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Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-02-02T14:14:49Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen
* Im Fokus steht die allgemeine mathematische Kompetenz "Problemlösen"|Lernpfad
}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|750x750px]]
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Probleme mit dem Verständnis hast, kannst du dir gerne noch das folgende Video anschauen!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/KW9yWfyFICE?si=GPQ4708SvyZdSygA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}

{{Box
| Klasse = Üben|Aufgabe 1
| 2 = *f(x) = 3x -9
*g(x) = -2x + 4
*h(x) = -<math>\frac{3}{2}</math>x + 2
*l(x) = 6x - 0,5
}}
{{Lösung versteckt|1=*Die Nullstelle von f(x) liegt bei x = 3
*Die Nullstelle von g(x) liegt bei x = 2
*Die Nullstelle von h(x) liegt bei x = <math>\frac{4}{3}</math>
*Die Nullstelle von l(x) liegt bei x = <math>\frac{1}{12}</math>}}

== '''Anwendung''' ==
{{Box|Anwendung|Jetzt wendest du alles an, was du gelernt hast! Viel Erfolg!|Hervorhebung1
}}
{{Box|Aufgabe|Ermittle für jeden Graphen die Funktionsgleichung. Überprüfe dann rechnerisch, ob die Punkte A(6{{!}}6) und B(2{{!}}4) auf diesen Graphen liegen und ermittle rechnerisch die Nullstellen von jedem Graphen!
[[Datei:Anwendung.png|zentriert|mini|750x750px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=Für f(x):
* f(x) = -2x + 8
* Der Punkt A (6{{!}}6) liegt nicht auf dem Graphen, aber Punkt B (2{{!}}4) schon
* Die Nullstelle liegt bei x = 4

Für g(x):
* g(x) = 3x - 6
* Weder Punkt A (6{{!}}6) noch Punkt B (2{{!}}4) liegen auf dem Graphen
* Die Nullstelle liegt bei x = 2

Für h(x):
* h(x) = <math>\frac{2}{3}</math>x + 2
* Der Punkt A (6{{!}}6) liegt auf dem Graphen, aber nicht der Punkt B (2{{!}}4)
* Die Nullstelle liegt bei x = -3}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-02-02T14:03:01Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen
* Im Fokus steht die allgemeine mathematische Kompetenz "Problemlösen"|Lernpfad
}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|750x750px]]
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Probleme mit dem Verständnis hast, kannst du dir gerne noch das folgende Video anschauen!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/KW9yWfyFICE?si=GPQ4708SvyZdSygA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}

{{Box
| Klasse = Üben|Aufgabe 1
| 2 = *f(x) = 3x -9
*g(x) = -2x + 4
*h(x) = -<math>\frac{3}{2}</math>x + 2
*l(x) = 6x - 0,5
}}
{{Lösung versteckt|1=*f(0) = -9
*g(0) = 4
*h(0) = 2
*l(0) = -0,5}}

== '''Anwendung''' ==
{{Box|Anwendung|Jetzt wendest du alles an, was du gelernt hast! Viel Erfolg!|Hervorhebung1
}}
{{Box|Aufgabe|Ermittle für jeden Graphen die Funktionsgleichung. Überprüfe dann rechnerisch, ob die Punkte A(6{{!}}6) und B(2{{!}}4) auf diesen Graphen liegen und ermittle rechnerisch die Nullstellen von jedem Graphen!
[[Datei:Anwendung.png|zentriert|mini|750x750px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-02-02T14:01:28Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen
* Im Fokus steht die allgemeine mathematische Kompetenz "Problemlösen"|Lernpfad
}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|750x750px]]
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Probleme mit dem Verständnis hast, kannst du dir gerne noch das folgende Video anschauen!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/KW9yWfyFICE?si=GPQ4708SvyZdSygA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}

{{Box
| Klasse = Üben|Aufgabe 1
| 2 = *f(x) = 3x -9
*g(x) = -2x + 4
*h(x) = -<math>\frac{3}{2}</math>x + 2
*l(x) = 6x - 0,5
}}
{{Lösung versteckt|1=*f(0) = -9
*g(0) = 4
*h(0) = 2
*l(0) = -0,5}}

== '''Anwendung''' ==
{{Box|Anwendung|Jetzt wendest du alles an, was du gelernt hast! Viel Erfolg!|Hervorhebung1
}}
{{Box|Aufgabe|Ermittle für jeden Graphen die Funktionsgleichung. Überprüfe dann rechnerisch, ob die Punkte A(6{{!}}6) und B(2{{!}}4) auf diesen Graphen liegen und ermittle rechnerisch die Nullstellen von jedem Graphen!
[[Datei:Anwendung.png|zentriert|mini|750x750px]]|Üben
}}

Datei:Anwendung.png

2026-02-02T14:00:51Z

Aslanoll2: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Anwendung aller Inhalte
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Aslanoll2|Aslanoll2]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-02-02T13:57:37Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen
* Im Fokus steht die allgemeine mathematische Kompetenz "Problemlösen"|Lernpfad
}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|750x750px]]
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Probleme mit dem Verständnis hast, kannst du dir gerne noch das folgende Video anschauen!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/KW9yWfyFICE?si=GPQ4708SvyZdSygA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}

{{Box
| Klasse = Üben|Aufgabe 1
| 2 = *f(x) = 3x -9
*g(x) = -2x + 4
*h(x) = -<math>\frac{3}{2}</math>x + 2
*l(x) = 6x - 0,5
}}
{{Lösung versteckt|1=*f(0) = -9
*g(0) = 4
*h(0) = 2
*l(0) = -0,5}}

== '''Anwendung''' ==
{{Box|Anwendung|Jetzt wendest du alles an, was du gelernt hast! Viel Erfolg!|Hervorhebung1
}}
{{Box|Aufgabe|Ermittle für jeden Graphen die Funktionsgleichung. Überprüfe dann rechnerisch, ob die Punkte A(6|6) und B(2|4) auf diesen Graphen liegen und ermittle rechnerisch die Nullstellen von jedem Graphen|Üben}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-02-02T13:51:22Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen
* Im Fokus steht die allgemeine mathematische Kompetenz "Problemlösen"|Lernpfad
}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|750x750px]]
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Probleme mit dem Verständnis hast, kannst du dir gerne noch das folgende Video anschauen!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/KW9yWfyFICE?si=GPQ4708SvyZdSygA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}

{{Box
| Klasse = Üben|Aufgabe 1
| 2 = *f(x) = 3x -9
*g(x) = -2x + 4
*h(x) = -<math>\frac{3}{2}</math>x + 2
*l(x) = 6x - 0,5
}}
{{Lösung versteckt|1=*f(0) = -9
*g(0) = 4
*h(0) = 2
*l(0) = -0,5}}

== '''Anwendung''' ==
{{Box|Anwendung|Jetzt wendest du alles an, was du gelernt hast! Viel Erfolg!|Hervorhebung 1}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-02-02T13:35:47Z

Aslanoll2: /* Lineare Funktionen */

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-02-02T13:32:49Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|750x750px]]
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Probleme mit dem Verständnis hast, kannst du dir gerne noch das folgende Video anschauen!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/KW9yWfyFICE?si=GPQ4708SvyZdSygA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}

{{Box
| Klasse = Üben|Aufgabe 1
| 2 = *f(x) = 3x -9
*g(x) = -2x + 4
*h(x) = -<math>\frac{3}{2}</math>x + 2
*l(x) = 6x - 0,5
}}
{{Lösung versteckt|1=*f(0) = -9
*g(0) = 4
*h(0) = 2
*l(0) = -0,5}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-02-02T13:30:52Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|750x750px]]
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Probleme mit dem Verständnis hast, kannst du dir gerne noch das folgende Video anschauen!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/KW9yWfyFICE?si=GPQ4708SvyZdSygA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}

{{Box
| Klasse = Üben|Aufgabe 1
| 2 = *f(x) = 3x -9
*g(x) = -2x + 4
*h(x) = -<math>\frac{3}{2}</math>x + 2
*l(x) = 6x - 0,5
}}
{{Lösung versteckt|
*f(0) = -9
*g(0) = 4
*h(0) = 2
l(0) = -0,5}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-02-02T13:25:18Z

Aslanoll2: /* Nullstellen linearer Funktionen */

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|750x750px]]
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Probleme mit dem Verständnis hast, kannst du dir gerne noch das folgende Video anschauen!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/KW9yWfyFICE?si=GPQ4708SvyZdSygA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}

{{Box|Aufgabe 1|Berechne die Nullstellen der folgenden linearen Funktionen:
f(x) = 3x - 9
g(x) = -2x + 4
h(x) = -<math>\frac{3}{2}</math>x + 2
l(x) = 6x - 1,5 |Üben}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-01-14T16:34:14Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|750x750px]]
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Probleme mit dem Verständnis hast, kannst du dir gerne noch das folgende Video anschauen!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/KW9yWfyFICE?si=GPQ4708SvyZdSygA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-01-14T16:31:02Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|750x750px]]
}}

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-01-14T16:28:33Z

Aslanoll2: /* '''Nullstellen linearer Funktionen''' */

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht:
[[Datei:Nullstellen Beispiel.jpg|zentriert|mini|1033x1033px]]
}}

- Nullstellen berechnen
*

Datei:Nullstellen Beispiel.jpg

2026-01-14T16:27:24Z

Aslanoll2: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Nullstellen Beispiel
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Aslanoll2|Aslanoll2]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-01-14T16:23:19Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0.
}}

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-01-14T16:21:41Z

Aslanoll2: /* '''Nullstellen linearer Funktionen''' */

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0.
}}
<div style="margin-top:10px;">
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="display:inline-block; margin-right:10px; border:1px solid #007bff; padding:5px; background-color:#eef;">
'''💡 Tipp 1: Der Startwert'''
<div class="mw-collapsible-content">
Wenn du 0 Minuten telefonierst (<math>x=0</math>), musst du trotzdem die Anschlussgebühr bezahlen. Das ist dein Startwert (y-Achsenabschnitt).
</div>
</div>

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-01-14T16:11:31Z

Aslanoll2: /* Nullstellen linearer Funktionen */

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0.
}}
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-01-14T16:10:40Z

Aslanoll2: /* '''Nullstellen linearer Funktionen''' */

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
{{Box|Merke|Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. An dieser Stelle hat die Funktion den y-Wert 0. Das bedeutet: Wir suchen den x-Wert, für den gilt f(x) = 0|Merksatz}}
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2026-01-14T16:01:02Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, die Punktprobe zu verstehen, kannst du dir noch das folgende Video angucken!
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ySnWF-IT8A4?si=rxZ0Mf9XQ1G1-nwb" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-17T16:19:31Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>x-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T18:23:12Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T18:20:52Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T18:19:33Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
* a)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
* b)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
* c)
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* a) f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>-1
* b) g(x)=-2x+3
* c) h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|* a) f(x)=4x+3
* b) g(x)=<math>\frac{3}{4}</math>x-2
* c) h(x)=-6x+8}}
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T18:11:22Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* 1. f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>-1
* 2. g(x)=-2x+3
* 3. h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
{{Box|Aufgabe 3|* a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1{{!}}1) verläuft und die Steigung 4 hat
* b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8{{!}}4) und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math> hat.
* c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2{{!}}-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben
}}
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T18:06:51Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* 1. f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>-1
* 2. g(x)=-2x+3
* 3. h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
{{Box|Aufgabe 3|
a) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt P(-1|-1) verläuft und die Steigung 4 hat.
b) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt Q(8|4) verläuft und die Steigung <math>\frac{3}{4}</math>.
c) Ermittle diejenige lineare Funktion, die durch den Punkt A(2|-4) verläuft und die Steigung -6 hat.|Üben}}
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T17:47:34Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* 1. f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>-1
* 2. g(x)=-2x+3
* 3. h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T17:45:29Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=1. f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>-1
2. g(x)=-2x+3
3. h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T17:44:14Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
1. f(x)=<math>\frac{1}{2}</math>-1
2. g(x)=-2x+3
3. h(x)=<math>\frac{2}{3}</math>x+<math>\frac{3}{2}</math>}}
{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T17:36:15Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}

{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Datei:Funktionsterm bestimmen 3.png

2025-12-16T17:35:38Z

Aslanoll2: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Funktionsterm bestimmen 3
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Aslanoll2|Aslanoll2]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T17:28:29Z

Aslanoll2: /* Funktionsterm bestimmen */

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}

{{Box|Aufgabe 2|Ordne jedem Graphen den richtigen Term zu
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
|Üben}}
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T17:22:43Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== '''Steigung einer linearen Funktion''' ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}

- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T17:20:20Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== Steigung einer linearen Funktion ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 1|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben
}}
{{Box|Aufgabe 2|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 3|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 1|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 2|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box
| Klasse = Merksatz|Merke
| 2 = Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt.
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und y-Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]
}}

{{Box|Aufgabe 1|Bestimme den jeweiligen Funktionsterm anhand des Graphen
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]
[[Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]|Üben
}}

- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Datei:Funktionsterm bestimmen 2.png

2025-12-16T17:17:33Z

Aslanoll2: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Funktionsterm bestimmen 2
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Aslanoll2|Aslanoll2]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T17:04:31Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== Steigung einer linearen Funktion ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 4a|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben}}
{{Box|Aufgabe 4b|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]
|Üben}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 4c|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 4a|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 4b|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box|Merke|Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liegt, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png|zentriert|mini|800x800px]]|Merksatz}}

[[Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 2.png

2025-12-16T17:03:39Z

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{{Information
|description = Beispiel Funktionsterm bestimmen 2
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Aslanoll2|Aslanoll2]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Funktionsterm bestimmen 1.png

2025-12-16T17:01:23Z

Aslanoll2: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Funktionsterm bestimmen 1
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Aslanoll2|Aslanoll2]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T15:41:39Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== Steigung einer linearen Funktion ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 4a|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben}}
{{Box|Aufgabe 4b|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]
|Üben}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 4c|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 4a|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 4b|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box|Merke|Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:
[[Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png|zentriert|mini|800x800px]]

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung
Du kannst den Funktionsterm aber auch aus einem Punkt, der auf dem Graphen liget, und der gegebenen Steigung der dazugehörigen Funktion bestimmen.
* Beispiel:

- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Datei:Beispiel Funktionsterm bestimmen 1.png

2025-12-16T15:39:36Z

Aslanoll2: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Beispiel Funktionsterm bestimmen 1
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Aslanoll2|Aslanoll2]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T15:30:13Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== Steigung einer linearen Funktion ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 4a|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben}}
{{Box|Aufgabe 4b|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]
|Üben}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 4c|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

== Funktionsterm bestimmen ==

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 4a|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 4b|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
{{Box|Merke|Es gibt verschiedene Wege, um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen. Zwei mögliche Wege lernt ihr jetzt kennen.
* Funktionsterm aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt
Um den Funktionsterm einer linearen Funktion zu bestimmen, untersucht man den Zusammenhang zwischen Steigung und Achsenabschnitt, die gemeinsam die allgemeine Form, die du bereits kennst, (y=mx+b) festlegen.
* Beispiel:

* Funktionsterm aus einem Punkt und der gegebenen Steigung

- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2

2025-12-16T15:09:31Z

Aslanoll2:

[[Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen]]

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T15:04:15Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== Steigung einer linearen Funktion ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 4a|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben}}
{{Box|Aufgabe 4b|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]
|Üben}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 4c|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}

== Funktionsterm bestimmen ==

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 4a|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 4b|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T15:02:18Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== Steigung einer linearen Funktion ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 4a|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben}}
{{Box|Aufgabe 4b|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]
|Üben}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 4c|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Steigung 4c.png|zentriert|mini|800x800px]]}}
=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 4a|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 4b|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Datei:Lösung Steigung 4c.png

2025-12-16T15:01:48Z

Aslanoll2: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Lösung zur Aufgabe 4c)
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Aslanoll2|Aslanoll2]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Aslanoll2

2025-12-16T15:00:09Z

Aslanoll2:

[[Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen]]

[[Benutzer:Aslanoll2/ Test]]

Benutzer:Aslanoll2

2025-12-16T14:59:37Z

Aslanoll2:

[[Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen]]

Benutzer:Aslanoll2/ Test

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T14:55:36Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== Steigung einer linearen Funktion ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 4a|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben}}
{{Box|Aufgabe 4b|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]
|Üben}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 4c|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Ermittle rechnerisch, um wie viele Meter das Auto nach 130 Metern gestiegen ist. (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 4a|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 4b|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-16T14:52:08Z

Aslanoll2: /* Steigung einer linearen Funktion */

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-11T18:32:06Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== Steigung einer linearen Funktion ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 4a|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben}}
{{Box|Aufgabe 4b|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]
|Üben}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 4c|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.

<nowiki>Zusatzaufgabe (freiwillig): Um wie viele Meter ist das Auto nach 130 Metern gestiegen? (Hinweis: y = m ⋅ x + b)</nowiki>|Üben
}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 4a|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 4b|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

==Steigung einer linearen Funktion==
- Erinnerung: Graph einer linearen Funktion hat immer die gleiche Steigung

- m berechnen (Steigungsdreieck)

- Bezug herstellen: m berechnen, um Funktionsterm bestimmen zu können

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*

Benutzer:Aslanoll2/ Lineare Funktionen

2025-12-11T18:20:27Z

Aslanoll2:

== '''Lineare Funktionen''' ==
{{Box|Folgendes wird dirch in diesem Lernpfad begegnen:|
* Steigungen linearer Funktionen ermitteln
* Funktionsterme bestimmen
* Überprüfen, ob Punkte auf dem Graphen einer linearer Funktion liegen
* Nullstellen linearer Funktionen bestimmen|Lernpfad}}

{{Box|STOPP!! Bevor du diesen Lernpfad durcharbeitest, beachte bitte, dass einige Kenntnisse vorausgesetzt werden:|
* Funktionsbegriff
* Wertetabelle
* Allgemeine Form linearer Funktionen
Wenn du dir unsicher bist, ob du das genannte auf dem Kasten hast, kannst du gerne die kurze Einheit im Anschluss zur Wiederholung bearbeiten :)|Hervorhebung1}}

== '''Wiederholung (freiwillig)''' ==

=== Funktionsbegriff ===
Als erstes wiederholen wir den Funktionsbegriff. Die zentrale Fragestellung dabei ist "Was ist eine Funktion?". Viel Spaß!
{{Box|Aufgabe 1a|Ergänze im folgenden Satz das fehlende Wort:|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Eine Funktion ist eine '''eindeutige()''' Zuordnung

</div>
Falls du dir unsicher bist, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen
{{Lösung versteckt|Das fehlende Wort ist: "eindeutige". Kurz gesagt: Jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. }}

{{Box|Aufgabe 1b|Bearbeite folgende Aufgabe, indem du entscheidest, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phkc43qfj25" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hattest, könnte dir folgendes Video weiterhelfen:|Unterrichtsidee
}}
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/0LMjbej7bP0?si=o9doqKV7JfgHUy8o" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

===Wertetabelle===
Im nächsten Schritt folgen Übungen zu Wertetabellen als Darstellungsform von Linearen Funktionen.
{{Box|Aufgabe 2a|Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. Fülle die Wertetabelle aus, indem du die Werte vom Graphen abliest!|Üben
}}
[[Datei:WertetabelleLesen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

[[Datei:GraphFürWertetabelle.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|[[Datei:WertetabelleLEsen.png|zentriert|mini|900x900px]] }}

{{Box|Aufgabe 2b|<nowiki>Diesmal ist der Funktionsterm eines Graphen gegeben. Berechne mit dem Funktionsterm die fehlenden Werte in der Wertetabelle: f(x)=0,5x+2</nowiki>. Nachdem du die fehlenden Werte ermittelt hast, zeichnest du den Graphen der Funktion in dein Übungsheft!|Üben
}}

[[Datei:WertetabelleRechnen1.png|zentriert|mini|900x900px]]

{{Lösung versteckt|Das ist der Graph der Funktion:[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-09 at 20.36.26.jpg|zentriert|mini|900x900px]]
[[Datei:WertetabelleRechnen.png|zentriert|mini|900x900px]]}}

===Allgemeine Form linearer Funktionen===
Im letzten Teil der Wiederholung widmen wir uns der allgemeinen Form linearer Funktionen.

{{Box|Aufgabe 3a|<nowiki>Ergänze den folgenden Satz:</nowiki>|Üben
}}
<div class="lueckentext-quiz">

Die allgemeine Form linearer Funktionen lautet y='''mx+b()'''

</div>
Falls du dazu noch eine Auffrischung brauchst, kannst du gerne die folgende Lösung aufklappen!
{{Lösung versteckt|Jede Lineare Funktion lässt sich durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben:
:<math>f(x) = m \cdot x + b</math>
::(Manchmal auch <math>m \cdot x + n</math> oder <math>m \cdot x + c</math>)
}}

{{Box|Aufgabe 3b|<nowiki>Wofür steht das "m" in der allgemeinen Form und wofür steht das "b"?</nowiki>|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Das "m" und das "b" haben feste Bedeutungen:
* '''<math>m</math>''' ist die *Steigung* (Wie steil ist die Gerade?)
* '''<math>b</math>''' ist der *y-Achsenabschnitt* (Wo schneidet die Gerade die y-Achse?)
}}

== Steigung einer linearen Funktion ==
{{Box|Merke|Wie du bereits weißt, steht das "m" in der allgemeinen Form von linearen Funktionen für die Steigung des Graphen. Die Steigung einer linearen Funktion beschreibt, wie stark der Funktionswert y (oder f(x)) steigt oder fällt, wenn sich der x-Wert um eine Einheit verändert. Sie ist also das Maß für die "Neigung" des Graphen im Koordinatensystem.
<nowiki>Ist bei einer linearen Funktion m > 0, so steigt der dazugehörige Graph. Ist die Steigung m < 0, so fällt der dazugehörige Graph. Im Sonderfall m = 0 verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das heißt, dass der Graph weder steigt, noch fällt.</nowiki>
Die Steigung der linearen Funktion können wir mit dem sogenannten Steigungsdreieck berechnen. Im Bild unten siehst du, wie man dabei vorgeht.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 16.32.49.jpg|zentriert|mini|732x732px]]|Merksatz
}}
{{Box|Falls du dazu noch Hilfe brauchst!|Falls du Schwierigkeiten hast, das Prinzip hinter den Steigungsdreiecken zu verstehen, kannst du dir gerne das Video von Daniel Jung angucken.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aKvL__VeHS4?si=kHMVvKrThMBAlF46" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>|Unterrichtsidee}}
{{Box|Aufgabe 4a|Ordne die Steigungen den passenden Steigungsdreiecken zu.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=28369467" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Üben}}
{{Box|Aufgabe 4b|Übertrage die Geraden in dein Heft oder Tablet und ermittle rechnerisch die Steigungen der Geraden. Zeichne dazu passende Steigungsdreiecke ein.
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 18.53.33.jpg|zentriert|mini|723x723px]]
|Üben}}
{{Lösung versteckt|Anmerkung: Deine Steigungsdreiecke müssen nicht identisch mit der Lösung sein. Es gibt unterschiedliche Steigungsdreiecke für dieselbe Steigung!
[[Datei:WhatsApp Image 2025-12-11 at 19.10.58.jpg|zentriert|mini|713x713px]]}}
{{Box|Aufgabe 4c|Ein Auto fährt eine Straße bergauf. In 100 Meter waagerechter Strecke steigt die Straße um 20 Meter.
Zeichne den Verlauf der Straße in ein Koordinatensystem und berechne die Steigung der Straße.
Um wie viel Meter steigt das Auto pro 50 Meter Fahrstrecke?

Hinweis: Falls du Probleme bei der Skalierung hast, verwende 2 Kästchen pro 10 Meter.|Üben
}}

=='''Punktprobe'''==
{{Box|Merke|Mit der Punktprobe können wir überprüfen, ob ein bestimmter Punkt auf einem gegebenen Graphen liegt. Zur Erinnerung: Ein Punkt setzt sich zusammen aus seinem x-Wert und seinem y-Wert, die seine genaue Position im Koordinatensystem bestimmen.

Die Punktprobe läuft wie folgt ab:

<nowiki>Wir wollen überprüfen, ob die Punkte P (4|11) und T (2|6) auf dem Graphen der Funktion f(x) = 2x + 3 liegen.</nowiki>

Man rechnet:
<nowiki>Punkt P: f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Also liegt der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 11, derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt.</nowiki>
<nowiki>Punkt T: f(2) = 2 × 2 + 3 = 7 ≠ 6. Also liegt der Punkt T nicht auf dem Graphen der Funktion f, da der y-Wert des Punktes, also 6, nicht derselbe ist wie der Funktionswert, den man bekommt, wenn man den x-Wert des Punktes in die Funktion einsetzt </nowiki>|Merksatz
}}
{{Box|Aufgabe 4a|Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P (2{{!}}1) und Q (1{{!}}-1) auf dem Graphen liegen
*<nowiki> f(x) = 2x - 3</nowiki>
*<nowiki> g(x) = -3x + 7</nowiki>
*<nowiki> h(x) = 0,5x - 1,5</nowiki>
*<nowiki> u(x) = 4x - 6</nowiki>|Üben
| -1) auf dem Graphen der Funktion liegen:
* f(x) = 2x - 3
* g(x) = <math>\tfrac{1}{x}</math> - 2
* h(x) = -3x + 7
* u(x) = x + 5|Üben
}}
{{Lösung versteckt|
* P und Q liegen auf f(x)
* P liegt auf g(x), aber Q nicht
* P liegt nicht auf h(x), aber Q schon
* Weder P noch Q liegen auf u(x)
}}
{{Box|Aufgabe 4b|<nowiki>Wir haben eine 6,5cm lange Kerze. Ihr Abbrennen kann mit dieser Funktion beschrieben werden: f(x) = 6,5 - 0,4x. Dabei steht x für die Zeit in Minuten.</nowiki>

Überprüfe rechnerisch mithilfe der Punktprobe, ob die Punkte P (12{{!}}1,7) und T (14{{!}}1,5) auf dem Graphen der Funktion liegen.
Was bedeuten die Punkte im Zusammenhang mit der Kerze?|Üben
}}
{{Lösung versteckt|1=* Punkt P: f(12) = 6,5 - 0,4 × 12 = 1,7. Also liegt P auf dem Graphen von f.
* Punkt T: f(14) = 6,5 - 0,4 × 14 = 0,9 ≠ 1,5. Also liegt T nicht auf dem Graphen von f.
* Im Zusammenhang mit der Kerze heißt das: Der Punkt P liegt auf dem Graphen, da die Kerze nach 12 Minuten noch 1,7cm hoch war. Der Punkt T hingegen liegt nicht auf dem Graphen, da die Kerze nach 14 Minuten schon deutlich kleiner als 1,5cm war.}}

==Steigung einer linearen Funktion==
- Erinnerung: Graph einer linearen Funktion hat immer die gleiche Steigung

- m berechnen (Steigungsdreieck)

- Bezug herstellen: m berechnen, um Funktionsterm bestimmen zu können

=='''Funktionsterm bestimmen'''==
- Vorgehen erläutern und Idee dahinter mit Bezug auf Steigung (vorherige Einheit)

- y-Achsenabschnitt

- Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt in Kombination, um Funktionsterm bestimmen zu können

- anhand von 2 Punkten, die auf einem Graphen liegen, den Funktionsterm bestimmen und den Graphen zeichnen

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=323213" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
=='''Nullstellen linearer Funktionen'''==
- Vorgehen erläutern mit Hilfe von y-Achsenabschnitt

- Nullstellen berechnen
*