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Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite

2022-11-09T14:37:39Z

Buss-Haskert:

Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:

::<math>k \approx \sqrt{n}</math>

==Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)==

Im Beispiel ist

::<math>n=25</math>.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

::<math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.

Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist

::<math>x_{max}=200</math> und
::<math>x_{min}=151</math> ,

somit gilt für die Spannweite

::<math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.



Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.


<br />

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />


{{Merke|1=Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.

<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>

<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>

<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>}}


===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="7" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>
||<math>150 < a_i \le 160</math>||<math>160 < a_i \le 170</math>||<math>170 < a_i \le 180</math>||<math>180 < a_i \le 190</math>||<math>190 < a_i \le 200</math>||Summe
|-
|<math>H(k_i)</math>||3||6||5||4||7||25
|-
|<math>h(k_i)</math>||12 %||24 %||20 %||16 %||28 %||100 %
|}
</div>


Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.



===Einführungsbeispiel - Teil 6.1===

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" |Größe!! style="text-align:left;" |Formel!! style="text-align:left;" |im Beispiel mit!! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
|Klassenanzahl||<math>k \approx \sqrt{n} </math>||<math>n=30</math>||<math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
|Spannweite||<math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math>||<math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math>||<math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
|Klassenbreite||<math>b=\frac{R}{k}</math>||<math>R=71</math> und <math>k=6</math>||<math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
</div>

Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':

Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:

::<math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
::<math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>

===Einführungsbeispiel - Teil 6.2===

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>13</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>13</math>||<math>26</math>||<math>11</math>||<math>\frac{11}{30}</math>||<math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>26</math>||<math>39</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>39</math>||<math>52</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>52</math>||<math>65</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>65</math>||<math>78</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

'''Ausblick'''

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>10</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>10</math>||<math>20</math>||<math>10</math>||<math>\frac{1}{3}</math>||<math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>20</math>||<math>30</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>30</math>||<math>40</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>40</math>||<math>50</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{15}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>50</math>||<math>60</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>60</math>||<math>70</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>70</math>||<math>80</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{30}</math>||<math>3,3%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>



{{clear}}
{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite

2022-11-09T14:36:41Z

Buss-Haskert:

Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:

::<math>k \approx \sqrt{n}</math>

==Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)==

Im Beispiel ist

::<math>n=25</math>.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

::<math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.

Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist

::<math>x_{max}=200</math> und
::<math>x_{min}=151</math> ,

somit gilt für die Spannweite

::<math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.



Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.


<br />

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />


{{Merke|1=Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.

<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>

<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>

<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>}}


===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="7" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>
||<math>150 < a_i \le 160</math>||<math>160 < a_i \le 170</math>||<math>170 < a_i \le 180</math>||<math>180 < a_i \le 190</math>||<math>190 < a_i \le 200</math>||Summe
|-
|<math>H(k_i)</math>||3||6||5||4||7||25
|-
|<math>h(k_i)</math>||12 %||24 %||20 %||16 %||28 %||100 %
|}
</div>


Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.
|}


===Einführungsbeispiel - Teil 6.1===

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" |Größe!! style="text-align:left;" |Formel!! style="text-align:left;" |im Beispiel mit!! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
|Klassenanzahl||<math>k \approx \sqrt{n} </math>||<math>n=30</math>||<math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
|Spannweite||<math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math>||<math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math>||<math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
|Klassenbreite||<math>b=\frac{R}{k}</math>||<math>R=71</math> und <math>k=6</math>||<math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
</div>

Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':

Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:

::<math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
::<math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>

===Einführungsbeispiel - Teil 6.2===

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>13</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>13</math>||<math>26</math>||<math>11</math>||<math>\frac{11}{30}</math>||<math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>26</math>||<math>39</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>39</math>||<math>52</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>52</math>||<math>65</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>65</math>||<math>78</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

'''Ausblick'''

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>10</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>10</math>||<math>20</math>||<math>10</math>||<math>\frac{1}{3}</math>||<math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>20</math>||<math>30</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>30</math>||<math>40</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>40</math>||<math>50</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{15}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>50</math>||<math>60</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>60</math>||<math>70</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>70</math>||<math>80</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{30}</math>||<math>3,3%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>



{{clear}}
{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite

2022-11-09T14:34:56Z

Buss-Haskert:

Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:

::<math>k \approx \sqrt{n}</math>

==Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)==

Im Beispiel ist

::<math>n=25</math>.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

::<math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.

Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist

::<math>x_{max}=200</math> und
::<math>x_{min}=151</math> ,

somit gilt für die Spannweite

::<math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.



Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.
|}

<br />

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />


{{Merke|1=Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.

<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>

<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>

<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>}}


===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="7" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>
||<math>150 < a_i \le 160</math>||<math>160 < a_i \le 170</math>||<math>170 < a_i \le 180</math>||<math>180 < a_i \le 190</math>||<math>190 < a_i \le 200</math>||Summe
|-
|<math>H(k_i)</math>||3||6||5||4||7||25
|-
|<math>h(k_i)</math>||12 %||24 %||20 %||16 %||28 %||100 %
|}
</div>


Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.
|}


===Einführungsbeispiel - Teil 6.1===

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" |Größe!! style="text-align:left;" |Formel!! style="text-align:left;" |im Beispiel mit!! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
|Klassenanzahl||<math>k \approx \sqrt{n} </math>||<math>n=30</math>||<math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
|Spannweite||<math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math>||<math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math>||<math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
|Klassenbreite||<math>b=\frac{R}{k}</math>||<math>R=71</math> und <math>k=6</math>||<math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
</div>

Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':

Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:

::<math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
::<math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>

===Einführungsbeispiel - Teil 6.2===

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>13</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>13</math>||<math>26</math>||<math>11</math>||<math>\frac{11}{30}</math>||<math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>26</math>||<math>39</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>39</math>||<math>52</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>52</math>||<math>65</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>65</math>||<math>78</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

'''Ausblick'''

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>10</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>10</math>||<math>20</math>||<math>10</math>||<math>\frac{1}{3}</math>||<math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>20</math>||<math>30</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>30</math>||<math>40</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>40</math>||<math>50</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{15}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>50</math>||<math>60</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>60</math>||<math>70</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>70</math>||<math>80</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{30}</math>||<math>3,3%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>



{{clear}}
{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite

2022-11-09T14:34:08Z

Buss-Haskert:

Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:

::<math>k \approx \sqrt{n}</math>

==Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)==

Im Beispiel ist

::<math>n=25</math>.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

::<math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.

Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist

::<math>x_{max}=200</math> und
::<math>x_{min}=151</math> ,

somit gilt für die Spannweite

::<math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.



Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.
|}

<br />

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />


{{Merke|1=Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.

<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>

<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>

<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>}}


===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="7" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>
||<math>150 < a_i \le 160</math>||<math>160 < a_i \le 170</math>||<math>170 < a_i \le 180</math>||<math>180 < a_i \le 190</math>||<math>190 < a_i \le 200</math>||Summe
|-
|<math>H(k_i)</math>||3||6||5||4||7||25
|-
|<math>h(k_i)</math>||12 %||24 %||20 %||16 %||28 %||100 %
|}
</div>


Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.
|}


===Einführungsbeispiel - Teil 6.1===

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" |Größe!! style="text-align:left;" |Formel!! style="text-align:left;" |im Beispiel mit!! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
|Klassenanzahl||<math>k \approx \sqrt{n} </math>||<math>n=30</math>||<math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
|Spannweite||<math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math>||<math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math>||<math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
|Klassenbreite||<math>b=\frac{R}{k}</math>||<math>R=71</math> und <math>k=6</math>||<math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
</div>

|-
|colspan="6" |Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':

Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:

::<math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
::<math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>

===Einführungsbeispiel - Teil 6.2===

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>13</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>13</math>||<math>26</math>||<math>11</math>||<math>\frac{11}{30}</math>||<math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>26</math>||<math>39</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>39</math>||<math>52</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>52</math>||<math>65</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>65</math>||<math>78</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

'''Ausblick'''

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>10</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>10</math>||<math>20</math>||<math>10</math>||<math>\frac{1}{3}</math>||<math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>20</math>||<math>30</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>30</math>||<math>40</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>40</math>||<math>50</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{15}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>50</math>||<math>60</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>60</math>||<math>70</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>70</math>||<math>80</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{30}</math>||<math>3,3%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>



{{clear}}
{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-11-09T14:32:57Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|1=Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|1=Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.6 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]

Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-11-09T14:32:26Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|1=Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.6 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]

Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-16T12:44:32Z

Buss-Haskert: Bearbeitung rückgängig gemacht

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Box|1=Merke|2=Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.|3=Merksatz}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-16T12:43:34Z

Buss-Haskert: Formel Darstellung geändert

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math forcemathmode="png">\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Box|1=Merke|2=Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.|3=Merksatz}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:58:38Z

Buss-Haskert:

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:57:17Z

Buss-Haskert:

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Merke|Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:55:17Z

Buss-Haskert:

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen. |Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Merke|Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:54:09Z

Buss-Haskert:

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x= \frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen. |Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Merke|Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:50:05Z

Buss-Haskert:

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen. |Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Merke|Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:48:43Z

Buss-Haskert: Schreibweise berichtigt (mathematische Symbole)

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> <math>\bar x</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen. |Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Merke|Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite

2022-10-14T06:44:38Z

Buss-Haskert:

'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''

Nehmen wir nun an, wir wollen jemanden davon überzeugen, dass weniger als ein Viertel aller Schüler dieser Klasse besonders groß sind. Zunächst legen wir fest, was besonders groß bedeuten soll. Unsere Tabelle können wir entnehmen, dass mehr als ein Viertel aller Schüler 191 cm oder größer sind. Somit müssen wir einen Wert über 191 cm wählen und entscheiden uns für 195 cm. Um den Leser zu überzeugen, wählen wir nur zwei Klassen, alle Schüler kleiner als 195 und alle Schüler größer oder gleich 195. Unsere Tabelle bekommt dann folgendes Aussehen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013 bei unterschiedlicher Klassenbreite
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 195</math>||<math>195 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>22</math>||<math>3</math>||<math>1</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>88 %</math>||<math>12 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


Und so glaubt der geneigte Leser sofort, dass es sich um eine körperlich recht kleine Klasse handelt, da nicht mal ein Achtel aller Schüler größer oder gleich 195 cm sind. Die Aussage wird durch geschickte Wahl der Größe und einer passenden Klassenbildung unterstützt.

{{clear}}

Und noch einmal die Eisdiele "Rabe":
===Einführungsbeispiel - Teil 7===

Auch bei der Auswertung des Merkmals Alter kann man mit unterschiedlich großen Klassenbreiten arbeiten und versuchen zu interessanten Aussagen zu gelangen.

Wählt man beispielsweise nur zwei Klassen, die erste von 0 - 30 Jahre, die zweite von 30 - 80 Jahre, so erhält man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>30</math>||<math>16</math>||<math>\frac{8}{15}</math>||<math>53,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als sei die Eisdiele bei jeder Altersgruppe gleich beliebt. Dies ist jedoch nicht so, wie man im Abschnitt Klassen mit gleicher Klassenbreite gut sehen konnte.

'''Noch ein Versuch:'''

Diesmal wählt man drei Klassen und erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>15</math>||<math>7</math>||<math>\frac{7}{30}</math>||<math>23,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>15</math>||<math>30</math>||<math>9</math>||<math>\frac{3}{10}</math>||<math>30%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>

{{clear}}
'''Interpretation'''

Hier könnte man auf den ersten Blick folgern, dass die Eisdiele "Rabe" gerade beim älteren Publikum besonders angesagt ist.


Bleiben noch zwei Hinweise, die man beachten sollte:


{{Merke|Bei Klassen mit unterschiedlichen Breiten ist jeder Klasse <math>k_i</math> ihre Breite <math>b_i</math> zuzuordnen

Vorsicht bei Statistiken mit unterschiedlich breiten Klassen. Hier weiß man nie, was der Autor verstecken will.}}


Sie haben Ihr Regelheft mit dem achten Merksatz gefüllt.

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite

2022-10-14T06:44:07Z

Buss-Haskert:

'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''

Nehmen wir nun an, wir wollen jemanden davon überzeugen, dass weniger als ein Viertel aller Schüler dieser Klasse besonders groß sind. Zunächst legen wir fest, was besonders groß bedeuten soll. Unsere Tabelle können wir entnehmen, dass mehr als ein Viertel aller Schüler 191 cm oder größer sind. Somit müssen wir einen Wert über 191 cm wählen und entscheiden uns für 195 cm. Um den Leser zu überzeugen, wählen wir nur zwei Klassen, alle Schüler kleiner als 195 und alle Schüler größer oder gleich 195. Unsere Tabelle bekommt dann folgendes Aussehen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013 bei unterschiedlicher Klassenbreite
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 195</math>||<math>195 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>22</math>||<math>3</math>||<math>1</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>88 %</math>||<math>12 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


Und so glaubt der geneigte Leser sofort, dass es sich um eine körperlich recht kleine Klasse handelt, da nicht mal ein Achtel aller Schüler größer oder gleich 195 cm sind. Die Aussage wird durch geschickte Wahl der Größe und einer passenden Klassenbildung unterstützt.

{{clear}}

Und noch einmal die Eisdiele "Rabe":
===Einführungsbeispiel - Teil 7===

Auch bei der Auswertung des Merkmals Alter kann man mit unterschiedlich großen Klassenbreiten arbeiten und versuchen zu interessanten Aussagen zu gelangen.

Wählt man beispielsweise nur zwei Klassen, die erste von 0 - 30 Jahre, die zweite von 30 - 80 Jahre, so erhält man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>30</math>||<math>16</math>||<math>\frac{8}{15}</math>||<math>53,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als sei die Eisdiele bei jeder Altersgruppe gleich beliebt. Dies ist jedoch nicht so, wie man im Abschnitt Klassen mit gleicher Klassenbreite gut sehen konnte.

'''Noch ein Versuch:'''

Diesmal wählt man drei Klassen und erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>15</math>||<math>7</math>||<math>\frac{7}{30}</math>||<math>23,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>15</math>||<math>30</math>||<math>9</math>||<math>\frac{3}{10}</math>||<math>30%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>

{{clear}}
'''Interpretation'''

Hier könnte man auf den ersten Blick folgern, dass die Eisdiele "Rabe" gerade beim älteren Publikum besonders angesagt ist.
|}


Bleiben noch zwei Hinweise, die man beachten sollte:


{{Merke|Bei Klassen mit unterschiedlichen Breiten ist jeder Klasse <math>k_i</math> ihre Breite <math>b_i</math> zuzuordnen

Vorsicht bei Statistiken mit unterschiedlich breiten Klassen. Hier weiß man nie, was der Autor verstecken will.}}


Sie haben Ihr Regelheft mit dem achten Merksatz gefüllt.

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite

2022-10-14T06:43:22Z

Buss-Haskert:

'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''

Nehmen wir nun an, wir wollen jemanden davon überzeugen, dass weniger als ein Viertel aller Schüler dieser Klasse besonders groß sind. Zunächst legen wir fest, was besonders groß bedeuten soll. Unsere Tabelle können wir entnehmen, dass mehr als ein Viertel aller Schüler 191 cm oder größer sind. Somit müssen wir einen Wert über 191 cm wählen und entscheiden uns für 195 cm. Um den Leser zu überzeugen, wählen wir nur zwei Klassen, alle Schüler kleiner als 195 und alle Schüler größer oder gleich 195. Unsere Tabelle bekommt dann folgendes Aussehen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013 bei unterschiedlicher Klassenbreite
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 195</math>||<math>195 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>22</math>||<math>3</math>||<math>1</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>88 %</math>||<math>12 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


Und so glaubt der geneigte Leser sofort, dass es sich um eine körperlich recht kleine Klasse handelt, da nicht mal ein Achtel aller Schüler größer oder gleich 195 cm sind. Die Aussage wird durch geschickte Wahl der Größe und einer passenden Klassenbildung unterstützt.

{{clear}}

Und noch einmal die Eisdiele "Rabe":
===Einführungsbeispiel - Teil 7===

Auch bei der Auswertung des Merkmals Alter kann man mit unterschiedlich großen Klassenbreiten arbeiten und versuchen zu interessanten Aussagen zu gelangen.

Wählt man beispielsweise nur zwei Klassen, die erste von 0 - 30 Jahre, die zweite von 30 - 80 Jahre, so erhält man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>30</math>||<math>16</math>||<math>\frac{8}{15}</math>||<math>53,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|-
| colspan="6"
|}
</div>

'''Interpretation'''

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als sei die Eisdiele bei jeder Altersgruppe gleich beliebt. Dies ist jedoch nicht so, wie man im Abschnitt Klassen mit gleicher Klassenbreite gut sehen konnte.

'''Noch ein Versuch:'''

Diesmal wählt man drei Klassen und erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>15</math>||<math>7</math>||<math>\frac{7}{30}</math>||<math>23,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>15</math>||<math>30</math>||<math>9</math>||<math>\frac{3}{10}</math>||<math>30%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>

{{clear}}
'''Interpretation'''

Hier könnte man auf den ersten Blick folgern, dass die Eisdiele "Rabe" gerade beim älteren Publikum besonders angesagt ist.
|}


Bleiben noch zwei Hinweise, die man beachten sollte:


{{Merke|Bei Klassen mit unterschiedlichen Breiten ist jeder Klasse <math>k_i</math> ihre Breite <math>b_i</math> zuzuordnen

Vorsicht bei Statistiken mit unterschiedlich breiten Klassen. Hier weiß man nie, was der Autor verstecken will.}}


Sie haben Ihr Regelheft mit dem achten Merksatz gefüllt.

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite

2022-10-14T06:38:59Z

Buss-Haskert: Wurzel n in der Tabelle berichtigt

Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:

::<math>k \approx \sqrt{n}</math>

==Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)==

Im Beispiel ist

::<math>n=25</math>.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

::<math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.

Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist

::<math>x_{max}=200</math> und
::<math>x_{min}=151</math> ,

somit gilt für die Spannweite

::<math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.



Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.
|}

<br />

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />


{{Merke|Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.

<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>

<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>

<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>}}


===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="7" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>
||<math>150 < a_i \le 160</math>||<math>160 < a_i \le 170</math>||<math>170 < a_i \le 180</math>||<math>180 < a_i \le 190</math>||<math>190 < a_i \le 200</math>||Summe
|-
|<math>H(k_i)</math>||3||6||5||4||7||25
|-
|<math>h(k_i)</math>||12 %||24 %||20 %||16 %||28 %||100 %
|}
</div>


Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.
|}


===Einführungsbeispiel - Teil 6.1===

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" |Größe!! style="text-align:left;" |Formel!! style="text-align:left;" |im Beispiel mit!! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
|Klassenanzahl||<math>k \approx \sqrt{n} </math>||<math>n=30</math>||<math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
|Spannweite||<math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math>||<math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math>||<math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
|Klassenbreite||<math>b=\frac{R}{k}</math>||<math>R=71</math> und <math>k=6</math>||<math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
</div>

|-
|colspan="6" |Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':

Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:

::<math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
::<math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>

===Einführungsbeispiel - Teil 6.2===

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>13</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>13</math>||<math>26</math>||<math>11</math>||<math>\frac{11}{30}</math>||<math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>26</math>||<math>39</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>39</math>||<math>52</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>52</math>||<math>65</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>65</math>||<math>78</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

'''Ausblick'''

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>10</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>10</math>||<math>20</math>||<math>10</math>||<math>\frac{1}{3}</math>||<math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>20</math>||<math>30</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>30</math>||<math>40</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>40</math>||<math>50</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{15}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>50</math>||<math>60</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>60</math>||<math>70</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>70</math>||<math>80</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{30}</math>||<math>3,3%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>



{{clear}}
{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:29:57Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}


</div>

===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:28:57Z

Buss-Haskert:

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:28:22Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}


</div>

<br>

<br>
===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:27:39Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}

<br /><br /></div>


<br>
<br>
===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:27:07Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}

<br /></div>


<br>
<br>
===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:26:22Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}

<br /></div>


===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:25:41Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}

<br /></div>


===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:24:30Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>
===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:23:30Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.

===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>
===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:21:59Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>
===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:18:53Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>
===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:16:31Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>


Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>


===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Merke|Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-10-14T06:13:36Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.6 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]

Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-10-14T06:13:03Z

Buss-Haskert: Bild berichtigt

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.06 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]
[[Datei:1.4.6 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]
Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-10-14T06:11:05Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.06 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]

Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-10-14T06:01:11Z

Buss-Haskert: Schreibweise Lösungsfeld berichtigt (mit 1= und 2=)

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.06 Strichliste.PNG|500 px|Urliste Beobachtungswerte]]

Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen

2022-10-14T05:49:25Z

Buss-Haskert: Schreibweise Merkebox 1 berichtigt

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**quantitatives Merkmal
***metrisch diskrete Skala und
***metrisch stetige Skala,
**qualitatives Merkmal
***Ordinalskala und
***Nominalskala.
*Sie können die Begriffe
**quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala,
**quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala,
**qualitatives Merkmal mit Ordinalskala
**qualitatives Merkmal mit Nominalskala

:::im Sachzusammenhang erkennen und zuordnen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Um die statistische Erhebung auswerten zu können, müssen Merkmale mit ihren Merkmalsausprägungen weiter unterschieden werden.Man unterscheidet zwischen

::'''qualitativen''' und
::'''quantitativen''' Merkmalen.

;Quantitative Merkmale

Bei quantitativen Merkmalen lassen sich die Merkmalsausprägungen durch

::Zahlen oder
::Größenwerte

ausdrücken und in einer '''metrischen Skala''' anordnen. Mit quantitativen Merkmalen sollten einfache Rechenoperationen sinnvoll möglich sein.

Eine metrische Skala wird noch nach Art der vorkommenden Zahlen oder Größenwerte unterscheiden. Man nennt eine metrische Skala ''' metrisch diskret''', wenn nur ganze Zahlen (z. B. Personen) als Merkmalsausprägungen zugelassen sind. Können auch Dezimalzahlen als Merkmalsausprägung vorkommen, so nennt man die Skala '''metrisch stetig''' (alle Zahlen, z. B. Temperatur, Gewicht).

;Qualitative Merkmale

Qualitative Merkmale sind entweder Texte oder Zahlwerte, mit denen man aber keine sinnvollen Rechnungen ausführen kann.

Sie werden noch einmal unterschieden in solche, bei denen die Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge ('''ordinale Skala''') gebracht werden können, und in jene, bei denen die Merkmalsausprägungen nicht abgestuft werden können ('''nominale Skala''').


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="8" |<u>'''Beispiele:'''</u>
#Das Merkmal "Lieblingsfarbe" kann verschiedene Merkmalsausprägungen annehmen, z. B. rot, blau, gelb, grün, ... Es handelt sich um ein qualitatives Merkmal und die verschiedenen Farben lassen sich nicht in eine natürliche Reihenfolge bringen, also handelt es sich bei der zugehörigen Skala um eine Nominalskala.
#Das Merkmal "Interesse am Fach Deutsch" kann die Merkmalsausprägungen "hoch", "eher hoch", "eher gering" und "gering" annehmen. Auch hier handelt es sich um ein qualitatives Merkmal, aber diesmal mit Ordinalskala, da die einzelnen Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden können.
#Das Merkmal "Anzahl der Tische im Klassenraum" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala, da es keine halben Tische gibt.
#Das Merkmal "Körpergröße in m" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala, da auch Größen wie 1,88 m erfasst werden müssen.
#Besonders schwierig ist es die Ausprägungen des Merkmals "Note in Mathematik" genau einzuordnen. Man könnte meinen, es handele sich um ein quantitatives Merkmal, da ja jeder Lehrer z. B. die Durchschnittsnote, die in der letzten Klassenarbeit erzielt wurde, an die Tafel schreibt, also mit den Noten rechnet. Das hat sich so eingebürgert und funktioniert auch irgendwie, ist aber mathematisch eher fragwürdig. Denn gut und sehr gut ergibt nicht befriedigend, oder? Anders bei der Anzahl von Stühlen: hat man einen Stuhl und stellt noch zwei dazu, dann hat man insgesamt drei Stühle. <br>Also handelt es sich bei dem Merkmal "Note in Mathematik" um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala, da die verschiedenen Merkmalsausprägungen einer natürlichen Ordnung genügen.
|}



[[Datei:Uebersicht Merkmale.PNG|ohne]]

<br />
<br />

{{Box|1=Merke|2=Man unterscheidet in
* <span style="background:yellow">quantitative Merkmale</span>, deren Merkmalsausprägungen aus Zahlen oder Größenwerten bestehen
** mit <span style="background:yellow">metrisch diskreter Skala</span> (nur ganze Zahlen)
** mit <span style="background:yellow">metrisch stetiger Skala</span> (alle Kommazahlen)
* <span style="background:yellow">qualitative Merkmale</span>, deren Merkmalausprägungen in Textform oder als Zahlwerte (ohne mögliche sinnvolle Rechenoperationen) gegeben sind
** mit <span style="background:yellow">Ordinalskala</span> (die Merkmalsausprägungen lassen sich in eine natürliche Reihenfolge bringen)
** mit <span style="background:yellow">Nominalskala</span> (die Merkmalsausprägungen haben keine Wertigkeit)|3=Merksatz}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 4'''<br /></u>

Jetzt werden die Merkmale "Alter", "Geschlecht", "Lieblingseissorte" und "Durchschnittliche Anzahl an Eiskugeln" im Hinblick auf ihre Art und die zugehörige Skala untersucht:
|-

! style="text-align:left;" |Merkmal!! style="text-align:left;" |Merkmalsausprägungen!! style="text-align:left;" |Art des Merkmals!! style="text-align:left;" |Skala
|-
|Alter||0; 1; 2;...;100||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-
|Geschlecht||m, w||qualitativ||Nominalskala
|-
|Qualität der Eisdiele||sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend||qualitativ||Ordinalskala
|-
|Lieblingseis
||Himbeere, Vanille, Erdbeere, Pfefferminz, Schokolade, Zitrone, Mango, Jogurt, Nuss||qualitativ||Nominalskala
|-
|Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln||1, 2, 3, 4, 5||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man das Merkmal "Geschlecht" so lauten die ersten Beobachtungswerte

::<math>a_1=w; a_2=w; a_3=w; a_4=w; a_5=m;</math> ...

Es gibt <math>n=30</math> Beobachtungswerte <math>a_i</math>, aber nur zwei verschiedene Merkmalsausprägungen <math>x_i</math>. Jetzt legt man (beliebig) fest:

::<math>x_1=m</math> und <math>x_2=w</math>
|}


{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem dritten Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
{{Aufgabe|
Testen Sie Ihr Wissen und lösen Sie das Quiz. Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten! }}

<div class="multiplechoice-quiz">
Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala? (Noten in einer Klassenarbeit) (Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze)

Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Nominalskala? (Haustier) (Wunschtitel)(Geschlecht) (Hobby) (Lieblingsfarbe) (Beruf) (Konfession) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreten Skala? (Alter in Jahren) (Gehalt in vollen EUR) (Anzahl Sitzplätze) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (!Sehstärke in Dioptrien) (!Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (!Temperatur in Grad Celsius) (!Wasserpegel der Ruhr in Hattingen)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetigen Skala? (Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (Sehstärke in Dioptrien) (Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (Temperatur in Grad Celsius) (Wasserpegel der Ruhr in Hattingen) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt in vollen EUR) (!Anzahl Sitzplätze)
</div>

'''Ordnen Sie die Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Qualitative Merkmale||Haarfarbe||Schulform||Familienstand||Lieblingsessen||Hobby||Autofarbe||Augenfarbe||Konfession||Berufswunsch||Staatsangehörigkeit
|-
|Quantitative Merkmale||Alter||Größe||Schuhgröße||Bruttoeinkommen||Preis einer Ware||Kinderzahl||Geburtsjahr||Füllmenge
|}
</div>

{{Fortsetzung|weiter=Absolute und Relative Häufigkeiten|weiterlink=Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen

2022-10-14T05:48:39Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**quantitatives Merkmal
***metrisch diskrete Skala und
***metrisch stetige Skala,
**qualitatives Merkmal
***Ordinalskala und
***Nominalskala.
*Sie können die Begriffe
**quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala,
**quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala,
**qualitatives Merkmal mit Ordinalskala
**qualitatives Merkmal mit Nominalskala

:::im Sachzusammenhang erkennen und zuordnen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Um die statistische Erhebung auswerten zu können, müssen Merkmale mit ihren Merkmalsausprägungen weiter unterschieden werden.Man unterscheidet zwischen

::'''qualitativen''' und
::'''quantitativen''' Merkmalen.

;Quantitative Merkmale

Bei quantitativen Merkmalen lassen sich die Merkmalsausprägungen durch

::Zahlen oder
::Größenwerte

ausdrücken und in einer '''metrischen Skala''' anordnen. Mit quantitativen Merkmalen sollten einfache Rechenoperationen sinnvoll möglich sein.

Eine metrische Skala wird noch nach Art der vorkommenden Zahlen oder Größenwerte unterscheiden. Man nennt eine metrische Skala ''' metrisch diskret''', wenn nur ganze Zahlen (z. B. Personen) als Merkmalsausprägungen zugelassen sind. Können auch Dezimalzahlen als Merkmalsausprägung vorkommen, so nennt man die Skala '''metrisch stetig''' (alle Zahlen, z. B. Temperatur, Gewicht).

;Qualitative Merkmale

Qualitative Merkmale sind entweder Texte oder Zahlwerte, mit denen man aber keine sinnvollen Rechnungen ausführen kann.

Sie werden noch einmal unterschieden in solche, bei denen die Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge ('''ordinale Skala''') gebracht werden können, und in jene, bei denen die Merkmalsausprägungen nicht abgestuft werden können ('''nominale Skala''').


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="8" |<u>'''Beispiele:'''</u>
#Das Merkmal "Lieblingsfarbe" kann verschiedene Merkmalsausprägungen annehmen, z. B. rot, blau, gelb, grün, ... Es handelt sich um ein qualitatives Merkmal und die verschiedenen Farben lassen sich nicht in eine natürliche Reihenfolge bringen, also handelt es sich bei der zugehörigen Skala um eine Nominalskala.
#Das Merkmal "Interesse am Fach Deutsch" kann die Merkmalsausprägungen "hoch", "eher hoch", "eher gering" und "gering" annehmen. Auch hier handelt es sich um ein qualitatives Merkmal, aber diesmal mit Ordinalskala, da die einzelnen Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden können.
#Das Merkmal "Anzahl der Tische im Klassenraum" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala, da es keine halben Tische gibt.
#Das Merkmal "Körpergröße in m" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala, da auch Größen wie 1,88 m erfasst werden müssen.
#Besonders schwierig ist es die Ausprägungen des Merkmals "Note in Mathematik" genau einzuordnen. Man könnte meinen, es handele sich um ein quantitatives Merkmal, da ja jeder Lehrer z. B. die Durchschnittsnote, die in der letzten Klassenarbeit erzielt wurde, an die Tafel schreibt, also mit den Noten rechnet. Das hat sich so eingebürgert und funktioniert auch irgendwie, ist aber mathematisch eher fragwürdig. Denn gut und sehr gut ergibt nicht befriedigend, oder? Anders bei der Anzahl von Stühlen: hat man einen Stuhl und stellt noch zwei dazu, dann hat man insgesamt drei Stühle. <br>Also handelt es sich bei dem Merkmal "Note in Mathematik" um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala, da die verschiedenen Merkmalsausprägungen einer natürlichen Ordnung genügen.
|}



[[Datei:Uebersicht Merkmale.PNG|ohne]]

<br />
<br />

{{Box|1=Merke|2=Man unterscheidet in
* <span style="background:yellow">quantitative Merkmale</span>, deren Merkmalsausprägungen aus Zahlen oder Größenwerten bestehen
** mit <span style="background:yellow">metrisch diskreter Skala</span> (nur ganze Zahlen)
** mit <span style="background:yellow">metrisch stetiger Skala</span> (alle Kommazahlen)
* <span style="background:yellow">qualitative Merkmale</span>, deren Merkmalausprägungen in Textform oder als Zahlwerte (ohne mögliche sinnvolle Rechenoperationen) gegeben sind
** mit <span style="background:yellow">Ordinalskala</span> (die Merkmalsausprägungen lassen sich in eine natürliche Reihenfolge bringen)
** mit <span style="background:yellow">Nominalskala</span> (die Merkmalsausprägungen haben keine Wertigkeit)|3=Merke}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 4'''<br /></u>

Jetzt werden die Merkmale "Alter", "Geschlecht", "Lieblingseissorte" und "Durchschnittliche Anzahl an Eiskugeln" im Hinblick auf ihre Art und die zugehörige Skala untersucht:
|-

! style="text-align:left;" |Merkmal!! style="text-align:left;" |Merkmalsausprägungen!! style="text-align:left;" |Art des Merkmals!! style="text-align:left;" |Skala
|-
|Alter||0; 1; 2;...;100||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-
|Geschlecht||m, w||qualitativ||Nominalskala
|-
|Qualität der Eisdiele||sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend||qualitativ||Ordinalskala
|-
|Lieblingseis
||Himbeere, Vanille, Erdbeere, Pfefferminz, Schokolade, Zitrone, Mango, Jogurt, Nuss||qualitativ||Nominalskala
|-
|Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln||1, 2, 3, 4, 5||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man das Merkmal "Geschlecht" so lauten die ersten Beobachtungswerte

::<math>a_1=w; a_2=w; a_3=w; a_4=w; a_5=m;</math> ...

Es gibt <math>n=30</math> Beobachtungswerte <math>a_i</math>, aber nur zwei verschiedene Merkmalsausprägungen <math>x_i</math>. Jetzt legt man (beliebig) fest:

::<math>x_1=m</math> und <math>x_2=w</math>
|}


{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem dritten Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
{{Aufgabe|
Testen Sie Ihr Wissen und lösen Sie das Quiz. Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten! }}

<div class="multiplechoice-quiz">
Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala? (Noten in einer Klassenarbeit) (Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze)

Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Nominalskala? (Haustier) (Wunschtitel)(Geschlecht) (Hobby) (Lieblingsfarbe) (Beruf) (Konfession) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreten Skala? (Alter in Jahren) (Gehalt in vollen EUR) (Anzahl Sitzplätze) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (!Sehstärke in Dioptrien) (!Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (!Temperatur in Grad Celsius) (!Wasserpegel der Ruhr in Hattingen)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetigen Skala? (Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (Sehstärke in Dioptrien) (Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (Temperatur in Grad Celsius) (Wasserpegel der Ruhr in Hattingen) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt in vollen EUR) (!Anzahl Sitzplätze)
</div>

'''Ordnen Sie die Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Qualitative Merkmale||Haarfarbe||Schulform||Familienstand||Lieblingsessen||Hobby||Autofarbe||Augenfarbe||Konfession||Berufswunsch||Staatsangehörigkeit
|-
|Quantitative Merkmale||Alter||Größe||Schuhgröße||Bruttoeinkommen||Preis einer Ware||Kinderzahl||Geburtsjahr||Füllmenge
|}
</div>

{{Fortsetzung|weiter=Absolute und Relative Häufigkeiten|weiterlink=Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen

2022-10-14T05:45:59Z

Buss-Haskert: Klammern entfernt

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**quantitatives Merkmal
***metrisch diskrete Skala und
***metrisch stetige Skala,
**qualitatives Merkmal
***Ordinalskala und
***Nominalskala.
*Sie können die Begriffe
**quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala,
**quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala,
**qualitatives Merkmal mit Ordinalskala
**qualitatives Merkmal mit Nominalskala

:::im Sachzusammenhang erkennen und zuordnen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Um die statistische Erhebung auswerten zu können, müssen Merkmale mit ihren Merkmalsausprägungen weiter unterschieden werden.Man unterscheidet zwischen

::'''qualitativen''' und
::'''quantitativen''' Merkmalen.

;Quantitative Merkmale

Bei quantitativen Merkmalen lassen sich die Merkmalsausprägungen durch

::Zahlen oder
::Größenwerte

ausdrücken und in einer '''metrischen Skala''' anordnen. Mit quantitativen Merkmalen sollten einfache Rechenoperationen sinnvoll möglich sein.

Eine metrische Skala wird noch nach Art der vorkommenden Zahlen oder Größenwerte unterscheiden. Man nennt eine metrische Skala ''' metrisch diskret''', wenn nur ganze Zahlen (z. B. Personen) als Merkmalsausprägungen zugelassen sind. Können auch Dezimalzahlen als Merkmalsausprägung vorkommen, so nennt man die Skala '''metrisch stetig''' (alle Zahlen, z. B. Temperatur, Gewicht).

;Qualitative Merkmale

Qualitative Merkmale sind entweder Texte oder Zahlwerte, mit denen man aber keine sinnvollen Rechnungen ausführen kann.

Sie werden noch einmal unterschieden in solche, bei denen die Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge ('''ordinale Skala''') gebracht werden können, und in jene, bei denen die Merkmalsausprägungen nicht abgestuft werden können ('''nominale Skala''').


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="8" |<u>'''Beispiele:'''</u>
#Das Merkmal "Lieblingsfarbe" kann verschiedene Merkmalsausprägungen annehmen, z. B. rot, blau, gelb, grün, ... Es handelt sich um ein qualitatives Merkmal und die verschiedenen Farben lassen sich nicht in eine natürliche Reihenfolge bringen, also handelt es sich bei der zugehörigen Skala um eine Nominalskala.
#Das Merkmal "Interesse am Fach Deutsch" kann die Merkmalsausprägungen "hoch", "eher hoch", "eher gering" und "gering" annehmen. Auch hier handelt es sich um ein qualitatives Merkmal, aber diesmal mit Ordinalskala, da die einzelnen Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden können.
#Das Merkmal "Anzahl der Tische im Klassenraum" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala, da es keine halben Tische gibt.
#Das Merkmal "Körpergröße in m" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala, da auch Größen wie 1,88 m erfasst werden müssen.
#Besonders schwierig ist es die Ausprägungen des Merkmals "Note in Mathematik" genau einzuordnen. Man könnte meinen, es handele sich um ein quantitatives Merkmal, da ja jeder Lehrer z. B. die Durchschnittsnote, die in der letzten Klassenarbeit erzielt wurde, an die Tafel schreibt, also mit den Noten rechnet. Das hat sich so eingebürgert und funktioniert auch irgendwie, ist aber mathematisch eher fragwürdig. Denn gut und sehr gut ergibt nicht befriedigend, oder? Anders bei der Anzahl von Stühlen: hat man einen Stuhl und stellt noch zwei dazu, dann hat man insgesamt drei Stühle. <br>Also handelt es sich bei dem Merkmal "Note in Mathematik" um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala, da die verschiedenen Merkmalsausprägungen einer natürlichen Ordnung genügen.
|}



[[Datei:Uebersicht Merkmale.PNG|ohne]]

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<br />

{{Merke|Man unterscheidet in
* <span style="background:yellow">quantitative Merkmale</span>, deren Merkmalsausprägungen aus Zahlen oder Größenwerten bestehen
** mit <span style="background:yellow">metrisch diskreter Skala</span> (nur ganze Zahlen)
** mit <span style="background:yellow">metrisch stetiger Skala</span> (alle Kommazahlen)
* <span style="background:yellow">qualitative Merkmale</span>, deren Merkmalausprägungen in Textform oder als Zahlwerte (ohne mögliche sinnvolle Rechenoperationen) gegeben sind
** mit <span style="background:yellow">Ordinalskala</span> (die Merkmalsausprägungen lassen sich in eine natürliche Reihenfolge bringen)
** mit <span style="background:yellow">Nominalskala</span> (die Merkmalsausprägungen haben keine Wertigkeit)}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 4'''<br /></u>

Jetzt werden die Merkmale "Alter", "Geschlecht", "Lieblingseissorte" und "Durchschnittliche Anzahl an Eiskugeln" im Hinblick auf ihre Art und die zugehörige Skala untersucht:
|-

! style="text-align:left;" |Merkmal!! style="text-align:left;" |Merkmalsausprägungen!! style="text-align:left;" |Art des Merkmals!! style="text-align:left;" |Skala
|-
|Alter||0; 1; 2;...;100||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-
|Geschlecht||m, w||qualitativ||Nominalskala
|-
|Qualität der Eisdiele||sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend||qualitativ||Ordinalskala
|-
|Lieblingseis
||Himbeere, Vanille, Erdbeere, Pfefferminz, Schokolade, Zitrone, Mango, Jogurt, Nuss||qualitativ||Nominalskala
|-
|Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln||1, 2, 3, 4, 5||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man das Merkmal "Geschlecht" so lauten die ersten Beobachtungswerte

::<math>a_1=w; a_2=w; a_3=w; a_4=w; a_5=m;</math> ...

Es gibt <math>n=30</math> Beobachtungswerte <math>a_i</math>, aber nur zwei verschiedene Merkmalsausprägungen <math>x_i</math>. Jetzt legt man (beliebig) fest:

::<math>x_1=m</math> und <math>x_2=w</math>
|}


{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem dritten Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
{{Aufgabe|
Testen Sie Ihr Wissen und lösen Sie das Quiz. Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten! }}

<div class="multiplechoice-quiz">
Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala? (Noten in einer Klassenarbeit) (Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze)

Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Nominalskala? (Haustier) (Wunschtitel)(Geschlecht) (Hobby) (Lieblingsfarbe) (Beruf) (Konfession) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreten Skala? (Alter in Jahren) (Gehalt in vollen EUR) (Anzahl Sitzplätze) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (!Sehstärke in Dioptrien) (!Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (!Temperatur in Grad Celsius) (!Wasserpegel der Ruhr in Hattingen)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetigen Skala? (Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (Sehstärke in Dioptrien) (Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (Temperatur in Grad Celsius) (Wasserpegel der Ruhr in Hattingen) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt in vollen EUR) (!Anzahl Sitzplätze)
</div>

'''Ordnen Sie die Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Qualitative Merkmale||Haarfarbe||Schulform||Familienstand||Lieblingsessen||Hobby||Autofarbe||Augenfarbe||Konfession||Berufswunsch||Staatsangehörigkeit
|-
|Quantitative Merkmale||Alter||Größe||Schuhgröße||Bruttoeinkommen||Preis einer Ware||Kinderzahl||Geburtsjahr||Füllmenge
|}
</div>

{{Fortsetzung|weiter=Absolute und Relative Häufigkeiten|weiterlink=Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten}}

{{Beschreibende Statistik}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub

2022-06-03T14:48:43Z

Buss-Haskert:

{{Box|Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Dieser Lernpfad umfasst die gesamte Unterrichtsreihe zum Thema Lineare Funktionen. Er ist entstanden an der Herta-Lebenstein-Realschule in Stadtlohn.<br>
Der Lernpfad umfasst die nachfolgenden Kapitel.|Lernpfad}}

{{Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}

In diesem Lernpfad erarbeitest du das Wissen über das Thema "Lineare Funktionen" mit Anwendungen aus dem Aktiv-Urlaub. Bearbeite die Aufgaben gewissenhaft, übertrage Hefteinträge in dein Heft und stelle Fragen, falls du Probleme hast.<br>
Und nun: Auf die Plätze - fertig - los!

=="Lineare Funktionen" im Aktiv-Urlaub==

Dazu beginnen wir mit einem Fitness-Test (das Vorwissen)

===0) Vorwissen===

Bearbeite die Aufgaben in der Tabelle:

{| class="wikitable"

|+Wo stehe ich?
!Du kannst
!Übungen online
|-
| -Koordinaten in ein Koordinatensystem
ablesen und eintragen
{{Lösung versteckt|https://youtu.be/osDZGgnrklQ| Punkte im Koordinatenkreuz|Verbergen}}
|{{LearningApp|app=pzpujtmna20|width=100%|height=200px}}
|-
| -aus Grafen Informationen ablesen und
passende Grafen zu Sachsituationen zeichen
|{{LearningApp|app=pzuqpn7mk20|width=100%|height=200px}}
|-
| -proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen
erkennen und den Dreisatz anwenden
|{{LearningApp|app=pux6bddxc19|width=100%|height=200px}}
|-
| -bei proportionalen und umgekehrt proportionalen
Zuordnungen den Dreisatz anwenden
|{{LearningApp|app=1832420|width=100%|height=200px}}
|}

<br>
<br>

===Fitnesstest - Darstellungsformen von Zuordnungen===

Um die '''Darstellungsformen''' von Zuordnungen zu wiederholen führe folgenden Fitnesstest durch.

Steige so schnell wie möglich auf einen Stuhl hoch und wieder herunter. Dauer: 1 Minute. Danach miss 15 Sekunden lang deinen Puls und notiere den Wert in der Tabelle.

Tipp zur Pulsmessung: 15 Sekunden messen, diesen Wert mit 4 multiplizieren ergibt dann die Schläge pro Minute ("beats per Minute bpm)

{| class="wikitable"
!Zeit
in Minuten
!0
!0,5
!1
!1,5
!2
!2,5
!3
|-
|Puls
in bpm
|
|
|
|
|
|
|
|}

{{Box|Darstellungsform Schaubild|a) Stelle deine Ergebnisse nun in einem Schaubild dar.

b) Darfst du die einzelnen Punkte zu einer Linie verbinden?

c) Beschreibe den Verlauf des Graphen. |Üben}}

Zusammenfassung:

Nun hast du die Darstellungsformen von Zuordnungen wiederholt.

[[Datei:Darstellungsformen von Zuordnungen.png|800px|center]]

{{Box|Wie fit bist du?| Die Pulswerte, die du ermittelt hast, heißen Ruhepuls, Belastungspuls und Erholungspuls. Informiere dich über die Bedeutung dieser Namen und schreibe einen kurzen Text über deine Fitness.|Üben}}

Jetzt bist du fit für den Aktivurlaub!

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Analysis]]

{{Fortsetzung|weiter=1) Zuordnungen und Funktionen|weiterlink=Lineare Funktionen im_Aktiv-Urlaub/Zuordnungen und Funktionen}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub

2022-06-02T21:47:17Z

Buss-Haskert:

{{Box|Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Dieser Lernpfad umfasst die gesamte Unterrichtsreihe zum Thema Lineare Funktionen. Er ist entstanden an der Herta-Lebenstein-Realschule in Stadtlohn.<br>
Der Lernpfad umfasst die nachfolgenden Kapitel.|Lernpfad}}

{{Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}

In diesem Lernpfad erarbeitest du das Wissen über das Thema "Lineare Funktionen" mit Anwendungen aus dem Aktiv-Urlaub. Bearbeite die Aufgaben gewissenhaft, übertrage Hefteinträge in dein Heft und stelle Fragen, falls du Probleme hast.<br>
Und nun: Auf die Plätze - fertig - los!

=="Lineare Funktionen" im Aktiv-Urlaub==

Dazu beginnen wir mit einem Fitness-Test (das Vorwissen)

===0) Vorwissen===

Bearbeite die Aufgaben in der Tabelle:

{| class="wikitable"

|+Wo stehe ich?
!Du kannst
!Übungen online
|-
| -Koordinaten in ein Koordinatensystem
ablesen und eintragen
{{Lösung versteckt|https://youtu.be/osDZGgnrklQ| Punkte im Koordinatenkreuz|Verbergen}}
|{{LearningApp|app=pzpujtmna20|width=100%|height=200px}}
|-
| -aus Grafen Informationen ablesen und
passende Grafen zu Sachsituationen zeichen
|{{LearningApp|app=pzuqpn7mk20|width=100%|height=200px}}
|-
| -proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen
erkennen und den Dreisatz anwenden
|{{LearningApp|app=pux6bddxc19|width=100%|height=200px}}
|-
| -bei proportionalen und umgekehrt proportionalen
Zuordnungen den Dreisatz anwenden
|{{LearningApp|app=1832420|width=100%|height=200px}}
|}

Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!
<br>
<br>

===Fitnesstest - Darstellungsformen von Zuordnungen===

Um die '''Darstellungsformen''' von Zuordnungen zu wiederholen führe folgenden Fitnesstest durch.

Steige so schnell wie möglich auf einen Stuhl hoch und wieder herunter. Dauer: 1 Minute. Danach miss 15 Sekunden lang deinen Puls und notiere den Wert in der Tabelle.

Tipp zur Pulsmessung: 15 Sekunden messen, diesen Wert mit 4 multiplizieren ergibt dann die Schläge pro Minute ("beats per Minute bpm)

{| class="wikitable"
!Zeit
in Minuten
!0
!0,5
!1
!1,5
!2
!2,5
!3
|-
|Puls
in bpm
|
|
|
|
|
|
|
|}

{{Box|Darstellungsform Schaubild|a) Stelle deine Ergebnisse nun in einem Schaubild dar.

b) Darfst du die einzelnen Punkte zu einer Linie verbinden?

c) Beschreibe den Verlauf des Graphen. |Üben}}

Zusammenfassung:

Nun hast du die Darstellungsformen von Zuordnungen wiederholt.

[[Datei:Darstellungsformen von Zuordnungen.png|800px|center]]

{{Box|Wie fit bist du?| Die Pulswerte, die du ermittelt hast, heißen Ruhepuls, Belastungspuls und Erholungspuls. Informiere dich über die Bedeutung dieser Namen und schreibe einen kurzen Text über deine Fitness.|Üben}}

Jetzt bist du fit für den Aktivurlaub!

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Analysis]]

{{Fortsetzung|weiter=1) Zuordnungen und Funktionen|weiterlink=Lineare Funktionen im_Aktiv-Urlaub/Zuordnungen und Funktionen}}

Lernpfade Realschule NRW

2022-05-29T17:30:56Z

Buss-Haskert:

<div class="rahmen">[[Datei:Schullogo HLR.jpg|links|100x100px]]<span style="font-size:28pt;">Lernpfade</span>

<span style="font-size:14pt;">'''Lernpfade Mathematik Herta-Lebenstein-Realschule'''</span>

An der Herta-Lebenstein-Realschule sind zu (fast) allen Unterrichtsreihen Lernpfade im ''' [https://projekte.zum.de/wiki/Hauptseite ZUM-Projekte erstellt] '''worden.
Mit diesen Lernpfaden können die Schülerinnen und Schüler eigenverantwortlich arbeiten. Inhalte können selbst erarbeitet, geübt und gefestigt werden. Besonderer Wert wird auf die Selbstkontrolle der Lernenden gelegt. Dies geschieht z. B. durch die Integration von interaktiven Applets, Lernspielen oder durch versteckte Lösungen. Die Übungen zum Schulbuch beziehen sich auf das Schulbuch "Schnittpunkt Mathematik - Differenzierende Ausgabe" aus dem Klett-Verlag.<br>
<br>
Link zu den Lernpfaden der Herta-Lebenstein-Realschule im ZUM-Projektwiki:

'''[https://projekte.zum.de/wiki/Herta-Lebenstein-Realschule Lernpfade der Herta-Lebenstein-Realschule im Projektwiki] '''</div>

Die nachfolgenden Links führen zu abgeänderten Lernpfaden, die unabhängig vom Schulbuch sind.

'''Klasse 5'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [[Römische Zahlzeichen| Römische Zahlzeichen]]
|Farbe= #00008B
}}

'''Klasse 6'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/ Bruchteile & Bruchzahlen greifen & begreifen (tum.de) ] <br>
<small> Entwickelt wurde das Buch an der TUM School of Education und der Fakultät Mathematik der Technischen Universität München.</small>
|Farbe= #00008B
}}

'''Klasse 8'''<br>
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub]]
|Farbe= #00008B
}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Lernpfade Realschule NRW

2022-05-29T17:29:56Z

Buss-Haskert:

<div class="rahmen">[[Datei:Schullogo HLR.jpg|links|100x100px]]<span style="font-size:28pt;">Lernpfade</span>

<span style="font-size:14pt;">'''Lernpfade Mathematik Herta-Lebenstein-Realschule'''</span>

An der Herta-Lebenstein-Realschule sind zu (fast) allen Unterrichtsreihen Lernpfade im ''' [https://projekte.zum.de/wiki/Hauptseite ZUM-Projekte erstellt] '''worden.
Mit diesen Lernpfaden können die Schülerinnen und Schüler eigenverantwortlich arbeiten. Inhalte können selbst erarbeitet, geübt und gefestigt werden. Besonderer Wert wird auf die Selbstkontrolle der Lernenden gelegt. Dies geschieht z. B. durch die Integration von interaktiven Applets, Lernspielen oder durch versteckte Lösungen. Die Übungen zum Schulbuch beziehen sich auf das Schulbuch "Schnittpunkt Mathematik - Differenzierende Ausgabe" aus dem Klett-Verlag.<br>
<br>
Link zu den Lernpfaden der Herta-Lebenstein-Realschule im ZUM-Projektwiki:

'''[https://projekte.zum.de/wiki/Herta-Lebenstein-Realschule Lernpfade der Herta-Lebenstein-Realschule im Projektwiki] '''</div>

Die nachfolgenden Links führen zu abgeänderten Lernpfaden, die unabhängig vom Schulbuch sind.

'''Klasse 5'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [[Römische Zahlzeichen| Römische Zahlzeichen]]
|Farbe= #00008B
}}

'''Klasse 6'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/Bruchteile & Bruchzahlen greifen & begreifen (tum.de) ] <br>
<small> der TUM School of Education und der Fakultät Mathematik der Technischen Universität München.</small>
|Farbe= #00008B
}}

'''Klasse 8'''<br>
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub]]
|Farbe= #00008B
}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Zuordnungen und Funktionen

2022-05-27T15:41:08Z

Buss-Haskert: App ergänzt

{{Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}

==Was ist eine Funktion?==

Du hast den Fitnesstest "Stuhl hochsteigen" durchgeführt. Hier wird jedem Zeitpunkt '''genau ein''' Pulswert zugeordnet. Eine solche '''eindeutige Zuordnung''' heißt '''Funktion'''.

<br />

{{Box|Merke|Eine <b>Funktion</b> ist eine <b>eindeutige</b> Zuordnung.|Merksatz
}}

{{#ev:youtube|nFA8l3-0IXg}}

Funktionen können (ebenso wie Zuordnungen) auf verschieden Arten dargestellt werden:
<br />[[Datei:Darstellungformen Funktionen.png|Darstellung von Funktionen|zentriert|800x800px]]<br>

Die Bedeutung des Begriffes "Funktion" und die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen werden in den nachfolgenden Aufgaben geübt.
<br />

{{Box|Übung 1: Darstellung als Wortvorschrift|Handelt es sich bei der Zuordnung um eine Funktion? (Wird jedem Wert aus dem ersten Bereich <b>genau ein</b> Wert aus dem zweiten Bereich zugeordnet?)|Üben}}
{{LearningApp|app=pwjqaikhc20|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 2: Darstellung als Graph/Schaubild|Handelt es sich bei der graphischen Darstellung um eine Funktion?|Üben}}
{{LearningApp|app=2728348|width=100%|height=400px}}

{{Box|Wertetabelle erstellen|Das nachfolgende Video zeigt dir, wie du zu einer Funktionsgleichung (Funktionsvorschrift) eine Wertetabelle erstellst. Bearbeite anschließend die nachfolgende Übung.|Kurzinfo}}
{{#ev:youtube|dLfPBJgHgC4|800|center|||start=0&end=907}}

{{Box|Übung 3: Darstellung als Funktionsvorschrift, Funktionsgleichung und als Wertetabelle|Ordne den Texten die zugehörigen Funktionsgleichungen und Wertetabellen zu.|Üben}}
{{LearningApp|app=p6qvi0bqk20|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 4: Funktionsgleichung, Wertetabelle und Funktionsgraph|Ordne den Funktionsgleichungen jeweils die Wertetabellen und die Graphen zu.|Üben}}
{{LearningApp|app=pez73bxjj20|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 5 - Darstellung von Funktionen|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben
* 1
* 2
* 3|Üben}}

{{Box|Übung 6 - Wandern im Aktiv-Urlaub| Ordne den Graphen die passende Wandererzählung zu. Handelt es sich je um eine Funktion? |Üben}}
{{LearningApp|app=pj5i0y9kk20|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 7: Der Aktivurlaub geht weiter ... - Texte und Graphen|Anton und Lutz machen einen Wettlauf. Bearbeite das nachfolgende Quiz.|Üben}}<br>
<div class="multiplechoice-quiz">
[[Datei:Anton und Lutz Wettlauf.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
Wie lange hat Anton für den 100m Lauf gebraucht? (!12s) (!12min) (14s) (!14min)

Anton überholt Lutz zweimal. (!wahr) (falsch)

Anton überholt Lutz dreimal. (!wahr) (falsch)

Lutz überholt Anton zweimal. (wahr) (!falsch)

Anton hat einmal kurz angehalten. (wahr) (!falsch)

Wer gewinnt diesen Wettlauf? (!Anton) (Lutz)

</div>
{{Box|Übung 8 - Fahrradtour Domino|Bringe die Dominokarten in die richtige Reihenfolge. Beginne links oben.|Üben}}
{{LearningApp|app=pof17h8ra22|width=100%|height=600px}}

{{Box|Nur für Profis: Zeit-Orts-Diagramme in der Physik|Löse auf der Seite Leifi-Physik das Quiz zu Zeit-Orts-Diagrammen. Dein Wissen aus den Aufgaben 8 - 10 wird dir helfen.
* [https://www.leifiphysik.de/mechanik/lineare-bewegung-gleichungen/aufgabe/quiz-zu-zeit-orts-diagrammen '''Quiz zu Zeit-Orts-Diagrammen''']|Üben}}

{{Fortsetzung|weiter=2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Lineare Funktionen erkennen und darstellen}}

[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Funktion]]
[[Kategorie:LearningApps]]

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Anwendungen

2022-05-04T18:30:48Z

Buss-Haskert:

<br />
{{Navigation verstecken|[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub| Vorwissen zum Thema]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1) Zuordnungen und Funktionen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen| 2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen|2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}<br />

==2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen==
Es gibt Situationen in unserem Alltag, in denen sich Probleme oder Fragen mithilfe von linearen Funktionen beschreiben und lösen lassen. Solche Aufgaben nennen wir "Anwendungsaufgaben". Die Alltagssituation wird in ein mathematisches Modell übertragen, mit unserem Wissen zu den linearen Funktionen mathematisch gelöst und diese Lösung dann auf die Situation bezogen. Die nachfolgende Struktur hilft dir dabei:
{{Box|Anwendungsaufgaben lösen|[[Datei:Modellieren im Mathematikunterricht.png|rahmenlos|300x300px]]1. Notiere, was gegeben und was gesucht ist, also

geg:...

ges:...

2. Welche mathematischen Informationen habe ich?

- y-Achsenabschnitt

- Steigung

- Nullstelle

- einen beliebigen Punkt

3. Löse die Aufgabe mit deinem Wissen über lineare Funktionen.

- Funktionsgleichung aufstellen

- Schaubild/Graph zeichnen

- Koordinaten von Punkte berechnen

4. Beziehe deine mathematische Lösung auf die Alltagssituation und formuliere einen Antwortsatz.|Merksatz}}
{{Box|Übung 1: Was ist mathematisch gesucht?|Bearbeite die folgende LearningApp.|Üben}}
{{LearningApp| app = psa3cgk3n21| width = 100%| height = 400px}}
{{Box|Übung 2: Fahrradverleih|[[Datei:Fahrradverleih.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]
Du möchtest im Aktiv-Urlaub ein Fahrrad leihen.

a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.

b) Wie viel Euro musst du zahlen, wenn du das Fahrrad 3 Stunden ausleihst. Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.

c) Du hast 20 € zur Verfügung. Wie lange kannst du das Rad leihen? Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Die Zuordnung lautet Zeit [Stunden] <math>\rightarrow</math>Kosten [€]

x gibt also die Zeit an, f(x) die Kosten.|Tipp zu a)|Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Du leihst das Fahrrad für 3 Stunden, also ist x=3. Setze in der Funktionsgleichung für x die Zahl 3 ein und berechne f(3).|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Du hast 20€ zur Verfügung. Also ist y = 20€. Setze dies in die Funktionsgleichung ein und löse die Gleichung nach x auf.<br>
20 = 3x + 5|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 3: Fahrradtour|[[Datei:Fahrradtour Graph.png|mini]]
Mit den geliehenen Rädern unternehmen zwei Freunde und du eine Fahrradtour.

Um 9:00 Uhr geht es los.

a) Berechne mithilfe des Graphen die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der ihr unterwegs seid. Gib damit die Funktionsgleichung des Graphen an.

b) Um 9:30 Uhr ruft ein weiterer Freund an, ob er noch nachkommen kann. Schafft er es, euch bis 12:00 Uhr einzuholen, wenn er durchschnittlich 20 km/h fährt? Begründe anhand der Zeichnung und mit einer Rechnung.

c) Um 12:00 Uhr macht ihr eine Mittagspause. Wie muss der Graph dann verlaufen?|Üben
}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Lies am Graphen ab, wie viele Kilometer nach 1 Stunde (also bis 10:00 Uhr) zurückgelegt wurden. Dies ist die Steigung.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Pro Stunde werden 15 km zurückgelegt. Die Funktionsgleichung lautet daher f(x) = 15x, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt.|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}}|Tipps zu a)|Verbergen}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt| Zeichne das Schaubild in dein Heft und zeichne einen zweiten Graphen für den Freund ein. Beginne bei 9:30 Uhr und lege in 1 Stunde 20km zurück.|Tipp 1 zu b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Funktionsgleichung die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b.

Die Steigung der Funktion ist m = 20, denn in 1 Stunde werden 20 km zurückgelegt.

Der y-Achsenabschnitt beträgt -10, da der Freund 0,5 Stunden später startet, in denen er 10 km zurückgelegt hätte.

Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 20x-10, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt. |2=Tipp 2 zu b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt| 1= Der Punkt, wann die Freunde sich treffen, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Hier haben beide Gruppen dieselbe Strecke zurückgelegt, das heißt, sie sind gleich weit gefahren und müssen sich demnach treffen.

Um zu berechnen, wann die Freunde sich treffen, berechne also den Schnittpunkt der Gerden. An dieser Stelle x haben sie dieselben y-Werte, sie sind gleich weit gefahren. Es gilt y = 15x und y=20x-10.

Löse die Gleichung 15x = 20x-10 nach x auf.|2=Tipp 3 zu b)|3=Verbergen}}|Tipps zu b)|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Wenn ihr eine Pause macht, vergeht Zeit, es wird aber keine Strecke zurückgelegt, also verläuft der Graph parallel zur x-Achse.|Tipp zu c)|Verbergen}}{{Box|Übung 4: Tandemsprung|[[Datei:Skydiving-297103 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small> ]]
Ein weiteres Angebot im Aktiv-Urlaub ist ein Tandem-Fallschirmsprung. Nach dem Öffnen des Fallschirms misst du mit einem Höhenmesser jede Sekunde deine Höhe über dem Erdboden.
[[Datei:Skydiving Tabelle.png|center]]

a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.

b) Auf welche Höhe befindest du dich nach 6 Sekunden? Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.

c) Berechne die Nullstelle der Funktion und prüfe dein Ergebnis am Graphen. Welche Bedeutung hat die Nullstelle bezogen auf die Fallzeit und Fallhöhe?

d) Denke dir selbst eine Aufgabe zum Fallschirmsprung aus.|Üben
}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Beim Zeichnen des Graphen wähle für die x-Achse 1cm für 10 Sekunden und auf der y-Achse für 1cm für 100m.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Für die Funktionsgleichung benötigst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Wo findest du dies in der Wertetabelle?
Den y-Achsenabschnitt liest du bei x=0 ab.

Die Steigung m findest du so: Wenn du bei x eine Einheit nach rechts gehst, gehst du m Einheiten nach oben oder unten. Wie groß ist also die Steigung hier?|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= f(x) = mx + b; hier ist m = -8 und b = 490, also f(x) = -8x + 490.|2=Tipp 3 zu a)|3=Verbergen}}|Tipps zu a)|Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=geg: x=6 Sekunden; f(x) = -8x+490

ges: f(6)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse, also gilt f(x) = 0.
[[Datei:Graph Fallschirmsprung.png|mini|center]]|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}}{{Box|Übung 5|Löse Buch S.138 Nr. 14 "Tour der Leiden"|Üben
}}{{Lösung versteckt|1=Die Steigung berechnet sich immer mit m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math><br>

Berechne also den Höhenunterschied <math>\Delta </math>y und den Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x und bestimme damit die Steigung.|2=Tipp 1 zu Nr. 14|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Beispielrechnung: a)·Bourg-d’Oisans·nach·Pied·de·côte:

Höhenunterschied <math>\Delta </math>y = 740m – 720m = 20m;

Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x = 1,5km = 1500m;

also ist m = <math>\tfrac{20}{1500}</math> =0,013 = 1,3%|2=Tipp 2 zu Nr. 14|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Berechne die Gesamtsteigung, indem du den gesamten Höhenunterschied <math>\Delta </math>y durch die gesamte Streckenlänge, also den gesamten Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x dividierst.|Tipp zu Nr. 14 b)|Verbergen}}

{{Box|Übung 6:Fahrt in den Urlaub|Janas Familie fährt mit dem neuen Auto in den Urlaub. Auf dem Tacho stehen schon 30km als sie losfahren. Laut Routenplaner benötigen sie bei einer festen Durchschnittsgeschwindigkeit 6 Stunden.<br>
Ihr Vater sagt: „Am Ankunftsort werden 540 km auf dem Tacho stehen.“ <br>
Jana fragt sich, mit welcher festen Durchschnittsgeschwindigkeit der Routenplaner rechnet. <br>
[[Datei:Tacho Anwendung.jpg|rahmenlos|rechts|200x200px]]|Üben}}

{{Box|Übung 7: Günstig telefonieren im Urlaub|Seit Mitte 2017 gibt es keine Roaming-Gebühren in den EU-Ländern mehr. Da die Schweiz, in der Hannes und Paul Urlaub machen möchten, zu den Nicht-EU-Ländern gehört, müssen sie bei der Handynutzung aufpassen. <br>
Hannes findet im Internet drei verschiedene EU-Auslands-Sprach-Pakete für seinen Mobilfunkanbieter. Für welchen soll er sich entscheiden?
<table>
<tr>
<td>     </td>
<td>Tarif 1    </td>
<td>Tarif 2    </td>
<td>Tarif 3    </td>
</tr>
<tr>
<td>Grundgebühr    </td>
<td>-    </td>
<td>5€    </td>
<td>25€    </td>
</tr>
<tr>
<td>pro Minute    </td>
<td>0,60€    </td>
<td>0,40€    </td>
<td>-    </td>
</tr>
</table>|Üben}}

{{Lösung versteckt|Zusätzliche Kosten, die entstehen, wenn jemand im Ausland das Handy benutzt (Anrufe, SMS, Internetnutzung).|Was sind Roaming-Gebühren?|Verbergen}}{{Box|Übung 8:Ferienjob|[[Datei:Scooter-g0da7eca0b 1280.png|200px]]<br>
Linus möchte sich einen gebrauchten Roller im Wert von etwa 1500€ anschaffen. Dazu hat er bereits 500€ gespart. In den Sommerferien kann er einen Ferienjob annehmen. Für jede Arbeitsstunde bekommt Linus 9€ ausbezahlt. Die tägliche Arbeitszeit beträgt acht Stunden. <br>
#Reichen drei Arbeitswochen aus?
#Linus überlegt, ob er am Tag sieben Stunden arbeiten soll.|Üben}}

{{Fortsetzung|vorher=2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Wertetabelle und Funktionsgleichung

2022-05-04T18:30:08Z

Buss-Haskert:

<br />
{{Navigation verstecken|[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub| Vorwissen zum Thema]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1) Zuordnungen und Funktionen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen| 2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen|2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}<br />

==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==

===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===
Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) <br>
[[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png|rahmenlos|800x800px]]<br>

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}
{{Box|1=Übung 1: Wertetabelle erstellen|2=Erstelle eine Wertetabelle zu
* f(x) = 2,5x
* f(x) = -2x - 1|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
<br>

===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===

{{Box|Bootsverleih- Aufagbe 1|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus.

Kann das sein?|Meinung}}<br>
Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.

[[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]

{{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}
Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

<span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5    A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)

<span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5

10 = 6 + 5

10 = 11 '''(f)'''

Es ergibt sich eine '''falsche''' Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also '''liegt''' der Punkt '''nicht''' auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:

'''Punktprobe:'''

<span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5    B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>

<span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 '''(w)'''

Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div></div>
<br>
<br>
{{Box|Punktprobe| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.| 3 = Merksatz}}

{{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}
{{LearningApp| app = ppkr9n4sj20| width = 100%| height = 800px}}
<br>
<br>

===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===

{{Box|Bootsverleih - Aufgabe 2|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. <br>
a) Wie viel müssen sie bezahlen?<br>
b) Sie bezahlen 10€. Wie lange haben sie das Boot ausgeliehen?|Meinung}}
Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''

geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5

<span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5

= 3 + 5

   = <span style="color:blue">8</span> P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)

Sie müssen 8€ bezahlen.

'''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?

geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehörige x-Koordinate

Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

f(x) = 2x + 5

<span style="color:blue">10</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 |-5

5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2

2,5 = <span style="color:red">x</span>           P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
<br />
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div></div>
<br>
{{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}}
{{LearningApp| app = pz6auqgia20| width = 100%| height = 600px}}

{{Box|Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse auf der Seite realmath jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/liegtpaufg.php Level 1]
*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/koordberechnen.php Level 2]|Üben}}

<br />

===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===

{{Box|1=Übung 5: Aufstellen der Funktionsgleichung|2=Bestimme die Funktionsgleichung.<br>
Die Gerade verläuft parallel zu f(x) = 2x + 1 und geht durch P(1|5).|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 2x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 2 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(1|5) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}<br />

===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===

{{Box|Pool - Aufgabe 3|[[Datei:Smartphone-g0b5325198 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.<br>
Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung}}
{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}
<br>
{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P<sub>y</sub> (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (x<sub>N</sub>I0)| 3 = Merksatz}}

[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]

{{LearningApp| app = pu8028csj20| width = 100%| height = 800px}}

{{Box|1=Übung 6: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.<br>
a) f(x) = -x+4<br>
b) f(x) = -0,5x + 5<br>
c) f(x) = <math>\tfrac{3}{2}</math>x + 3|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0 <br>
y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4 <br>
Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu c)|Verbergen}}
|Tipps|Verbergen}}

{{Fortsetzung|vorher=2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|weiter=2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Wertetabelle und Funktionsgleichung

2022-05-04T18:29:23Z

Buss-Haskert:

<br />
{{Navigation verstecken|[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub| Vorwissen zum Thema]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1) Zuordnungen und Funktionen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen| 2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen|2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}<br />

==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==

===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===
Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) <br>
[[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png|rahmenlos|800x800px]]<br>

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}
{{Box|1=Übung 1: Wertetabelle erstellen|2=Erstelle eine Wertetabelle zu
* f(x) = 2,5x
* f(x) = -2x - 1|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
<br>

===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===

{{Box|Bootsverleih- Aufagbe 1|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus.

Kann das sein?|Meinung}}<br>
Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.

[[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]

{{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}
Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

<span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5    A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)

<span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5

10 = 6 + 5

10 = 11 '''(f)'''

Es ergibt sich eine '''falsche''' Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also '''liegt''' der Punkt '''nicht''' auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:

'''Punktprobe:'''

<span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5    B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>

<span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 '''(w)'''

Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div></div>
<br>
<br>
{{Box|Punktprobe| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.| 3 = Merksatz}}

{{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}
{{LearningApp| app = ppkr9n4sj20| width = 100%| height = 800px}}
<br>
<br>

===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===

{{Box|Bootsverleih - Aufgabe 2|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. <br>
a) Wie viel müssen sie bezahlen?<br>
b) Sie bezahlen 10€. Wie lange haben sie das Boot ausgeliehen?|Meinung}}
Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''

geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5

<span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5

= 3 + 5

   = <span style="color:blue">8</span> P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)

Sie müssen 8€ bezahlen.

'''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?

geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehörige x-Koordinate

Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

f(x) = 2x + 5

<span style="color:blue">10</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 |-5

5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2

2,5 = <span style="color:red">x</span>           P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
<br />
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div></div>
<br>
{{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}}
{{LearningApp| app = pz6auqgia20| width = 100%| height = 600px}}

{{Box|Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse auf der Seite realmath jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/liegtpaufg.php Level 1]
*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/koordberechnen.php Level 2]|Üben}}

<br />

===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===

{{Box|1=Übung 5: Aufstellen der Funktionsgleichung|2=Bestimme die Funktionsgleichung.<br>
Die Gerade verläuft parallel zu f(x) = 2x + 1 und geht durch P(1|5).|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 2x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 2 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(1|5) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}<br />

===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===

{{Box|Pool - Aufgabe 3|[[Datei:Smartphone-g0b5325198 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.<br>
Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung}}
{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}
<br>
{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P<sub>y</sub> (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (x<sub>N</sub>I0)| 3 = Merksatz}}

[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]

{{LearningApp| app = pu8028csj20| width = 100%| height = 800px}}

{{Box|1=Übung 6: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.<br>
a) f(x) = -x+4<br>
b) f(x) = -0,5x + 5<br>
c) f(x) = <math>\tfrac{3}{2}</math>x + 3|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0 <br>
y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4 <br>
Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu 7a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu 7b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu 7b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu 7c)|Verbergen}}
|Tipps|Verbergen}}

{{Fortsetzung|vorher=2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|weiter=2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Wertetabelle und Funktionsgleichung

2022-05-04T18:27:44Z

Buss-Haskert:

<br />
{{Navigation verstecken|[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub| Vorwissen zum Thema]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1) Zuordnungen und Funktionen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen| 2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen|2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}<br />

==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==

===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===
Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) <br>
[[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png|rahmenlos|800x800px]]<br>

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}
{{Box|1=Übung 1: Wertetabelle erstellen|2=Erstelle eine Wertetabelle zu
* f(x) = 2,5x
* f(x) = -2x - 1|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
<br>

===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===

{{Box|Bootsverleih- Aufagbe 1|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus.

Kann das sein?|Meinung}}<br>
Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.

[[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]

{{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}
Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

<span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5    A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)

<span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5

10 = 6 + 5

10 = 11 '''(f)'''

Es ergibt sich eine '''falsche''' Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also '''liegt''' der Punkt '''nicht''' auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:

'''Punktprobe:'''

<span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5    B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>

<span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 '''(w)'''

Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div></div>
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{{Box|Punktprobe| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.| 3 = Merksatz}}

{{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}
{{LearningApp| app = ppkr9n4sj20| width = 100%| height = 800px}}
<br>
<br>

===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===

{{Box|Bootsverleih - Aufgabe 2|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. <br>
a) Wie viel müssen sie bezahlen?<br>
b) Sie bezahlen 10€. Wie lange haben sie das Boot ausgeliehen?|Meinung}}
Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''

geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5

<span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5

= 3 + 5

   = <span style="color:blue">8</span> P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)

Sie müssen 8€ bezahlen.

'''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?

geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehörige x-Koordinate

Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

f(x) = 2x + 5

<span style="color:blue">10</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 |-5

5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2

2,5 = <span style="color:red">x</span>           P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
<br />
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div></div>
<br>
{{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}}
{{LearningApp| app = pz6auqgia20| width = 100%| height = 600px}}

{{Box|Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse auf der Seite realmath jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/liegtpaufg.php Level 1]
*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/koordberechnen.php Level 2]|Üben}}

<br />

===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===

{{Box|1=Übung 5: Aufstellen der Funktionsgleichung|2=Bestimme die Funktionsgleichung.<br>
Die Gerade verläuft parallel zu f(x) = 2x + 1 und geht durch P(1|5).|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 2x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 2 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(1|5) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}<br />

===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===

{{Box|Pool - Aufgabe 3|[[Datei:Smartphone-g0b5325198 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.<br>
Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung}}
{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}
<br>
{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P<sub>y</sub> (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (x<sub>N</sub>I0)| 3 = Merksatz}}

[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]

{{LearningApp| app = pu8028csj20| width = 100%| height = 800px}}

{{Box|1=Übung 7: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|2=Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.<br>
a) f(x) = -x+4<br>
b) f(x) = -0,5x + 5<br>
c) f(x) = <math>\tfrac{3}{2}</math>x + 3|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0 <br>
y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4 <br>
Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu 7a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu 7b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu 7b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu 7c)|Verbergen}}
|Tipps|Verbergen}}

{{Fortsetzung|vorher=2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|weiter=2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Wertetabelle und Funktionsgleichung

2022-05-04T18:18:50Z

Buss-Haskert:

<br />
{{Navigation verstecken|[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub| Vorwissen zum Thema]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1) Zuordnungen und Funktionen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen| 2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen|2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}<br />

==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==

===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===
Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) <br>
[[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png|rahmenlos|800x800px]]<br>

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}
{{Box|1=Übung 1: Wertetabelle erstellen|2=Erstelle eine Wertetabelle zu
* f(x) = 2,5x
* f(x) = -2x - 1|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
<br>

===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===

{{Box|Bootsverleih- Aufagbe 1|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus.

Kann das sein?|Meinung}}<br>
Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.

[[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]

{{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}
Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

<span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5    A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)

<span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5

10 = 6 + 5

10 = 11 '''(f)'''

Es ergibt sich eine '''falsche''' Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also '''liegt''' der Punkt '''nicht''' auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:

'''Punktprobe:'''

<span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5    B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>

<span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 '''(w)'''

Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div></div>
<br>
<br>
{{Box|Punktprobe| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.| 3 = Merksatz}}

{{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}
{{LearningApp| app = ppkr9n4sj20| width = 100%| height = 800px}}
<br>
<br>

===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===

{{Box|Bootsverleih - Aufgabe 2|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. <br>
a) Wie viel müssen sie bezahlen?<br>
b) Sie bezahlen 10€. Wie lange haben sie das Boot ausgeliehen?|Meinung}}
Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''

geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5

<span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5

= 3 + 5

   = <span style="color:blue">8</span> P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)

Sie müssen 8€ bezahlen.

'''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?

geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehörige x-Koordinate

Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

f(x) = 2x + 5

<span style="color:blue">10</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 |-5

5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2

2,5 = <span style="color:red">x</span>           P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
<br />
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div></div>
<br>
{{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}}

{{LearningApp| app = pz6auqgia20| width = 100%| height = 600px}}

{{Box|Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse nun S. 137 Nr. 8 und 9.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Denke daran: P(x/y) Der erste Wert gibt immer die x- und der zweite Wert die y-Koordinate an. Setze nun entweder x oder y in die Gleichung ein und berechne den fehlenden Wert.|Tipp zu Nr. 8|Tipp ausblenden}}{{Lösung versteckt|Hier findest du die Lösungen <u>bunt gemischt</u>: <br>
* fehlende x-Koordinate: 1; 5,5; 8
* fehlende y-Koordinate: -2; 7; 3|Lösung zu Nr. 8|Lösung ausblenden}}{{Lösung versteckt|1=Denke daran: P(x/y) Der erste Wert gibt immer die x- und der zweite Wert die y-Koordinate an. Setze nun die entsprechenden Werte für x und y in die Gleichung ein. <br>
* Erhältst du eine <u>wahre</u> Aussage, z.B. 5 = 5, so liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen. <br>
* Erhältst du eine <u>falsche</u> Aussage, z.B. 5 = 8, so liegt der Punkt <u>nicht</u> auf dem Funktionsgraphen.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Tipp ausblenden}}{{Lösung versteckt|Hier findest du die Lösungen: (nicht in der richtigen Reihenfolge) <br>
* Punkt A liegt einmal auf dem Graphen, zweimal nicht.
* Punkt B liegt einmal auf dem Graphen, zweimal nicht.
* Punkt C liegt zweimal auf dem Graphen, einmal nicht.|Lösungzu Nr. 9|Lösung ausblenden}}
{{Box|Übung 5: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse auf der Seite realmath jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/liegtpaufg.php Level 1]
*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/koordberechnen.php Level 2]|Üben}}

<br />

===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===

{{Box|Übung 6: Aufstellen der Funktionsgleichung|Löse S. 130 Nr. 9 (zeichnerisch UND rechnerisch) und S. 131 Nr. 13. Gegeben ist ein Punkt und die Steigung bzw. der y-Achsenabschnitt b. Wie kannst du vorgehen?|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:
Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Zu Nr. 9: Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}<br />

===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===

{{Box|Pool - Aufgabe 3|[[Datei:Smartphone-g0b5325198 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.<br>
Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung}}
{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}
<br>
{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P<sub>y</sub> (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (x<sub>N</sub>I0)| 3 = Merksatz}}
[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]
{{LearningApp| app = pu8028csj20| width = 100%| height = 800px}}
{{Box|Übung 7: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|Löse S. 137 Nr. 7|Üben}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0

y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4

Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu 7a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu 7b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu 7b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu 7c)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 0.25x-2.png]]|Funktionsgraph zu 7d)|Verbergen}}|Tipps zu S. 137 Nr. 7|Verbergen}}

{{Fortsetzung|vorher=2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|weiter=2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Wertetabelle und Funktionsgleichung

2022-05-04T18:18:26Z

Buss-Haskert:

<br />
{{Navigation verstecken|[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub| Vorwissen zum Thema]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1) Zuordnungen und Funktionen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen| 2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen|2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}<br />

==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==

===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===
Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse) <br>
[[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png|rahmenlos|800x800px]]<br>

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}
{{Box|Übung 1: Wertetabelle erstellen|Erstelle eine Wertetabelle zu
* f(x) = 2,5x
* f(x) = -2x - 1|Üben}}
{{Lösung versteckt|Setze für x schrittweise die Zahlen -3; -2; ...; 2; 3 ein und berechne den zugehörigen y-Wert|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichungen bei GeoGebra ein und prüfe, ob die von dir errechneten Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zur Kontrolle der Lösung|Verbergen}}
<br>

===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===

{{Box|Bootsverleih- Aufagbe 1|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rahmenlos|rechts|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus.

Kann das sein?|Meinung}}<br>
Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.

[[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]

{{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage}}
Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

<span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5    A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)

<span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5

10 = 6 + 5

10 = 11 '''(f)'''

Es ergibt sich eine '''falsche''' Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also '''liegt''' der Punkt '''nicht''' auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:

'''Punktprobe:'''

<span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5    B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>

<span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 '''(w)'''

Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div></div>
<br>
<br>
{{Box|Punktprobe| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.| 3 = Merksatz}}

{{Box|Übung 2: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben}}
{{LearningApp| app = ppkr9n4sj20| width = 100%| height = 800px}}
<br>
<br>

===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===

{{Box|Bootsverleih - Aufgabe 2|[[Datei:Boat-g79745909a 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.<br>
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. <br>
a) Wie viel müssen sie bezahlen?<br>
b) Sie bezahlen 10€. Wie lange haben sie das Boot ausgeliehen?|Meinung}}
Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''

geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne: f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5

<span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5

= 3 + 5

   = <span style="color:blue">8</span> P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)

Sie müssen 8€ bezahlen.

'''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?

geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehörige x-Koordinate

Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

f(x) = 2x + 5

<span style="color:blue">10</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 |-5

5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2

2,5 = <span style="color:red">x</span>           P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.
<br />
<div class="grid"><div class="width-1-2">Zusammenfassung:{{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div><div class="width-1-2">noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div></div>
<br>
{{Box|Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben}}

{{LearningApp| app = pz6auqgia20| width = 100%| height = 600px}}

{{Box|Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse nun S. 137 Nr. 8 und 9.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Denke daran: P(x/y) Der erste Wert gibt immer die x- und der zweite Wert die y-Koordinate an. Setze nun entweder x oder y in die Gleichung ein und berechne den fehlenden Wert.|Tipp zu Nr. 8|Tipp ausblenden}}{{Lösung versteckt|Hier findest du die Lösungen <u>bunt gemischt</u>: <br>
* fehlende x-Koordinate: 1; 5,5; 8
* fehlende y-Koordinate: -2; 7; 3|Lösung zu Nr. 8|Lösung ausblenden}}{{Lösung versteckt|1=Denke daran: P(x/y) Der erste Wert gibt immer die x- und der zweite Wert die y-Koordinate an. Setze nun die entsprechenden Werte für x und y in die Gleichung ein. <br>
* Erhältst du eine <u>wahre</u> Aussage, z.B. 5 = 5, so liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen. <br>
* Erhältst du eine <u>falsche</u> Aussage, z.B. 5 = 8, so liegt der Punkt <u>nicht</u> auf dem Funktionsgraphen.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Tipp ausblenden}}{{Lösung versteckt|Hier findest du die Lösungen: (nicht in der richtigen Reihenfolge) <br>
* Punkt A liegt einmal auf dem Graphen, zweimal nicht.
* Punkt B liegt einmal auf dem Graphen, zweimal nicht.
* Punkt C liegt zweimal auf dem Graphen, einmal nicht.|Lösungzu Nr. 9|Lösung ausblenden}}
{{Box|Übung 5: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe|Löse auf der Seite realmath jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/liegtpaufg.php Level 1]
*[http://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/koordberechnen.php Level 2]|Üben}}

<br />

===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===

{{Box|Übung 6: Aufstellen der Funktionsgleichung|Löse S. 130 Nr. 9 (zeichnerisch UND rechnerisch) und S. 131 Nr. 13. Gegeben ist ein Punkt und die Steigung bzw. der y-Achsenabschnitt b. Wie kannst du vorgehen?|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:
Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|1=Zu Nr. 9: Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}<br />

===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===

{{Box|Pool - Aufgabe 3|[[Datei:Smartphone-g0b5325198 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm.<br>
Nach welcher Zeit ist der Pool leer?|Meinung}}
{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}
<br>
{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P<sub>y</sub> (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (x<sub>N</sub>I0)| 3 = Merksatz}}
[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]
{{LearningApp| app = pu8028csj20| width = 100%| height = 800px}}
{{Box|Übung 7: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen|Löse S. 137 Nr. 7|Üben}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0

y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4

Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu 7a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu 7b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu 7b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu 7c)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 0.25x-2.png]]|Funktionsgraph zu 7d)|Verbergen}}|Tipps zu S. 137 Nr. 7|Verbergen}}

{{Fortsetzung|vorher=2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|weiter=2.4) Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub und andere Anwendungen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Funktionsgleichung und Funktionsgraph

2022-05-04T18:16:42Z

Buss-Haskert:

{{Navigation verstecken|[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub| Vorwissen zum Thema]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1) Zuordnungen und Funktionen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen| 2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen|2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}<br />
<br />

==Wertetabelle und Funktionsgraph==
{{Box|Wertetabelle erstellen
| 2 = Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.<br>
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5<br>
Für x =<span style="color:red"> 1</span> gilt: y = 2·<span style="color:red"> 1</span> + 5<br>
                         = 7<br>
Für x = <span style="color:red"> 2</span> gilt: y = 2·<span style="color:red"> 2</span> + 5<br>
                         = 9<br>
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:<br>
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!}} 4
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} y
{{!}} 5
{{!}} 7
{{!}} 9
{{!}} 11
{{!}} 13
{{!}} ...
{{!)}}
| 3 = Kurzinfo
}}{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funkton.<br>
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."<br>
[[Datei:F(x)=2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos|600x600px]]|Kurzinfo
}}Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}{{Box|Übung 1|Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.|Üben
}}<ggb_applet id="ee7U2NGK" width="1280" height="792" border="888888" /><small>Applet von Hans Scharrer, jkreitner</small>{{Box|Übung 2
| 2 = Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a,b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben.<br>
a) y = x<br>
b) y = 2x<br>
c) y = 0,5x<br>
d) y = 2x + 1<br>
e) y = 2x - 3<br>
Fällt dir etwas auf?

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Aufgabe
{{!}} x
{{!}} -3
{{!}} -2
{{!}} -1
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!-}}
{{!}} a)
{{!}}y=x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} b)
{{!}}y=2x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} c)
{{!}}y=0,5x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} d)
{{!}}y=2x+1
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} e)
{{!}}y=2x-3
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!)}}
| 3 = Üben
}}{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png|rahmenlos|605x605px]]<br>
[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png|rahmenlos|600x600px]]|Vergleiche deine Graphen|Verbergen}}

==Funktionsgleichung und Funktionsgraph==

===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
<ggb_applet id="vheskjwp" width="700" height="500" border="888888" />
{{Lösung versteckt|1=In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen:<br>
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse.<br>
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.|2=Beobachtungen|3=Verbergen}}Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0).

Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.

===Die Steigung m===
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode
}}
Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.

Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.

Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.<ggb_applet id="ryydnrna" width="863" height="522" border="888888" />Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Maulwurf sehr '''m'''utig sein!

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:<div class="lueckentext-quiz">
Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:

Für '''m > 0''' steigt die Gerade und für '''m < 0''' fällt die Gerade.

Die Gerade steigt <u>flach</u> für '''0< m < 1''' und <u>steil</u> für '''m > 1'''.

Die Gerade fällt <u>flach</u> für '''-1 < m < 0''' und <u>steil</u> für '''m < -1'''.
</div>{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben}}
{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width = 100%| height = 400px}}

{{h5p-zum|id=14434|height=300}}<br />

{{Box|Übung 4| 2 = Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:<br>
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph <span style="color:green">flach</span> <span style="color:red">fällt</span>." Lösung z.B. f(x) = <span style="color:red">'''-'''</span>[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.
| 3 = Meinung}}
{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|387x387px]]<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|516x516px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|516x516px]]<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|516x516px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}
<br>
Teste dein Wissen mit einem [https://create.kahoot.it/share/die-steigung-m/d71442b8-f64c-43c5-a4a4-a73217ac946a '''Kahoot'''] (im Unterricht).
<br>
<br>
===Das Steigungsdreieck===
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.
<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.<br>

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''.
{{Box|Merke: Die Steigung m| 2 = Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.<br>
Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]| 3 = Arbeitsmethode}}

{{Box|Das Steigungsdreieck|Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen:<br>
[[Datei:Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.jpg|rahmenlos|600x600px]]<br>
Was meinst du?<br>
Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.|Meinung}}
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5<br>
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin.<br>
<ggb_applet id="gjbxvqr5" width="1200" height="768" border="888888" />
<small>Applet von Buß-Haskert</small>
<br>
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
*15|Üben}}

=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' bestimmen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.
<br />{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center|||start=0&end=134}}

{{Box|Übung 6|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.<br>
Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}}
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|600x600px]]<br>
{{LearningApp|app=p4u99frac21|width=100%|heigth=600px}}

2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]

{{LearningApp|app=p1e8uj53c21|width=100%|heigth=600px}}

3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pyy290xt521|width=100%|heigth=600px}}

4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pqf5b16sj21|width=100%|heigth=800px}}

<br />
{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}}
{{LearningApp|app=p3f0yxqy321|width=100%|height=800px}}

{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben}}

{{Box|Übung 9| 2 = Löse die nachfolgenden LearningApps. Die Tipps unten helfen dir dabei.<br>| 3 = Üben}}
{{LearningApp|app=pb6hdqkqa22|width=100%|height=600px}}
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke.<br>|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu f1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu f2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zuf3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu f4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu f5|Verbergen}}|Tipps zur LearningApp|Verbergen}}
{{LearningApp|app=p2r6pqnva22|width=100%|height=800px}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu f|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu h|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu p|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu q|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu r und s|Verbergen}}|Tipps zur LearningApp (Steigungsdreiecke)|Verbergen}}

Teste dein Wissen mit einem [https://create.kahoot.it/share/steigungsdreieck-proportionaler-funktionen/8e135fcc-05ec-4312-8ad4-42d647509c41 '''Kahoot'''] (im Unterricht).

{{Box|Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
* 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.|Üben
}}
{| class="wikitable"
|x
|1
|2
|3
|...
|-
|y-Strecke
|5
|10
|...
|
|-
|y-Eintrittskosten
|13
|...
|
|
|-
|y-Trainingskosten
|...
|
|
|
|-
|}
{{Lösung versteckt|Selbst erstellte Aufgabensammlung der Klasse 8: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub<br>
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an.<br>
Aktivurlaub an der Nordsee:<br>
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin.<br>
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€.<br>
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde.<br>
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€.<br>
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz)<br>
Wanderurlaub:<br>
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€.<br>
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden.<br>
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.)<br>
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde.<br>
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€.<br>
Reiterferien:<br>
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€.<br>
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€.<br>|Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|Verbergen}}
<br>
<p>

=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. {{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}

{{Box|Übung 11|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}}

{{Box|1=Übung 12|2=Zeichne jeweils den Graphen der proportionalen Funktion mithilfe eines Steigungsdreiecks.<br>
a) f(x) = 2x <br>
b) f(x) = -4x<br>
c) f(x) = -x <br>
d) f(x) = <math>\tfrac{1}{4}</math>x<br>
e) f(x) = -<math>\tfrac{1}{2}</math>x<br>
f) f(x) = <math>\tfrac{3}{4}</math>x<br>
g) f(x) = -<math>\tfrac{2}{7}</math>x<br>
|3=Üben}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i)<br>
Gehe so viele Schritte, wie der <span style="color:green">NENNER</span> angibt, nach <span style="color:green>RECHTS</span> und <br>
so viele Schritte wie der <span style="color:blue">ZÄHLER</Span> angibt nach <span style="color:blue">OBEN</span> (m positiv) oder <span style="color:blue">UNTEN</span> (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,g|Verbergen}}|Tipps Übung 12|Verbergen}}
Zusammenfassung: <br>
Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:
{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}<br />

===Der y-Achsenabschnitt b===
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.<ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" />{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse.<br>
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)|Beobachtung|Verbergen}}{{Box|Merke: Der y-Achsenabschnitt b
| 2 = Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.<br>
Der Graph ist eine Gerade.<br>
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).<br>
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.| 3 = Arbeitsmethode}}

{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}
{{LearningApp| app = pfeqzdf8521| width = 100%| height = 600px}}
<br>

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.

Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.

<br />

===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung|Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}

<div class="grid"><div class="width-1-2">Erklärvideo:{{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div><div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div></div>Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|rahmenlos|600x600px]]

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl

[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|rahmenlos|600x600px]]

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch

[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|rahmenlos|600x600px]]
{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
<div class="grid"><div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp| app = phd8q7we221| width = 100%| height = 400px}}
{{LearningApp| app = p2rwidw3t20| width = 100%| height = 400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp| app = popvxxk2v21| width = 100%| height = 400px}}
{{LearningApp| app = pw8bbo2st20| width = 100%| height = 400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp| app = p5mxjgbpt21| width = 100%| height = 400px}}
{{LearningApp| app = ppn4q2oe320| width = 100%| height = 400px}}</div>
</div>

{{Box|Übung 16|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx + b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]| 3 = Üben}}

{{Box|1=Übung 17|2=Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft. Löse anschließend die App unten.|3=Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallele Geraden neu.png|rahmenlos|400x400px]] <br>
f(x) = ...<br>
g(x) = ...<br>
h(x) = ...<br>
i(x) = ...<br>
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet und verändere den Wert des Schiebereglers b.<br>
<ggb_applet id="kykz4qcf" width="1051" height="572" border="888888" />|2=Tipp|3=Verbergen}}</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Geraden mit b=2.png|rahmenlos|400x400px]]<br>
f(x) = ...<br>
g(x) = ...<br>
h(x) = ...<br>
p(x) = ...<br>
q(x) = ...<br>
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph f,g,h,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
<ggb_applet id="ktgybdhy" width="683" height="572" border="888888" />|2=Tipp|3=Verbergen}}</div>
</div>
<ggb_applet id="m6X4r2rP" width="713" height="409" border="888888" /><br>
<small>Applet von Manuel Graf</small><br>
<br />

===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}}
Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.

1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)

2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).

3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.<div class="grid"><div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_1.png]]</div><div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 2.png]]</div><div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_3.png]]</div></div>Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:<div class="grid"><div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div><div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div></div>

{{Box|Übung 18 - online|Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.|Üben}}<ggb_applet id="fcgnxdsu" width="775" height="485" border="888888" />
<small>Applet von Wolfgang Wengler</small>

<br />
{{Box|1=Übung 19|2=Zeichne die Geraden mithilfe des y-Achsenabschnittes und des Steigungsdreiecks.<br>
a) f(x) = 3x + 1<br>
b) f(x) = 3x - 1<br>
c) f(x) = 0,5x + 2<br>
d) f(x) = <math>\tfrac{3}{4}</math>x - 3.
Nutze bei Bedarf den Tipp.|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp |Verbergen}}

{{Box|Übung 20 - Domino|Erstelle gemeinsam mit deinem Partner/deiner Partnerin ein Domino zu Linearen Funktionen.|Icon=brainy hdg-scissors}}

{{Fortsetzung|vorher=2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen|weiter=2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Funktionsgleichung und Funktionsgraph

2022-05-04T18:15:33Z

Buss-Haskert:

{{Navigation verstecken|[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub| Vorwissen zum Thema]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1) Zuordnungen und Funktionen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen| 2.1) Lineare Funktionen erkenne und darstellen]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph|2.2) Funktionsgleichung und Funktionsgraph]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung]]<br>
[[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.4) Anwendungen|2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen]]}}<br />
<br />

==Wertetabelle und Funktionsgraph==
{{Box|Wertetabelle erstellen
| 2 = Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.<br>
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5<br>
Für x =<span style="color:red"> 1</span> gilt: y = 2·<span style="color:red"> 1</span> + 5<br>
                         = 7<br>
Für x = <span style="color:red"> 2</span> gilt: y = 2·<span style="color:red"> 2</span> + 5<br>
                         = 9<br>
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:<br>
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!}} 4
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} y
{{!}} 5
{{!}} 7
{{!}} 9
{{!}} 11
{{!}} 13
{{!}} ...
{{!)}}
| 3 = Kurzinfo
}}{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funkton.<br>
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen."<br>
[[Datei:F(x)=2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos|600x600px]]|Kurzinfo
}}Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}{{Box|Übung 1|Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.|Üben
}}<ggb_applet id="ee7U2NGK" width="1280" height="792" border="888888" /><small>Applet von Hans Scharrer, jkreitner</small>{{Box|Übung 2
| 2 = Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a,b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben.<br>
a) y = x<br>
b) y = 2x<br>
c) y = 0,5x<br>
d) y = 2x + 1<br>
e) y = 2x - 3<br>
Fällt dir etwas auf?

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Aufgabe
{{!}} x
{{!}} -3
{{!}} -2
{{!}} -1
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!-}}
{{!}} a)
{{!}}y=x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} b)
{{!}}y=2x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} c)
{{!}}y=0,5x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} d)
{{!}}y=2x+1
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} e)
{{!}}y=2x-3
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!)}}
| 3 = Üben
}}{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png|rahmenlos|605x605px]]<br>
[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png|rahmenlos|600x600px]]|Vergleiche deine Graphen|Verbergen}}

==Funktionsgleichung und Funktionsgraph==

===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
<ggb_applet id="vheskjwp" width="700" height="500" border="888888" />
{{Lösung versteckt|1=In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen:<br>
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse.<br>
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.|2=Beobachtungen|3=Verbergen}}Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0).

Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.

===Die Steigung m===
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode
}}
Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.

Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.

Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.<ggb_applet id="ryydnrna" width="863" height="522" border="888888" />Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Maulwurf sehr '''m'''utig sein!

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:<div class="lueckentext-quiz">
Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:

Für '''m > 0''' steigt die Gerade und für '''m < 0''' fällt die Gerade.

Die Gerade steigt <u>flach</u> für '''0< m < 1''' und <u>steil</u> für '''m > 1'''.

Die Gerade fällt <u>flach</u> für '''-1 < m < 0''' und <u>steil</u> für '''m < -1'''.
</div>{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben}}
{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width = 100%| height = 400px}}

{{h5p-zum|id=14434|height=300}}<br />

{{Box|Übung 4| 2 = Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:<br>
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph <span style="color:green">flach</span> <span style="color:red">fällt</span>." Lösung z.B. f(x) = <span style="color:red">'''-'''</span>[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.
| 3 = Meinung}}
{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach?<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|387x387px]]<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|516x516px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|516x516px]]<br>
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|516x516px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}
<br>
Teste dein Wissen mit einem [https://create.kahoot.it/share/die-steigung-m/d71442b8-f64c-43c5-a4a4-a73217ac946a '''Kahoot'''] (im Unterricht).
<br>
<br>
===Das Steigungsdreieck===
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.
<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.<br>

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''.
{{Box|Merke: Die Steigung m| 2 = Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.<br>
Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]| 3 = Arbeitsmethode}}

{{Box|Das Steigungsdreieck|Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen:<br>
[[Datei:Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.jpg|rahmenlos|600x600px]]<br>
Was meinst du?<br>
Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.|Meinung}}
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5<br>
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin.<br>
<ggb_applet id="gjbxvqr5" width="1200" height="768" border="888888" />
<small>Applet von Buß-Haskert</small>
<br>
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
*15|Üben}}

=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' bestimmen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.
<br />{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center|||start=0&end=134}}

{{Box|Übung 6|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.<br>
Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}}
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):

[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|600x600px]]<br>
{{LearningApp|app=p4u99frac21|width=100%|heigth=600px}}

2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:

[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]

{{LearningApp|app=p1e8uj53c21|width=100%|heigth=600px}}

3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):

[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pyy290xt521|width=100%|heigth=600px}}

4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):

[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pqf5b16sj21|width=100%|heigth=800px}}

<br />
{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}}
{{LearningApp|app=p3f0yxqy321|width=100%|height=800px}}

{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben}}

{{Box|Übung 9| 2 = Löse die nachfolgenden LearningApps. Die Tipps unten helfen dir dabei.<br>| 3 = Üben}}
{{LearningApp|app=pb6hdqkqa22|width=100%|height=600px}}
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke.<br>|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu f1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu f2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zuf3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu f4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu f5|Verbergen}}|Tipps zur LearningApp|Verbergen}}
{{LearningApp|app=p2r6pqnva22|width=100%|height=800px}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu f|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu h|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu p|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu q|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu r und s|Verbergen}}|Tipps zur LearningApp (Steigungsdreiecke)|Verbergen}}

Teste dein Wissen mit einem [https://create.kahoot.it/share/steigungsdreieck-proportionaler-funktionen/8e135fcc-05ec-4312-8ad4-42d647509c41 '''Kahoot'''] (im Unterricht).

{{Box|Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
* 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.|Üben
}}
{| class="wikitable"
|x
|1
|2
|3
|...
|-
|y-Strecke
|5
|10
|...
|
|-
|y-Eintrittskosten
|13
|...
|
|
|-
|y-Trainingskosten
|...
|
|
|
|-
|}
{{Lösung versteckt|Selbst erstellte Aufgabensammlung der Klasse 8: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub<br>
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an.<br>
Aktivurlaub an der Nordsee:<br>
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin.<br>
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€.<br>
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde.<br>
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€.<br>
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz)<br>
Wanderurlaub:<br>
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€.<br>
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden.<br>
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.)<br>
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde.<br>
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€.<br>
Reiterferien:<br>
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€.<br>
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€.<br>|Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|Verbergen}}
<br>
<p>

=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen.

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. {{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}

{{Box|Übung 11|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}}

{{Box|1=Übung 12|2=Zeichne jeweils den Graphen der proportionalen Funktion mithilfe eines Steigungsdreiecks.<br>
a) f(x) = 2x <br>
b) f(x) = -4x<br>
c) f(x) = -x <br>
d) f(x) = <math>\tfrac{1}{4}</math>x<br>
e) f(x) = -<math>\tfrac{1}{2}</math>x<br>
f) f(x) = <math>\tfrac{3}{4}</math>x<br>
g) f(x) = -<math>\tfrac{2}{7}</math>x<br>
|3=Üben}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i)<br>
Gehe so viele Schritte, wie der <span style="color:green">NENNER</span> angibt, nach <span style="color:green>RECHTS</span> und <br>
so viele Schritte wie der <span style="color:blue">ZÄHLER</Span> angibt nach <span style="color:blue">OBEN</span> (m positiv) oder <span style="color:blue">UNTEN</span> (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,g|Verbergen}}|Tipps Übung 12|Verbergen}}
Zusammenfassung: <br>
Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:
{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}<br />

===Der y-Achsenabschnitt b===
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.<ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" />{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse.<br>
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)|Beobachtung|Verbergen}}{{Box|Merke: Der y-Achsenabschnitt b
| 2 = Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.<br>
Der Graph ist eine Gerade.<br>
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).<br>
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.| 3 = Arbeitsmethode}}

{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}
{{LearningApp| app = pfeqzdf8521| width = 100%| height = 600px}}
<br>

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.

Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.

<br />

===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung|Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}

<div class="grid"><div class="width-1-2">Erklärvideo:{{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div><div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div></div>Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|rahmenlos|600x600px]]

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl

[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|rahmenlos|600x600px]]

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch

[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|rahmenlos|600x600px]]
{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
<div class="grid"><div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp| app = phd8q7we221| width = 100%| height = 400px}}
{{LearningApp| app = p2rwidw3t20| width = 100%| height = 400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp| app = popvxxk2v21| width = 100%| height = 400px}}
{{LearningApp| app = pw8bbo2st20| width = 100%| height = 400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp| app = p5mxjgbpt21| width = 100%| height = 400px}}
{{LearningApp| app = ppn4q2oe320| width = 100%| height = 400px}}</div>
</div>

{{Box|Übung 16|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx + b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]| 3 = Üben}}

{{Box|1=Übung 17|2=Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft. Löse anschließend die App unten.|3=Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:Parallele Geraden neu.png|rahmenlos|400x400px]] <br>
f(x) = ...<br>
g(x) = ...<br>
h(x) = ...<br>
i(x) = ...<br>
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet und verändere den Wert des Schiebereglers b.<br>
<ggb_applet id="kykz4qcf" width="1051" height="572" border="888888" />|2=Tipp|3=Verbergen}}</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Geraden mit b=2.png|rahmenlos|400x400px]]<br>
f(x) = ...<br>
g(x) = ...<br>
h(x) = ...<br>
p(x) = ...<br>
q(x) = ...<br>
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph f,g,h,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
<ggb_applet id="ktgybdhy" width="683" height="572" border="888888" />|2=Tipp|3=Verbergen}}</div>
</div>
<ggb_applet id="m6X4r2rP" width="713" height="409" border="888888" /><br>
<small>Applet von Manuel Graf</small><br>
<br />

===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}}
Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.

1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)

2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).

3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.<div class="grid"><div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_1.png]]</div><div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 2.png]]</div><div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_3.png]]</div></div>Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:<div class="grid"><div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div><div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div></div>

{{Box|Übung 18 - online|Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.|Üben}}<ggb_applet id="fcgnxdsu" width="775" height="485" border="888888" />
<small>Applet von Wolfgang Wengler</small>

<br />
{{Box|1=Übung 19|2=Zeichne die Geraden mithilfe des y-Achsenabschnittes und des Steigungsdreiecks.<br>
a) f(x) = 3x + 1<br>
b) f(x) = 3x - 1<br>
c) f(x) = 0,5x + 2<br>
d) f(x) = <math>\tfrac{3}{4}</math>x - 3.
Nutze bei Bedarf den Tipp.|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp |Verbergen}}

{{Box|1=Übung 20 - Domino|2=Erstelle gemeinsam mit deinem Partner/deiner Partnerin ein Domino zu Linearen Funktionen.|3=Lösung|4=Icon=brainy hdg-scissors}}

{{Fortsetzung|vorher=2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen|vorherlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen|weiter=2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.3) Wertetabelle und Funktionsgleichung}}