ZUM-Unterrichten - Benutzerbeiträge [de]

Datei:Lösung Aufgabe 2 Obersumme Untersumme.png

2020-11-07T10:18:02Z

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{{Information
|description = Lösung Obersumme Untersumme
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:1.annäherung weißes haus.png

2020-11-07T09:40:48Z

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|description = Untersumme weißes haus1
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Weisses Haus markiert.png

2020-11-07T09:30:49Z

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|description = Markierung weißes haus
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
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== Lizenz ==
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Datei:Grundriss weisses haus zoom.png

2020-11-07T09:17:40Z

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|description = Grundriss Weißes haus Zoom
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Grundriss weisses haus.png

2020-11-07T09:11:44Z

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|description = Grundriss weißes Haus
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Lösung2 2. Aufgabe.png

2020-11-06T20:16:52Z

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|description = Untersumme
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Lösung2 Aufgabe 2.png

2020-11-06T20:11:39Z

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|description = Untersumme
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Lösung1 Aufgabe 2.png

2020-11-06T20:10:42Z

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|description = Obersumme
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Obersumme Untersumme.png

2020-11-06T19:49:43Z

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=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Obersumme Untersumme}}
|date=2020-11-06
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|author=[[User:Agnes lint|Agnes lint]]
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|other versions=
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=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-4.0}}

Datei:1. Flächenannäherung.png

2020-11-06T18:14:06Z

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{{Information
|description = Flächenannäherung
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Integralfunktion wie groß ist die Fläche.png

2020-11-06T18:03:22Z

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{{Information
|description = Flächenintegral
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Krummlinige Flächen.jpg

2020-11-06T17:50:45Z

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{{Information
|description = Krummlinige Fläche
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Sprache der Funktionen

2020-03-26T15:36:21Z

Agnes lint:

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

{{Lernpfad-Navigation|

#[[Einführung von Funktionen]]
#[[Funktion - eine eindeutige Zuordnung]]
#[[Sprache der Funktionen]]
}}

Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|* Die Funktionen-Sprache kennen und anwenden können.
* Die Funktionen-Sprache in Anwendungsbeispiele interpretieren können.
* Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen können.
* Definitions- und Wertemenge einer Funktion bestimmen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können.
* FA 1.7: Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

Um den "Gültigkeitsbereich" einer Funktion anzugeben, verwendet man folgende Begriffe:
{{Box|Definitions- und Wertemenge|Alle Werte, die die unabhängige Variable (Argument) annimmt, bilden zusammen die '''Definitionsmenge D''' der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt, bilden die '''Wertemenge W'''|Merksatz}}

{{Box|Bezeichnungen bei Funktionen|
* Die Elemente der Definitionsmenge D einer Funktion nennt man '''Argumente''' oder '''Stellen''' der Funktion.
* Die Elemente der Wertemenge W nennt man '''Funktionswerte''' der Funktion.
* f(x) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
* Der Graph der Funktion f besteht aus den Punkten (x / f(x)).|Merksatz}}

{{Box|Funktionenschreibweise|
* Funktion <math>f: \mathbb{N}\ \rightarrow \mathbb{Z}
</math> mit <math>f(x) = 2x - 3</math> ist eine normalerweise verwendete Funktionsschreibweise.
* Auch <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math>mit <math>y = 2x - 3</math> ist üblich.
* "f" ist der '''Funktionsname'''. Für den Funktionsnamen verwendet man üblicherweise (nicht zwingend) Kleinbuchstaben.
* "2x - 3" ist der '''Funktionsterm''' der Funktion f.
* Die Schreibweise <math>\mathbb{N\rightarrow} \mathbb{Z}</math> legt für die Funktion f als '''Grundmenge''' <math>\mathbb{N}</math> und als '''Zielmenge''' <math>\mathbb{Z}</math> fest. Die Zielmenge gibt an, in welcher Menge die Funktionswerte der Funktion f liegen können. Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Die Grundmenge gibt an, in welcher Menge die Argumente der Funktion f liegen können. Die Definitionsmenge ist immer Teilmenge der Grundmenge.
* Ist die Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> so spricht man von einer '''reellen Funktion'''. Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich um reelle Funktionen.
|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Wertebereich Definitionsbereich 1 .png|rahmenlos|300x300px]]

# [[Datei:Geogebra-export (12).png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|1 = Lösung|2 =
# D = [0 ; 20] W = [0 ; 10]
# D = [2,5 ; 9,5] W = [0 ; 12,1] |3 = Lösung}}

{{Box| Übung| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Geogebra-export (13).png|rahmenlos]]

# [[Datei:Geogebra-export (14).png|rahmenlos]]| Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# <math>D = </math> [-2 ; 6] <math>W = </math> [4]
# <math>D =</math>[-1,5;0,8] <math>W = </math> [-0,2 ; 2,6]
|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

=Zusammenfassung=
Im folgenden Video wird der Inhalt dieses Lernpfades noch einmal zusammengefasst. Schau es dir aufmerksam an! Wenn dir einzelne Inhalte noch nicht ganz klar sind, dann gehe zurück in den betreffenden Teil des Lernpfades!

{{#ev:youtube|ng1-04ka2Zs}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück|vorherlink=Funktionen - eine eindeutige Zuordnung}}

Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T15:36:00Z

Agnes lint:

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

{{Lernpfad-Navigation|

#[[Einführung von Funktionen]]
#[[Funktion - eine eindeutige Zuordnung]]
#[[Sprache der Funktionen]]
}}

Im Rahmen dieses Lernpfades solltest du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Den Funktionsbegriff kennen und verstehen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.1: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktion betrachten kann. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

{{Box|Funktionen|Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt: "Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Handel es sich bei den dargestellten Zuordnungen um Funktionen? Begründe.
# Jedem Menschen wird seine leibliche Mutter zugeordnet.
# Jeder Mutter wird ihr Kind zugeordnet
# [[Datei:1 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# [[Datei:Halbe ellipse.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|
# Da jeder Mensch (Argument) nur eine leibliche Mutter (Wert) besitzt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine eindeutige Zuordnung, also um eine Funktion.
# Da eine Mutter (Argument) mehrere Kinder (Wert) haben kann, handelt es sich bei dieser Zuordnung um keine eindeutige Zuordnung, also um keine Funktion.
# Da jedem Argument a genau ein Wert g(a) zugeordnet ist, handelt es sich um die Wertetabelle einer Funktion.
# Da einigen Argumenten mehrere Werte zugeordnet werden, handelt es sich nicht um einen Funktionsgraphen.
|Lösung}}

{{Box|Üben| Handelt es sich bei der Zuordnung (teilweise in verbaler Darstellung) um eine Funktion? Begründe!
# Jedem in Österreich angemeldeten Auto wird eine Autonummer zugeordnet.
# [[Datei:2 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# Jedem erwachsenen Österreicher wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet.
# [[Datei:Funktion zuordnung.png|rahmenlos]]|Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem Auto (Argument) und seinem Kennzeichen (Wert) handelt.
# Nein, da einige Argumente (beispielsweise -2) zwei Werte zugeordnet werden, handelt es sich um keine Wertetabelle einer Funktion.
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem erwachsenen Österreicher (Argument) und seiner Sozialversicherungsnummer (Wert) handelt.
# Ja, da jedem Argument genau ein Wert zugeordnet wird, handelt es sich um den Graphen einer Funktion (Funktionsgraph).|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{LearningApp|app=ppvafpsdn20|width=100%|height=400px}}

{{Fortsetzung|weiter=Sprache der Funkionen|weiterlink=Sprache der Funktionen|vorher=zurück|vorherlink=Einführung in die Funktionen}}

Einführung von Funktionen

2020-03-26T15:35:21Z

Agnes lint:

{{Box|Lernpfad|Einführung von Funktionen|Lernpfad}}

{{Lernpfad-Navigation|

#[[Einführung von Funktionen]]
#[[Funktion - eine eindeutige Zuordnung]]
#[[Sprache der Funktionen]]
}}

=Einführung von Funktionen=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Verschiedene Darstellungsarten von Zusammenhänge kennen, anwenden und interpretieren können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.3: Zwischen tabellarischer und graphischer Darstellung von Funktionen wechseln können
* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

==='''Funktionen''' – was ist das eigentlich genau?===
{{Box|Info|Wir Menschen erkennen und suchen in unserer Welt seit jeher nach Zusammenhängen und versuchen Verbindungen zwischen unterschiedlichsten Ereignissen herzustellen.
So kann etwa ein Zusammenhang wischen der Körpergröße und dem Körpergewicht festgestellt werden. Die Körpergröße ist dabei ursächlich für das Körpergewicht. Im folgenden Lernpfad wirst du erfahren, wie man Zusammenhänge mit sogenannten Funktionen genau beschreiben und graphisch sichtbar machen kann.|Kurzinfo}}

===Einführung des Funktionsbegriff===
Um den vorher bereits besprochenen Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht untersuchen zu können, müssen wir zu allererst eine Wertetabelle erstellen. Dabei wird in der ersten Spalte die Körpergröße und in die zweite Spalte das Gewicht eingetragen.

{{Box|Wertetabelle|Eine Tabelle, die eine Zuordnung darstellt, nennt man Wertetabelle.
* In der ersten Spalte stehen die Werte der unabhängigen Größe, in der zweiten die der abhängigen.
* Die Einheiten der Größen sollen ebenso angegeben sein. |Merksatz}}

:::{| class="wikitable float left"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |Körpergröße (in cm)!! style="width:7em" |Gewicht (in kg)
|-
| style="text-align:center" |154|| style="text-align:center" |51
|-
| style="text-align:center" |158|| style="text-align:center" |58
|-
| style="text-align:center" |161|| style="text-align:center" |57
|-
| style="text-align:center" |172|| style="text-align:center" |65
|-
| style="text-align:center" |178|| style="text-align:center" |70
|-
| style="text-align:center" |183|| style="text-align:center" |78
|-
| style="text-align:center" |187|| style="text-align:center" |90
|-
| style="text-align:center" |193|| style="text-align:center" |89
|}

{{Box|Üben|Versuche nun selbst in deinem Heft eine Wertetabelle zu folgenden Angaben zu erstellen. Max spart ab heute eine Woche lang jeden Tag 50 Cent. Jedem Tag wird Max' Guthaben zugeordnet. |Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Tabelle Max.png|rahmenlos|Lösung Wertetabelle Max]] |Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{Box|Graph einer Zuordnung|Um den Graphen einer Zuordnung zu erhalten, werden Wertepaare in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
* Die unabhängige Variable wird auf die waagrechte Achse (Abszisse) eingetragen, die abhängige Größe in Richtung der senkrechten Achse (Ordinate).
* Die Beschriftung der Achsen ist bei jedem Graphen sehr wichtig. Es muss ersichtlich sein welche Werte auf den einzelnen Achsen aufgetragen werden und in welcher Einheit sie aufgetragen werden. |Merksatz}}

Um den Zusammenhang zwischen Körpergröße und Körpergewicht graphisch sichtbar zu machen, werden die Wertepaare nun in ein Koordinatensystem eingetragen.

[[Datei:Eingetragene Wertepaare im Koordinatensystem.png|rahmenlos|800px]]

Man erkennt nun, dass die Wertepaare zumindest annähernd auf einer geraden Linie liegen. Natürlich berührt die Linie nicht alle Punkt, allerdings erhält man so eine sogenannte Annäherung.

[[Datei:Geogebra-export (2).png|rahmenlos|800px]]

Die gerade Linie ergibt also für jeden beliebigen x-Wert einen zugehörigen y-Wert (nicht nur für unsere bereits eingetragenen Punkte.)

{{Box|Info|Graph und Wertetabelle können nicht immer alle möglichen Wertepaare eines Zusammenhangsdarstellen. Durch die durchgezogene Linie stellt der Graph jedoch alle unendlich vielen Wertepaare dar. Dies würde natürlich mit einer Wertetabelle nie gelingen. |Kurzinfo}}

{{Box|Üben|Versuche nun in deinem Heft die Wertepaare vom Guthaben von Max in ein Koordinatensystem eintragen und leg eine passende Linie durch die Wertepaare. |Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung versteckt|[[Datei:Lineare Funktion Max Guthaben.png|rahmenlos|800px]] |Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{Box|Termdarstellung|Die Termdarstellung drückt den Zusammenhang zwischen zwei Größen in Form einer Gleichung aus. Für diese Darstellungsart ist es unbedingt notwendig, die einzelnen Größen des Zusammenhangs durch Buchstaben zu benennen und mit den dazugehörigen Einheiten klar auszuweisen.
Die Schreibweise f(x) (gesprochen "f von x") drückt aus, dass die Größe f von der unabhängigen Größe x abhängt.|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Antonia soll ihrer Mutter mindestens zwei und höchstens sieben Tage lang helfen. Sie erhält dafür jeden Tag 7 €. Antonias Verdienst hängt von der Anzahl der Arbeitstage ab.
# Erstelle eine Tabelle, die Antonias Verdienst in Abhängigkeit von den Arbeitstagen zeigt.
# Zeichne den Graphen der Zuordnung.
# Gib einen Term für die dargestellte Zuordnung an. |Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|2= [[Datei:Wertetabelle Antonia.png|rahmenlos]]
[[Datei:Graph Antonia.png|rahmenlos]]

Zunächst müssen Variablen für die beiden Größen der Zuordnung gewählt werden. n: Anzahl der Arbeitstage V(n): Verdienst nach n Arbeitstagen in Euro (€)
'''Termdarstellung:<math>V(n) = 7n</math>''' |3=Lösung}}

{{Box|Üben|Joshua hat bereits 20€ angespart. Er plant in den nächsten zehn Monaten sein Erspartes jeweils am Monatsende um 5€ zu vermehren.
# Erstelle eine Tabelle, die das monatliche Guthaben in den zehn Monaten darstellt.
# Zeichne den Graphen der Zuordnung.
# Gib einen Term für die dargestellte Zuordnung an. |Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung versteckt|[[Datei:Guthaben Joshua Tabelle.png|rahmenlos]]
[[Datei:Funktion Guthaben Joshua.png|rahmenlos]]

Zunächst müssen Variablen für die beiden Größen der Zuordnung gewählt werden. n: Anzahl der Monate G(n): Guthaben nach n Monaten in Euro (€)
'''Termdarstellung: <math>G(n) = 20 + 5n</math> '''
|Lösung zeigen | Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{Fortsetzung|weiter=Funktion - eine eindeutige Zuordnung|weiterlink=Funktion - eine eindeutige Zuordnung}}

Sprache der Funktionen

2020-03-26T15:21:08Z

Agnes lint:

Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|* Die Funktionen-Sprache kennen und anwenden können.
* Die Funktionen-Sprache in Anwendungsbeispiele interpretieren können.
* Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen können.
* Definitions- und Wertemenge einer Funktion bestimmen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können.
* FA 1.7: Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

Um den "Gültigkeitsbereich" einer Funktion anzugeben, verwendet man folgende Begriffe:
{{Box|Definitions- und Wertemenge|Alle Werte, die die unabhängige Variable (Argument) annimmt, bilden zusammen die '''Definitionsmenge D''' der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt, bilden die '''Wertemenge W'''|Merksatz}}

{{Box|Bezeichnungen bei Funktionen|
* Die Elemente der Definitionsmenge D einer Funktion nennt man '''Argumente''' oder '''Stellen''' der Funktion.
* Die Elemente der Wertemenge W nennt man '''Funktionswerte''' der Funktion.
* f(x) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
* Der Graph der Funktion f besteht aus den Punkten (x / f(x)).|Merksatz}}

{{Box|Funktionenschreibweise|
* Funktion <math>f: \mathbb{N}\ \rightarrow \mathbb{Z}
</math> mit <math>f(x) = 2x - 3</math> ist eine normalerweise verwendete Funktionsschreibweise.
* Auch <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math>mit <math>y = 2x - 3</math> ist üblich.
* "f" ist der '''Funktionsname'''. Für den Funktionsnamen verwendet man üblicherweise (nicht zwingend) Kleinbuchstaben.
* "2x - 3" ist der '''Funktionsterm''' der Funktion f.
* Die Schreibweise <math>\mathbb{N\rightarrow} \mathbb{Z}</math> legt für die Funktion f als '''Grundmenge''' <math>\mathbb{N}</math> und als '''Zielmenge''' <math>\mathbb{Z}</math> fest. Die Zielmenge gibt an, in welcher Menge die Funktionswerte der Funktion f liegen können. Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Die Grundmenge gibt an, in welcher Menge die Argumente der Funktion f liegen können. Die Definitionsmenge ist immer Teilmenge der Grundmenge.
* Ist die Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> so spricht man von einer '''reellen Funktion'''. Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich um reelle Funktionen.
|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Wertebereich Definitionsbereich 1 .png|rahmenlos|300x300px]]

# [[Datei:Geogebra-export (12).png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|1 = Lösung|2 =
# D = [0 ; 20] W = [0 ; 10]
# D = [2,5 ; 9,5] W = [0 ; 12,1] |3 = Lösung}}

{{Box| Übung| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Geogebra-export (13).png|rahmenlos]]

# [[Datei:Geogebra-export (14).png|rahmenlos]]| Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# <math>D = </math> [-2 ; 6] <math>W = </math> [4]
# <math>D =</math>[-1,5;0,8] <math>W = </math> [-0,2 ; 2,6]
|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

=Zusammenfassung=
Im folgenden Video wird der Inhalt dieses Lernpfades noch einmal zusammengefasst. Schau es dir aufmerksam an! Wenn dir einzelne Inhalte noch nicht ganz klar sind, dann gehe zurück in den betreffenden Teil des Lernpfades!

{{#ev:youtube|ng1-04ka2Zs}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück|vorherlink=Funktionen - eine eindeutige Zuordnung}}

Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T15:19:18Z

Agnes lint: /* Funktion - eine eindeutige Zuordnung */

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Den Funktionsbegriff kennen und verstehen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.1: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktion betrachten kann. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

{{Box|Funktionen|Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt: "Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Handel es sich bei den dargestellten Zuordnungen um Funktionen? Begründe.
# Jedem Menschen wird seine leibliche Mutter zugeordnet.
# Jeder Mutter wird ihr Kind zugeordnet
# [[Datei:1 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# [[Datei:Halbe ellipse.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|
# Da jeder Mensch (Argument) nur eine leibliche Mutter (Wert) besitzt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine eindeutige Zuordnung, also um eine Funktion.
# Da eine Mutter (Argument) mehrere Kinder (Wert) haben kann, handelt es sich bei dieser Zuordnung um keine eindeutige Zuordnung, also um keine Funktion.
# Da jedem Argument a genau ein Wert g(a) zugeordnet ist, handelt es sich um die Wertetabelle einer Funktion.
# Da einigen Argumenten mehrere Werte zugeordnet werden, handelt es sich nicht um einen Funktionsgraphen.
|Lösung}}

{{Box|Üben| Handelt es sich bei der Zuordnung (teilweise in verbaler Darstellung) um eine Funktion? Begründe!
# Jedem in Österreich angemeldeten Auto wird eine Autonummer zugeordnet.
# [[Datei:2 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# Jedem erwachsenen Österreicher wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet.
# [[Datei:Funktion zuordnung.png|rahmenlos]]|Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem Auto (Argument) und seinem Kennzeichen (Wert) handelt.
# Nein, da einige Argumente (beispielsweise -2) zwei Werte zugeordnet werden, handelt es sich um keine Wertetabelle einer Funktion.
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem erwachsenen Österreicher (Argument) und seiner Sozialversicherungsnummer (Wert) handelt.
# Ja, da jedem Argument genau ein Wert zugeordnet wird, handelt es sich um den Graphen einer Funktion (Funktionsgraph).|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{LearningApp|app=ppvafpsdn20|width=100%|height=400px}}

{{Fortsetzung|weiter=Sprache der Funkionen|weiterlink=Sprache der Funktionen|vorher=zurück|vorherlink=Einführung in die Funktionen}}

Benutzer:Agnes lint/Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T15:18:47Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Benutzer:Agnes lint/Funktion - eine eindeutige Zuordnung nach Funktion - eine eindeutige Zuordnung und überschrieb dabei eine Weiterleitung

#WEITERLEITUNG [[Funktion - eine eindeutige Zuordnung]]

Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T15:18:46Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Benutzer:Agnes lint/Funktion - eine eindeutige Zuordnung nach Funktion - eine eindeutige Zuordnung und überschrieb dabei eine Weiterleitung

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

=Funktion - eine eindeutige Zuordnung=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Den Funktionsbegriff kennen und verstehen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.1: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktion betrachten kann. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

{{Box|Funktionen|Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt: "Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Handel es sich bei den dargestellten Zuordnungen um Funktionen? Begründe.
# Jedem Menschen wird seine leibliche Mutter zugeordnet.
# Jeder Mutter wird ihr Kind zugeordnet
# [[Datei:1 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# [[Datei:Halbe ellipse.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|
# Da jeder Mensch (Argument) nur eine leibliche Mutter (Wert) besitzt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine eindeutige Zuordnung, also um eine Funktion.
# Da eine Mutter (Argument) mehrere Kinder (Wert) haben kann, handelt es sich bei dieser Zuordnung um keine eindeutige Zuordnung, also um keine Funktion.
# Da jedem Argument a genau ein Wert g(a) zugeordnet ist, handelt es sich um die Wertetabelle einer Funktion.
# Da einigen Argumenten mehrere Werte zugeordnet werden, handelt es sich nicht um einen Funktionsgraphen.
|Lösung}}

{{Box|Üben| Handelt es sich bei der Zuordnung (teilweise in verbaler Darstellung) um eine Funktion? Begründe!
# Jedem in Österreich angemeldeten Auto wird eine Autonummer zugeordnet.
# [[Datei:2 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# Jedem erwachsenen Österreicher wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet.
# [[Datei:Funktion zuordnung.png|rahmenlos]]|Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem Auto (Argument) und seinem Kennzeichen (Wert) handelt.
# Nein, da einige Argumente (beispielsweise -2) zwei Werte zugeordnet werden, handelt es sich um keine Wertetabelle einer Funktion.
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem erwachsenen Österreicher (Argument) und seiner Sozialversicherungsnummer (Wert) handelt.
# Ja, da jedem Argument genau ein Wert zugeordnet wird, handelt es sich um den Graphen einer Funktion (Funktionsgraph).|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{LearningApp|app=ppvafpsdn20|width=100%|height=400px}}

{{Fortsetzung|weiter=Sprache der Funkionen|weiterlink=Sprache der Funktionen|vorher=zurück|vorherlink=Einführung in die Funktionen}}

Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T15:18:20Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Agnes lint/Funktion - eine eindeutige Zuordnung nach Benutzer:Agnes lint/Funktion - eine eindeutige Zuordnung

Sprache der Funktionen

2020-03-26T15:14:07Z

Agnes lint: /* Die Sprache der Funktionen */

Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|* Die Funktionen-Sprache kennen und anwenden können.
* Die Funktionen-Sprache in Anwendungsbeispiele interpretieren können.
* Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen können.
* Definitions- und Wertemenge einer Funktion bestimmen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können.
* FA 1.7: Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

Um den "Gültigkeitsbereich" einer Funktion anzugeben, verwendet man folgende Begriffe:
{{Box|Definitions- und Wertemenge|Alle Werte, die die unabhängige Variable (Argument) annimmt, bilden zusammen die '''Definitionsmenge D''' der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt, bilden die '''Wertemenge W'''|Merksatz}}

{{Box|Bezeichnungen bei Funktionen|
* Die Elemente der Definitionsmenge D einer Funktion nennt man '''Argumente''' oder '''Stellen''' der Funktion.
* Die Elemente der Wertemenge W nennt man '''Funktionswerte''' der Funktion.
* f(x) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
* Der Graph der Funktion f besteht aus den Punkten (x / f(x)).|Merksatz}}

{{Box|Funktionenschreibweise|
* Funktion <math>f: \mathbb{N}\ \rightarrow \mathbb{Z}
</math> mit <math>f(x) = 2x - 3</math> ist eine normalerweise verwendete Funktionsschreibweise.
* Auch <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math>mit <math>y = 2x - 3</math> ist üblich.
* "f" ist der '''Funktionsname'''. Für den Funktionsnamen verwendet man üblicherweise (nicht zwingend) Kleinbuchstaben.
* "2x - 3" ist der '''Funktionsterm''' der Funktion f.
* Die Schreibweise <math>\mathbb{N\rightarrow} \mathbb{Z}</math> legt für die Funktion f als '''Grundmenge''' <math>\mathbb{N}</math> und als '''Zielmenge''' <math>\mathbb{Z}</math> fest. Die Zielmenge gibt an, in welcher Menge die Funktionswerte der Funktion f liegen können. Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Die Grundmenge gibt an, in welcher Menge die Argumente der Funktion f liegen können. Die Definitionsmenge ist immer Teilmenge der Grundmenge.
* Ist die Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> so spricht man von einer '''reellen Funktion'''. Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich um reelle Funktionen.
|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Wertebereich Definitionsbereich 1 .png|rahmenlos|300x300px]]

# [[Datei:Geogebra-export (12).png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|1 = Lösung|2 =
# D = [0 ; 20] W = [0 ; 10]
# D = [2,5 ; 9,5] W = [0 ; 12,1] |3 = Lösung}}

{{Box| Übung| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Geogebra-export (13).png|rahmenlos]]

# [[Datei:Geogebra-export (14).png|rahmenlos]]| Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# <math>D = </math> [-2 ; 6] <math>W = </math> [4]
# <math>D =</math>[-1,5;0,8] <math>W = </math> [-0,2 ; 2,6]
|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück|vorherlink=Funktionen - eine eindeutige Zuordnung}}

=Zusammenfassung=
Im folgenden Video wird der Inhalt dieses Lernpfades noch einmal zusammengefasst. Schau es dir aufmerksam an! Wenn dir einzelne Inhalte noch nicht ganz klar sind, dann gehe zurück in den betreffenden Teil des Lernpfades!

{{#ev:youtube|ng1-04ka2Zs}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück|vorherlink=Agnes_lint/Funktionen - eine eindeutige Zuordnung}}

Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T15:12:48Z

Agnes lint:

Einführung von Funktionen

2020-03-26T15:11:47Z

Agnes lint:

{{Box|Lernpfad|Einführung von Funktionen|Lernpfad}}

=Einführung von Funktionen=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Verschiedene Darstellungsarten von Zusammenhänge kennen, anwenden und interpretieren können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.3: Zwischen tabellarischer und graphischer Darstellung von Funktionen wechseln können
* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

==='''Funktionen''' – was ist das eigentlich genau?===
{{Box|Info|Wir Menschen erkennen und suchen in unserer Welt seit jeher nach Zusammenhängen und versuchen Verbindungen zwischen unterschiedlichsten Ereignissen herzustellen.
So kann etwa ein Zusammenhang wischen der Körpergröße und dem Körpergewicht festgestellt werden. Die Körpergröße ist dabei ursächlich für das Körpergewicht. Im folgenden Lernpfad wirst du erfahren, wie man Zusammenhänge mit sogenannten Funktionen genau beschreiben und graphisch sichtbar machen kann.|Kurzinfo}}

===Einführung des Funktionsbegriff===
Um den vorher bereits besprochenen Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht untersuchen zu können, müssen wir zu allererst eine Wertetabelle erstellen. Dabei wird in der ersten Spalte die Körpergröße und in die zweite Spalte das Gewicht eingetragen.

{{Box|Wertetabelle|Eine Tabelle, die eine Zuordnung darstellt, nennt man Wertetabelle.
* In der ersten Spalte stehen die Werte der unabhängigen Größe, in der zweiten die der abhängigen.
* Die Einheiten der Größen sollen ebenso angegeben sein. |Merksatz}}

:::{| class="wikitable float left"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |Körpergröße (in cm)!! style="width:7em" |Gewicht (in kg)
|-
| style="text-align:center" |154|| style="text-align:center" |51
|-
| style="text-align:center" |158|| style="text-align:center" |58
|-
| style="text-align:center" |161|| style="text-align:center" |57
|-
| style="text-align:center" |172|| style="text-align:center" |65
|-
| style="text-align:center" |178|| style="text-align:center" |70
|-
| style="text-align:center" |183|| style="text-align:center" |78
|-
| style="text-align:center" |187|| style="text-align:center" |90
|-
| style="text-align:center" |193|| style="text-align:center" |89
|}

{{Box|Üben|Versuche nun selbst in deinem Heft eine Wertetabelle zu folgenden Angaben zu erstellen. Max spart ab heute eine Woche lang jeden Tag 50 Cent. Jedem Tag wird Max' Guthaben zugeordnet. |Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Tabelle Max.png|rahmenlos|Lösung Wertetabelle Max]] |Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{Box|Graph einer Zuordnung|Um den Graphen einer Zuordnung zu erhalten, werden Wertepaare in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
* Die unabhängige Variable wird auf die waagrechte Achse (Abszisse) eingetragen, die abhängige Größe in Richtung der senkrechten Achse (Ordinate).
* Die Beschriftung der Achsen ist bei jedem Graphen sehr wichtig. Es muss ersichtlich sein welche Werte auf den einzelnen Achsen aufgetragen werden und in welcher Einheit sie aufgetragen werden. |Merksatz}}

Um den Zusammenhang zwischen Körpergröße und Körpergewicht graphisch sichtbar zu machen, werden die Wertepaare nun in ein Koordinatensystem eingetragen.

[[Datei:Eingetragene Wertepaare im Koordinatensystem.png|rahmenlos|800px]]

Man erkennt nun, dass die Wertepaare zumindest annähernd auf einer geraden Linie liegen. Natürlich berührt die Linie nicht alle Punkt, allerdings erhält man so eine sogenannte Annäherung.

[[Datei:Geogebra-export (2).png|rahmenlos|800px]]

Die gerade Linie ergibt also für jeden beliebigen x-Wert einen zugehörigen y-Wert (nicht nur für unsere bereits eingetragenen Punkte.)

{{Box|Info|Graph und Wertetabelle können nicht immer alle möglichen Wertepaare eines Zusammenhangsdarstellen. Durch die durchgezogene Linie stellt der Graph jedoch alle unendlich vielen Wertepaare dar. Dies würde natürlich mit einer Wertetabelle nie gelingen. |Kurzinfo}}

{{Box|Üben|Versuche nun in deinem Heft die Wertepaare vom Guthaben von Max in ein Koordinatensystem eintragen und leg eine passende Linie durch die Wertepaare. |Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung versteckt|[[Datei:Lineare Funktion Max Guthaben.png|rahmenlos|800px]] |Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{Box|Termdarstellung|Die Termdarstellung drückt den Zusammenhang zwischen zwei Größen in Form einer Gleichung aus. Für diese Darstellungsart ist es unbedingt notwendig, die einzelnen Größen des Zusammenhangs durch Buchstaben zu benennen und mit den dazugehörigen Einheiten klar auszuweisen.
Die Schreibweise f(x) (gesprochen "f von x") drückt aus, dass die Größe f von der unabhängigen Größe x abhängt.|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Antonia soll ihrer Mutter mindestens zwei und höchstens sieben Tage lang helfen. Sie erhält dafür jeden Tag 7 €. Antonias Verdienst hängt von der Anzahl der Arbeitstage ab.
# Erstelle eine Tabelle, die Antonias Verdienst in Abhängigkeit von den Arbeitstagen zeigt.
# Zeichne den Graphen der Zuordnung.
# Gib einen Term für die dargestellte Zuordnung an. |Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|2= [[Datei:Wertetabelle Antonia.png|rahmenlos]]
[[Datei:Graph Antonia.png|rahmenlos]]

Zunächst müssen Variablen für die beiden Größen der Zuordnung gewählt werden. n: Anzahl der Arbeitstage V(n): Verdienst nach n Arbeitstagen in Euro (€)
'''Termdarstellung:<math>V(n) = 7n</math>''' |3=Lösung}}

{{Box|Üben|Joshua hat bereits 20€ angespart. Er plant in den nächsten zehn Monaten sein Erspartes jeweils am Monatsende um 5€ zu vermehren.
# Erstelle eine Tabelle, die das monatliche Guthaben in den zehn Monaten darstellt.
# Zeichne den Graphen der Zuordnung.
# Gib einen Term für die dargestellte Zuordnung an. |Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung versteckt|[[Datei:Guthaben Joshua Tabelle.png|rahmenlos]]
[[Datei:Funktion Guthaben Joshua.png|rahmenlos]]

Zunächst müssen Variablen für die beiden Größen der Zuordnung gewählt werden. n: Anzahl der Monate G(n): Guthaben nach n Monaten in Euro (€)
'''Termdarstellung: <math>G(n) = 20 + 5n</math> '''
|Lösung zeigen | Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{Fortsetzung|weiter=Funktion - eine eindeutige Zuordnung|weiterlink=Funktion - eine eindeutige Zuordnung}}

Benutzer:Agnes lint/Sprache der Funktionen

2020-03-26T15:10:34Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Benutzer:Agnes lint/Sprache der Funktionen nach Sprache der Funktionen

#WEITERLEITUNG [[Sprache der Funktionen]]

Sprache der Funktionen

2020-03-26T15:10:34Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Benutzer:Agnes lint/Sprache der Funktionen nach Sprache der Funktionen

=Die Sprache der Funktionen=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|* Die Funktionen-Sprache kennen und anwenden können.
* Die Funktionen-Sprache in Anwendungsbeispiele interpretieren können.
* Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen können.
* Definitions- und Wertemenge einer Funktion bestimmen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können.
* FA 1.7: Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

Um den "Gültigkeitsbereich" einer Funktion anzugeben, verwendet man folgende Begriffe:
{{Box|Definitions- und Wertemenge|Alle Werte, die die unabhängige Variable (Argument) annimmt, bilden zusammen die '''Definitionsmenge D''' der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt, bilden die '''Wertemenge W'''|Merksatz}}

{{Box|Bezeichnungen bei Funktionen|
* Die Elemente der Definitionsmenge D einer Funktion nennt man '''Argumente''' oder '''Stellen''' der Funktion.
* Die Elemente der Wertemenge W nennt man '''Funktionswerte''' der Funktion.
* f(x) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
* Der Graph der Funktion f besteht aus den Punkten (x / f(x)).|Merksatz}}

{{Box|Funktionenschreibweise|
* Funktion <math>f: \mathbb{N}\ \rightarrow \mathbb{Z}
</math> mit <math>f(x) = 2x - 3</math> ist eine normalerweise verwendete Funktionsschreibweise.
* Auch <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math>mit <math>y = 2x - 3</math> ist üblich.
* "f" ist der '''Funktionsname'''. Für den Funktionsnamen verwendet man üblicherweise (nicht zwingend) Kleinbuchstaben.
* "2x - 3" ist der '''Funktionsterm''' der Funktion f.
* Die Schreibweise <math>\mathbb{N\rightarrow} \mathbb{Z}</math> legt für die Funktion f als '''Grundmenge''' <math>\mathbb{N}</math> und als '''Zielmenge''' <math>\mathbb{Z}</math> fest. Die Zielmenge gibt an, in welcher Menge die Funktionswerte der Funktion f liegen können. Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Die Grundmenge gibt an, in welcher Menge die Argumente der Funktion f liegen können. Die Definitionsmenge ist immer Teilmenge der Grundmenge.
* Ist die Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> so spricht man von einer '''reellen Funktion'''. Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich um reelle Funktionen.
|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Wertebereich Definitionsbereich 1 .png|rahmenlos|300x300px]]

# [[Datei:Geogebra-export (12).png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|1 = Lösung|2 =
# D = [0 ; 20] W = [0 ; 10]
# D = [2,5 ; 9,5] W = [0 ; 12,1] |3 = Lösung}}

{{Box| Übung| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Geogebra-export (13).png|rahmenlos]]

# [[Datei:Geogebra-export (14).png|rahmenlos]]| Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# <math>D = </math> [-2 ; 6] <math>W = </math> [4]
# <math>D =</math>[-1,5;0,8] <math>W = </math> [-0,2 ; 2,6]
|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

=Zusammenfassung=
Im folgenden Video wird der Inhalt dieses Lernpfades noch einmal zusammengefasst. Schau es dir aufmerksam an! Wenn dir einzelne Inhalte noch nicht ganz klar sind, dann gehe zurück in den betreffenden Teil des Lernpfades!

{{#ev:youtube|ng1-04ka2Zs}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück|vorherlink=Agnes_lint/Funktionen - eine eindeutige Zuordnung}}

Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T15:09:56Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Benutzer:Agnes lint/Funktion - eine eindeutige Zuordnung nach Agnes lint/Funktion - eine eindeutige Zuordnung

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

=Funktion - eine eindeutige Zuordnung=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Den Funktionsbegriff kennen und verstehen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.1: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktion betrachten kann. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

{{Box|Funktionen|Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt: "Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Handel es sich bei den dargestellten Zuordnungen um Funktionen? Begründe.
# Jedem Menschen wird seine leibliche Mutter zugeordnet.
# Jeder Mutter wird ihr Kind zugeordnet
# [[Datei:1 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# [[Datei:Halbe ellipse.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|
# Da jeder Mensch (Argument) nur eine leibliche Mutter (Wert) besitzt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine eindeutige Zuordnung, also um eine Funktion.
# Da eine Mutter (Argument) mehrere Kinder (Wert) haben kann, handelt es sich bei dieser Zuordnung um keine eindeutige Zuordnung, also um keine Funktion.
# Da jedem Argument a genau ein Wert g(a) zugeordnet ist, handelt es sich um die Wertetabelle einer Funktion.
# Da einigen Argumenten mehrere Werte zugeordnet werden, handelt es sich nicht um einen Funktionsgraphen.
|Lösung}}

{{Box|Üben| Handelt es sich bei der Zuordnung (teilweise in verbaler Darstellung) um eine Funktion? Begründe!
# Jedem in Österreich angemeldeten Auto wird eine Autonummer zugeordnet.
# [[Datei:2 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# Jedem erwachsenen Österreicher wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet.
# [[Datei:Funktion zuordnung.png|rahmenlos]]|Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem Auto (Argument) und seinem Kennzeichen (Wert) handelt.
# Nein, da einige Argumente (beispielsweise -2) zwei Werte zugeordnet werden, handelt es sich um keine Wertetabelle einer Funktion.
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem erwachsenen Österreicher (Argument) und seiner Sozialversicherungsnummer (Wert) handelt.
# Ja, da jedem Argument genau ein Wert zugeordnet wird, handelt es sich um den Graphen einer Funktion (Funktionsgraph).|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{LearningApp|app=ppvafpsdn20|width=100%|height=400px}}

{{Fortsetzung|weiter=Sprache der Funkionen|weiterlink=Agnes_lint/Sprache der Funktionen|vorher=zurück|vorherlink=Agnes_lint/Einführung in die Funktionen}}

Benutzer:Agnes lint/Einführung von Funktionen

2020-03-26T15:08:40Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Benutzer:Agnes lint/Einführung von Funktionen nach Einführung von Funktionen

#WEITERLEITUNG [[Einführung von Funktionen]]

Einführung von Funktionen

2020-03-26T15:08:40Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Benutzer:Agnes lint/Einführung von Funktionen nach Einführung von Funktionen

{{Navigation verstecken|{{Einführung in die Funktionen}}}}
__NOTOC__

{{Box|Lernpfad|Einführung von Funktionen|Lernpfad}}

=Einführung von Funktionen=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Verschiedene Darstellungsarten von Zusammenhänge kennen, anwenden und interpretieren können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.3: Zwischen tabellarischer und graphischer Darstellung von Funktionen wechseln können
* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

==='''Funktionen''' – was ist das eigentlich genau?===
{{Box|Info|Wir Menschen erkennen und suchen in unserer Welt seit jeher nach Zusammenhängen und versuchen Verbindungen zwischen unterschiedlichsten Ereignissen herzustellen.
So kann etwa ein Zusammenhang wischen der Körpergröße und dem Körpergewicht festgestellt werden. Die Körpergröße ist dabei ursächlich für das Körpergewicht. Im folgenden Lernpfad wirst du erfahren, wie man Zusammenhänge mit sogenannten Funktionen genau beschreiben und graphisch sichtbar machen kann.|Kurzinfo}}

===Einführung des Funktionsbegriff===
Um den vorher bereits besprochenen Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht untersuchen zu können, müssen wir zu allererst eine Wertetabelle erstellen. Dabei wird in der ersten Spalte die Körpergröße und in die zweite Spalte das Gewicht eingetragen.

{{Box|Wertetabelle|Eine Tabelle, die eine Zuordnung darstellt, nennt man Wertetabelle.
* In der ersten Spalte stehen die Werte der unabhängigen Größe, in der zweiten die der abhängigen.
* Die Einheiten der Größen sollen ebenso angegeben sein. |Merksatz}}

:::{| class="wikitable float left"
|- style="background-color:#FFFFFF"
! style="width:7em" |Körpergröße (in cm)!! style="width:7em" |Gewicht (in kg)
|-
| style="text-align:center" |154|| style="text-align:center" |51
|-
| style="text-align:center" |158|| style="text-align:center" |58
|-
| style="text-align:center" |161|| style="text-align:center" |57
|-
| style="text-align:center" |172|| style="text-align:center" |65
|-
| style="text-align:center" |178|| style="text-align:center" |70
|-
| style="text-align:center" |183|| style="text-align:center" |78
|-
| style="text-align:center" |187|| style="text-align:center" |90
|-
| style="text-align:center" |193|| style="text-align:center" |89
|}

{{Box|Üben|Versuche nun selbst in deinem Heft eine Wertetabelle zu folgenden Angaben zu erstellen. Max spart ab heute eine Woche lang jeden Tag 50 Cent. Jedem Tag wird Max' Guthaben zugeordnet. |Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Tabelle Max.png|rahmenlos|Lösung Wertetabelle Max]] |Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{Box|Graph einer Zuordnung|Um den Graphen einer Zuordnung zu erhalten, werden Wertepaare in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
* Die unabhängige Variable wird auf die waagrechte Achse (Abszisse) eingetragen, die abhängige Größe in Richtung der senkrechten Achse (Ordinate).
* Die Beschriftung der Achsen ist bei jedem Graphen sehr wichtig. Es muss ersichtlich sein welche Werte auf den einzelnen Achsen aufgetragen werden und in welcher Einheit sie aufgetragen werden. |Merksatz}}

Um den Zusammenhang zwischen Körpergröße und Körpergewicht graphisch sichtbar zu machen, werden die Wertepaare nun in ein Koordinatensystem eingetragen.

[[Datei:Eingetragene Wertepaare im Koordinatensystem.png|rahmenlos|800px]]

Man erkennt nun, dass die Wertepaare zumindest annähernd auf einer geraden Linie liegen. Natürlich berührt die Linie nicht alle Punkt, allerdings erhält man so eine sogenannte Annäherung.

[[Datei:Geogebra-export (2).png|rahmenlos|800px]]

Die gerade Linie ergibt also für jeden beliebigen x-Wert einen zugehörigen y-Wert (nicht nur für unsere bereits eingetragenen Punkte.)

{{Box|Info|Graph und Wertetabelle können nicht immer alle möglichen Wertepaare eines Zusammenhangsdarstellen. Durch die durchgezogene Linie stellt der Graph jedoch alle unendlich vielen Wertepaare dar. Dies würde natürlich mit einer Wertetabelle nie gelingen. |Kurzinfo}}

{{Box|Üben|Versuche nun in deinem Heft die Wertepaare vom Guthaben von Max in ein Koordinatensystem eintragen und leg eine passende Linie durch die Wertepaare. |Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung versteckt|[[Datei:Lineare Funktion Max Guthaben.png|rahmenlos|800px]] |Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{Box|Termdarstellung|Die Termdarstellung drückt den Zusammenhang zwischen zwei Größen in Form einer Gleichung aus. Für diese Darstellungsart ist es unbedingt notwendig, die einzelnen Größen des Zusammenhangs durch Buchstaben zu benennen und mit den dazugehörigen Einheiten klar auszuweisen.
Die Schreibweise f(x) (gesprochen "f von x") drückt aus, dass die Größe f von der unabhängigen Größe x abhängt.|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Antonia soll ihrer Mutter mindestens zwei und höchstens sieben Tage lang helfen. Sie erhält dafür jeden Tag 7 €. Antonias Verdienst hängt von der Anzahl der Arbeitstage ab.
# Erstelle eine Tabelle, die Antonias Verdienst in Abhängigkeit von den Arbeitstagen zeigt.
# Zeichne den Graphen der Zuordnung.
# Gib einen Term für die dargestellte Zuordnung an. |Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|2= [[Datei:Wertetabelle Antonia.png|rahmenlos]]
[[Datei:Graph Antonia.png|rahmenlos]]

Zunächst müssen Variablen für die beiden Größen der Zuordnung gewählt werden. n: Anzahl der Arbeitstage V(n): Verdienst nach n Arbeitstagen in Euro (€)
'''Termdarstellung:<math>V(n) = 7n</math>''' |3=Lösung}}

{{Box|Üben|Joshua hat bereits 20€ angespart. Er plant in den nächsten zehn Monaten sein Erspartes jeweils am Monatsende um 5€ zu vermehren.
# Erstelle eine Tabelle, die das monatliche Guthaben in den zehn Monaten darstellt.
# Zeichne den Graphen der Zuordnung.
# Gib einen Term für die dargestellte Zuordnung an. |Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung versteckt|[[Datei:Guthaben Joshua Tabelle.png|rahmenlos]]
[[Datei:Funktion Guthaben Joshua.png|rahmenlos]]

Zunächst müssen Variablen für die beiden Größen der Zuordnung gewählt werden. n: Anzahl der Monate G(n): Guthaben nach n Monaten in Euro (€)
'''Termdarstellung: <math>G(n) = 20 + 5n</math> '''
|Lösung zeigen | Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{Fortsetzung|weiter=Funktion - eine eindeutige Zuordnung|weiterlink= Agnes lint/Funktion - eine eindeutige Zuordnung}}

Einführung von Funktionen

2020-03-26T15:07:06Z

Agnes lint: /* Einführung von Funktionen */

Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T15:07:00Z

Agnes lint:

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

=Funktion - eine eindeutige Zuordnung=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Den Funktionsbegriff kennen und verstehen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.1: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktion betrachten kann. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

{{Box|Funktionen|Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt: "Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Handel es sich bei den dargestellten Zuordnungen um Funktionen? Begründe.
# Jedem Menschen wird seine leibliche Mutter zugeordnet.
# Jeder Mutter wird ihr Kind zugeordnet
# [[Datei:1 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# [[Datei:Halbe ellipse.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|
# Da jeder Mensch (Argument) nur eine leibliche Mutter (Wert) besitzt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine eindeutige Zuordnung, also um eine Funktion.
# Da eine Mutter (Argument) mehrere Kinder (Wert) haben kann, handelt es sich bei dieser Zuordnung um keine eindeutige Zuordnung, also um keine Funktion.
# Da jedem Argument a genau ein Wert g(a) zugeordnet ist, handelt es sich um die Wertetabelle einer Funktion.
# Da einigen Argumenten mehrere Werte zugeordnet werden, handelt es sich nicht um einen Funktionsgraphen.
|Lösung}}

{{Box|Üben| Handelt es sich bei der Zuordnung (teilweise in verbaler Darstellung) um eine Funktion? Begründe!
# Jedem in Österreich angemeldeten Auto wird eine Autonummer zugeordnet.
# [[Datei:2 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# Jedem erwachsenen Österreicher wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet.
# [[Datei:Funktion zuordnung.png|rahmenlos]]|Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem Auto (Argument) und seinem Kennzeichen (Wert) handelt.
# Nein, da einige Argumente (beispielsweise -2) zwei Werte zugeordnet werden, handelt es sich um keine Wertetabelle einer Funktion.
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem erwachsenen Österreicher (Argument) und seiner Sozialversicherungsnummer (Wert) handelt.
# Ja, da jedem Argument genau ein Wert zugeordnet wird, handelt es sich um den Graphen einer Funktion (Funktionsgraph).|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{LearningApp|app=ppvafpsdn20|width=100%|height=400px}}

{{Fortsetzung|weiter=Sprache der Funkionen|weiterlink=Agnes_lint/Sprache der Funktionen|vorher=zurück|vorherlink=Agnes_lint/Einführung in die Funktionen}}

Sprache der Funktionen

2020-03-26T15:06:56Z

Agnes lint: /* Die Sprache der Funktionen */

Sprache der Funktionen

2020-03-26T14:57:00Z

Agnes lint:

= Die Sprache der Funktionen =
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|* Die Funktionen-Sprache kennen und anwenden können.
* Die Funktionen-Sprache in Anwendungsbeispiele interpretieren können.
* Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen können.
* Definitions- und Wertemenge einer Funktion bestimmen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können.
* FA 1.7: Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

Um den "Gültigkeitsbereich" einer Funktion anzugeben, verwendet man folgende Begriffe:
{{Box|Definitions- und Wertemenge|Alle Werte, die die unabhängige Variable (Argument) annimmt, bilden zusammen die '''Definitionsmenge D''' der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt, bilden die '''Wertemenge W'''|Merksatz}}

{{Box|Bezeichnungen bei Funktionen|
* Die Elemente der Definitionsmenge D einer Funktion nennt man '''Argumente''' oder '''Stellen''' der Funktion.
* Die Elemente der Wertemenge W nennt man '''Funktionswerte''' der Funktion.
* f(x) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
* Der Graph der Funktion f besteht aus den Punkten (x / f(x)).|Merksatz}}

{{Box|Funktionenschreibweise|
* Funktion <math>f: \mathbb{N}\ \rightarrow \mathbb{Z}
</math> mit <math>f(x) = 2x - 3</math> ist eine normalerweise verwendete Funktionsschreibweise.
* Auch <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math>mit <math>y = 2x - 3</math> ist üblich.
* "f" ist der '''Funktionsname'''. Für den Funktionsnamen verwendet man üblicherweise (nicht zwingend) Kleinbuchstaben.
* "2x - 3" ist der '''Funktionsterm''' der Funktion f.
* Die Schreibweise <math>\mathbb{N\rightarrow} \mathbb{Z}</math> legt für die Funktion f als '''Grundmenge''' <math>\mathbb{N}</math> und als '''Zielmenge''' <math>\mathbb{Z}</math> fest. Die Zielmenge gibt an, in welcher Menge die Funktionswerte der Funktion f liegen können. Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Die Grundmenge gibt an, in welcher Menge die Argumente der Funktion f liegen können. Die Definitionsmenge ist immer Teilmenge der Grundmenge.
* Ist die Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> so spricht man von einer '''reellen Funktion'''. Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich um reelle Funktionen.
|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Wertebereich Definitionsbereich 1 .png|rahmenlos|300x300px]]

# [[Datei:Geogebra-export (12).png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|1 = Lösung|2 =
# D = [0 ; 20] W = [0 ; 10]
# D = [2,5 ; 9,5] W = [0 ; 12,1] |3 = Lösung}}

{{Box| Übung| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Geogebra-export (13).png|rahmenlos]]

# [[Datei:Geogebra-export (14).png|rahmenlos]]| Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# <math>D = </math> [-2 ; 6] <math>W = </math> [4]
# <math>D =</math>[-1,5;0,8] <math>W = </math> [-0,2 ; 2,6]
|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

= Zusammenfassung =
Im folgenden Video wird der Inhalt dieses Lernpfades noch einmal zusammengefasst. Schau es dir aufmerksam an! Wenn dir einzelne Inhalte noch nicht ganz klar sind, dann gehe zurück in den betreffenden Teil des Lernpfades!

{{#ev:youtube|ng1-04ka2Zs}}

{{button
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|text=Funktion - eine eindeutige Zuordnung 
|link=Benutzer: Funktion - eine eindeutige Zuordnung
}}

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}}

Sprache der Funktionen

2020-03-26T14:48:36Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Sprache der Funktionen nach Benutzer:Agnes lint/Sprache der Funktionen

Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|* Die Funktionen-Sprache kennen und anwenden können.
* Die Funktionen-Sprache in Anwendungsbeispiele interpretieren können.
* Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen können.
* Definitions- und Wertemenge einer Funktion bestimmen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können.
* FA 1.7: Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

Um den "Gültigkeitsbereich" einer Funktion anzugeben, verwendet man folgende Begriffe:
{{Box|Definitions- und Wertemenge|Alle Werte, die die unabhängige Variable (Argument) annimmt, bilden zusammen die '''Definitionsmenge D''' der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt, bilden die '''Wertemenge W'''|Merksatz}}

{{Box|Bezeichnungen bei Funktionen|
* Die Elemente der Definitionsmenge D einer Funktion nennt man '''Argumente''' oder '''Stellen''' der Funktion.
* Die Elemente der Wertemenge W nennt man '''Funktionswerte''' der Funktion.
* f(x) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
* Der Graph der Funktion f besteht aus den Punkten (x / f(x)).|Merksatz}}

{{Box|Funktionenschreibweise|
* Funktion <math>f: \mathbb{N}\ \rightarrow \mathbb{Z}
</math> mit <math>f(x) = 2x - 3</math> ist eine normalerweise verwendete Funktionsschreibweise.
* Auch <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math>mit <math>y = 2x - 3</math> ist üblich.
* "f" ist der '''Funktionsname'''. Für den Funktionsnamen verwendet man üblicherweise (nicht zwingend) Kleinbuchstaben.
* "2x - 3" ist der '''Funktionsterm''' der Funktion f.
* Die Schreibweise <math>\mathbb{N\rightarrow} \mathbb{Z}</math> legt für die Funktion f als '''Grundmenge''' <math>\mathbb{N}</math> und als '''Zielmenge''' <math>\mathbb{Z}</math> fest. Die Zielmenge gibt an, in welcher Menge die Funktionswerte der Funktion f liegen können. Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Die Grundmenge gibt an, in welcher Menge die Argumente der Funktion f liegen können. Die Definitionsmenge ist immer Teilmenge der Grundmenge.
* Ist die Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> so spricht man von einer '''reellen Funktion'''. Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich um reelle Funktionen.
|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Wertebereich Definitionsbereich 1 .png|rahmenlos|300x300px]]

# [[Datei:Geogebra-export (12).png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|1 = Lösung|2 =
# D = [0 ; 20] W = [0 ; 10]
# D = [2,5 ; 9,5] W = [0 ; 12,1] |3 = Lösung}}

{{Box| Übung| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
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# [[Datei:Geogebra-export (14).png|rahmenlos]]| Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# <math>D = </math> [-2 ; 6] <math>W = </math> [4]
# <math>D =</math>[-1,5;0,8] <math>W = </math> [-0,2 ; 2,6]
|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{button
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|text=Funktion - eine eindeutige Zuordnung 
|link=Benutzer: Funktion - eine eindeutige Zuordnung
}}

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Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T14:48:09Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Funktion - eine eindeutige Zuordnung nach Benutzer:Agnes lint/Funktion - eine eindeutige Zuordnung

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

=Funktion - eine eindeutige Zuordnung=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Den Funktionsbegriff kennen und verstehen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.1: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktion betrachten kann. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

{{Box|Funktionen|Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt: "Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Handel es sich bei den dargestellten Zuordnungen um Funktionen? Begründe.
# Jedem Menschen wird seine leibliche Mutter zugeordnet.
# Jeder Mutter wird ihr Kind zugeordnet
# [[Datei:1 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# [[Datei:Halbe ellipse.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|
# Da jeder Mensch (Argument) nur eine leibliche Mutter (Wert) besitzt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine eindeutige Zuordnung, also um eine Funktion.
# Da eine Mutter (Argument) mehrere Kinder (Wert) haben kann, handelt es sich bei dieser Zuordnung um keine eindeutige Zuordnung, also um keine Funktion.
# Da jedem Argument a genau ein Wert g(a) zugeordnet ist, handelt es sich um die Wertetabelle einer Funktion.
# Da einigen Argumenten mehrere Werte zugeordnet werden, handelt es sich nicht um einen Funktionsgraphen.
|Lösung}}

{{Box|Üben| Handelt es sich bei der Zuordnung (teilweise in verbaler Darstellung) um eine Funktion? Begründe!
# Jedem in Österreich angemeldeten Auto wird eine Autonummer zugeordnet.
# [[Datei:2 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# Jedem erwachsenen Österreicher wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet.
# [[Datei:Funktion zuordnung.png|rahmenlos]]|Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem Auto (Argument) und seinem Kennzeichen (Wert) handelt.
# Nein, da einige Argumente (beispielsweise -2) zwei Werte zugeordnet werden, handelt es sich um keine Wertetabelle einer Funktion.
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem erwachsenen Österreicher (Argument) und seiner Sozialversicherungsnummer (Wert) handelt.
# Ja, da jedem Argument genau ein Wert zugeordnet wird, handelt es sich um den Graphen einer Funktion (Funktionsgraph).|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{LearningApp|app=ppvafpsdn20|width=100%|height=400px}}

{{Fortsetzung|weiter= Funktionen - Sprache :Vorlagen|vorher= Einführung in die Funktionen}}

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|text=Funktion - eine eindeutige Zuordnung 
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Benutzer:Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T14:45:35Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Benutzer:Funktion - eine eindeutige Zuordnung nach Funktion - eine eindeutige Zuordnung und überschrieb dabei eine Weiterleitung

#WEITERLEITUNG [[Funktion - eine eindeutige Zuordnung]]

Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T14:45:35Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Benutzer:Funktion - eine eindeutige Zuordnung nach Funktion - eine eindeutige Zuordnung und überschrieb dabei eine Weiterleitung

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

=Funktion - eine eindeutige Zuordnung=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Den Funktionsbegriff kennen und verstehen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.1: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktion betrachten kann. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

{{Box|Funktionen|Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt: "Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Handel es sich bei den dargestellten Zuordnungen um Funktionen? Begründe.
# Jedem Menschen wird seine leibliche Mutter zugeordnet.
# Jeder Mutter wird ihr Kind zugeordnet
# [[Datei:1 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# [[Datei:Halbe ellipse.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|
# Da jeder Mensch (Argument) nur eine leibliche Mutter (Wert) besitzt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine eindeutige Zuordnung, also um eine Funktion.
# Da eine Mutter (Argument) mehrere Kinder (Wert) haben kann, handelt es sich bei dieser Zuordnung um keine eindeutige Zuordnung, also um keine Funktion.
# Da jedem Argument a genau ein Wert g(a) zugeordnet ist, handelt es sich um die Wertetabelle einer Funktion.
# Da einigen Argumenten mehrere Werte zugeordnet werden, handelt es sich nicht um einen Funktionsgraphen.
|Lösung}}

{{Box|Üben| Handelt es sich bei der Zuordnung (teilweise in verbaler Darstellung) um eine Funktion? Begründe!
# Jedem in Österreich angemeldeten Auto wird eine Autonummer zugeordnet.
# [[Datei:2 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# Jedem erwachsenen Österreicher wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet.
# [[Datei:Funktion zuordnung.png|rahmenlos]]|Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem Auto (Argument) und seinem Kennzeichen (Wert) handelt.
# Nein, da einige Argumente (beispielsweise -2) zwei Werte zugeordnet werden, handelt es sich um keine Wertetabelle einer Funktion.
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem erwachsenen Österreicher (Argument) und seiner Sozialversicherungsnummer (Wert) handelt.
# Ja, da jedem Argument genau ein Wert zugeordnet wird, handelt es sich um den Graphen einer Funktion (Funktionsgraph).|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

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{{Fortsetzung|weiter= Funktionen - Sprache :Vorlagen|vorher= Einführung in die Funktionen}}

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Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T13:49:08Z

Agnes lint: /* Funktion - eine eindeutige Zuordnung */

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

=Funktion - eine eindeutige Zuordnung=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Den Funktionsbegriff kennen und verstehen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.1: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktion betrachten kann. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

{{Box|Funktionen|Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt: "Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Handel es sich bei den dargestellten Zuordnungen um Funktionen? Begründe.
# Jedem Menschen wird seine leibliche Mutter zugeordnet.
# Jeder Mutter wird ihr Kind zugeordnet
# [[Datei:1 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# [[Datei:Halbe ellipse.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|
# Da jeder Mensch (Argument) nur eine leibliche Mutter (Wert) besitzt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine eindeutige Zuordnung, also um eine Funktion.
# Da eine Mutter (Argument) mehrere Kinder (Wert) haben kann, handelt es sich bei dieser Zuordnung um keine eindeutige Zuordnung, also um keine Funktion.
# Da jedem Argument a genau ein Wert g(a) zugeordnet ist, handelt es sich um die Wertetabelle einer Funktion.
# Da einigen Argumenten mehrere Werte zugeordnet werden, handelt es sich nicht um einen Funktionsgraphen.
|Lösung}}

{{Box|Üben| Handelt es sich bei der Zuordnung (teilweise in verbaler Darstellung) um eine Funktion? Begründe!
# Jedem in Österreich angemeldeten Auto wird eine Autonummer zugeordnet.
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# Jedem erwachsenen Österreicher wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet.
# [[Datei:Funktion zuordnung.png|rahmenlos]]|Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem Auto (Argument) und seinem Kennzeichen (Wert) handelt.
# Nein, da einige Argumente (beispielsweise -2) zwei Werte zugeordnet werden, handelt es sich um keine Wertetabelle einer Funktion.
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem erwachsenen Österreicher (Argument) und seiner Sozialversicherungsnummer (Wert) handelt.
# Ja, da jedem Argument genau ein Wert zugeordnet wird, handelt es sich um den Graphen einer Funktion (Funktionsgraph).|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

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{{Fortsetzung|weiter= Funktionen - Sprache :Vorlagen|vorher= Einführung in die Funktionen}}

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Sprache der Funktionen

2020-03-26T13:42:56Z

Agnes lint: Die Seite wurde neu angelegt: „ Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben. {{Lösung versteckt|* Die Funktio…“

Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|* Die Funktionen-Sprache kennen und anwenden können.
* Die Funktionen-Sprache in Anwendungsbeispiele interpretieren können.
* Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen können.
* Definitions- und Wertemenge einer Funktion bestimmen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können.
* FA 1.7: Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

Um den "Gültigkeitsbereich" einer Funktion anzugeben, verwendet man folgende Begriffe:
{{Box|Definitions- und Wertemenge|Alle Werte, die die unabhängige Variable (Argument) annimmt, bilden zusammen die '''Definitionsmenge D''' der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt, bilden die '''Wertemenge W'''|Merksatz}}

{{Box|Bezeichnungen bei Funktionen|
* Die Elemente der Definitionsmenge D einer Funktion nennt man '''Argumente''' oder '''Stellen''' der Funktion.
* Die Elemente der Wertemenge W nennt man '''Funktionswerte''' der Funktion.
* f(x) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
* Der Graph der Funktion f besteht aus den Punkten (x / f(x)).|Merksatz}}

{{Box|Funktionenschreibweise|
* Funktion <math>f: \mathbb{N}\ \rightarrow \mathbb{Z}
</math> mit <math>f(x) = 2x - 3</math> ist eine normalerweise verwendete Funktionsschreibweise.
* Auch <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math>mit <math>y = 2x - 3</math> ist üblich.
* "f" ist der '''Funktionsname'''. Für den Funktionsnamen verwendet man üblicherweise (nicht zwingend) Kleinbuchstaben.
* "2x - 3" ist der '''Funktionsterm''' der Funktion f.
* Die Schreibweise <math>\mathbb{N\rightarrow} \mathbb{Z}</math> legt für die Funktion f als '''Grundmenge''' <math>\mathbb{N}</math> und als '''Zielmenge''' <math>\mathbb{Z}</math> fest. Die Zielmenge gibt an, in welcher Menge die Funktionswerte der Funktion f liegen können. Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Die Grundmenge gibt an, in welcher Menge die Argumente der Funktion f liegen können. Die Definitionsmenge ist immer Teilmenge der Grundmenge.
* Ist die Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> so spricht man von einer '''reellen Funktion'''. Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich um reelle Funktionen.
|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Wertebereich Definitionsbereich 1 .png|rahmenlos|300x300px]]

# [[Datei:Geogebra-export (12).png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|1 = Lösung|2 =
# D = [0 ; 20] W = [0 ; 10]
# D = [2,5 ; 9,5] W = [0 ; 12,1] |3 = Lösung}}

{{Box| Übung| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Geogebra-export (13).png|rahmenlos]]

# [[Datei:Geogebra-export (14).png|rahmenlos]]| Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# <math>D = </math> [-2 ; 6] <math>W = </math> [4]
# <math>D =</math>[-1,5;0,8] <math>W = </math> [-0,2 ; 2,6]
|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

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Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T13:40:21Z

Agnes lint: /* Funktion - eine eindeutige Zuordnung */

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

=Funktion - eine eindeutige Zuordnung=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Den Funktionsbegriff kennen und verstehen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.1: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktion betrachten kann. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

{{Box|Funktionen|Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt: "Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Handel es sich bei den dargestellten Zuordnungen um Funktionen? Begründe.
# Jedem Menschen wird seine leibliche Mutter zugeordnet.
# Jeder Mutter wird ihr Kind zugeordnet
# [[Datei:1 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# [[Datei:Halbe ellipse.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|
# Da jeder Mensch (Argument) nur eine leibliche Mutter (Wert) besitzt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine eindeutige Zuordnung, also um eine Funktion.
# Da eine Mutter (Argument) mehrere Kinder (Wert) haben kann, handelt es sich bei dieser Zuordnung um keine eindeutige Zuordnung, also um keine Funktion.
# Da jedem Argument a genau ein Wert g(a) zugeordnet ist, handelt es sich um die Wertetabelle einer Funktion.
# Da einigen Argumenten mehrere Werte zugeordnet werden, handelt es sich nicht um einen Funktionsgraphen.
|Lösung}}

{{Box|Üben| Handelt es sich bei der Zuordnung (teilweise in verbaler Darstellung) um eine Funktion? Begründe!
# Jedem in Österreich angemeldeten Auto wird eine Autonummer zugeordnet.
# [[Datei:2 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# Jedem erwachsenen Österreicher wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet.
# [[Datei:Funktion zuordnung.png|rahmenlos]]|Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem Auto (Argument) und seinem Kennzeichen (Wert) handelt.
# Nein, da einige Argumente (beispielsweise -2) zwei Werte zugeordnet werden, handelt es sich um keine Wertetabelle einer Funktion.
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem erwachsenen Österreicher (Argument) und seiner Sozialversicherungsnummer (Wert) handelt.
# Ja, da jedem Argument genau ein Wert zugeordnet wird, handelt es sich um den Graphen einer Funktion (Funktionsgraph).|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

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Benutzer:Funktionen-Sprache

2020-03-26T13:39:44Z

Agnes lint:

Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|* Die Funktionen-Sprache kennen und anwenden können.
* Die Funktionen-Sprache in Anwendungsbeispiele interpretieren können.
* Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen können.
* Definitions- und Wertemenge einer Funktion bestimmen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können.
* FA 1.7: Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

Um den "Gültigkeitsbereich" einer Funktion anzugeben, verwendet man folgende Begriffe:
{{Box|Definitions- und Wertemenge|Alle Werte, die die unabhängige Variable (Argument) annimmt, bilden zusammen die '''Definitionsmenge D''' der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt, bilden die '''Wertemenge W'''|Merksatz}}

{{Box|Bezeichnungen bei Funktionen|
* Die Elemente der Definitionsmenge D einer Funktion nennt man '''Argumente''' oder '''Stellen''' der Funktion.
* Die Elemente der Wertemenge W nennt man '''Funktionswerte''' der Funktion.
* f(x) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
* Der Graph der Funktion f besteht aus den Punkten (x / f(x)).|Merksatz}}

{{Box|Funktionenschreibweise|
* Funktion <math>f: \mathbb{N}\ \rightarrow \mathbb{Z}
</math> mit <math>f(x) = 2x - 3</math> ist eine normalerweise verwendete Funktionsschreibweise.
* Auch <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math>mit <math>y = 2x - 3</math> ist üblich.
* "f" ist der '''Funktionsname'''. Für den Funktionsnamen verwendet man üblicherweise (nicht zwingend) Kleinbuchstaben.
* "2x - 3" ist der '''Funktionsterm''' der Funktion f.
* Die Schreibweise <math>\mathbb{N\rightarrow} \mathbb{Z}</math> legt für die Funktion f als '''Grundmenge''' <math>\mathbb{N}</math> und als '''Zielmenge''' <math>\mathbb{Z}</math> fest. Die Zielmenge gibt an, in welcher Menge die Funktionswerte der Funktion f liegen können. Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Die Grundmenge gibt an, in welcher Menge die Argumente der Funktion f liegen können. Die Definitionsmenge ist immer Teilmenge der Grundmenge.
* Ist die Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> so spricht man von einer '''reellen Funktion'''. Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich um reelle Funktionen.
|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Wertebereich Definitionsbereich 1 .png|rahmenlos|300x300px]]

# [[Datei:Geogebra-export (12).png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|1 = Lösung|2 =
# D = [0 ; 20] W = [0 ; 10]
# D = [2,5 ; 9,5] W = [0 ; 12,1] |3 = Lösung}}

{{Box| Übung| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Geogebra-export (13).png|rahmenlos]]

# [[Datei:Geogebra-export (14).png|rahmenlos]]| Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# <math>D = </math> [-2 ; 6] <math>W = </math> [4]
# <math>D =</math>[-1,5;0,8] <math>W = </math> [-0,2 ; 2,6]
|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{button
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Benutzer:Funktionen-Sprache

2020-03-26T13:36:47Z

Agnes lint: Agnes lint verschob die Seite Funktionen-Sprache nach Benutzer:Funktionen-Sprache

Benutzer:Funktionen-Sprache

2020-03-26T13:35:41Z

Agnes lint: /* Funktionen - Sprache */

Benutzer:Funktionen-Sprache

2020-03-26T13:32:47Z

Agnes lint: Die Seite wurde neu angelegt: „=Funktionen - Sprache= Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben. {{Lösung v…“

=Funktionen - Sprache=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|* Die Funktionen-Sprache kennen und anwenden können.
* Die Funktionen-Sprache in Anwendungsbeispiele interpretieren können.
* Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen können.
* Definitions- und Wertemenge einer Funktion bestimmen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.4: Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können.
* FA 1.7: Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

Um den "Gültigkeitsbereich" einer Funktion anzugeben, verwendet man folgende Begriffe:
{{Box|Definitions- und Wertemenge|Alle Werte, die die unabhängige Variable (Argument) annimmt, bilden zusammen die '''Definitionsmenge D''' der Funktion. Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt, bilden die '''Wertemenge W'''|Merksatz}}

{{Box|Bezeichnungen bei Funktionen|
* Die Elemente der Definitionsmenge D einer Funktion nennt man '''Argumente''' oder '''Stellen''' der Funktion.
* Die Elemente der Wertemenge W nennt man '''Funktionswerte''' der Funktion.
* f(x) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
* Der Graph der Funktion f besteht aus den Punkten (x / f(x)).|Merksatz}}

{{Box|Funktionenschreibweise|
* Funktion <math>f: \mathbb{N}\ \rightarrow \mathbb{Z}
</math> mit <math>f(x) = 2x - 3</math> ist eine normalerweise verwendete Funktionsschreibweise.
* Auch <math>f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math>mit <math>y = 2x - 3</math> ist üblich.
* "f" ist der '''Funktionsname'''. Für den Funktionsnamen verwendet man üblicherweise (nicht zwingend) Kleinbuchstaben.
* "2x - 3" ist der '''Funktionsterm''' der Funktion f.
* Die Schreibweise <math>\mathbb{N\rightarrow} \mathbb{Z}</math> legt für die Funktion f als '''Grundmenge''' <math>\mathbb{N}</math> und als '''Zielmenge''' <math>\mathbb{Z}</math> fest. Die Zielmenge gibt an, in welcher Menge die Funktionswerte der Funktion f liegen können. Die Wertemenge ist immer eine Teilmenge der Zielmenge. Die Grundmenge gibt an, in welcher Menge die Argumente der Funktion f liegen können. Die Definitionsmenge ist immer Teilmenge der Grundmenge.
* Ist die Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> so spricht man von einer '''reellen Funktion'''. Wenn nicht anders angegeben, handelt es sich um reelle Funktionen.
|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Wertebereich Definitionsbereich 1 .png|rahmenlos|300x300px]]

# [[Datei:Geogebra-export (12).png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|1 = Lösung|2 =
# D = [0 ; 20] W = [0 ; 10]
# D = [2,5 ; 9,5] W = [0 ; 12,1] |3 = Lösung}}

{{Box| Übung| Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion näherungsweise:
# [[Datei:Geogebra-export (13).png|rahmenlos]]

# [[Datei:Geogebra-export (14).png|rahmenlos]]| Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# <math>D = </math> [-2 ; 6] <math>W = </math> [4]
# <math>D =</math>[-1,5;0,8] <math>W = </math> [-0,2 ; 2,6]
|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

Datei:Geogebra-export (14).png

2020-03-26T13:25:54Z

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{{Information
|description = Geogebra-export (14)
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Geogebra-export (13).png

2020-03-26T13:24:59Z

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{{Information
|description = Geogebra-export (13)
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Geogebra-export (12).png

2020-03-26T13:18:07Z

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{{Information
|description = Geogebra-export (12)
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Wertebereich Definitionsbereich 1 .png

2020-03-26T13:15:55Z

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{{Information
|description = Wertebereich Definitionsbereich 1
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Definitionsmenge linear.png

2020-03-26T13:13:42Z

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{{Information
|description = Definitionsmenge linear
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Agnes lint|Agnes lint]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T12:24:21Z

Agnes lint: /* Funktion - eine eindeutige Zuordnung */

Funktion - eine eindeutige Zuordnung

2020-03-26T12:23:04Z

Agnes lint: /* Funktion - eine eindeutige Zuordnung */

{{Box|Lernpfad|Funktion - eine eindeutige Zuordnung|Lernpfad}}

=Funktion - eine eindeutige Zuordnung=
Im Rahmen dieses Lernpfades solltes du gewisse Lernziele und Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung erwerben.

{{Lösung versteckt|Den Funktionsbegriff kennen und verstehen können. |Lernziele |Lernziele}}

{{Lösung versteckt|* FA 1.1: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktion betrachten kann. |Grundkompetenzen |Grundkompetenzen}}

{{Box|Funktionen|Funktionen sind Zuordnungen mit einer besonderen Eigenschaft: Als Funktion bezeichnet man eine Zuordnung, die jedem Argument genau einen Wert, den Funktionswert, zuordnet. Vereinfacht gesagt: "Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung."|Merksatz}}

{{Box|Musterbeispiel|Handel es sich bei den dargestellten Zuordnungen um Funktionen? Begründe.
# Jedem Menschen wird seine leibliche Mutter zugeordnet.
# Jeder Mutter wird ihr Kind zugeordnet
# [[Datei:1 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# [[Datei:Halbe ellipse.png|rahmenlos]]|Arbeitsmethode}}

{{Box|Lösung|
# Da jeder Mensch (Argument) nur eine leibliche Mutter (Wert) besitzt, handelt es sich bei dieser Zuordnung um eine eindeutige Zuordnung, also um eine Funktion.
# Da eine Mutter (Argument) mehrere Kinder (Wert) haben kann, handelt es sich bei dieser Zuordnung um keine eindeutige Zuordnung, also um keine Funktion.
# Da jedem Argument a genau ein Wert g(a) zugeordnet ist, handelt es sich um die Wertetabelle einer Funktion.
# Da einigen Argumenten mehrere Werte zugeordnet werden, handelt es sich nicht um einen Funktionsgraphen.
|Lösung}}

{{Box|Üben| Handelt es sich bei der Zuordnung (teilweise in verbaler Darstellung) um eine Funktion? Begründe!
# Jedem in Österreich angemeldeten Auto wird eine Autonummer zugeordnet.
# [[Datei:2 Wertetabelle.png|rahmenlos]]
# Jedem erwachsenen Österreicher wird eine Sozialversicherungsnummer zugeordnet.
# [[Datei:Funktion zuordnung.png|rahmenlos]]|Üben}}

{{Box|Lösung|{{Lösung verstecken|
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem Auto (Argument) und seinem Kennzeichen (Wert) handelt.
# Nein, da einige Argumente (beispielsweise -2) zwei Werte zugeordnet werden, handelt es sich um keine Wertetabelle einer Funktion.
# Ja, da es sich um eine eindeutige Zuordnung zwischen jedem erwachsenen Österreicher (Argument) und seiner Sozialversicherungsnummer (Wert) handelt.
# Ja, da jedem Argument genau ein Wert zugeordnet wird, handelt es sich um den Graphen einer Funktion (Funktionsgraph).|Lösung zeigen|Lösung verstecken}}|Lösung}}

{{LearningApp|app=py7d7b0x501|width=100%|height=400px}}

ppvafpsdn20

Quiz

<div class="multiplechoice-quiz">

Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an.
(A Jede Funktion hat mindestens so viele verschiedene Funktionswerte wie Argumente.)
(B Jede Funktion ordnet jedem Argument genau einen Funktionswert zu.)
(! C Jede Funktion ordnet jedem Funktionswert genau ein Argument zu.)
(D Es gibt Funktionen, die genauso viele Argumente wie Funktionswerte besitzen.)
(! E Jede Funktion besitzt genauso viele Argumente wie Funktionswerte.)

</div>