ZUM-Unterrichten - Benutzerbeiträge [de]

Integralrechnung/Stammfunktion

2025-12-07T19:01:07Z

Buss-Haskert:

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}
==Stammfunktion==
{{Box|1=Definition|2=
Man nennt eine Funktion <math>F(x)</math> eine '''Stammfunktion''' der Funktion <math>f(x)</math> oder
das '''unbestimmte Integral''' von <math>f(x)</math>, wenn gilt:
<div align="center">
<math>F\ '(x) = f(x)</math>
</div>
Das heißt, die Ableitung der Stammfunktion oder des unbestimmten Integrals <math>F(x)</math> ist die Funktion <math>f(x)</math>. Somit stellt das Auffinden einer Stammfunktion die Umkehrung zur Bestimmung der Ableitung einer Funktion dar und es gilt:
<div align="center">
<math>F\ (x) = \int f(x)\ \mathrm{d}x</math>
</div>
Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation, d.h. man hat eine Funktion <math>f(x)</math> gegeben und sucht eine Funktion <math>F(x)</math>, deren Ableitung die gegebene Funktion ist.
|3=Hervorhebung1}}

===Beispiel===
Gesucht ist eine Stammfunktion <math>F(x)</math> zu der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. <br>
Wir wissen, dass die Ableitung der gesuchten Funktion unsere Ausgangsfunktion sein muss. Wir wissen weiter, dass bei der Ableitung einer Potenzfunktion der Exponent als Faktor vor die Ableitung geschrieben und danach um 1 erniedrigt wird. Also gilt <br>
<math>F(x) = \frac{1}{3} \ x^3</math>, denn <math>F \ '(x) = x^2</math> und das wollten wir ja haben!
<br><br>

{{Box|1=Aufgabe 9|2=
# Es gibt zu einer gegebenen Funktion <math>f(x)</math> immer unendlich viele Stammfunktionen der Form <math>F(x) + c</math> mit einer reellen Zahl <math>c</math>. Begründe diesen Satz mit Deinem mathematischen Wissen!
# Bestimme eine Stammfunktion <math>F(x)</math> zu <math>f(x)= x^3</math>. Mache auf jeden Fall die Probe <math>F \ ' (x) = f(x)</math>.
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
# Es gibt immer unendlich viele Stammfunktionen der Form <math>F(x) + c</math> einer gegebenen Funktion <math>f(x)</math>, da die Ableitung einer solchen Stammfunktion immer wieder <math>f(x)</math> ergibt. Konstanten werden ja zu null abgeleitet.
# Es ist z.B. <math>F(x) = \frac{1}{4} \ x^4</math>, i.A. aber <math>F(x)=\frac{1}{4} \ x^4 + c</math>
}}
<br>
Im Applet unten wird Dir ein grafisches Beispiel einer Funktion <math>f(x)</math> und zweier Stammfunktionen <math>F(x)</math> und <math>G(x) = F(x) + c</math> gezeigt. <br>
Verschiebe dabei zuerst die Funktion <math>f(x)</math> mit der Maus in alle möglichen Richtungen und beobachte, wie sich die Stammfunktionen verändern. <br>
Verschiebe in einem zweiten Schritt die Konstante <math>c</math> auf der y-Achse und abwechselnd die Ausgangsfunktion. Beobachte die Veränderung.

<center><ggb_applet id="dxttP6y9" width="440" height="380" border="888888" /></center>

===Verfeinertes Beispiel von oben===
Wir haben jetzt gesehen, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu einer gegebenen Funktion gibt, da die addierte Konstante bei der Ableitung wieder verschwindet. Also müssen wir das Ergebnis des Beispiels von oben etwas erweitern. <br>
Im Allgemeinen gilt dann für <math>f(x)=x^2</math>: <br>
<math>F(x)=\frac{1}{3} \ x^3+c</math>

{{Fortsetzung|weiter=Aufgaben|weiterlink=Integralrechnung/Aufgaben}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Integralrechnung/Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion

2025-12-07T19:00:50Z

Buss-Haskert:

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}
==Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion==
Wir wollen nun die Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math> zu einer gegebenen Funktion <math>f(x)</math> bestimmen. Dies wollen wir aber nicht durch Einschachtelung mit Ober- und Untersumme tun, da dies hier zu umständlich wäre.

Stattdessen werden wir wieder die Vorteile von Geogebra nutzen. Im Folgenden sollst Du wieder mit Hilfe eines Applets zu gegebenen Funktionen <math>f(x)</math> die Funktionsgraphen der jeweils gesuchten Flächeninhaltsfunktion zeichnen lassen.

Anhand der gefundenen Funktionen <math>F(x)</math> sollst Du dann evtl. innerhalb einer Gruppe die Funktionsvorschriften von <math>f(x)</math> und <math>F(x)</math> jeweils einander gegenüberstellen und versuchen, einen Zusammenhang zwischen beiden zu entdecken.

{{Box|1=Aufgabe 8|2=
In unterem Geogebra-Applet siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> in blau gezeichnet und denjenigen der zugehörigen Flächeninhaltsfunktion in rot.

Gib nun die Funktionsvorschrift einer neuen Funktion <math>f(x)</math> in der Eingabezeile des Geogebra-Applets ein, der Graph der neuen Flächeninhaltsfunktion wird automatisch gezeichnet und die Funktionsvorschrift angezeigt.

Notiere Dir so lange in einer tabellarischen Gegenüberstellung die Funktionsterme von <math>f(x)</math> und <math>F(x)</math> bis Du einen Zusammenhang erkennst. Welchen?
# <math>f(x) = 7x</math>
# <math>f(x) = 3x^5 + 4</math>
# <math>f(x) = x^2 - 3x + 2</math>
# <math>f(x) = 8</math>
# <math>f(x) = 0</math>
# <math>f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 2</math>
# Denke Dir weitere Funktionen selbst aus!
<br>
TIPP: Wenn Dir die Kommazahlen, die Geogebra anzeigt, Schwierigkeiten bereiten, dann schreibe sie in naheliegende Brüche um!
|3=Arbeitsmethode}}

<center><ggb_applet id="UM4Y9whC" width="550" height="450" border="888888" ai="true" /></center>
{{Lösung versteckt|1=
# <math>F(x) = \frac{7}{2} \ x^2</math>
# <math>F(x) = \frac{1}{2} \ x^6 + 4x</math>
# <math>F(x) = \frac{1}{3} \ x^3 - \frac{3}{2} \ x^2 + 2 x</math>
# <math>F(x) = 8 x</math>
# <math>F(x) = 0</math>
# <math>F(x) = \frac{1}{5} \ x^5 - \frac{3}{4} \ x^4 + \frac{2}{3} \ x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 2 x</math>
<br>
Die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion ist jeweils gleich der Ausgangsfunktion <math>f(x)</math>. Es gilt: <math>F \ '(x)= f(x)</math>.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Stammfunktion|weiterlink=Integralrechnung/Stammfunktion}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Integralrechnung/Flächeninhaltsfunktion

2025-12-07T19:00:29Z

Buss-Haskert:

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}
==Die Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math>==
Zuletzt hast Du gesehen, dass die Berechnung des bestimmten Integrals von Hand sehr aufwendig und umständlich ist. Wünschenswert wäre es also, wenn es eine einfachere Lösung des Problems gäbe.

Um eine einfachere und bessere Lösung zu finden, kannst Du unten wieder ein Geogebra-Applet benutzen.

Neben dem Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> ist das bestimmte Integral dieser Funktion im Intervall <math>[a; b]</math> abgebildet. Über der oberen Intervallgrenze <math>b</math> ist der Wert des bestimmten Integrals als Zahl und '''Funktionswert''' abgebildet.

{{Box|1=Aufgabe 6|2=
# Verschiebe die obere Intervallgrenze mit der Maus. Der Funktionswert (also das bestimmte Integral) wird dabei ebenfalls ständig neu berechnet und eingezeichnet. Es entsteht der Graph einer neuen Funktion, der ''Flächeninhaltsfunktion'' <math>F(x)</math>.
# Versuche, die Funktionsvorschrift von <math>F(x)</math> zu bestimmen. Zum einfacheren Ablesen der Punkte auf dem Graphen sind deren Koordinaten <math>b</math> und <math>F</math> angegeben.
|3=Arbeitsmethode}}

<center><ggb_applet id="tQg99XWn" width="400" height="350" border="888888" /></center>
{{Lösung versteckt|1=
<math>F(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3</math>. <br>
An der Gestalt der Flächeninhaltsfunktion erkennt man, dass es eine Funktion 3. Grades ist (vgl. Jahrgangsstufe 11). Z.B. am Punkt (3;9) kann man erkennen, dass der Vorfaktor <math>\frac{1}{3}</math> ist.
}}
<br>
{{Box|1=Aufgabe 7|2=
Ermittle im unteren Applet den Zusammenhang zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und den Funktionswerten der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. Stelle dazu eine Formel bzw. eine Gleichung auf, mit der der Wert des bestimmten Integrals berechnet werden kann!
|3=Arbeitsmethode}}

<center><ggb_applet id="MFs7uFMe" width="400" height="350" border="888888" /></center>
{{Lösung versteckt|1=
Der Wert des bestimmten Integrals entspricht immer der Differenz der Funktionswerte der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. <br>
<math>\int \limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>
}}
<br>
Damit hast Du gezeigt, dass das bestimmte Integral einer Funktion <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> mit Hilfe einer Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math> und deren Funktionswerten an diesen Intervallgrenzen berechnet werden kann. Somit stellt sich jetzt nur noch die entscheidende Frage: '''Wie bestimmt man im Allgemeinen eine Flächeninhaltsfunktion?'''

{{Fortsetzung|weiter=Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion|weiterlink=Integralrechnung/Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Integralrechnung/Bestimmtes Integral

2025-12-07T19:00:07Z

Buss-Haskert:

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}
==Das bestimmte Integral==
Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen einer Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> immer durch die Obersumme <math>O_n</math> und die Untersumme <math>U_n</math> (jeweils bestehend aus <math>n</math> Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann:
<div align="center">
<math>U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n</math> </div> <br>
Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für <math>n \to \infty</math> wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung: <br><br>
<div align="center">
<math>\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A</math>
</div>

{{Box|1=Definition|2=
Die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen der Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> nennt man das '''bestimmte Integral''' von <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>, in Zeichen: <br>
<div align="center">
<math>
\int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n
</math>
</div>
Diese Definition ist zunächst vorläufig und wird im Folgenden noch um einen wichtigen Punkt erweitert werden.
|3=Hervorhebung1}}

<br><br>
{{Box|1=Merke|2=
Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d<math>x</math>" ist ein sog. ''Differential'' und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe. <br>
Die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> sind die ''Grenzen des Integrals''. <math>a</math> ist die '''untere Grenze''', <math>b</math> die '''obere Grenze'''. <br>
Die Funktion <math>f(x)</math>, also alles, was ''unter'' dem Integral steht (alles außer d<math>x</math>), wird '''Integrand''' genannt. <br>
Zwischen dem Integranden <math>f(x)</math> und dem Differential d<math>x</math> steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte <math>f(x)</math> und deren Breite durch das Differential d<math>x</math> gegeben sind.

<math>f(x) \cdot \mathrm{d}x</math> ist dann der Flächeninhalt (Höhe <math>\cdot</math> Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!
|3=Merksatz}}

{{Box|1=Aufgabe 4|2=
Berechne wieder mit Geogebra (eingebettetes Applet, installierte Version auf Deinem Gerät oder [https://www.geogebra.org geogebra.org]) das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion <math>f(x)</math>, die Intervallgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> und dann den Befehl "A <math>=</math> Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt.

Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern.

# <math>f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^2 + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
# <math>f(x)= \sqrt{x}</math> im Intervall <math>[0;8]</math>
# <math>f(x)= x^3 - \frac{1}{5} \cdot x^2 - 2 \cdot x + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
|3=Arbeitsmethode}}

<div align="center">
<ggb_applet height="600" width="600" uselocaljar="true" showmenubar="true" showtoolbar="true" showalgebrainput="true" showreseticon="true" filename="blank.ggb" />
</div>

{{Lösung versteckt|1=
# A <math>=</math> 7
# A <math>=</math> 15.08
# A <math>=</math> 6.15
}}
<br><br>
{{Box|1=Aufgabe 5|2=
Im Applet unten sollst Du folgende Aufgaben bearbeiten:
# Verschiebe den Graphen der Funktion mit der Maus so, dass das bestimmte Integral (also die Fläche <math>A</math>) negativ wird. Wann passiert das? Was bedeutet das?
# Verschiebe nun den Graphen und die Intervallgrenzen so, dass der Wert des Integrals 0 wird. Welche Bedingung ist dann erfüllt? Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten? Was bedeutet dieser zu 0 gewordene Flächeninhalt?
# Offensichtlich gibt es einen Unterschied zwischen dem bestimmten Integral und dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Worin liegt dieser Unterschied? Wann sind beide gleich?
|3=Arbeitsmethode}}

<center><ggb_applet id="zJr5DWGA" width="600" height="400" border="888888" /></center>
{{Lösung versteckt|1=
# Das bestimmte Integral wird negativ, wenn die markierte Fläche unter der x-Achse größer wird als diejenige über der x-Achse. Dies bedeutet, dass Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen zugeschrieben wird. Man spricht dann von '''orientierten Flächeninhalten'''. Solche über der x-Achse sind positiv orientiert, diejenigen unter der x-Achse negativ orientiert.
# Die Fläche über der x-Achse ist genauso groß wie diejenige unter der x-Achse. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dafür. Der zu 0 gewordene Flächeninhalt bedeutet, dass sich die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse gegenseitig "ausgleichen" oder "aufheben" können.
# Das bestimmte Integral ist die Summe der orientierten Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse in den jeweiligen Grenzen, d.h. die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse werden mit einem positiven Vorzeichen versehen und zu denjenigen unterhalb der x-Achse (mit einem negativen Vorzeichen versehen) addiert. Bestimmtes Integral sowie Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse sind dann gleich, wenn nur positiv orientierte Flächeninhalte existieren.
}}
<br>

==Berechnung des bestimmten Integrals von Hand==
An dieser Stelle sollst Du einmal das bestimmte Integral anhand eines einfachen Beispiels selbst von Hand berechnen. Dies ist nicht einfach und kann in jedem Fall auch in Zusammenarbeit innerhalb einer Gruppe geschehen! <br>
Die Berechnung soll Dir aber einen vertiefenden Einblick in die Berechnung des bestimmten Integrals geben und Dir verdeutlichen, dass einfache Regeln zur ''Integration'' (Berechnung eines Integrals) eine wirkliche Vereinfachung darstellen. <br>
Die folgenden beiden Arbeitsblätter unterliegen einer public domain Lizenz und sind somit zum freien Gebrauch für Jedermann zugelassen. <br>
Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während die Information zu quadratischen Funktionen dem reinen Durcharbeiten dient.

#{{pdf|http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_linFkt.pdf|Arbeitsblatt lineare Funktion}}
#{{pdf|http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_quadFkt.pdf|Information quadratische Funktion}}

{{Fortsetzung|weiter=Flächeninhaltsfunktion|weiterlink=Integralrechnung/Flächeninhaltsfunktion}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Integralrechnung/Flächen bestimmen

2025-12-07T18:59:32Z

Buss-Haskert:

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}
==Flächeninhalte bestimmen mit Geogebra==
Als Übung sollst Du im Folgenden die Fläche unter vorgegebenen Graphen mit der Software Geogebra bestimmen. Falls Du keine Erfahrung mit Geogebra hast, wird Dir die Anleitung weiter unten auf dieser Seite weiterhelfen!

{{Übung|
# Bestimme den Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> im Intervall <math>[1;3]</math> mindestens auf die Einerstelle genau.
# Bestimme den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion <math>g(x)=\sqrt{x}</math> (in Geogebra wird die Wurzelfunktion mit sqrt(x) bezeichnet) und der x-Achse im Intervall <math>[0;8]</math> mindestens auf die Einerstelle genau.

Bemerkung: Die Vorgehensweise für diese Aufgaben ist in der Kurzanleitung zur Nutzung von Geogebra beschrieben!
{{Lösung versteckt|1=# Du siehst ein Fenster der Software Geogebra, welches du in dieser Aufgabe benutzen sollst. Alternativ kannst Du Geogebra auf Deinem Gerät oder von [https://www.geogebra.org geogebra.org] ausführen.
# Gib in die Eingabezeile ganz unten im Geogebra-Fenster die Funktion ein, z.B. "f(x) = 5*x^2".
# Definiere nun die Intervallgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> sowie die Anzahl <math>n</math> der Intervallunterteilungen, indem Du nacheinander "a=1", "b=3" und "n=3" in die Eingabezeile eingibst und jedesmal mit der Eingabetaste bestätigst.
# Teile Geogebra mit, dass Du die Ober- bzw. Untersumme berechnet und angezeigt bekommen möchtest, indem Du wieder nacheinander in der Eingabezeile folgendes eingibst:
## O = Obersumme[f,a,b,n]
## U = Untersumme[f,a,b,n]
# Wechsle in den Bewege-Modus (Pfeilsymbol) und klicke danach im Algebra-Fenster links auf <math>n</math>. Zum Ändern des Wertes von <math>n</math> kannst Du jetzt die Pfeiltasten auf der Tastatur benutzen oder den Wert von <math>n</math> erneut direkt eingeben. Kleiner TIPP: Klicke mit der rechten Maustaste auf <math>n</math> im Algebra-Fenster, wähle "Eigenschaften" und stelle dann unter der Registerkarte "Schieberegler" die Schrittweite auf "1". So erhältst Du <math>n</math> immer ohne Nachkommastelle, also als natürliche Zahl.
# Wenn Du eine neue Funktion untersuchen möchtest, dann gib sie einfach wieder wie unter Punkt 2 beschrieben in die Eingabzeile ein. Die Intervallgrenzen werden ebenso geändert.|2=Kurzanleitung zur Nutzung von Geogebra
|3=Kurzanleitung verbergen}}
}}
<br>
<div align="center">
<ggb_applet height="600" width="600" showmenubar="true" showtoolbar="true" showalgebrainput="true" showreseticon="true" filename="blank.ggb" />
</div>
<br>
{{Lösung versteckt|
# Der Flächeninhalt beträgt 8,7 (also aufgerundet 9).
# Der Flächeninhalt beträgt 15,1 (also abgerundet 15).
}}

{{Fortsetzung|weiter=Bestimmtes Integral|weiterlink=Integralrechnung/Bestimmtes Integral}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Integralrechnung/Ober- und Untersumme

2025-12-07T18:59:01Z

Buss-Haskert:

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}

Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.

Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden!

Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.

<br>
{{Box|1=Aufgabe 3|2=
Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. <br>
Gezeigt ist der Graph der Funktion <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].
# Verschiebe abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreibe wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U und der Differenz?
# Variiere jetzt die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit den Werten O, U und der Differenz? Wie und warum wird durch die Variation von <math>n</math> die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben?
# Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke.
# Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre?
|3=Arbeitsmethode}}
<br><br>
<center><ggb_applet id="GVbYwQWY" width="640" height="400" border="888888" /></center>
{{Lösung versteckt|1=
# Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl <math>n</math> der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz.
# Je größer die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke wird, desto mehr nähern sich O und U einander an und desto kleiner wird somit deren Differenz. Durch die Vergrößerung von <math>n</math> wird die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser beschreiben, durch seine Verringerung schlechter. Das kommt daher, dass durch immer schmaler werdende Rechtecke der Fehler durch die "übrigbleibenden" Flächen an den oberen Rechteckrändern immer kleiner wird.
# Die Ergebnisse von 1. und 2. gelten für beliebige Intervalle!
# Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste <math>n</math> unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang <math>n \to \infty</math>.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Flächen bestimmen|weiterlink=Integralrechnung/Flächen bestimmen}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Integralrechnung/Ober- und Untersumme

2025-12-07T18:57:07Z

Buss-Haskert:

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}

Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.

Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden!

Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.

<br>
{{Box|1=Aufgabe 3|2=
Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. <br>
Gezeigt ist der Graph der Funktion <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].
# Verschiebe abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreibe wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U und der Differenz?
# Variiere jetzt die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit den Werten O, U und der Differenz? Wie und warum wird durch die Variation von <math>n</math> die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben?
# Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke.
# Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre?
|3=Arbeitsmethode}}
<br><br>
<center><ggb_applet id="GVbYwQWY" width="640" height="400" border="888888" /></center>
{{Lösung versteckt|1=
# Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl <math>n</math> der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz.
# Je größer die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke wird, desto mehr nähern sich O und U einander an und desto kleiner wird somit deren Differenz. Durch die Vergrößerung von <math>n</math> wird die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser beschreiben, durch seine Verringerung schlechter. Das kommt daher, dass durch immer schmaler werdende Rechtecke der Fehler durch die "übrigbleibenden" Flächen an den oberen Rechteckrändern immer kleiner wird.
# Die Ergebnisse von 1. und 2. gelten für beliebige Intervalle!
# Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste <math>n</math> unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang <math>n \to \infty</math>.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Flächen bestimmen|weiterlink=Integral/Flächen bestimmen}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Integralrechnung/Ober- und Untersumme

2025-12-07T18:55:56Z

Buss-Haskert:

{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}

Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den Flächeninhalt.

Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden!

Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.

<br>
{{Box|1=Aufgabe 3|2=
Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen. <br>
Gezeigt ist der Graph der Funktion <math>f(x) = \frac{1}{100} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{7}{10} \cdot x + 5</math> mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].
# Verschiebe abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreibe wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U und der Differenz?
# Variiere jetzt die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit den Werten O, U und der Differenz? Wie und warum wird durch die Variation von <math>n</math> die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben?
# Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere (beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der Intervallgrenzen sowie der Anzahl <math>n</math> der Rechtecke.
# Wie groß müsste <math>n</math> sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erwarten wäre?
|3=Arbeitsmethode}}
<br><br>
<center><ggb_applet id="GVbYwQWY" width="640" height="400" border="888888" /></center>
{{Lösung versteckt|1=
# Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der Intervalllänge geteilt durch die Anzahl <math>n</math> der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann natürlich auch die Differenz.
# Je größer die Anzahl <math>n</math> der Rechtecke wird, desto mehr nähern sich O und U einander an und desto kleiner wird somit deren Differenz. Durch die Vergrößerung von <math>n</math> wird die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser beschreiben, durch seine Verringerung schlechter. Das kommt daher, dass durch immer schmaler werdende Rechtecke der Fehler durch die "übrigbleibenden" Flächen an den oberen Rechteckrändern immer kleiner wird.
# Die Ergebnisse von 1. und 2. gelten für beliebige Intervalle!
# Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von <math>f</math> mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste <math>n</math> unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang <math>n \to \infty</math>.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Flächen bestimmen|weiterlink=Integral|Flächen bestimmen}}

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:GeoGebra]]

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite

2022-11-09T14:37:39Z

Buss-Haskert:

Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:

::<math>k \approx \sqrt{n}</math>

==Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)==

Im Beispiel ist

::<math>n=25</math>.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

::<math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.

Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist

::<math>x_{max}=200</math> und
::<math>x_{min}=151</math> ,

somit gilt für die Spannweite

::<math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.



Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.


<br />

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />


{{Merke|1=Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.

<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>

<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>

<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>}}


===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="7" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>
||<math>150 < a_i \le 160</math>||<math>160 < a_i \le 170</math>||<math>170 < a_i \le 180</math>||<math>180 < a_i \le 190</math>||<math>190 < a_i \le 200</math>||Summe
|-
|<math>H(k_i)</math>||3||6||5||4||7||25
|-
|<math>h(k_i)</math>||12 %||24 %||20 %||16 %||28 %||100 %
|}
</div>


Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.



===Einführungsbeispiel - Teil 6.1===

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" |Größe!! style="text-align:left;" |Formel!! style="text-align:left;" |im Beispiel mit!! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
|Klassenanzahl||<math>k \approx \sqrt{n} </math>||<math>n=30</math>||<math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
|Spannweite||<math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math>||<math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math>||<math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
|Klassenbreite||<math>b=\frac{R}{k}</math>||<math>R=71</math> und <math>k=6</math>||<math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
</div>

Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':

Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:

::<math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
::<math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>

===Einführungsbeispiel - Teil 6.2===

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>13</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>13</math>||<math>26</math>||<math>11</math>||<math>\frac{11}{30}</math>||<math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>26</math>||<math>39</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>39</math>||<math>52</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>52</math>||<math>65</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>65</math>||<math>78</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

'''Ausblick'''

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>10</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>10</math>||<math>20</math>||<math>10</math>||<math>\frac{1}{3}</math>||<math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>20</math>||<math>30</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>30</math>||<math>40</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>40</math>||<math>50</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{15}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>50</math>||<math>60</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>60</math>||<math>70</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>70</math>||<math>80</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{30}</math>||<math>3,3%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>



{{clear}}
{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite

2022-11-09T14:36:41Z

Buss-Haskert:

Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:

::<math>k \approx \sqrt{n}</math>

==Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)==

Im Beispiel ist

::<math>n=25</math>.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

::<math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.

Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist

::<math>x_{max}=200</math> und
::<math>x_{min}=151</math> ,

somit gilt für die Spannweite

::<math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.



Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.


<br />

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />


{{Merke|1=Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.

<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>

<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>

<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>}}


===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="7" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>
||<math>150 < a_i \le 160</math>||<math>160 < a_i \le 170</math>||<math>170 < a_i \le 180</math>||<math>180 < a_i \le 190</math>||<math>190 < a_i \le 200</math>||Summe
|-
|<math>H(k_i)</math>||3||6||5||4||7||25
|-
|<math>h(k_i)</math>||12 %||24 %||20 %||16 %||28 %||100 %
|}
</div>


Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.
|}


===Einführungsbeispiel - Teil 6.1===

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" |Größe!! style="text-align:left;" |Formel!! style="text-align:left;" |im Beispiel mit!! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
|Klassenanzahl||<math>k \approx \sqrt{n} </math>||<math>n=30</math>||<math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
|Spannweite||<math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math>||<math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math>||<math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
|Klassenbreite||<math>b=\frac{R}{k}</math>||<math>R=71</math> und <math>k=6</math>||<math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
</div>

Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':

Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:

::<math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
::<math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>

===Einführungsbeispiel - Teil 6.2===

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>13</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>13</math>||<math>26</math>||<math>11</math>||<math>\frac{11}{30}</math>||<math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>26</math>||<math>39</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>39</math>||<math>52</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>52</math>||<math>65</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>65</math>||<math>78</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

'''Ausblick'''

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>10</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>10</math>||<math>20</math>||<math>10</math>||<math>\frac{1}{3}</math>||<math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>20</math>||<math>30</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>30</math>||<math>40</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>40</math>||<math>50</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{15}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>50</math>||<math>60</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>60</math>||<math>70</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>70</math>||<math>80</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{30}</math>||<math>3,3%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>



{{clear}}
{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite

2022-11-09T14:34:56Z

Buss-Haskert:

Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:

::<math>k \approx \sqrt{n}</math>

==Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)==

Im Beispiel ist

::<math>n=25</math>.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

::<math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.

Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist

::<math>x_{max}=200</math> und
::<math>x_{min}=151</math> ,

somit gilt für die Spannweite

::<math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.



Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.
|}

<br />

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />


{{Merke|1=Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.

<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>

<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>

<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>}}


===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="7" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>
||<math>150 < a_i \le 160</math>||<math>160 < a_i \le 170</math>||<math>170 < a_i \le 180</math>||<math>180 < a_i \le 190</math>||<math>190 < a_i \le 200</math>||Summe
|-
|<math>H(k_i)</math>||3||6||5||4||7||25
|-
|<math>h(k_i)</math>||12 %||24 %||20 %||16 %||28 %||100 %
|}
</div>


Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.
|}


===Einführungsbeispiel - Teil 6.1===

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" |Größe!! style="text-align:left;" |Formel!! style="text-align:left;" |im Beispiel mit!! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
|Klassenanzahl||<math>k \approx \sqrt{n} </math>||<math>n=30</math>||<math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
|Spannweite||<math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math>||<math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math>||<math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
|Klassenbreite||<math>b=\frac{R}{k}</math>||<math>R=71</math> und <math>k=6</math>||<math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
</div>

Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':

Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:

::<math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
::<math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>

===Einführungsbeispiel - Teil 6.2===

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>13</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>13</math>||<math>26</math>||<math>11</math>||<math>\frac{11}{30}</math>||<math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>26</math>||<math>39</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>39</math>||<math>52</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>52</math>||<math>65</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>65</math>||<math>78</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

'''Ausblick'''

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>10</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>10</math>||<math>20</math>||<math>10</math>||<math>\frac{1}{3}</math>||<math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>20</math>||<math>30</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>30</math>||<math>40</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>40</math>||<math>50</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{15}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>50</math>||<math>60</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>60</math>||<math>70</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>70</math>||<math>80</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{30}</math>||<math>3,3%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>



{{clear}}
{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite

2022-11-09T14:34:08Z

Buss-Haskert:

Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:

::<math>k \approx \sqrt{n}</math>

==Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)==

Im Beispiel ist

::<math>n=25</math>.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

::<math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.

Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist

::<math>x_{max}=200</math> und
::<math>x_{min}=151</math> ,

somit gilt für die Spannweite

::<math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.



Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.
|}

<br />

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />


{{Merke|1=Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.

<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>

<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>

<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>}}


===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="7" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>
||<math>150 < a_i \le 160</math>||<math>160 < a_i \le 170</math>||<math>170 < a_i \le 180</math>||<math>180 < a_i \le 190</math>||<math>190 < a_i \le 200</math>||Summe
|-
|<math>H(k_i)</math>||3||6||5||4||7||25
|-
|<math>h(k_i)</math>||12 %||24 %||20 %||16 %||28 %||100 %
|}
</div>


Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.
|}


===Einführungsbeispiel - Teil 6.1===

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" |Größe!! style="text-align:left;" |Formel!! style="text-align:left;" |im Beispiel mit!! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
|Klassenanzahl||<math>k \approx \sqrt{n} </math>||<math>n=30</math>||<math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
|Spannweite||<math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math>||<math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math>||<math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
|Klassenbreite||<math>b=\frac{R}{k}</math>||<math>R=71</math> und <math>k=6</math>||<math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
</div>

|-
|colspan="6" |Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':

Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:

::<math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
::<math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>

===Einführungsbeispiel - Teil 6.2===

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>13</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>13</math>||<math>26</math>||<math>11</math>||<math>\frac{11}{30}</math>||<math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>26</math>||<math>39</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>39</math>||<math>52</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>52</math>||<math>65</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>65</math>||<math>78</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

'''Ausblick'''

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>10</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>10</math>||<math>20</math>||<math>10</math>||<math>\frac{1}{3}</math>||<math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>20</math>||<math>30</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>30</math>||<math>40</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>40</math>||<math>50</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{15}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>50</math>||<math>60</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>60</math>||<math>70</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>70</math>||<math>80</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{30}</math>||<math>3,3%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>



{{clear}}
{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-11-09T14:32:57Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|1=Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|1=Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.6 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]

Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-11-09T14:32:26Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|1=Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.6 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]

Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-16T12:44:32Z

Buss-Haskert: Bearbeitung rückgängig gemacht

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Box|1=Merke|2=Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.|3=Merksatz}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-16T12:43:34Z

Buss-Haskert: Formel Darstellung geändert

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math forcemathmode="png">\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Box|1=Merke|2=Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.|3=Merksatz}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:58:38Z

Buss-Haskert:

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:57:17Z

Buss-Haskert:

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.|Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Merke|Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:55:17Z

Buss-Haskert:

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen. |Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Merke|Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:54:09Z

Buss-Haskert:

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x= \frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Aufgabe|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen. |Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Merke|Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:50:05Z

Buss-Haskert:

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|3=Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen. |Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Merke|Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Lagemaße

2022-10-14T06:48:43Z

Buss-Haskert: Schreibweise berichtigt (mathematische Symbole)

Mithilfe von Lagemaßen wird die Vielzahl der Daten einer Häufigkeitsverteilung auf eine Kennzahl reduziert. Oft ist es gar nicht so wichtig, wie ein Häufigkeitsverteilung im Einzelnen aussieht. Man interessiert sich vielmehr für den mittleren Wert. Die Merkmalsausprägungen gruppieren sich um die Mitte. Ein Lagemaß charakterisiert die Lage einer Verteilung.

Sie lernen hier drei verschiedene '''Lagemaße''' kennen und anwenden:

*das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt oder Mittelwert),
*den Modus (auch Modalwert) und
*den Median (auch Zentralwert).

Jedes einzelne dieser Lagemaße kann sinnvoll sein, je nachdem welche Merkmalsart vorliegt und wie die Häufigkeitsverteilung aussieht.

==Info==

===Einwaage Marmelade===

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||500||495||495||516||495||500||500||498||498
|}
<div>


Die PurFrucht GmbH produziert Marmelade. Diese wird maschinell in Gläser zu je 500 g abgefüllt. Aufgrund eines Einstellungsfehlers variiert die Einwaage jedoch und eine Stichprobe von 10 Gläsern hat folgendes Ergebnis geliefert:

Wie gut arbeitet die Maschine? Wie sollten die Einstellungen angepasst werden, um ein besseres Ergebnis zu erzielen?

{{Aufgabe|Welche Information liefern die drei Lagemaße bezogen auf das obige Beispiel?}}

===Arithmetisches Mittel===
{{Definition|1=
Das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> <math>\bar x</math> ist die Summe aller Beobachtungswerte <math>a_i</math> dividiert durch den Stichprobenumfang <math>n</math>.

Mathematische Kurzschreibweise:
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
}}


{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Diese Definition des arithmetischen Mittels liefert:

::<math>\bar x=\frac{1}{10}(495+500+495+495+516+495+500+500+498+498)=\frac{1}{10}\cdot 5000=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.

===Modus===
{{Definition|1=
Der '''Modus''' <math>x_{Mod}</math> ist der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt. Es ist also derjenige Wert, der die größte Häufigkeit aufweist.
}}

Um den Modus zu berechnen ist es sinnvoll, die Urliste zu sortieren:

<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||<span style="background:yellow">495</span>||498||498||500||500||500||516
|}
<div>

Jetzt lässt sich leicht ablesen: <math>x_{Mod}=495</math>

Der Modus liegt bei 495 g.

===Median===
{{Definition|1=
Der '''Median''' <math>x_{Med}</math> ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn alle Beobachtungswerte <math>a_i</math> der Größe nach geordnet sind. Bei gerader Anzahl von Beobachtungswerten ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.
}}

{{Box|1=Üben|2=Man kann die Urliste direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen.}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[Beschreibende Statistik/Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Betrachtet man also die sortierte Urliste, so erkennt man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">

{| class="wikitable"
|-
| colspan="11" |'''sortierte Urliste Einwaage'''
|-
|Einwaage in g||495||495||495||495||<span style="background:yellow">498</span>||<span style="background:yellow">498</span>||500||500||500||516
|}
<div>


Hier berechnet sich der Median als arithmetisches Mittel der mittleren beiden Werte:

::<math>x_{Med}=\frac{1}{2}(498+498)=498</math>

Der Median liegt bei 498 g.

==Lagemaße ermitteln==
Nicht immer ist eine Urliste oder eine sortierte Urliste gegeben. Oft sind die Daten auch schon als absolute oder relative Häufigkeitsverteilung aufbereitet. Wie kommt man dann an die verschiedenen Lagemaße?

Angenommen, die Daten aus dem obigen Beispiel lägen nur als absolute Häufigkeitsverteilung vor:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||2||3||1||10
|}
<div>


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach eine zweite mögliche Definition:

{{Definition|1=
Ist eine absolute Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und das arithmetische Mittel dann bequem berechnen lassen.|Üben}}

Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Hier also:
<math>\bar x=\frac{1}{10}(495 \cdot 4+498 \cdot 2+500 \cdot 3+516 \cdot 1)=500</math>

===Modus ermitteln===

Der '''Modus''' ist leicht zu finden: Man liest einfach die höchste absolute Häufigkeit ab und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||<span style="background:yellow">4</span>||2||3||1||10
|}
<div>


Der Modus liegt bei <math>x_{Mod}=498</math>.



Beim Median addiert man die absoluten Häufigkeiten solange auf, bis man zur Mitte des Stichprobenumfangs gelangt ist.

{{Box|Einsatz des Taschenrechners|
Man kann die Häufigkeitsverteilung direkt in den Taschenrechner eingeben und den Median dann bequem berechnen lassen. |Üben}}
Eine ausführliche Anleitung gibt es [[../../Einsatz des Taschenrechners/ausführliche Anleitung|hier]].

Im Beispiel mit <math>n=10</math> sucht man also den 5. und 6. Wert:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''absolute Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>H(x_i)</math>||4||<span style="background:yellow">2</span>||3||1||10
|}
<div>


Die erste absolute Häufigkeit ist 4, also kleiner als 5 und 6.

Die nächste ist absolute Häufigkeit ist 2, 4+2=6, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math>:

::<math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.



Bleibt die Frage: Und wie geht das, wenn die Daten nur als relative Häufigkeitsverteilung vorliegen?

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||20%||30%||10%||100%
|}

<div>
|}


Um das arithmetische Mittel zu berechnen, nutzt man einfach die dritte mögliche Definition:


{{Definition|1=
Ist eine relative Häufigkeitsverteilung gegeben, so berechnet man das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar x</math> als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen angibt.
}}


Hier also:
<math>\bar x=495 \cdot 40%+498 \cdot 20%+500 \cdot 30%+516 \cdot 10%=500</math>

Das arithmetische Mittel liegt bei 500 g.
|}


Den '''Modus''' findet man, indem man die höchste relative Häufigkeit nimmt und die dazugehörende Merkmalsausprägung <math>x_i</math> liefert den Modus <math>x_{Mod}</math>.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||<span style="background:yellow">495</span>||498||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||<span style="background:yellow">40%</span>||20%||30%||10%||100%
|}
<div>

|
<math>x_{Mod}=495</math>
|-
|colspan="7"|

Der Modus liegt bei 495 g.
|}
===Median ermitteln===

Beim Median addiert man die relativen Häufigkeiten bis zu 50 % auf und liest die zugehörige Merkmalsausprägung ab.

Im Beispiel:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
| colspan="6" |'''relative Häufigkeit Einwaage'''
|-
|Einwaage <math>x_i</math> in g||495||<span style="background:yellow">498</span>||500||516||Summe
|-
|<math>h(x_i)</math>||40%||<span style="background:yellow">20%</span>||30%||10%||100%
|}
<div>


Die erste relative Häufigkeit beträgt 40%, also kleiner als 50%.

Die nächste ist absolute Häufigkeit beträgt 20%, 40%+20%=60%, also Ziel erreicht.

Die zugehörige Merkmalsausprägung <math>x_2=498</math> liefert den Median: <math>x_{Med}=498</math>.

Der Median liegt bei 498 g.

'''Interpretation der Ergebnisse:'''

*Das arithmetische Mittel - also die durchschnittliche Einwaage - liegt bei 500 g. Also haben im Mittel alle Gläser eine Einwaage von 500 g.
*Der Modus (also der am häufigsten vorkommende Wert) liegt bei 495 g. Das ist natürlich eher nicht so gut und könnte zu Kundenreklamationen führen. Aber hier ist zu bedenken, dass der Modus als Maß für die Mitte nur bei großem Stichprobenumfang wirklich aussagekräftig ist.
*Der Median liegt bei 498 g. Das ist allerdings kritisch, da somit mehr die Hälfte aller Gläser eine zu geringe Einwaage aufweisen.

{{Merke|Das <span style="background:yellow">'''arithmetische Mittel'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Mittelwert'''</span> oder <span style="background:yellow">'''Durchschnitt'''</span>) berechnet sich bei
: gegebener Urliste als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
: gegebener absoluter Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
: gegebener relativer Häufigkeitsverteilung als
:: <math>\bar x=x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)=\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
Das arithmetische Mittel entspricht nicht immer einer Merkmalsausprägung der Urliste.

Der <span style="background:yellow">'''Modus'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Modalwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
:: bei gegebener Urliste der Beobachtungswert, der am häufigsten vorkommt.
:: bei absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt.
Der Modus muss nicht eindeutig sein, entspricht aber in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.

Der <span style="background:yellow">'''Median'''</span> (auch <span style="background:yellow">'''Zentralwert'''</span>) <math>x_{Mod}</math> ist
: der Beobachtungswert <math>a_i</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei ungeradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: das arithmetische Mittel der mittleren Beobachtungswerte <math>a_{n/2}</math> und <math>a_{n/2 +1}</math> in der Mitte der sortierten Urliste bei geradem Stichprobenumfang <math>n</math>
: bei gegebener absoluter oder relativer Häufigkeitsverteilung durch Addition der Häufigkeiten bis zur Mitte zu ermitteln.
Der Median entspricht nicht in jedem Fall einer Merkmalsausprägung.}}

==Das passende Lagemaß auswählen==
Lagemaße berechnen ist nicht schwierig, aber welches ist das Richtige?

Diese Frage ist nicht leicht und schon gar nicht einfach zu beantworten.

Der Modus ist toll bei großen Datenmengen. Er ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten und er kann auch bei qualitativen Merkmalen verwendet werden. Außerdem ist sichergestellt, dass der Modus immer auch eine Merkmalsausprägung ist.

Der Median ist auch unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Beobachtungswerten. Aber um mit dem Median arbeiten zu können, müssen qualitative Merkmale eine Ordinalskala haben, für qualitative Merkmale mit Nominalskala bleibt nur der Modus. Es kann allerdings passieren, dass der Median einen Wert annimmt, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Das arithmetische Mittel lässt sich nur bei qualitativen Merkmalen anwenden. Leider reagiert das arithmetische Mittel aber sehr empfindlich auf Ausreißer und ist dann wenig aussagekräftig. Auch bei dem arithmetischen Mittel ist es möglich, dass ein Wert ermittelt wird, der als Merkmalsausprägung nicht vorkommt.

Es ist also in jedem einzelnen Fall zu prüfen, welches Lagemaß für das bestimmte Merkmal mit der gegebenen Häufigkeitsverteilung am besten geeignet ist.


==Übungen==

'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|arithmetisches Mittel||Durchschnitt||Mittelwert||<math>\bar x</math>
|-
|Median||Zentralwert||<math>x_{Med}</math>||der mittlere Wert eines sortierten Urliste
|-
|Modus||<math>x_{Mod}</math>||der häufigste Wert||Modalwert
|}
</div>




'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu, wenn die Daten als ... vorliegen.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Urliste||<math>\frac{1}{n}(a_1+a_2+ \cdots +a_{n-1}+a_n)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i</math>
|-
|absolute Häufigkeitsverteilung||<math>\frac{1}{n}(x_1 \cdot H(x_1)+x_2 \cdot H(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot H(x_{k-1})+x_k \cdot H(x_k))</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H(x_i)</math>||<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x_i \cdot H_i</math>
|-
|relative Häufigkeitsverteilung||<math>x_1 \cdot h(x_1)+x_2 \cdot h(x_2)+ \cdots +x_{k-1} \cdot h(x_{k-1})+x_k \cdot h(x_k)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h(x_i)</math>||<math>\sum_{i=1}^k x_i \cdot h_i</math>
|}
</div>




{{Aufgabe|
Gegeben sind die folgenden Urlisten:
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48
# 5; 7; 8; 7; 10; 10; 7; 6; 48; 2
Bestimmen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel für jede der drei Listen.
}}
{{Lösung versteckt|
Die erste Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=8</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10}{8}=7,5</math>

Da alle drei Lagemaße nah beieinander liegen, kann man davon ausgehen, dass es hier keine Ausreißer gibt und man jedes als Maß für die Mitte der Verteilung nutzen kann.

Die zweite Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=9</math>
:: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48}{9}=12</math>

Bemerkung: Hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene Ausreißer 48 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.

Die dritte Liste sortieren, Stichprobenumfang <math>n=10</math>
:: 2; 5; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; 48
Modus <math>x_{Mod}=7</math>
Median <math>x_{Med}=\frac{7+7}{2}=7</math>
arithmetisches Mittel <math>\bar x=\frac{5+6+7+7+7+8+10+10+48+2}{10}=11</math>

Bemerkung: Auch hier sieht man den Einfluß, den der neu dazugekommene zweite Ausreißer 2 auf das arithmetische Mittel hat. Es ist wieder das Einzige der drei Lagemaße, dass auf den neuen Wert reagiert. Hier ist das arithmetische Mittel nicht geeignet, die Mitte der Verteilung zu beschreiben.
}}



{{Aufgabe|
Entscheiden Sie.}}

<quiz display="simple">
{Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte.}
- Ja, das stimmt.
+ Nein, das stimmt nicht.

{Eine Hälfte aller Werte ist immer größer als der Modus.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus dem Produkt aller Werte und der Anzahl aller Werte.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Median und das arithmetische Mittel sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Median sind identisch.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Zentralwert und der Modus sind identisch.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Die Hälfte aller Werte ist kleiner oder genauso groß wie der Median.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

{Der Modus ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
+ Nein, das stimmt nicht.
- Ja, das stimmt.

{Das arithmetische Mittel ist nur für quantitative Merkmale geeignet.}
- Nein, das stimmt nicht.
+ Ja, das stimmt.

</quiz>



{{Aufgabe|
Die Firma Schmidt&Müller GmbH produziert unter anderem Schrauben mit einer Solllänge von 60 mm. In der Qualitätskontrolle werden der laufenden Produktion 20 Schrauben entnommen und die Beobachtungswerte (in mm) notiert:

59,5; 60,5; 60,0; 59,5; 59,5; 61,9; 59,5; 59,8; 60,3; 60,9; 61,5; 61,0; 60,2; 61,2; 60,3; 58,9; 60,8; 59,5; 58,5; 59,2

* Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Verteilung.
* Vergleichen Sie die beiden Lagemaße.
* Bei der 21. Entnahme wird eine besonders kurze Schraube von 57,0 mm entnommen. Wie beeinflusst diese Schraube arithmetisches Mittel und Median der Verteilung?
}}

{{Lösung versteckt|
Am einfachsten findet man die Lösung durch Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms.

Die ersten 20 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60,1</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=60,08</math> mm.

Sowohl der Durchschnitt als auch das Zentrum der Verteilung liegen über dem Sollwert von 60 mm. Der Median ist mit 60,1 mm weiter vom Sollwert entfernt als das arithmetische Mittel von 60,08 mm.

Die ersten 21 Beobachtungswerte liefern:
Median <math>x_{Med}=60</math> mm
arithmetisches Mittel <math>\bar x=59,93</math>

Beide Werte verändern sich nach unten. Der Durchschnitt liegt jetzt unter der Solllänge von 60 mm, das Zentrum der Verteilung liegt genau bei 60 mm.
}}



{{Aufgabe|Die Schülerinnen und Schüler des bkh nehmen an einer Befragung teil, in der die Ausstattung und Optik der Schule bewertet werden soll.

Bestimmen Sie jeweils
* das arithmetische Mittel,
* den Median (Zentralwert) und
* den Modus (Modalwert) der Ergebnisse.
Entscheiden Sie begründet, welches Lagemaß die höchste Aussagekraft hat.
}}

a)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||43
|-
|2 (gut)||22
|-
|3 (befriedigend)||15
|-
|4 (ausreichend)||36
|-
|5 (mangelhaft)||21
|-
|6 (ungenügend)||24
|}
b)
{|
|Bewertung der Ausstattung und Optik||Anzahl der Schüler
|-
|1 (sehr gut)||25
|-
|2 (gut)||29
|-
|3 (befriedigend)||28
|-
|4 (ausreichend)||27
|-
|5 (mangelhaft)||28
|-
|6 (ungenügend)||24
|}

{{Lösung versteckt|
Stichprobenumfang <math>n=161</math>

a)
Modus <math>x_{Mod}=1</math> (sehr gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=4</math> (ausreichend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,261</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

b)
Modus <math>x_{Mod}=2</math> (gut) (der häufigste Wert)
Median durch summieren der Häufigkeiten bis 81, zugehörige Merkmalsausprägung ablesen <math>x_{Med}=3</math> (befriedigend) (das Zentrum der Verteilung)
Arithmetisches Mittel <math>\bar x=3,472</math> (der Mittelwert oder Durchschnitt der Verteilung)

Der Modus ist nicht so aussagekräftig wie der Median, da der Stichprobenumfang nicht besonders groß ist.

Das arithmetische Mittel kann zwar berechnet werden, aber es kommt selbst als Merkmalsausprägung nicht vor. Hier verhält es sich so ähnlich wie der Durchschnitt aller Noten in einer Klassenarbeit. Das Merkmal ist qualitativ mit Ordinalskala.
}}


'''Aufgabe 6'''

<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=ph64ktzk301" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

{{Beschreibende Statistik}}

==Lernziele==
Sie kennen die Begriffe

*Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenumfang,
*Merkmal, Merkmalsausprägung, Beobachtungswert, Urliste, Merkmalsträger,
*arithmetisches Mittel, Modus, Median,
*absolute und relative Häufigkeitsverteilung,
*Klassen, Klassenanzahl, Spannweite und Klassenbreite.

Sie können

*diesen Begriffen die mathematischen Bezeichnungen zuordnen und
*sie im Sachkontext richtig anwenden.

Sie können zu gegebenen Daten

*eine passende graphische Darstellung auswählen und
*die Daten graphisch aussagekräftig aufbereiten.

Sollten Sie unsicher sein, so finden Sie alle nötigen Informationen hier:

[[../Grundbegriffe|Grundbegriffe der beschreibenden Statistik]]



{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite

2022-10-14T06:44:38Z

Buss-Haskert:

'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''

Nehmen wir nun an, wir wollen jemanden davon überzeugen, dass weniger als ein Viertel aller Schüler dieser Klasse besonders groß sind. Zunächst legen wir fest, was besonders groß bedeuten soll. Unsere Tabelle können wir entnehmen, dass mehr als ein Viertel aller Schüler 191 cm oder größer sind. Somit müssen wir einen Wert über 191 cm wählen und entscheiden uns für 195 cm. Um den Leser zu überzeugen, wählen wir nur zwei Klassen, alle Schüler kleiner als 195 und alle Schüler größer oder gleich 195. Unsere Tabelle bekommt dann folgendes Aussehen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013 bei unterschiedlicher Klassenbreite
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 195</math>||<math>195 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>22</math>||<math>3</math>||<math>1</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>88 %</math>||<math>12 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


Und so glaubt der geneigte Leser sofort, dass es sich um eine körperlich recht kleine Klasse handelt, da nicht mal ein Achtel aller Schüler größer oder gleich 195 cm sind. Die Aussage wird durch geschickte Wahl der Größe und einer passenden Klassenbildung unterstützt.

{{clear}}

Und noch einmal die Eisdiele "Rabe":
===Einführungsbeispiel - Teil 7===

Auch bei der Auswertung des Merkmals Alter kann man mit unterschiedlich großen Klassenbreiten arbeiten und versuchen zu interessanten Aussagen zu gelangen.

Wählt man beispielsweise nur zwei Klassen, die erste von 0 - 30 Jahre, die zweite von 30 - 80 Jahre, so erhält man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>30</math>||<math>16</math>||<math>\frac{8}{15}</math>||<math>53,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als sei die Eisdiele bei jeder Altersgruppe gleich beliebt. Dies ist jedoch nicht so, wie man im Abschnitt Klassen mit gleicher Klassenbreite gut sehen konnte.

'''Noch ein Versuch:'''

Diesmal wählt man drei Klassen und erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>15</math>||<math>7</math>||<math>\frac{7}{30}</math>||<math>23,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>15</math>||<math>30</math>||<math>9</math>||<math>\frac{3}{10}</math>||<math>30%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>

{{clear}}
'''Interpretation'''

Hier könnte man auf den ersten Blick folgern, dass die Eisdiele "Rabe" gerade beim älteren Publikum besonders angesagt ist.


Bleiben noch zwei Hinweise, die man beachten sollte:


{{Merke|Bei Klassen mit unterschiedlichen Breiten ist jeder Klasse <math>k_i</math> ihre Breite <math>b_i</math> zuzuordnen

Vorsicht bei Statistiken mit unterschiedlich breiten Klassen. Hier weiß man nie, was der Autor verstecken will.}}


Sie haben Ihr Regelheft mit dem achten Merksatz gefüllt.

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite

2022-10-14T06:44:07Z

Buss-Haskert:

'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''

Nehmen wir nun an, wir wollen jemanden davon überzeugen, dass weniger als ein Viertel aller Schüler dieser Klasse besonders groß sind. Zunächst legen wir fest, was besonders groß bedeuten soll. Unsere Tabelle können wir entnehmen, dass mehr als ein Viertel aller Schüler 191 cm oder größer sind. Somit müssen wir einen Wert über 191 cm wählen und entscheiden uns für 195 cm. Um den Leser zu überzeugen, wählen wir nur zwei Klassen, alle Schüler kleiner als 195 und alle Schüler größer oder gleich 195. Unsere Tabelle bekommt dann folgendes Aussehen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013 bei unterschiedlicher Klassenbreite
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 195</math>||<math>195 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>22</math>||<math>3</math>||<math>1</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>88 %</math>||<math>12 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


Und so glaubt der geneigte Leser sofort, dass es sich um eine körperlich recht kleine Klasse handelt, da nicht mal ein Achtel aller Schüler größer oder gleich 195 cm sind. Die Aussage wird durch geschickte Wahl der Größe und einer passenden Klassenbildung unterstützt.

{{clear}}

Und noch einmal die Eisdiele "Rabe":
===Einführungsbeispiel - Teil 7===

Auch bei der Auswertung des Merkmals Alter kann man mit unterschiedlich großen Klassenbreiten arbeiten und versuchen zu interessanten Aussagen zu gelangen.

Wählt man beispielsweise nur zwei Klassen, die erste von 0 - 30 Jahre, die zweite von 30 - 80 Jahre, so erhält man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>30</math>||<math>16</math>||<math>\frac{8}{15}</math>||<math>53,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als sei die Eisdiele bei jeder Altersgruppe gleich beliebt. Dies ist jedoch nicht so, wie man im Abschnitt Klassen mit gleicher Klassenbreite gut sehen konnte.

'''Noch ein Versuch:'''

Diesmal wählt man drei Klassen und erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>15</math>||<math>7</math>||<math>\frac{7}{30}</math>||<math>23,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>15</math>||<math>30</math>||<math>9</math>||<math>\frac{3}{10}</math>||<math>30%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>

{{clear}}
'''Interpretation'''

Hier könnte man auf den ersten Blick folgern, dass die Eisdiele "Rabe" gerade beim älteren Publikum besonders angesagt ist.
|}


Bleiben noch zwei Hinweise, die man beachten sollte:


{{Merke|Bei Klassen mit unterschiedlichen Breiten ist jeder Klasse <math>k_i</math> ihre Breite <math>b_i</math> zuzuordnen

Vorsicht bei Statistiken mit unterschiedlich breiten Klassen. Hier weiß man nie, was der Autor verstecken will.}}


Sie haben Ihr Regelheft mit dem achten Merksatz gefüllt.

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite

2022-10-14T06:43:22Z

Buss-Haskert:

'''Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)'''

Nehmen wir nun an, wir wollen jemanden davon überzeugen, dass weniger als ein Viertel aller Schüler dieser Klasse besonders groß sind. Zunächst legen wir fest, was besonders groß bedeuten soll. Unsere Tabelle können wir entnehmen, dass mehr als ein Viertel aller Schüler 191 cm oder größer sind. Somit müssen wir einen Wert über 191 cm wählen und entscheiden uns für 195 cm. Um den Leser zu überzeugen, wählen wir nur zwei Klassen, alle Schüler kleiner als 195 und alle Schüler größer oder gleich 195. Unsere Tabelle bekommt dann folgendes Aussehen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013 bei unterschiedlicher Klassenbreite
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 195</math>||<math>195 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>22</math>||<math>3</math>||<math>1</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>88 %</math>||<math>12 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


Und so glaubt der geneigte Leser sofort, dass es sich um eine körperlich recht kleine Klasse handelt, da nicht mal ein Achtel aller Schüler größer oder gleich 195 cm sind. Die Aussage wird durch geschickte Wahl der Größe und einer passenden Klassenbildung unterstützt.

{{clear}}

Und noch einmal die Eisdiele "Rabe":
===Einführungsbeispiel - Teil 7===

Auch bei der Auswertung des Merkmals Alter kann man mit unterschiedlich großen Klassenbreiten arbeiten und versuchen zu interessanten Aussagen zu gelangen.

Wählt man beispielsweise nur zwei Klassen, die erste von 0 - 30 Jahre, die zweite von 30 - 80 Jahre, so erhält man:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>30</math>||<math>16</math>||<math>\frac{8}{15}</math>||<math>53,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|-
| colspan="6"
|}
</div>

'''Interpretation'''

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als sei die Eisdiele bei jeder Altersgruppe gleich beliebt. Dies ist jedoch nicht so, wie man im Abschnitt Klassen mit gleicher Klassenbreite gut sehen konnte.

'''Noch ein Versuch:'''

Diesmal wählt man drei Klassen und erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>15</math>||<math>7</math>||<math>\frac{7}{30}</math>||<math>23,3%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>15</math>||<math>30</math>||<math>9</math>||<math>\frac{3}{10}</math>||<math>30%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>30</math>||<math>80</math>||<math>14</math>||<math>\frac{7}{15}</math>||<math>46,7%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>

{{clear}}
'''Interpretation'''

Hier könnte man auf den ersten Blick folgern, dass die Eisdiele "Rabe" gerade beim älteren Publikum besonders angesagt ist.
|}


Bleiben noch zwei Hinweise, die man beachten sollte:


{{Merke|Bei Klassen mit unterschiedlichen Breiten ist jeder Klasse <math>k_i</math> ihre Breite <math>b_i</math> zuzuordnen

Vorsicht bei Statistiken mit unterschiedlich breiten Klassen. Hier weiß man nie, was der Autor verstecken will.}}


Sie haben Ihr Regelheft mit dem achten Merksatz gefüllt.

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite

2022-10-14T06:38:59Z

Buss-Haskert: Wurzel n in der Tabelle berichtigt

Für die <span style="background:yellow">Anzahl der Klassen</span> gilt die folgende Regel, <br />
wobei <math>n</math> der Stichprobenumfang ist:

::<math>k \approx \sqrt{n}</math>

==Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)==

Im Beispiel ist

::<math>n=25</math>.

Also gilt für die Anzahl der Klassen

::<math>k \approx \sqrt{25}=5</math>.

Eine Klasse ist ein Teil der <span style="background:yellow">Spannweite <math>R</math></span> (<math>R</math> für Range,dem englischen Begriff für Spannweite), also ein Teil der Differenz zwischen der größten Merkmalsausprägung <math>x_{max}</math> und der kleinsten Merkmalsausprägung <math>x_{min}</math>.
<br />

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist

::<math>x_{max}=200</math> und
::<math>x_{min}=151</math> ,

somit gilt für die Spannweite

::<math>R=x_{max}-x_{min}=200-151=49</math>.



Die <span style="background:yellow">Klassenbreite <math>b</math></span> ist der Quotient aus Spannweite und Klassenanzahl.

===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Im Beispiel ist die Klassenbreite also
<math>b=\frac{Spannweite} {Anzahl der Klassen}=\frac{49} {5}=9,8 \approx 10</math>.
|}

<br />

Bei der Zuordnung der Merkmalsausprägungen ist darauf zu achten, dass sich die Klassen nicht überschneiden. Sonst könnte es passieren, dass eine Merkmalsausprägung zwei Klassen zugeordnet wird.

Beachten Sie:
Wählen Sie einen geeigneten Startwert als untere Klassengrenze (die in der Regel nicht zur Klasse gehören sollte) der ersten Klasse, addieren Sie die Klassenbreite um die obere Klassengrenze (diese gehört zur Klasse) zu erhalten.

Die obere Klassengrenze der vorangegangenen Klasse wird die untere Grenze der nächsten Klasse.

Und so fährt man fort, bis alle Klassen definiert sind.
<br />


{{Merke|Die einzelnen <span style="background:yellow">Klassen</span> bezeichnet man mit <math>k_i</math>, wobei <math>i=</math> <math>1;2;\dots;k-1;k</math> gilt.

<span style="background:yellow">Klassenanzahl</span>:
:: <math>k \approx \sqrt{n}</math>

<span style="background:yellow">Spannweite</span>:
:: <math>R= x_{max}-x_{min}</math>

<span style="background:yellow">Klassenbreite</span>:
:: <math>b=\frac{Spannweite}{Anzahl der Klassen}=\frac{R}{k}</math>}}


===Fortsetzung Beispiel Körpergröße (in cm)===

Man bestimmt nun die fünf Klassen der Breite 10 und beachtet dabei, dass die Klassen sich nicht überschneiden dürfen.
Dann bestimmt man die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Klassen, dabei werden alle Merkmalsausprägungen gezählt, die zu der jeweiligen Klasse gehören.
Dann berechnet man die relativen Häufigkeiten der einzelnen Klassen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="7" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>
||<math>150 < a_i \le 160</math>||<math>160 < a_i \le 170</math>||<math>170 < a_i \le 180</math>||<math>180 < a_i \le 190</math>||<math>190 < a_i \le 200</math>||Summe
|-
|<math>H(k_i)</math>||3||6||5||4||7||25
|-
|<math>h(k_i)</math>||12 %||24 %||20 %||16 %||28 %||100 %
|}
</div>


Diese Darstellung ist zunächst eher objektiv und der Leser der Tabelle wird nicht in die Irre geleitet. Festzuhalten ist, das es sich um eine Klasse mit eher großen Schülern handelt.
|}


===Einführungsbeispiel - Teil 6.1===

Bei der Umfrage der Eisdiele "Rabe" weist das Merkmal "Alter" sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen (genau 28 verschiedene Merkmalsausprägungen) auf, so dass eine Aufbereitung nach absoluten oder relativen Häufigkeitsverteilungen nicht zu mehr Übersicht beitragen würde. Hier bietet es sich an, Klassen zu bilden, um die Altersstruktur der Kunden besser zu verstehen.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! style="text-align:left;" |Größe!! style="text-align:left;" |Formel!! style="text-align:left;" |im Beispiel mit!! style="text-align:left;" |Einsetzen und Berechnen
|-
|Klassenanzahl||<math>k \approx \sqrt{n} </math>||<math>n=30</math>||<math>k \approx \sqrt{30}</math><math>\approx 5,8\approx 6</math>
|-
|Spannweite||<math>R=</math><math>x_{max}-x_{min}</math>||<math>x_{max}=75</math> und <math>x_{min}=4</math>||<math>R=</math><math>75-4=71</math>
|-
|Klassenbreite||<math>b=\frac{R}{k}</math>||<math>R=71</math> und <math>k=6</math>||<math>b=\frac{71}{\sqrt{30}}</math><math> \approx 13</math>
|}
</div>

|-
|colspan="6" |Jetzt geht es an die '''Klassenbildung''':

Legt man fest, dass die '''untere Grenze''' selbst nicht zur Klasse gehört, aber die '''obere Grenze''' der Klasse dazugehört, so hat man sichergestellt, dass die Beobachtungswerte den Klassen eindeutig zugeordnet werden können.

Dann wählt man einen '''Startwert''' für die untere Grenze der ersten Klasse <math>k_1</math> und addiert dann für die obere Klassengrenze die Klassenbreite zum Startwert. Die jeweils nächste Klasse hat dann als untere Grenze die obere Grenze der vorangegangenen Klasse.

Wählt man den Startwert <math>0</math>, so erhält man die Klassen <math>k_i</math> mit <math>i=1;2;3;4;5;6</math>:

::<math>k_1=]0;13], k_2=]13;26], k_3=]26;39],</math>
::<math>k_1=]39;52], k_2=]52;65], k_3=]65;78]</math>

===Einführungsbeispiel - Teil 6.2===

Jetzt muss die absolute Häufigkeit ermittelt werden, mit der die Beobachtungswerte in den einzelnen Klassen liegen:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>13</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>13</math>||<math>26</math>||<math>11</math>||<math>\frac{11}{30}</math>||<math>36,7%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>26</math>||<math>39</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>39</math>||<math>52</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>52</math>||<math>65</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>65</math>||<math>78</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>


'''Interpretation'''

Auffällig ist, dass mehr als ein Drittel aller Kunden zwischen 13 und 26 Jahren alt sind. Der Besitzer der Eisdiele könnte hieraus zum Beispiel ableiten, dass er mehr Angebote für die anderen Altersklassen anbieten sollte, um auch für diese Gruppen attraktiv zu sein und so mehr Umsatz zu erzielen.

'''Ausblick'''

Selbstverständlich wäre es auch möglich, eine andere Klassenanzahl zu wählen und so zu anderen Ergebnissen zu gelangen. Es ist nicht zwingend, die obigen Formeln für die Klassenanzahl und Klassenbreite zu wählen. Sie bieten aber einen guten Anhaltspunkt für eine erste Auswertung.

Hier noch eine weitere Auswertung mit 8 Klassen und einer Klassenbreite von 10.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
! colspan="3" |Klassen!! colspan="3" |Häufigkeiten
|-
|'''Klasse <math>k_i</math>'''||'''über ... Jahre'''||'''bis zu ... Jahre'''||'''<math>H(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math>'''||'''<math>h(k_i)</math> in Prozent'''
|-
|<math>k_1</math>||<math>0</math>||<math>10</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>10</math>||<math>20</math>||<math>10</math>||<math>\frac{1}{3}</math>||<math>33,3%</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>20</math>||<math>30</math>||<math>4</math>||<math>\frac{2}{15}</math>||<math>13,3%</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>30</math>||<math>40</math>||<math>5</math>||<math>\frac{1}{6}</math>||<math>16,7%</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>40</math>||<math>50</math>||<math>2</math>||<math>\frac{1}{15}</math>||<math>6,7%</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>50</math>||<math>60</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>60</math>||<math>70</math>||<math>3</math>||<math>\frac{1}{10}</math>||<math>10,0%</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>70</math>||<math>80</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{30}</math>||<math>3,3%</math>
|-
! colspan="3" |Summe|| align="left" |<math>100</math>|| align="left" |<math>1</math>|| align="left" |<math>100%</math>
|}
</div>



{{clear}}
{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem siebten Merksatz gefüllt.}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:29:57Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}


</div>

===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:28:57Z

Buss-Haskert:

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:28:22Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}


</div>

<br>

<br>
===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:27:39Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}

<br /><br /></div>


<br>
<br>
===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:27:07Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}

<br /></div>


<br>
<br>
===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:26:22Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}

<br /></div>


===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:25:41Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}

<br /></div>


===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:24:30Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>
===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:23:30Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.

===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>
===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:21:59Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>
===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:18:53Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>

<br>

===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>

<br>

Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>

<br>
===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Box|1=Merke|2=Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.|3=Merksatz}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Klassenbildung

2022-10-14T06:16:31Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**Klassenanzahl,
**Spannweite und
**Klassenbreite.
*Sie können entscheiden, ob vorliegende Daten zu klassieren sind, um sie aussagekräftig darzustellen.
*Sie können
**Klassenanzahlen,
**die Spannweite und
**Klassenbreiten im Sachzusammenhang berechnen.
*Sie kennen den Unterschied zwischen
**Klassen mit gleicher Klassenbreite und
**Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite.
*Sie können situativ entscheiden, welche Art von Klassenbildung für die Lösung einer Aufgabe geeignet ist.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen |Übungen]]

Man kann jede Art von Merkmalen klassieren. Das geht sogar bei qualitativen Merkmalen mit einer Nominalskala.

===Beispiel Merkmal Lieblingsfarbe===
Sind zum Beispiel die Farben hellgelb, gelb, sonnengelb, rot, grün, hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau unter den Merkmalsausprägungen, so könnte man die Klassen

:"'''gelb'''" mit den Merkmalsausprägungen hellgelb, gelb und sonnengelb,

:"'''blau'''" mit den Merkmalsausprägungen hellblau, mittelblau, himmelblau und dunkelblau ,

:"'''Andere'''" mit den verbliebenden Merkmalsausprägungen bilden.

Dies wird auch bei der Auswertung von Wahlergebnissen im Fernsehen gemacht, die kleineren, nicht so wichtigen Parteien werden unter "Andere" zusammengefasst.



Bei qualitativen Merkmalen mit einer Ordinalskala wird man immer darauf achten, dass aufeinander folgende Merkmalsausprägungen zusammengefasst werden.

===Beispiel Merkmal Note Mathematikarbeit===
Betrachtet man die Noten der letzten Mathematikarbeit, so könnte man die Klassen

:"'''Leistungsträger'''" für die Merkmalsausprägungen "sehr gut" und "gut",
:"'''Mittelfeld'''" für die Merkmalsausprägungen "befriedigend" und "ausreichend" und
:"'''Blauer Brief'''" für die Merkmalsausprägungen "mangelhaft" und "ungenügend" bilden,

um eine knappe Übersicht über die Lerngruppe zu erhalten.



Im Folgenden werden aber nur noch quantitative Merkmale betrachtet.

Nicht immer macht es Sinn, alle verschiedenen Merkmalsausprägungen einzeln zu betrachten. Bei quantitativen Merkmalen fasst man oft verschiedene Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen.

===Beispiel Körpergröße (in cm)===


<div style="float:right; margin-left:1em;">
{| class="wikitable"
|+Urliste
! colspan="5" |Körpergröße in cm
|-
|170||178||174||188||168
|-
|191||169||159||199||200
|-
|177||178||200||193||169
|-
|151||185||191||165||158
|-
|185||188||194||180||170
|}
</div>

Betrachtet man zum Beispiel die Körpergröße (in cm) der Schüler und Schülerinnen der Klasse HHU5 am Berufskolleg Hattingen (Schuljahr 2012/2013):

Wenn man hier die verschiedenen Merkmalsausprägungen mit ihren absoluten und relativen Häufigkeiten erfasst, ist noch nicht wirklich etwas gewonnen, da es 18 verschiedene Merkmalsausprägungen gibt, von denen sieben die absolute Häufigkeit 2 und alle anderen die absolute Häufigkeit 1 haben. (Der geneigte Leser mag das selber nachrechnen.)

Man könnte zum Beispiel die Frage "Wie viele Schüler sind größer als 175 cm und höchstens 183 cm? stellen.

Dann ist es sinnvoll, eine absolute Häufigkeitsverteilung mit drei verschiedenen Klassen zu bilden. Jede Klasse hat eine untere und eine obere Grenze. Wichtig ist, dass sich die Klassen nicht überschneiden, damit jeder Beobachtungswert nur genau zu einer Klasse gehört.

==Klasseneinteilung==

Klasse <math>k_1</math>:

:vom kleinsten Wert <math>x_{Min}</math> (hier: 151 cm) bis zu 175 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>[151;175]=]150;175]</math>

Klasse <math>k_2</math>:

:von über 175 cm bis zu 183 cm einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]175;183]</math>

Klasse <math>k_3</math>:

:von über 183 cm bis zum größten Wert <math>x_{Max}</math> (hier 200 cm) einschließlich
::mathematische Kurzschreibweise: <math>]183;200]</math>

===Häufigkeitsverteilung bestimmen===

Jetzt kann man die absolute Häufigkeit <math>H(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man alle Beobachtungswerte zählt, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen.
Dann lässt sich auch die relative Häufigkeit <math>h(k_i)</math> zu jeder Klasse <math>k_i</math> bestimmen, indem man den Anteil aller Beobachtungswerte am Stichprobenumfang <math>n</math>, die im Intervall der Klasse <math>k_i</math> liegen, berechnet.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="5" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
|<math>k_i</math>||<math>150 < a_i \le 175</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>183 < a_i \le 200</math>||'''Summe'''
|-
|<math>H(k_i)</math>||<math>10</math>||<math>4</math>||<math>11</math>||<math>25</math>
|-
|<math>h(k_i)</math>||<math>\frac{2}{5}=40 %</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>||<math>\frac{11}{25}=44 %</math>||<math>100 %</math>
|}
</div>


===Interpretation===

Es sind also nicht nur vier Schüler größer als 175 cm und höchstens 183 cm. Es sieht so aus, als wären die Schüler der Klasse entweder klein oder groß, weil die Klasse in der Mitte so selten vertreten ist.
<br />

Stimmt das denn?

Hier ist es hilfreich, sich mit den Klassenbreiten zu beschäftigen.

===Klassenbreiten bestimmen===
Die gewählten Klassen <math>k_i</math> sind unterschiedlich breit. Die Breite <math>b_i</math> einer Klasse <math>k_i</math> errechnet man, indem man die untere Grenze <math>uG_i</math> von der oberen Grenze <math>oG_i</math> subtrahiert.


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!untere Grenze <math>uG_i</math>!!obere Grenze <math>oG_i</math>!!Klassenbreite <math>b_i</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>150</math>||<math>175</math>||<math>175-150=25</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>175</math>||<math>183</math>||<math>183-175=8</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>183</math>||<math>200</math>||<math>200-183=17</math>
|}
</div>


Jetzt sieht man, dass die mittlere Klasse auch viel schmaler ist, als die beiden anderen Klassen. Die Klassenbreite hat aber Einfluss auf die Häufigkeit, mit der die Beobachtungswerte in der Klasse liegen. Deshalb wählt man in der Regel Klassen mit gleicher Klassenbreite. Nur in Ausnahmefällen machen Klassen mit unterschiedlichen Klassenbreiten Sinn. Ganz besonders gut geeignet sind unterschiedliche Klassenbreiten, wenn man schon vorher weiß, welche Aussage man mit den Daten unterstützen möchte.

Auch die obige Fragestellung hätte man prima mit gleich breiten Klassen lösen können. Dabei beginnt man dann mit dem aus der Frage vorgegebenen Intervall und bildet alle nötigen Klassen darunter und darüber mit Klassenbreite 8 cm so, dass man auch den kleinsten und den größten Beobachtungswert einer Klasse zuordnen kann.

Das sieht dann so aus:

<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
! colspan="4" |Klassierte Körpergrößen HHU5 2012/2013
|-
!Klasse <math>k_i</math>!!Intervall!!<math>H(k_i)</math>||<math>h(k_i)</math>
|-
|<math>k_1</math>||<math>143 < a_i \le 151</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_2</math>||<math>151 < a_i \le 159</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
|<math>k_3</math>||<math>159 < a_i \le 167</math>||<math>1</math>||<math>\frac{1}{25}=4 %</math>
|-
|<math>k_4</math>||<math>167 < a_i \le 175</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_5</math>||<math>175 < a_i \le 183</math>||<math>4</math>||<math>\frac{4}{25}=16 %</math>
|-
|<math>k_6</math>||<math>183 < a_i \le 191</math>||<math>6</math>||<math>\frac{6}{25}=24 %</math>
|-
|<math>k_7</math>||<math>191 < a_i \le 199</math>||<math>3</math>||<math>\frac{3}{25}=12 %</math>
|-
|<math>k_8</math>||<math>199 < a_i \le 207</math>||<math>2</math>||<math>\frac{2}{25}=8 %</math>
|-
! colspan="2" |Summe!!<math>25</math>!!<math>100%</math>
|}
</div>


===Interpretation===
Man kann leicht erkennen, dass es - unter Berücksichtigung der Klassenbreite - nur zwei Klassen gibt, in denen sich mehr Beobachtungswerte befinden. So erhält man also ein ganz anderes Bild der Verteilung.



{{Merke|Wenn bei einer umfangreichen Stichprobe sehr viele unterschiedliche Merkmalsausprägungen auftreten, so bietet es sich an, ähnliche Werte in sogenannte <span style="background:yellow">'''Klassen <math>k_i</math>'''</span> der <span style="background:yellow">(Klassen-)Breite <math>b_i</math></span> zusammenzufassen.}}


Man unterscheidet zwei Arten von Klassenbildungen:

*:Klassen mit gleicher Klassenbreite <math>b_i=b</math>
*:Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite <math>b_i</math>

Übrigens eignen sich Klassen mit unterschiedlicher Klassenbreite hervorragend, um Daten so aufzubereiten, dass sie die gewünschte Aussage (hier entweder eine Klasse mit besonders großen Schülern oder mit besonders kleinen Schülern) gut unterstützen. Hier gilt der allseits beliebte Spruch: "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem sechsten Merksatz gefüllt.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

==Übungen==
'''Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen und Formeln richtig zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Klassen||<math>k_i</math>||haben eine obere Grenze||haben eine untere Grenze
|-
|Klassenbreite||<math>b_i</math>||Spannweite geteilt durch Klassenanzahl||<math>\frac{R}{k}</math>||<math>b</math>
|-
|Spannweite||<math>R</math>||<math>x_{Max}-x_{Min}</math>||Differenz aus größter und kleinster Merkmalsausprägung
|-
|Klassenanzahl||<math>k</math>||<math>\sqrt{n}</math>||Wurzel aus dem Stichprobenumfang
|-
|größte Merkmalsausprägung||<math>x_{Max}</math>
|-
|kleinste Merkmalsausprägung||<math>x_{Min}</math>
|}
</div>

{{Aufgabe|Die PurFrucht Gmbh stellt auch Orangensaft her. Ein neuer Lieferant behauptet, dass sich aus einer 250 g schweren Orange 50 ml Saft herauspressen lässt. Eine Überprüfung von gleich schweren Orangen lieferte diese Ergebnisse [ml]:
<pre>
52,5; 51,7; 52,3; 50,9; 48,8; 51,4; 48,3;
52,2; 51,4; 50,7; 50,8; 52,0; 48,4; 50,0;
51,4; 49,1; 47,5; 51,5; 48,7; 51,3; 47,9;
49,5; 49,9; 50,1; 50,2; 52,4; 52,0; 50,1;
49,9; 51,9; 48,7; 51,4; 52,4; 47,9; 51,0;
48,9; 50,2; 48,0; 51,5; 49,8; 49,1; 48,4;
51,7; 51,1; 51,2; 51,5; 48,3; 51,5; 51,1
</pre>
Klassieren Sie die Daten und stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeitsverteilung auf und geben Sie an, was in diesem Fall Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägung ist.

Entscheiden Sie begründet, ob der Lieferant vertrauenswürdig ist.
}}

{{Aufgabe|
Sie haben die Aufgaben erfolgreich gelöst?

Hier geht's weiter. [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[../../Lernpfad zur Beschreibenden Statistik|Startseite des Lernpfads]]
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassen mit gleicher Klassenbreite|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung/Klassen mit gleicher Klassenbreite}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-10-14T06:13:36Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.6 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]

Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-10-14T06:13:03Z

Buss-Haskert: Bild berichtigt

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.06 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]
[[Datei:1.4.6 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]
Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-10-14T06:11:05Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.06 Strichliste.PNG|500px|Urliste Beobachtungswerte]]

Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten

2022-10-14T06:01:11Z

Buss-Haskert: Schreibweise Lösungsfeld berichtigt (mit 1= und 2=)

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**absolute Häufigkeit und
**relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.
*Sie können
**die absolute Häufigkeit eines Merkmals und
**die relative Häufigkeit eines Merkmals berechnen.
*Sie können Beobachtungswerte einer Urliste
**als absolute Häufigkeitsverteilung und
**als relative Häufigkeitsverteilung tabellarisch darstellen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Gerade bei großem Stichprobenumfang ist die Urliste nicht aussagekräftig. Hat man nicht zu viele verschiedene Merkmalsausprägungen, kann man die Häufigkeit festzustellen, mit der ein Merkmal eine bestimmte Ausprägung annimmt. Die Häufigkeit kann in '''absoluten Zahlen''' angegeben werden oder als '''relativer Anteil''' am Umfang der Stichprobe. Denken Sie immer daran, jede Aufbereitung soll die Daten aussagekräftiger machen. Meistens sollen die Daten eine Aussage unterstützen.

Gibt es sehr viele verschiedene Merkmalsausprägungen, so müssen die Merkmalsausprägungen zunächst zu Klassen zusammen gefasst werden. Dazu im nächsten Abschnitt mehr.


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
! align="left" |<u>Beispiel "Alter der Lerngruppe"</u>:
|-
|Die Urliste zum Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat einen Stichprobenumfang von <math>n=20</math> und enthält folgende Beobachtungswerte:

::<math>18; 20; 17; 19; 16; 19; 19; 18; 17; 16; 20; 19; 19; 17; 19; 19; 16; 19; 17; 20</math>

Das Merkmal "Alter der Lerngruppe" hat <math>k=5</math> Merkmalsausprägungen, nämlich:

::<math>16; 17; 18; 19; 20</math>

Jetzt lassen sich die absoluten Häufigkeiten leicht durch abzählen berechnen (ideal sind hier Strichlisten), man erhält:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!'''Merkmalsausprägung''' <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|'''absolute Häufigkeit''' <math>h(x_i)</math>||<math>3</math>||<math>4</math>||<math>2</math>||<math>8</math>||<math>3</math>||<math>20</math>
|}
</div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''absolute Häufigkeitsverteilung'''.

Oft interessieren die genauen Zahlen aber gar nicht, sondern es geht nur um Anteile vom Ganzen. Berechnet man aus der absoluten Häufigkeitsverteilung jetzt die relativen Anteile der Merkmalsausprägungen bezogen auf den Stichprobenumfang, so erhält man die folgende Tabelle:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|-
!Merkmalsausprägung <math>x_i</math>!!<math>16</math>!!<math>17</math>!!<math>18</math>!!<math>19</math>!!<math>20</math>!!Summe
|-
|absolute Häufigkeit <math>h(x_i)</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>\frac{4}{20}=</math>||<math>\frac{2}{20}=</math>||<math>\frac{8}{20}=</math>||<math>\frac{3}{20}=</math>||<math>1=</math>
|-
|oder als Dezimal- oder Prozentzahl||<math>0,15=15%</math>||<math>0,2=20%</math>||<math>0,1=10%</math>||<math>0,4=40%</math>||<math>0,15=15%</math>||<math>100%</math>
|}
<div>

|-
|Diese Art die Beobachtungswerte zu präsentieren nennt man '''relative Häufigkeitsverteilung'''.

Will man nicht mit Brüchen arbeiten, so hat es sich bewährt, Dezimalzahlen mit mindestens 3 Nachkommastellen darzustellen oder alternativ Prozentzahlen mit einer Dezimale. Aber oft sind die Darstellung als Bruch zu bevorzugen, weil es dann keine Rundungsdifferenzen gibt.
|}



{{Merke|Die <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeit'''</span> <math>H(x_i)</math> gibt die Anzahl aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> an.

Statt <math>H(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>H_i</math>.

Die <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeit'''</span> <math>h(x_i)=\frac{H(x_i)} {n}</math> gibt den Anteil aller Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung <math>x_i</math> bezogen auf den Stichprobenumfang <math>n</math> an.

Statt <math>h(x_i)</math> schreibt man auch kurz <math>h_i</math>.}}



{{Merke|Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist immer gleich der Anzahl aller Merkmalsträger, also gleich dem Stichprobenumfang.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k H(x_i)=n</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k H_i=n</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit absoluten Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''absolute Häufigkeitsverteilung'''</span>.

Die Summe der relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1, also 100 %.

Mathematische Kurzschreibweise:

:: <math>\sum_{i=1}^k h(x_i)=1</math> oder noch kürzer <math>\sum_{i=1}^k h_i=1</math>,

wobei <math>k</math> die Anzahl der Merkmalsausprägungen und <math>n</math> den Stichprobenumfang bezeichnen.

Eine Darstellung der Merkmalsausprägungen mit relativen Häufigkeiten nennt man <span style="background:yellow">'''relative Häufigkeitsverteilung'''</span>.}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 5'''<br /></u>

Jetzt kann mit dem nächsten Schritt der Aufbereitung der Umfrage der Eisdiele "Rabe" begonnen werden. Hier soll das Merkmal "Geschlecht" mit absoluten und später mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden.

Festgelegt wurde schon <math>x_1=m</math> für männlich und <math>x_2=w</math> für weiblich


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''absolute Häufigkeit <math>H(x_i)=H_i</math>'''||''' <math>12</math> '''||<math>18</math>||<math>30</math>
|}
<div>
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man nun die relative Häufigkeit, so erhält man diese, indem jede absolute Häufigkeit durch den Stichprobenumfang dividiert wird:


<div style="float:left; margin-right:1em;">
{| class="wikitable"
|'''Merkmalsausprägung <math>x_i</math>'''||'''männlich'''||'''weiblich'''||'''Summe'''
|-
|'''relative Häufigkeit <math>h(x_i)=h_i</math>'''||<math>\frac{12}{30}=0,4=40%</math>||<math>\frac{18}{30}=0,6=60%</math>||<math>1=100%</math>
|}
<div>

|}


{{Aufgabe|

Sie haben Ihr Regelheft mit dem vierten und fünften Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
<div class="zuordnungs-quiz">
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Ordnen Sie die mathematischen Bezeichnungen zu.
{|
|Merkmalsausprägungen||<math>x_i</math>||alle verschiedenen Beobachtungswerte eines Merkmals
|-
|Beobachtungswerte||<math>a_i</math>||Einträge zu einem Merkmal in einer Urliste
|-
|absolute Häufigkeit||<math>H_i</math>||<math>H(x_i)</math>||Anzahl mit der eine Merkmalsausprägung vorkommt
|-
|relative Häufigkeit||<math>h_i</math>||<math>h(x_i)</math>||Anteil einer Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang
|}
</div>




{{Aufgabe|1.4.2
Vervollständigen Sie die Auswertung der Daten, die von der Eisdiele "Rabe" erhoben wurden. Betrachten Sie dazu die Merkmale "Qualität der Eisdiele", "Lieblingseis" und "Durchschnittliche Anzahl Eiskugeln". Bestimmen Sie die zugehörigen absoluten und relativen Häufigkeiten. Ordnen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in tabellarischer Form für jedes einzelne Merkmal.

Das Merkmal "Alter" zu untersuchen wäre hier nicht zielführend, da es zu viele Merkmalsausprägungen gibt. Dies wird Thema im nächsten Abschnitt.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Eisdiele.PNG|Beschreibende Statistik - Lösung]]
}}




{{Aufgabe|1.4.3
Eine Umfrage zur Lieblingsfarbe des Autos hat folgende Urliste ergeben: blau, grün, schwarz, blau, rot, rot, weiß, silber, silber, weiß, weiß, schwarz, schwarz, schwarz, rot. Legen Sie die Merkmalsausprägungen fest und bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeit der einzelnen Merkmalsausprägungen.
}}
{{Lösung versteckt|
[[Datei:Loesung Autofarbe.PNG|Beschreibende Statistik Lösung Autofarbe]]
}}



{{Aufgabe|
Insgesamt besuchen 135 Schüler und Schülerinnen die Unterstufe der Höheren Handelsschule. Unter ihnen wurde eine Umfrage zur privaten Nutzung des Computers durchgeführt. Es durfte nur der Bereich angekreuzt werden, der am häufigsten genutzt wird.

Bestimmen Sie
* die absolute Häufigkeit und
* die relative Häufigkeit
** als Bruch und
** als Prozentzahl.

[[Datei:1.4 Strichliste.PNG|Strichliste]]

Geben Sie
* die Grundgesamtheit,
* den Stichprobenumfang,
* das Merkmal und
* die Merkmalsausprägungen an.
}}

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:1.4.4 Tabelle L.PNG|Häufigkeiten]]

Die Grundgesamtheit bilden die 135 Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule.

Stichpobenumfang n=105 (die Anzahl aller befragten Schüler und Schülerinnen der Unterstufe der Höheren Handelsschule)

Das untersuchte Merkmal kann kurz so heißen: "Häufigste private Nutzung des Computers"

Die Merkmalsausprägungen lauten:
* Chatten,
* Musikdownload,
* Informationen,
* Games und
* E-Mails.|2=Lösung
}}




<div class="lueckentext-quiz">
Das eigentliche Zählergebnis einer Menge (hier Merkmalsausprägung) nennt man '''absolute Häufigkeit'''.

Den '''Anteil''' von der Gesamtmenge nennt man '''relative Häufigkeit'''.

Die '''Summe''' der relativen Häufigkeiten ergibt, wenn keine Mehrfachnennungen vorliegen, stets '''100 % oder 1''', denn die Summe der '''Anteile''' ergibt ein '''Ganzes'''.

'''Rundungen''' können zu Abweichungen führen.

</div>




160 Schülerinnen und Schüler der Höheren Handelsschule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt.

Bestimmen Sie

*die absolute Häufigkeit und
*die relative Häufigkeit
**als Bruch und
**als Prozentzahl.

Wie können Sie prüfen, ob Sie richtig gerechnet haben?

[[Datei:1.4.06 Strichliste.PNG|500 px|Urliste Beobachtungswerte]]

Geben Sie

*die Grundgesamtheit,
*den Stichprobenumfang,
*das Merkmal und
*die Merkmalsausprägungen an.

{{Lösung versteckt|

[[Datei:1.4.6 Tabelle L.PNG|Lösung]]

Um zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hatte, sollte die Tabelle immer eine Summenspalte haben. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich dem Stichprobenumfang. Die Summe der relativen Häufigkeiten ist - bis auf Rundungsdifferenzen - gleich 1.
}}

{{Fortsetzung|weiter=Klassenbildung|weiterlink=Beschreibende Statistik/Klassenbildung}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen

2022-10-14T05:49:25Z

Buss-Haskert: Schreibweise Merkebox 1 berichtigt

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**quantitatives Merkmal
***metrisch diskrete Skala und
***metrisch stetige Skala,
**qualitatives Merkmal
***Ordinalskala und
***Nominalskala.
*Sie können die Begriffe
**quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala,
**quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala,
**qualitatives Merkmal mit Ordinalskala
**qualitatives Merkmal mit Nominalskala

:::im Sachzusammenhang erkennen und zuordnen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Um die statistische Erhebung auswerten zu können, müssen Merkmale mit ihren Merkmalsausprägungen weiter unterschieden werden.Man unterscheidet zwischen

::'''qualitativen''' und
::'''quantitativen''' Merkmalen.

;Quantitative Merkmale

Bei quantitativen Merkmalen lassen sich die Merkmalsausprägungen durch

::Zahlen oder
::Größenwerte

ausdrücken und in einer '''metrischen Skala''' anordnen. Mit quantitativen Merkmalen sollten einfache Rechenoperationen sinnvoll möglich sein.

Eine metrische Skala wird noch nach Art der vorkommenden Zahlen oder Größenwerte unterscheiden. Man nennt eine metrische Skala ''' metrisch diskret''', wenn nur ganze Zahlen (z. B. Personen) als Merkmalsausprägungen zugelassen sind. Können auch Dezimalzahlen als Merkmalsausprägung vorkommen, so nennt man die Skala '''metrisch stetig''' (alle Zahlen, z. B. Temperatur, Gewicht).

;Qualitative Merkmale

Qualitative Merkmale sind entweder Texte oder Zahlwerte, mit denen man aber keine sinnvollen Rechnungen ausführen kann.

Sie werden noch einmal unterschieden in solche, bei denen die Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge ('''ordinale Skala''') gebracht werden können, und in jene, bei denen die Merkmalsausprägungen nicht abgestuft werden können ('''nominale Skala''').


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="8" |<u>'''Beispiele:'''</u>
#Das Merkmal "Lieblingsfarbe" kann verschiedene Merkmalsausprägungen annehmen, z. B. rot, blau, gelb, grün, ... Es handelt sich um ein qualitatives Merkmal und die verschiedenen Farben lassen sich nicht in eine natürliche Reihenfolge bringen, also handelt es sich bei der zugehörigen Skala um eine Nominalskala.
#Das Merkmal "Interesse am Fach Deutsch" kann die Merkmalsausprägungen "hoch", "eher hoch", "eher gering" und "gering" annehmen. Auch hier handelt es sich um ein qualitatives Merkmal, aber diesmal mit Ordinalskala, da die einzelnen Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden können.
#Das Merkmal "Anzahl der Tische im Klassenraum" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala, da es keine halben Tische gibt.
#Das Merkmal "Körpergröße in m" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala, da auch Größen wie 1,88 m erfasst werden müssen.
#Besonders schwierig ist es die Ausprägungen des Merkmals "Note in Mathematik" genau einzuordnen. Man könnte meinen, es handele sich um ein quantitatives Merkmal, da ja jeder Lehrer z. B. die Durchschnittsnote, die in der letzten Klassenarbeit erzielt wurde, an die Tafel schreibt, also mit den Noten rechnet. Das hat sich so eingebürgert und funktioniert auch irgendwie, ist aber mathematisch eher fragwürdig. Denn gut und sehr gut ergibt nicht befriedigend, oder? Anders bei der Anzahl von Stühlen: hat man einen Stuhl und stellt noch zwei dazu, dann hat man insgesamt drei Stühle. <br>Also handelt es sich bei dem Merkmal "Note in Mathematik" um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala, da die verschiedenen Merkmalsausprägungen einer natürlichen Ordnung genügen.
|}



[[Datei:Uebersicht Merkmale.PNG|ohne]]

<br />
<br />

{{Box|1=Merke|2=Man unterscheidet in
* <span style="background:yellow">quantitative Merkmale</span>, deren Merkmalsausprägungen aus Zahlen oder Größenwerten bestehen
** mit <span style="background:yellow">metrisch diskreter Skala</span> (nur ganze Zahlen)
** mit <span style="background:yellow">metrisch stetiger Skala</span> (alle Kommazahlen)
* <span style="background:yellow">qualitative Merkmale</span>, deren Merkmalausprägungen in Textform oder als Zahlwerte (ohne mögliche sinnvolle Rechenoperationen) gegeben sind
** mit <span style="background:yellow">Ordinalskala</span> (die Merkmalsausprägungen lassen sich in eine natürliche Reihenfolge bringen)
** mit <span style="background:yellow">Nominalskala</span> (die Merkmalsausprägungen haben keine Wertigkeit)|3=Merksatz}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 4'''<br /></u>

Jetzt werden die Merkmale "Alter", "Geschlecht", "Lieblingseissorte" und "Durchschnittliche Anzahl an Eiskugeln" im Hinblick auf ihre Art und die zugehörige Skala untersucht:
|-

! style="text-align:left;" |Merkmal!! style="text-align:left;" |Merkmalsausprägungen!! style="text-align:left;" |Art des Merkmals!! style="text-align:left;" |Skala
|-
|Alter||0; 1; 2;...;100||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-
|Geschlecht||m, w||qualitativ||Nominalskala
|-
|Qualität der Eisdiele||sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend||qualitativ||Ordinalskala
|-
|Lieblingseis
||Himbeere, Vanille, Erdbeere, Pfefferminz, Schokolade, Zitrone, Mango, Jogurt, Nuss||qualitativ||Nominalskala
|-
|Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln||1, 2, 3, 4, 5||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man das Merkmal "Geschlecht" so lauten die ersten Beobachtungswerte

::<math>a_1=w; a_2=w; a_3=w; a_4=w; a_5=m;</math> ...

Es gibt <math>n=30</math> Beobachtungswerte <math>a_i</math>, aber nur zwei verschiedene Merkmalsausprägungen <math>x_i</math>. Jetzt legt man (beliebig) fest:

::<math>x_1=m</math> und <math>x_2=w</math>
|}


{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem dritten Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
{{Aufgabe|
Testen Sie Ihr Wissen und lösen Sie das Quiz. Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten! }}

<div class="multiplechoice-quiz">
Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala? (Noten in einer Klassenarbeit) (Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze)

Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Nominalskala? (Haustier) (Wunschtitel)(Geschlecht) (Hobby) (Lieblingsfarbe) (Beruf) (Konfession) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreten Skala? (Alter in Jahren) (Gehalt in vollen EUR) (Anzahl Sitzplätze) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (!Sehstärke in Dioptrien) (!Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (!Temperatur in Grad Celsius) (!Wasserpegel der Ruhr in Hattingen)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetigen Skala? (Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (Sehstärke in Dioptrien) (Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (Temperatur in Grad Celsius) (Wasserpegel der Ruhr in Hattingen) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt in vollen EUR) (!Anzahl Sitzplätze)
</div>

'''Ordnen Sie die Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Qualitative Merkmale||Haarfarbe||Schulform||Familienstand||Lieblingsessen||Hobby||Autofarbe||Augenfarbe||Konfession||Berufswunsch||Staatsangehörigkeit
|-
|Quantitative Merkmale||Alter||Größe||Schuhgröße||Bruttoeinkommen||Preis einer Ware||Kinderzahl||Geburtsjahr||Füllmenge
|}
</div>

{{Fortsetzung|weiter=Absolute und Relative Häufigkeiten|weiterlink=Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen

2022-10-14T05:48:39Z

Buss-Haskert:

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**quantitatives Merkmal
***metrisch diskrete Skala und
***metrisch stetige Skala,
**qualitatives Merkmal
***Ordinalskala und
***Nominalskala.
*Sie können die Begriffe
**quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala,
**quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala,
**qualitatives Merkmal mit Ordinalskala
**qualitatives Merkmal mit Nominalskala

:::im Sachzusammenhang erkennen und zuordnen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Um die statistische Erhebung auswerten zu können, müssen Merkmale mit ihren Merkmalsausprägungen weiter unterschieden werden.Man unterscheidet zwischen

::'''qualitativen''' und
::'''quantitativen''' Merkmalen.

;Quantitative Merkmale

Bei quantitativen Merkmalen lassen sich die Merkmalsausprägungen durch

::Zahlen oder
::Größenwerte

ausdrücken und in einer '''metrischen Skala''' anordnen. Mit quantitativen Merkmalen sollten einfache Rechenoperationen sinnvoll möglich sein.

Eine metrische Skala wird noch nach Art der vorkommenden Zahlen oder Größenwerte unterscheiden. Man nennt eine metrische Skala ''' metrisch diskret''', wenn nur ganze Zahlen (z. B. Personen) als Merkmalsausprägungen zugelassen sind. Können auch Dezimalzahlen als Merkmalsausprägung vorkommen, so nennt man die Skala '''metrisch stetig''' (alle Zahlen, z. B. Temperatur, Gewicht).

;Qualitative Merkmale

Qualitative Merkmale sind entweder Texte oder Zahlwerte, mit denen man aber keine sinnvollen Rechnungen ausführen kann.

Sie werden noch einmal unterschieden in solche, bei denen die Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge ('''ordinale Skala''') gebracht werden können, und in jene, bei denen die Merkmalsausprägungen nicht abgestuft werden können ('''nominale Skala''').


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="8" |<u>'''Beispiele:'''</u>
#Das Merkmal "Lieblingsfarbe" kann verschiedene Merkmalsausprägungen annehmen, z. B. rot, blau, gelb, grün, ... Es handelt sich um ein qualitatives Merkmal und die verschiedenen Farben lassen sich nicht in eine natürliche Reihenfolge bringen, also handelt es sich bei der zugehörigen Skala um eine Nominalskala.
#Das Merkmal "Interesse am Fach Deutsch" kann die Merkmalsausprägungen "hoch", "eher hoch", "eher gering" und "gering" annehmen. Auch hier handelt es sich um ein qualitatives Merkmal, aber diesmal mit Ordinalskala, da die einzelnen Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden können.
#Das Merkmal "Anzahl der Tische im Klassenraum" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala, da es keine halben Tische gibt.
#Das Merkmal "Körpergröße in m" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala, da auch Größen wie 1,88 m erfasst werden müssen.
#Besonders schwierig ist es die Ausprägungen des Merkmals "Note in Mathematik" genau einzuordnen. Man könnte meinen, es handele sich um ein quantitatives Merkmal, da ja jeder Lehrer z. B. die Durchschnittsnote, die in der letzten Klassenarbeit erzielt wurde, an die Tafel schreibt, also mit den Noten rechnet. Das hat sich so eingebürgert und funktioniert auch irgendwie, ist aber mathematisch eher fragwürdig. Denn gut und sehr gut ergibt nicht befriedigend, oder? Anders bei der Anzahl von Stühlen: hat man einen Stuhl und stellt noch zwei dazu, dann hat man insgesamt drei Stühle. <br>Also handelt es sich bei dem Merkmal "Note in Mathematik" um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala, da die verschiedenen Merkmalsausprägungen einer natürlichen Ordnung genügen.
|}



[[Datei:Uebersicht Merkmale.PNG|ohne]]

<br />
<br />

{{Box|1=Merke|2=Man unterscheidet in
* <span style="background:yellow">quantitative Merkmale</span>, deren Merkmalsausprägungen aus Zahlen oder Größenwerten bestehen
** mit <span style="background:yellow">metrisch diskreter Skala</span> (nur ganze Zahlen)
** mit <span style="background:yellow">metrisch stetiger Skala</span> (alle Kommazahlen)
* <span style="background:yellow">qualitative Merkmale</span>, deren Merkmalausprägungen in Textform oder als Zahlwerte (ohne mögliche sinnvolle Rechenoperationen) gegeben sind
** mit <span style="background:yellow">Ordinalskala</span> (die Merkmalsausprägungen lassen sich in eine natürliche Reihenfolge bringen)
** mit <span style="background:yellow">Nominalskala</span> (die Merkmalsausprägungen haben keine Wertigkeit)|3=Merke}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 4'''<br /></u>

Jetzt werden die Merkmale "Alter", "Geschlecht", "Lieblingseissorte" und "Durchschnittliche Anzahl an Eiskugeln" im Hinblick auf ihre Art und die zugehörige Skala untersucht:
|-

! style="text-align:left;" |Merkmal!! style="text-align:left;" |Merkmalsausprägungen!! style="text-align:left;" |Art des Merkmals!! style="text-align:left;" |Skala
|-
|Alter||0; 1; 2;...;100||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-
|Geschlecht||m, w||qualitativ||Nominalskala
|-
|Qualität der Eisdiele||sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend||qualitativ||Ordinalskala
|-
|Lieblingseis
||Himbeere, Vanille, Erdbeere, Pfefferminz, Schokolade, Zitrone, Mango, Jogurt, Nuss||qualitativ||Nominalskala
|-
|Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln||1, 2, 3, 4, 5||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man das Merkmal "Geschlecht" so lauten die ersten Beobachtungswerte

::<math>a_1=w; a_2=w; a_3=w; a_4=w; a_5=m;</math> ...

Es gibt <math>n=30</math> Beobachtungswerte <math>a_i</math>, aber nur zwei verschiedene Merkmalsausprägungen <math>x_i</math>. Jetzt legt man (beliebig) fest:

::<math>x_1=m</math> und <math>x_2=w</math>
|}


{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem dritten Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
{{Aufgabe|
Testen Sie Ihr Wissen und lösen Sie das Quiz. Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten! }}

<div class="multiplechoice-quiz">
Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala? (Noten in einer Klassenarbeit) (Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze)

Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Nominalskala? (Haustier) (Wunschtitel)(Geschlecht) (Hobby) (Lieblingsfarbe) (Beruf) (Konfession) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreten Skala? (Alter in Jahren) (Gehalt in vollen EUR) (Anzahl Sitzplätze) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (!Sehstärke in Dioptrien) (!Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (!Temperatur in Grad Celsius) (!Wasserpegel der Ruhr in Hattingen)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetigen Skala? (Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (Sehstärke in Dioptrien) (Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (Temperatur in Grad Celsius) (Wasserpegel der Ruhr in Hattingen) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt in vollen EUR) (!Anzahl Sitzplätze)
</div>

'''Ordnen Sie die Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Qualitative Merkmale||Haarfarbe||Schulform||Familienstand||Lieblingsessen||Hobby||Autofarbe||Augenfarbe||Konfession||Berufswunsch||Staatsangehörigkeit
|-
|Quantitative Merkmale||Alter||Größe||Schuhgröße||Bruttoeinkommen||Preis einer Ware||Kinderzahl||Geburtsjahr||Füllmenge
|}
</div>

{{Fortsetzung|weiter=Absolute und Relative Häufigkeiten|weiterlink=Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten}}

{{Beschreibende Statistik}}

Beschreibende Statistik/Qualitative und Quantitative Merkmale, Skalen

2022-10-14T05:45:59Z

Buss-Haskert: Klammern entfernt

'''Lernziele:'''

*Sie kennen die Definitionen (und mathematischen Bezeichnungen) der Begriffe
**quantitatives Merkmal
***metrisch diskrete Skala und
***metrisch stetige Skala,
**qualitatives Merkmal
***Ordinalskala und
***Nominalskala.
*Sie können die Begriffe
**quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala,
**quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala,
**qualitatives Merkmal mit Ordinalskala
**qualitatives Merkmal mit Nominalskala

:::im Sachzusammenhang erkennen und zuordnen.

Sie kennen das alles schon? Dann geht es hier direkt zu den Übungen [[Datei:Pfeil 2.gif]]   [[#Übungen|Übungen]]

Ansonsten sind Sie hier richtig.

Um die statistische Erhebung auswerten zu können, müssen Merkmale mit ihren Merkmalsausprägungen weiter unterschieden werden.Man unterscheidet zwischen

::'''qualitativen''' und
::'''quantitativen''' Merkmalen.

;Quantitative Merkmale

Bei quantitativen Merkmalen lassen sich die Merkmalsausprägungen durch

::Zahlen oder
::Größenwerte

ausdrücken und in einer '''metrischen Skala''' anordnen. Mit quantitativen Merkmalen sollten einfache Rechenoperationen sinnvoll möglich sein.

Eine metrische Skala wird noch nach Art der vorkommenden Zahlen oder Größenwerte unterscheiden. Man nennt eine metrische Skala ''' metrisch diskret''', wenn nur ganze Zahlen (z. B. Personen) als Merkmalsausprägungen zugelassen sind. Können auch Dezimalzahlen als Merkmalsausprägung vorkommen, so nennt man die Skala '''metrisch stetig''' (alle Zahlen, z. B. Temperatur, Gewicht).

;Qualitative Merkmale

Qualitative Merkmale sind entweder Texte oder Zahlwerte, mit denen man aber keine sinnvollen Rechnungen ausführen kann.

Sie werden noch einmal unterschieden in solche, bei denen die Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge ('''ordinale Skala''') gebracht werden können, und in jene, bei denen die Merkmalsausprägungen nicht abgestuft werden können ('''nominale Skala''').


{| style="color: black; background-color: #FFFFE0;border-left:solid 2px #FFB90F;border-right:solid 2px #FFB90F;border-top:solid 2px #FFB90F;border-bottom:solid 2px #FFB90F;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="8" |<u>'''Beispiele:'''</u>
#Das Merkmal "Lieblingsfarbe" kann verschiedene Merkmalsausprägungen annehmen, z. B. rot, blau, gelb, grün, ... Es handelt sich um ein qualitatives Merkmal und die verschiedenen Farben lassen sich nicht in eine natürliche Reihenfolge bringen, also handelt es sich bei der zugehörigen Skala um eine Nominalskala.
#Das Merkmal "Interesse am Fach Deutsch" kann die Merkmalsausprägungen "hoch", "eher hoch", "eher gering" und "gering" annehmen. Auch hier handelt es sich um ein qualitatives Merkmal, aber diesmal mit Ordinalskala, da die einzelnen Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden können.
#Das Merkmal "Anzahl der Tische im Klassenraum" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreter Skala, da es keine halben Tische gibt.
#Das Merkmal "Körpergröße in m" ist ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetiger Skala, da auch Größen wie 1,88 m erfasst werden müssen.
#Besonders schwierig ist es die Ausprägungen des Merkmals "Note in Mathematik" genau einzuordnen. Man könnte meinen, es handele sich um ein quantitatives Merkmal, da ja jeder Lehrer z. B. die Durchschnittsnote, die in der letzten Klassenarbeit erzielt wurde, an die Tafel schreibt, also mit den Noten rechnet. Das hat sich so eingebürgert und funktioniert auch irgendwie, ist aber mathematisch eher fragwürdig. Denn gut und sehr gut ergibt nicht befriedigend, oder? Anders bei der Anzahl von Stühlen: hat man einen Stuhl und stellt noch zwei dazu, dann hat man insgesamt drei Stühle. <br>Also handelt es sich bei dem Merkmal "Note in Mathematik" um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala, da die verschiedenen Merkmalsausprägungen einer natürlichen Ordnung genügen.
|}



[[Datei:Uebersicht Merkmale.PNG|ohne]]

<br />
<br />

{{Merke|Man unterscheidet in
* <span style="background:yellow">quantitative Merkmale</span>, deren Merkmalsausprägungen aus Zahlen oder Größenwerten bestehen
** mit <span style="background:yellow">metrisch diskreter Skala</span> (nur ganze Zahlen)
** mit <span style="background:yellow">metrisch stetiger Skala</span> (alle Kommazahlen)
* <span style="background:yellow">qualitative Merkmale</span>, deren Merkmalausprägungen in Textform oder als Zahlwerte (ohne mögliche sinnvolle Rechenoperationen) gegeben sind
** mit <span style="background:yellow">Ordinalskala</span> (die Merkmalsausprägungen lassen sich in eine natürliche Reihenfolge bringen)
** mit <span style="background:yellow">Nominalskala</span> (die Merkmalsausprägungen haben keine Wertigkeit)}}


[[Datei:Umfrage Eisdiele Urliste.PNG|rechts|Einführung Merkmale und Merkmalsausprägungen]]

{| style="color: black; background-color: #FFFAFA;border-left:solid 2px #CD0000;border-right:solid 2px #CD0000;border-top:solid 2px #CD0000;border-bottom:solid 2px #CD0000;font-size:100%;font-size:100%;"
| colspan="4" |
<u>'''Einführungsbeispiel - Teil 4'''<br /></u>

Jetzt werden die Merkmale "Alter", "Geschlecht", "Lieblingseissorte" und "Durchschnittliche Anzahl an Eiskugeln" im Hinblick auf ihre Art und die zugehörige Skala untersucht:
|-

! style="text-align:left;" |Merkmal!! style="text-align:left;" |Merkmalsausprägungen!! style="text-align:left;" |Art des Merkmals!! style="text-align:left;" |Skala
|-
|Alter||0; 1; 2;...;100||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-
|Geschlecht||m, w||qualitativ||Nominalskala
|-
|Qualität der Eisdiele||sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft, ungenügend||qualitativ||Ordinalskala
|-
|Lieblingseis
||Himbeere, Vanille, Erdbeere, Pfefferminz, Schokolade, Zitrone, Mango, Jogurt, Nuss||qualitativ||Nominalskala
|-
|Durchschnittliche Anzahl der gegessenen Eiskugeln||1, 2, 3, 4, 5||quantitativ||metrisch diskrete Skala
|-

| colspan="4" |
Betrachtet man das Merkmal "Geschlecht" so lauten die ersten Beobachtungswerte

::<math>a_1=w; a_2=w; a_3=w; a_4=w; a_5=m;</math> ...

Es gibt <math>n=30</math> Beobachtungswerte <math>a_i</math>, aber nur zwei verschiedene Merkmalsausprägungen <math>x_i</math>. Jetzt legt man (beliebig) fest:

::<math>x_1=m</math> und <math>x_2=w</math>
|}


{{Aufgabe|
Sie haben Ihr Regelheft mit dem dritten Merksatz gefüllt.
}}

==Übungen==
{{Aufgabe|
Testen Sie Ihr Wissen und lösen Sie das Quiz. Die folgenden Aufgaben können auch mehrere richtige Antworten enthalten! }}

<div class="multiplechoice-quiz">
Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Ordinalskala? (Noten in einer Klassenarbeit) (Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze)

Handelt es sich um ein qualitatives Merkmal mit Nominalskala? (Haustier) (Wunschtitel)(Geschlecht) (Hobby) (Lieblingsfarbe) (Beruf) (Konfession) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Alter in Jahren) (!Gehalt) (!Schuhgröße) (!Anzahl Sitzplätze) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch diskreten Skala? (Alter in Jahren) (Gehalt in vollen EUR) (Anzahl Sitzplätze) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (!Sehstärke in Dioptrien) (!Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (!Temperatur in Grad Celsius) (!Wasserpegel der Ruhr in Hattingen)

Handelt es sich um ein quantitatives Merkmal mit metrisch stetigen Skala? (Fruchtsaftgehalt von Apfelsaft) (Sehstärke in Dioptrien) (Reisegeschwindigkeit bei Flugzeugen) (Temperatur in Grad Celsius) (Wasserpegel der Ruhr in Hattingen) (!Noten in einer Klassenarbeit) (!Interesse an Fußball) (!Haustier) (!Wunschtitel)(!Geschlecht) (!Hobby) (!Lieblingsfarbe) (!Beruf) (!Familienstand) (!Konfession) (!Alter in Jahren) (!Gehalt in vollen EUR) (!Anzahl Sitzplätze)
</div>

'''Ordnen Sie die Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu.'''
<div class="zuordnungs-quiz">
{|
|Qualitative Merkmale||Haarfarbe||Schulform||Familienstand||Lieblingsessen||Hobby||Autofarbe||Augenfarbe||Konfession||Berufswunsch||Staatsangehörigkeit
|-
|Quantitative Merkmale||Alter||Größe||Schuhgröße||Bruttoeinkommen||Preis einer Ware||Kinderzahl||Geburtsjahr||Füllmenge
|}
</div>

{{Fortsetzung|weiter=Absolute und Relative Häufigkeiten|weiterlink=Beschreibende Statistik/Absolute und Relative Häufigkeiten}}

{{Beschreibende Statistik}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub

2022-06-03T14:48:43Z

Buss-Haskert:

{{Box|Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Dieser Lernpfad umfasst die gesamte Unterrichtsreihe zum Thema Lineare Funktionen. Er ist entstanden an der Herta-Lebenstein-Realschule in Stadtlohn.<br>
Der Lernpfad umfasst die nachfolgenden Kapitel.|Lernpfad}}

{{Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}

In diesem Lernpfad erarbeitest du das Wissen über das Thema "Lineare Funktionen" mit Anwendungen aus dem Aktiv-Urlaub. Bearbeite die Aufgaben gewissenhaft, übertrage Hefteinträge in dein Heft und stelle Fragen, falls du Probleme hast.<br>
Und nun: Auf die Plätze - fertig - los!

=="Lineare Funktionen" im Aktiv-Urlaub==

Dazu beginnen wir mit einem Fitness-Test (das Vorwissen)

===0) Vorwissen===

Bearbeite die Aufgaben in der Tabelle:

{| class="wikitable"

|+Wo stehe ich?
!Du kannst
!Übungen online
|-
| -Koordinaten in ein Koordinatensystem
ablesen und eintragen
{{Lösung versteckt|https://youtu.be/osDZGgnrklQ| Punkte im Koordinatenkreuz|Verbergen}}
|{{LearningApp|app=pzpujtmna20|width=100%|height=200px}}
|-
| -aus Grafen Informationen ablesen und
passende Grafen zu Sachsituationen zeichen
|{{LearningApp|app=pzuqpn7mk20|width=100%|height=200px}}
|-
| -proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen
erkennen und den Dreisatz anwenden
|{{LearningApp|app=pux6bddxc19|width=100%|height=200px}}
|-
| -bei proportionalen und umgekehrt proportionalen
Zuordnungen den Dreisatz anwenden
|{{LearningApp|app=1832420|width=100%|height=200px}}
|}

<br>
<br>

===Fitnesstest - Darstellungsformen von Zuordnungen===

Um die '''Darstellungsformen''' von Zuordnungen zu wiederholen führe folgenden Fitnesstest durch.

Steige so schnell wie möglich auf einen Stuhl hoch und wieder herunter. Dauer: 1 Minute. Danach miss 15 Sekunden lang deinen Puls und notiere den Wert in der Tabelle.

Tipp zur Pulsmessung: 15 Sekunden messen, diesen Wert mit 4 multiplizieren ergibt dann die Schläge pro Minute ("beats per Minute bpm)

{| class="wikitable"
!Zeit
in Minuten
!0
!0,5
!1
!1,5
!2
!2,5
!3
|-
|Puls
in bpm
|
|
|
|
|
|
|
|}

{{Box|Darstellungsform Schaubild|a) Stelle deine Ergebnisse nun in einem Schaubild dar.

b) Darfst du die einzelnen Punkte zu einer Linie verbinden?

c) Beschreibe den Verlauf des Graphen. |Üben}}

Zusammenfassung:

Nun hast du die Darstellungsformen von Zuordnungen wiederholt.

[[Datei:Darstellungsformen von Zuordnungen.png|800px|center]]

{{Box|Wie fit bist du?| Die Pulswerte, die du ermittelt hast, heißen Ruhepuls, Belastungspuls und Erholungspuls. Informiere dich über die Bedeutung dieser Namen und schreibe einen kurzen Text über deine Fitness.|Üben}}

Jetzt bist du fit für den Aktivurlaub!

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Analysis]]

{{Fortsetzung|weiter=1) Zuordnungen und Funktionen|weiterlink=Lineare Funktionen im_Aktiv-Urlaub/Zuordnungen und Funktionen}}

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub

2022-06-02T21:47:17Z

Buss-Haskert:

{{Box|Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Dieser Lernpfad umfasst die gesamte Unterrichtsreihe zum Thema Lineare Funktionen. Er ist entstanden an der Herta-Lebenstein-Realschule in Stadtlohn.<br>
Der Lernpfad umfasst die nachfolgenden Kapitel.|Lernpfad}}

{{Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}

In diesem Lernpfad erarbeitest du das Wissen über das Thema "Lineare Funktionen" mit Anwendungen aus dem Aktiv-Urlaub. Bearbeite die Aufgaben gewissenhaft, übertrage Hefteinträge in dein Heft und stelle Fragen, falls du Probleme hast.<br>
Und nun: Auf die Plätze - fertig - los!

=="Lineare Funktionen" im Aktiv-Urlaub==

Dazu beginnen wir mit einem Fitness-Test (das Vorwissen)

===0) Vorwissen===

Bearbeite die Aufgaben in der Tabelle:

{| class="wikitable"

|+Wo stehe ich?
!Du kannst
!Übungen online
|-
| -Koordinaten in ein Koordinatensystem
ablesen und eintragen
{{Lösung versteckt|https://youtu.be/osDZGgnrklQ| Punkte im Koordinatenkreuz|Verbergen}}
|{{LearningApp|app=pzpujtmna20|width=100%|height=200px}}
|-
| -aus Grafen Informationen ablesen und
passende Grafen zu Sachsituationen zeichen
|{{LearningApp|app=pzuqpn7mk20|width=100%|height=200px}}
|-
| -proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen
erkennen und den Dreisatz anwenden
|{{LearningApp|app=pux6bddxc19|width=100%|height=200px}}
|-
| -bei proportionalen und umgekehrt proportionalen
Zuordnungen den Dreisatz anwenden
|{{LearningApp|app=1832420|width=100%|height=200px}}
|}

Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!
<br>
<br>

===Fitnesstest - Darstellungsformen von Zuordnungen===

Um die '''Darstellungsformen''' von Zuordnungen zu wiederholen führe folgenden Fitnesstest durch.

Steige so schnell wie möglich auf einen Stuhl hoch und wieder herunter. Dauer: 1 Minute. Danach miss 15 Sekunden lang deinen Puls und notiere den Wert in der Tabelle.

Tipp zur Pulsmessung: 15 Sekunden messen, diesen Wert mit 4 multiplizieren ergibt dann die Schläge pro Minute ("beats per Minute bpm)

{| class="wikitable"
!Zeit
in Minuten
!0
!0,5
!1
!1,5
!2
!2,5
!3
|-
|Puls
in bpm
|
|
|
|
|
|
|
|}

{{Box|Darstellungsform Schaubild|a) Stelle deine Ergebnisse nun in einem Schaubild dar.

b) Darfst du die einzelnen Punkte zu einer Linie verbinden?

c) Beschreibe den Verlauf des Graphen. |Üben}}

Zusammenfassung:

Nun hast du die Darstellungsformen von Zuordnungen wiederholt.

[[Datei:Darstellungsformen von Zuordnungen.png|800px|center]]

{{Box|Wie fit bist du?| Die Pulswerte, die du ermittelt hast, heißen Ruhepuls, Belastungspuls und Erholungspuls. Informiere dich über die Bedeutung dieser Namen und schreibe einen kurzen Text über deine Fitness.|Üben}}

Jetzt bist du fit für den Aktivurlaub!

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Analysis]]

{{Fortsetzung|weiter=1) Zuordnungen und Funktionen|weiterlink=Lineare Funktionen im_Aktiv-Urlaub/Zuordnungen und Funktionen}}

Lernpfade Realschule NRW

2022-05-29T17:30:56Z

Buss-Haskert:

<div class="rahmen">[[Datei:Schullogo HLR.jpg|links|100x100px]]<span style="font-size:28pt;">Lernpfade</span>

<span style="font-size:14pt;">'''Lernpfade Mathematik Herta-Lebenstein-Realschule'''</span>

An der Herta-Lebenstein-Realschule sind zu (fast) allen Unterrichtsreihen Lernpfade im ''' [https://projekte.zum.de/wiki/Hauptseite ZUM-Projekte erstellt] '''worden.
Mit diesen Lernpfaden können die Schülerinnen und Schüler eigenverantwortlich arbeiten. Inhalte können selbst erarbeitet, geübt und gefestigt werden. Besonderer Wert wird auf die Selbstkontrolle der Lernenden gelegt. Dies geschieht z. B. durch die Integration von interaktiven Applets, Lernspielen oder durch versteckte Lösungen. Die Übungen zum Schulbuch beziehen sich auf das Schulbuch "Schnittpunkt Mathematik - Differenzierende Ausgabe" aus dem Klett-Verlag.<br>
<br>
Link zu den Lernpfaden der Herta-Lebenstein-Realschule im ZUM-Projektwiki:

'''[https://projekte.zum.de/wiki/Herta-Lebenstein-Realschule Lernpfade der Herta-Lebenstein-Realschule im Projektwiki] '''</div>

Die nachfolgenden Links führen zu abgeänderten Lernpfaden, die unabhängig vom Schulbuch sind.

'''Klasse 5'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [[Römische Zahlzeichen| Römische Zahlzeichen]]
|Farbe= #00008B
}}

'''Klasse 6'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/ Bruchteile & Bruchzahlen greifen & begreifen (tum.de) ] <br>
<small> Entwickelt wurde das Buch an der TUM School of Education und der Fakultät Mathematik der Technischen Universität München.</small>
|Farbe= #00008B
}}

'''Klasse 8'''<br>
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub]]
|Farbe= #00008B
}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Lernpfade Realschule NRW

2022-05-29T17:29:56Z

Buss-Haskert:

<div class="rahmen">[[Datei:Schullogo HLR.jpg|links|100x100px]]<span style="font-size:28pt;">Lernpfade</span>

<span style="font-size:14pt;">'''Lernpfade Mathematik Herta-Lebenstein-Realschule'''</span>

An der Herta-Lebenstein-Realschule sind zu (fast) allen Unterrichtsreihen Lernpfade im ''' [https://projekte.zum.de/wiki/Hauptseite ZUM-Projekte erstellt] '''worden.
Mit diesen Lernpfaden können die Schülerinnen und Schüler eigenverantwortlich arbeiten. Inhalte können selbst erarbeitet, geübt und gefestigt werden. Besonderer Wert wird auf die Selbstkontrolle der Lernenden gelegt. Dies geschieht z. B. durch die Integration von interaktiven Applets, Lernspielen oder durch versteckte Lösungen. Die Übungen zum Schulbuch beziehen sich auf das Schulbuch "Schnittpunkt Mathematik - Differenzierende Ausgabe" aus dem Klett-Verlag.<br>
<br>
Link zu den Lernpfaden der Herta-Lebenstein-Realschule im ZUM-Projektwiki:

'''[https://projekte.zum.de/wiki/Herta-Lebenstein-Realschule Lernpfade der Herta-Lebenstein-Realschule im Projektwiki] '''</div>

Die nachfolgenden Links führen zu abgeänderten Lernpfaden, die unabhängig vom Schulbuch sind.

'''Klasse 5'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [[Römische Zahlzeichen| Römische Zahlzeichen]]
|Farbe= #00008B
}}

'''Klasse 6'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/Bruchteile & Bruchzahlen greifen & begreifen (tum.de) ] <br>
<small> der TUM School of Education und der Fakultät Mathematik der Technischen Universität München.</small>
|Farbe= #00008B
}}

'''Klasse 8'''<br>
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=

* [[Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub]]
|Farbe= #00008B
}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Lernpfad]]

Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Zuordnungen und Funktionen

2022-05-27T15:41:08Z

Buss-Haskert: App ergänzt

{{Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}

==Was ist eine Funktion?==

Du hast den Fitnesstest "Stuhl hochsteigen" durchgeführt. Hier wird jedem Zeitpunkt '''genau ein''' Pulswert zugeordnet. Eine solche '''eindeutige Zuordnung''' heißt '''Funktion'''.

<br />

{{Box|Merke|Eine <b>Funktion</b> ist eine <b>eindeutige</b> Zuordnung.|Merksatz
}}

{{#ev:youtube|nFA8l3-0IXg}}

Funktionen können (ebenso wie Zuordnungen) auf verschieden Arten dargestellt werden:
<br />[[Datei:Darstellungformen Funktionen.png|Darstellung von Funktionen|zentriert|800x800px]]<br>

Die Bedeutung des Begriffes "Funktion" und die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen werden in den nachfolgenden Aufgaben geübt.
<br />

{{Box|Übung 1: Darstellung als Wortvorschrift|Handelt es sich bei der Zuordnung um eine Funktion? (Wird jedem Wert aus dem ersten Bereich <b>genau ein</b> Wert aus dem zweiten Bereich zugeordnet?)|Üben}}
{{LearningApp|app=pwjqaikhc20|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 2: Darstellung als Graph/Schaubild|Handelt es sich bei der graphischen Darstellung um eine Funktion?|Üben}}
{{LearningApp|app=2728348|width=100%|height=400px}}

{{Box|Wertetabelle erstellen|Das nachfolgende Video zeigt dir, wie du zu einer Funktionsgleichung (Funktionsvorschrift) eine Wertetabelle erstellst. Bearbeite anschließend die nachfolgende Übung.|Kurzinfo}}
{{#ev:youtube|dLfPBJgHgC4|800|center|||start=0&end=907}}

{{Box|Übung 3: Darstellung als Funktionsvorschrift, Funktionsgleichung und als Wertetabelle|Ordne den Texten die zugehörigen Funktionsgleichungen und Wertetabellen zu.|Üben}}
{{LearningApp|app=p6qvi0bqk20|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 4: Funktionsgleichung, Wertetabelle und Funktionsgraph|Ordne den Funktionsgleichungen jeweils die Wertetabellen und die Graphen zu.|Üben}}
{{LearningApp|app=pez73bxjj20|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 5 - Darstellung von Funktionen|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben
* 1
* 2
* 3|Üben}}

{{Box|Übung 6 - Wandern im Aktiv-Urlaub| Ordne den Graphen die passende Wandererzählung zu. Handelt es sich je um eine Funktion? |Üben}}
{{LearningApp|app=pj5i0y9kk20|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 7: Der Aktivurlaub geht weiter ... - Texte und Graphen|Anton und Lutz machen einen Wettlauf. Bearbeite das nachfolgende Quiz.|Üben}}<br>
<div class="multiplechoice-quiz">
[[Datei:Anton und Lutz Wettlauf.png|rahmenlos|600x600px]]<br>
Wie lange hat Anton für den 100m Lauf gebraucht? (!12s) (!12min) (14s) (!14min)

Anton überholt Lutz zweimal. (!wahr) (falsch)

Anton überholt Lutz dreimal. (!wahr) (falsch)

Lutz überholt Anton zweimal. (wahr) (!falsch)

Anton hat einmal kurz angehalten. (wahr) (!falsch)

Wer gewinnt diesen Wettlauf? (!Anton) (Lutz)

</div>
{{Box|Übung 8 - Fahrradtour Domino|Bringe die Dominokarten in die richtige Reihenfolge. Beginne links oben.|Üben}}
{{LearningApp|app=pof17h8ra22|width=100%|height=600px}}

{{Box|Nur für Profis: Zeit-Orts-Diagramme in der Physik|Löse auf der Seite Leifi-Physik das Quiz zu Zeit-Orts-Diagrammen. Dein Wissen aus den Aufgaben 8 - 10 wird dir helfen.
* [https://www.leifiphysik.de/mechanik/lineare-bewegung-gleichungen/aufgabe/quiz-zu-zeit-orts-diagrammen '''Quiz zu Zeit-Orts-Diagrammen''']|Üben}}

{{Fortsetzung|weiter=2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen|weiterlink=Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Lineare Funktionen erkennen und darstellen}}

[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Funktion]]
[[Kategorie:LearningApps]]