>e</math> Einheiten senkrecht ''darunter'', falls <math>e</math> ''negativ'' ist. Man gelangt also von <math>P</math> zu <math>Q</math>, indem man <math>P</math> um den Betrag von <math>e</math> nach oben bzw. nach unten verschiebt. Da dies für ''jeden beliebigen'' Punkt <math>P(x | f(x))</math> des Graphen von <math>f</math> gilt, erhält man den ''gesamten Graphen'' von <math>g</math>, indem man den Graphen von <math>f</math> um <math>e</math> in y-Richtung verschiebt.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}}<br />
<br />
{{Fortsetzung<br />
|vorher=zurück<br />
|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel<br />
|weiter=weiter<br />
|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF03 Normalparabel in x-Richtung verschieben<br />
|übersicht=Kapitelübersicht<br />
|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}<br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann&diff=151270Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann2026-03-22T10:01:40Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<onlyinclude><div class="zum-lernpfad--lerneinheit--leader"></onlyinclude><br />
<!-- sucht bis zu 200 Seiten, die "kleiner" sind als die aktuelle Seite (Titel) wie die aktuelle Elternseite (der Lernpfad) beginnen und das Template Lerneinheit benutzen.<br />
dadurch, dass für jeden Treffer die Variable Lerneinheit_vorher neu gesetzt wird ist es am Ende die letzte der bis zu 200 vorherigen Seiten.<br />
<br />
Das heißt, bei der 201. Lerneinheit wird nicht mehr der Richtige "vorher" Link verwendet. Das wird praktisch nicht auftreten.<br />
--><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlelt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=200<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| includesubpages=true<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_vorher¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Nächste Seite finden, ist einfacher da wir einfach die erste nächstgrößere Seite nehmen. --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlegt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=1<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| includesubpages=true<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_weiter¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<br />
<!-- sucht bis zu 1 Bild aus der Lernpfad Vorlage aus der Elternseite --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| debug=3<br />
| title={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 }}<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu<br />
| include={LernpfadNeu}:Bild<br />
| count=1<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦,}²,<br />
| noresultsheader=²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦}²&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude>{{Fortsetzung<br />
| übersicht={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 | -2 }}<br />
| übersichtlink={{#titleparts:{{FULLPAGENAME}} | -1 }}<br />
| vorher={{#varexists:Lerneinheit_vorher|vorher}}<br />
| vorherlink={{#varexists:Lerneinheit_vorher|{{#var:Lerneinheit_vorher}} }}<br />
| weiter={{#varexists:Lerneinheit_weiter|weiter}}<br />
| weiterlink={{#varexists:Lerneinheit_weiter|{{#var:Lerneinheit_weiter}} }}<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude>{{Box<br />
|{{{Titel|{{{PAGENAME}}}}}}<br />
|{{{1|}}}<br />
|Lernpfad<br />
}}</onlyinclude><br />
<!-- end of .zum-lernpfad--lerneinheit--leader --><br />
<onlyinclude></div></onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF01_Normalparabel&diff=151269Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel2026-03-22T10:00:11Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann<br />
|Titel = Eigenschaften der Normalparabel<br />
|In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen ''jeder beliebigen'' quadratischen Funktion, also ''alle'' Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.<br />
* In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.<br />
* Du lernst einige ''graphische'' Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie ''rechnerisch'' begründen kann. Dieses Wissen kann später auch auf andere Parabeln und Funktionen übertragen werden.<br />
* Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der ''Quadratwurzel'' einer Zahl versteht (und was nicht).<br />
}}<br />
__NOTOC__<br />
<br />
<br />
Die Normalparabel ist der Graph der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. (Was eine ''Funktion'' im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite [[Benutzer:ukalina/Funktionen|Funktionen]] ausführlich erklärt.) <br />
Jetzt soll untersucht werden, wie die Normalparabel aussieht und wie sie entsteht. Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, erstellt man üblicherweise eine ''Wertetabelle'', in der man einer Reihe von x-Werten die jeweils dazugehörigen y-Werte gegenüberstellt, die mithilfe der Funktionsvorschrift, in diesem Fall <math> f(x) = x^2 </math>, berechnet werden können. Anschließend zeichnet man die Wertepaare <math> (x | y) </math> aus der Tabelle als Punkte in ein Koordinatensystem ein. <br />
<br />
Im Fall der Funktion <math>f(x) = x^2</math> könnte eine solche Wertetabelle z.B. so aussehen:<br />
<br />
====Wertetabelle====<br />
<br />
{| cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"<br />
|+ '''Tabelle 1: <math>f(x)=x^2</math>'''<br />
|align="center" |'''x''' <br />
| -3<br />
| -2<br />
| -1<br />
| 0<br />
| 1<br />
| 2<br />
| 3<br />
|- <br />
|align="center" |'''f(x)'''<br />
|9<br />
|4<br />
|1<br />
|0<br />
|1<br />
|4<br />
|9<br />
|}<br />
<br />
In der '''Tabelle 1''' wurden als x-Werte ganze Zahlen verwendet. Im Prinzip können aber auch beliebige andere Zahlen als x-Werte gewählt werden. <br />
<br />
Aus dieser Tabelle 1 kann man ablesen, dass die Punkte <math> A(-3|9) </math>, <math> B(-2|4) </math>, <math> C(-1|1) </math>, <math> D(0|0) </math>, <math> E(1|1) </math>, <math> F(2|4) </math> und <math> G(3|9) </math> zum Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> gehören. Aber wie sieht der Graph ''zwischen'' diesen Punkten aus? <br />
<br />
Von den linearen Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form <math>y = m \cdot x +b</math> besitzen, weißt du, dass alle Punkte, die zu einer bestimmten linearen Funktion gehören, auf der gleichen Geraden liegen. Das ist bei der Funktion <math> f(x) =x^2 </math> offensichtlich nicht so. Aber wie ist es dann? Kann man die Punkte <math> A </math> bis <math> G </math> aus der Tabelle 1 etwa von Punkt zu Punkt gradlinig durch Strecken verbinden? Oder verläuft der Graph zwischen den Punkten gekrümmt? Um dies herauszufinden, erweitern wir die Tabelle 1 um weitere Wertepaare.<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Erweiterung der Wertetabelle<br />
|2=Übertrage die Tabelle 2 für die Funktion <math>f(x)=x^2</math> in dein Arbeitsheft und vervollständige sie für positive x-Werte. Runde auf zwei Stellen hinter dem Komma.<br />
{{(!}} cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 2: <math>f(x)=x^2</math>'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''x''' <br />
{{!}} 0,25<br />
{{!}} <br />
{{!}} 0,75<br />
{{!}} 1,25<br />
{{!}} <br />
{{!}} 1,75<br />
{{!}} 2,25<br />
{{!}} <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''f(x)'''<br />
{{!}}<br />
{{!}}0,25<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}2,25<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}6,25 <br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1={{(!}} cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 2: <math>f(x)=x^2</math>'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''x''' <br />
{{!}} 0,25<br />
{{!}} '''0,5''' <br />
{{!}} 0,75<br />
{{!}} 1,25<br />
{{!}} '''1,5'''<br />
{{!}} 1,75<br />
{{!}} 2,25<br />
{{!}} '''2,5'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''f(x)'''<br />
{{!}}'''0,06'''<br />
{{!}}0,25<br />
{{!}}'''0,56'''<br />
{{!}}'''1,56'''<br />
{{!}}2,25<br />
{{!}}'''3,06'''<br />
{{!}}'''5,06'''<br />
{{!}}6,25 <br />
{{!)}}<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x<br />
}}<br />
<br />
<br />
====Funktionsgraph====<br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Aussehen und Eigenschaften der Normalparabel<br />
|2=<br />
* Zeichne die Werte aus Tabelle 1 und Tabelle 2 in deinem Arbeitsheft als Punkte in ein Koordinatensystem. <br />
* Füge einige beliebige weitere Punkte hinzu - z.B. die entsprechenden Punkte links von der y-Achse. <br />
* Stelle eine Vermutung auf: Wie sieht wohl der Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math> aus - also die ''Menge aller Punkte'' <math>P(x | x^2)</math> im Koordinatensystem? <br />
* Beschreibe grundsätzliche Unterschiede zu den Graphen der linearen Funktionen und weitere Eigenschaften, die dir auffallen. <br />
|3=<br />
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x<br />
}}<br />
<br />
{{ Box<br />
|1= Auswertung der Ergebnisse<br />
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf|mini|left|400px|alternativtext=In einem Koordinatensystem sind Punkte aus den Wertetabellen 1 und 2 dargestellt. Die Punkte liegen so dicht beieinander, dass die Gestalt einer Kurve erkennbar wird.|QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf<br />Punkte <math>(x | x^2)</math> aus den Wertetabellen 1 und 2]]<br />
<br />Die Abbildung legt verschiedene Aussagen nahe, z.B.<br />
* Je mehr Punkte <math>(x|x^2)</math> man berechnet und im Koordinatensystem einzeichnet, desto mehr verdichten sich die Einzelpunkte zu einer durchgehenden, gekrümmten Linie. <br />
* Der Graph geht durch den Koordinatenursprung und verläuft ansonsten ausschließlich im 1. und 2. Quadranten. <br />
* Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.<br />
* Im Ursprung hat die Normalparabel ihren tiefsten Punkt. (Dies ist ihr so genannter "Scheitelpunkt".)<br />
* Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er. <br />
* Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.<br />
|3=Lösung}}<br />
<br />
====Achsensymmetrie zur y-Achse====<br />
Man kann bestimmte ''geometrische'' Eigenschaften von Funktionsgraphen - wie z.B. die Eigenschaft der Achsensymmetrie - mithilfe ''rechnerischer'' Eigenschaften des Funktionsterms überprüfen. Die Achsensymmetrie zur y-Achse kann man rechnerisch mit der Gleichung <math>f(x) =f(-x)</math> nachweisen. <br />
<br />
{{Box<br />
|1= Achsensymmetrie eines Funktionsgraphen<br />
|2=Der Graph einer Funktion <math> f </math> verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion die Gleichung gilt: <br />
: <math>f(x) =f(-x)</math>.<br />
|3=Merksatz<br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Begründen) - Achsensymmetrie der Normalparabel<br />
|2=<br />
* Zeige, dass die Funktion <math>f(x) = x^2 </math> die Bedingung <math>f(x) =f(-x)</math> für alle <math> x \in \mathbb {R} </math> erfüllt.<br />
* Wie kann man die Symmetrie der Normalparabel zur y-Achse mit dieser Gleichung begründen?<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1= Erinnerung Achsenspiegelung: Ein Punkt P wird an einer Geraden gespiegelt, indem man von <math>P</math> aus auf dem kürzesten Weg, d.h. im rechten Winkel auf die Gerade zuläuft. Der Punkt, in welchem man auf die Gerade trifft, werde mit <math>Q</math> bezeichnet. Verlängert man nun die Strecke <math>\overline{PQ}</math> um die Länge dieser Strecke noch einmal in gleicher Richtung über die Gerade hinaus, so landet man im "Spiegelpunkt" <math>P'</math>. <br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<br />
* Für alle <math> x \in \mathbb {R} </math> gilt: <math>f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)</math>.<br />
* Um die Achsensymmetrie zur y-Achse nachzuweisen, kann man einen beliebigen Punkt <math>P(x|x^2)</math> auf dem rechten Parabelast wählen und geht von dort aus auf dem kürzesten Weg, also parallel zur x-Achse, auf die y-Achse zu. Der Punkt, in dem man auf die y-Achse trifft, besitzt die Koordinaten <math>Q(0|x^2)</math>. Die Länge der Strecke <math>\overline{PQ}</math> ist <math>x</math>. Verlängert man nun <math>\overline{PQ}</math> um die gleiche Länge noch einmal in gleicher Richtung, so landet man im "Spiegelpunkt" <math>P'(-x|x^2)</math>. Dieser liegt aber ebenfalls auf der Normalparabel, denn er erfüllt die Bedingung aller Parabelpunkte: <math>f(-x) = (-x)^2 = x^2</math>. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}}<br />
<br />
====Die Parabel-Treppe====<br />
Manchmal ist es nützlich, wenn man vom Scheitelpunkt einer Parabel ausgehend schnell und ohne größere Rechnung die Koordinaten weiterer Parabelpunkte angebenen kann. Mit der Parabel-Treppe ist das einfach möglich. Außerdem macht sie noch einmal anschaulich klar, dass die "Steilheit" der Normalparabel zunimmt, je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt. <br />
<br />
Den Anfang der Parabel-Treppe kann man so beschreiben: Man geht im Koordinatensystem vom Scheitelpunkt der Normalparabel <math>P_0(0|0)</math> aus erst um eine Einheit nach rechts zum Zwischenpunkt <math>Z_1(1|0)</math> und dann von hier aus senkrecht nach oben, bis man im Parabelpunkt <math>P_1(1|1)</math> wieder auf die Parabel trifft. Die Länge der senkrechten Strecke <math> \overline{Z_1P_1} </math> beträgt 1 Einheit und entspricht der Höhe der 1. Stufe.<br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Erkunden) - weitere Stufen der Parabel-Treppe <br />
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf|mini|400px|left|alternativtext=Normalparabel und Parabeltreppe mit Stufenhöhen 1, 2 und 3|QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf]]<br />
# Gehe im Koordinatensystem vom Parabelpunkt <math>P_1(1|1)</math> aus um eine Einheit nach rechts und anschließend wieder senkrecht nach oben bis zur Parabel. Die Länge dieser senkrechte Strecke entspricht der Höhe der 2. Treppenstufe. Wie hoch ist diese? Wie lauten die Koordinaten des Punktes <math>P_2</math>, in dem du jetzt auf der Parabel gelandet bist?<br />
# Gehe auch von <math>P_2</math> aus wieder um eine Einheit nach rechts und dann senkrecht bis zur Normalparabel. Um wie viele Einheiten musst du dabei senkrecht gehen, d.h. wie hoch ist die 3. Stufe?<br />
# Wenn du die Stufenschritte noch weiter wiederholst: Um wie viele Einheiten musst du bei den nächsten Schritten jeweils senkrecht nach oben gehen? Welche Regelmäßigkeit steckt dahinter? Was vermutest du?<br />
# Formuliere deine Vermutung in Form einer Gleichung, mit der die Höhe <math>h</math> der x-ten Stufe aus der Nummer <math>x</math> dieser Stufe berechnet werden kann. Berechne mit dieser Formel die Höhe der 100. Stufe.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Wenn man von <math>P_1(1|1)</math> aus eine Einheit nach rechts geht, muss man '''3''' Einheiten nach oben gehen, um im Punkt <math>P_2(2|4)</math> wieder auf der Parabel zu landen. Die 2. Stufe ist also 3 Einheiten hoch.<br />
#Von <math>P_2</math> aus geht man eine Einheit nach rechts und dann '''5''' Einheiten nach oben, um im Punkt <math>P_3(3|9)</math> wieder auf die Parabel zu treffen. Die 3. Stufe ist also 5 Einheiten hoch.<br />
# Die Stufenhöhen sind bei den ersten drei Stufen 1, 3 und 5, also aufeinander folgende ungerade Zahlen. Vermutung: Auch die weiteren Stufenhöhen sind die nächsten ungeraden Zahlen, also '''7''' und '''9'''. <br />
# Entwicklung einer Formel für die Berechnung der x-ten Stufenhöhe: <br />Stufe Nr. '''1''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{1} -1 = 1 </math> <br />Stufe Nr. '''2''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{2} -1 = 3</math> <br />Stufe Nr. '''3''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{3} -1 = 5</math> <br />Stufe Nr. '''x''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{x} -1 </math> <br />In der 100. Stufe beträgt die Höhe demnach <math> h = 2 \cdot 100 -1 = 199 </math>.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Begründen) - allgemeine Regel für die Parabel-Treppe <br />
|2=Beweise die Formel für die Höhe der x-ten Stufe <math> h = 2 \cdot x -1 </math> mit <math> x \in \mathbb {N} </math> (Vermutung aus der vorangegangenen Aufgabe) rechnerisch mithilfe des Funktionsterms der Normalparabel. <br />
<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Die Höhe einer Stufe entspricht der Höhendifferenz zweier benachbarter Parabelpunkte, deren Abstand in x-Richtung 1 beträgt.<br />
|2=Tipp 1<br />
|3=Tipp 1 verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Beispiel: Die Höhe der 2. Stufe entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte <math>P_2(2|4)</math> und <math>P_1(1|1)</math>, also der Differenz der Funktionswerte <math>f(2)</math> und <math>f(1)</math>. Es gilt <math>h = f(2) - f(1) = 2^2 - 1^2 = 4 -1 = 3</math>.<br />
|2=Tipp 2<br />
|3=Tipp 2 verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<br />
Allgemeine Begründung: Die Höhe der x-ten Stufe ( <math> x \in \mathbb {N} </math> ) entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte <math> P_x(x|f(x)) </math> und <math> P_{x-1}(x-1|f(x-1)) </math>, also der Differenz der Funktionswerte <math> f(x) </math> und <math> f(x-1) </math>. Es gilt daher: <math> h = f(x)- f(x-1)=x^2 -(x-1)^2 </math> <math>= x^2 -(x^2 -2x +1) </math> <math>= x^2 -x^2 +2x -1 </math> <math>= 2x -1</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung Normalparabel<br />
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Arial24.pdf|mini|350px|left|alternativtext=Normalparabel über dem Intervall [-3; 3] |QF01 Normalparabel Arial24.pdf<br />Normalparabel, Graph der Funktion <math>f(x) =x^2 </math>]]<br />
; Definition Normalparabel<br />
* Der Graph der quadratischen Funktion <math>f(x)=x^2</math> wird als '''Normalparabel''' bezeichnet. <br />
* Die Normalparabel ist die Menge aller Punkte <math>P(x | x^2)</math> ( <math> x \in \mathbb {R}</math> ) im Koordinatensystem, deren y-Koordinate das Quadrat der x-Koordinate ist, kurz: <math> y = x^2</math>. <br />
* Der '''Definitionsbereich''' der Funktion <math>f(x)=x^2</math> ist <math>\mathbb {D} = \mathbb {R}</math>, da jede Zahl <math> x \in \mathbb {R}</math> quadriert werden kann. Ihr '''Wertebereich''' ist <math> \mathbb {W} = \mathbb {R}_0^+</math>, da durch das Quadrieren keine negativen Werte entstehen können.<br />
* Der tiefste Punkt der Normalparabel <math>(0|0)</math> wird als ihr '''Scheitelpunkt''' bezeichnet.<br />
; Eigenschaften der Normalparabel<br />
* Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.<br />
* Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er. <br />
* Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse. <br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=6. Aufgabe (Üben) - Graphisches Quadrieren<br />
|2=<br />
{{2Spalten<br />
|<br />
Lies für folgende x-Werte den Wert <math>y=x^2</math> "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt). <br />
# <math>x=2,7</math> &nbsp;&nbsp; <math>x^2=?</math><br />
# <math>x=-2,5</math> &nbsp;&nbsp; <math>x^2=?</math><br />
# <math>x=1,8</math> &nbsp;&nbsp; <math>x^2=?</math><br />
Du kannst für dieses Aufgabe entweder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden (, die es im Anhang auch mit Braille-Beschriftung als taktile Schwellpapier-Kopiervorlage gibt), oder das GeoGebra-Applet "Normalparabel <math> f(x) = x^2</math>. In diesem kannst du den Punkt auf der x-Achse oder den Punkt auf der Parabel mit der Maus verschieben.<br />
|<br />
<ggb_applet width="361" height="527" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />
}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
|3=Üben}} <br />
<br />
====Quadratwurzel====<br />
{{Box<br />
|1=Definition Quadratwurzel<br />
|2=Die Quadratwurzel aus einer ''positiven'' Zahl <math>a</math> ist diejenige ''positive'' Zahl, deren Quadrat <math>a</math> ist. Man bezeichnet diese Zahl mit dem Symbol <math>\sqrt{a}</math>. Außerdem definiert man für die Quadratwurzel aus 0: <math>\sqrt{0} = 0</math>. <br />
<br />
'''Anmerkungen''' zur Quadratwurzel-Definition: <br />
# Die Gleichung <math>x^2 = 9</math> besitzt zwar zwei Lösungen, nämlich <math>x_1 = -3</math> und <math>x_2 = 3</math>. Aber nur die ''positive'' dieser beiden Lösungen wird als "Quadratwurzel aus 9" <math>\sqrt{9}</math> (oder kurz "Wurzel aus 9") definiert. (Diese Festlegung sorgt dafür, dass die Wurzel-Definition eindeutig ist).<br />
# Für ''negative'' Zahlen <math>a</math> ist die Quadratwurzel nicht definiert ( - jedenfalls im Moment noch nicht). Es gibt beispielsweise keine reelle Zahl <math> x \in \mathbb {R} </math>, für die <math> x^2 = -1 </math> ist. Dementsprechend ist auch der Ausdruck <math> \sqrt{-1} </math> keine reelle Zahl und somit in <math> \mathbb {R} </math> nicht definiert.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=7. Aufgabe (Üben) - Graphisches Wurzelziehen<br />
|2=<br />
Lies für folgende y-Werte ihre Quadratwurzel "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Du kannst hierfür wieder entweder das GeoGebra Applet "Normalparabel <math> f(x) = x^2</math>" oder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt).<br />
# <math>y=1,44</math> &nbsp;&nbsp; <math>\sqrt{y}=?</math><br />
# <math>y=6,25</math> &nbsp;&nbsp; <math>\sqrt{y}=?</math><br />
# <math>y=2</math> &nbsp;&nbsp; <math>\sqrt{y}=?</math><br />
|3=Üben}} <br />
<br />
{{Box<br />
|1=8. Aufgabe (Üben) - Punktprobe<br />
|2=Untersuche für jeden der folgenden drei Punkte, ob der Punkt jeweils oberhalb, unterhalb oder genau auf der Normalparabel liegt.<br />
# <math> P(0,7|0,5)</math> <br />
# <math> Q(9|80) </math><br />
# <math> R(-0,1|0,01) </math><br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Rechnerische Überprüfung durch Einsetzen der Punkt-Koordinaten in die Funktionsgleichung der Normalparabel <math>f(x)=x^2 </math>:<br />
# <math> P(0,7|0,5)</math>: <math>f(0,7)=0,7^2 = 0,49 < 0,5 </math>. Um vom Punkt <math>(0,7|0)</math> auf der x-Achse bis zum Punkt <math>(0,7|0,49)</math> auf der Normalparabel zu gelangen, muss man 0,49 Einheiten nach oben gehen. Der Punkt <math>P(0,7|0,5)</math> liegt 0,01 Einheiten darüber, also ''oberhalb'' der Normalparabel. <br />
# <math> Q(9|80) </math>: <math>f(9)=9^2 = 81 > 80 </math>. Der Punkt <math>Q(9|80)</math> liegt ''unterhalb'' der Normalparabel. <br />
# <math> R(-0,1|0,01) </math>: <math>f(-0,1)=(-0,1)^2 = 0,01 </math>. Der Punkt <math>R(-0,1|0,01)</math> liegt ''exakt auf'' der Normalparabel. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}{{Fortsetzung<br />
|vorher=zurück<br />
|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen<br />
|weiter=weiter<br />
|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben<br />
|übersicht=Kapitelübersicht<br />
|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}<br />
<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann&diff=151268Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann2026-03-22T09:59:57Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<!-- sucht bis zu 200 Seiten, die "kleiner" sind als die aktuelle Seite (Titel) wie die aktuelle Elternseite (der Lernpfad) beginnen und das Template Lerneinheit benutzen.<br />
dadurch, dass für jeden Treffer die Variable Lerneinheit_vorher neu gesetzt wird ist es am Ende die letzte der bis zu 200 vorherigen Seiten.<br />
<br />
Das heißt, bei der 201. Lerneinheit wird nicht mehr der Richtige "vorher" Link verwendet. Das wird praktisch nicht auftreten.<br />
--><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlelt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=200<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| includesubpages=true<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_vorher¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Nächste Seite finden, ist einfacher da wir einfach die erste nächstgrößere Seite nehmen. --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlegt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
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| count=1<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
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| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_weiter¦%PAGE%}²<br />
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<br />
<br />
<!-- sucht bis zu 1 Bild aus der Lernpfad Vorlage aus der Elternseite --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| debug=3<br />
| title={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 }}<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu<br />
| include={LernpfadNeu}:Bild<br />
| count=1<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦,}²,<br />
| noresultsheader=²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦}²&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude>{{Fortsetzung<br />
| übersicht={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 | -2 }}<br />
| übersichtlink={{#titleparts:{{FULLPAGENAME}} | -1 }}<br />
| vorher={{#varexists:Lerneinheit_vorher|vorher}}<br />
| vorherlink={{#varexists:Lerneinheit_vorher|{{#var:Lerneinheit_vorher}} }}<br />
| weiter={{#varexists:Lerneinheit_weiter|weiter}}<br />
| weiterlink={{#varexists:Lerneinheit_weiter|{{#var:Lerneinheit_weiter}} }}<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude>{{Box<br />
|{{{Titel|{{{PAGENAME}}}}}}<br />
|{{{1|}}}<br />
|Lernpfad<br />
}}</onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann&diff=151265Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann2026-03-22T09:58:30Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<!-- sucht bis zu 200 Seiten, die "kleiner" sind als die aktuelle Seite (Titel) wie die aktuelle Elternseite (der Lernpfad) beginnen und das Template Lerneinheit benutzen.<br />
dadurch, dass für jeden Treffer die Variable Lerneinheit_vorher neu gesetzt wird ist es am Ende die letzte der bis zu 200 vorherigen Seiten.<br />
<br />
Das heißt, bei der 201. Lerneinheit wird nicht mehr der Richtige "vorher" Link verwendet. Das wird praktisch nicht auftreten.<br />
--><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlelt={{PAGENAME}}<br />
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| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_vorher¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Nächste Seite finden, ist einfacher da wir einfach die erste nächstgrößere Seite nehmen. --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlegt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
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| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_weiter¦%PAGE%}²<br />
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<br />
<br />
<!-- sucht bis zu 1 Bild aus der Lernpfad Vorlage aus der Elternseite --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| debug=3<br />
| title={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 }}<br />
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<br />
<onlyinclude>{{Fortsetzung<br />
| übersicht={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 | -2 }}<br />
| übersichtlink={{#titleparts:{{FULLPAGENAME}} | -1 }}<br />
| vorher={{#varexists:Lerneinheit_vorher|vorher}}<br />
| vorherlink={{#varexists:Lerneinheit_vorher|{{#var:Lerneinheit_vorher}} }}<br />
| weiter={{#varexists:Lerneinheit_weiter|weiter}}<br />
| weiterlink={{#varexists:Lerneinheit_weiter|{{#var:Lerneinheit_weiter}} }}<br />
}}<br />
</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude>{{Box<br />
|{{{Titel|{{{PAGENAME}}}}}}<br />
|{{{1|}}}<br />
|Lernpfad}}<br />
</onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann&diff=151264Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann2026-03-22T09:57:47Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<!-- sucht bis zu 200 Seiten, die "kleiner" sind als die aktuelle Seite (Titel) wie die aktuelle Elternseite (der Lernpfad) beginnen und das Template Lerneinheit benutzen.<br />
dadurch, dass für jeden Treffer die Variable Lerneinheit_vorher neu gesetzt wird ist es am Ende die letzte der bis zu 200 vorherigen Seiten.<br />
<br />
Das heißt, bei der 201. Lerneinheit wird nicht mehr der Richtige "vorher" Link verwendet. Das wird praktisch nicht auftreten.<br />
--><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlelt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=200<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| includesubpages=true<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_vorher¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Nächste Seite finden, ist einfacher da wir einfach die erste nächstgrößere Seite nehmen. --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlegt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=1<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| includesubpages=true<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_weiter¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<br />
<!-- sucht bis zu 1 Bild aus der Lernpfad Vorlage aus der Elternseite --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| debug=3<br />
| title={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 }}<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu<br />
| include={LernpfadNeu}:Bild<br />
| count=1<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦,}²,<br />
| noresultsheader=²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦}²&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude><br />
{{Fortsetzung<br />
| übersicht={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 | -2 }}<br />
| übersichtlink={{#titleparts:{{FULLPAGENAME}} | -1 }}<br />
| vorher={{#varexists:Lerneinheit_vorher|vorher}}<br />
| vorherlink={{#varexists:Lerneinheit_vorher|{{#var:Lerneinheit_vorher}} }}<br />
| weiter={{#varexists:Lerneinheit_weiter|weiter}}<br />
| weiterlink={{#varexists:Lerneinheit_weiter|{{#var:Lerneinheit_weiter}} }}<br />
}}<br />
</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude><br />
{{Box<br />
|{{{Titel|{{{PAGENAME}}}}}}<br />
|{{{1|}}}<br />
|Lernpfad}}<br />
</onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann&diff=151262Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann2026-03-22T09:55:57Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<onlyinclude><br />
{{Box<br />
|{{{Titel|{{{PAGENAME}}}}}}<br />
|{{{1|}}}<br />
|Lernpfad}}<br />
</onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann&diff=151260Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann2026-03-22T09:55:20Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<onlyinclude><br />
{{Box<br />
|Titel = {{{Titel|{{{PAGENAME}}}}}}<br />
|{{{1|}}}<br />
|Lernpfad}}<br />
</onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann&diff=151259Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann2026-03-22T09:54:45Z<p>Christian: Christian verschob die Seite LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann nach Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann, ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<onlyinclude><br />
{{Box<br />
|Titel = {{{Titel|{{{PAGENAME}}}}}<br />
|{{{1|}}}<br />
|Lernpfad}}<br />
</onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Lernpfad_Quadratische_Funktionen/QF01_Normalparabel&diff=151257Lernpfad Quadratische Funktionen/QF01 Normalparabel2026-03-22T09:54:18Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann<br />
|Titel = Eigenschaften der Normalparabel<br />
|In diesem Kapitel geht es erst mal nur um die ''eine'' quadratische Funktion <math>f(x) = x^2</math>, deren Graph auch als "Normalparabel" bezeichnet wird. Im Laufe des Lernpfades stellt sich heraus, dass man den Graphen ''jeder beliebigen'' quadratischen Funktion, also ''alle'' Parabeln auf diese Normalparabel zurückführen kann. Es lohnt sich daher, die Normalparabel genauer zu untersuchen.<br />
* In diesem Kapitel erfährst du, was eine Normalparabel ist, wie sie aussieht und wie sie entsteht.<br />
* Du lernst einige ''graphische'' Eigenschaften der Normalparabel kennen - und wie man sie ''rechnerisch'' begründen kann. Dieses Wissen kann später auch auf andere Parabeln und Funktionen übertragen werden.<br />
* Außerdem wird kurz wiederholt, was man unter der ''Quadratwurzel'' einer Zahl versteht (und was nicht).<br />
}}<br />
<br />
Die Normalparabel ist der Graph der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. (Was eine ''Funktion'' im mathematischen Sinne ist und welche Grundbegriffe im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind, wird auf der Seite [[Benutzer:ukalina/Funktionen|Funktionen]] ausführlich erklärt.) <br />
Jetzt soll untersucht werden, wie die Normalparabel aussieht und wie sie entsteht. Um einen Funktionsgraphen zu zeichnen, erstellt man üblicherweise eine ''Wertetabelle'', in der man einer Reihe von x-Werten die jeweils dazugehörigen y-Werte gegenüberstellt, die mithilfe der Funktionsvorschrift, in diesem Fall <math> f(x) = x^2 </math>, berechnet werden können. Anschließend zeichnet man die Wertepaare <math> (x | y) </math> aus der Tabelle als Punkte in ein Koordinatensystem ein. <br />
<br />
Im Fall der Funktion <math>f(x) = x^2</math> könnte eine solche Wertetabelle z.B. so aussehen:<br />
<br />
====Wertetabelle====<br />
<br />
{| cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"<br />
|+ '''Tabelle 1: <math>f(x)=x^2</math>'''<br />
|align="center" |'''x''' <br />
| -3<br />
| -2<br />
| -1<br />
| 0<br />
| 1<br />
| 2<br />
| 3<br />
|- <br />
|align="center" |'''f(x)'''<br />
|9<br />
|4<br />
|1<br />
|0<br />
|1<br />
|4<br />
|9<br />
|}<br />
<br />
In der '''Tabelle 1''' wurden als x-Werte ganze Zahlen verwendet. Im Prinzip können aber auch beliebige andere Zahlen als x-Werte gewählt werden. <br />
<br />
Aus dieser Tabelle 1 kann man ablesen, dass die Punkte <math> A(-3|9) </math>, <math> B(-2|4) </math>, <math> C(-1|1) </math>, <math> D(0|0) </math>, <math> E(1|1) </math>, <math> F(2|4) </math> und <math> G(3|9) </math> zum Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> gehören. Aber wie sieht der Graph ''zwischen'' diesen Punkten aus? <br />
<br />
Von den linearen Funktionen, die eine Funktionsgleichung der Form <math>y = m \cdot x +b</math> besitzen, weißt du, dass alle Punkte, die zu einer bestimmten linearen Funktion gehören, auf der gleichen Geraden liegen. Das ist bei der Funktion <math> f(x) =x^2 </math> offensichtlich nicht so. Aber wie ist es dann? Kann man die Punkte <math> A </math> bis <math> G </math> aus der Tabelle 1 etwa von Punkt zu Punkt gradlinig durch Strecken verbinden? Oder verläuft der Graph zwischen den Punkten gekrümmt? Um dies herauszufinden, erweitern wir die Tabelle 1 um weitere Wertepaare.<br />
<br />
{{Box<br />
|1=1. Aufgabe (Erkunden) - Erweiterung der Wertetabelle<br />
|2=Übertrage die Tabelle 2 für die Funktion <math>f(x)=x^2</math> in dein Arbeitsheft und vervollständige sie für positive x-Werte. Runde auf zwei Stellen hinter dem Komma.<br />
{{(!}} cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 2: <math>f(x)=x^2</math>'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''x''' <br />
{{!}} 0,25<br />
{{!}} <br />
{{!}} 0,75<br />
{{!}} 1,25<br />
{{!}} <br />
{{!}} 1,75<br />
{{!}} 2,25<br />
{{!}} <br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''f(x)'''<br />
{{!}}<br />
{{!}}0,25<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}2,25<br />
{{!}}<br />
{{!}}<br />
{{!}}6,25 <br />
{{!)}}<br />
<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1={{(!}} cellpadding="5" cellspacing="0" border="1"<br />
{{!+}} '''Tabelle 2: <math>f(x)=x^2</math>'''<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''x''' <br />
{{!}} 0,25<br />
{{!}} '''0,5''' <br />
{{!}} 0,75<br />
{{!}} 1,25<br />
{{!}} '''1,5'''<br />
{{!}} 1,75<br />
{{!}} 2,25<br />
{{!}} '''2,5'''<br />
{{!-}}<br />
{{!}}align="center" {{!}}'''f(x)'''<br />
{{!}}'''0,06'''<br />
{{!}}0,25<br />
{{!}}'''0,56'''<br />
{{!}}'''1,56'''<br />
{{!}}2,25<br />
{{!}}'''3,06'''<br />
{{!}}'''5,06'''<br />
{{!}}6,25 <br />
{{!)}}<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x<br />
}}<br />
<br />
<br />
====Funktionsgraph====<br />
<br />
{{Box<br />
|1=2. Aufgabe (Erkunden) - Aussehen und Eigenschaften der Normalparabel<br />
|2=<br />
* Zeichne die Werte aus Tabelle 1 und Tabelle 2 in deinem Arbeitsheft als Punkte in ein Koordinatensystem. <br />
* Füge einige beliebige weitere Punkte hinzu - z.B. die entsprechenden Punkte links von der y-Achse. <br />
* Stelle eine Vermutung auf: Wie sieht wohl der Graph der Funktion <math>f(x)=x^2</math> aus - also die ''Menge aller Punkte'' <math>P(x | x^2)</math> im Koordinatensystem? <br />
* Beschreibe grundsätzliche Unterschiede zu den Graphen der linearen Funktionen und weitere Eigenschaften, die dir auffallen. <br />
|3=<br />
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x<br />
}}<br />
<br />
{{ Box<br />
|1= Auswertung der Ergebnisse<br />
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf|mini|left|400px|alternativtext=In einem Koordinatensystem sind Punkte aus den Wertetabellen 1 und 2 dargestellt. Die Punkte liegen so dicht beieinander, dass die Gestalt einer Kurve erkennbar wird.|QF01 Normalparabel Punkte Arial24.pdf<br />Punkte <math>(x | x^2)</math> aus den Wertetabellen 1 und 2]]<br />
<br />Die Abbildung legt verschiedene Aussagen nahe, z.B.<br />
* Je mehr Punkte <math>(x|x^2)</math> man berechnet und im Koordinatensystem einzeichnet, desto mehr verdichten sich die Einzelpunkte zu einer durchgehenden, gekrümmten Linie. <br />
* Der Graph geht durch den Koordinatenursprung und verläuft ansonsten ausschließlich im 1. und 2. Quadranten. <br />
* Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.<br />
* Im Ursprung hat die Normalparabel ihren tiefsten Punkt. (Dies ist ihr so genannter "Scheitelpunkt".)<br />
* Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er. <br />
* Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse.<br />
|3=Lösung}}<br />
<br />
====Achsensymmetrie zur y-Achse====<br />
Man kann bestimmte ''geometrische'' Eigenschaften von Funktionsgraphen - wie z.B. die Eigenschaft der Achsensymmetrie - mithilfe ''rechnerischer'' Eigenschaften des Funktionsterms überprüfen. Die Achsensymmetrie zur y-Achse kann man rechnerisch mit der Gleichung <math>f(x) =f(-x)</math> nachweisen. <br />
<br />
{{Box<br />
|1= Achsensymmetrie eines Funktionsgraphen<br />
|2=Der Graph einer Funktion <math> f </math> verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion die Gleichung gilt: <br />
: <math>f(x) =f(-x)</math>.<br />
|3=Merksatz<br />
}} <br />
<br />
{{Box<br />
|1=3. Aufgabe (Begründen) - Achsensymmetrie der Normalparabel<br />
|2=<br />
* Zeige, dass die Funktion <math>f(x) = x^2 </math> die Bedingung <math>f(x) =f(-x)</math> für alle <math> x \in \mathbb {R} </math> erfüllt.<br />
* Wie kann man die Symmetrie der Normalparabel zur y-Achse mit dieser Gleichung begründen?<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1= Erinnerung Achsenspiegelung: Ein Punkt P wird an einer Geraden gespiegelt, indem man von <math>P</math> aus auf dem kürzesten Weg, d.h. im rechten Winkel auf die Gerade zuläuft. Der Punkt, in welchem man auf die Gerade trifft, werde mit <math>Q</math> bezeichnet. Verlängert man nun die Strecke <math>\overline{PQ}</math> um die Länge dieser Strecke noch einmal in gleicher Richtung über die Gerade hinaus, so landet man im "Spiegelpunkt" <math>P'</math>. <br />
|2=Tipp anzeigen<br />
|3=Tipp verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<br />
* Für alle <math> x \in \mathbb {R} </math> gilt: <math>f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)</math>.<br />
* Um die Achsensymmetrie zur y-Achse nachzuweisen, kann man einen beliebigen Punkt <math>P(x|x^2)</math> auf dem rechten Parabelast wählen und geht von dort aus auf dem kürzesten Weg, also parallel zur x-Achse, auf die y-Achse zu. Der Punkt, in dem man auf die y-Achse trifft, besitzt die Koordinaten <math>Q(0|x^2)</math>. Die Länge der Strecke <math>\overline{PQ}</math> ist <math>x</math>. Verlängert man nun <math>\overline{PQ}</math> um die gleiche Länge noch einmal in gleicher Richtung, so landet man im "Spiegelpunkt" <math>P'(-x|x^2)</math>. Dieser liegt aber ebenfalls auf der Normalparabel, denn er erfüllt die Bedingung aller Parabelpunkte: <math>f(-x) = (-x)^2 = x^2</math>. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}}<br />
<br />
====Die Parabel-Treppe====<br />
Manchmal ist es nützlich, wenn man vom Scheitelpunkt einer Parabel ausgehend schnell und ohne größere Rechnung die Koordinaten weiterer Parabelpunkte angebenen kann. Mit der Parabel-Treppe ist das einfach möglich. Außerdem macht sie noch einmal anschaulich klar, dass die "Steilheit" der Normalparabel zunimmt, je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt. <br />
<br />
Den Anfang der Parabel-Treppe kann man so beschreiben: Man geht im Koordinatensystem vom Scheitelpunkt der Normalparabel <math>P_0(0|0)</math> aus erst um eine Einheit nach rechts zum Zwischenpunkt <math>Z_1(1|0)</math> und dann von hier aus senkrecht nach oben, bis man im Parabelpunkt <math>P_1(1|1)</math> wieder auf die Parabel trifft. Die Länge der senkrechten Strecke <math> \overline{Z_1P_1} </math> beträgt 1 Einheit und entspricht der Höhe der 1. Stufe.<br />
<br />
{{Box<br />
|1=4. Aufgabe (Erkunden) - weitere Stufen der Parabel-Treppe <br />
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf|mini|400px|left|alternativtext=Normalparabel und Parabeltreppe mit Stufenhöhen 1, 2 und 3|QF01 Normalparabel Treppe Arial24.pdf]]<br />
# Gehe im Koordinatensystem vom Parabelpunkt <math>P_1(1|1)</math> aus um eine Einheit nach rechts und anschließend wieder senkrecht nach oben bis zur Parabel. Die Länge dieser senkrechte Strecke entspricht der Höhe der 2. Treppenstufe. Wie hoch ist diese? Wie lauten die Koordinaten des Punktes <math>P_2</math>, in dem du jetzt auf der Parabel gelandet bist?<br />
# Gehe auch von <math>P_2</math> aus wieder um eine Einheit nach rechts und dann senkrecht bis zur Normalparabel. Um wie viele Einheiten musst du dabei senkrecht gehen, d.h. wie hoch ist die 3. Stufe?<br />
# Wenn du die Stufenschritte noch weiter wiederholst: Um wie viele Einheiten musst du bei den nächsten Schritten jeweils senkrecht nach oben gehen? Welche Regelmäßigkeit steckt dahinter? Was vermutest du?<br />
# Formuliere deine Vermutung in Form einer Gleichung, mit der die Höhe <math>h</math> der x-ten Stufe aus der Nummer <math>x</math> dieser Stufe berechnet werden kann. Berechne mit dieser Formel die Höhe der 100. Stufe.<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<br />
# Wenn man von <math>P_1(1|1)</math> aus eine Einheit nach rechts geht, muss man '''3''' Einheiten nach oben gehen, um im Punkt <math>P_2(2|4)</math> wieder auf der Parabel zu landen. Die 2. Stufe ist also 3 Einheiten hoch.<br />
#Von <math>P_2</math> aus geht man eine Einheit nach rechts und dann '''5''' Einheiten nach oben, um im Punkt <math>P_3(3|9)</math> wieder auf die Parabel zu treffen. Die 3. Stufe ist also 5 Einheiten hoch.<br />
# Die Stufenhöhen sind bei den ersten drei Stufen 1, 3 und 5, also aufeinander folgende ungerade Zahlen. Vermutung: Auch die weiteren Stufenhöhen sind die nächsten ungeraden Zahlen, also '''7''' und '''9'''. <br />
# Entwicklung einer Formel für die Berechnung der x-ten Stufenhöhe: <br />Stufe Nr. '''1''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{1} -1 = 1 </math> <br />Stufe Nr. '''2''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{2} -1 = 3</math> <br />Stufe Nr. '''3''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{3} -1 = 5</math> <br />Stufe Nr. '''x''': <math>h = 2 \cdot \boldsymbol{x} -1 </math> <br />In der 100. Stufe beträgt die Höhe demnach <math> h = 2 \cdot 100 -1 = 199 </math>.<br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa fa-binoculars fa-2x<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Box<br />
|1=5. Aufgabe (Begründen) - allgemeine Regel für die Parabel-Treppe <br />
|2=Beweise die Formel für die Höhe der x-ten Stufe <math> h = 2 \cdot x -1 </math> mit <math> x \in \mathbb {N} </math> (Vermutung aus der vorangegangenen Aufgabe) rechnerisch mithilfe des Funktionsterms der Normalparabel. <br />
<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Die Höhe einer Stufe entspricht der Höhendifferenz zweier benachbarter Parabelpunkte, deren Abstand in x-Richtung 1 beträgt.<br />
|2=Tipp 1<br />
|3=Tipp 1 verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Beispiel: Die Höhe der 2. Stufe entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte <math>P_2(2|4)</math> und <math>P_1(1|1)</math>, also der Differenz der Funktionswerte <math>f(2)</math> und <math>f(1)</math>. Es gilt <math>h = f(2) - f(1) = 2^2 - 1^2 = 4 -1 = 3</math>.<br />
|2=Tipp 2<br />
|3=Tipp 2 verbergen}}<br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=<br />
Allgemeine Begründung: Die Höhe der x-ten Stufe ( <math> x \in \mathbb {N} </math> ) entspricht der Höhendifferenz der Parabelpunkte <math> P_x(x|f(x)) </math> und <math> P_{x-1}(x-1|f(x-1)) </math>, also der Differenz der Funktionswerte <math> f(x) </math> und <math> f(x-1) </math>. Es gilt daher: <math> h = f(x)- f(x-1)=x^2 -(x-1)^2 </math> <math>= x^2 -(x^2 -2x +1) </math> <math>= x^2 -x^2 +2x -1 </math> <math>= 2x -1</math><br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
<br />
|3=<br />
|Icon=fa fa-graduation-cap fa-2x<br />
|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}<br />
}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=Zusammenfassung Normalparabel<br />
|2=[[Datei:QF01 Normalparabel Arial24.pdf|mini|350px|left|alternativtext=Normalparabel über dem Intervall [-3; 3] |QF01 Normalparabel Arial24.pdf<br />Normalparabel, Graph der Funktion <math>f(x) =x^2 </math>]]<br />
; Definition Normalparabel<br />
* Der Graph der quadratischen Funktion <math>f(x)=x^2</math> wird als '''Normalparabel''' bezeichnet. <br />
* Die Normalparabel ist die Menge aller Punkte <math>P(x | x^2)</math> ( <math> x \in \mathbb {R}</math> ) im Koordinatensystem, deren y-Koordinate das Quadrat der x-Koordinate ist, kurz: <math> y = x^2</math>. <br />
* Der '''Definitionsbereich''' der Funktion <math>f(x)=x^2</math> ist <math>\mathbb {D} = \mathbb {R}</math>, da jede Zahl <math> x \in \mathbb {R}</math> quadriert werden kann. Ihr '''Wertebereich''' ist <math> \mathbb {W} = \mathbb {R}_0^+</math>, da durch das Quadrieren keine negativen Werte entstehen können.<br />
* Der tiefste Punkt der Normalparabel <math>(0|0)</math> wird als ihr '''Scheitelpunkt''' bezeichnet.<br />
; Eigenschaften der Normalparabel<br />
* Die Normalparabel ist eine "nach oben" geöffnete Kurve, deren Krümmung in der Nähe des Ursprungs am größten ist.<br />
* Je weiter sich der Graph von der y-Achse entfernt, desto steiler verläuft er. <br />
* Der Graph verläuft achsensysmmetrisch zu y-Achse. <br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=6. Aufgabe (Üben) - Graphisches Quadrieren<br />
|2=<br />
{{2Spalten<br />
|<br />
Lies für folgende x-Werte den Wert <math>y=x^2</math> "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt). <br />
# <math>x=2,7</math> &nbsp;&nbsp; <math>x^2=?</math><br />
# <math>x=-2,5</math> &nbsp;&nbsp; <math>x^2=?</math><br />
# <math>x=1,8</math> &nbsp;&nbsp; <math>x^2=?</math><br />
Du kannst für dieses Aufgabe entweder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden (, die es im Anhang auch mit Braille-Beschriftung als taktile Schwellpapier-Kopiervorlage gibt), oder das GeoGebra-Applet "Normalparabel <math> f(x) = x^2</math>. In diesem kannst du den Punkt auf der x-Achse oder den Punkt auf der Parabel mit der Maus verschieben.<br />
|<br />
<ggb_applet width="361" height="527" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br />
}} <!-- Ende 2Spalten --><br />
|3=Üben}} <br />
<br />
====Quadratwurzel====<br />
{{Box<br />
|1=Definition Quadratwurzel<br />
|2=Die Quadratwurzel aus einer ''positiven'' Zahl <math>a</math> ist diejenige ''positive'' Zahl, deren Quadrat <math>a</math> ist. Man bezeichnet diese Zahl mit dem Symbol <math>\sqrt{a}</math>. Außerdem definiert man für die Quadratwurzel aus 0: <math>\sqrt{0} = 0</math>. <br />
<br />
'''Anmerkungen''' zur Quadratwurzel-Definition: <br />
# Die Gleichung <math>x^2 = 9</math> besitzt zwar zwei Lösungen, nämlich <math>x_1 = -3</math> und <math>x_2 = 3</math>. Aber nur die ''positive'' dieser beiden Lösungen wird als "Quadratwurzel aus 9" <math>\sqrt{9}</math> (oder kurz "Wurzel aus 9") definiert. (Diese Festlegung sorgt dafür, dass die Wurzel-Definition eindeutig ist).<br />
# Für ''negative'' Zahlen <math>a</math> ist die Quadratwurzel nicht definiert ( - jedenfalls im Moment noch nicht). Es gibt beispielsweise keine reelle Zahl <math> x \in \mathbb {R} </math>, für die <math> x^2 = -1 </math> ist. Dementsprechend ist auch der Ausdruck <math> \sqrt{-1} </math> keine reelle Zahl und somit in <math> \mathbb {R} </math> nicht definiert.<br />
|3=Merksatz}}<br />
<br />
{{Box<br />
|1=7. Aufgabe (Üben) - Graphisches Wurzelziehen<br />
|2=<br />
Lies für folgende y-Werte ihre Quadratwurzel "ungefähr" aus der Normalparabel ab. Du kannst hierfür wieder entweder das GeoGebra Applet "Normalparabel <math> f(x) = x^2</math>" oder die Abbildung "QF01 Normalparabel" verwenden. Rechne anschließend nach (Taschenrechner erlaubt).<br />
# <math>y=1,44</math> &nbsp;&nbsp; <math>\sqrt{y}=?</math><br />
# <math>y=6,25</math> &nbsp;&nbsp; <math>\sqrt{y}=?</math><br />
# <math>y=2</math> &nbsp;&nbsp; <math>\sqrt{y}=?</math><br />
|3=Üben}} <br />
<br />
{{Box<br />
|1=8. Aufgabe (Üben) - Punktprobe<br />
|2=Untersuche für jeden der folgenden drei Punkte, ob der Punkt jeweils oberhalb, unterhalb oder genau auf der Normalparabel liegt.<br />
# <math> P(0,7|0,5)</math> <br />
# <math> Q(9|80) </math><br />
# <math> R(-0,1|0,01) </math><br />
<br />
{{ Lösung versteckt<br />
|1=Rechnerische Überprüfung durch Einsetzen der Punkt-Koordinaten in die Funktionsgleichung der Normalparabel <math>f(x)=x^2 </math>:<br />
# <math> P(0,7|0,5)</math>: <math>f(0,7)=0,7^2 = 0,49 < 0,5 </math>. Um vom Punkt <math>(0,7|0)</math> auf der x-Achse bis zum Punkt <math>(0,7|0,49)</math> auf der Normalparabel zu gelangen, muss man 0,49 Einheiten nach oben gehen. Der Punkt <math>P(0,7|0,5)</math> liegt 0,01 Einheiten darüber, also ''oberhalb'' der Normalparabel. <br />
# <math> Q(9|80) </math>: <math>f(9)=9^2 = 81 > 80 </math>. Der Punkt <math>Q(9|80)</math> liegt ''unterhalb'' der Normalparabel. <br />
# <math> R(-0,1|0,01) </math>: <math>f(-0,1)=(-0,1)^2 = 0,01 </math>. Der Punkt <math>R(-0,1|0,01)</math> liegt ''exakt auf'' der Normalparabel. <br />
|2=Lösung anzeigen<br />
|3=Lösung verbergen}}<br />
|3=Üben}}<br />
<br />
<br />
{{LernpfadNeu/Lerneinheit}}{{Fortsetzung<br />
|vorher=zurück<br />
|vorherlink=Lernpfad Quadratische Funktionen<br />
|weiter=weiter<br />
|weiterlink=Lernpfad Quadratische Funktionen/QF02 Normalparabel in y-Richtung verschieben<br />
|übersicht=Kapitelübersicht<br />
|übersichtlink=Lernpfad Quadratische Funktionen#Kapitel im Lernpfad Quadratische Funktionen}}<br />
<br />
[[Kategorie: Barrierefrei]]</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann&diff=151255Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit/Vorspann2026-03-22T09:53:27Z<p>Christian: Die Seite wurde neu angelegt: „<includeonly> <onlyinclude> {{Box |Titel = {{{Titel|{{{PAGENAME}}}}} |{{{1|}}} |Lernpfad}} </onlyinclude> </includeonly>“</p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<onlyinclude><br />
{{Box<br />
|Titel = {{{Titel|{{{PAGENAME}}}}}<br />
|{{{1|}}}<br />
|Lernpfad}}<br />
</onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=MediaWiki:Vorlage_Lernpfad.css&diff=151251MediaWiki:Vorlage Lernpfad.css2026-03-22T09:47:44Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>/*<br />
* Vorlage:Lernpfad:Neu<br />
*/<br />
.zum-lernpfad {<br />
display:contents;<br />
}<br />
<br />
<br />
.zum-box--titel > span:has(> .zum-lernpfad--qrcode) {<br />
width: 100%;<br />
display: inline-flex;<br />
}<br />
.zum-lernpfad .zum-box--titel { <br />
<br />
> span:has(> .zum-lernpfad--qrcode) {<br />
width:100%;<br />
display: inline-flex;<br />
}<br />
.zum-lernpfad--qrcode {<br />
margin-inline-start:auto;<br />
}<br />
}<br />
<br />
@media(min-width:815px) {<br />
.zum-lernpfad--inhalt {<br />
display:flex;<br />
gap:0.5em;<br />
}<br />
.zum-lernpfad--inhalt--main{<br />
flex-grow:1;<br />
}<br />
.zum-lernpfad--inhalt--main:has(+ .zum-lernpfad--inhalt--aside){<br />
flex-grow:0.7;<br />
}<br />
.zum-lernpfad--inhalt--aside {<br />
margin-inline-start: auto;<br />
flex-grow:0.3;<br />
}<br />
}<br />
<br />
.zum-lernpfad--lerneinheit--trailer {<br />
> .zum-block {<br />
display:flex;<br />
flex-wrap:wrap;<br />
> .zum-fortsetzung {<br />
flex-basis:100%;<br />
}<br />
> .lernpfad-lerneinheit--trailer--bild {<br />
margin-inline-start: auto;<br />
}<br />
}<br />
<br />
<br />
}</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:FrauSch%C3%BCtze/Workshop2026&diff=151239Benutzer:FrauSchütze/Workshop20262026-03-22T09:27:59Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><br />
== Ergebnisse ==<br />
<br />
* Seite [[Religion]] und [[Islam]] sortieren und neu strukturieren<br />
* Seite [[Hinduismus]] erstellt und gefüllt<br />
* Seite [[Tierbeschreibung|Tierbeschreibungen]]<br />
* Verschiebung aller Seiten aus dem Benutzernamensraum von [[Benutzerin:Sabine Häcker]] in den Hauptnamensraum, Kategorien ergänzt<br />
*<br />
*<br />
*<br />
<br />
== nächste Projekte ==<br />
<br />
* Mandy: Seite Buddhismus anlegen und füllen<br />
*<br />
<br />
== Organisatorisches ==<br />
* Wann? 21./22.März 2026, Anreise ab Freitagnachmittag möglich<br />
* Wo? [https://www.kolping-mainfranken.de/partner/kolpinghaus-wuerzburg Kolping-Haus Würzburg]<br />
* Wer? <br />
** [[Benutzerin:Sabine Häcker]]<br />
** [[Benutzer:Ukalina]]<br />
** [[Benutzer:M.Nethe]]<br />
** [[Benutzer:HerrTRN]]<br />
** [[Benutzer:Maria Eirich]]<br />
** [[Benutzer:Christian]]<br />
** [[Benutzer:FrauSchütze]]<br />
* Was? selbstständiges Arbeiten an Inhalten, Kennenlernen, Austausch, Probleme identifizieren, die für die eigene Arbeit relevant sind - Lösungen gemeinsam mit dem Technikteam suchen, Ideensammlung, was getan werden sollte:<br />
** Seite [[Religion]] und [[Islam]] sortieren und neu strukturieren<br />
** Seite [[Hinduismus]] erstellt und mit vorhandenen H5P gefüllt<br />
** auf [[Benutzer:Mareike Drinhaus/Alltagsvorbereitung]] schauen - Klarnamenverwendung, Einbindung als pdf und powerpoint, Kategorie/ Fach vergeben?<br />
**Philosophinnen - Seite anlegen, bestehende Inhalte einpflegen, neue planen (Mandy)<br />
**ipadführerschein (Melanie)<br />
**Umzug altes Projektwiki —> neues Projektwiki (Maria)<br />
**Fragen zum Einstieg<br />
<br />
== Inhaltliches ==<br />
<br />
====== Fragen von Reiner ======<br />
<br />
# ❓direkt zugriff auf zum-apps (suche apps zum thema)<br />
# ❓verlinkung auf zum-apps<br />
## im Fußbereich (generisch)<br />
## als Link auf den Fachportalseiten in eine Suchergebnisseite auf zum-apps<br />
## Idee(Christian): als <br />
<br />
====== Fragen von Maria ======<br />
<br />
# Projektwiki und ZUM-Unterrichten verweben<br />
## ❗️☹️Idee: DPL in zum unterrichten findet via interwiki auch seiten im projekte wiki<br />
### ☹️ geht nicht<br />
## ❗️❓Idee: Seiten die per interwiki links auf das projekte wiki verzweigt<br />
### diese seiten vom bot befüllt aufgrund von kategorien<br />
<br />
======Fragen von Ulrich Kalina (ukalina)======<br />
<br />
# 🪳✅Probleme mit Seiten, die Mathe (LaTeX) enthalten: <br />
## Muss ich mich jedesmal abmelden, um die gerenderte 2D-Mathedarstellung zu sehen?<br />
## Warum funktioniert das Rendern von Mathe nur am Seitenanfang - ist aber ok nach Abmeldung<br />
## Lösung: Benutzereinstellung: Mathematische Formeln -> Latex Quelltext erzeugt Ladeprobleme<br />
# ❓❓Kategorien<br />
## Gibt es Regeln? z.B. gibt es die Kategorie quadratische Funktion, Quadratische Funktionen, Lernpfad Quadratisch<br />
## Moderation?<br />
## Qualitätskontrolle?<br />
## Taxonomien, Vereinheitlichen, Klären nachziehen<br />
# ❗️Sollen alle Lernschritte in einem Lernpfad kategorisiert werden oder nur die Startseite?<br />
## nein, der lernschritt nicht, nur der Einstieg<br />
## Problem: Pflege<br />
# ❗️Wie umgehen mit schon vorhandene Seiten mit gleichem Titel ("Quadratische Funktionen")?<br />
## Vorschlag Rezept: Übersichtsseiten anlegen und vorherige Seite verschieben<br />
## Vorschlag Regelung: Möglichst nicht mit Unterseiten im Titel arbeiten. (äußer bei zusammenhängend Einheiten z.B. Lernpfade); keine Thematischen/Strukturellen Oberseiten<br />
# ❓GeoGebra<br />
## Wie bindet man am besten GeoGebra-Applets ein? Anmeldung bei GeoGebra erforderlich? [[Hilfe:Medien einbinden]] - hier ist Geogebra dabei (runter scrollen), passt das?<br />
# ❓Account gesperrt: Ich wurde mehrfach gesperrt, weil "meine IP" von anderem Benutzer ("Religion9fd") verwendet wurde. Was ist der Hintergrund und was kann ich tun?<br />
# ❓Boxen: Box-Überschriften werden von SR nicht als solche erkannt. Daher keine gute Navigation. Notlösung <br />
## 1. Aufgabe (Üben) - Torbogen(siehe QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen)<br />
## Andere Boxen (z.B. Aufgabe mit Ziel Erkundung vs. Aufgabe mit Ziel Übung)<br />
# 🪳Captcha-Elemente sind nicht zugänglich, da ausschließlich visuell nachvollziehbar<br />
# 🪳KHC, stielt fokus beim Seitenbetreten<br />
## KHC Maschinensprache erste Schritte Teil 1<br />
## Problemursache: Seite lädt -> init -> loadProgramm -> neustart: neustart fokussiert immer. Sollte es nur tun nach interaktion, sprich fokusverhalten muss anders kontrolliert werden nicht an neustart geknüpft, sondern an interaktion.<br />
# main/nav im Mediawiki Template<br />
# ❓Wiki und H5P-Module (z.B. Vokabeltest): Ist es möglich, Textteile beispielsweise als "englisch" oder "spanisch" auszuzeichnen, so dass ein Screenreader dies erkennt und die Aussprache entsprechend umschaltet (analog zu HTML mit Attribut lang="en")?<br />
# 🔲Lernpfadvorlage erweitern<br />
## Lernschritt/Vorspann<br />
### nutzung am seitenanfang<br />
### Fortsetzungsnavigation<br />
### Platz für einführungstext/Übersicht<br />
## LernpfadNeu<br />
### autorenbox viel kleinere variante<br />
# ✅🪳LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
## Bild ist an falscher Stelle (uk-align-right css klasse ist nicht mehr existent)<br />
# 🪳LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
## Weiter Navigation ist nicht ganz korrekt siehe Lernpfad Quadratische Funktion, der weiter link ist IMMER der QF Anhang, statt der korrekten nächsten Seite. In der Navigation stimmt die Reihenfolge allerdings.</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Benutzer:FrauSch%C3%BCtze/Workshop2026&diff=151234Benutzer:FrauSchütze/Workshop20262026-03-22T09:21:03Z<p>Christian: /* Fragen von Ulrich Kalina (ukalina) */</p>
<hr />
<div><br />
== Ergebnisse ==<br />
<br />
* Seite [[Religion]] und [[Islam]] sortieren und neu strukturieren<br />
* Seite [[Hinduismus]] erstellt und gefüllt<br />
* Seite [[Tierbeschreibung|Tierbeschreibungen]]<br />
* Verschiebung aller Seiten aus dem Benutzernamensraum von [[Benutzerin:Sabine Häcker]] in den Hauptnamensraum, Kategorien ergänzt<br />
*<br />
*<br />
*<br />
<br />
== nächste Projekte ==<br />
<br />
* Mandy: Seite Buddhismus anlegen und füllen<br />
*<br />
<br />
== Organisatorisches ==<br />
* Wann? 21./22.März 2026, Anreise ab Freitagnachmittag möglich<br />
* Wo? [https://www.kolping-mainfranken.de/partner/kolpinghaus-wuerzburg Kolping-Haus Würzburg]<br />
* Wer? <br />
** [[Benutzerin:Sabine Häcker]]<br />
** [[Benutzer:Ukalina]]<br />
** [[Benutzer:M.Nethe]]<br />
** [[Benutzer:HerrTRN]]<br />
** [[Benutzer:Maria Eirich]]<br />
** [[Benutzer:Christian]]<br />
** [[Benutzer:FrauSchütze]]<br />
* Was? selbstständiges Arbeiten an Inhalten, Kennenlernen, Austausch, Probleme identifizieren, die für die eigene Arbeit relevant sind - Lösungen gemeinsam mit dem Technikteam suchen, Ideensammlung, was getan werden sollte:<br />
** Seite [[Religion]] und [[Islam]] sortieren und neu strukturieren<br />
** Seite [[Hinduismus]] erstellt und mit vorhandenen H5P gefüllt<br />
** auf [[Benutzer:Mareike Drinhaus/Alltagsvorbereitung]] schauen - Klarnamenverwendung, Einbindung als pdf und powerpoint, Kategorie/ Fach vergeben?<br />
**Philosophinnen - Seite anlegen, bestehende Inhalte einpflegen, neue planen (Mandy)<br />
**ipadführerschein (Melanie)<br />
**Umzug altes Projektwiki —> neues Projektwiki (Maria)<br />
**Fragen zum Einstieg<br />
<br />
== Inhaltliches ==<br />
<br />
====== Fragen von Reiner ======<br />
<br />
# ❓direkt zugriff auf zum-apps (suche apps zum thema)<br />
# ❓verlinkung auf zum-apps<br />
## im Fußbereich (generisch)<br />
## als Link auf den Fachportalseiten in eine Suchergebnisseite auf zum-apps<br />
## Idee(Christian): als <br />
<br />
====== Fragen von Maria ======<br />
<br />
# Projektwiki und ZUM-Unterrichten verweben<br />
## ❗️☹️Idee: DPL in zum unterrichten findet via interwiki auch seiten im projekte wiki<br />
### ☹️ geht nicht<br />
## ❗️❓Idee: Seiten die per interwiki links auf das projekte wiki verzweigt<br />
### diese seiten vom bot befüllt aufgrund von kategorien<br />
<br />
======Fragen von Ulrich Kalina (ukalina)======<br />
<br />
# 🪳✅Probleme mit Seiten, die Mathe (LaTeX) enthalten: <br />
## Muss ich mich jedesmal abmelden, um die gerenderte 2D-Mathedarstellung zu sehen?<br />
## Warum funktioniert das Rendern von Mathe nur am Seitenanfang - ist aber ok nach Abmeldung<br />
## Lösung: Benutzereinstellung: Mathematische Formeln -> Latex Quelltext erzeugt Ladeprobleme<br />
# ❓❓Kategorien<br />
## Gibt es Regeln? z.B. gibt es die Kategorie quadratische Funktion, Quadratische Funktionen, Lernpfad Quadratisch<br />
## Moderation?<br />
## Qualitätskontrolle?<br />
## Taxonomien, Vereinheitlichen, Klären nachziehen<br />
# ❗️Sollen alle Lernschritte in einem Lernpfad kategorisiert werden oder nur die Startseite?<br />
## nein, der lernschritt nicht, nur der Einstieg<br />
## Problem: Pflege<br />
# ❗️Wie umgehen mit schon vorhandene Seiten mit gleichem Titel ("Quadratische Funktionen")?<br />
## Vorschlag Rezept: Übersichtsseiten anlegen und vorherige Seite verschieben<br />
## Vorschlag Regelung: Möglichst nicht mit Unterseiten im Titel arbeiten. (äußer bei zusammenhängend Einheiten z.B. Lernpfade); keine Thematischen/Strukturellen Oberseiten<br />
# ❓GeoGebra<br />
## Wie bindet man am besten GeoGebra-Applets ein? Anmeldung bei GeoGebra erforderlich? [[Hilfe:Medien einbinden]] - hier ist Geogebra dabei (runter scrollen), passt das?<br />
# ❓Account gesperrt: Ich wurde mehrfach gesperrt, weil "meine IP" von anderem Benutzer ("Religion9fd") verwendet wurde. Was ist der Hintergrund und was kann ich tun?<br />
# ❓Boxen: Box-Überschriften werden von SR nicht als solche erkannt. Daher keine gute Navigation. Notlösung <br />
## 1. Aufgabe (Üben) - Torbogen(siehe QF09 Sachanwendungen quadratischer Funktionen)<br />
## Andere Boxen (z.B. Aufgabe mit Ziel Erkundung vs. Aufgabe mit Ziel Übung)<br />
# 🪳Captcha-Elemente sind nicht zugänglich, da ausschließlich visuell nachvollziehbar<br />
# 🪳KHC, stielt fokus beim Seitenbetreten<br />
## KHC Maschinensprache erste Schritte Teil 1<br />
## Problemursache: Seite lädt -> init -> loadProgramm -> neustart: neustart fokussiert immer. Sollte es nur tun nach interaktion, sprich fokusverhalten muss anders kontrolliert werden nicht an neustart geknüpft, sondern an interaktion.<br />
# main/nav im Mediawiki Template<br />
# ❓Wiki und H5P-Module (z.B. Vokabeltest): Ist es möglich, Textteile beispielsweise als "englisch" oder "spanisch" auszuzeichnen, so dass ein Screenreader dies erkennt und die Aussprache entsprechend umschaltet (analog zu HTML mit Attribut lang="en")?<br />
# 🔲Lernpfadvorlage erweitern<br />
## Lernschritt/Vorspann<br />
### nutzung am seitenanfang<br />
### Fortsetzungsnavigation<br />
### Platz für einführungstext/Übersicht<br />
# ✅🪳LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
## Bild ist an falscher Stelle (uk-align-right css klasse ist nicht mehr existent)<br />
# 🪳LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
## Weiter Navigation ist nicht ganz korrekt siehe Lernpfad Quadratische Funktion, der weiter link ist IMMER der QF Anhang, statt der korrekten nächsten Seite. In der Navigation stimmt die Reihenfolge allerdings.</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=MediaWiki:Vorlage_Lernpfad.css&diff=151232MediaWiki:Vorlage Lernpfad.css2026-03-22T09:17:10Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>/*<br />
* Vorlage:Lernpfad:Neu<br />
*/<br />
.zum-lernpfad {<br />
display:contents;<br />
}<br />
<br />
<br />
<br />
.zum-lernpfad .zum-box--titel .zum-lernpfad--qrcode {<br />
margin-inline-start:auto;<br />
}<br />
<br />
@media(min-width:815px) {<br />
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display:flex;<br />
gap:0.5em;<br />
}<br />
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flex-grow:1;<br />
}<br />
.zum-lernpfad--inhalt--main:has(+ .zum-lernpfad--inhalt--aside){<br />
flex-grow:0.7;<br />
}<br />
.zum-lernpfad--inhalt--aside {<br />
margin-inline-start: auto;<br />
flex-grow:0.3;<br />
}<br />
}<br />
<br />
.zum-lernpfad--lerneinheit--trailer {<br />
> .zum-block {<br />
display:flex;<br />
flex-wrap:wrap;<br />
> .zum-fortsetzung {<br />
flex-basis:100%;<br />
}<br />
> .lernpfad-lerneinheit--trailer--bild {<br />
margin-inline-start: auto;<br />
}<br />
}<br />
<br />
<br />
}</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit&diff=151231Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit2026-03-22T09:16:12Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<!-- sucht bis zu 200 Seiten, die "kleiner" sind als die aktuelle Seite (Titel) wie die aktuelle Elternseite (der Lernpfad) beginnen und das Template Lerneinheit benutzen.<br />
dadurch, dass für jeden Treffer die Variable Lerneinheit_vorher neu gesetzt wird ist es am Ende die letzte der bis zu 200 vorherigen Seiten.<br />
<br />
Das heißt, bei der 201. Lerneinheit wird nicht mehr der Richtige "vorher" Link verwendet. Das wird praktisch nicht auftreten.<br />
--><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlelt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=200<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| includesubpages=true<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_vorher¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Nächste Seite finden, ist einfacher da wir einfach die erste nächstgrößere Seite nehmen. --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlegt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=1<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| includesubpages=true<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_weiter¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<br />
<!-- sucht bis zu 1 Bild aus der Lernpfad Vorlage aus der Elternseite --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| debug=3<br />
| title={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 }}<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu<br />
| include={LernpfadNeu}:Bild<br />
| count=1<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦,}²,<br />
| noresultsheader=²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦}²&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude><div class="zum-lernpfad--lerneinheit--trailer"></onlyinclude><br />
<onlyinclude>{{Navigation<br />
|classes=uk-clearfix<br />
|1={{Fortsetzung<br />
| übersicht={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 | -2 }}<br />
| übersichtlink={{#titleparts:{{FULLPAGENAME}} | -1 }}<br />
| vorher={{#varexists:Lerneinheit_vorher|vorher}}<br />
| vorherlink={{#varexists:Lerneinheit_vorher|{{#var:Lerneinheit_vorher}} }}<br />
| weiter={{#varexists:Lerneinheit_weiter|weiter}}<br />
| weiterlink={{#varexists:Lerneinheit_weiter|{{#var:Lerneinheit_weiter}} }}<br />
}}<br />
{{LernpfadNeu/Navigation|Seite={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 }}}}<br />
{{#varexists:Lerneinheit_Lernpfad_Bild|<div class="lernpfad-lerneinheit--trailer--bild">{{#var:Lerneinheit_Lernpfad_Bild}}</div>}}<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude>{{Autorenbox|{{{Autor|}}}}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Richtigen Titel setzen, falls die Lerneinheiten mit LEXX sortiert wurden --><br />
<onlyinclude>{{DISPLAYTITLE:{{#dplreplace:{{FULLPAGENAME}}|/LE\d+\s|/}}|noreplace}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- etwas Maschinenlesbare Strukturdaten zur besseren Auffindbarkeit --><br />
<onlyinclude>{{#widget:StructuredData<br />
|data=<br />
{<br />
"@context":"https://schema.org",<br />
"@type":"Article",<br />
"name":"{{PAGENAME}}",<br />
"dateModified":"{{#time:c |{{REVISIONTIMESTAMP}}}}",<br />
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"author":{{StructuredData-Author}},<br />
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}<br />
}}</onlyinclude><br />
{{TODO| structured data breadcrumb hinzufügen}}<br />
<!-- end-div for .lernpfad-lerneinheit--trailer --><br />
<onlyinclude></div></onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit&diff=151230Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit2026-03-22T09:15:30Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<!-- sucht bis zu 200 Seiten, die "kleiner" sind als die aktuelle Seite (Titel) wie die aktuelle Elternseite (der Lernpfad) beginnen und das Template Lerneinheit benutzen.<br />
dadurch, dass für jeden Treffer die Variable Lerneinheit_vorher neu gesetzt wird ist es am Ende die letzte der bis zu 200 vorherigen Seiten.<br />
<br />
Das heißt, bei der 201. Lerneinheit wird nicht mehr der Richtige "vorher" Link verwendet. Das wird praktisch nicht auftreten.<br />
--><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlelt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=200<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
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| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_vorher¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;<br />
}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Nächste Seite finden, ist einfacher da wir einfach die erste nächstgrößere Seite nehmen. --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlegt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
| order=ascending<br />
| ordermethod=title<br />
| count=1<br />
| namespace={{NAMESPACE}}<br />
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| uses=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_weiter¦%PAGE%}²<br />
| noresultsheader=&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<br />
<!-- sucht bis zu 1 Bild aus der Lernpfad Vorlage aus der Elternseite --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| debug=3<br />
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| namespace={{NAMESPACE}}<br />
| uses=Vorlage:LernpfadNeu<br />
| include={LernpfadNeu}:Bild<br />
| count=1<br />
| format=,²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦,}²,<br />
| noresultsheader=²{#vardefine:Lerneinheit_Lernpfad_Bild¦}²&nbsp;}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude><div class="zum-lernpfad-lerneinheit--trailer"></onlyinclude><br />
<onlyinclude>{{Navigation<br />
|classes=uk-clearfix<br />
|1={{Fortsetzung<br />
| übersicht={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 | -2 }}<br />
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{{LernpfadNeu/Navigation|Seite={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 }}}}<br />
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}}</onlyinclude><br />
<br />
<onlyinclude>{{Autorenbox|{{{Autor|}}}}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Richtigen Titel setzen, falls die Lerneinheiten mit LEXX sortiert wurden --><br />
<onlyinclude>{{DISPLAYTITLE:{{#dplreplace:{{FULLPAGENAME}}|/LE\d+\s|/}}|noreplace}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- etwas Maschinenlesbare Strukturdaten zur besseren Auffindbarkeit --><br />
<onlyinclude>{{#widget:StructuredData<br />
|data=<br />
{<br />
"@context":"https://schema.org",<br />
"@type":"Article",<br />
"name":"{{PAGENAME}}",<br />
"dateModified":"{{#time:c |{{REVISIONTIMESTAMP}}}}",<br />
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}}</onlyinclude><br />
{{TODO| structured data breadcrumb hinzufügen}}<br />
<!-- end-div for .lernpfad-lerneinheit--trailer --><br />
<onlyinclude></div></onlyinclude><br />
</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit&diff=151228Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit2026-03-22T09:13:13Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<!-- sucht bis zu 200 Seiten, die "kleiner" sind als die aktuelle Seite (Titel) wie die aktuelle Elternseite (der Lernpfad) beginnen und das Template Lerneinheit benutzen.<br />
dadurch, dass für jeden Treffer die Variable Lerneinheit_vorher neu gesetzt wird ist es am Ende die letzte der bis zu 200 vorherigen Seiten.<br />
<br />
Das heißt, bei der 201. Lerneinheit wird nicht mehr der Richtige "vorher" Link verwendet. Das wird praktisch nicht auftreten.<br />
--><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
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<br />
<!-- Nächste Seite finden, ist einfacher da wir einfach die erste nächstgrößere Seite nehmen. --><br />
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| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
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<br />
<br />
<!-- sucht bis zu 1 Bild aus der Lernpfad Vorlage aus der Elternseite --><br />
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<br />
<onlyinclude><div class="lernpfad-lerneinheit--trailer"></onlyinclude><br />
<onlyinclude>{{Navigation<br />
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|1={{Fortsetzung<br />
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<br />
<onlyinclude>{{Autorenbox|{{{Autor|}}}}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Richtigen Titel setzen, falls die Lerneinheiten mit LEXX sortiert wurden --><br />
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<br />
<!-- etwas Maschinenlesbare Strukturdaten zur besseren Auffindbarkeit --><br />
<onlyinclude>{{#widget:StructuredData<br />
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"@context":"https://schema.org",<br />
"@type":"Article",<br />
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</includeonly></div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=MediaWiki:Vorlage_Lernpfad.css&diff=151227MediaWiki:Vorlage Lernpfad.css2026-03-22T09:12:31Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div>/*<br />
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<br />
<br />
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<br />
.zum-lernpfad--lerneinheit--trailer {<br />
> .zum-block {<br />
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}<br />
<br />
<br />
}</div>Christianhttps://zumunterrichten.idea-sketch.com/index.php?title=Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit&diff=151224Vorlage:LernpfadNeu/Lerneinheit2026-03-22T09:06:56Z<p>Christian: </p>
<hr />
<div><includeonly><br />
<!-- sucht bis zu 200 Seiten, die "kleiner" sind als die aktuelle Seite (Titel) wie die aktuelle Elternseite (der Lernpfad) beginnen und das Template Lerneinheit benutzen.<br />
dadurch, dass für jeden Treffer die Variable Lerneinheit_vorher neu gesetzt wird ist es am Ende die letzte der bis zu 200 vorherigen Seiten.<br />
<br />
Das heißt, bei der 201. Lerneinheit wird nicht mehr der Richtige "vorher" Link verwendet. Das wird praktisch nicht auftreten.<br />
--><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| titlelt={{PAGENAME}}<br />
| titlematch={{BASEPAGENAME}}/%<br />
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<br />
<!-- Nächste Seite finden, ist einfacher da wir einfach die erste nächstgrößere Seite nehmen. --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
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<br />
<br />
<!-- sucht bis zu 1 Bild aus der Lernpfad Vorlage aus der Elternseite --><br />
<onlyinclude>{{#dpl: <br />
| debug=3<br />
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| namespace={{NAMESPACE}}<br />
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<br />
<onlyinclude><div class="lernpfad-lerneinheit--trailer"></onlyinclude><br />
<onlyinclude>{{Navigation<br />
|classes=uk-clearfix<br />
|1={{Fortsetzung<br />
| übersicht={{#titleparts: {{PAGENAME}} | -1 | -2 }}<br />
| übersichtlink={{#titleparts:{{FULLPAGENAME}} | -1 }}<br />
| vorher={{#varexists:Lerneinheit_vorher|vorher}}<br />
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| weiterlink={{#varexists:Lerneinheit_weiter|{{#var:Lerneinheit_weiter}} }}<br />
}}<br />
<br />
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<br />
<onlyinclude>{{Autorenbox|{{{Autor|}}}}}</onlyinclude><br />
<br />
<!-- Richtigen Titel setzen, falls die Lerneinheiten mit LEXX sortiert wurden --><br />
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<br />
<!-- etwas Maschinenlesbare Strukturdaten zur besseren Auffindbarkeit --><br />
<onlyinclude>{{#widget:StructuredData<br />
|data=<br />
{<br />
"@context":"https://schema.org",<br />
"@type":"Article",<br />
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